97377

Моделирование производственного процесса на основе представления основного оборудования

Курсовая

Производство и промышленные технологии

Проанализировать особенности управления производственным процессом. Рассмотреть организацию производственного процесса во времени. Привести основные варианты сокращения длительности производственного цикла. Провести анализ методов управления производственным процессом на предприятии.

Русский

2015-10-16

527.77 KB

1 чел.

ВВЕДЕНИЕ

        За последнее время в самых разных областях практики возникла необходимость в решении различных вероятностных задач, связанных с работой так называемых систем массового обслуживания (СМО). Примерами таких систем могут служить: телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, стоянки такси, парикмахерские и т.п.

        Темой данного курсового проекта как раз и является решение подобной задачи. Однако, в предложенной задаче будет исследована СМО, в которой рассматриваются 2 потока заявок, один из которых обладает приоритетом. Также рассматриваемые процессы являются немарковскими, т.к. важен фактор времени. Поэтому решение данной задачи построено не на аналитическом описании системы, а на статистическом моделировании.

Целью курсовой работы является моделирование производственного процесса на основе представления основного оборудования как системы массового обслуживания.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:
-  Проанализировать особенности управления производственным процессом;
-  Рассмотреть организацию производственного процесса во времени;
-  Привести основные варианты сокращения длительности производственного цикла;

-  Провести анализ методов управления производственным процессом на предприятии;
- Рассмотреть особенности моделирования производственного процесса с использованием теории СМО;

-   Разработать модель производственного процесса и оценить основные характеристики СМО, привести перспективы ее дальнейшей программной реализации.

-  Закрепления теоретических знаний и получения навыков их практического применения;

Отчет содержит введение, три главы, заключение, список использованной литературы, приложения. 

Во второй главе рассматриваются теоретические материалы  системы массового обслуживания. А в третьей вычисляем задачу систем массового обслуживания.


Глава I. ПРАВИЛА ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ

Общее положения

  1.  К работе в компьютерном классе допускаются лица, ознакомленные с инструкцией по технике безопасности и правилам поведения.
  2.  В случае нарушения инструкции студент отстраняется от работы и допускается к занятию только по письменному разрешению преподавателя.
  3.  Работа студентов в компьютерном классе разрешается только в присутствии преподавателя (инженера, лаборанта).
  4.  Помните, что каждый студент в ответе за состояние своего рабочего места и сохранность размещенного на нем оборудования.

Перед началом работы:

  1.  Перед началом работы следует убедиться в отсутствии видимых повреждений аппаратуры и проводов. Компьютеры и периферийные устройства должны находиться на столах в устойчивом положении.
  2.  Учащимся категорически запрещается проникать внутрь устройств. Включать устройства можно только по разрешению преподавателя.

При работе в компьютерном классе запрещается:

  1.  Входить и выходить из класса без разрешения учителя.
  2.  Опаздывать на урок.
  3.  Входить в класс в грязной и мокрой обуви, пыльной одежде, в холодное время года в верхней одежде.
  4.  Работать на компьютере влажными руками.
  5.  Класть на рабочее место посторонние предметы.
  6.  Вставать во время работы, поворачиваться по сторонам, разговаривать с соседом.
  7.  Включать и выключать аппаратуру без разрешения учителя.
  8.  Нарушать порядок включения и выключения аппаратуры.
  9.  Трогать клавиатуру и мышь при выключенном компьютере, передвигать мебель и аппаратуру.
  10.  Трогать экран дисплея, кабели, соединительные провода, разъёмы, вилки и розетки.
  11.  Подходить к рабочему месту учителя без разрешения

Главная угроза для здоровья человека при работе с ПК – это угроза поражения электрическим током. Поэтому запрещается:

1. Работать на аппаратуре, имеющей видимые дефекты. Открывать системный блок.

2. Присоединять или отсоединять кабели, трогать разъемы соединительных кабелей, провода и розетки, устройствам заземления.

3. Прикасаться к экрану и к тыльной стороне монитора, клавиатуры.

4. Пытаться самостоятельно устранять неисправности в работе аппаратуры.

5. Работать во влажной одежде и влажными руками

6. Выполнять требования преподавателя и лаборанта; Соблюдать тишину и порядок;

7. Находясь в сети работать только под своим именем и паролем;

8. Соблюдать режим работы (согласно Санитарных правил и норм);

9. Начало и окончание работы производить только по разрешению преподавателя.

10. При резком ухудшении самочувствия (появлении рези в глазах, резком ухудшении видимости, невозможности сфокусировать взгляд или навести его на резкость, появления боли в пальцах и кистях рук, усиления сердцебиения) немедленно покинуть рабочее место, сообщить о происшедшем преподавателю и обратиться к врачу;

11. Соблюдать чистоту рабочего места.

12. Окончание работы произвести по разрешению преподавателя.

13. Сдать выполненную работу.

14. Завершить все активные программы и корректно выключить компьютер.

15. Привести рабочее место в порядок.

16. Дежурному проверить готовность кабинета к следующему занятию.

При эксплуатации оборудования необходимо остерегаться:
- поражения электрическим током;

- механических повреждений, травм

При возникновении аварийных ситуаций:

1. При обнаружения искрения, появлении запаха гари или обнаружения иных неполадках следует немедленно прекратить работу и сообщить об этом учителю.

2. При поражении кого-либо электротоком необходимо:

прекратить работу и отойти на безопасное расстояние;

отключить напряжение (на распределительном щитке кабинета);

сообщить учителю;

приступить к оказанию первой помощи и вызвать врача.

3. При пожаре необходимо:

прекратить работу и начать эвакуацию;

сообщить учителю и вызвать пожарную охрану (по тел. 01);

отключить напряжение (на распределительном щитке кабинета);

приступить к тушению пожара огнетушителем (водой тушить запрещается.

По окончании работы:

  1.  Необходимо привести рабочее место в порядок.
  2.  Выключение компьютера производить только по команде учителя.

Ответственность за нарушение правил техники безопасности

  1.  При нарушении техники безопасности учащемуся будет объявлен выговор, взыскание вплоть до отстранения от работы за оборудованием
  2.  При регулярных нарушениях техники безопасности учащийся будет отстранён от занятий информатики вплоть до исключения из учебного заведения.


Глава II. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Системы массового обслуживания c отказами

Системой массового обслуживания (СМО) называется любая система, предназначенная для обслуживания каких-либо заявок (требований), поступающих на нее в случайные моменты времени. Любое устройство, непосредственно занимающееся обслуживанием заявок, называется каналом обслуживания (или “прибором”). СМО бывают как одно-, так и многоканальными.

Различают СМО с отказами и СМО с очередью. В СМО с отказами заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО, а в дальнейшем в процессе ее работы не участвует. В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент занятости всех каналов, не покидает СМО, а становится в очередь и ждет, пока не освободится какой-либо канал. Число мест в очереди т может быть как ограниченным, так и неограниченным. При т=0 СМО с очередью превращается в СМО с отказами. Очередь может иметь ограничения не только по количеству стоящих в ней заявок (длине очереди), но и по времени ожидания (такие СМО называются “системами с нетерпеливыми клиентами”).

