98027

Исследование методик расчета дополнительных фильтрационных сопротивлений нефтяных скважин и решение проблемы создания программ на их основе

Дипломная

География, геология и геодезия

Провести анализ работ об экспериментальных, графических и аналитических решениях задач вычисления фильтрационных сопротивлений. Составить алгоритмы решения задач нахождения фильтрационных сопротивлений. Разработать программный продукт по разработанным алгоритмам.

Русский

2015-10-27

24.15 MB

10 чел.

МД: Исследование методик расчета дополнительных фильтрационных сопротивлений нефтяных скважин и решение проблемы создания программ на их основе

КОНЦЕПЦИЯ

Магистерской диссертационной работы на тему

«Исследование методик расчета дополнительных фильтрационных сопротивлений нефтяных скважин и решение проблемы создания программ на их основе»

Цель работы: Исследование влияния гидродинамического несовершенства скважин, геометрических характеристик скважин и пласта на фильтрационные сопротивления

Основные задачи исследований:

1.Провести анализ работ об экспериментальных, графических и аналитических решениях задач вычисления фильтрационных сопротивлений.

2.Составить алгоритмы решения задач нахождения фильтрационных сопротивлений.

3.Разработать программный продукт по разработанным алгоритмам.

4.Произвести расчеты фильтрационных сопротивлений по различным методикам с помощью программного продукта.

5.Проанализировать результаты расчета, провести сравнительный анализ различных методик, дать рекомендации по использованию алгоритмов для решения задач определения дополнительных фильтрационных сопротивлений.

Предполагаемая научная новизна выполненной работы:

1.Составлены и реализованы в программном продукте алгоритмы для расчета дополнительных фильтрационных сопротивлений.

2. Проведено комплексное исследование факторов влияния на дополнительные фильтрационные сопротивления и проведен анализ их влияния на основе различных методик расчета.

Предполагаемая практическая значимость:

1.Разработка прикладной программы, позволяющей проводить расчет и анализ фильтрационных сопротивлений.

2. Практическое применение разработанной программы позволяет произвести выбор оптимальной методики расчета дополнительных фильтрационных сопротивлений.

3. Выработка практических рекомендаций на основе проведенного исследования.

Магистрант                                                                           

Научный руководитель                                                      

СОДЕРЖАНИЕ

Введение..............................................................................................................................

5

1   Краткий анализ работ по проблеме фильтрационных сопротивлений..................

7

1.1  Анализ существующих работ в области фильтрационных сопротивлений..........................................................................................................

7

2    Методика расчета фильтрационных сопротивлений..........................................

22

2.1   Методика расчета фильтрационного сопротивления, при притоке жидкости к несовершенной скважине по линейному закону фильтрации.........

22

2.1.1   Анализ функции Ψ(ρ0, )……..............................................................

24

2.2   Методика расчета коэффициента фильтрационного сопротивления обусловленного несовершенством скважины по степени вскрытия по приближенным формулам.......................................................................................

31

2.3   Методика расчета фильтрационных сопротивлений, обусловленных перфорацией……………………………..................................................................

35

2.4   Методика расчета фильтрационных сопротивлений при притоке жидкости (газа) к несовершенной скважине с экраном на забое........................

36

2.8  Методика расчета фильтрационных сопротивлений при неустановившемся притоке жидкости (газа) к несовершенной скважине в неограниченном пласте............................................................................................

38

3  разработка программного продукта для расчета фильтрационных сопротивлений по различным методикам...............................................................

40

3.1   Описание программного продукта и руководство к использованию……..

42

4 Исследование результатов расчета дополнительных фильтрационных сопротивлений по различным методикам...............................................................

47

4.1   Анализ расчета фильтрационного сопротивления, при притоке жидкости к несовершенной скважине по линейному закону фильтрации.........

47

4.2   Анализ решения задачи нахождения коэффициента фильтрационного сопротивления, обусловленного несовершенством скважины по степени вскрытия, по приближенным формулам................................................................

63

4.3    Анализ расчета фильтрационных сопротивлений при притоке жидкости (газа) к несовершенной скважине с экраном на забое........................

68

4.4   Анализ расчета фильтрационных сопротивлений при неустановившемся притоке жидкости (газа) к несовершенной скважине в неограниченном пласте............................................................................................

86

Заключение…………………………………..…..…...……………….………………….

93

Список использованных источников……...…………………………………………….

95

Приложение 1.…………………………………..……...……………...………………….

98

Приложение 2…………………………………..……......…………….………………….

149

Приложение 3…………………………………..…...…...…………….………………….

151

Приложение 4…………………………………..…...…...…………….………………….

153

Приложение 5.…………………………………..……...……………...………………….

154


ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время нефтегазовую промышленность России характеризует значительное ухудшение структуры нефтегазовых залежей. Поэтому разработка нефтегазовых месторождений является достаточно сложной задачей и требует, для успешного решения, системного подхода. Для повышения эффективности разработки месторождений требуется создание принципиально новых подходов в области исследования и моделирования процессов разработки нефтегазовых месторождений с использованием быстродействующих компьютеров для проведения сложных вычислений геологического и гидродинамического моделирования.

К настоящему времени теоретические решения для притока к совершенным скважинам исследованы достаточно полно. Однако аналогичных разработок по притокам к несовершенным скважинам недостаточно. При разработке несовершенных скважин необходимо оценить, интерпретировать и учесть фильтрационные сопротивления, которые могут быть вызваны многими факторами, такими как: частичное вскрытие пласта, сообщение скважины с пластом только через отверстия в колонне труб, установкой непроницаемой перегородки (экрана), наличием перфорации,  и исследовать их влияние на эффективность разработки нефтегазовых месторождений. Для области подземной гидрогазодинамики, в которой исследуются фильтрационные сопротивления, характерно большое количество сложных и трудоемких расчетов.

В связи с этим исследование методик расчета дополнительных фильтрационных сопротивлений и решение проблемы создания эффективных алгоритмов и программных продуктов, в которых реализованы основные аналитические решения расчета, весьма актуальны на сегодняшний день.

Решение комплекса проблем, связанных с  достоверным определением дополнительных фильтрационных сопротоивлений на скважинах является важной частью разработки нефтегазового месторождения, таким образом, цель данной магистерской диссертации заключается в том, чтобы на основе проведенного исследования оптимизировать данный процесс, а именно, создать программу для автоматизации расчета, провести анализ и выбор наиболее точной и обоснованной методики расчета, выработать практические рекомендации по расчету дополнительных фильтрационных сопротивлений.


1   КРАТКИЙ АНАЛИЗ РАБОТ, ПОСВЯЩЕННЫХ ПРОБЛЕМЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ СОПРОТИВЛЕНЙ

1.1 Анализ существующих работ в области фильтрационных сопротивлений

В современной нефтегазопромысловой отрасли большинство как нефтяных, так газовых скважин являются несовершенными. Гидродинамическое несовершенство скважины проявляется в том, что в призабойной зоне пласта с конечной мощностью отсутствует радиальность потока по причине, обусловленной конструкцией забоя или фильтра. Несовершенство может быть вызвано наличием в пласте подошвенной воды. В таком случае пласт вскрывается не на всю мощность с целью продления срока работы скважины без притока воды к забою, так как он ведет к снижению дебита нефти и газа или иным осложнения. Такой вид несовершенства называется несовершенством по степени вскрытия (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Скважина несовершенная по степени вскрытия

Скважина, хотя и доведённая до подошвы пласта, но сообщающаяся с пластом только через отверстия в колонне труб, в цементном кольце или в специальном фильтре, называется несовершенной по характеру вскрытия пласта (рис. 1.2). Несовершенство скважин по характеру вскрытия обычно обуславливается состоянием коллекторских свойств и обсадка продуктивной толщи производится с целью предотвращения разрушения призабойной зоны, что может произойти в случае слабоцементированных пород.  

Рис. 1.2. Скважина несовершенная по характеру вскрытия

На практике чаще всего встречаются скважины несовершенные как по степени, так и по характеру вскрытия пласта (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Скважина несовершенная как по степени, так и по характеру вскрытия

Изучению влияния несовершенства скважин на их производительность и определению коэффициентов фильтрационного сопротивления посвящены работы  М. Маскета, И.А. Чарного, А.Л. Хейна, Е.М. Минского, Г.Б. Пыхачева, А.М. Пирвердяна, В.И. Щурова и других ученых. Основная часть исследований посвящена влиянию несовершенства скважин на их производительность и определению коэффициента несовершенства при линейном законе сопротивления.

М. Маскет [1] исследовал приток к несовершенной скважине, вскрытой частично. Применяя метод бесконечного отображения элементарного стока с заданной интенсивностью вдоль линии поглощения относительно непроницаемой кровли и подошвы и суммируя члены для отдельных стоков, Маскет после некоторых преобразований получил два приближенных решения о распределении потенциала в пласте.

Формулы Маскета с достаточной точностью устанавливают распределение потенциала в ограниченном радиальном пласте, что было подтверждено экспериментами.  Исследованиям о притоке газа к несовершенной скважине по степени вскрытия пласта при нелинейном законе сопротивления посвящено ограниченное число работ. В работах Е.М. Минского было показано, что при рассмотрении задач фильтрации газа к скважине использование линейного закона ограничивается вследствие значительной скорости газа в призабойной зоне. Следовательно, дополнительное сопротивление, обусловленное вторым слагаемым в двучленной формуле притока, должно влиять на коэффициенты фильтрационного сопротивления.

Основываясь на исследованиях М.Маскета, П.Я. Полубаринова-Кочина [30], подошла к определению потенциала точечного стока в радиальном неограниченном пласте с непроницаемой кровлей, с помощью метода отображения стоков, и получила решение в виде расходящихся интегралов.

Е.М. Минским и П.П. Марковым [15] были проведены экспериментальные исследования по изучению влияния несовершенства на производительность скважин при нелинейном законе сопротивления в изотропных пластах. Однако полученные данные, как отмечают сами авторы, не позволяют установить какую-либо закономерность, что указывает на некачественность проведенных опытов. С целью получения достоверных данных, во ВНИИгазе была создана экспериментальная установка, на которой проведены опыты в изотропной и анизотропной средах. Опыты позволили существенно уточнить зависимость дебита от относительного вскрытия изотропного пласта и показали, что с уменьшением вертикальной проницаемости относительный дебит скважины, в зависимости от относительного вскрытия, уменьшается, приближаясь к значению, изменяющемуся линейно.

Аналитические решения задач о притоке к несовершенным скважинам рассмотрены во многих работах А.П. Телкова [4, 7, 9, 10, 14 и др.]. Им
был проведен анализ работ, в которых рассматривается инженерный подход при расчетах коэффициентов несовершенства, обусловленных перфорацией и частичным вскрытием. Также следует отметить ценные исследования
А.А. Литвинова [16], который дал количественную оценку гидродинамического совершенства скважин по данным исследования, проведенных в промысловых условиях на большом числе скважин, вскрытых пулевой и кумулятивной торпедной перфорацией. Анализ данных промысловых исследований приводит к выводу, что при качественной современной технике вскрытия пласта влияние фильтрационных сопротивлений, обусловленных характером вскрытия, на производительность скважины несущественно, т. е. коэффициенты совершенства близки к единице. Относительное вскрытие пласта  = 1, соответствует скважине, совершенной по степени вскрытия (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Совершенная скважина

Задача нахождения фильтрационного сопротивления при притоке жидкости к несовершенной скважине по линейному закону была рассмотрена М. Масктетом в работе [1]. Вдоль оси скважины на вскрытой он располагал воображаемую линию, поглощающую жидкость, каждый элемент которой является стоком. Интенсивность расходов, т.е. дебитов, приходящихся на единицу длины поглощающей линии, подбиралась различной в разных её точках для выполнения нужных граничных условий. Подбирая интенсивность расходов и, используя метод суперпозиции действительных и отображённых стоков, М. Маскет получил формулу для дебита гидродинамически несовершённой по степени вскрытия пласта скважины. Формула М.Маскета дает хорошие результаты, при не слишком малом относительном вскрытии, а так как она проще остальных формул, то ею обычно и пользуются для скважин, несовершенных по степени вскрытия, но

совершенных по характеру вскрытия. В формуле Маскета используется сложная функция , которая содержит в себе логарифмическую зависимость и гамма-функцию Эйлера. Поэтому часто для получения значения  пользуются не расчетной формулой, а графической зависимостью, точность которой ограничена. Формула Маскета имеет еще одно существенное замечание, она была получена для условия, что радиус контура питания пласта R0 , больше его мощности. В этом случае формула дает достаточно хорошие результаты. Формулой Маскета можно пользоваться и когда радиус контура питания R0 меньше толщины пласта, до соотношения . Но в этом случае формула Маскета будет давать менее точные результаты.

