97282

Змістові лінії курсу алгебри восьмого класу середніх загальноосвітніх навчальних закладів та їх відображення у сучасних шкільних підручниках

Контрольная

Математика и математический анализ

У підручнику спочатку розглядають розв’язання графічним способом рівняння вигляду. Таким чином знаходження ОДЗ раціонального дробу вимагає розв’язання рівняння яке містить стільки невідомих скільки букв у знаменнику. Нажаль лише автори не звертають увагу на те що для знаходження ОДЗ треба розв’язувати відповідні рівняння.

Русский

2015-10-15

100.22 KB

1 чел.

26

«Змістові лінії курсу алгебри восьмого класу середніх загальноосвітніх навчальних закладів та їх відображення у сучасних шкільних підручниках»

 

      Зміст

Вступ

І Поняття про дійсні числа

ІІ Степені та корені

  1.  а) Натуральний степінь

           б) Нульовий степінь

            г) Від’ємний цілий степінь

  1.  а) Квадратний корінь

                 б) Арифметичний квадратний корінь

ІІІ  Математичні вирази та їх тотожні перетворення

  1.  Раціональні вирази
  2.  Квадратичний тричлен
  3.  Вирази, що містять квадратні корені

ІV Рівняння з одним невідомим

  1.  Раціональні рівняння, що зводяться до лінійних рівнянь
  2.  Квадратні рівняння

V  Функції

  1.  Функції  
  2.  Функції  
  3.  Функції   

Висновок

Література

        І. Поняття про дійсне число

У восьмому класі закінчується поняття про дійсне число. Це відбувається під час вивчення другої теми. Мається на увазі узагальнити ті поняття про натуральне ціле раціональне число, які були сформовані під час опанування матеріалів попередніх класів, та ввести поняття про ірраціональне число, і на підставі цього – загальне поняття пр. дійсне число.

У підручнику [1] під час вище сказаного узагальнення, мова йде про раціональні числа, як числа,які можна представити у вигляді відношення двох цілих чисел. Подібне речення є цілком не зрозумілим, тому що певні числа визначаються як числа, які можна подати у спеціальному виді, тобто не зрозуміло через що.

Насправді у підручнику записано не «представити»,а «записати». Якщо було б написано слово «представити», то це було б вірно з математичної точки зору, але б тоді вимагало пояснень саме слово «представити». А слова «можна записати» є цілком не зрозумілими. До того ж,цілком вірно йде мова про відношення двох цілих чисел. А серед цілих є і від’ємні числа, тому потрібно було б навести відповідні приклади, але їх немає.

Далі мова йде про існування цілих чисел, які є відмінними від раціональних. Про яке існування безпосередньо йде мова? Про існування в математиці, чи в природі, чи ще десь…? Про які обчислення значень , чи π взагалі йде мова. Чи відомі діти з алгоритмом вилучення квадратного кореня, чи алгоритмом обчислення числа π? Здається що ні, а тоді про яке обчислення взагалі йде мова? І це не вірно, що всі числа, у математиці, які не є раціональними, називаються ірраціональними.

У підручнику [2], на відміну від підручника [1] поняття раціонального числа дається більш точно та зрозуміліше:

«Число, яке можна подати у вигляді дробу , де m – ціле число, а n – натуральне число, називається раціональним числом».

В цьому визначенні присутнє слово «подати», і конкретизується у множині яких чисел взяті числа m та n.

Існування ірраціонального числа доводиться методом від супротивного, на прикладі . В цьому підручнику приходять, в результаті доведення, до того що  не являється раціональним числом. Але на якій підставі автори підручника роблять висновок, що ті числа, які не являються раціональними, обов’язково є ірраціональними.

На підтвердження їхніх слів немає ніякого доведення, наглядного прикладу або математичного пояснення. Тому, на мою думку, це твердження являється не зовсім достовірним.

В підручнику [3] дається таке ж визначення раціонального числа, як і в підручнику [2].

Визначення ірраціонального числа, на відміну від двох попередніх підручників, дається невеликим поясненням припущення автора, а саме:

«Числа, які не можна записати у вигляді , де m – ціле число, а n – натуральне число, називається ірраціональним».

Тобто в цьому значенні конкретизується поняття ірраціонального числа.

Ц всіх трьох підручниках прикладами ірраціонального числа вважається , π і так далі. Але ж учні не вміють обчислювати подібні приклади. Тому, на мою думку, не зовсім коректно наводити подібні приклади.

Остаточний висновок про дійсне число, у всіх підручниках – однакові:

«Раціональні числа разом з ірраціональними числами утворюють множину дійсних чисел».