Аналитическое исследование СМО является наиболее простым, если все потоки событий, переводящие ее из состояния в состояние, простейшие (стационарные пуассоновские). Это значит, что интервалы времени между событиями в потоках имеют показательное распределение с параметром, равным интенсивности соответствующего потока. Для СМО это допущение означает, что как поток заявок, так и поток обслуживания простейшие. Под потоком обслуживания понимается поток заявок, обслуживаемых одна за другой одним непрерывно занятым каналом. Этот поток оказывается простейшим, только если время обслуживания заявки tобсл представляет собой случайную величину, имеющую показательное распределение. Параметр этого распределения μ есть величина, обратная среднему времени обслуживания: , где . Вместо фразы “поток обслуживания простейший” часто говорят “время обслуживания показательное”. Всякая СМО, в которой все потоки простейшие, называется простейшей СМО.

Если все потоки событий простейшие, то процесс, протекающий в СМО, представляет собой марковский случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. При выполнении некоторых условий для этого процесса существует финальный стационарный режим, при котором как вероятности состояний, так и другие характеристики процесса не зависят от времени.

Модели СМО удобны для описания отдельных подсистем современных вычислительных систем, таких как подсистема процессор - основная память, канал ввода-вывода и т. д. Вычислительная система в целом представляет собой совокупность взаимосвязанных подсистем, взаимодействие которых носит вероятностный характер. Заявка на решение некоторой задачи, поступающая в вычислительную систему, проходит последовательность этапов счета, обращения к внешним запоминающим устройствам и устройствам ввода-вывода. После выполнения некоторой последовательности таких этапов, число и продолжительность которых зависит от трудоемкости программы, заявка считается обслуженной и покидает вычислительную систему. Таким образом, вычислительную систему в целом можно представлять совокупностью СМО, каждая из которых отображает процесс функционирования отдельного устройства или группы однотипных устройств, входящих в состав системы.

Задачи теории массового обслуживания – это нахождение вероят-ностей различных состояний СМО, а также установление зависимости между заданными параметрами (числом каналов п, интенсивностью потока заявок λ, распределением времени обслуживания и т. д.) и характеристиками эффективности работы СМО. В качестве таких характеристик могут рассматриваться, например, следующие:

  1.  среднее число заявок А, обслуживаемое СМО в единицу времени, или абсолютная пропускная способность СМО;
  2.  вероятность обслуживания поступившей заявки Q или относительная пропускная способность СМО; Q = А/λ;
  3.  вероятность отказа Ротк, т.е. вероятность того, что поступившая заявка не будет обслужена и получит отказ; Ротк= 1 – Q;
  4.  среднее число заявок в СМО (обслуживаемых или ожидающих в очереди) ;
  5.  среднее число заявок в очереди ;
  6.  среднее время пребывания заявки в СМО (в очереди или под обслуживанием) ;
  7.  среднее время пребывания заявки в очереди ;
  8.  среднее число занятых каналов .

В общем случае все эти характеристики зависят от времени. Но многие СМО работают в неизменных условиях достаточно долгое время, и поэтому для них успевает установиться режим, близкий к стационарному. Мы здесь повсюду, не оговаривая этого каждый раз специально, будем вычислять финальные вероятности состояний и финальные характеристики эффективности СМО, относящиеся к предельному стационарному режиму ее работы.

СМО называется открытой, если интенсивность поступающего на нее потока заявок не зависит от состояния самой СМО. Для любой открытой СМО в предельном стационарном режиме среднее время пребывания заявки в системе выражается через среднее число заявок в системе с помощью формулы Литтла:

где λ интенсивность потока заявок.

Аналогичная формула (называемая также формулой Литтла) связывает среднее время пребывания заявки в очереди и среднее число заявок в очереди:

Формулы Литтла очень полезны, так как позволяют вычислять не обе характеристики эффективности (среднее время пребывания и среднее число заявок), а только какую-нибудь одну из них.

Специально подчеркнем, что формулы (1) и (2) справедливы для любой открытой СМО (одноканальной, многоканальной, при любых видах потоков заявок и потоков обслуживания); единственное требование к потокам заявок и обслуживании чтобы они были стационарными.

Аналогично универсальное значение для открытых СМО имеет формула, выражающая среднее число занятых каналов через абсолютную пропускную способность А:

где интенсивность потока обслуживания.

Очень многие задачи теории массового обслуживания, касающиеся простейших СМО, решаются при помощи схемы гибели и размножения. Финальные вероятности состояний выражаются формулами:

Перечень характеристик систем массового обслуживания можно представить следующим образом:

  1.  среднее время обслуживания;
  2.  среднее время ожидания в очереди;
  3.  среднее время пребывания в СМО;
  4.  средняя длина очереди;
  5.  среднее число заявок в СМО;
  6.  количество каналов обслуживания;
  7.  интенсивность входного потока заявок;
  8.  интенсивность обслуживания;
  9.  интенсивность нагрузки;
  10.  коэффициент нагрузки;
  11.  относительная пропускная способность;
  12.  абсолютная пропускная способность;
  13.  доля времени простоя СМО;
  14.  доля обслуженных заявок;
  15.  доля потерянных заявок;
  16.  среднее число занятых каналов;
  17.  среднее число свободных каналов;
  18.  коэффициент загрузки каналов;
  19.  среднее время простоя каналов.

2.1. Моделирование систем массового обслуживания

Переходы СМО из одного состояния в другое происходят под воздействием вполне определенных событий - поступления заявок и их обслуживания. Последовательность появления событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени, формирует так называемый поток событий. Примерами таких потоков в коммерческой деятельности являются потоки различной природы — товаров, денег, документов, транспорта, клиентов, покупателей, телефонных звонков, переговоров. Поведение системы обычно определяется не одним, а сразу несколькими потоками событий. Например, обслуживание покупателей в магазине определяется потоком покупателей и потоком обслуживания; в этих потоках случайными являются моменты появления покупателей, время ожидания в очереди и время, затрачиваемое на обслуживание каждого покупателя.

При этом основной характерной чертой потоков является вероятностное распределение времени между соседними событиями. Существуют различные потоки, которые отличаются своими характеристиками.

Поток событий называется регулярным, если в нем события следуют одно за другим через заранее заданные и строго определенные промежутки времени. Такой поток является идеальным и очень редко встречается на практике. Чаще встречаются нерегулярные потоки, не обладающие свойством регулярности.

Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания любого числа событий на промежуток времени зависит только от длины этого промежутка и не зависит от того, как далеко расположен этот промежуток от начала отсчета времени. Стационарность потока означает независимость от времени его вероятностных характеристик, в частности, интенсивность такого потока есть среднее число событий в единицу времени и остается величиной постоянной. На практике обычно потоки могут считаться стационарными только на некотором ограниченном промежутке времени. Обычно поток покупателей, например, в магазине существенно меняется в течение рабочего дня. Однако можно выделить определенные временные интервалы, внутри которых этот поток допустимо рассматривать как стационарный, имеющий постоянную интенсивность.