В трудах Чарного [8], и Телкова [4, 9, 21] было показано, что любое решение для притока жидкости к несовершенной скважине можно представить обобщенной формулой Дюпюи, введя дополнительные фильтрационные сопротивления скважины. На основании этого Ю.И Сткляниным и А.П. Телковым [7]  было получено решение для потенциала несовершенной скважины, которое учитывает анизотропию пласта. С.И. Грачевым и А.П. Телковым [4] был проведен сравнительный анализ числовых расчетов по формуле фильтрационного сопротивления Маскета и решению Стклянина-Телкова, который показал, что полученные значения достаточно близки.

В современной нефтегазовой промышленности большая часть нефтяных и газовых скважин в силу различных геологических и технических причин вскрывают коллекторы не на всю мощность. Такие скважины являются несовершенными по степени вскрытия. Аналитические решения для притока к несовершенным скважинам следуют из формулы Дюпюи для совершенных скважин, введением в нее коэффициента дополнительного фильтрационного сопротивлении С1, который учитывает несовершенство по степени вскрытия.

Решению задачи притока к несовершенным по степени вскрытия скважинам посвящены работы многих авторов. В.И. Щуровым были проведены экспериментальные исследования на электролитических моделях методом ЭГДА. Суть метода заключается в следующем: в электролитическую ванну погружаются два электрода. Один из них моделирующий внешнюю границу пласта, другой - скважину. Глубина погружения электрода характеризует частичное вскрытие пласта. Пропуская электрический ток через электролит, В.И. Щуров определял силу тока по закону Ома. В методе электрогидродинамической аналогии в геометрически подобных системах токи являются аналогом фильтрующейся жидкости, разность потенциалов перепадов давления и омические сопротивления – фильтрационных сопротивлений.

Измеряя разность потенциалов и силу тока, В. И. Щуров подсчитал сопротивление по закону Ома, сделал пересчёт на фильтрационное сопротивление и определил дополнительное фильтрационное сопротивление.

По результатам эксперимента В.И. Щуров построил множество кривых, характеризующих приток жидкости к несовершенным скважинам, как по степени, так и по характеру вскрытия. Экспериментальные данные полученные В.И. Щуровым при моделировании притока к несовершенным скважинам на электролитических моделях представлены в виде номограмм в работе [6]. Номограммы Щурова представляют собой зависимость
, где , и широко применяются  в нефтепромысловой практике для определения коэффициентов фильтрационных сопротивлений, вызванных несовершенством как по степени, так и по характеру вскрытия.

Графические зависимости Щурова непригодны для решения задач на ЭВМ, так как они ограничены количеством представленных зависимостей для параметра a и недостаточной точностью графического определения. Поэтому для разработки программных продуктов на ЭВМ требуются аналитические решения. Для этого используются приближенные формулы.

Впервые задача нахождения коэффициента фильтрационного сопротивления обусловленного несовершенством скважины по степени вскрытия была рассмотрена аналитически М. Маскетом [1]. Опираясь на исследования Маскета, И.А Чарный получил формулу для коэффициента С1 [8], которая включает в себя сложную логарифмическую зависимость от гамма функции Эйлера. Приближенную формулу для притока жидкости к несовершенной скважине получил и А.М. Пирвердян [2]. Н.С. Благонравовым и Т.Г. Степаненко произведена сравнительная оценка коэффициента фильтрационного сопротивления С1, обусловленного несовершенством по степени вскрытия при линейном законе фильтрации для однородно-изотропного пласта, и приведена в работе Г.Б. Пыхачева [3]. В широком диапазоне сравнивались численные значения полученные по приближенным формулам Пирвердяна и Пыхачева с экспериментальными данными Щурова. Сравнительный анализ показал, что формула Пирвердяна дает завышение значения С1, а формула Пыхачева достаточно близка к результатам метода ЭГДА. Следует отметить, что эти формулы не учитывают анизотропию пласта, а зависят только от толщины пласта, относительного вскрытия, и радиуса скважины.

Аналитическое решение с учетом анизотропии пласта получено А.П. Телковым и С.И. Грачевым в работе [4], а также проведено сопоставление результатов приближенных формул Телкова, Чарного, Пыхачева и Пирвердяна с данными Щурова. Сравнение показало, что наиболее близкие результаты к экспериментальным данным В.И. Щурова дает формула Телкова. Так, при
/ = 200 отклонение не превосходит 8%, а при / = 50 оно составляет 5,5%. Формулы Г.Б. Пыхачева и А.М. Пирвердяна дают завышенные значения С
1, а по М. Маскету и Чарному получаются заниженные значения. Вторая часть формулы Телкова содержит в себе сложную функцию  от параметра , обратнопропорционального анизотропии и относительного вскрытия, и вычисляется с помощью гиперболического синуса и специальных Бесселевых функций первого рода нулевого и первого порядка. Значения функции  затабулированы А.П. Телковым в широком диапазоне параметров
.

М.Н Велиев [5] исследовал гидродинамические задачи притока жидкости к вертикальной скважине, которая вскрыла толщину продуктивного пласта в произвольном интервале. Целью исследования являлось получение аналитических выражений для коэффициентов дополнительных фильтрационных сопротивлений, на основании которых можно было бы составить алгоритмы решаемой задачи и машинные программы для использования их при проведении вычислительной работы на компьютерах. Результатом работы стали приближенные формулы для определения коэффициентов С1, учитывающие анизотропию пласта.

В современной литературе приток к несовершенной скважине с открытым забоем, т.е. несовершенной степени вскрытия достаточно хорошо изучен как аналитически, так и экспериментально.  

Более сложными являются задачи о притоке жидкостей или газа к скважине, обсаженной и перфорированной. Впервые эта задача в приближенной постановке решена в 1943 году М. Маскетом [1]. Позднее она рассматривалась в работах М.Н. Тихова [17] и А.Л. Хейна [18], которые решили задачу о притоке жидкости и газа к скважинам, несовершенным по характеру и степени вскрытия при условии существования меридиально симметричных поверхностей перфорации. А. Л. Хейном была разработана теория установившегося притока жидкостей и газа к несовершенной скважине с меридиально-симметричной конструкцией забоя, и получено решение для определения коэффициента несовершенства в виде ряда. В 1964г. М.Н. Тихов [2],  изложил математическую теорию притока жидкости к несовершенной по характеру вскрытия пласта скважине и построена метрическая теория интерференции малых отверстий. Также М.Н. Тихов обосновал  закон существования оптимального числа отверстий, превышение которого уже не приводит к существенному возрастанию дебита. Решения оказались весьма сложные, почему и не получили до сих пор практической реализации. Автор не дал в монографии доступных инженерных решений. Исследования А.П. Телкова  аналитических решений Тихова  не дали результатов для практических целей. Например, для самого простейшего случая, когда имеется одно отверстие в колонне, следует непригодная формула для дебита, которая к тому же не учитывает глубину канала.

Дополнительное фильтрационное сопротивление, вызванное перфорацией, было исследовано М. Харрисом [19], методом математического моделирования. Также было установлено, что основными факторами, влияющими на продуктивность скважины, являются глубина проникновения пуль в породу, плотность отверстий и их расположение. В работе М. Харриса показано, что с увеличением глубины резко возрастает производительность скважины. Из этого следует важный вывод, что увеличение глубины проникновения пуль в твердых породах и улучшение техники вскрытия пласта может дать такой эффект, что для некоторых скважин отпадет необходимость в производстве дорогостоящего гидравлического разрыва пласта. М. Харрис получил зависимости дополнительных фильтрационных сопротивлений от соответствующих параметров, обусловленных перфорацией. Экспериментальные исследования проводились и В.И. Щуровым методом электрогидродинамической аналогии, по результатам которых были построены номограммы для определения коэффициента фильтрационного сопротивления, обусловленного перфорацией. Зависимости, полученные экспериментально М. Харрисом и В.И. Щуровым имеют некоторые ограничения, такие как: недостаточный диапазон исходных параметров, графическая приближенность определения и др. А также эти графические зависимости не учитывают анизотропию пласта.

А.П. Телков в своих трудах [4,21] проанализировал возможность использования графиков Харриса для практических целей и пришел выводу, что использование графиков М. Харриса весьма затруднительно, так как они представлены в полулогарифмических координатах в широких пределах  С0 и ограниченных пределах исходных параметров. Поэтому часто совсем не представляется возможность определить по ним дополнительные сопротивления С0. Кроме этого, накладывается ограничение их применения схемой перфорации. Поэтому они могут служить лишь как эталон для сравнения результатов по приближенным формулам для специально подобранных исходных параметров, но не как рабочие графики.

Графики В.И. Щурова рассматривались группой авторов: З.С. Алиев, С.А. Андреев, А.П. Власенко, Ю.П. Коротаев [24]. Они пришли к следующему: номограммы В.И. Щурова ограничены глубиной прострела, малой точностью графического определения коэффициента  С0  и многофакторностью, что не позволяет приводить графики в широком диапазоне переменных параметров.

Наиболее простым и практически приемлемым для дебита перфорированной скважины является решение, полученное Е.Б Соловкиным и Н.А. Соловкиной [20]  на основе исследованиях Ю.П. Борисова, В.П. Пилатовского и В.П. Табакова. Оно справедливо для любой схемы вскрытия

при условии, что каждый из перфорационных каналов ограничен горизонтальными плоскостями с одинаковыми расстояниями между отверстиями и плоскостями. Это решение было рассмотрено в более общей постановке А.П. Телковым [4] со следующими условиями: пласт однородно-анизотропный, горизонтальный, ограниченный непроницаемыми кровлей и подошвой с конечным радиусом контура питания, скважина экранированная, несовершенная по степени и характеру вскрытия.

Используя многозонную схему притока к единичному каналу, для соответствующих зон можно записать следующие формулы притока через потенциалы с учетом верхних горизонтальных плоскостей.

Существуют многочисленные труды, в которых рассматривалась задача о притоке к скважине с экраном на забое в различной постановке
[9, 10 и др.]. Профессором А.П. Телковым [10] показано, что дополнительные фильтрационные сопротивления, обусловленные экраном на забое, возрастают с увеличением размеров экрана. Особенно резкое увеличение наблюдается для малых вскрытий , и при решении практической инженерной задачи о выборе оптимального вскрытия пластов, подстилающихся подошвенной водой, слишком малые относительные вскрытия неприемлемы из-за больших фильтрационных сопротивлений.

Впервые детальный анализ распределения потенциала вдоль вскрытой части однородного пласта на поверхности забоя дан М. Маскетом [1]. Им установлено, что зона пространственного притока для однородного пласта составляет порядка двух толщин продуктивного пласта. Опираясь на исследования М. Маскета о распределении потенциала, вызванного работой несовершенной скважины, И.А. Чарный [8] предложил оригинальный двухзонный метод решения задач подземной гидрогазодинамики, заключающийся в «сшивании» решений для зоны пространственного притока (аналитическое решение для притока к несовершенной скважине) и плоскорадиального притока (внешняя зона) по формуле Дюпюи. Впоследствии этот метод был широко использован гидродинамиками.

Работы М. Маскета [1] и И.А. Чарного [8] показали, что любое аналитическое решение для потенциала несовершенной скважины по степени вскрытия справедливо в том случае, если радиус контура питания соизмерим  с толщиной пласта, т.е. для области явно пространственного притока. И.А. Чарный предложил принимать радиус контура питания в размере 1-1,5 толщины пласта. Количественная оценка произведенная А.П. Телковым [9] позволяет принять за критерий параметр . Для относительного вскрытия пласта  и безразмерного параметра , что выполняется в большинстве практических случаев, зона пространственного притока с большой степенью точности может быть принята равной . При  зона пространственного притока для практических расчетов принимается за две толщины пласта .

А.П. Телков, используя метод Чарного, рассмотрел в работе [4] задачу о притоке к несовершенной скважине по степени вскрытия с экраном на забое для однородно-анизотропного кругового пласта, и получил формулу для эксцентрично расположенной скважины в круговом пласте с экранированным забоем. В.Н. Щелкачев и С.Н. Назаров в статье [11] предложили решение для нескольких взаимодействующих несовершенных скважин в круговой батарее. Для взаимодействующих несовершенных скважин в пласте с прямолинейным контуром питания аналогичным образом могут быть введены в формулы  дополнительные фильтрационные сопротивления [9].

Задача о притоке реального газа к несовершенной скважине при нелинейном законе сопротивления в приближенной постановке рассматривалась в работах Е.М. Минского [12] и Г.А. Зотова [13]. Е.М. Минский показал, что коэффициент фильтрационного сопротивления, как при линейном, так и при квадратичном законе фильтрации зависит только от геометрии потока. Е.М. Минский показал, что фильтрация газа к скважине происходит по нелинейному закону вследствие значительной скорости движения газа, особенно в призабойной зоне. Задача осложняется еще и тем, что в реальных несовершенных по степени и особенно по характеру вскрытия скважинах, отсутствуют достоверные данные о геометрии несовершенства.  

