97193

Случайные события и их вероятности

Лекция

Математика и математический анализ

Математической моделью частоты не зависящей от конкретных опытов является вероятность события. Возможность появления события при заданном испытании может быть измерена числом называющимся вероятностью события. Вероятностью события называют отношение числа исходов испытания благоприятных для события к числу всевозможных исходов этого испытания.

Русский

2015-10-14

2.03 MB

2 чел.

Тема 2. Случайные события и их вероятности

1. Пространство элементарных событий. Случайные события и отношения между ними. Теория вероятностей изучает математические модели массовых однородных случайных явлений (стохастических экспериментов, испытаний, опытов, измерений), имеющих свойство устойчивости частот.

Под стохастическим экспериментом понимают эксперимент, результат которого нельзя предвидеть загодя (до испытания), но который можно повторять независимым образом в принципе неограниченное количество раз. Такой эксперимент определяется некоторой совокупностью условий и возможными результатами.

Пример 1. (стохастические эксперименты).

  1.  Подбрасываются одновременно две монеты и регистрируются их выпавшие стороны. Результат эксперимента – «орел, орел», «орел, решка», «решка, орел», «решка, решка» - загодя предвидеть невозможно.
  2.  Подбрасывается игральный кубик (кость) и фиксируется число точек на выпавшей вверх грани (очки). Результат экперимента – появление одного из натуральных чисел от 1 до 6 – загодя предвидеть невозможно.
  3.  Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет «орел». Результат эксперимента – число выполненных подбрасываний: 1, 2, 3, … - загодя предвидеть невозможно.
  4.  Регистрируется промежуток времени безотказной работы прибора с момента начала эксплуатации до первого выхода из строя. Результат эксперимента – время безотказной работы прибора - загодя предвидеть невозможно.

Внимание! Существенную роль играет то, что каждый из описанных экспериментов можно независимым образом повторять сколь угодно большое количество раз.

Следствия эксперимента (или испытания) называются случайными событиями, то есть случайное событие – это событие, которое может произойти или не произойти вследствие некоторого эксперимента, результат которого нельзя предвидеть загодя. Подобное событие называется элементарным, если его нельзя разложить на более простые события-составляющие. В противном случае событие называется сложным.

Например, если эксперимент состоит в подбрасывании  игральной кости, то все события  - выпадение очей (где ), являются  элементарными, поскольку не разлагаются на более простые и в совокупности исчерпывают всевозможные результаты такого испытания. Напротив, событие  - выпадение четного числа очей – является сложным; оно состоится, когда состоится хотя бы одно из событий .

Определение 1. Пространством элементарных событий, описывающим данное испытание, называется произвольное множество, между элементами которого и всевозможными результатами испытания можно установить взаимно однозначное соответствие.

Пространство элементарных событий будем обозначать большой греческой буквой  («омега»), а элементарные события – малыми буквами  («омега»), возможно, с индексами, и называть точками пространства элементарных событий.

В первом эксперименте примера 1 в качестве пространства элементарных событий естественно рассматривать множество , где выпадение орла, выпадение решки, во втором эксперименте - , в третьем - , в четвертом - .

Сейчас мы начнем с рассмотрения конечных пространств элементарных событий, то есть, будем предполагать, что , где .

Определение 2. Случайными событиями назовем любые подмножества пространства элементарных событий, и будем обозначать их буквами  . При этом само множество  будем называть достоверным событием, а пустое множество  невозможным событием.

Внимание! Поскольку случайные события определяются как некоторые подмножества пространства элементарных событий, естественно устанавливать между ними, как между множествами, определенные отношения.

Определение 3. Говорят, что событие  влечет за собой событие , или  является частным случаем события , или  - следствие , если при наступлении события обязательно состоится .

Обозначают такое отношение символом «» (включение) и пишут: . Данное отношение имеет очевидные свойства:

а)  (рефлексивность);

б) если  и , то  (транзитивность).

Определение 4. События  и  называются равными, если  является следствием  и одновременно  является следствием .

Равенство событий обозначают обычным знаком равенства – пишут: . Согласно определению,

тогда и только тогда, когда  и .

Отношение равенства событий является рефлексивным, симметричным и транзитивным:

а)  (рефлексивность);

б) если , то   (симметричность);

б) если  и , то  (транзитивность).

Пример 2. Трижды стреляют по мишени (0 – промах, 1 – попадание). Построить пространство элементарных событий и описать следующие события:

а) в мишени хоть одно попадание;

б) в мишени ровно два попадания;

в) в мишени или три попадания, или ни одного;

г) в мишени два или три попадания.

Решение. При каждом выстреле возможны два взаимно исключающих результата: попадание или промах. Поэтому при трех выстрелах возможны  различных результатов, и в качестве пространства элементарных событий можно взять любое восьмиэлементное множество, например, такое:

.

В этом случае упомянутые в условии события можно (как подмножества ) описать так:

;

;

;

.

Завершая этот пункт, предлагаем вниманию читателей два упражнения для самостоятельной работы.

Упражнение 1. Дважды подбрасывают монету. Построить пространство элементарных событий , соответствующее данному эксперименту. Описать как подмножества  следующие события:

по крайней мере единожды выпал орел;

при втором подбрасывании выпал орел.

Указать количество элементарных событий, входящих в .

Упражнение 2. Подбрасывают монету, а после этого – игральную кость. Предложить пространство  и  описать как его подмножества следующие события:

появился орел;

появилась цифра 5.

Указать количество элементарных событий, входящих в .

2. Операции над событиями и их свойства (алгебра случайных событий).

Со случайными событиями, точно так же, как и с множествами, можно выполнять определенные операции.

Определение 5. Суммой (или объединением) двух событий  и  называется событие , которое происходит, когда происходит  по крайней мере одно из этих событий.

Обозначают:  (знак «» - тождественное равенство указывает на равносильность двух различных выражений или записей).

Определение 6. Произведением (или пересечением) двух событий  и  называется событие , которое происходит, когда происходит  по крайней мере одно из этих событий.

Обозначают: .

Внимание! События  и  называют несовместимыми, если их произведение – невозможное событие, то есть .

Определение 7. Разностью двух событий  и  называется событие , которое происходит, когда происходит  и не происходит .

Обозначают: .

Определение 8. Событием, противоположным к , называют событие .

Определение 9. Симметричной разностью двух событий  и  называется событие , которое происходит, когда происходит  и не происходит , или же наоборот: происходит , но не происходит .

Обозначают симметричную разность, как и в теории множеств, символом «»; согласно определению,  .

Приведенные определения операций над событиями удобно изоьбражать с помощью так называемых диаграмм Эйлера-Венна:

                       

                                                C      D   E                     F

Множество случайных событий вместе с введенными таким образом операциями образует структуру, называемую булевой алгеброй, то есть, выполняются следующие равенства:

1) ,   (коммутативность);

2) ,   (ассоциативность);

3) ,   (дистрибутивность);

4) ,   (законы де Моргана);

5) ,  (законы идемпотентности);

6) , , ,  (законы нуля и еденицы; название этой группы происходит оттого, что невозможное и достоверное событие при сложении и умножении событий ведут себя почти точно так же, как ноль и единица при сложении и умножении действительных чисел);

7)  ,  (свойства противоположных событий).

А теперь рассмотрим примеры, позволяющие, используя приведенные определения и законы, получать новые свойства случайных событий – как общие, так и связанные с условиями конкретных задач.

Пример 3. При каком соотношении между событиями  и  возможно равенство ?

Решение. Сумма  событие, состоящее в совершении одного из событий  или . Если , то это возможно лишь тогда, когда  частный случай события . Поэтому ответ:  является следствием .

Упражнение 3. Когда возможны равенства: а) ; б) ?

Ответ. а) когда  невозможное событие, достоверное; б) когда .

Внимание! На следующем примере рассмотрим схему доказательства равенства двух событий в общем случае.

Пример 4. Доказать, что .

Решение. Поскольку по определению 9 , то, согласно определению  4 (равенства событий), достаточно доказать два включения:

а) ,

б) .

Докажем, например, первое включение (второе доказывается аналогично). Допустим, что произошло событие . По определению суммы событий это значит, что состоялось хотя бы одно из событий  или ; то есть, или произошло  и не произошло , или же произошло  и не произошло . Отсюда по определениям суммы и произведения событий вытекает, что, во-первых, произошло событие , и, во-вторых, не произошло событие . Тогда, согласно определению разности событий, произошло событие , и первое включение доказано.

Внимание! Проведенные рассуждения удобно провести и записать символически с помощью знаков логических операций (значительно короче) таким образом. Пусть  произвольное элементарное событие, входящее в . Тогда

Именно в силу произвольности выбора  последняя цепочка рассуждений и доказывает справедливость включения а).

Упражнение 3. Докажите включение б) предыдущего примера.

Пример 4. Доказать, что  и .

Решение. Если положить  и , то нетрудно убедиться в том, что второе равенство запишется в виде , или же : пришли к тому, что второе равенство равносильно первому. Поэтому достаточно доказать справедливость только одного из приведенных равенств, например, первого.