Але доведення цього висновку, в даних підручниках, містить в собі багато сумнівів та недоліків.

ІІ. Степінь та корені

2.1 Під степенем скорочено називають математичний вираз у вигляді , де a і α – певні числа, а саме а називається основою степеня, α – показником степеня.

Про ці чи інші степені говорять у залежності, яким є сам показник степеня.

Відповідно  до програми алгебри восьмого класу загальноосвітніх шкіл І – ІІІ ступенів, властивості степеня з натуральним показним розглядаються у курсі алгебри сьомого класу.

У курсі алгебри восьмого класу підкреслюється, що степінь з цілим додатнім показником – це теж саме що й степінь з натуральним показником. Це цілком зрозуміло, бо додатні цілі числа – це натуральні числа.

Отже степінь з натуральним показником – це вираз вигляду де n є N.

Згідно з означенням цей степінь однозначно визначений для будь – якого a є R.

Степінь з нульовим показником розглядається вже у восьмому класі. Навести означення  так само, як наводяться означення  - неможливо. Отже теоретично це можна визначити як завгодно, або не визначати взагалі.

За означенням для довільних а є R, . Можна тільки пояснити, чому таке означення виявляється зручним. Що фактично і роблять автори підручників [1], [2], [3]. Але висловлювання типу, що поняття степеня з нульовим показником випливає з властивостей степеня з натуральним показником у підручнику [2] математично є не вірним.

У підручнику [1] стверджують, що властивості степенів з цілими показниками такі саме як і степенів з натуральними показниками. Але це не зовсім так, є декілька нюансів , які враховані в підручнику [3]:

« Властивості степеня з натуральним показником, справджуються і для степеня з будь – яким цілим показником  (але необхідно зауважити, що основа степеня відмінна від нуля). Отже:

  1.  Для будь – яких  і будь – яких цілих m n:

  1.  Для будь – яких  і будь – якого цілого n:

Як на мене, ці властивості степеня записані правильно з математичної точки зору.

Пояснень, чому у математиці визнали доцільним взагалі не визначати вираз  у кожному з підручників [1] - [3] немає.

Для степеня з відємним цілим показником, реально наводяться лише означення. Це цілком коректно і не потребує якихось пояснень. Достатньо лише відпрацювання на достатній кількості практичних вправ.

Таким чином, у восьмому класі виявляється визначеним поняття степеня з довільним цілим показником, формуються і певному степені обґрунтовуються властивості такого степеня.

2.2   Квадратні корені як продовження даної теми, розглядається у другому розділі. У всіх підручниках наводяться приклади як означення просто квадратного кореня з певного дійсного числа, так і означення арифметичного квадратного кореня.

Доводяться стандартні властивості арифметичних квадратних коренів:

Особливу увагу присвоєно тотожності  , та вправам на винесення множника з – під знака кореня.

У підручниках [1] та[3] спочатку дається означення квадратного корня, даються приклади розв’язування подібних завдань у підручнику [3]. У підручнику [2], спочатку розглядають розв’язання графічним способом рівняння вигляду . При цьому виділяють 3 випадки, кожний з яких розглянуто та проілюстровано за допомогою графіків. Тільки після цього, як висновок та узагальнення дається означення квадратного корня.

ІІІ. Математичні вирази та їх тотожні перетворення

3.1. Раціональні вирази

Математичний вираз – це вираз, що містить числа й букви пов’язані між собою формулами, що мають математичний зміст.

Найпростішими з математичних виразів є раціональні вирази, які в свою чергу поділяються на цілі раціональні вирази і дробово-раціональні вирази.

Цілі раціональні вирази розглядаються у сьомому класі середньої школи. Дробово-раціональним виразом називається математичний вираз, що містить числа й букви у натуральних степенях, які пов’язані між собою знаками дій: плюс, мінус, помножити, поділити, піднесенням до натурального степеня. Порядок виконання цих дій може бути вказаний за допомогою дужок, обов’язково має містити ділення на раціонально математичний вираз, що містить букви.

Згідно діючої програми, подібні вирази складають основну частину першого розділу курсу алгебри восьмого класу.

Проаналізуємо, як поняття раціонального виразу вводиться у основних трьох підручниках алгебри восьмого класу.