Поток событий называется потоком без последствия, если число событий, попадающих на один из произвольно выбранных промежутков времени, не зависит от числа событий, попавших на другой, также произвольно выбранный промежуток, при условии, что эти промежутки не пересекаются между собой. В потоке без последствия события появляются в последовательные моменты времени независимо друг от друга. Например, поток покупателей, входящих в магазин, можно считать потоком без последствия потому, что причины, обусловившие приход каждого из них, не связаны с аналогичными причинами для других покупателей.

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на очень малый отрезок времени сразу двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания только одного события. В ординарном потоке события происходят поодиночке, а не по два или более разу. Если поток одновременно обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последствия, то такой поток называется простейшим (или пуассоновским) потоком событий. Математическое описание воздействия такого потока на системы оказывается наиболее простым. Поэтому, в частности, простейший поток играет среди других существующих потоков особую роль.

Рассмотрим на оси времени некоторый промежуток времени t. Допустим, вероятность попадания случайного события на этот промежуток p, а полное число возможных событий — п. При наличии свойства ординарности потока событий вероятность р должна быть достаточно малой величиной, а я — достаточно большим числом, поскольку рассматриваются массовые явления. В этих условиях для вычисления вероятности попадания на промежуток времени t некоторого числа событий т можно воспользоваться формулой Пуассона:

Pm, n= am_e-a ; (m=0,n),

где величина а = пр - среднее число событий, попадающих на промежуток времени t, которое можно определить через интенсивность потока событий X следующим образом: a= λ τ

Размерность интенсивности потока X есть среднее число событий в единицу времени. Между п и λ, р и τ имеется следующая связь:

n= λ t; p= τ/t

где t- весь промежуток времени, на котором рассматривается действие потока событий.

Необходимо определить распределение интервала времени Т между событиями в таком потоке. Поскольку это случайная величина, найдем ее функцию распределения. Как известно из теории вероятностей, интегральная функция распределения F(t) есть вероятность того, что величина T будет меньше времени t.

F(t)=P(T<t).

По условию в течение времени T не должно произойти ни одного события, а на интервале времени t должно появиться хотя бы одно событие. Эта вероятность вычисляется с помощью вероятности противоположного события на промежутке времени (0; t), куда не попало ни одного события, т.е. m = 0, тогда

F(t)=1-P0=1-(a0*e-a)0!=1-e-Xt,t≥0

Для малых ∆t можно получить приближенную формулу, получаемую заменой функции e-Xt, только двумя членами разложения в ряд по степеням ∆t, тогда вероятность попадания на малый промежуток времени ∆t хотя бы одного события составляет

P(T<∆t)=1-e-λ t ≈1-[1- λ Δt+1/2(λ Δt)2-1/6(λ Δt)3] ≈ λ Δt

Плотность распределения промежутка времени между двумя последовательными событиями получим, продифференцировав F(t) по времени,

f(t)= λ e- λ t ,t≥0

Пользуясь полученной функцией плотности распределения, можно получить числовые характеристики случайной величины Т: математическое ожидание М (Т), дисперсию D(T) и среднее квадратическое отклонение σ(Т).

М(Т)= λ ∞∫0 t*e-λt*dt=1/ λ ; D(T)=1/ λ2 ; σ(T)=1/ λ .

Отсюда можно сделать следующий вывод: средний интервал времени Т между любыми двумя соседними событиями в простейшем потоке в среднем равен 1/λ , и его среднее квадратическое отклонение также равно 1/λ, λ где, — интенсивность потока, т.е. среднее число событий, происходящих в единицу времени. Закон распределения случайной величины, обладающей такими свойствами М(Т) = Т, называется показательным (или экспоненциальным), а величина λ, является параметром этого показательного закона. Таким образом, для простейшего потока математическое ожидание интервала времени между соседними событиями равно его среднеквадратическому отклонению. В этом случае вероятность того, что число заявок, поступающих на обслуживание за промежуток времени t, равно к, определяется по закону Пуассона:

Pk(t)=( λt)k/ k! *e-λ t,

где λ - интенсивность поступления потока заявок, среднее число событий в СМО за единицу времени, например[чел/мин; руб./час; чеков/час; докум./день; кг./час; т./год] .

Для такого потока заявок время между двумя соседними заявками Т распределено экспоненциально с плотностью вероятности:

ƒ(t)= λ e-λ t.

Случайное время ожидания в очереди начала обслуживания t тоже можно считать распределенным экспоненциально:

ƒ (tоч)=V*e-v tоч ,

где v — интенсивность потока прохода очереди, определяемая средним числом заявок, проходящих на обслуживание в единицу времени:

v=1/Точ ,

где Точ среднее время ожидания обслуживания в очереди.

Выходной поток заявок связан с потоком обслуживания в канале, где длительность обслуживания tобс является тоже случайной величиной и подчиняется во многих случаях показательному закону распределения с плотностью вероятности:

ƒ(t обс)=µ*е µ t обс ,

где µ - интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени:

µ=1/ t обс[чел/мин; руб./час; чеков/час; докум./день; кг./час; т./год] ,

где t обс - среднее время обслуживания заявок.

Важной характеристикой СМО, объединяющей показатели λ и µ , является интенсивность нагрузки: ρ= λ/ µ, которая показывает степень согласования входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

Кроме понятия простейшего потока событий часто приходится пользоваться понятиями потоков других типов. Поток событий называется потоком Пальма, когда в этом потоке промежутки времени между последовательными событиями T1, T2, ..., Тk ..., Тn являются независимыми, одинаково распределенными, случайными величинами, нов отличие от простейшего потока не обязательно распределенными по показательному закону. Простейший поток является частным случаем потока Пальма.

Важным частным случаем потока Пальма является так называемый поток Эрланга.

Этот поток получается «прореживанием» простейшего потока. Такое «прореживание» производится путем отбора по определенному правилу событий из простейшего потока.

Например, условившись учитывать только каждое второе событие из образующих простейший поток, мы получим поток Эрланга второго порядка. Если брать только каждое третье событие, то образуется поток Эрланга третьего порядка и т.д.

Можно получить потоки Эрланга любого к-го порядка. Очевидно, простейший поток есть поток Эрланга первого порядка.

Любое исследование системы массового обслуживания начинается с изучения того, что необходимо обслуживать, следовательно, с изучения входящего потока заявок и его характеристик.

Поскольку моменты времени t и интервалы времени поступления заявок τ, затем продолжительность операций обслуживания t обс и время ожидания в очереди tоч, а также длина очереди lоч — случайные величины, то, следовательно, характеристики состояния СМО носят вероятностный характер, а для их описания следует применять методы и модели теории массового обслуживания.

Перечисленные выше характеристики к, τ, λ, Lоч, Точ, v, tобс, µ, р, Рk являются наиболее общими для СМО, которые являются обычно лишь некоторой частью целевой функции, поскольку необходимо учитывать еще и показатели коммерческой деятельности.