Событие  означает, что ни , ни  не состоялись. Противоположное событие  означает, что хотя бы одно из событий  и  состоялось; а это и есть сумма событий ! Поэтому , что и требовалоь доказать.

Упражнение 4. Докажите справедливость второго неравенства примера 4.

3. Классическое определение вероятности. Опыт показывает, что в случайном (стохастическом) эксперименте события различаются частотой своего появления (одни наблюдаются чаще, другие – реже). Количественной мерой частоты наблюдения события  является частота  (маленькая греческая буква «ню») события  в последовательности из  испытаний.

Последняя частота определяется так: проведем случайный эксперимент независимым образом  раз. Пусть  количество тех экспериментов, при  которых состоялось событие . Тогда

.

Частота  имеет следующие свойства:

  1.  Для любого события

 (частота неотрицательна);

  1.  Для несовместимых событий  и

(аддитивность);

  1.  Для достоверного события

(нормированность).

Но частота, как уже было сказано, определяется экспериментально, а потому меняется от опыта к опыту. Математической моделью частоты, не зависящей от конкретных опытов, является вероятность события.

Итак, пусть пространство элементарных событий  конечно (), и все входящие в него элементарные события   равновозможны.

Равновозможность является аксиоматическим понятием (не подлежит строгому определению). Под этим термином подразумевают то, что ни одно из элементарных случайных событий не имеет преимуществ перед другими элементарными событиями; иными словами, все  имеют одинаковые шансы состояться при данном испытании.

Пусть   - некоторое случайное событие, и . Число  называют числом всевозможных исходов испытания, а число  числом благоприятных исходов испытания. Возможность появления события  при заданном испытании может быть измерена числом, называющимся вероятностью события.

Определение 10. Вероятностью события  называют отношение числа исходов испытания, благоприятных для события , к числу всевозможных исходов этого испытания.

Обозначают вероятность события  символом . Согласно определению,

.      (1)

Основные свойства классической вероятности:

1) Для любого события  его вероятность ;

2)  тогда и только тогда, когда событие  невозможное;

3)  тогда и только тогда, когда событие  достоверное;

4) Если , то  (теорема сложения для несовместимых событий);

5) Вероятность события, противоположного данному: ;

6) Если при  , то  (теорема сложения для попарно несовместимых событий);

7) Если , то  (монотонность вероятности);

8)  (теорема сложения для двух произвольных событий);

9).

Внимание! Для нахождения вероятности события в общем случае можно предложить следующий алгоритм:

I.     Строим пространство элементарных событий  и вычисляем .

II.    Описываем событие  как подмножество и вычисляем .

III.   Находим вероятность согласно формуле (1).

Пример 5. Деревянный куб, все грани которого покрашены, распилили на тысячу кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешали. Найти вероятность того, что случайно выбранный кубик будет иметь ровно две окрашенные грани.

Решение. Всего кубиков . Нетрудно убедиться в том, что кубик будет иметь ровно две окрашенные грани тогда и только тогда, если в неразрезанном кубе он прилегал к его ребру, и при этом не прилегал к вершине.

В исходном кубе 12 ребер, к каждому из которых прилегает 10-2=8 кубиков с двумя окрашенными гранями (почему?). При этом ни один из интересующих нас кубиков, которых всего , не будет учтен дважды. Искомая вероятность

.

Внимание! Вероятности событий можно обозначать также маленькими буквами  (возможно, с определенными индексами), если из предыдущего ясно, о каком событии (или событиях) идет речь.

Упражнение 5. В конверте находятся 5 одинаковых карточек с написанными на них цифрами от единицы до пятерки. Карточки вынимаются наугад и выкладываются на столе слева направо. Какова вероятность того, что цифры на карточках будут читаться в возрастающем порядке?

Ответ. .

А теперь в качестве примера рассмотрим одну не очень сложную задачу, с работы над решением которой знаменитого французского математика и естествоиспытателя Блеза Паскаля (1623-1662), собственно, и берет начало современная теория вероятностей.

Пример 6 (задача де Мере). Одновременно бросают три игральные кости. Что вероятнее: получить в сумме появившихся чисел 11 или 12?

Решение.  Один из придворных французского двора – шевалье де Мере (1607-1648), одновременно интересуясь философией и будучи заядлым игроком в различные азартные игры, считал шансы на получение обеих сумм одинаковыми.

Приведем рассуждения де Мере на сей счет, изложенные его хорошему знакомому Паскалю (эти рассуждения, кстати сказать, не лишены здравого смысла). В пользу своего вывода шевалье заявлял примерно следующее: для получения суммы 11 из трех натуральных слагаемых есть шесть способов (1+5+5, 1+4+6, 2+4+5, 2+3+6, 3+3+5, 3+4+4). Поскольку 12 как сумму трех натуральных слагаемых можно получить также шестью способами (1+6+5, 2+5+5, 2+4+6, 3+4+5, 3+3+6, 4+4+4), то вероятности рассматриваемых событий надо считать равными.

Существенная ошибка де Мере состояла в том, что он полагал для каждой из вышеприведенных комбинаций чисел возможность ее реализации лишь одним способом. Нетрудно убедиться, что это не так. В самом деле, если кубики пронумеровать (а еще лучше – раскрасить в разные цвета), то 11 с помощью двух различных слагаемых (например, единицы и двух пятерок) можно получить тремя различными способами (1+5+5, 5+1+5, 5+5+1). Если же все три цифры различны, то 11 как их сумму можно получить шестью разными способами. Это в равной мере касается и числа 12; но дело в том, что для него существует набор слагаемых, образующих эту сумму единственным способом – три четверки. Поэтому рассуждать надо так:

В качестве пространства элементарных событий возьмем множество размещения с повторениями из шести элементов по три. Число элементов пространства . При этом для сумм 11 и 12 правильно подсчитанные количества благоприятных случаев

,

.

Итак, на самом деле  - выпадение суммы 11 вероятнее.

Упражнение 6. Игральную кость подбрасывают 6 раз. Определить вероятность того, что все время будут выпадать четные грани.

Ответ. .

Пример 7. Найти вероятность того, что две последние цифры куба наугад взятого целого числа  - единицы (под «наугад взятым» имеется в виду цифровое число , для каждой цифры которого значания от 1 до 9 равновозможны).

Решение. Представим произвольное  цифровое число  в виде , где  цифры этого числа, взятые справа налево. Тогда , где все не выписанные слагаемые делятся на 10 по крайней мере во второй степени. Из этого видно, что две последние цифры числа  однозначно определяются размещением с повторениями, образованным двумя последними цифрами числа . Количество таких размещений .

Поскольку последняя цифра числа  обязаны быть единицей, то имеется лишь одно благоприятное значение для . Кроме того, единицей должна быть последняя цифра числа , из чего после несложных преобразований вытекает, что единицей должна быть последняя цифра произведения . Последнее возможно лишь при . Таким образом, благоприятное размещение  единственно возможное  , поэтому искомая вероятность .

Упражнение 7. Найти вероятность того, что выбранное наугад натуральное число при: а) возведении в квадрат, б) возведении в четвертую степень, дает результат, оканчивающийся единицей.

Указание. Для начала доказать, что в обоих случаях последняя цифра результата зависит только от последней цифры наугад взятого числа.

Ответ. а)  0,2; б) 0,4.

Пример 8. При игре в «преферанс» из 32-карточной колоды трем игрокам раздают по 10 карт, а две карты кладут в «прикуп». Определить вероятность того, что в «прикупе» два туза.

Решение. В «прикупе» могут находиться любые две карты из 32-х, поэтому в качестве пространства элементарных событий можно взять множество  комбинации без повторений из 32-х карт по две.

Поскольку всего имеется 4 туза, то событие  (в «прикупе» 2 туза) можно описать так: комбинации без повторений из 4-х карт по две.

, .

Итак, искомая вероятность

.

Упражнение 8. Пусть при игре в «преферанс» у играющего участника есть 5 старших карт одной масти, например, пик, за исключением дамы. При заказе игры приходится учитывать, что у одного из вистующих может быть третья дама пик. Какова вероятность этого события?

Указание. Между играющим и вистующим распределено по 10 из 20 карт, поэтому в качестве пространства элементарных событий можно взять множество  комбинации без повторений из 20 карт по 10.

Ответ. .

Пример 9.  гостей рассаживаются наугад за круглым столом. Найти вероятность того, что:

а) два фиксированных лица,  и , окажутся рядом, причем  слева от ;

б) три фиксированных лица,  и , окажутся рядом, причем  справа от , а  - слева.

Решение. а) поскольку стол круглый, то положение какого-то лица можно зафиксировать, считая точкой отсчета, поэтому в качестве пространства элементарных событий можно взять множество  перестановки без повторений из го лица. Событие  ( и  окажутся рядом, причем  слева от ), в этом случае можно описать так:  перестановки без повторений из х лиц (почему?). Искомая вероятность

.

Второй способ. Можно рассуждать и так: для двух лиц  и  имеется  способов размещения за круглым столом, а тех способов размещения, при которых  находится слева от , имеется . Поэтому   

.

б) событие  ( и  окажутся рядом, причем  справа от , а  - слева) можно описать так:  перестановки без повторений из х лиц (почему?). Искомая вероятность

.