У підручнику [1] спочатку вводиться поняття частки від ділення одного математичного виразу на інший. При цьому, наявність такої частки означає що перший вираз ділиться на другий. При цьому природно факт ділення встановлюється за допомогою операції множення. Але у сьомому класі учні навчилися множити лише цілі раціональні вирази. Звідси випливає, що треба розуміти, що мова йде лише про ділення цілих раціональних виразів. Про це і свідчать перші практичні завдання даного підручника, у яких проводиться ділення одночленів та многочленів. При цьому зрозуміло, що далеко не будь який одночлен і многочлен взагалі діляться на запропоновані одночлени та многочлени. Тобто ділення поки що реально розглядається як дія над цілими раціональними виразами. Тут доцільно було б розглядати і ділення з остачею, принаймні на множені многочленів, але у даному підручнику про це не сказано жодного слова.

Далі вводиться поняття алгебраїчного дробу, як виразу виду а/в, де а і в певні многочлени,многочлен в обов’язково містить принаймні одну букву.

Як відомо, ОДЗ математичного виразу або областю допустимих значень змінних , що входять до математичного виразу утворюють ті та тільки ті дійсні числа, при яких вираз має зміст, як математичний вираз. У будь якому цілому алгебраїчному виразі всі букви можуть приймати будь які дійсні значення (тобто, якщо цілий алгебраїчний вираз містить букви а, в і с, то його ОДЗ має вигляд: aєР, вєР і сєР). Тобто ОДЗ цілих раціональних алгебраїчних виразів є цілком очевидним і саме тому «як правило» його не вказують.

Раціональні дроби не мають зміста тоді й тільки тоді, коли знаменник цих дробів дорівнює нулю. Тому найчастіше такі дроби мають суттєве ОДЗ. Для його знаходження треба всі знаменники прирівняти до нуля, знайти значення букв, при яких ці знаменники дійсно дорівнюють нулю і виключити подібні значення букв із множини Р дійсних чисел.

Таким чином, знаходження ОДЗ раціонального дробу вимагає розв’язання рівняння, яке містить стільки невідомих, скільки букв у знаменнику.

Два математичні вирази називаються абсолютно тотожно-рівними, якщо:

  1.  Вони містять однакові букви, або можна так вважати;
  2.  Мають однакові ОДЗ;
  3.  Приймають однакові значення при будь яких однакових значеннях букв, що входять до цих ОДЗ.

Два математичні вирази називаються відносно – тотожно рівними, якщо:

  1.  Вони містять однакові букви, або можна так вважати.
  2.  Вони можливо мають різні ОДЗ
  3.  Приймають однакові значення, при будь яких однакових значеннях букв, що входять до ОДЗ і першого і другого виразу.

Таким чином, якщо два вирази є абсолютно тотожними, то вони є і відносно тотожно рівними, але не обов’язково навпаки.

Будь яких два цілих раціональних вирази або є абсолютно тотожно рівними, або не є тотожно рівними, а ні абсолютно, а ні відносно.

Тотожнім перетворенням математичного виразу називається заміна його тотожно рівним до нього математичним виразом, абсолютно або відносно.

Таким чином бувають абсолютні та відносні тотожні перетворення.

У сьомому класі, де розглядаються лише цілі раціональні вирази, різниці між такими перетвореннями немає. У восьмому класі, з появою раціональних дробів, така різниця виникає. Вона часто виявляється суттєвою при розв’язуванні відповідних рівнянь і нерівностей. Тому при проведенні тотожних перетворень математичних виразів, краще усвідомлювати якою є та чи інша тотожність, абсолютною чи не абсолютною.

Нажаль, у підручнику [1] не наведено подібних означень тотожно рівних виразів. Не відокремлюються і абсолютні і відносні тотожності.

Після алгебраїчних дробів у підручнику[1] розглянуто основні властивості алгебраїчного дробу і скорочення алгебраїчних дробів. Саме при подібних перетвореннях, найчастіше за все відбувається зміна ОДЗ алгебраїчного дробу, тому саме тут доцільно було б говорити про абсолютні і відносні тотожності .

У наступному параграфі мова йде взагалі про раціональні вирази як дробові так і цілі. При цьому дробовими виразами називаються такі раціональні вирази, які містять ділення на вираз із буквами. Подібним ділення може позначатися не тільки рискою дробу, а й двома крапками.

Як правило, дробово – раціональні вирази мають суттєве ОДЗ: всі дільники не повинні приймати нульових значень.

Далі у [1] розглядається додавання і віднімання, множення і ділення алгебраїчних дробів, як відповідні тотожні перетворення.

Таким чином, у підручнику [1], поняття дробово – раціонального математичного виразу формується поступово, за принципом, від «простого до складного», починаючи від цілих раціональних виразів.