А.П. Телковым [4] была проанализирована задача о притоке реального газа к несовершенной скважине с учетом анизотропии, и был предложен несколько иной подход к расчету фильтрационных сопротивлений, обусловленных несовершенством скважины по степени вскрытия. Точность определения коэффициентов  С1 и С2 представляется чрезвычайно важной, так как по ним обычно определяют коэффициенты А и В, входящие в уравнения притока, по которым рассчитывается гидропроводность и проницаемость пласта, а также радиус дренирования и коэффициент макрошероховатости. Так же А.П. Телковым был предложен алгоритм расчета коэффициентов фильтрационных сопротивлений С1 и С2 . Сначала по формулам графикам или таблицам рассчитывается коэффициент С1 для линейного закона фильтрации. Затем зная значение С1, определяется значение функции , – которая есть функция, зависящая от несовершенства скважины по степени вскрытия, геометрии пласта и скважины, анизотропии пласта. Функция дополнительного фильтрационного сопротивления рассчитывалась c учетом функции . Результаты затабулированы для коэффициентов дополнительного фильтрационного сопротивления С1 и С2 и представлены графически [14]. А.П. Телков провел исследование для величины предельного относительного вскрытия , т.е. такое значение относительного вскрытия, при котором коэффициенты С1 и С2 равны. По результатам вычислительных экспериментов профессор А.П. Телков заключил, что является  важной характеристикой при определении дополнительных фильтрационных сопротивлений С1 и С2. Точка предельного относительного вскрытия  примечательна следующими свойствами:

  •  Для относительных вскрытий пласта  дополнительные фильтрационные сопротивления резко возрастают с уменьшением относительного вскрытия. При этом С2 > С1.
  •  Для  дополнительные фильтрационные сопротивления С1 и С2 понижаются более плавно с увеличением , при этом С2 < С1.

Поэтому оптимальные относительные вскрытия пластов находятся в области .

Там же А.П. Телков привел решение для неустановившегося притока сжимаемой жидкости или газа к несовершенной скважине в однородно-анизотропном неограниченном по протяженности пласте по линейному закону фильтрации. Оно может быть использовано для определения понижения давления на забое скважины после ее пуска, повышения давления на забое после остановки скважины, а также с целью анализа распределения давления в пласте во время работы скважины. Трудность использования указанных уравнений для практических целей заключается в их сложности. Эти аналитические решения не могут быть использованы для инженерных задач из-за трудности реализации их различных модификаций. Чтобы избежать этого А.П. Телковым была использована интегральная показательная функция и ряд включающий в себя интегралы вероятности. Несовершенство скважины при этом учитывалось путем введения добавочных фильтрационных сопротивлений С1, взятых из решения задач для установившегося притока. Расчет функции фильтрационного сопротивления  был произведен В.И. Леоновым на БСМ-Минск-32, ОС “Фортран” в «СибНИИНП» объединения «Главтюменнефтегаз» В.И. Леоновым. Для расчета был разработан алгоритм. Исходные параметры менялись в широком диапазоне. Функция затабулирована и расчетные значения приведены в приложениях [4]. Дальнейшие анализы поведения функции показали, что при rc ≥ 0,10 для любого функция сопротивления не зависит от параметра Фурье f0, а зависит только от геометрии пласта. При rc<0,01 с некоторого значения параметра Фурье функция безразмерного сопротивления  также не зависит от параметра Фурье, что свидетельствует о квазиустановившемся притоке.

В нефтегазопромысловой практике расчетов, связанных с неустановившемся притоком и учетом несовершенства скважин, принимаются значения фильтрационных сопротивлений, относящихся к установившемуся притоку в ограниченном пласте. А.П. Телковым были произведены сопоставления значений функции сопротивления для квазиустановившегося притока при величине параметра Фурье fо=10−9 со значениями добавочных фильтрационных сопротивлений для установившегося притока в ограниченном пласте. Построенные графические зависимости показывают, что всюду значения функции сопротивления превосходят значения фильтрационных сопротивлений при установившемся притоке (R>C1). С другой стороны, было отмечено, что качественный характер поведения функции фильтрационного сопротивления аналогичный.

В условиях взаимодействия несовершенных нефтяных и газовых скважин при линейном и нелинейном законах фильтрации формулы и методика расчета фильтрационных сопротивлений остаются справедливыми.

Большое количество трудов, посвященных определению фильтрационных сопротивлений при притоке жидкостей и газа к несовершенным скважинам, свидетельствуют о большом практическом интересе к ним при проектировании и разработки нефтяных и газовых месторождений.


2   ИССЛЕДОВАНИЕ И АНАЛИЗ МЕТОДИК РАСЧЕТА ФИЛЬТРАЦИОННЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ

В данной главе будет произведено исследование методик расчета фильтрационных сопротивлений.

2.1  Методика расчета фильтрационного сопротивления, при притоке жидкости к несовершенной скважине по линейному закону фильтрации

Приток жидкости к скважине определяется формулой Дюпюи:

,     (2.1)

где Q – объемный дебит жидкости, м3/с; k – коэффициент проницаемости, м2;
h – эффективная нефтенасыщенная толщина пласта, м;  – разность давления, Па; μ – динамическая вязкость, Па·с; R0 – радиус контура питания скважины, м; rc – радиус скважины, м;

Любое решение для притока жидкости к несовершенной скважине
(рис. 2.1) можно представить обобщенной формулой Дюпюи, введя дополнительные фильтрационные сопротивления [4, 21]
.

Рис. 2.1. Схема притока к несовершенной скважине в ограниченном однородно-анизотропном пласте

Задача о притоке жидкости к несовершенной по степени вскрытия  скважине в пласте конечной толщины h0 исследовалась М. Маскетом [1]. Вдоль оси скважины на вскрытой части длиной b он располагал воображаемую линию, поглощающую жидкость, каждый элемент которой является стоком. Подбирая интенсивность расходов, и используя метод суперпозиции действительных и отображённых стоков, М. Маскет получил следующую формулу для дебита гидродинамически несовершенной по степени вскрытия пласта скважины:

,      (2.2)

где

    (2.3)

есть функция фильтрационного сопротивления.

Функция  имеет следующее аналитическое выражение:

 ,    (2.4)

где  – гамма функция Эйлера. Гамма функция Эйлера раскладывается в ряд следующим образом:

.       (2.5)

А.П. Телков на основе решения Стклянина-Телкова [7] для потенциала несовершенной скважины

,      (2.6)

где  – эксцентриситет;  – потенциал скорости фильтрации на контуре питания;  – потенциал скорости фильтрации на контуре скважины.

Получил выражение для расчета фильтрационного сопротивления:

,        (2.7)

в котором функция  определяется как:

;    (2.8)

где  – положительный корень уравнения ;  – функция Бесселя первого рода нулевого порядка;  – функция Бесселя первого рода первого порядка;  – гиперболический синус;  – относительное вскрытие пласта;  - безразмерный параметр, определяемый по следующей формуле:

.          (2.9)

2.1.1 Анализ функции

Для расчета сложной функции , которая была аналитически выведена Ю.И. Сткляниным и А.П. Телковым [7] и используется во многих решениях, при нахождении фильтрационных сопротивлений по линейному закону фильтрации, поэтому необходимо ее подробно рассмотреть. Функция  включает в себя гиперболическую функцию синуса , специальные функции, такие как функция Бесселя 1-го рода нулевого порядка  и функция Бесселя 1-го рода первого порядка , и ряд суммы от 1 до ∞.

Графическое изображение функций  и  для от 0 до 100 представлено на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Функции Бесселя первого рода нулевого  и первого  порядка

Был разработан программный продукт для расчета функции . Для нахождения корней функции Бесселя 1-го рода нулевого порядка  алгоритм [22].

Таблица 2.1 – Первые 100 положительных корней уравнения

Положительные корни уравнения J0i)=0

μ1

2,4048256

μ26

80,8975559

μ51

159,4366112

μ76

237,9761688

μ2

5,5200781

μ27

84,0390908

μ52

162,5781887

μ77

241,1177546

μ3

8,6537279

μ28

87,1806298

μ53

165,7197667

μ78

244,2593406

μ4

11,7915344

μ29

90,3221726

μ54

168,8613454

μ79

247,4009267

μ5

14,9309177

μ30

93,4637188

μ55

172,0029245

μ80

250,5425130

μ6

18,0710640

μ31

96,6052680

μ56

175,1445041

μ81

253,6840995

μ7

21,2116366

μ32

99,7468199

μ57

178,2860842

μ82

256,8256861

μ8

24,3524715

μ33

102,8883743

μ58

181,4276647

μ83

259,9672729

μ9

27,4934791

μ34

106,0299309

μ59

184,5692456

μ84

263,1088598

μ10

30,6346065

μ35

109,1714896

μ60

187,7108270

μ85

266,2504469

μ11

33,7758202

μ36

112,3130503

μ61

190,8524087

μ86

269,3920340

μ12

36,9170984

μ37

115,4546127

μ62

193,9939907

μ87

272,5336214

μ13

40,0584258

μ38

118,5961766

μ63

197,1355731

μ88

275,6752088

μ14

43,1997917

μ39

121,7377421

μ64

200,2771558

μ89

278,8167963

μ15

46,3411884

μ40

124,8793089

μ65

203,4187388

μ90

281,9583840

μ16

49,4826099

μ41

128,0208770

μ66

206,5603221

μ91

285,0999717

μ17

52,6240518

μ42

131,1624463

μ67

209,7019057

μ92

288,2415596

μ18

55,7655108

μ43

134,3040166

μ68

212,8434896

μ93

291,3831474

μ19

58,9069839

μ44

137,4455880

μ69

215,9850736

μ94

294,5247357

μ20

62,0484692

μ45

140,5871604

μ70

219,1266580

μ95

297,6663239

μ21

65,1899648

μ46

143,7287336

μ71

222,2682426

μ96

300,8079121

μ22

68,3314693

μ47

146,8703076

μ72

225,4098274

μ97

303,9495005

μ23

71,4729816

μ48

150,0118825

μ73

228,5514125

μ98

307,0910889

μ24

74,6145006

μ49

153,1534580

μ74

231,6929977

μ99

310,2326775

μ25

77,7560256

μ50

156,2950343

μ75

234,8345831

μ100

313,3742661

Переход для функций Бесселя первого рода к интегральному виду осуществляется по формуле:

.      (2.11)

Для вычисления значений функции , функция Бесселя первого рода первого порядка была представлена интегралом Бесселя:

;     (2.12)

Интеграл (2.12) вычислялся приближенно методом Симпсона [23], по алгоритму [22], с точностью . Результаты расчета затабулированы и представлены в табл. 2.2.

Таблица 2.2 – Значения функции Бесселя первого рода первого порядка J1(mi)

Значения функции J1i)

i

J1i)

i

J1i)

i

J1i)

i

J1i)

1

0,5191475

26

-0,0887108

51

0,0631898

76

-0,0517218

2

-0,3402648

27

0,0870369

52

-0,0625763

77

0,0513838

3

0,2714523

28

-0,0854542

53

0,0619803

78

-0,0510523

4

-0,2324598

29

0,0839549

54

-0,0614011

79

0,0507271

5

0,2065464

30

-0,0825319

55

0,0608377

80

-0,0504080

6

-0,1877288

31

0,0811788

56

-0,0602896

81

0,0500949

7

0,1732659

32

-0,0798902

57

0,0597561

82

-0,0497876

8

-0,1617015

33

0,0786610

58

-0,0592365

83

0,0494859

9

0,1521812

34

-0,0774869

59

0,0587302

84

-0,0491895

10

-0,1441810

35

0,0763638

60

-0,0582366

85

0,0488985

11

0,1372969

36

-0,0752882

61

0,0577553

86

-0,0486125

12

-0,1313246

37

0,0742568

62

-0,0572858

87

0,0483315

13

0,1260695

38

-0,0732667

63

0,0568275

88

-0,0480553

14

-0,1213986

39

0,0723151

64

-0,0563800

89

0,0477838

15

0,1172112

40

-0,0713997

65

0,0559429

90

-0,0475169

16

-0,1134292

41

0,0705182

66

-0,0555159

91

0,0472544

17

0,1099911

42

-0,0696686

67

0,0550985

92

-0,0469961

18

-0,1068479

43

0,0688489

68

-0,0546903

93

0,0467421

19

0,1039596

44

-0,0680575

69

0,0542911

94

-0,0464921

20

-0,1012935

45

0,0672928

70

-0,0539005

95

0,0462461

21

0,0988226

46

-0,0665533

71

0,0535182

96

-0,0460040

22

-0,0965240

47

0,0658376

72

-0,0531440

97

0,0457657

23

0,0943788

48

-0,0651446

73

0,0527775

98

-0,0455310

24

-0,0923705

49

0,0644730

74

-0,0524184

99

0,0452998

25

0,0904852

50

-0,0638217

75

0,0520666

100

-0,0450722

Преобразуем формулу (2.8) для расчета. Для этого нужно избавиться от бесконечности в верхнем пределе суммы, заменив ее на целое число N. N определяется из следующего неравенства:

,  (2.13)

где  – точность расчета ряда суммы. Здесь она принимается 10-5. Такую точность обеспечивает N≈100.