Второй способ. Для трех лиц имеется  способа размещения за круглым столом, а нужных способов размещения (когда  справа от , а  - слева), имеется . Поэтому   

.

Упражнение 9. Ответить на оба вопроса предыдущего примера в том случае, если  лиц садятся рядом по одну сторону прямоугольного стола.

Указание. В этом случае точки отсчета выбирать не надо, поскольку крайние (неравноправные с остальными)  позиции есть; в качестве пространства элементарных событий можно взять множество  перестановки без повторений из  лиц.

Ответ. а)  б) .

Пример 10. В партии из  изделий  бракованных. Найти вероятность того, что среди  изделий, взятых наугад для проверки, ровно  окажутся бракованными.

Решение. Элементы пространства элементарных событий  комбинации безповторений из  деталей по , . Благоприятными являются случаи, когда из общего числа  бракованных изделий взяли ровно (это можно сделать  способами), а остальные  изделий исправные, то есть выбраны из общего количества  (количество способов равно ). По правилу произведения (смотрите тему «Элементы комбинаторики»), количество благоприятных случаев для описанного в условии события : . Искомая вероятность

.

Внимание! Перед тем, как предложить вниманию читателя очередное упражнение, мы сформулируем очень простой (основывающийся на пятом свойстве классической вероятности), но весьма важный для дальнейшего принцип.

Принцип противоположного события

Если событие , противоположное данному, состоит из значительно меньшего числа элементарных событий, чем , или же его суть либо алгоритм вычисления вероятности формулируются гораздо проще, то сначала находят вероятность  противоположного события, а затем

.

Имея на вооружении этот действительно простой, но эффективный принцип, можем обратиться к следующему упражнению.

Упражнение 10.  Из полного набора косточек домино наугад взяли пять косточек. Определить вероятность того, что среди них найдется хотя бы одна с шестеркой.

Указание. Считая косточку без шестерки «бракованной» и используя результат примера 10, сначала найти вероятность противоположного события – все пять косточек окажутся «бракованными».

Ответ. .

Пример 11. В кабину лифта этажного дома на первом этаже вошли  пассажиров. Предположим, что каждый из них с одинаковой вероятностью может выйти на любом этаже, начиная со второго. Найти вероятность того, что все они выйдут на одном этаже.

Решение.  Пространство элементарных событий  размещения с  повторениями из го элемента (номера этажа) по ; .

Событие  размещения из го элемента (номера этажа) по одному,  (в этой ситуации всех пассажиров, выходящих на одном этаже, надо рассматривать вместе как один объект). Отсюда

.

Упражнение 11. В условиях предыдущего примера найти вероятность того, что все пассажиры разойдутся по разным этажам.

Указание. Рассмотреть событие событий  размещения без  повторений из го элемента (номера этажа) по ;  при этом следует помнить, что должно быть  (почему?).

Ответ. .

Пример 12. Десять одинаковых шариков случайным образом раскладывают по четырем ящикам. Какова вероятность того, что в первом ящике окажется 1 шарик, во втором – 2, в третьем – 3, в четвертом – 4?

Решение. Каждый из 10 шариков может находиться в любом из четырех ящиков, потому пространством элементарных событий может служить множество  комбинации с  повторениями из четырех  элементов (номеров ящиков) по 10:

.

Интересующее нас событие  состоит в том, что первом ящике окажется 1 шарик, во втором – 2, в третьем – 3, в четвертом – 4. Поскольку шарики по условию не различаются, то . Поэтому

.

Упражнение 12. В условиях примера 12 вычислить вероятность того, что в каком-то фиксированном ящике окажется 5 шариков.

Ответ. .

Внимание! Последние пример и упражнение представляют модель одного из частных случаев задачи о распределении  частиц по  ячейкам, играющей важную роль в современной статистической физике. При этом под словом «частицы» подразумеваются, к примеру, электроны, протоны и т.д., а под словом «ячейки», как правило, определенные энергетические уровни. В зависимости от того, различаются ли эти частицы по физическим свойствам и подчиняются ли они так называемому принципу запрета Паули (на одном энергетическом уровне не может находиться более одной частицы), приходят к разным физическим статистикам: Максвелла-Больцмана, Бозе-Эйнштейна, Ферми-Дирака.

Пример 13 (статистика Максвелла-Больцмана).  Каждая из  различимых частиц с одинаковой вероятностью попадает в одну из  ячеек. Найти вероятности того, что:

а) в первой, второй,…, й ячейках окажется соответственно  частиц;

б) данная ячейка содержит  частиц.

Решение. Каждая из  частиц может находиться в любой из  ячеек, поэтому в качестве пространства элементарных событий можно взять множество  размещения с  повторениями из  элементов  по ; количество всевозможных исходов испытания

.

а) число благоприятных для события  (в первой, второй,…, й ячейках окажется соответственно  частиц) исходов испытания

.

Искомая вероятность

.

б) число благоприятных для события  (данная ячейка содержит  частиц) исходов испытания можно подсчитать так:  частиц для данной ячейки можно отобрать  способами, а остальные  частиц распределить по остальным  ячейкам  способами. Поэтому по правилу произведения (смотрите тему «Элементы комбинаторики»)

Искомая вероятность

.

Предлагаем читателям, по аналогии с приведенным примером, разобраться со следующим упражнением.

Упражнение 13 (статистика Бозе-Эйнштейна).  Каждая из  неразличимых частиц с одинаковой вероятностью попадает в одну из  ячеек. Найти вероятности того, что:

а) в первой, второй,…, й ячейках окажется соответственно  частиц;

б) данная ячейка содержит  частиц.

Указание. Для начала обосновать следующий выбор пространства элементарных событий:  комбинации с  повторениями из  элементов  по .

Ответ. а) ; б) .

Внимание! Классическим определением вероятности можно пользоваться, если множество всевозможных исходов стохастического эксперимента конечное, и эти исходы равновозможны. В случае, если хотя бы одно из этих требований соблюсти нельзя, классическое определение вероятности неприменимо! В этом случае понятие вероятности следует вводить, как будет показано далее, аксиоматически.

4. Аксиоматическое определение вероятности. Варианты построения системы аксиом для введения понятия вероятности могут быть разными.

Самой распространенной сегодня является система аксиом, предложенная в 1933 году советским математиком Андреем Николаевичем Колмогоровым. Основное понятие этой системы – пространство элементарных событий, под которым подразумевается любое множество  (конечное или бесконечное). Однако, если случайными событиями, как и в случае классической вероятности, считать любые подмножества , то это приводит к определенным трудностям при построении аксиоматической теории.

Для выяснения того, какие подмножества  следует считать случайными событиями, приведем некоторые дополнительные определения.

Определение 11. Система множеств  называется алгеброй, если выполняются следующие условия:

1. ;

2. ;

3. .

Внимание! Непосредственно из этого определения вытекает, что всегда (поскольку ) и при любых  множество  (поскольку ).

Определение 12. Система множеств  называется алгеброй (читается: «сигма-алгеброй», от маленькой греческой буквы  «сигма», если выполняются следующие условия:

1. ;

2. ;

3. .

Внимание! Из определения 12 следует, что всегда , а также то, что для любого набора множеств  их пересечение .

Проще говоря, совокупность  подмножеств пространства  образует алгебру, если она замкнута относительно конечного числа операций объединения, пересечения и дополнения множеств, и алгебру, если она замкнута относительно счетного количества таких операций.

Внимание! Сравнивая определения 11 и 12, нетрудно убедиться в том, что каждая алгебра является алгеброй. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно!

Какое пространство  мы бы ни взяли, определение 11 дает возможность убедиться, что система множеств  алгебра (выполнение всех трех условий определения очевидно). Такую алгебру называют тривиальной. Точно так же, исходя из определения 12, можно показать, что совокупность всех подмножеств  (булиан) произвольного множества  образует алгебру.

Упорядоченную пару  называют измеримым пространством.

Определение 13. Случайными событиями называют подмножества пространства  , образующие в совокупности алгебру. При этом  называют достоверным событием,  невозможным событием, а событие  - противоположным к событию .

Определение 14. Вероятностью называется числовая функция , определенная на алгебре  измеримого пространства  и удовлетворяющая следующим аксиомам:

а1.  для произвольного ;

а2.  (аксиома нормирования);

а3. если для произвольных натуральных  пересечение множеств, то (аксиома счетной аддитивности).

Измеримое пространство вместе с определенной на нем вероятностью называют вероятностным пространством и обозначают .

Внимание! В случае классического определения вероятности превые две аксиомы были рассмотрены как теоремы (свойства), требующие доказательства. Аналог третьей аксиомы существовал лишь для конечного числа событий.

Пример 14. Показать, что из аксиоматического определения вероятности можно получить классическое как частный случай.

Доказательство. Пусть  конечное множество (дискретное пространство элементарных событий). Назовем случайным событием произвольное подмножество  и зададим на  какую-нибудь числовую функцию , такую, что  при всех  от единицы до , причем . Далее, для произвольного события  положим

.