У підручнику [2] обрану іншу послідовність викладення матеріалу присвяченому раціональному виразу.

На початку підручника розташовані лише відповідні практичні завдання у тестовій формі (на кожне завдання задані по 5 варіантів відповідей).

Наприкінці підручника розташований невеликий довідничок з теоретичних питань, які відносяться до курсу алгебри сьомого класу. Якщо у учня виникають проблеми з розв’язанням запропонованих тестових завдань, він може звернутися до цього довідника.

Там же, наприкінці підручника, розташовані завдання для повторення курсу алгебри сьомого класу, вже не у тестовій формі. Для більшості з цих завдань (як і для більшості всіх завдань розташованих у даному підручнику) наприкінці підручника розташовані відповіді.

На початку викладення матеріалу, посередньо восьмого класу, автори одразу вводять означення раціонального математичного виразу.

При цьому автори підкреслюють, що такі вирази бувають як цілими так і дробовими (із цілими учні вже знайомі із курсу сьомого класу). Серед дробових окремо виділяють раціональні дроби.

Тут, одразу вводяться поняття про ОДЗ раціонального виразу: «значення змінних, при яких можливі всі математичні дії, що містить раціональний вираз, називають допустимими значеннями змінних». Наводяться приклади знаходження ОДЗ. Нажаль, лише автори не звертають увагу на те, що для знаходження ОДЗ треба розв’язувати відповідні рівняння.

Вже далі розглядається основна властивість раціонального дробу, додавання, віднімання, множення і ділення таких дробів, вводяться поняття про тотожність. При цьому, фактично, тотожністю називаються відносна тотожність, поняття про абсолютні та відносні тотожні перетворення не вводяться взагалі.

Ми вважаємо, що у восьмому класі немає сенсу окремо розглядати додавання і віднімання раціональних дробів з однаковими та різними знаменниками, якщо додавання і віднімання звичайних дробів ретельно вивчено у курсі п’ятого та шостого класів.

Так як і підручник [2], підручник [3] починається з введення поняття раціонального виразу.

Але поняття раціонального виразу, на мою думку, правильно і зрозуміло: автор починає з цілих раціональних виразів (які учні вивчили у сьомому класі), нагадує учням означення і наводить приклади. Після цього автор приводить приклад дробово – раціонального виразу. І тільки після цього дає означення раціонального виразу.

Потім автор говорить про ОДЗ. Як на мене, означення коротке, але доступне для учнів.

В параграфі 2, учні знайомляться з основною властивістю раціонального дробу. В цьому ж параграфі автор говорить про тотожно – рівні дроби. При цьому поняття про абсолютні і відносні тотожності не вводяться, відповідні приклади не наведені.

Далі вивчається додавання і віднімання дробів з однаковими, а потім і зрізними знаменниками.

Після кожного параграфа йде ряд практичних завдань, для відпрацювання та закріплення знань по вивченій темі.

Але після перших чотирьох параграфів ідуть практичні завдання (невелика робота на перевірку знань).

Після цього розглядається множення дробів та піднесення до степеня. Не надто прискіпливо розглядається піднесення до степеня. Ділення дробів розглядається окремо. Але ж множення та ділення дробів дуже ретельно вивчається у шостому класі, тому, напевно, немає сенсу розглядати це як дві окремі теми.

Після цього всього учні знайомляться з тотожними перетвореннями раціональних виразів. На прикладах автор показує в чому сутність тотожніх перетворень, та як правильно їх вирішувати.

3.2.  Квадратний тричлен

Одним із простих типів цілих раціональних виразів є квадратний тричлен.

За програмою і за підручниками теорію квадратних тричленів віднесено до останнього розділу курсу алгебри восьмого класу і пов’язано з теорією квадратних рівнянь. Останнє є повністю доцільним, а ось передування теми «Раціональні вирази» темі «Квадратний тричлен» викликає певні сумніви.

У повному узгодженні із основними означеннями теорії квадратних рівнянь вводиться поняття дискримінанта та кореня квадратного тричлена.

У теорії квадратних рівнянь автори не є послідовними і одностайними. Традиційно у питанні скільки коренів має квадратне рівняння, для якого дискримінант D = 0. Незалежно від прийнятих означень, якщо для квадратного тричлена D = 0, то він розкладається у добуток нетривіальних (тобто таких, що не дорівнюють постійному числу) лінійних множників і про можливість такого розкладання у теорії квадратних тричленів треба вести мову. А жодний із авторів підручника [1], [2] і [3] взагалі не розглядають цей випадок.