А.П. Телковым [4, 21] для нахождения значения  предложены табулированные значения  в диапазоне  и
с достаточно большим шагом (табл. 2.3), и графическая зависимость функции  (рис. 2.3), которые используются для определения коэффициентов дополнительного фильтрационного сопротивления в работах автора. Номограмма, представляющая функцию  графически, имеет ограниченное количество кривых для , что не позволяет проводить расчеты в широком диапазоне переменных данных.

Сопоставим результаты полученные по формуле

         (2.14)

с табличными данным А.П. Телкова. Так для   значение  по формуле, а из таблицы находим  . При  значения , и  по формуле и таблице соответственно. Занижение примерно на 3% справедливо для всех  представленных в таблице. Это объясняется тем, что табулированные данные были вычислены для N=40. Значение N было установлено методом перебора (равномерного поиска). Для N=40, , а так как значения под знаком суммы положительны при любом , то эту разницу будет составлять

.        (2.15)

Подводя итоги вышеизложенному, следует отметить, что затабулированные в работе [4] значения функции  рассчитаны до сорокового члена ряда суммы и обеспечивают удовлетворительную точность расчетов, но современная компьютерная техника позволяет производить более точные вычисления. Так приняв количество членов ряда суммы , получим более высокую точность расчетов, и отличие от значений в табл 2.3 на 3% в большую сторону.

Таблица 2.3 – Табулированные значения функции

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,1

0,3552

0,1787

0,1191

0,0893

0,0715

0,0596

0,0511

0,0447

0,0395

0,111

0,3928

0,1983

0,1322

0,0992

0,0793

0,0661

0,0567

0,0496

0,0436

0,125

0,4456

0,2263

0,1509

0,1132

0,0906

0,0647

0,0647

0,0566

0,0495

0,143

0,5097

0,2612

0,1743

0,1307

0,1046

0,0872

0,0747

0,0653

0,0566

0,167

0,59

0,3069

0,205

0,1538

0,123

0,1025

0,0879

0,0767

0,0656

0,2

0,6956

0,3699

0,2479

0,186

0,1488

0,124

0,1063

0,0925

0,0773

0,25

0,8376

0,4612

0,3115

0,2341

0,1873

0,156

0,1335

0,1135

0,0931

0,3

0,98

0,557

0,382

0,287

0,23

0,192

0,164

0,139

0,109

0,333

1,0373

0,6004

0,4125

0,3115

0,2495

0,2077

0,1768

0,1501

0,1153

0,4

1,204

0,72

0,503

0,383

0,304

0,255

0,216

0,18

0,134

0,5

1,3646

0,854

0,6101

0,4685

0,377

0,3123

0,2615

0,2135

0,1516

0,6

1,525

0,947

0,717

0,557

0,45

0,371

0,308

0,246

0,17

0,7

1,653

1,097

0,81

0,585

0,516

0,424

0,349

0,274

0,183

0,8

1,8

1,213

0,91

0,713

0,58

0,476

0,39

0,303

0,2

0,9

1,873

1,287

0,975

0,773

0,628

0,515

0,418

0,322

0,208

1

1,9585

1,3654

1,044

0,8326

0,6781

0,5551

0,4474

0,4314

0,2176

2

2,54

1,9

1,515

1,24

1,015

0,823

0,65

0,475

0,282

4

3,09

2,45

1,975

1,632

1,345

1,05

0,845

0,603

0,343

10

3,68

3,03

2,535

2,123

1,756

1,415

1,09

0,757

0,4

50

4,181

3,67

3,184

2,715

2,259

1,81

1,365

0,918

0,465

100

4,251

3,779

3,306

2,834

2,362

1,889

1,417

0,945

0,472

Рис. 2.3. Графическое изображение функции

2.2   Методика расчета коэффициента фильтрационного сопротивления обусловленного несовершенством скважины по степени вскрытия по приближенным формулам

В нефтепромысловой практике для определения коэффициента дополнительного фильтрационного сопротивления, обусловленного относительным вскрытием, широко используются номограммы Щурова [6]. Но графические зависимости не пригодны для решения прикладных задач, так как для разработки программных продуктов требуются аналитические решения. Для этого используются приближенные формулы.

Задача нахождения коэффициентов фильтрационного сопротивления обусловленного несовершенством скважины по степени вскрытия рассматривалась многими авторами. Впервые она была рассмотрена
М. Маскетом [1]  
получена следующая формула для дебита  несовершённой по степени вскрытия пласта скважины:

;      (2.16)

где

;             (2.17)

И.А. Чарный на основании формулы (2.17) М. Маскета предложил следующее решение для коэффициента фильтрационного сопротивления, обусловленного несовершенством по степени вскрытия:

;               (2.18)

Функция  выражается следующим образом:

;               (2.19)

где Г(x) – гамма функция Эйлера, которая раскладывается в ряд по
формуле (2.5).

Для коэффициента С1 А.М. Пирвердян [2] получил выражение:

;     (2.20)

Пыхачев Г.Б. в работе [3] предложил для расчета коэффициента С1 формулу:

;          (2.21)

где

.              (2.22)

Формулы Чарного, Пирвердяна и Пыхачева зависят от трех параметров: толщина пласта (h0), относительного вскрытия (), и радиуса скважины (rc). В формуле Пыхычева  - вскрытие пласта определяется как:

.           (2.23)

Также интересна формула А.П. Телкова, представленная в работе «Пространственная фильтрация и прикладные задачи разработки нефтегазоконденсатных месторождений и нефтедобыча» [4]


,           (2.24)

где  определяется по формуле (2.14), подробный анализ которой представлен в разделе 2.1.1.

Формула Телкова (2.24) позволяет, через функцию , учесть еще один важный параметр – анизотропию пласта (), что не представляется возможным при использовании формул Чарного, Пирвердяна и Пыхачева.

Формула, полученная М.Н. Велиевым в работе [5]:

,  (2.25)

так же учитывает анизотропию пласта ().

А.П. Телковым было замечено, что формулы для нахождения коэффициента фильтрационного сопротивления С1, обусловленного несовершенством скважины по степени вскрытия зависят только от геометрических размеров и анизотропии пласта и не зависят от свойств жидкости. Поэтому, можно сделать вывод, что рассмотренные формулы Чарного, Пирвердяна, Пыхачева, Телкова и Велиева, а также графические зависимости В.И. Щурова, остаются справедливыми и для притока газа и газожидкостных смесей.

Номограммы Щурова (рис 2.5) представляют собой зависимость

,          (2.26)

где

.

На номограммах Щурова графические зависимости представлены для . На оси абсцисс располагается относительное вскрытие пласта , на оси ординат – дополнительное фильтрационное сопротивление, обусловленное частичным вскрытием  Коэффициент  определяется по левой шкале при
, по правой шкале в случае, если . Следует заметить, что номограммы В.И. Щурова для коэффициента дополнительного фильтрационного сопротивления , несовершенством скважины по степени вскрытия, справедливы для значений анизотропии . График, построенный по экспериментальным данным метода ЭГДА В.И. Щуровым, приведен на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Зависимость , для скважин несовершенных по степени вскрытия

2.3   Методика расчета фильтрационных сопротивлений, обусловленных перфорацией (несовершенство по характеру вскрытия)

Приток к перфорированной скважине изучен аналитически, так и экспериментально менее хорошо, нежели приток к скважине несовершенной только по степени вскрытия.

Широко известные графические зависимости В.И. Щурова [6] и М.Х. Харриса [19] дополнительных фильтрационных сопротивлений, обусловленных перфорацией, имеют следующие ограничения: недостаточный диапазон исходных параметров, графическая приближенность определения, не учет анизотропии пласта. Эмпирические формулы В.И. Щурова приведенные в учебнике Г.Б. Пыхачева и  Р.Г Исаева [25], не отражают изменения глубины прострела и радиуса скважины, а потому не могут дать правильных результатов.

Наиболее простой и практически приемлемой для реализации является формула дебита перфорированной скважины [20]

,    (2.27)

которая справедлива для любой схемы вскрытия (кроме спирального расположения перфорационных каналов) при условии, что каждый из  перфорационных каналов длиной  и радиусом  ограничен  горизонтальными плоскостями с одинаковыми расстояниями между отверстиями и плоскостями.

Рассмотрев эту задачу в общей постановке А.П. Телков [4], после некоторых  преобразований получил формулу для дополнительного фильтрационного сопротивления, обусловленного перфорацией

,     (2.28)

где  – относительное вскрытие пласта,  – радиус скважины, м,  – радиус перфорационного отверстия, м,  – глубина канала перфорации, м,
– плотность перфорации, отв./м.

2.4  Методика расчета фильтрационных сопротивлений при притоке жидкости (газа) к несовершенной  скважине с экраном на забое

И.А. Чарным был предложен двухзонный метод решения задач подземной гидрогазодинамики, заключающийся в сшивании решений для зоны пространственного и плоскорадиального притока по формуле Дюпюи.

А.П. Телков [4] использовал схему разделения потока на три зоны, которая представлена на рис. 2.7. Он ограничил зону пространственного движения радиусами , и принял ее равной толщине пласта . Тогда .

Рис. 2.7. Многозонная схема притока к экранированной скважине

Для I и III зон А.П. Телков записал формулу для притока согласно формуле Дюпюи. Приток в первой зоне будет выражаться

,      (2.29)

а в третьей зоне

.      (2.30)

Для второй зоны формула притока будет выглядеть следующим образом:

,      (2.31)

где

; .    (2.32)

После исключения неизвестных потенциалов  и  на соответствующих цилиндрических поверхностях по правилу производных пропорций и вводя дополнительное фильтрационное сопротивление С0  за счет перфорации, после некоторых преобразований А. П. Телков получил обобщенную формулу притока к несовершенной скважине с экраном на забое [26]:

,     (2.33)

где – дополнительное фильтрационное сопротивление, определяемое по формуле (2.28); – дополнительное фильтрационное сопротивление, обусловленное относительным вскрытием определяемое по формулам (2.24), (2.14), – дополнительное фильтрационное сопротивление, обусловленное экраном по формуле

,         (2.34)

в которой   – радиус экрана.

Для эксцентрично расположенной скважины в круговом пласте принимается формула [4]:

,        (2.35)

в которой  – эксцентриситет, S – сумма дополнительных фильтрационных сопротивлений:

.             (2.36)

Для расчета фильтрационного сопротивления нескольких взаимодействующих несовершенных скважин в круговой батарее используется формула В.Н. Щелкачева [11,27]:

,             (2.37)

где     – радиус батареи,  – количество взаимодействующих скважин.

2.8   Методика расчета фильтрационных сопротивлений при неустановившемся притоке жидкости (газа) к несовершенной скважине в неограниченном пласте

Задача расчета фильтрационных сопротивлений при неустановившемся осесимметричном притоке к несовершенной скважине в неограниченном пласте была рассмотрена А.П. Телковым в нескольких работах [4,7]. За основу было взято решение для распределения давления в пласте в безразмерных параметрах:

,    (2.38)

 , (2.39)

                               – параметр Фурье,       (2.40)

                                         ,             (2.41)

                                               ,        (2.42)

где  – полное время (наблюдения), t – текущее время.

Формула (2.39) содержит в себе интеграл вероятности , который определяется в работах А.П. Телкова [4,7] и Р.Р. Кучумова [29] следующим образом:

Для значений x < 1, интеграл вероятности  раскладывается в ряд

.  (2.43)

Для значений 1 < x < 3,467 используется аппроксимирующее выражение

,         (2.44)

где a0 = 1; a1 = 0,07052308; a2 = 0,04228201; a3 = 0,009270527; a4 = 0,000430638; a5=0,0002765672; a6=0,0001520143.

Для всех значений x > 3.467 интеграл вероятности принимался равным единице .

Для формулы (2.39) предел суммы (N) принимается решением неравенства

                (2.45)

относительно n, с округлением до единицы в большую сторону.

С другой стороны

,    (2.46)

где  – интегральная показательная функция,  – функция фильтрационного сопротивления.

Решая совместно (2.39) и (2.43), получаем формулу для функции фильтрационного сопротивления:

.   (2.70)


3   рАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО ПРОДУКТА ДЛЯ РАСЧЕТА ФИЛЬТРАЦИОННЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ ПО РАЗЛИЧНЫМ МЕТОДИКАМ

3.1   Описание программного продукта и руководство к использованию

По составленным блок-схемам (прил. 1) был разработан программный продукт в среде Borland Delphi 7. Программный продукт включает следующие возможности:

Расчет значений фильтрационных сопротивлений.

Построение графических зависимостей фильтрационных сопротивлений от относительного вскрытия пласта.

Вывод результатов расчета в электронные таблицы Microsoft Excel.

Автоматическое построение графиков по результатам расчета в Microsoft Excel.