Очевидно, что в этом случае все три аксиомы Колмогорова выполняются. Теперь допустим, что все элементарные события равновозможны. Тогда из условия  вытекает

,

и окончательно будем иметь

- равенство, которое определяет классическую вероятность.

Внимание! Пример 14 показывает, что система аксиом Колмогорова непротиворечива, поскольку можно указать по крайней мере одну из ее реализаций (моделей) – классическую вероятность. Кроме того, эта система аксиом некатегорическая: даже на фиксированном измеримом пространстве  можно неограниченным количеством способов выбирать функцию вероятности  Скажем, для игральной кости можно положить . Но можно также взять

,      ,

и все аксиомы будут выполняться.

Легко проверить, что для функции вероятности, заданной аксиоматикой Колмогорова, выполняются следующие свойства:

Основные свойства вероятности по Колмогорову:

1) Вероятность события, противоположного данному: ;

2) Вероятность невозможного события ;

3) Если , то  (монотонность вероятности);

4) Для любого события  его вероятность ;

5)  (теорема сложения для двух произвольных событий);

6) ;

7) Если для бесконечной цепочки событий , и при этом , то  (теорема непрерывности вероятности).

Внимание! Доказывая любое из приведенных свойств, можно опираться исключительно на три аксиомы Колмогорова и свойства, доказанные раньше!

Упражнение 14. Проводя рассуждения так, как было только что указано, доказать первые четыре свойства аксиоматики Колмогорова.

Пример 15. Доказать, что для двух произвольных событий  и :

,  .

Решение. Легко проверить, что , причем слагаемые – несовместимые события. Тогда, согласно аксиоме а3, , откуда . Аналогично доказывается второе соотношение.

Упражнение 15. Эксперимент – подбрасывание «неправильного» игрального кубика, для которого

,      .

Найти вероятность события  выпавшая цифра больше тройки.

Ответ. .

5. Геометрические вероятности. Сразу начнем с определения одного частного случая алгебры.

Определение 15. алгеброй  борелевских множеств эвклидового пространства  называется алгебра, порожденная классом параллелепипедов вида , где , .

Пусть пространство  некоторое множество точек эвклидового пространства , алгеброй  - множество всех борелевских подмножеств , и вероятность любого события  пропорциональна мере Лебега этого события, то есть,  (- обозначение меры Лебега множества ). Если положить , то учитывая,  что должно быть , получим формулу

.       (2)

Очевидно, что заданная таким образом вероятность ( ее называют геометрической вероятностью) удовлетворяет аксиомам Колмогорова. Задачам на геометрическую вероятность можно дать следующее толкование: в область , содержащую подмножество , наугад бросают точку. Какова вероятность того, что точка попадет в ? Для вычисления искомой вероятности и используют формулу (2).

Внимание! На практике под мерой, как правило, подразумевают обыкновенную длину кривой в одномерном пространстве , площадь фигуры в двумерном пространстве , или же объем тела в трехмерном пространстве . Алгоритм же решения задач на геометрическую вероятность точно такой, как и в случае классического определения вероятности: надо, описав множества  и , найти их меры и воспользоваться формулой (2).

Пример 16. На отрезок  наугад бросают пару точек. Найти вероятность того, что расстояние между ними меньше, чем .

Решение. Будем считать точки различимыми (например, закрашенными в различные цвета), и пусть  соответственно координаты первой и второй точек на отрезке.

Упорядоченной паре точек на отрезке  с координатами  и  соответствует единственная точка с координатами  в единичном квадрате , и наоборот. Поэтому бросание наугад пары точек на отрезок  равносильно бросанию наугад одной точки в квадрат . При этом парам тех точек на отрезке , расстояние между которыми меньше одной второй, (парам, для которых ) соответствует множество точек  квадрата , координаты которых удовлетворяют условию , и наоборот. Обозначим множество таких точек через . Тогда:

,

(смотрите рисунок на следующей странице).

Математической моделью случайного эксперимента, сростоящего в бросании точки наугад в квадрат , выступает вероятностное пространство , где , алгебра борелевых подмножеств этого квадрата, геометрическая вероятность на . Поэтому .

                 y

                 1

               

                 

                 0

                                                1         x

 К примеру 16.

Предлагаем читателям, по аналогии с предыдущим примером, поработать над следующим упражнением.

Упражнение 16. На отрезок  наугад бросают пару точек  и . Найти вероятность того, что длина отрезка ВС не превышает длины отрезка ОВ.

Ответ.  (но заштрихованное множество в единичном квадрате в этом случае другое!).

Пример 17.  Стержень единичной длины наугад разламывают на три части. Вычислить вероятность того, что из них можно построить треугольник.

Решение. Удобно считать стержень единичной длины отрезком  на координатной прямой. Разделим этот отрезок случайным образом на три части так: бросим наугад на него две точки и разломаем отрезок в этих точках (точки будем считать различимыми, их координаты обозначим через  и ). При этом получатся три отрезка: крайний левый (длиной ) , средний (длиной ) и крайний правый  (длиной ). Из этих отрезков можно составить треугольник, если выполняется неравенство треугольника, то есть если длина каждого из них меньше суммы длин двух остальных:

Бросание двух точек на отрезок  равносильно бросанию одной точки в единичный квадрат  (смотрите пример 16). При этом парам точек на отрезке , координаты которых удовлетворяют неравенствам только что выписанной системы, соответствуют точки  квадрата , координаты которых удовлетворяют тем же неравенствам. Обозначим это множество точек единичного квадрата буквой . Его удобно представить в виде:

(смотрите рисунок к примеру, на котором множество заштриховано).

                                 y

                        1

                    

                       0                                        1     x

                                               К примеру 17.

Итак, вычисление вероятности построения треугольника из частей отрезка сводится к вычислению вероятности того, что брошенная в квадрат  точка попадет в заштрихованную фигуру . И, поскольку точку брочают наугад, искомая вероятность вычисляется как геометрическая вероятность:

.

Упражнение 17. На отрезок  наугад бросают пару точек с координатами  и . Найти вероятность того, что .

Ответ. .

Пример 18. На горизонтальной плоскости вдоль прямой  через интервал  расположены оси одинаковых вертикальных цилиндров с радиусами оснований . Под углом  к прямой бросается шар радиуса . Найти вероятность столкновения шара с цилиндром, если пересечение траектории движения центра шара с прямой  равновозможно в любой точке.

Решение. Пусть расстояние центра шара от ближайшей прямой,

 

                                                                R  

                                                                                 x    

                                                                                      q

                                                                                            

                                                                               

                                    r                                                                  r

 

К примеру 18.

пересекающей ось цилиндра и проходящей параллельно к направлению движения центра шара (смотрите рисунок).

Возможные значения  определяются из двойного неравенства

.

Столкновение шара с цилиндром произойдет в том случае, когда

.

Искомая вероятность равна отношению длин отрезков, на которых находятся благоприятные значения , и длин отрезков, на которых находятся все возможные значения. Поэтому получаем:

Упражнение 18. Прямоугольная решетка состоит из цилиндрических прутьев радиуса . Расстояния между осями прутьев по горизонталь и вертикали равны соответственно  и . Найти вероятность того, что шарик диаметра  пролетит сквозь решетку при одном броске без прицеливания, если траектория полета шарика перпендикулярна к плоскости решетки.

Ответ. , если .

Пример 19.  На неограниченную шахматную доску со стороной клетки  наугад бросают монету радиуса . Найти вероятность того, что монета пересечет сторону любого квадрата.

Решение. Вследствие симметрии достаточно ограничиться рассмотрением какой-нибудь конкретной клетки шахматной доски. Выберем прямоугольную декартову систему координат с началом координат в центре квадрата (смотрите рисунок):

К примеру 19.

Координаты центра монеты обозначим через . Тогда в качестве пространства элементарных событий можно взять множество

.

Событие , противоположное к искомому (монета не пересечет сторону клетки) , можно описать так:

.

Искомая вероятность

.

Упражнение 19. На паркетный пол бросают монету радиуса . Паркет имеет форму прямоугольников со сторонами  и , причем . Найти вероятность того, что монета пересечет какую-то сторону хотя бы одной прямоугольной доски.

Указание. В качестве пространства элементарных событий достаточно выбрать ту доску паркета, в которую попадет центр монеты.

Ответ. .

Пример 20 («нестандартная монета»). Как правило, при бросании монеты считают, что вероятность ее падения «на ребро» равна нулю. Это объясняется тем, что толщина монеты мала по сравнению с ее диаметром. Но вполне можно сформулировать и такую задачу: какой должна быть толщина монеты относительно ее диаметра, чтобы вероятности выпадения «орла», «решки» и «на ребро» были одинаковыми ( равны )?

Решение. Представим себе монету как цилиндр, вписанный в сферу, центр которой совпадает с центром тяжести монеты. Пусть  радиус сферы, диаметр монеты, толщина монеты. На поверхности сферы наугад выбирается точка. Если радиус, проведенный из центра сферы в эту точку, пересечет боковую поверхность цилиндра, то будем считать, что монета упала «на ребро» (смотрите рисунок).

К примеру 20.