У підручнику [1] це є суттєвим недоліком, тому що за цим підручником, вважається що у даному випадку квадратне рівняння має один корінь.

У підручнику [2], за означенням вважається що квадратне рівняння має 2 корені,які співпадають. Тому у [2]факт розкладання квадратного тричлена на множники випливає із справедливості загальної теореми: « - корені квадратного тричлена але для розв’язання практичних завдань цей випадок є  суттєвим і вимагає окремого зауваження.

У підручнику [3] так як і у підручнику [2] вважається що квадратне рівняння має 2 корені, які співпадають.

У всіх підручниках факт відповідного розкладання доведений із використанням теореми Вієтта, але це не є обов’язковим. Можливим і у певному сенсі доцільним є варіант доведення із використанням формули коренів квадратного рівняння за допомогою безпосередньої підстановки.

Серед завдань найпростішого рівня відповідних параграфів або підручників, містяться завдання, у яких вимагають «скоротити дріб». Мова йде про скорочення дробово – раціональних виразів на раціональні множники, які є відмінними від постійних.

У значній кількості випадків мова йде про виконання відносного тотожного перетворення, про що варто вказувати учням. Але у розглянутих нами підручниках, цього немає.

3.3. Вирази, що містять квадратні корені

І друга тема програми і другий розділ даних підручників присвячені поняттю квадратного кореня.

Традиційно, спочатку визначають загальний квадратний корінь або неарифметичний корінь із дійсного числа, без доведення приймають той факт, що існують два і тільки два квадратних кореня із додатнього дійсного числа. Ці корені є однаковими за модулем і різними за знаком.

Далі треба або говорити про те що у сучасній математиці є загальна домовленість про те що, якщо у математичному виразі фігурує квадратний корінь (або взагалі довільний корінь парного степеня), то цей корінь вважається арифметичним. Це означає що подібного  кореня не існує, якщо  підкореневий вираз є від’ємним, і навпаки, він існує і приймає єдине значення, якщо підкореневий вираз є не від’ємним.

Значення арифметичного квадратного кореня завжди не від’ємне. Ці означення стверджують що будь – який ірраціональний вираз, що містить квадратний корінь, вимагає обмежень на допустимі значення букв, які він містить, з приводу того що кожний підкореневий вираз повинен бути не від’ємним.

У підручнику [1] перелічені і навіть обґрунтовані найпростіші властивості арифметичного квадратного кореня.

При цьому обмеження на підкореневі вирази краще наводити у вигляді нерівності а не текстом.

У підручнику [3] найпростіші властивості арифметичного квадратного кореня перелічені, а ось обмеження наведені нерівностями на відміну від [1]. В свою чергу підручник [2]надає властивості у вигляді таблиці. Але на мою думку, це велика помилка, так як інформація в такому вигляді, для дітей, не так ефективно запам’ятовується.

Отже, тепер можна розглядати як цілі ірраціональні вирази, так і дробово -  ірраціональні вирази  і виконувати тотожні перетворення над ними. А тотожності можуть бути як абсолютні так і відносні, наприклад, навіть стандартна властивість арифметичного квадратного кореня  є насправді лише відносною тотожністю.

Особливо багато складних випадків виникає при розв’язанні завдань типу «винести множник з під знака кореня» або «внести множник під знак кореня».

Саме тому подібні завдання часто супроводжуються вказаними за умовою обмеженнями на знак певних букв.

Приклади завдань на розглянуту тему.

Підручник [1]

с.167

№ 784  Винесіть множник з під знака кореня

 

б) 

 в)

г)

№ 786 Внесіть множник під знак кореня, якщо x > 0

a)   

б)     

в)

г) 

Підручник [2]

c.173

358 Винесіть множник з під знака кореня

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  

Підручник [3]

c.115

№ 618 Внесіть множник під знак кореня

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  .

IV. Рівняння з одним невідомим

4.1 У змісті курсу математики сьомого класу продовжується змістова лінія, присвячена рівнянням, у першу чергу рівнянням з одним невідомим.

Початок цієї змістової лінії відноситься ще до матеріалу першого класу. У восьмому класі наведено повну теорію розв’язання лінійних рівнянь з одним невідомим.

При вивченні перших розділів курсу алгебри восьмого класу, лінія рівнянь продовжується на рівні поняття про раціональне рівняння і ОДЗ раціонального рівняння.

Реально розв’язуються лише такі раціональні рівняння, для знаходження ОДЗ яких, треба розв’язувати саме лінійні рівняння, і розв’язання яких зводиться до розв’язання лінійних рівнянь.