2.2. Простейшая СМО с отказами

На n-канальную СМО с отказами поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ; время обслуживания показательное с параметром . Состояния СМО нумеруются по числу заявок, находящихся в СМО (в силу отсутствия очереди оно совпадает с числом занятых каналов):

S0 – СМО свободна;

S1 – занят один канал, остальные свободны;

...;

Sk занятоk каналов, остальные свободны (1kn);

…;

Sn – заняты все n каналов.

Финальные вероятности состояний выражаются формулами Эрланга:

где ρ=λ/μ.

Характеристики эффективности:

A=(1–pn); Q = 1–pn ; Pотк= pn ; =(1–pn).

При больших значениях п вероятности состояний (1*) удобно вычислять через табулированные функции:

(распределение Пуассона) и ,

из которых первую можно выразить через вторую:

Пользуясь этими функциями, формулы Эрланга (1*) можно переписать в виде

.

2.3. Одноканальная СМО с отказами

Проведем анализ простой одноканальной СМО с отказами в обслуживании, на которую поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ, а обслуживание происходит под действием пуассоновского потока с интенсивностью μ.

Работу одноканальной СМО n=1 можно представить в виде размеченного графа состояний (3.1).

Переходы СМО из одного состояния S0 в другое S1 происходят под действием входного потока заявок с интенсивностью λ, а обратный переход – под действием потока обслуживания с интенсивностью μ.

Запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояния по изложенным выше правилам:

Откуда получим дифференциальное уравнение для определения вероятности р0(t) состояния S0:

Это уравнение можно решить при начальных условиях в предположении, что система в момент t=0 находилась в состоянии S0, тогда р0(0)=1, р1(0)=0.

В этом случае решение дифференциального уравнения позволяет определить вероятность того, что канал свободен и не занят обслуживанием:

Тогда нетрудно получить выражение для вероятности определения вероятности занятости канала:

Вероятность р0(t) уменьшается с течением времени и в пределе при t→∞ стремится к величине

а вероятность р1(t) в то же время увеличивается от 0, стремясь в пределе при t→∞ к величине

Эти пределы вероятностей могут быть получены непосредственно из уравнений Колмогорова при условии

Функции р0(t) и р1(t) определяют переходный процесс в одноканальной СМО и описывают процесс экспоненциального приближения СМО к своему предельному состоянию с постоянной времени характерной для рассматриваемой системы.

С достаточной для практики точностью можно считать, что переходный процесс в СМО заканчивается в течение времени, равно 3τ.

Вероятность р0(t) определяет относительную пропускную способность СМО, которая определяет долю обслуживаемых заявок по отношению к полному числу поступающих заявок, в единицу времени.

Действительно, р0(t) есть вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t, будет принята к обслуживанию. Всего в единицу времени приходит в среднем λ заявок и из них обслуживается λр0 заявок.

Тогда доля обслуживаемых заявок по отношению ко всему потоку заявок определятся величиной

В пределе при t→∞ практически уже при t>3τ значение относительной пропускной способности будет равно

Абсолютная пропускная способность, определяющая число заявок, обслуживаемых в единицу времени в пределе при t→∞, равна:

Соответственно доля заявок, получивших отказ, составляет в этих же предельных условиях:

а общее число не обслуженных заявок равно

Примерами одноканальных СМО с отказами в обслуживании являются: стол заказов в магазине, диспетчерская автотранспортного предприятия, контора склада, офис управления коммерческой фирмы, с которыми устанавливается связь по телефону.

2.4. Многоканальная СМО с отказами

В коммерческой деятельности примерами многоканальных СМО являются офисы коммерческих предприятий с несколькими телефонными каналами, бесплатная справочная служба по наличию в авто магазинах самых дешевых автомобилей в Москве имеет 7 телефонных номеров, а дозвониться и получить справку, как известно, очень трудно.

Следовательно, авто магазины теряют клиентов, возможность увеличить количество проданных автомобилей и выручку от продаж, товарооборот, прибыль.

Туристические фирмы по продаже путевок имеют два, три, четыре и более каналов, как, например, фирма Express-Line.

Рассмотрим многоканальную СМО с отказами в обслуживании на вход которой поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ.

Поток обслуживания в каждом канале имеет интенсивность μ. По числу заявок СМО определяются ее состояния Sk, представленные в виде размеченного графа:

S0 – все каналы свободны k=0,

S1 – занят только один канал, k=1,

S2 – заняты только два канала, k=2,

Sk – заняты k каналов,

Sn – заняты все n каналов, k= n.

Состояния многоканальной СМО меняются скачкообразно в случайные моменты времени. Переход из одного состояния, например S0 в S1, происходит под воздействием входного потока заявок с интенсивностью λ, а обратно – под воздействием потока обслуживания заявок с интенсивностью μ. Для перехода системы из состояния Skв Sk-1 безразлично, какой именно из каналов освободиться, поэтому поток событий, переводящий СМО, имеет интенсивность , следовательно, поток событий, переводящий систему из Snв Sn-1, имеет интенсивность . Так формулируется классическая задача Эрланга, названная по имени датского инженера – математика- основателя теории массового обслуживания.

Случайный процесс, протекающий в СМО, представляет собой частный случай процесса «рождения- гибели» и описывается системой дифференциальных уравнений Эрланга, которые позволяют получить выражения для предельных вероятностей состояния рассматриваемой системы, называемые формулами Эрланга:

.

Вычислив все вероятности состояний n – канальной СМО с отказами р0 , р1, р2, …,рk,…, рn, можно найти характеристики системы обслуживания.

Вероятность отказа в обслуживании определяется вероятностью того, что поступившая заявка на обслуживание найдет все n каналов занятыми, система будет находиться в состоянии Sn:

k=n.

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:

Роткобс=1

На этом основании относительная пропускная способность определяется по формуле

Q = Pобс= 1-Ротк=1-Рn

Абсолютную пропускную способность СМО можно определить по формуле

А=λ*Робс

Вероятность обслуживания, или доля обслуженных заявок, определяет относительную пропускную способность СМО, которая может быть определена и по другой формуле:

Из этого выражения можно определить среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, или, что же самое, среднее число занятых обслуживанием каналов

Коэффициент занятости каналов обслуживанием определятся отношением среднего числа занятых каналов к их общему числу

Вероятность занятости каналов обслуживанием, которая учитывает среднее время занятости tзан и простоя tпр каналов, определяется следующим образом:

Из этого выражения можно определить среднее время простоя каналов

Среднее время пребывания заявки в системе в установившемся режиме определятся формулой Литтла

Тсмо= nз/λ.

2.5. Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди

В коммерческой деятельности чаще встречаются СМО с ожиданием (очередью).

Рассмотрим простую одноканальную СМО с ограниченной очередью, в которой число мест в очереди т - фиксированная величина. Следовательно, заявка, поступившая в тот момент, когда все места в очереди заняты, не принимается к обслуживанию, не встает в очередь и .покидает систему.