Итак, в качестве  пространства элементарных событий можно взять множество точки сферы радиуса . Событие  монета упала «на ребро» - можно описать следующим образом: точки сферичного пояса толщиной . Согласно формуле (2), вероятность события :

, откуда .

Найдем теперь связь между толщиной монеты и ее диаметром. Из прямоугольного треугольника имеем:

откуда .

Окончательно толщина монеты .

Упражнение 20. В условиях предыдущего примера найти, какой должна быть толщина нестандартной монеты относительно ее диаметра, для того, чтобы вероятность падения «на ребро» составляла ?

Ответ. .

Пример 21 (задача Бюффона). На плоскости построено бесконечное число параллельных прямых, расстояние между каждыми двумя соседними из которых составляет . На плоскость наугад бросают иглу длиной , причем . Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь из прямых.

Решение. Обозначим через  расстояние от середины иглы до ближайшей прямой, через радианную меру угла между иглой и прямой (этот угол будем откладывать от иглы к прямой только против часовой стрелки; смотрите рисунок).

                                         

                                                                   x

                        x

                                                                   a

                                                                                      

        2a                                                            

                                                                    0    

                                                                                                            

                                            К задаче Бюффона.

Упорядоченная пара чисел , с одной стороны, вполне определяет расположение иглы относительно параллельных прямых, а с другой – задает на плоскости  точку с координатами , принадлежащими прямоугольнику  (смотрите правый график рисунка к задаче). И наоборот, каждая точка этого прямоугольника на плоскости   однозначно определяет упорядоченную пару чисел , а вместе с ней – расположение иглы относительно параллельных прямых на плоскости.

Поэтому бросание иглы на плоскость, разделенную параллельными прямыми на бесконечное (счетное) количество  параллельных полос, а также  фиксация ее положения относительно параллельных прямых в совокупности равносильны бросанию наугад точки в прямоугольник  . При этом игла пересекается с прямой тогда и только тогда, когда выполняется неравенство , или, что то же самое, когда брошенная в прямоугольник  точка попадает в фигуру , ограниченную кривой  и осью . И поскольку точку бросают наугад, то вероятность попадания точки в множество  (вероятность пересечения иглой прямой) вычисляется как геометрическая вероятность: отношение площади криволинейной трапеции к площади прямоугольника :

.

Внимание! Полученный вероятностный результат можно использовать для экспериментального определения числа ! В самом деле, представим, что иглу бросили на плоскость  раз, при этом игла  раз пересекла какую-либо прямую. Если построенная модель адекватно описывает эксперимент, то при достаточно большом числе  осуществленных бросаний частота  пересечений должна быть близкой к вероятности , то есть, должно выполняться соотношение , откуда получаем

(подумайте сами, как корректно организовать реальный эксперимент, позволявший бы воспользоваться полученной формулой на практике).

Упражнение 21 (обобщенная задача Бюффона).  На плоскости построено бесконечное число параллельных прямых, расстояние между каждыми двумя соседними из которых составляет . На плоскость наугад бросают иглу длиной , причем . Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь из прямых.

Указание.  На сей раз, в отличие от предыдущего примера, синусоида  пересечет верхнюю сторону прямоугольника  в двух точках; поэтому надо учесть, что НЕ ВСЕ точки под синусоидой соответствуют благоприятным исходам опыта.

Ответ. .

Заканчивая этот пункт, следует сказать, что вдумчивый читатель должен понять: мы привели сравнительно небольшое число примеров задач на геометрическую вероятность; различных ситуаций, приводящих к необходимости ее вычисления, очень много. Но во всех таких случаях следует начинать с удачного выбора пространства элементарных событий , который, в свою очередь, обеспечивается удачным выбором размерности  пространства , частью которого  является. Если такой выбор сделан правильно – успешное решение задачи наполовину обеспечено. А если еще и верно описано множество тех точек , которые соответствующих благоприятным исходам, остается одно – не ошибиться в элементарной геометрии!

6. Условная вероятность и ее свойства. При одновременном рассмотрении двух событий  и часто возникает вопрос: насколько эти события связаны между собой? Или, иными словами: в какой степени осуществление одного из событий влияет на осуществление другого?

Простейшим примером связи между двумя событиями может быть причинно-следственная связь, когда осуществление одного события ведет к обязательному осуществлению или неосуществлению другого. К примеру, если событие  означает, что наугад взятая из партии деталь имеет дефект, а событие  случайно взятая деталь доброкачественная, то понятно, что осуществление  ведет к обязательному осуществлению . Наоборот, осуществление   исключает осуществление . Однако, помимо подобных, вне всяких сомнений, крайних случаев, существует довольно много промежуточных, когда непосредственная причинно-следственная связь между событиями отсутствует, но зависимость между ними все-таки есть! Сказанное поясним на примере.

Пример 22. Пусть подбрасывают игральную кость, и событие  означает выпадение четного числа, а событие  выпадение числа, большего тройки. 

Из самого словесного описания этих событий уже понятно, что было бы неправильно считать какое-то из них следствием другого. Однако между этими событиями имеется некоторая зависимость. В самом деле, из трех простейших (элементарных) случаев, к которым сводится событие , для события  будут благоприятными два. Поэтому, если предполагать, что при бросании кубика состоялось событие , то вероятность события  составит . Если же о том, состоялось событие  или нет, не имеется никакой информации, то вероятность события  составит . Поскольку , мы должны признать, что осуществление события  увеличивает шансы на осуществление события , то есть между  и  существует определенная зависимость.

Упражнение 22. Подберите связанные с бросанием кости события  и , такие, чтобы осуществление события  уменьшало шансы на осуществление события .

Для характеристики зависимости одних событий от других и вводится понятие условной вероятности.

Если вероятность события  вычисляется при условии, что событие  уже состоялось, то такая вероятность называется условной вероятностью и обозначается символом  (читается «вероятность  при условии »). Вероятность  называется безусловной. Чтобы разрешить вопрос о вычислении условной вероятности, рассмотрим сначала случай классически определенной вероятности.

Пусть  пространство элементарных событий,  и  некоторые случайные события над этим пространством. При нахождении  возможными элементарными следствиями испытания следует считать те, при которых состоялось событие , а благоприятными – те, при которых состоялись оба события, то есть состоялось событие . Итак, согласно классическому определению вероятности,

, .      (3)

Разделив числитель и знаменатель правой части равенства (3) на , будем иметь:

,  .         (4)

Внимание! Если , то условная вероятность  не может быть определена по формуле (4); как правило, в этом случае полагают  .

Если же к определению вероятности применен аксиоматический подход, то формула (4) лежит в основе определения условной вероятности. Аналогично получается и формула

,  .         (5)

Нетрудно проверить, что число, называемое условной вероятностью события, в этом случае удовлетворяет всем трем аксиомам Колмогорова, то есть действительно является вероятностью.

Свойства условной вероятности.

1. .

2. .

3. Если , то                                                         

    (теорема сложения для несовместимых событий).

4. Если , то   (монотонность).

5.       

(теорема сложения для произвольных  событий).

6. .

7. ,  .

Пример 23.  Бросают три игральные кости. Какова вероятность того, что по крайней мере на одной из них выпадет шестерка, если известно, что на всех костях выпали различные грани?

Решение. В качестве пространства элементарных событий  возьмем множество всевозможных упорядоченных троек, составленных из первых шести натуральных чисел. Пусть событие  по крайней мере на одной кости выпадет шестерка,  на всех костях выпали различные грани. Нужно найти .

Согласно определению условной вероятности, . Далее,

Упражнение 23. Попробуйте получить ответ к предыдущему примеру, используя принцип противоположного события и шестое свойство условной

Пример 24 (задача Льюиса Кэрролла), В урне находится один шар, о котором известно, что он либо белый, либо черный (и то, и другое – с вероятностью ). В урну положили белый шар, а затем после тщательного перемешивания взяли наугад один из шаров, оказавшийся белым. Какова вероятность того, что после этого из урны возьмут белый шар?

Первое решение. Испытание состоит в последовательном изъятии из урны двух шаров. Обозначив белый и черный шары соответственно буквами  и , имеем множество всевозможных исходов испытания: .

Пусть событие  белый шар получен при  м изъятии, . Требуется вычислить вероятность .  События  как подмножества  описываются следующим образом: ,  , . Поскольку в  входят три элементарных события, в два, в одно, то по формуле (4) имеем:

.

Второе решение. Обозначим звездочкой белый шар, который добавляется в урну. Тогда множеством всевозможных исходов данного испытания является . События  как подмножества  можно описать так: ,  , . Поэтому

.

Внимание! Мы оказались в неестественной ситуации: два решения – два разных ответа. Как-то это неаккуратненько!

Упражнение 24. Выясните, какое решение неправильное и где в таком случае допущена ошибка.

Указание. Неправильное первое решение, поскольку модель не является классической, а вероятности событий вычисляются как классические. Убедитесь в том, что на самом деле, проводя рассуждения по схеме решения 1, вероятности  элементарным событиям следует приписать так: , .

7. Теорема умножения вероятностей. Независимость событий. Из формул (4), (5), по которым вычисляется условная вероятность, непосредственно вытекает теорема умножения вероятностей (для двух событий).