У той же час, варто підкреслювати, що знаходження ОДЗ дробово раціонального виразу також зводиться до дослідження і розв’язання відповідних рівнянь, у випадках наявності розв’язка. Тут мова може йти, як взагалі про рівняння з одним невідомим, так і про рівняння з декількома невідомими. Такі рівняння не обов’язково розв’язувати, але треба їх усвідомлювати.

Ірраціональні вирази, що містять квадратні корені також вимагають ОДЗ, знаходження якого у більшості випадків зводяться до розв’язання відповідної нерівності. Це може бути нерівність як з однією, так і з більшою кількістю невідомих.

Отже, з математичної точки зору, значно доцільніше було б ще у матеріалі сьомого класу, паралельно з темою «Лінійні рівняння», розглядати тему «Лінійні нерівності». Це не тільки є цілком природнім, а й дозволило б закріпити матеріал даної теми у восьмому класі, під час знаходження ОДЗ найпростіших ірраціональних виразів. Але це вже зауваження до діючої програми.

У останньому розділі курсу алгебри восьмого класу, всебічно розглянуто поняття про квадратні рівняння. Але при цьому означення квадратного рівняння у підручнику [2] передує введення поняття про алгебраїчне рівняння з одним невідомим довільного  степеня. У підручнику [1] та [3] цього немає.

У всіх підручниках після означення квадратного рівняння введено поняття про неповні квадратні рівняння. Одночасно виникає природне питання, чому немає означення повного квадратного рівняння.

При цьому у підручнику [2] лише наведено загальну схему розв’язання неповних рівнянь без жодних помилок на рівносильні перетворення рівнянь. У підручнику [3], наведена загальна схема розв’язування неповних квадратних рівнянь у вигляді таблиці, в якій розглянуті всі можливі випадки.

У підручнику [1] мова йде про рівносильні перетворення неповних квадратних рівнянь. Але при цьому дивує твердження про те, що неповне рівняння виду  завжди має два корені, якщо вже у наступному параграфі стверджується, що  загальне квадратне рівняння для якого D=0 має єдиний корінь. Ця суперечність вказує лише на математичну неохайність авторів підручника, але суттєво впливає на учнів.

У всіх трьох підручниках після цього розглянуто формулу коренів загального квадратного рівняння, при цьому введено поняття про дискримінант. Тут автори підручників не є одностайними у питанні про кількість коренів квадратного рівняння, дискримінант якого дорівнює нулю. Так у підручнику [1] та [3] вказано, що при D=0, єдиний корінь, а ось у підручнику [2] – рівняння має два рівні корені.

Автори підручника [1], у рубриці «Хочете знати більше», розглядають питання про формулу коренів зведеного квадратного рівняння, другий коефіцієнт якого парне число. Автори підручника [2] вважають подібний матеріал дуже важливим, і для всіх учнів пропонують його в обов’язковій формі. А ось автор підручника [3], вирішив що ця інформація не є важливою, тому взагалі не написав жодного слова про цей випадок.

Потім розглядають теорему Вієтта, як пряму, так і обернену. У всіх підручниках, доведення прямої теореми Вієтта спирається на формулу коренів квадратного рівняння.

Далі розглядаються задачі, алгебраїчний варіант розв’язання яких зводиться до складання і розв’язання квадратних рівнянь.

Після цього розглядаються також цілі раціональні і дробово раціональні рівняння, розв’язання яких зводиться до розв’язання квадратних рівнянь. У тому числі  і розглянуті бі квадратні рівняння.

Під час обговорення способів розв’язання дробово раціональних рівнянь, у підручнику [2], сказано що: традиційним способом розв’язання дробово раціональних рівнянь є зведення до спільного знаменника всіх доданків, які в більшості випадків переносять у ліву частину рівняння, і використовують умову рівності дробу нулю, тобто дріб  тоді і тільки тоді, коли .

Наведено приклад розв’язання раціонального рівняння таким способом, насправді такий спосіб є математично не доцільним. Більш ефективним способом є наступний:

  1.  Спочатку знайти ОДЗ даного рівняння. Під час знаходження подібного ОДЗ розкласти всі знаменники на множники.
  2.  Домножити обидві частини рівняння на найменше спільне кратне всіх знаменників (але ж, до того, у першому розділі підручника треба ввести поняття про НСК).
  3.  Розв’язати утворене ціле раціональне рівняння.
  4.  Перевірити, які із знайдених коренів входить до ОДЗ, і лише такі корні включити у відповідь.