Граф этой СМО представлен на рис. 3.4 и совпадает с графом рис. 2.1 описывающим процесс «рождения—гибели», с тем отличием, что при наличии только одного канала.

Размеченный граф процесса «рождения - гибели» обслуживания все интенсивности потоков обслуживания равны

Состояния СМО можно представить следующим образом:

S0 - канал обслуживания свободен,

S, - канал обслуживания занят, но очереди нет,

S2 - канал обслуживания занят, в очереди стоит одна заявка,

S3 - канал обслуживания занят, в очереди стоят две заявки,

Sm+1 - канал обслуживания занят, в очереди все т мест заняты, любая следующая заявка получает отказ.

Для описания случайного процесса СМО можно воспользоваться изложенными ранее правилами и формулами. Напишем выражения, определяющие предельные вероятности состояний:

p1= ρ * ρо

p2=ρ2 *ρ0

pk=ρk * ρ0

Pm+1 = pm=1 * ρ0

p0=[1+ρ+ρ2+ρ3+...+ρm+1]-1

Выражение для р0 можно в данном случае записать проще, пользуясь тем, что в знаменателе стоит геометрическая прогрессия относительно р, тогда после соответствующих преобразований получаем:

ρ= (1- ρ )

(1- ρm+2)

Эта формула справедлива для всех р, отличных от 1, если же р = 1, то р0 = 1/(т + 2), а все остальные вероятности также равны 1/(т + 2). Если предположить т = 0, то мы переходим от рассмотрения одноканальной СМО с ожиданием к уже рассмотренной одноканальной СМО с отказами в обслуживании. Действительно, выражение для предельной вероятности р0в случае т = 0 имеет вид:

pо = μ / (λ+μ)

И в случае λ =μ имеет величину р0= 1 / 2.

Определим основные характеристики одноканальной СМО с ожиданием: относительную и абсолютную пропускную способность, вероятность отказа, а также среднюю длину очереди и среднее время ожидания заявки в очереди.

Заявка получает отказ, если она поступает в момент времени, когда СМО уже находится в состоянии Sm+1 и, следовательно, все места в очереди да заняты и один канал обслуживает Поэтому вероятность отказа определяется вероятностью появлением

Состояния Sm+1:

Pотк = pm+1 = ρm+1 * p0

Относительная пропускная способность, или доля обслуживаемых заявок, поступающих в единицу времени, определяется выражением

Q = 1- pотк = 1- ρm+1 * p0

абсолютная пропускная способность равна:

A = Q * λ

Среднее число заявок Lочстоящих в очереди на обслуживание, определяется математическим ожиданием случайной величины к - числа заявок, стоящих в очереди

Lоч-= M(k).

случайная величина к принимает следующие только целочисленные значения:

1 - в очереди стоит одна заявка,

2 - в очереди две заявки,

т-в очереди все места заняты

Вероятности этих значений определяются соответствующими вероятностями состояний, начиная с состояния S2. Закон распределения дискретной случайной величины к изображается следующим образом:

K

1

2

M

pi

p2

p3

pm+1

Таблица 1.Закон распределения дискретной случайной величины

Математическое ожидание этой случайной величины равно:

Lоч = 1* p2 +2* p3 +...+ m* pm+1

В общем случае при p ≠1 эту сумму можно преобразовать, пользуясь моделями геометрической прогрессии, к более удобному виду:

Lоч = p2 * 1- pm * (m-m*p+1)* p0

( 1- p )2

В частном случае при р = 1, когда все вероятности pkоказываются равными, можно воспользоваться выражением для суммы членов числового ряда

1+2+3+ m = m(m+1)

2

Тогда получим формулу

L’оч= m(m+1)* p0 = m(m+1) (p=1).

2 2(m+1)

Применяя аналогичные рассуждения и преобразования, можно показать, что среднее время ожидания обслуживания заявки а очереди определяется формулами Литтла

Точ = Lоч/А (при р ≠ 1) и Т1оч= Lоч /А(при р = 1).

Такой результат, когда оказывается, что Точ ~ 1/ λ, может показаться странным: с увеличением интенсивности потока заявок как будто бы должна возрастать длина очереди и уменьшается среднее время ожидания. Однако следует иметь в виду, что, во-первых, величина Lоч является функцией от λ и μ и, во-вторых, рассматриваемая СМО имеет ограниченную длину очереди не более mзаявок.

Заявка, поступившая в СМО в момент времени, когда все каналы заняты, получает отказ, и, следовательно, время ее «ожидания» в СМО равно нулю. Это приводит в общем случае (при р ≠ 1) к уменьшению Точростом λ, поскольку доля таких заявок с ростом λ увеличивается.

Если отказаться от ограничения на длину очереди, т.е. устремить m—> →∞, то случаи р < 1 и р ≥1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

р0=1-р

р1=р*(1-р)

p2=p2(1-p)

pkk*(1 - р)

При достаточно большом к вероятностьpk стремится к нулю. Поэтому относительная пропускная способность будет Q= 1, а абсолютная пропускная способность станет равной А —λ Q — λ следовательно, обслуживаются все поступившие заявки, причем средняя длина очереди окажется равной:

Lоч =p21-p

а среднее время ожидания по формуле Литтла

Точ = Lоч

В пределе р << 1 получаем Точ = ρ / μ т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р ≥ 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t → ∞). Предельные вероятности состояний поэтому не могут быть определены: при Q= 1 они равны нулю. Фактически СМО не выполняет своих функций, поскольку она не в состоянии обслужить все поступающие заявки. Нетрудно определить, что доля обслуживаемых заявок и абсолютная пропускная способность соответственно составляют в среднем ρ и μ, однако неограниченное увеличение очереди, а следовательно, и времени ожидания в ней приводит к тому, что через некоторое время заявки начинают накапливаться в очереди на неограниченно долгое время.

В качестве одной из характеристик СМО используют среднее время Тсмо пребывания заявки в СМО, включающее среднее время пребывания в очереди и среднее время обслуживания. Эта величина вычисляется по формулам Литтла: если длина очереди ограничена — среднее число заявок, находящихся в очереди, равно:

Lсмо= m+1 ;2

Тсмо= Lсмо; при p ≠1

A тогда среднее время пребывания заявки в системе массового обслуживания (как в очереди, так и под обслуживанием) равно:

Тсмо= m+1 при p ≠1 2μ

2.6. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

В коммерческой деятельности в качестве одноканальной СМО с неограниченным ожиданием является, например, коммерческий директор, поскольку он, как правило, вынужден выполнять обслуживание заявок различной природы: документы, переговоры по телефону, встречи и беседы с подчиненными, представителями налоговой инспекции, милиции, товароведами, маркетологами, поставщиками продукции и решать задачи в товарно-финансовой сфере с высокой степенью финансовой ответственности, что связано с обязательным выполнением запросов, которые ожидают иногда нетерпеливо выполнения своих требований, а ошибки неправильного обслуживания, как правило, экономически весьма ощутимы.

В то же время товары, завезенные для продажи (обслуживания), находясь на складе, образуют очередь на обслуживание (продажу).