Теорема 1. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, при условии, что состоялось первое, то есть

.     (6)

С помощью метода математической индукции эта теорема без особого труда распространяется на произвольное конечное число событий-сомножителей.

Теорема 2. Для произвольных событий  выполняется равенство

.     (7)

Внимание! В предыдущей теореме ничего не говорится о порядке нумерации событий, фигурирующих в формуле (7)! Это открывает возможность упорядочивания событий произведения таким образом, чтобы все вероятности правой части формулы (7) отыскивались максимально удобно. В частности, во многих случаях события, описанные в эксперименте, разделены во времени. Тогда в качестве события  стоит взять первое состоявшееся событие, в качестве второе, …, в качестве  последнее из состоявшихся событий. Как это выглядит на практике, покажем на простом примере.

Пример 25. Из колоды в 36 карт наугад вынимают 4 карты. Найти вероятность того, что эти карты – тузы.

Решение. Пусть  интересующее нас событие,  при том шаге испытания (вынимании той карты) получен туз (). Очевидно, что . По теореме 2,

.

Посмотрим теперь, чему равны вероятности в правой части последнего равенства.

До выбора первой карты в колоде 36 карт, из них тузов – 4. Согласно определению классической вероятности (оно применимо, ибо шансы для любой карты быть вытащенной равны),

.

Далее, если первая карта оказалась тузом (это значит, что событие  состоялось), то до выбора первой карты в колоде уже 35 карт, из них тузов – только 3, и согласно определению классической вероятности (оно опять применимо),

.

Точно так же находим , , и окончательно имеем:

.

Упражнение 25. Партия, содержащая 100 деталей, проходит выборочный контроль. Условием непригодности партии в целом является наличие хотя бы одной бракованной детали среди первых пяти проверенных. Найти вероятность того, что партия не пройдет контроль, если она содержит 5% неисправных деталей.

Указание. Используя формулу (7), и принцип противоположного события, сначала найти вероятность события «партия пройдет контроль».

Ответ. .

Определение 16. Говорят, что событие  не зависит от события , если условная (при условии  и безусловная вероятности события  равны, то есть

.

Внимание! Читатель без особого труда увидит, что в только что данном определении события  и  неравноправны. Однако в теории вероятностей доказывается, что если  не зависит от , то:

1)  не зависит от ;

2)  не зависит от ;

3)  не зависит от ;

4)  не зависит от .

Отсюда вывод: если одно из событий не зависит от другого, то для этих событий, равно как и для противоположных к ним, свойство независимости взаимно. Поэтому можно говорить проще: «события  и  независимы».

Для двух независимых событий теорема 1 приобретает наиболее простой вид. А именно:

Теорема 3. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей, то есть

.      (8)

Внимание! На практике очень часто независимость двух событий устанавливают, исходя из интуитивных соображений, касающихся условий конкретного стохастического эксперимента: отсутствия причинно-следственной связи между событиями, симметрии и т.п.

Пример 26. По мишени произведены два выстрела. Вероятности попаданий при каждом из них равны соответственно 0,8 и 0,9. Определить вероятность того, что в мишени окажется хотя бы одно попадание.

Решение. Пусть событие в мишени окажется хотя бы одно попадание, попадание в мишень при том выстреле (). Противоположное событие  можно представить в виде: . В силу независимости резельтатов выстрелов, по теореме 3 вероятность события

.

Поэтому

.

Упражнение 26. Вероятность того, что событие  состоится хотя бы один раз при двух независимых опытах, равна 0,75. Найти вероятность того, что событие  состоится в результате одного опыта.

Ответ.   0,5.

Выше было дано определение независимости для двух событий. Если же событий, об отношениях независимости между которыми приходится рассуждать, больше двух, то тут ситуация, естественно, посложнее, что видно хотя бы из следующего определения.

Определение 17. События  называются независимыми в совокупности, если для произвольных  имеет место равенство

,

и попарно независимыми, если для произвольных

.

Из самого определения вытекает, что если события из некоторого набора независимы в совокупности, то они также попарно независимы. Это естественно  - понятие независимости в совокупности в случае, если событий больше двух, гораздо сложнее, чем понятие попарной независимости. И поэтому, кстати, хорошо было бы, если бы можно было утверждать обратное: из попарной независимости набора событий вытекает их независимость в совокупности. К сожалению, это не так, что прекрасно иллюстрируется следующим несложным и красивым примером.

Пример 27 (пример С.Н.Бернштейна). Бросается правильный тетраэдр (правильная треугольная пирамида, все грани которой – одинаковые равносторонние треугольники). Три из граней тетраэдра закрашены соответственно красным, желтым и зеленым цветами, а четвертая – всеми этими цветами понемногу. События  («красный»), («желтый»), («зеленый») означают, что в раскраске грани, на которую упадет тетраэдр при бросании, имеется соответствующий цвет. Проверить попарную независимость событий , и показать, что они, однако, не являются независимыми в совокупности.

Решение. Поскольку тетраэдр правильный, то естественно предполагать в случае однородности его материала выпадения всех граней равновозможными событиями с вероятностями , используя по ходу рассуждений классическое определение вероятности. Каждый цвет присутствует в раскраске ровно двух граней, поэтому

.

 Два и более цветов наличествуют в раскраске лишь одной грани (закрашенной всеми цветами), поэтому  

.

Отсюда легко получить систему равенств

из которой по определению 17 вытекает, что события  попарно независимы. Но , и указанные события не являются независимыми в совокупности.

Упражнение 27.  События  и  несовместимы,  . Зависимы ли эти события?

Указание. Использовать формулу (8).

Ответ. Да, зависимы.

Как уже было сказано, понятие независимости в совокупности набора событий гораздо сложнее понятия попарной независимости. Однако оно удобно тем, что в случае событий, независимых в совокупности, теорема умножения вероятностей приобретает наиболее простой вид. А именно,

Теорема 4. Для независимых в совокупности событий вероятность их произведения равна произведению их вероятностей, то есть

.     (9)

Пример 28. Производится  выстрелов по мишени. Вероятность попадания при каждом из них равна . Найти вероятность того, что в мишени окажется хотя бы одно попадание.

Решение. События:  в мишени хотя бы одно попадание, попадание в мишень при том выстреле,  (). Событие  можно представить в виде . Согласно закону де Моргана, противоположное событие . Очевидно, что события  независимы в совокупности. Согласно теореме 2.4,

.

Итак,

.      (10)

Внимание! Результат предыдущего примера выделен на зря – он важен для дальнейшего, когда речь пойдет о последовательных независимых испытаниях (схеме Бернулли).

Упражнение 28. Каждое из четырех попарно несовместимых событий может состояться с вероятностями соответственно 0,012, 0,010, 0,006 и 0,002. Найти вероятность того, что в результате испытания состоится хоть одно из этих событий.

Ответ. 0,02969322256.

Пример 29. Бросают две игральные кости. Рассмотрим события:

на первой кости выпало четное число;

на второй кости выпало нечетное число;

сумма чисел на обеих костях нечетная.

Доказать, что события  попарно независимы, но не являются независимыми в совокупности.

Доказательство. Нетрудно проверить, что . Вычисляем:

то есть события   действительно попарно независимы. Но вероятность произведения всех трех событий

поэтому указанные события не являются независимыми в совокупности.

Упражнение 29. В условиях примера 29 привести подробное обоснование того, что .

Пример 30 (задача де Мере). Игральную кость бросают четырежды. Что вероятнее: получить «шестерку» по крайней мере один раз, или не получить ее ни разу?

Решение. При одном бросании кости вероятность выпадения «шестерки» . Пусть события:  при четырех бросаниях кости «шестерка» выпала по крайней мере один раз,  «шестерка» не выпала ни разу. Согласно формуле, полученной в примере 28,

.

Поскольку события  и  взаимно противоположны, то , и выпадение «шестерки» по крайней мере один раз более вероятно.

Упражнение 30. Вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний событие  состоится хотя бы единожды, равна . Найти вероятность появления события  при одном испытании, если в каждом их испытаний эта вероятность одинакова.

Ответ. .

Пример 31 (продолжение примера 28). Сколько нужно произвести выстрелов по мишени для того, чтобы вероятность по крайней мере одного попадания была не ниже наперед заданного числа ?

Решение. Из формулы (10) получаем неравенство , откуда

.       (11)

Внимание! Формула (11), так же, как и 10, часто встречается при рассмотрении схемы последовательных независимых испытаний.

Упражнение 31. Какое наименьшее количество натуральных чисел надо выбрать случайным образом (например, по таблице случайных чисел), чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, быть уверенным в том, что хоть одно из них четное?

Указание. Очевидно, следует полагать, что для случайно выбранного натурального числа вероятность быть четным, так же, как и вероятность быть нечетным, равна .

Ответ. 4.

8. Теорема сложения и умножения вероятностей. Для совместимых событий  и  теорема сложения вероятностей утверждает, что

.

При вычислении вероятности произведения событий мы теперь можем воспользоваться теоремой умножения вероятностей. В частности, если события  и  зависимы, то

,     (12)

или же

.     (13)

Если же события  и  независимы, то формулы (12), (13) приобретают следующий общий вид:

.     (14)

Равенства (12)-(14) представляют математическую запись теоремы сложения и умножения вероятностей для двух событий.