V. Функції

5.1 Функція

У курсі алгебри восьмого класу продовжується змістова лінія функції, яка розпочата у курсі алгебри сьомого класу.

Згідно програми, наприкінці теми раціональні вирази розглянуто функцію . У підручнику [1] підкреслено, що ця функція задана за допомогою формули, тобто аналітично, тому до її області визначення D(f) входять ті та тільки ті значення змінної х, які утворюють ОДЗ (область допустимих значень) змінної х у заданій формулі.

Спочатку розглядається конкретна функція , складається таблиця значень цієї функції для певної скінченної кількості значень аргументу. При цьому обираються лише цілі значення аргументу від -6 до 6.

Оскільки значення аргументу можна обирати лише із області визначення даної функції, вважаємо не доцільним при цьому, присутності числа 0.

На підставі такої таблиці, схематично будується графік даної функції. Сам графік називається гіперболою, підкреслюється що вона складається з двох гілок. При цьому, начебто, (мимоходом) у дужках йдеться мова про координатні кути або координатні чверті.

Йдеться мова про те, що гіпербола симетрична відносно початку координат, при цьому це тільки декларується, але аж ніяк не пояснюється.

У той же час, досвід вказує на те, що учні середньої школи, погано розуміють, що означають подібні слова. Тему, навіть, якщо всі поняття, пов’язані з симетрією були ретельно розглянуті у попередніх класах, тут все це треба було б повторити, використовуючи координатний критерій симетричності точок, відносно початку відліку відповідної системи координат.

Далі йде мова про те, що так само, за допомогою таблиці, можна побудувати графік функції  . Це також гіпербола, гілки якої розташовані вже у II і IV координатних четвертях.

Властивості функції   окремо для випадків  подані без будь яких доведень, у вигляді таблиці, при цьому вказані лише область визначення, область значень, проміжки знакосталості, проміжки спадання та зростання.

Насправді, подібні властивості функції  на матеріалі сьомого класу можуть бути доведені. Дуже доцільним є повторення означень вищесказаних значень функції.

Без таких чітких означень, учні не можуть вже розв’язати завдання №532, що знаходиться у рубриці «Виконайте усно».

Після вищесказаної таблиці, у рубриці «Хочете знати більше», йдеться мова про пряму і обернену пропорційність. Здається, що подібна рубрика не пропонується, на відміну від рубрики «Виконайте усно» для ознайомлення всіх учнів.

Але тоді, цілком не зрозуміло, як потім у рубриці «Виконайте усно» учні будуть розв’язувати завдання №530 та №531. Теж саме відноситься до завдання №540.

Взагалі, значна кількість умов завдань даного підручника сформована не коректно. Наприклад, це відноситься до завдання №: 537, 543, 544, 546, 551.

Особливо багато запитань виникають у так званих завдань практичного змісту - №558 і №559.

У підручнику [2], так як і у підручнику [1],  функцію  розглядають на конкретному прикладі . Таблиця складається із цілих чисел від -8 до 8, але число 0, на відміну від підручника [1], в цю таблицю не входить.

Про те, в якому випадку гілки гіперболи розташовані в II та IV четвертях наведено у вигляді порівняння, де .

Особливості графіку  , а точніше його властивості подані у таблиці, але на мою думку, сама властивість сформована заплутано для учнів.

У підручнику [3], так як і в попередніх двох, графік функції  будується на конкретному прикладі , але автор бере значення, більші за чисельник, тобто за 6, тому значення функції  - не ціле число. На цьому ж прикладі, тільки з протилежними значеннями, автор будує графік, і тим самим показує, що гілки гіперболи можуть розташовуватися і в двох інших чвертях.

Властивості функції перераховуються у вигляді тексту, а не символів.


5.2   У підручниках [1] - [3] функції  присвячений перший параграф другого розділу. Схема розглядання цієї функції, аналогічна схемі розглядання попередньої. Лише твердження без усяких доведень, більшість яких розглянуто у вигляді таблиці. 

Наведено назву графіка – парабола. Особливо цікавим і «зрозумілим», у підручниках [1] та [2] є твердження: «Парабола має дві нескінченні вітки, що плавно сходяться в одній точні – вершині параболи». А ось автор підручника [3] уникнув такої некоректної формульовки. Всі властивості цієї функції він подає у вигляді правил, тим самим підкреслюючи важність даного матеріалу. Після цього автор пропонує учням розглянути приклади розв’язання рівнянь графічним способом. А автори підручника [2] не виділяють жодної властивості та жодного терміну, а просто монотонно дають теорію, яка відображається на графіках. Також у підручнику немає жодного показового прикладу, як розв’язати рівняння графічно.