Длину очереди составляет количество товаров, предназначенных для продажи. В этой ситуации продавцы выступают в роли каналов, обслуживающих товары. Если количество товаров, предназначенных для продажи, велико, то в этом случае мы имеем дело с типичным случаем СМО с ожиданием.

Рассмотрим простейшую одноканальную СМО с ожиданием обслуживания, на которую поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ и интенсивностью обслуживания ө.

Причем заявка, поступившая в момент, когда канал занят обслуживанием, ставится в очередь и ожидает обслуживания.

Размеченный граф состояний такой системы приведен на рис. 3.5

Количество возможных состояний ее бесконечно:

- канал свободен, очереди нет, ;

- канал занят обслуживанием, очереди нет, ;

- канал занят, одна заявка в очереди, ;

- канал занят , заявка в очереди.

Модели оценки вероятности состояний СМО с неограниченной очередью можно получить из формул, выделенных для СМО с неограниченной очередью, путем перехода к пределу при m→∞:

Следует заметить, что для СМО с ограниченной длиной очереди в формуле

имеет место геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем . Такая последовательность представляет собой сумму бесконечного числа членов при . Эта сумма сходится, если прогрессия, бесконечно убывающая при , что определяет установившийся режим работы СМО, с при очередь при с течением времени может расти до бесконечности.

Поскольку в рассматриваемой СМО ограничение на длину очереди отсутствует, то любая заявка может быть обслужена, поэтому , следовательно, относительная пропускная способность , соответственно , а абсолютная пропускная способность

.

Вероятность пребывания в очереди k заявок равна:

;

Среднее число заявок в очереди –

;

Среднее число заявок в системе –

;

Среднее время пребывания заявки в системе –

;

Среднее время пребывания заявки с системе –

Если в одноканальной СМО с ожиданием интенсивность поступления заявок больше интенсивности обслуживания , то очередь будет постоянно увеличиваться. В связи с этим наибольший интерес представляет анализ устойчивых СМО, работающих в стационарном режиме при .

2.7.Многоканальная СМО с ограниченной длиной очереди

Рассмотрим многоканальную СМО , на вход которой поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью , а интенсивность обслуживания каждого канала составляет , максимально возможное число мест в очереди ограничено величиной m. Дискретные состояния СМО определяются количеством заявок, поступивших в систему, которые можно записать.

- все каналы свободны, ;

- занят только один канал (любой), ;

- заняты только два канала (любых), ;

- заняты все каналов, .

Пока СМО находится в любом из этих состояний, очереди нет. После того как заняты все каналы обслуживания, последующие заявки образуют очередь, тем самым, определяя дальнейшие состояние системы:

- заняты все каналов и одна заявка стоит в очереди,

;

- заняты все каналов и две заявки стоят в очереди,

;

- заняты все каналов и все мест в очереди,

.

Переход СМО в состояние с большими номерами определяется потоком поступающих заявок с интенсивностью , тогда как по условию в обслуживании этих заявок принимают участие одинаковых каналов с интенсивностью потока обслуживания равного для каждого канала. При этом полная интенсивность потока обслуживания возрастает с подключением новых каналов вплоть до такого состояния , когда все n каналов окажутся занятыми. С появлением очереди интенсивность обслуживания более увеличивается, так как она уже достигла максимального значения, равного .

Запишем выражения для предельных вероятностей состояний:

.

Выражение для можно преобразовать, используя формулу геометрической прогрессии для суммы членов со знаменателем :

Образование очереди возможно, когда вновь поступившая заявка застанет в системе не менее требований, т.е. когда в системе будет находиться требований. Эти события независимы, поэтому вероятность того, что все каналы заняты, равна сумме соответствующих вероятностей Поэтому вероятность образования очереди равна:

Вероятность отказа в обслуживании наступает тогда, когда все каналов и все мест в очереди заняты:

Относительная пропускная способность будет равна:

Абсолютная пропускная способность –

Среднее число занятых каналов –

Среднее число простаивающих каналов –

Коэффициент занятости (использования) каналов –

Коэффициент простоя каналов –

Среднее число заявок, находящихся в очередях –

В случае если , эта формула принимает другой вид –

Среднее время ожидания в очереди определяется формулами Литтла –

Среднее время пребывания заявки в СМО, как и для одноканальной СМО, больше среднего времени ожидания в очереди на среднее время обслуживания, равное , поскольку заявка всегда обслуживается только одним каналом:

2.8. Многоканальная СМО с неограниченной очередью

Рассмотрим многоканальную СМО с ожиданием и неограниченной длиной очереди, на которую поступает поток заявок с интенсивностью и которая имеет интенсивность обслуживания каждого канала . Размеченный граф состояний представлен на рис 3.7 Он имеет бесконечное число состояний:

S - все каналы свободны, k=0;

S - занят один канал, остальные свободны, k=1;

S - заняты два канала, остальные свободны, k=2;

S - заняты все n каналов, k=n, очереди нет;

S - заняты все n каналов, одна заявка в очереди, k=n+1,

S - заняты все n каналов, r заявок в очереди, k=n+r,

Вероятности состояний получим из формул для многоканальной СМО с ограниченной очередью при переходе к пределу при m. Следует заметить, что сумма геометрической прогрессии в выражении для p расходится при уровне загрузки p/n>1, очередь будет бесконечно возрастать, а при p/n<1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО.

Очереди нет

…;

Поскольку отказа в обслуживании в таких системах не может быть, то характеристики пропускной способности равны:

среднее число заявок в очереди –

среднее время ожидания в очереди –

среднее число заявок в СМО –

 

Вероятность того, что СМО находится в состоянии , когда нет заявок и не занято ни одного канала, определяется выражением

 

Эта вероятность определяет среднюю долю времени простоя канала обслуживания. Вероятность занятости обслуживанием k заявок –

 

На этом основании можно определить вероятность, или долю времени занятости всех каналов обслуживанием

  

Если же все каналы уже заняты обслуживанием, то вероятность состояния определяется выражением

 

Вероятность оказаться в очереди равна вероятности застать все каналы уже занятыми обслуживанием

 

Среднее число заявок, находящихся в очереди и ожидающих обслуживания, равно:

Среднее время ожидания заявки в очереди по формуле Литтла: и в системе

 

среднее число занятых каналов обслуживанием:

;

среднее число свободных каналов:

;

коэффициент занятости каналов обслуживанием:

Важно заметить, что параметр характеризует степень согласования входного потока, например покупателей в магазине с интенсивностью потока обслуживания. Процесс обслуживания будет стабилен при Если же в системе будут возрастать средняя длина очереди и среднее время ожидания покупателями начала обслуживания и, следовательно, СМО будет работать неустойчиво.