Пример 32. Применим теорему сложения и умножения вероятностей для решения задачи, изложенной в примере 26 предыдущего пункта.

Первое решение. Событие  представим в виде: , где слагаемые являются хоть и совместимыми, но независимыми событиями. Поэтому

Второе решение. Событие  представим в виде: . Очевидно, что слагаемые в правой части последнего равенства являются попарно несовместимыми событиями, поэтому

.

Применив теорему умножения для независимых событий, получим:

.

Окончательно

.

Внимание! «Различные» представления события  на самом деле равносильны. Действительно,

Упражнение 32. Какова вероятность вытащить из колоды в 52 карты фигуру (валета, даму или короля любой масти или карту пиковой масти?

Указание. Применить к событиям вытащенная карта является фигурой и вытащенная карта имеет масть пик формулу (13).

Пример 33. Электрическая схема собрана согласно приведенному ниже рисунку. Вероятности выхода из строя независимо работающих элементов равны: ,  ,  ,  ,  . Найти вероятность того, что схема будет работать.

К примеру 33.

Решение. Через , где , обозначим событие, состоящее в том, что элемент  исправно работает. Тогда событие схема работает (проводит ток) можно представить так:

.

События  независимы, но совместимы, поэтому по теореме сложения, примененной  к трем событиям, получим

Упражнение 33. Известно, что событие  является следствием события .Доказать, что .

Указание. Учитывая, что , применить теорему сложения к событию .

Пример 34. В урне имеется  белых,  черных и  красных шаров, которые вынимаются наугад по одному:

а) без возвращения;

б) с возвращением после каждой выемки.

Найти вероятность того, что в последовательности вынутых шаров белый шар окажется раньше черного.

Решение. Пусть вероятность того, что белый шар вытащат раньше черного. Очевидно, оба события касаются выемки именно первых шаров этих цветов из всех шаров этих цветов, находящихся в урне. Поэтому вероятность  является суммой вероятностей таких несовместимых событий: выемки белого шара сразу, после выемки одного красного, после выемки двух красных, … , после выемки всех красных. Поэтому для случая выемки шаров без возвращения можно записать, что

,

а при возвращении шаров

.

Упражнение 34. В условиях предыдущего примера найти вероятность  того, что черный шар вытащат раньше белого.

Указание. В рассуждениях примера 34 следует поменять местами величины  и .

Пример 35. Адресант отправил  писем своим знакомым, положив в каждый конверт по одному письму и наугад написав на уже заклеенных конвертах адреса получателей. Определить вероятность того, что хотя бы одно письмо дойдет по назначению.

Решение. Пусть событие  состоит в том, что на том конверте написан правильный адрес . Искомая вероятность . События , очевидно, совместимы; при произвольных различных  справедливы равенства:

Используя формулу для вероятности суммы  произвольных событий, получаем, что искомая вероятность

.

Упражнение 35. Упростить выражение для вероятности , найденной в предыдущем примере, и найти ее предел при неограниченном возрастании .

Ответ. ; .

В заключение отметим, что во многих случаях  решение задач на сложение и умножение вероятностей для событий из некоторого набора существенно упрощается, если по каким-то соображениям удается установить либо попарную несовместимость, либо независимость в совокупности всех событий этого набора. При этом надобно помнить два простых, но эффективных правила, вытекающие из изложенного выше:

Вероятность суммы конечного числа попарно несовместимых событий равна сумме их вероятностей.

Вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению их вероятностей.

9. Формула полной вероятности. Пусть известно, что событие  происходит, если происходит хотя бы одно из событий . Эти события будем называть допущениями, или же гипотезами. Говорят, что гипотезы  образуют полную группу событий, если они попарно несовместимы и по крайней мере одно из этих событий обязательно происходит:

 ;    .

Тогда справедлива формула полной вероятности:

.     (15)

Пример 36. Из урны, в которой  белых и  черных шаров, наугад берут один шар и откладывают в сторону, а после этого берут еще один шар. Какова вероятность того, что второй шар белый?

Решение. Пусть событие после откладывания первого шара второй взятый шар оказался белого цвета. Возможны гипотезы:

первый шар белого цвета;

первый шар черного цвета.

По формуле полной вероятности (15), искомая вероятность

Внимание! Интересно отметить, что вероятность того, что первый вынутый из урны шар окажется белым, также равна , то есть откладывание первого шара не меняет вероятности изъятия белого шара. Понятно, что это касается и соответствующих вероятностей для черных шаров.

Упражнение 36.  Из полного набора косточек домино наугад выбирают последовательно две косточки. Найти вероятность того, что вторую косточку можно приложить к первой.

Указание. Первая (как, впрочем, и любая другая) вынимаемая из набора косточка может иметь на своих половинках или одинаковое число точек (так называемый дубль), или же разное. Эти два события и следует принять в качестве гипотез.

Ответ. .

Пример 37. В урну, содержащую  белых и  черных шаров, кладут шар (белый или черный – неизвестно), а после этого вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?

Решение. Пусть событие  после вложения в урну шара из нее изъят белый шар. Возможны две гипотезы:

в урну положили белый шар;

в урну положили черный шар.

Очевидно, что . Согласно формуле (15), искомая вероятность

.

Таким образом, в отличие от примера 36, вложение в урну шара любого цвета (белого или черного) меняет вероятность взятия белого шара (и, понятное дело, черного).

Упражнение 37. Найти необходимое и достаточное условие того, чтобы для испытания, описанного в примере 37, вероятности изъятия из урны черного и белого шаров оказались равными.

Ответ. .

Пример 38. На плоскости проведены параллельные прямые, расстояния между которыми по очереди равны  (смотрите рисунок). На эту плоскость бросают иглу длиной . Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.

                                                                               К примеру 38.

Решение. Событие  игла пересечет какую-нибудь прямую. Возможны гипотезы  середина иглы в полосе шириной , где . Очевидно, вероятности гипотез

,  .

Условные вероятности уже известны из решения задачи Бюффона:

,  .

Таким образом, искомая вероятность

Упражнение 38. Имеется  урн, в каждой из которых по  белых и по  черных шаров. Из первой урны наугад берется один шар и перекладывается во вторую. Затем из второй урны наугад берется один шар, перекладывается в третью, и так до последней урны. Найти вероятность того, что после всех указанных перемещений шар, изъятый из последней урны, окажется белым.

Указание. Вероятность вытащить белый шар из первой урны . Для начала выясните, изменится ли в условиях эксперимента эта вероятность для шара, изымаемого из второй урны.

Ответ. .

Пример 39. Среди  экзаменационных билетов имеется  «счастливых». Студенты во время экзамена вытаскивают билеты по очереди. Для кого вероятность вытащить «счастливый» билет больше – для первого экзаменуемого, или для второго?

Решение. Обозначим символом  событие «й студент вытащил «счастливый» билет», символом  событие «й студент вытащил «несчастливый» билет», и вычислим вероятности , . Согласно классическому определению вероятности,

.

Вероятность  вычислим теперь по формуле полной вероятности, рассматривая в качестве полной группы событий множество :

Итак, вероятность вытащить «счастливый» билет для обоих студентов одинакова.

Упражнение 39.  В сосуд, содержащий  шариков (белых и черных), опущен белый шарик. Какова вероятность вытащить после этого из сосуда белый шарик, если все предположения об исходном количестве белых шариков в сосуже равновозможны?

Ответ. .

Пример 40. Среди  лиц разыгрывается  выигрышей путем случайного вытаскивания из ящика  лотерейных билетов. Одинаковы ли шансы выигрыша для каждого из игроков? Когда выгоднее тащить билет?

Решение. Обозначим через  событие, состоящее в вытаскивании выигрышного билета после   изъятий билетов из ящика. По результатам предыдущих изъятий можно сформулировать  гипотезу. Пусть гипотеза  означает, что из  вытащенных билетов выигрышных оказалось . Вероятности этих гипотез

(),

причем , если .

Поскольку осталось  билетов, из которых  выигрышных, то при  

.

По формуле полной вероятности находим, что

,

где  при .

Последнее равенство можно записать также в виде

.

Имеем:

то есть выполняется равенство

.

Отсюда получаем, что искомая вероятность  при произвольном , у всех игроков одинаковые шансы, и очередность изъятия билетов не имеет значения.

Используя результат этого примера, читателю будет несложно ответить на следующий вопрос.

Упражнение 40. Студент подготовил не все экзаменационные билеты. В каком случае вероятность взять неподготовленный билет будет для него меньшей: когда он будет выбирать билет первым или последним?

10. Формулы Байеса (теорема гипотез). Если выполняются условия, при которых применима формула полной вероятности, то по теореме умножения вероятностей

.