Работа с оцифрованной номограммой В.И. Щурова.

При разработке программного продукта был сделан акцент на точность вычислений, различные варианты вывода графической информации, наглядное представление расчетных формул и дружелюбный интерфейс.

Все вычислительные блоки объединены под общим меню. В пункте меню «Тип расчета» (рис. 3.1) выбирается условие, для которого следует рассчитать фильтрационное сопротивление.

В пункте «Дополнительные сопротивления» производится выбор коэффициента дополнительного фильтрационного сопротивления, который необходимо рассчитать. Так как любое решение для притока жидкости к несовершенной скважине можно представить обобщенной формулой Дюпюи, введя дополнительные фильтрационные сопротивления, вычисления дополнительного фильтрационного сопротивления были вынесены в отдельный пункт меню.

Рис. 3.1. Меню «Тип расчета»

Пункт меню «Приложения» содержит в себе отдельный блок для расчета сложной функции  и ее табулирования, а также оцифрованную номограмму, построенную В.И. Щуровым на основе экспериментальных данных полученных при моделировании притока к несовершенным скважинам на электролитических моделях. Они являются составными частями расчетов фильтрационный сопротивлений и были выделены в отдельный блок, так как представляют интерес сами по себе.

Вызвав в главном меню «Тип расчета» – «Приток к несовершенной скважине по линейному закону» откроется окно блока для расчета фильтрационного сопротивления, при притоке жидкости к несовершенной скважине по линейному закону фильтрации. Вычисления производятся по решениям Маскета и Стклянина-Телкова. Результаты расчета представляются вместе, что удобно для их сравнения.

Рис. 3.4. Блок «Приток к несовершенной скважине по линейному закону»

Блок «Приток к несовершенной скважине по линейному закону» содержит таблицу для ввода исходных данных, кнопки «Расчет», «График», «=>MSExcel», поле вывода точного решения, и поле представления данных в графическом виде.

Для начала расчета в поле исходные данные нужно ввести радиус контура питания, радиус скважины, анизотропию пласта, толщину пласта и относительное вскрытие пласта. По умолчанию поставлены стандартные значения этих величин.

При нажатии на кнопку «Расчет» в поле «Точное решение» будут выведены результаты вычислений, при данных исходных значениях.

При нажатии на кнопку «График» будет построена графическая зависимость фильтрационного сопротивления (ось ординат) от относительного вскрытия пласта (ось абсцисс). В меню блока «График» выбирается один из трех вариантов вывода графической информации: построение графика для решения Стклянина-Телкова, решения Маскета или совместный вывод этих решений. В меню «Вид графика» можно переключить двухмерное и трехмерное отображение.

Кнопка «=>MSExcel» служит для передачи рассчитанных данных в Microsoft Excel. При нажатии открывается новый документ под именем
«Книга 1». В электронные таблицы заносятся значения фильтрационных сопротивлений рассчитанных для исходных параметров  и относительного вскрытия пласта
c шагом 0,05 в диапазоне  от 0,05 до 0,95. Также при нажатии будет построена диаграмма по значениям, переданным в Microsoft Excel.

Рис. 3.5. Построение графика в блоке «Приток к несовершенной скважине по линейному закону»

Рис. 3.6. Запись результатов в Microsoft Excel и построение диаграммы в блоке «Приток к несовершенной скважине по линейному закону»

Работа с остальными вычислительными блоками производится аналогично, за исключением пункта меню «Приложение»

В пункте главного меню «Приложение» предсталены два блока:

  •  блок «Функция » для расчета функции .
  •  блок «График Щурова».

В блоке «Функция » производится расчет функции  от заданных параметров  по формуле (2.14). Значение N, которое определяет количество членов ряда суммы, можно изменить в поле ввода целых чисел, находящемся над знаком суммы Σ. По умолчанию это значение равно 100. При его изменении, вычисление будет вестись до заданного элемента ряда. Также из любого другого блока, в котором рассчитывается функция  можно перейти в данный блок и изменить значение N.

Рис. 3.15.  Блок «Функция »

Кнопка «Расчет» выводит решение функции  для заданных параметров  в соответствующих полях. При нажатии на кнопку «Передать» в поле «Передача в MSExcel» в электронные таблицы будут выведены значения функции  для заданного диапазона и шага
параметра .

Для блока «График Щурова» была оцифрована номограмма В.И. Щурова (рис. 2.4.) для   = 5, 7,5, 10, 15, 20, 30, 40, 60, 80, 120, 160. При нажатии на кнопку «С1» Будет определено дополнительное фильтрационное сопротивление, обусловленное частичным вскрытием. Для представленных на графике линий , С1 определяется по графику для соотвествующей кривой. Для  не представленных зависимостями Щурова, дополнительное фильтрационное сопротивление, С1 определяется линейной интерполяцией точек для ближайших представленных линий.

Наведя курсор на нужную линию , в поле «Определение вручную» будут выведены относительное вскрытие пласта , и дополнительно фильтрационное сопротивление С1. Коэффициент дополнительного фильтрационного сопротивления, обусловленного частичным вскрытием  определяется по левой шкале при , а в случае, если , определяется по правой шкале.

Рис. 3.16. Блок «График Щурова»

Следует заметить, что номограммы В.И. Щурова для коэффициента дополнительного фильтрационного сопротивления , справедливы при анизотропии .


4  ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ
ПО РАЗЛИЧНЫМ МЕТОДИКАМ

В данной главе будет произведено исследование результатов расчета дополнительных фильтрационных сопротивлений с помошью разработанной программы, а также программ электронной алгебры по различным методикам. Главным образом будет проанализировано влияние на фильтрационные сопротивления различных факторов, а также произведен сравнительный анализ методик.

4.1  Анализ расчета фильтрационного сопротивления, при притоке жидкости к несовершенной скважине по линейному закону фильтрации

Для нахождения величины фильтрационного сопротивления, при притоке к несовершенной скважине по линейному закону, в разработанном программном продукте использовались алгоритмы решения Маскета и Стклянина-Телкова (раздел 2.1).

Рассмотрим поведение фильтрационного сопротивления (ε) при притоке к несовершенной скважине по линейному закону по формуле Маскета (2.3) при следующих параметрах:  = 100 м,  = 0,1 м,  = 10 м.

При помощи программного продукта был произведен расчет по формуле (2.3) для указанных исходных данных и относительного вскрытия  с шагом 0,05. Результаты расчета приведены в табл. 4.1.

Таблица 4.1 – ε по Маскету при R0=100 м, rc=0,1 м, h0=10 м

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

Ε

27,32

21,42

17,88

15,51

13,79

12,49

11,46

10,63

9,95

0,55

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

Ε

9,38

8,90

8,48

8,13

7,82

7,56

7,34

7,15

7,01


Построим график по данным из табл. 4.1.

Рис. 4.1. Зависимость фильтрационного сопротивления от  относительного вскрытия пласта по решению Маскета

Из табл. 4.1. и графика (рис. 4.1) следует, что фильтрационное сопротивление возрастает, при уменьшении относительного вскрытия пласта. На графике видно, что фильтрационное сопротивление резко увеличивается при малых относительных вскрытиях .  

Рассмотрим как меняется фильтрационное сопротивление (ε) при изменении параметров входящих в формулу Маскета (2.3). На рис. 4.2 представлена зависимость фильтрационного сопротивления от относительного вскрытия , в диапазоне от 0,05 до 1, и толщины пласта .

Из рис. 4.2. видно, что фильтрационное сопротивление возрастает, с увеличением толщины пласта. Это объясняется тем, что фильтрационное сопротивление прямопропорционально мощности пласта. Причем чем меньше относительное вскрытие, тем существеннее влияние величины . При относительном вскрытии , что соответствует скважине, совершенной по степени вскрытия, толщина пласта не влияет на величину фильтрационного сопротивления.

Рис. 4.2. Зависимость фильтрационного сопротивления от  относительного вскрытия и толщины пласта

На рис. 4.3. показано как меняется зависимость при различных радиусах контура питания R0. При увеличении R0, фильтрационное сопротивление возрастает. Такая зависимость связана с тем, что R0 находится во втором слагаемом формулы (2.3) в знаменателе логарифмической функции. А так как слагаемое содержащее R0 отрицательно, то оно дает обратную зависимость.


Рис. 4.3. Зависимость фильтрационного сопротивления от  относительного вскрытия пласта при различном радиусе контура питания

Как было отмечено многими исследователями решения Маскета, в частности А.П. Телковым, расчетная формула дает плохие результаты для слишком малых относительных вскрытий .

На рис. 4.3. видно, что при малых относительных вскрытиях линии зависимостей для разных R0 распологаются ближе друг к другу, чем при больших. Из постоенных зависимостей для решения Маскета следует вывод, что, в целом, величина радиуса контура питания существенно не влияет на фильтрационное сопротивление. Так при увеличении радиуса контура питания в 10 раз, со 100 м до 1000 м, для относительного вскрытия , где наблюдается максимальное влияние R0, фильтрационное сопротивление возрастает с 6,09 до 9,21, т.е. в 1,5 раза.

Радиус скважины в расчетной формуле (2.3) присутствует в знаменателе первого слагаемого, которое положительно, поэтому с увеличением  фильтрационные сопротивления будут уменьшаться. При больших относительных вскрытиях радиус скважины оказывает незначительное влияние на величину фильтрационного сопротивления.


Рис. 4.4. Зависимость фильтрационного сопротивления от  относительного вскрытия пласта при различном радиусе скважины

Формула Маскета имеет существенный недостаток, она не учитывает такую важную характеристику, как анзотропия пласта, поэтому для пластов с анизотропией отличной от единицы следует использовать алгоритм решения Стклянина-Телкова. Произведем расчеты по формуле Стклянина-Телкова при тех же параметрах, что использовались для формулы Маскета, добавив к исходным данным анизотропию . Значение анизотропии принято равным единице чтобы была возможностьпровести сравнение решений по алгоритмам Стклянина-Телкова и Маскета.  Расчеты и график зависимомости фильтрационного сопротивленя представлены в табл. 4.2. и на рис. 4.4 соответственно.

Таблица 4.2 – ε по Стклянину-Телкову при R0=100 м, rc=0,1 м, h0=10 м,

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

ε

29,97

22,83

18,81

16,18

14,31

12,91

11,81

10,93

10,21

0,55

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

ε

9,6

9,09

8,65

8,27

7,94

7,65

7,4

7,19

7,02

Как показывают табл. 4.2. и рис. 4.5, фильтрационное сопротивление возрастает при уменьшении относительного вскрытия. В целом поведение зависимоти построенной по Стклянину-Телкову схоже с полученной по алгоритму решениея Маскета (рис. 4.1). Также наблюдается резкое возрастание фильтрационных сопротивлений при малых вскрытиях .

Рис. 4.5. Зависимость фильтрационного сопротивления от  относительного вскрытия пласта по решению Стклянина-Телкова

Рассмотрим поведение зависимости фильтрационного сопротивления от относительного вскрытия при изменении различных параметров, входящих в формулу Стклянина-Телкова (2.7). Построим зависимость фильтрационного сопротивления от относительного вскрытия при различных R0. На графике (рис. 4.6) видно, что увеличение радиуса контура питания R0 ведет к возрастанию фильтрационного сопротивления, но в отличии от зависимостей, посторенных по алгоритму для решения Маскета, величина радиуса контура питания оказывает одинаковое влияние на всем
промежутке .

Рис. 4.6. Зависимость фильтрационного сопротивления от  относительного вскрытия пласта при различном радиусе контура питания

Зависимость фильтрационного сопротивления от  относительного вскрытия пласта по алгоритму решения Стклянина-Телкова при изменении радиуса скважины ведет ведет себя аналогично зависимоти, построенной с использованием алгоритма Маскета. Величина фильтрацонного сопротивленя возрастает, при уменьшении радиуса скважины.

Далее построим зависимости фильтрационного сопротивления от относительного вскрытия при различных значениях радиуса скважины, используя аглоритм для решения Стклянина-Телкова, и сравним с зависимостями, полученными по аглоритмам для решения Маскета. На рис. 4.7. представлены зависимости фильтрационного сопротивления от относительного вскрытия для радусов скважины 0,2, 0,1 и 0,05 м.


Рис. 4.7. Зависимость фильтрационного сопротивления от  относительного вскрытия пласта при различном радиусе скважины

На рис. 4.7 показано, что фильтрационное сопротивление становится меньше, с увеличением радиуса скважины. Поведение линий зависимости сопротивления ε от , при изменении радиуса скважины такое же, как и у зависимостей, построеных по алгоритму решения Маскета.

Рис. 4.8. Зависимость фильтрационного сопротивления от  относительного вскрытия пласта при различной мощности пласта

Также была построена зависимость фильтрационного сопротивления от относительного вскрытия, при различных величинах толщины пласта.
В решении Стклянина-Телкова, толщина пласта , присутствует в безразмерном параметре , который определяется по формуле (2.9) и входит в функцию . На рис. 4.8. видно, что фильтрационное сопротивление возрастает, с увеличением мощности пласта. Наблюдается снижение влияния толщины пласта на фильтрационное сопротивление по мере того, как относительное вскрытие  становится ближе к единице. При ,  никак не влияет на значение
ε, что совпадает с выводами для решения Маскета.