Знову таки велика кількість практичних завдань, після даного параграфу. Сформульована не коректно, наприклад це відноситься до завдань під № 597 і №598 підручника [1].

5.3 У підручнику [1] функції  присвячений шостий параграф другого розділу. Схема розглядання знову максимально аналогічна попереднім. Некоректно сформованими варто визнати завдання № 838, №850 і т.д.  

Знову ж таки матеріал, поданий у підручниках дуже подібний між собою, просто в підручниках [2] та [3] властивості функції  виділено, а в підручнику [1] подано як звичайну теорію. Але тільки в підручнику [1], у рубриці «Хочете знати більше» говориться про те, що графік функції  симетричний графіку функції .

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80154. СТАДИЯ ИСПОЛНЕНИЯ БЮДЖЕТА 33 KB
  Исполнение бюджета обеспечивает в установленном порядке Министерство финансов РФ вся система органов управления финансами РФ. В процессе исполнения бюджета органы исполнительной и представительной власти осуществляют корректировку бюджетных назначений с учетом динамики цен и поступлений доходов в федеральный бюджет осуществляют контроль за исполнением федерального бюджета и целевым использованием средств выделяемых из федерального бюджета предприятиям учреждениям и организациям. Главный распорядитель средств федерального бюджета орган...
80155. ИСТОЧНИКИ ФИНАНСОВОГО ПРАВА. ФИНАНСОВОЕ ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВО 47 KB
  Нормы финансового права Российской Федерации содержатся в большом числе разнообразных правовых нормативных актов или источниках. В дореволюционном российском праве под источниками права понимались формы выражения положительного права которые имеют значение обязательных средств ознакомления с действующим правом. В современной российской юридической науке под источником права обычно понимают форму выражения правила сообщающую ему качество правовой нормы; тот единственный резервуар в котором пребывают...
80156. МЕЖБЮДЖЕТНЫЕ ОТНОШЕНИЯ НА МУНИЦИПАЛЬНОМ УРОВНЕ 83 KB
  Принципы и порядок распределения доходов и расходов между бюджетами Прежде чем говорить о процессе формирования бюджетов следует напомнить о том что они подразделяются на три уровня: федеральный региональный и местный. Принципы межбюджетных отношений: доходы и расходы распределяются и закрепляются за соответствующими уровнями бюджетной системы Российской Федерации; все бюджеты субъектов Российской Федерации региональные равны перед федеральным бюджетом и местные бюджеты равны перед региональным; доходы распределяются по уровням...
80157. МЕЖДУНАРОДНЫЕ ФИНАНСОВЫЕ ИНСТИТУТЫ 34 KB
  К таким организациям в первую очередь относятся: Международный валютный фонд МВБ; группа Всемирного банка включающая Международный банк реконструкции и развития МБРР Международную ассоциацию развития MP Международную финансовую корпорацию МФК Многостороннее агентство по гарантированию инвестиций МАГИ; Банк международных расчетов и Всемирная торговая организация ВТО. Международный банк реконструкции и развития МБРР начал свою деятельность с июня 1946 г. МБРР головной институт в группе Всемирного банка. Руководящие органы...
80158. МЕТОД ФИНАНСОВОГО ПРАВА 46.5 KB
  Метод финансового права - это совокупность юридических приемов, способов и средств, при помощи которых осуществляется правовое регулирование общественных отношений, составляющих предмет данной отрасли.
80160. МИНИСТЕРСТВО ФИНАНСОВ 49.5 KB
  В соответствии с задачами возложенными на Министерство финансов РФ Положением о Министерстве финансов РФ Минфин РФ: а участвует в работе по комплексному анализу развития экономики разрабатывает необходимые меры по финансовому и налоговому стимулированию предпринимательской и другой хозяйственной деятельности в стране способствующие увеличению национального дохода и поступлений в бюджет; б участвует в работе по составлению долговременных и краткосрочных прогнозов функционирования экономики совместно с федеральными органами...
80161. ПОНЯТИЕ НАУКИ ФИНАНСОВОГО ПРАВА 114 KB
  Но в наш век который может быть назван материальным веком по преимуществу особенное внимание обращают на себя те науки которые ведут к практическим результатам напр. науки естественные а также социальные или общественные эти последние потому что они представляют данные для разрешения многих вопросов волнующих современное общество. Неудивительно поэтому что науки занимающиеся исследованием политического строя и законов общественного развития и пользуются теперь наибольшим вниманием.