2.9. Алгоритм моделирования СМО

  1.  Рассматриваемая в задаче СМО представляет собой СМО с:
  2.  Двухканальным обслуживанием;
  3.  Двухканальным входным потоком ( имеет 2 входа, на один из которых  поступают случайный поток Заявок I, на другой вход – поток Заявок II).
  4.  Определение времен поступления и обслуживания заявок:
  5.  Времена поступления и обслуживания заявок генерируются случайно с заданным показательным законом распределения;
  6.  Интенсивности поступления и обслуживания заявок заданы;
  7.  Функционирование рассматриваемой СМО:
  8.  Каждый канал обслуживает в каждый момент времени одну заявку;
  9.  Если в момент поступления новой заявки свободен хотя бы один канал, то пришедшая заявка поступает на обслуживание;
  10.  Если отсутствуют Заявки то система простаивает.
  11.  Дисциплина обслуживания:
  12.  Приоритет Заявок I: если система занята (оба канала обслуживают заявки), причем один из каналов занят Заявкой II, Заявка I вытесняют Заявку II; Заявка II покидает систему необслуженной;
  13.  Если к моменту поступления Заявки II оба канала заняты, Заявка II не обслуживается;
  14.  Если к моменту поступления Заявки I оба канала обслуживают Заявки I, поступившая Заявка I покидает систему необслуженной;

Задача моделирования:зная параметры входных потоков заявок промоделировать поведение системы и вычислить её основные характеристики её эффективности. Меняя величину Т от меньших значений до больших (интервал времени, в течении которого происходит случайный процесс поступления заявок    1-го и 2-го потока в СМО на обслуживание), можно найти  изменения критерия эффективности функционирования и выбрать оптимальный.

Критерии эффективности функционирования СМО:

  1.  Вероятность отказа;
  2.  Относительная пропускная способность;
  3.  Абсолютная пропускная способность;

Принцип моделирования:

  1.  Вводим начальные условия: общее время работы системы, значения интенсивностей потоков заявок; число реализаций работы системы;
  2.   Генерируем моменты времени, в которые прибывают заявки, последовательность прихода Заявок I Заявок II, время обслуживания каждой пришедшей заявки;
  3.  Считаем сколько заявок было обслужено, а сколько получило отказ;
  4.  Рассчитываем критерий эффективности СМО;

Глава III. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Характеристики работы СМО

В 1

В 2

В 1

В2

В 1

В 2

В 1

В 2

В 1

В 2

В 1

В 2

В 1

В 2

В 1

В 2

Время работы СМО

100

100

150

150

300

300

500

500

700

700

800

800

1000

1000

2000

2000

Поступило заявок

7

8

3

9

7

3

5

37

7

9

3

5

9

58

41

78

Обслужено заявок

5

3

1

6

4

3

4

21

6

5

2

3

7

36

28

40

Не обслужено заявок

2

5

2

3

3

0

1

16

1

4

1

2

2

22

13

38

Абсолютная пропускная способность системы

0,05

0,03

0,007

0,04

0,013

0,1

0,008

0,042

0,009

0,07

0,003

0,004

0,007

0,036

0,014

0,02

Относительная пропускная способность системы

0,714

0,37

0,33

0,667

0,571

0

0,8

0,568

0,857

0,556

0,667

0,6

0,778

0,62

0,683

0,513

Таблица 2. Результаты работы СМО


Рисунок 1. Зависимость ОПСС от времени

PROGRAM CAN_SMO;

TYPE

CHANNAL = (FREE, CLAIM1, CLAIM2);

TIME = word;

INTENSITY = word;

STATISTICS = word;

VAR

CHANNAL1, CHANNAL2 : CHANNAL;{Каналы        }

_T_, t, tc1, tc2 : TIME;     {Время}

l1, l2, n1, n2 : INTENSITY;{Интенсивности }

served1, not_served1,

served2, not_served2,

S : STATISTICS; {Статистика}

M,N:INTEGER;{число реализаций}

FUNCTION W(t : TIME; l : INTENSITY) : boolean;{Определяет появилась ли заявка}

Begin  {по интенсивности потока l}

 if random < l/60 then W := TRUE else W := FALSE;

End;

FUNCTION F(t : TIME; n : INTENSITY) : TIME;{Определяет сколько будет обрабатываться заявка}

 Begin  {по интенсивности обслуживания заявок n}

 F := t +round(60/(n));

End;

Рисунок 2. Зависимость ОППС от времени

BEGIN

M:=0;

WRITELN('ВВЕДИТЕ ЧИСЛО РЕАЛИЗАЦИЙ РАБОТЫ СМО');

READLN(N);

REPEAT

M:=M+1;

writeln(M, '-ая реализация');

 randomize;

CHANNAL1 := FREE; CHANNAL2 := FREE;

l1 := 3; l2 := 1; n1 := 2; n2 := 1;

served1 := 0; not_served1 := 0;

served2 := 0; not_served2 := 0;

write('Введите время исследования СМО - Т: '); readln(_T_);

repeat

if  tc1 = t then

begin

if CHANNAL1 = CLAIM1 then inc(served1) else inc(served2);

CHANNAL1 := FREE;

writeln('Канал1 выполнил заявку');

end;

if tc2 = t then

begin

if CHANNAL2 = CLAIM1 then inc(served1) else inc(served2);

CHANNAL2 := FREE;

writeln('Канал2 выполнил заявку');

end;

Рисунок 3. График зависимости вероятности отказа в системе от времени

begin

writeln('Поступила заявка1');

if CHANNAL1 = FREE then

begin CHANNAL1 := CLAIM1; tc1 := F(t,n1); writeln('Канал1 принял заявку1'); end

else if  CHANNAL2 = FREE then

begin CHANNAL2 := CLAIM1; tc2 := F(t,n1); writeln('Канал2 принял заявку1'); end

else if CHANNAL1 = CLAIM2 then

begin CHANNAL1 := CLAIM1; tc1 := F(t,n1); inc(not_served2); writeln('Канал1 принял заявку1 вместо заявки2'); end

else if CHANNAL2 = CLAIM2 then

begin CHANNAL2 := CLAIM1; tc2 := F(t,n1); inc(not_served2); writeln('Канал2 принял заявку1 вместо заявки2'); end

else begin inc(not_served1); writeln('заявка1 не обслужена'); end;

end;

Рисунок 4. Зависимость числа заявок от времени

begin

writeln('Поступила заявка2');

if CHANNAL1 = FREE then

begin CHANNAL1 := CLAIM2; tc1 := F(t,n2); writeln('Канал1 принял заявку2');end

else if CHANNAL2 = FREE then

begin CHANNAL2 := CLAIM2; tc2 := F(t,n2); writeln('Канал2 принял заявку2');end

else begin inc(not_served2);  writeln('заявка2 не обслужена'); end;

end;

inc(t);

until _T_ = t;

S := served1 + not_served1 + served2 + not_served2;

writeln('время работы СМО  ',_T_);

writeln('обслужено каналом1: ' ,served1);

writeln('обслужено каналом2: ',served2);

writeln('Поступило заявок : ',S);

 writeln('Обслужено заявок : ',served1+served2);

writeln('Не обслужено заявок : ',not_served1+not_served2);

 {writeln('Интенсивность поступления заявок в систему : ',(served1+served2)/_T_:2:3);}

writeln('Абсолютная пропускная способность системы : ',(served1+served2)/T:2:3);

 writeln('Вероятность отказа : ',(not_served1+not_served2)/S*100:2:1,'%');

 writeln('Относительная пропускная способность системы: ',(served1+served2)/S:2:3);

readln;

UNTIL M>=N;

writeln('моделирование закончено');

END.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе разработки курсовой работы была рассмотрена организация производственного процесса во времени, проанализированы особенности управления производственным процессом и приведены основные варианты сокращения длительности производственного цикла. Так же проанализированы методы управления производственным процессом на предприятии и рассмотрены особенности моделирования производственного процесса с использованием теории СМО.