Главным преимуществом алгоритма решения Стклянина-Телкова над алгоритмом решения Маскета, является возможность, при нахождении фильтрационного сопротивления, учитывать анизотропию пласта. Влияние анизотропии пласта  определяется через функцию , которая рассчитывается через формулу (2.14), и безразмерный параметр , который находится по формуле (2.9). Функция  рассчитана по формуле (2.14) в широком диапазоне данных , затабулирована и представлена графически. Значения в табл. 4.3 отличаются от представленных в табл. 2.3 тем, что были расчитаны по формуле (2.14) до сотого члена ряда суммы (N=100) и представлены в более широком диапазоне параметра , который характеризует анизотропию, и обратнопропорционален ей. По расчитанным значениям функции , были построены графические зависимости и представлены номограммой (рис. 4.8), в широком дипазоне параметра  и относительного вскрытия .

Таблица 4.3 – Табулированные значения функции

ρ0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,001

0,0034

0,0017

0,0011

0,0008

0,0007

0,0006

0,0005

0,0004

0,0004

0,005

0,0189

0,0095

0,0063

0,0047

0,0038

0,0032

0,0027

0,0024

0,0021

0,01

0,0383

0,0192

0,0128

0,0096

0,0077

0,0064

0,0055

0,0048

0,0043

0,05

0,193

0,0965

0,0643

0,0483

0,0386

0,0322

0,0276

0,0241

0,0214

0,09

0,3463

0,1737

0,1158

0,0869

0,0695

0,0579

0,0496

0,0434

0,0385

0,1

0,3839

0,193

0,1287

0,0965

0,0772

0,0643

0,0551

0,0483

0,0427

0,2

0,7235

0,3839

0,2572

0,193

0,1544

0,1287

0,1102

0,096

0,0804

0,3

0,9929

0,5628

0,3839

0,2892

0,2315

0,1928

0,1645

0,1407

0,1103

0,4

1,2092

0,7234

0,505

0,3837

0,3078

0,2558

0,2164

0,1809

0,1344

0,5

1,3882

0,8658

0,618

0,4744

0,3817

0,3163

0,2648

0,2165

0,1542

0,6

1,5401

0,9921

0,7219

0,5598

0,4518

0,3732

0,3094

0,248

0,1711

0,7

1,6715

1,1044

0,8165

0,6389

0,5171

0,4259

0,3499

0,2761

0,1857

0,8

1,7871

1,205

0,9026

0,7114

0,5772

0,4743

0,3868

0,3012

0,1986

0,9

1,8898

1,2954

0,9807

0,7778

0,6324

0,5185

0,4203

0,3239

0,21

1

1,9822

1,3773

1,0519

0,8385

0,6829

0,559

0,4508

0,3443

0,2202

1,5

2,3381

1,6959

1,3308

1,0775

0,8819

0,7183

0,5703

0,424

0,2598

2

2,5891

1,922

1,5294

1,248

1,0241

0,832

0,6555

0,4805

0,2877

Продолжение таблицы 4.3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2,5

2,782

2,0965

1,683

1,3799

1,1341

0,9199

0,7213

0,5241

0,3091

3

2,9381

2,2384

1,808

1,4873

1,2236

0,9915

0,7748

0,5596

0,3265

3,5

3,0689

2,3578

1,9132

1,5778

1,2991

1,0519

0,82

0,5894

0,341

4

3,1811

2,4606

2,0041

1,6559

1,3643

1,104

0,8589

0,6152

0,3535

5

3,3661

2,6312

2,155

1,7858

1,4727

1,1906

0,9236

0,6578

0,374

6

3,5143

2,7691

2,2773

1,8913

1,5607

1,2608

0,976

0,6923

0,3905

7

3,6372

2,8845

2,3799

1,9798

1,6346

1,3199

1,02

0,7211

0,4041

8

3,7415

2,9834

2,4681

2,0559

1,6982

1,3706

1,0577

0,7458

0,4157

9

3,8316

3,0697

2,5452

2,1226

1,7539

1,4151

1,0908

0,7674

0,4257

10

3,9106

3,146

2,6137

2,1819

1,8034

1,4546

1,1202

0,7865

0,4345

20

4,3784

3,6212

3,046

2,5581

2,1182

1,7054

1,3054

0,9053

0,4865

30

4,5975

3,8667

3,2769

2,7617

2,2892

1,8411

1,4044

0,9667

0,5108

40

4,7239

4,0197

3,4256

2,8946

2,4013

1,9298

1,4681

1,0049

0,5249

50

4,805

4,1237

3,5297

2,989

2,4812

1,9927

1,5127

1,0309

0,5339

60

4,8608

4,1982

3,6062

3,0591

2,5408

2,0394

1,5455

1,0496

0,5401

70

4,901

4,2536

3,6641

3,1129

2,5866

2,0753

1,5703

1,0634

0,5446

80

4,9309

4,2959

3,709

3,1549

2,6226

2,1033

1,5896

1,074

0,5479

90

4,9538

4,3289

3,7445

3,1884

2,6512

2,1256

1,6048

1,0822

0,5504

100

4,9718

4,3551

3,773

3,2154

2,6744

2,1436

1,617

1,0888

0,5524

150

5,0214

4,4294

3,8551

3,2939

2,7421

2,196

1,6522

1,1073

0,5579

200

5,0422

4,4612

3,8909

3,3286

2,7721

2,2191

1,6675

1,1153

0,5602

300

5,0585

4,4867

3,9198

3,3568

2,7964

2,2378

1,6799

1,1217

0,5621

500

5,0675

4,5008

3,936

3,3725

2,8101

2,2484

1,6868

1,1252

0,5631

1000

5,0715

4,5071

3,9431

3,3795

2,8162

2,253

1,6899

1,1268

0,5635

По табулированным значениям (табл 4.3) и построенной номограмме
(рис. 4.8) можно сделать вывод, что с возрастанием относительного вскрытия , функция  убывает и ее значение становится равной нулю, при относительном вскрытии пласта =1. При возрастании безразмерного параметра , а следовательно уменьшении анизотропия, значения функция  уменьшаются.

В расчетной формуле решения Стклянина-Телкова (2.7) перед функцией  находится знак минус, поэтому с увеличением анизотропии фильтрационные сопротивления будут возрастать. Рассмотрим поведение зависимостей при различных показателях анизотропии.

Рис. 4.8. Графическое представление функции

По табулированным значениям (табл 4.3) и построенной номограмме (рис. 4.8.) можно сделать вывод, что с возрастанием относительного вскрытия , функция  убывает и ее значение становится равной нулю, при относительном вскрытии пласта =1. При возрастании безразмерного параметра , а следовательно уменьшении анизотропия, значения функция  уменьшаются.

В расчетной формуле решения Стклянина-Телкова (2.7) перед функцией  находится знак минус, поэтому с увеличением анизотропии фильтрационные сопротивления будут возрастать. Рассмотрим поведение зависимостей при различных показателях анизотропии.

Рис. 4.9. Зависимость фильтрационного сопротивления от  относительного вскрытия пласта при различной анизотропии пласта

На рис. 4.9. представлены зависимости фильтрационного сопротивленя от относительного вскрытия пласта при величинах анизотропии  0,1, 1, 10, из которых следует, что при больших вскрытиях величина ε практически не зависит от анизотроприи. Расхождение кривых начинается при , при которых значение анизотропии начинает оказывать существенное влияние на фильтрационное сопротивление.

Для сопоставления решений Маскета и Телкова-Стклянина поместим зависимости фильтрационного сопротивления ε от относительного вскрытия  на одну координатную сетку. Кривые получены для параметров R0=100 м, rc=0,1 м, h0=10 м. Сравнение можно провести только при значении анизотропии равном единице. Результаты нахождения фильтрационного сопротивления по алгоритмам Маскета и Телкова-Стклянина затабулированы в широком диапазоне и представлены в прил. 2.

Рис. 4.10. Совместное представление зависимостей фильтрационного сопротивления от относительного вскрытия пласта, полученных по алгоритмам решений Маскета и Телкова-Стклянина, при исходных данных R0=100 м,
r
c=0,1 м, h0=10 м,

Как видно на рис. 4.10, значения полученные с использованием алгоритма решения Маскета и алгоритма решения Стклянина-Телкова практически не различаются. Для всех значений относительного вскрытия  фильтрационные сопротивления расчитанные по формуле Стклянина-Телкова оказываются выше на незначительную величину, нежели полученные по формуле Маскета. При 1, т.е. скважина совершенна по степени вскрытия, значения ε равны. Для исходных данных R0=300 м, rc=0,2 м, h0=50 м, зависимости ведут себя аналогично (рис. 4.11).

Рис. 4.11. Совместное представление зависимостей фильтрационного сопротивления от относительного вскрытия пласта, полученных по алгоритмам решений Маскета и Телкова-Стклянина, при исходных данных  R0=300 м, rc=0,2 м, h0=50 м,

Теперь рассмотрим сравнение, полученное по исследуемым алгоритмам при анизотропии отличной от единицы. Для построения примем исходные данные R0=250 м, rc=0,15 м, h0=50 м, . Так как алгоритм решения Маскета не учитывает анизотропию пласта, то полученные решения для параметров R0, rc, h0 будут постоянными для любого значения анизотропии. Как видно из рис. 4.12. с изменением анизотропии, значения фильтрационного сопротивления по алгоритмам решений Маскета и Стклянина-Телкова практически не отличаются при больших относительных вскрытиях. Расхождение кривых происходит при 0,6, где величины ε начинают различаться. Особенно сильное различие наблюдается при малых относительных вскрытиях.

Рис. 4.12. Совместное представление зависимостей фильтрационного сопротивления от относительного вскрытия пласта, полученных по алгоритмам решений Маскета и Телкова-Стклянина, при исходных данных  R0=250 м, rc=0,15 м, h0=50 м,

Для расчета фильтрационных сопротивлений, при притоке жидкости (газа) к несовершенной скважине по линейному закону, рекомендуется использовать алгоритм решения Стклянина-Телкова. Основными преимуществами этого алгоритма над алгоритмом решения Маскета являются:

  •  учет анизотропии пласта,
  •  хорошие результаты расчета фильтрационных сопротивлений, при малых относительных вскрытиях.

4.2  Анализ решения задачи нахождения коэффициента фильтрационного сопротивления, обусловленного несовершенством скважины по степени вскрытия, по приближенным формулам

В нефтепромысловой практике для определения коэффициента фильтрационного сопротивления широко используются номограммы
В.И. Щурова (рис. 2.4). Но графические зависимости не пригодны для решения прикладных задач, потому что они ограничены точностью графического определения и малым количеством линий для параметра . Поэтому для разработки программных продуктов требуются аналитические решения. Для этого используются приближенные формулы. Рассмотрим результаты расчета по алгоритмам для расчета коэффициента дополнительного фильтрационного сопротивления,  обусловленного несовершенством скважины по степени вскрытия (С
1) по приближенным формулам Чарного (2.18), Пыхачева (2.21 – 2.22), Пирвердяна (2.20), Телкова (2.24) и Велиева (2.25). Для определения точности вычислений по данным формулам, произведем сравнение полученных результатов с экспериментальными данными метода ЭГДА представленными В.И. Щуровым в виде номограмм. Для этого был оцифрован график Щурова для параметров . Следует заметить, что формулы Чарного, Пыхачева и Пирвердяна не учитывают параметр анизотропии пласта, как и номограмма Щурова, а формулы Телкова и Велиева зависят от анизотропии. Поэтому сравнение можно произвести только при  =1.

Для исходных параметров  = 24 м,  = 12 м,  = 0,1 м,  = 1, по представленным алгоритмам был рассчитан коэффициент С1. Результаты приведены в табл. 4.4.

Таблица 4.4 – С1 при  = 24 м,  = 12 м,  = 0,1 м,  = 1

Пирвердян

Чарный

Телков

Пыхачев

Велиев

0,5

4,5

3,92

4,11

3,83

4,09

Как видно из таблицы, значения коэффициента фильтрационного сопротивления, обусловленного несовершенством скважины по степени вскрытия, достаточно близки. Для данных исходных параметров

; ;

по графику В.И. Щурова находим

.

Наиболее близки к экспериментальным данным значения по формулам Чарного, Телкова и Велиева. Далее рассмотрим сравнения для относительного вскрытия  , изменяющегося от 0 до 1, с шагом 0,05, и посчитаем отклонения от экспериментальных данных. Результаты расчета для исходных данных
 = 24 м,  = 0,1 м,  =1 приведены в табл. 4.5.