Отсюда

.    (16)

Формулы (16) называются формулами Байеса, или же теоремой гипотез. Этим формулам можно дать следующее толкование. Пусть событие  может произойти при различных предпосылках, касаемо характера которых можно сформулировать  предположений (гипотез) , образующих полную группу событий. Вероятности  этих гипотез известны, их называют еще априорными (буквально «доопытными»). Известны также условные вероятности  события  при различных гипотезах. Осуществляется испытание, в результате которого событие  либо происходит, либо нет. Если событие  все-таки происходит, то мы могли бы переоценить «весомость» исходных гипотез, вычислив вероятности , которые называются  апостериорными (буквально «послеопытными»). Формулы Байеса как раз и дают возможность выражать апостериорные вероятности через априорные вероятности  и условные вероятности .

Пример 41. Детали выпускаются двумя заводами, причем производительность первого завода в  раз больше производительности второго. Доля брака у первого завода , у второго - . Наугад взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь выпущена на втором заводе?

Решение. Пусть событие  наугад взятая деталь оказалась бракованной. Возможны гипотезы:  деталь выпущена на том заводе, где . Требуется найти апостериорную вероятность . Согласно формуле (16),

.

Исходя из условия задачи, нетрудно заметить, что

поэтому искомая вероятность

.

Точно таким же образом можно получить, что .

Упражнение 41. Имеется десять одинаковых урн, в девяти из которых находятся по два черных и два белых шара, а в одной – пять белых и один черный шар. Из выбранной наугад урны извлекли (также наугад) шар, который оказался белым. Найти вероятность того, что шар извлечен из урны, содержащей пять белых шаров.

Указание. Касаемо выбранной наугад урны имеются две гипотезы: это либо урна первого типа (любая из первых девяти), либо второго типа (десятая).

Ответ. .

Пример 42. Три стрелка дали залп по мишени, после чего в ней было обнаружено одно попадание. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок, если вероятности попадания для каждого из них равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9.

Решение. Событие  после залпа в мишени обнаружено одно попадание. Возможные гипотезы:

в мишень попал первый стрелок, а второй и третий – не попали;

в мишень попал второй стрелок, а первый и третий – не попали;

в мишень попал третий стрелок, а первый и второй – не попали.

Обозначим через  событие «й стрелок попал в мишень», где . Тогда упомянутые гипотезы можно записать так:

Вероятности этих гипотез (согласно теореме 4 умножения вероятностей; ее можно применить, потому как события  независимы в совокупности):

Условные вероятности  равны единице, ибо события  - достоверны. Поэтому по формуле Байеса

Внимание! Вдумчивый читатель, конечно же, заметил, что гипотезы  не образуют полную группу событий (уже хотя бы потому, что сумма их вероятностей не равна единице). В самом деле, при залпе трех стрелков по мишени в нее может, помимо перечисленных случаев, не попасть никто, могут попасть два стрелка из трех, а могут попасть и все трое. Таким образом, в предложенном решении, на первый взгляд, допущена ошибка, поскольку при записи формулы Байеса не учтено еще пять других гипотез (попробуйте самостоятельно их описать и вычислить их вероятности). Однако на самом деле  никакой ошибки в наших вычислениях нет! Дело в том, что для любой неучтенной нами гипотезы  условная вероятность  равна нулю (невозможно, к примеру, одно попадание при залпе, если известно, что в мишень попали два стрелка). Поэтому, вне зависимости от значений вероятностей остальных гипотез, соответствующие им слагаемые знаменателя правой части формулы (16) равны нулю и на численный результат не влияют.

Очень похожую задачу с такой же «неполнотой» набора реально используемых гипотез предлагаем читателю в качестве упражнения.

Упражнение 42. Каждый из трех охотников один раз выстрелил в кабана, который, как затем выяснилось при разделке туши, был убит одной пулей. Вычислить вероятность того, что кабан был убит первым, вторым или третьим охотником, если вероятности попадания для них равны соответственно 0,2; 0,4; 0,6.

Пример 43. На вход радиолокационного устройства поступает с вероятностью  сигнал с шумом, и с вероятностью  - только шум. Если поступает сигнал с шумом, то устройство регистрирует наличие сигнала с вероятностью , если же поступает только шум, то устройство регистрирует наличие сигнала с вероятностью . Известно, что устройство зарегистрировало сигнал. Какова вероятность того, что какой-то сигнал действительно поступил на его вход?

Решение. Введем следующие обозначения для рассматриваемых событий: на вход поступил сигнал (с шумом), на вход поступил только шум, устройство зарегистрировало наличие сигнала, устройство зарегистрировало только шум. Нужно вычислить вероятность .

Воспользуемся формулой Байеса, взяв в качестве полной группы событий гипотезы  и . Тогда

.

По условию задачи,

Поэтому искомая вероятность

.

Упражнение 43. Известно, что  всех мужчин и 0,25% всех женщин – дальтоники (лица, в силу особенностей своего нервно-психического устройства путающие или вообще не различающие некоторые цвета). Лицо, медицинская карточка которого была выбрана наугад, оказалось дальтоником. Найти вероятность того, что это мужчина, полагая, что число мужчин и женщин, зарегистрированных в медицинской картотеке, одинаковое.

Ответ. .

Пример 44. Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире». Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем  сигналов «точка» и  сигналов «тире». Известно, что среди сигналов, которые передаются, «точка» и «тире» встречаются в соотношении 5:3. Найти вероятность того, что переданный сигнал принят верно, если принят сигнал «точка».

Решение. Пусть событие принят сигнал «точка». Тогда насчет отправленного при передаче сигнала можно выдвинуть две гипотезы: передан сигнал «точка», передан сигнал «тире». По условию, . Кроме того,  . Отсюда нетрудно установить, что , . Также из самого условия вытекает, что , .

Вероятность события  находим по формуле полной вероятности:

.

Искомая вероятность:

Упражнение 44. В условиях предыдущего примера найти вероятность того, что переданный сигнал принят верно, если принят сигнал «тире».

Ответ. .

Пример 45. Имеются две партии деталей, причем известно, что в одной партии все детали удовлетворяют требованиям стандарта, а в другой партии четверть деталей – бракованные. Деталь, взятая из наугад выбранной партии, оказалась качественной. Найти вероятность того, что вторая деталь, взятая из этой же партии, окажется бракованной, если первую деталь после ее проверки вернули в партию.

Решение. Возможны гипотезы: выбрана партия, содержащая бракованные детали, выбрана партия качественных деталей. Событие  первая взятая деталь качественная. По условию задачи, , ,  Поэтому, согласно формуле полной вероятности,

.

После успешного испытания первой детали вероятность того, что партия содержит бракованные изделия, равна

Отсюда вероятность того, что партия содержит только качественные изделия,  составляет

Пусть событие  состоит в том, что при втором испытании (взятии детали) деталь оказалась бракованной. Вероятность данного события также отыскивается по формуле полной вероятности. Если  и  вероятности гипотез  и  после испытания, то, по предварительным вычислениям, , . Помимо этого, нетрудно установить, что , а . Окончательно (опять-таки по формуле полной вероятности) искомая вероятность

.

Упражнение 45. В пирамиде 10 винтовок, 4 из которых с оптическим прицелом. Вероятность попадания в цель из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95; из винтовки без оптического прицела – 0,8. Стрелок поразил мишень из наугад выбранной винтовки. Что вероятнее: стрелок воспользовался винтовкой с оптическим прицелом или без него?

Указание. Достаточно найти вероятность любого из двух указанных в задаче противоположных событий. Если эта вероятность больше половины, то соответствующее событие более вероятно, если меньше половины – более вероятным  окажется другое событие.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76568. Право собственности производственных и потребительских кооперативов 20.58 KB
  Субъектом права собственности кооператива является каждая кооперативная организация признаваемая юридическим лицом независимо от вида кооператива. К производственным кооперативам относятся кооперативы в сферах производства и оказания услуг и сельскохозяйственные кооперативы. Примером потребительского кооператива является и потребительское общество осуществляющее в интересах пайщиков заготовительную торговую и иную деятельность\'\'. Пределы осуществления права собственности кооператива зависят от его вида и от объема правоспособности.
76569. Виды ответственности за жизнь и здоровье детей 30.37 KB
  Однако виды основания и меры пределы указанной ответственности в Законе РФ Об образовании не определяются: в ст. 32 содержится лишь отсылка в установленном законом порядке что надо понимать как установление ответственности другими законами. Следовательно во всех случаях повреждения здоровья или смерти учащихся ОУ несчастных случаях как учреждение так и его руководитель могут быть привлечены к тем видам ответственности которые предусмотрены действующим законодательством при условии что несчастный случай наступил во время...
76572. Виды договоров 18.7 KB
  Предварительный договор это соглашение сторон о заключении основного договора в будущем на условиях предусмотренных предварительным договором п. Его нужно отличать от срочного договора заключенного под отлагательным сроком когда права и обязанности сторон возникают не сразу при заключении договора а по истечении определенного срока. Предварительный договор представляет собой добровольно принятое сторонами обязательство заключить дополнительно основной договор в нем должны быть согласованы все существенные условия основного договора....
76573. Понятие и содержание договора 28.41 KB
  Понятие договора дано в статье 420 ГК РФ. Для договора необходимо совпадение воли сторон по всем вопросам имеющим для них существенное значение. Правовое регулирование договора как сделки осуществляется также правилами главы 9 ГК РФ о двух и многосторонних сделках.