Была разработана модель двухканальной СМО с отказами и абсолютным приоритетом. В процессе нескольких реализаций работы СМО для двух вариантов значений интенсивностей поступления заявок были получены результаты функционирования системы.

В результате моделирования работы СМО, а также анализ полученных данных и были сделаны следующие выводы:

1. При времени функционирования системы меньше 2000, работа системы нестабильна, трудно выявить какие-либо закономерности в поведении системы. Поэтому, чтобы сделать выводы об эффективности работы СМО, следует рассматривать её функционирование на временном интервале более 2000 единиц.

2. При увеличении времени функционирования системы соответственно увеличивается и количество заявок, поступивших в систему. Количество поступивших и обслуженных заявок увеличивается пропорционально увеличению времени работы системы. Причем, чем больше значения интенсивностей, тем больше быстрее увеличивается количество поступающих заявок с увеличением времени.

3. На интервале времени до 3000 значение абсолютной пропускной способности системы хаотически колебалось (особенно это заметно при втором варианте реализации). При времени больше 3000 амплитуда колебаний снизилась, а при времени Т7000 значения абсолютной пропускной способности системы для обоих вариантов приобретают стационарный характер, и примерно равны 0,004 для первого варианта работы системы и 0,036- для второго.

4. Значение относительной пропускной способности системы хаотически колебалось при всех временах функционирования. Однако, при больших временах амплитуда колебаний значительно снизилась. С увеличением времени заметна тенденция к стационарности в поведении величины относительной пропускной способности.

5. Т. к. вероятность отказа системы величена обратная относительной пропускной способности системы, то их поведение аналогично. При малых значениях времени (до 7000) вероятность отказа хаотично колебалась. А при увеличении времени, амплитуда колебания значительно снизилась. Практически вероятность отказа принимает стационарный характер при значении времени больше 17000.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1) Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ

2) Вентцель Е.Е. Теория вероятностей. – М.: Радио и связь, 1987.

3)Вентцель Е.Е., Овчаров О.А.Прикладные задачи теории вероятностей.

4) Кнут Д. Искусство программирования. Т. 2. – М.: Высшая школа.

5) Максимей И.В. Имитационное моделирование на ЭВМ.

6) Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. – М.: Высшая школа.

7) Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем.

8) Хорошевский В.Г.Радио и связь, 1987. – 255 с.

9) http://www.5ballov.ru.

10) http://www.studentport.ru.

11) http://vse5ki.ru.

12) http://revolution.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29633. Класс строго вероятностных способов формирования выборочной совокупности. Гнездовой отбор 52 KB
  Гнездовой отбор. Способы построения выборки делятся на 2 крупных класса: Случайные вероятностные – это такие способы отбора когда каждый элемент генеральной совокупности имеет известную чаще всего равную вероятность быть выбранным. Неслучайные – все остальные способы отбора. Для реализации случайного отбора необходимо иметь основу выборки списки элементов генеральной совокупности.
29634. Квотная выборка в социологическом исследовании 24 KB
  Способы построения выборки делятся на 2 крупных класса: Случайные вероятностные – это такие способы отбора когда каждый элемент генеральной совокупности имеет известную чаще всего равную вероятность быть выбранным. Неслучайные – все остальные способы отбора. Для реализации случайного отбора необходимо иметь основу выборки списки элементов генеральной совокупности. К вероятностным способам отбора относят: Простой случайный отбор в рамках которого элементы отбираются либо с помощью таблицы случайных чисел либо с помощью...
29635. Стратифицированный отбор единиц наблюдения в социологическом исследовании 27 KB
  Способы построения выборки делятся на 2 крупных класса: Случайные вероятностные – это такие способы отбора когда каждый элемент генеральной совокупности имеет известную чаще всего равную вероятность быть выбранным. Неслучайные – все остальные способы отбора. Для реализации случайного отбора необходимо иметь основу выборки списки элементов генеральной совокупности.
29636. Многоступенчатый способ формирования выборочной совокупности 25 KB
  Этапы построения выборки. 1один алгоритм выборки зависит от сложности объекта об общих теоретических построения выборки. В случае если полная основа выборки недоступна т.е случайный отбор невозможен значимыевыбор задачи исследования с точки зрения критерия для построения и стратифицированной или квотной выборки чаще всего выступают со.
29637. Опросные методы в социологическом исследовании. Назначение, классификация видов 25 KB
  Опросы можно классифицировать по разным основаниям: По форме контакта. Спрашиваются и отвечающего опросы делятся на: интервью и анкетирования Интервью непосредственный контакт. По характеру респондентов опросы делятся на:1Массовые респондентом выступают представители объекта исследования. б выборочные 4 по процедуре опросы бывают: групповые и индивидуальные.
29638. Опрос как процесс, фазы опроса. Способы создания мотивации к участию в опросе 30 KB
  Метод опроса применяется когда необходимо получить информацию о явлениях и процессах которые недоступны прямому наблюдению и недостаточно полно отражены в анализируемых документах. Достоинства метода опроса. С помощью метода опроса мы можем за относительно короткий период опросить большое число респондентов и достаточно быстро получить большие объемы информации.
29639. Анкета как документ анкетного опроса. Классификация вопросов анкеты 31 KB
  Классификация вопросов анкеты. Анкета – инструмент опроса структурно организованный набор вопросов выраженных на языке респондента каждый из которых логически связан с центральной проблемой исследования. В ней предполагается жестко фиксированный порядок содержание и форма вопросов ясное указание способов ответа. Вопрос анкеты – это письменное обращение к респонденту с целью выявления информации относящейся к предметному содержанию исследования.
29640. Язык и композиция вопросов анкеты 36.5 KB
  Виды вопросов по форме: Закрытый вопрос – вопрос с фиксированными и изначально заданными вариантами ответов. Открытый вопрос – вопрос ответ на который дается в свободной форме отсутствуют изначально заданные варианты ответов. Открытый вопрос используется: для проверки знаний для исследования новых тем и индивидуального многообразия для выявления аргументов по некоторым вопросам.
29641. Интервью в социологическом исследовании. Классификация видов интервью 28 KB
  Классификация видов интервью. Интервью – проводимая по определенному плану беседа целенаправленное общение предполагающая прямой контакт интервьюера с опрашиваемым. Интервьюер лицо ведущее непосредственное общение с респондентом при помощи вопросника с целью сбора информации обеспечивающее правильное и надежное использование инструмента исследования.