Из таблицы следует, что с увеличением относительного вскрытия пласта , коэффициент фильтрационного сопротивления, обусловленный несовершенством скважины по степени вскрытия, уменьшается. Посчитаем среднее отклонение от экспериментальных данных Щурова, которые приведены в последнем столбце табл. 4.5.

Таблица 4.5 – Расчет коэффициента С1 при  = 24 м,  = 0,1 м,  =1

Пирвердян

Чарный

Телков

Пыхачев

Велиев

Щуров

0,05

85,57

49,01

51,76

55,01

51,07

53,40

0,1

40,53

28,29

29,50

28,44

29,29

30,10

0,15

25,52

19,47

20,24

18,84

20,13

19,60

0,2

18,01

14,48

15,04

13,77

14,96

14,70

0,25

13,51

11,22

11,66

10,61

11,60

11,30

0,3

10,51

8,92

9,28

8,43

9,24

9,10

0,35

8,36

7,20

7,50

6,83

7,47

7,40

0,4

6,76

5,87

6,12

5,60

6,09

5,98

0,45

5,50

4,80

5,02

4,62

4,99

4,92

0,5

4,50

3,92

4,11

3,83

4,09

4,03

0,55

3,68

3,19

3,36

3,16

3,34

3,27

0,6

3,00

2,57

2,72

2,60

2,71

2,64

0,65

2,42

2,05

2,18

2,12

2,17

2,09

0,7

1,93

1,60

1,70

1,70

1,70

1,66

0,75

1,50

1,21

1,30

1,33

1,29

1,28

0,8

1,13

0,87

0,94

1,01

0,93

0,96

0,85

0,79

0,58

0,63

0,71

0,63

0,67

0,9

0,50

0,34

0,36

0,45

0,36

0,41

0,95

0,24

0,14

0,14

0,22

0,14

0,19

Таблица 4.6 – Среднее отклонение коэффициента С1, рассчитанного по приближенным формулам, от экспериментальных данных Щурова при
= 24 м,  = 0,1 м,  =1

Формула

Пирвердян

Чарный

Телков

Пыхачев

Велиев

Отклонение

20,60%

5,85%

4,43%

5,61%

4,25%

По результатам из табл. 4.6 построим график для коэффициента фильтрационного сопротивления С1, рассчитанного по приближенным формулам Пирвердяна, Пыхачева, Чарного, Велиева и Телкова, а также определенного по графической зависимости В.И. Щурова.  

Рис. 4.13. Зависимость коэффициента фильтрационного сопротивления от относительного вскрытия при rc=0,1 м, h0=24 м,

На рис. 4.13 видно, что расчеты, проведенные по формуле Пирвердяна, дают сильно завышенные значения коэффициента С1 по отношению к экспериментальным данным Щурова, тогда как остальные результаты по остальным формулам показывают удовлетворительную сходимость.

Чтобы установить использование какого алгоритма расчета коэффициента фильтрационного сопротивления С1, обусловленного несовершенством скважины по степени вскрытия, дает наиболее близкие результаты с экспериментальным данным электролитического моделирования, полученных В.И. Щуровым, были посчитаны отклонения для всех линий , представленных в номограмме В.И. Щурова. Были произведены вычисления коэффициента С1 по приближенным формулам Чарного, Пирвердяна, Пыхачева, Телкова и Велиева а также, используя оцифрованный график Щурова, найдены значения полученные экспериментально. Результаты расчета представлены в табл. 4.7.

Таблица 4.7 – Сравнение методик расчета фильтрационных сопротивлений с данными, полученными в результате эксперимента

а = h0/2 rc

Пирвердян

Чарный

Телков

Пыхачев

Велиев

5

85,35%

56,99%

36,68%

85,67%

39,18%

7,5

71,67%

36,70%

21,23%

67,55%

22,64%

10

56,68%

27,57%

15,14%

49,11%

16,13%

15

48,65%

16,76%

9,38%

36,59%

9,50%

20

44,13%

12,62%

6,23%

29,30%

6,64%

30

35,92%

9,44%

5,20%

19,33%

5,41%

40

31,39%

7,82%

5,18%

13,60%

5,58%

60

27,53%

6,20%

4,13%

9,31%

4,62%

80

23,02%

6,93%

4,50%

6,71%

4,40%

120

20,60%

5,85%

4,43%

5,61%

4,25%

160

17,34%

6,54%

4,21%

6,10%

4,15%

Средн. откл.

42,03%

17,58%

10,57%

29,90%

11,14%


 Таким образом, величина отклонения коэффициента фильтрационного сопротивления С
1 полученного по аналитическим решениям от номограмм Щурова  обратно пропорциональна величине параметра . Значения полученные по алгоритму решения Пирвердяна дают завышение в среднем 40%. Формулы Пирвердяна, Чарного и Пыхачева не учитывают анизотропию. При этом формула Чарного, как правило, дает значения ниже экспериментальных. Результаты расчета по формуле Пыхачева показывают существенное отличие при значениях a < 40. Наиболее интересны формулы Велиева и Телкова, так как они учитывают анизотропию пласта χ. Использование алгоритма для формулы Велиева в среднем дает отклонение 11,1%, а для а > 30 не превышает 6%. Наиболее приближенные результаты к экспериментальным данным дает использование алгоритма расчета по формуле Телкова. Так среднее отклонение от данных Щурова составляет 10,5%, а при a > 30 не превышает 6%.

По результатам исследования алгоритмов нахождения коэффициента фильтрационного сопротивления С1, обусловленного несовершенством по степени вскрытия, и сопоставления полученных результатов с экспериментальными данными, рекомендуется использовать для расчета алгоритмы решения Велиева и Телкова (прил. 4). Основными преимуществами этих алгоритмов являются:

  •  Наиболее близкие результаты к экспериментальным данным.
  •  Учет анизотропии пласта.

4.3  Анализ расчета фильтрационных сопротивлений при притоке жидкости (газа) к несовершенной  скважине с экраном на забое

Расчет фильтрационного сопротивления при  притоке к несовершенной  скважине с экраном на забое производится по алгоритму, представленному в разделе 2.3. Для вычисления суммарного фильтрационного сопротивления ε0 по формуле (2.35), необходимо рассчитать дополнительные фильтрационные сопротивления, обусловленные перфорацией C0 (2.28), наличием экрана Cэ (2.34) и частичным вскрытием C1 (2.24). Рассмотрим каждое дополнительное фильтрационное сопротивление отдельно.

Исходными данными для вычисления фильтрационного сопротивления, обусловленного перфорацией C0 являются  – относительное вскрытие пласта,  – радиус скважины, м,  – радиус перфорационного отверстия, м,  – глубина канала перфорации, м,  – плотность перфорации, отв./м.  Примем следующие исходные данные:  = 0,1;  = 0,005;  = 0,3;  = 3.

Результаты расчета дополнительного фильтрационного сопротивления, обусловленного перфорацией, для относительного вскрытия с шагом 0,05 в диапазоне от 0,1 до 0,95 представлены в табл. 4.8.

Таблица 4.8 – C0 при rc = 0,1 м, r0 = 0,005 м, l0 = 0,3 м, = 3 отв./м

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

ε

29,12

19,41

14,56

11,65

9,71

8,32

7,28

6,47

5,82

0,55

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

ε

5,29

4,85

4,48

4,16

3,88

3,64

3,43

3,24

3,07

По результатам расчета, занесенным в таблицу, построена графическая зависимость.

Рис. 3.14. Зависимость дополнительного фильтрационного сопротивления C0, обусловленного перфорацией, от относительного вскрытия пласта

Из табл. 3.8 и рис. 4.14 следует, что коэффициент C0 возрастает, при уменьшении относительного вскрытия. Резкое увеличение происходит при малых вскрытиях  < 0,4. Рассмотрим как изменяется зависимость при изменении параметров перфорации ,  и .  

Посмотрим как ведет себя дополнительное фильтрационное сопротивление, обусловленное перфорацией, при изменении радиуса перфорационного отверстия. Для этого построим зависимости дополнительного  фильтрационного сопротивления C0 от относительного вскрытия пласта  и радиуса перфорационного отверстия .

Рис. 4.15. Зависимость дополнительного  фильтрационного сопротивления C0, обусловленного перфорацией, от относительного вскрытия пласта, при различных радиусах перфорационного отверстия

Зависимость, представленная на рис. 4.15, показывает, что увеличение радиуса перфорационного отверстия ведет к снижению дополнительного  фильтрационного сопротивления C0. Также резкое возрастание величины C0 происходит при малых относительных вскрытиях.

Далее построим аналогичную зависимость, при различных длинах перфорационного канала. На графике (рис. 4.16) представлена зависимость C0 от  и .

Рис. 4.16. Зависимость дополнительного  фильтрационного сопротивления C0, обусловленного перфорацией, от относительного вскрытия пласта и  длины перфорационного канала

Из построенной зависимости следует, что дополнительное фильтрационное сопротивление убывает при увеличении длины перфорационного канала. При этом зависимость дополнительного  фильтрационного сопротивления C0, обусловленного перфорацией, от относительного вскрытия пласта с увеличением  величины  становится более вогнутая. Это свидетельствует о том, что значение относительного вскрытия , при котором происходит резкое возрастание фильтрационного сопротивления, становится меньше.

Затем рассмотрим дополнительное  фильтрационное сопротивление C0, обусловленное перфорацией, при различных плотностях перфорации. На
рис. 4.17 представлены зависимости
C0 от , и .

Рис. 4.17. Зависимость дополнительного фильтрационного сопротивления C0, обусловленного перфорацией, от относительного вскрытия пласта и плотности перфорации

По построенной зависимости можно сделать вывод, что для уменьшения дополнительного фильтрационного сопротивления, обусловленного перфорацией, следует увеличить количество перфорационных отверстий, приходящихся на плоскость.

Из вышеизложенного следует, что понижения фильтрационного сопротивления в перфорированной скважине, можно достичь следующими способами:

  •  увеличением количества перфорационных отверстий,
  •  увеличением длины перфорационного канала,
  •  увеличением радиуса перфорационных отверстий.

Формула для полного фильтрационного сопротивления, при притоке жидкости (газа) к несовершенной  скважине с экраном на забое (2.35), включает в себя слагаемое дополнительного фильтрационного сопротивления C1, обусловленного частичным вскрытием. Методы нахождения  коэффициента C1 были подробно проанализированы в разделе 3.3 и сравнены с экспериментальными данными. Для данной задачи будет использован алгоритм для формулы, предложенной А.П. Телковым, так как вычисления при использовании этого алгоритма дают наименьшее отклонение от данных В.И. Щурова, полученных в результате проведения экспериментов методом ЭГДА.

Исходными данными для расчета коэффициента фильтрационного сопротивления C1 являются толщина пласта  м, относительное вскрытие пласта , радиус скважины  м, и безразмерный параметр , который в рассматриваемом случае принимается .

 

Рис. 4.18. Зависимость дополнительного фильтрационного сопротивления C1, обусловленного частичным вскрытием, от относительного вскрытия пласта, при различных отношениях h0/rc

Рассмотрим поведение дополнительного фильтрационного сопротивления, при различных отношениях толщины пласта к радиусу скважины. На рисунке представлены зависимости C1 от , при h0/rc = 100, h0/rc = 500 и h0/rc = 1000 и анизотропии  =1.

Из рис. 4.18. следует, что дополнительное фильтрационное сопротивление С1, обусловленное несовершенством скважины существенно зависит от отношения толщины пласта к радиусу скважины. С  уменьшением отношения h0/rc, дополнительное фильтрационное сопротивление С1 понижается. Также понижению фильтрационного сопротивления способствует повышение качества вскрытия, т.е. увеличение относительного вскрытия .

Далее покажем как изменяется значение коэффициента С1 при различных значениях анизотропии (трехмерная зависимость по формуле Велиева представлена в прил. 3). Для этого построим зависимости дополнительного фильтрационного сопротивления C1, от относительного вскрытия пласта, при h0/rc = 100 для  = 10,  = 1 и  = 0,5.

Рис. 4.19. Зависимость дополнительного сопротивления C1,от относительного вскрытия пласта, при различных значениях анизотропии

Из рис. 4.19 видно, что дополнительное  фильтрационное сопротивление C1, обусловленное частичным вскрытием, понижается с уменьшением анизотропии пласта.

Также несложно заметить, что при относительных вскрытиях близких к единице, дополнительное сопротивление C1 очень мало, а при  = 1, т.е. скважина, совершенная по степени вскрытия, C1 = 0.

Рассмотрим дополнительное фильтрационное сопротивление, обусловленное наличием экрана Cэ. В расчетной формуле (2.34) исходными данными являются толщина пласта h0 м, относительное вскрытие  и радиус экрана rэ м. Для расчета примем исходные данные h0 = 10 м, rэ = 5 м.

Таблица 4.9 – Cэ при h0=10 м, rэ=5 м

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

Cэ

3,65

2,30

1,62

1,22

0,95

0,75

0,61

0,50

0,41

0,55

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

Cэ

0,33

0,27

0,22

0,17

0,14

0,10

0,07

0,05

0,02


Рис. 4.20. Зависимость дополнительного  фильтрационного сопротивления
C0, обусловленного перфорацией, от относительного вскрытия пласта

Из табл. 4.9 видно, что фильтрационные сопротивления, обусловленные наличием экрана, практически очень малы, поэтому ими можно пренебречь. По данным таблицы построена графическая зависимость дополнительного сопротивления Cэ от относительного вскрытия .

Из рис. 4.20 следует, что дополнительное фильтрационное сопротивление, обусловленное наличием экрана, уменьшается с возрастанием относительного вскрытия. При  > 0,3 Cэ принимает значения, которые существенно не влияют на суммарное фильтрационное сопротивление. Дополнительное фильтрационное сопротивление начинает резко возрастать при  < 0,3, но все равно мало, в сравнении с дополнительными сопротивлениями, обусловленными частичным вскрытием и перфорацией, для соответствующих значений относительного вскрытия.

Рис. 4.21. Зависимость дополнительного фильтрационного сопротивления Cэ, обусловленного наличием экрана, от относительного вскрытия пласта и

радиуса экрана

По предложенному алгоритму построим зависимость Cэ от относительного вскрытия и радиуса экрана. На рис. 4.21 представлена зависимость Cэ от  и rэ , при толщине пласта .

Как видно из рис. 4.21, фильтрационное сопротивление становится ниже с уменьшением радиуса экрана.

Для нахождения суммарного фильтрационного сопротивления ε0 при притоке к несовершенной скважине с экраном на забое, необходимо по формуле (2.35) к постоянному члену  прибавить дополнительные фильтрационные сопротивления, обусловленные частичным вскрытием, перфорацией и экраном на забое.

Рассмотрим, как ведет себя суммарное сопротивление ε0 и входящие в него дополнительные фильтрационные сопротивления C0, C1 Cэ. Произведем вычисления по алгоритму расчета фильтрационного сопротивления, при притоке жидкости к несовершенной скважине с экраном на забое, по линейному закону фильтрации, при исходных параметрах R0 = 100 м,
rc = 0,1 м, χ = 1, h0 = 30 м, δ = 0, l0 = 0,3 м, m = 3 отв./м, r0 = 0,005 м, rэ = 5 м. Результаты расчета приведены в табл. 4.10.

Таблица 4.10 – Фильтрационное сопротивление ε0 при притоке к несовершенной скважине с экраном на забое

ε0

C1

Cэ

C0

0,05

102,69

34,62

2,93

58,24

0,1

58,47

21,06

1,39

29,12

0,15

42,05

14,86

0,87

19,41

0,2

33,30

11,21

0,62

14,56

0,25

27,81

8,79

0,46

11,65

0,3

24,02

7,04

0,36

9,71

0,35

21,23

5,72

0,29

8,32

0,4

19,10

4,68

0,23

7,28

0,45

17,41

3,84

0,19

6,47

0,5

16,04

3,15

0,15

5,82

0,55

14,90

2,57

0,13

5,29

0,6

13,94

2,08

0,10

4,85

0,65

13,13

1,66

0,08

4,48

0,7

12,43

1,29

0,07

4,16

0,75

11,82

0,98

0,05

3,88

0,8

11,29

0,70

0,04

3,64

0,85

10,82

0,46

0,03

3,43

0,9

10,42

0,26

0,02

3,24

0,95

10,08

0,10

0,01

3,07

1

9,82

0

0

2,91

Рис. 4.22 Зависимости суммарного фильтрационного сопротивления ε0 и дополнительных фильтрационных сопротивлений C0, C1, Cэ, от относительного вскрытия пласта

Как видно из табл. 4.10, фильтрационное сопротивление ε0 при притоке к несовершенной скважине с экраном на забое уменьшается с улучшением качества вскрытия, т.е. увеличении относительного вскрытия пласта . Дополнительное фильтрационное сопротивление, возникающее при наличии экрана Cэ составляет порядка 1 – 2% от суммарного фильтрационного сопротивления и существенно не влияет на него. Построим график зависимостей суммарного фильтрационного сопротивления ε0 и дополнительных фильтрационных сопротивлений C0, C1, Cэ, от относительного вскрытия пласта  . Отобразим все линии на одной системе координат, что будет удобно для сравнения.

Построим зависимости фильтрационного сопротивления ε0, для притока к несовершенной скважине с экраном на забое, от относительного вскрытия пласта при изменении различных исходных параметров.

Зададим исходные данные, отличные от предыдущего используемых в предыдущем расчете, R0 = 250 м, rc = 0,15 м, χ = 10, h0 = 10 м, δ = 0, l0 = 0,4 м,
m = 3 отв./м, r0 = 0,0067 м, rэ = 5 м. На рис. 3.40 представлены зависимости ε0 от относительного вскрытия , при различных плотностях перфорации.

Как видно из представленных зависимостей, фильтрационное сопротивление ε0 понижается, при увеличении количества перфорационных отверстий. Это объясняется тем, что дополнительное фильтрационное сопротивления, обусловленное перфорацией, имеет такую же зависимость от плотности перфорации.

Рассмотрим изменение величины фильтрационного сопротивления, при изменении глубины перфорационного канала l0. Для этого построим зависимости фильтрационного сопротивления ε0 от относительного вскрытия пласта, при глубинах каналов l0 = 0,2, l0 = 0,4 и l0 = 0,8 м.

Рис. 4.23. Зависимость фильтрационного сопротивления ε0, при притоке к несовершенной скважине с экраном на забое, от относительного вскрытия пласта, при различных значениях плотностей перфорации

Рис. 4.24. Зависимость фильтрационного сопротивления ε0, при притоке к несовершенной скважине с экраном на забое, от относительного вскрытия пласта, при различной глубине перфорационного канала

Из рис. 4.24 следует, что фильтрационное сопротивление при притоке к несовершенной скважине с экраном на забое существенно зависит от глубины перфорационного канала. По полученным зависимостям можно установить, что уменьшению фильтрационного сопротивления способствует увеличение глубины перфорационного канала.

Также рассмотрим поведение фильтрационного сопротивления при изменении еще одного параметра перфорации – радиуса перфорационного отверстия. Чтобы установить характер изменения построим зависимости фильтрационного сопротивления ε0 от относительного вскрытия пласта, при различных значениях параметра r0. На рис. 4.25 представлены зависимости для r0 = 0,0025, r0 = 0,005 и r0 = 0,01 м.

Рис. 4.25. Зависимость фильтрационного сопротивления ε0, при притоке к несовершенной скважине с экраном на забое, от относительного вскрытия пласта, при различных радиусах перфорационных отверстий

Из рисунка видно, что понижения фильтрационного сопротивления можно достичь увеличением радиуса перфорационных отверстий.

Далее рассмотрим изменение фильтрационного сопротивления ε0, при различных размерах экрана. Это изменение будет определяться формулой (2.34) для дополнительного фильтрационного сопротивления, обусловленного наличием экрана, которое, как было отмечено, сравнительно мало и составляет порядка 1 – 2% от суммарного фильтрационного сопротивления. Как было показано А.П. Телковым, при исследовании формулы полного фильтрационнго сопротивления, дополнительным сопротивлением, обусловленным наличием экрана можно пренебречь. Построим зависимости полного фильтрационного сопротивления от относительного вскрытия, для величин радиуса экрана rэ = 3, rэ = 6 и rэ = 12.

Рис. 4.26. Зависимость фильтрационного сопротивления ε0, при притоке к несовершенной скважине с экраном на забое, от относительного вскрытия пласта, при различных радиусах экрана

Из представленных на рис. 4.26 зависимостей следует, что величина радиуса экрана практически не влияет на фильтрационное сопротивление. Это происходит из-за того, что радиус экрана учитывается в дополнительном фильтрационном сопротивлении Cэ, которое сравнительно мало.

По результатам исследования фильтрационного сопротивления ε0, при притоке к несовершенной скважине с экраном на забое,  установлено, что суммарное сопротивление уменьшается, при увеличении качества вскрытия. Таким же образом ведутся себя дополнительные фильтрационные сопротивления, обусловленные частичным вскрытием, наличием экрана и перфорацией. Значения коэффициента Cэ снижаются при уменьшении размера экрана, а коэффициент C0 убывает с увеличением плотности перфорации,  длины перфорационного канала и радиуса перфорационных отверстий. Рассмотренный алгоритм отражает влияние характеристик пласта, качества вскрытия, перфорации и экрана и рекомендуется для расчета.

4.4  Анализ расчета фильтрационных сопротивлений при неустановившемся притоке жидкости (газа) к несовершенной скважине в неограниченном пласте

 Расчет функции фильтрационного сопротивления при неустановившемся притоке жидкости (газа) к несовершенной скважине в неограниченном пласте осуществляется по алгоритму, описанному в разделе 2.8. Для вычислений в программном продукте были реализованы следующие математические операции:

  •  Приближенное вычисление интеграла по формуле Симпсона

,

где  величина шага,  – количество разбиений;

  •  Определение интегральной показательной функции  разложением

в ряд по формуле (2.69);

  •  Расчет интеграла вероятности  по формулам (2.65 – 2.66).

Исходными данными для нахождения функции фильтрационного сопротивления при неустановившемся притоке к несовершенной скважине в неограниченном пласте являются по описанному алгоритму безразмерные параметры .
 Параметр Фурье  определяется по формуле (2.62) как

.

Безразмерный параметр  вычисляется по формуле (2.63)

.

Относительное вскрытие пласта  находится по формуле

.

Произведем расчет функции фильтрационного сопротивления , при неустановившемся притоке жидкости или газа к несовершенной скважине в неограниченном пласте по алгоритму, представленному в разделе 2.8, при исходных безразмерных параметрах  = 0,001,  = 0,005. Результаты расчета для относительного вскрытия  в диапазоне [0,05 – 0,95] с шагом 0,05 представлены в табл. 4.11.

Таблица 4.11 – Функция фильтрационного сопротивления при  = 0,001,
= 0,005

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

56,716

35,870

25,326

18,995

14,774

11,759

9,4973

7,7385

6,3315

0,55

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

5,1803

4,2210

3,4093

2,7135

2,1105

1,5829

1,1173

0,7035

0,3332

По представленным в табл. 4.11 значениям можно судить о том, что функция фильтрационного сопротивления  при неустановившемся притоке жидкости (газа) к несовершенной скважине в неограниченном пласте уменьшается, при увеличении относительного вскрытия пласта . Построим графическую зависимость по полученным результатам.

Рис. 4.27. Зависимость функции фильтрационного сопротивления, от относительного вскрытия пласта

Из рис. 4.27 видно, что при малых относительных вскрытиях , функция фильтрационного сопротивления  начинает резко возрастать. При
= 1, фильтрационное сопротивление равно нулю.

Далее рассмотрим, как влияет на фильтрационное сопротивление изменение исходных параметров. Построим зависимость  от , при
= 0,005, для различных значений параметра Фурье .

Рис. 4.28. Зависимость функции фильтрационного сопротивления, от относительного вскрытия пласта, при различных значениях параметра Фурье

Из рис. 4.28 следует, что функция фильтрационного сопротивления , при неустановившемся притоке жидкости или газа к несовершенной скважине в неограниченном пласте уменьшается, при увеличении параметра Фурье . Исходя из формулы (2.62), можно заключить, что на фильтрационное сопротивление влияют радиус скважины  и коэффициент пьезопроводности χ. С увеличением радиуса скважины и уменьшением пьезопроводности фильтрационное сопротивление понижается. Также несложно заметить более сильное расхождение кривых с уменьшением относительного вскрытия пласта .

Далее произведем расчет функции фильтрационного сопротивления  для различных значений безразмерного параметра . Принимая
= 0,001, рассчитаем  для  = 0,01,  = 0,005,  = 0,001. Результаты расчета функции фильтрационного сопротивления, при различных безразмерных параметрах  представлены в табл. 3.16.

Таблица 4.13 – Функция фильтрационного сопротивления при  = 0,001 и  = 0,00001,  = 0,001,  = 0,005,  = 0,01,  = 0,05,   = 0,1

= 0,00001

= 0,001

= 0,005

= 0,01

= 0,05

= 0,1

R

R

R

R

R

R

0,05

120,30

0,05

120,30

0,05

113,93

0,05

99,515

0,05

48,725

0,05

28,319

0,1

56,984

0,1

56,984

0,1

56,716

0,1

53,797

0,1

32,874

0,1

21,943

0,15

35,879

0,15

35,879

0,15

35,870

0,15

35,232

0,15

24,208

0,15

17,318

0,2

25,326

0,2

25,326

0,2

25,326

0,2

25,192

0,2

18,758

0,2

14,023

0,25

18,995

0,25

18,995

0,25

18,995

0,25

18,969

0,25

14,992

0,25

11,580

0,3

14,774

0,3

14,774

0,3

14,774

0,3

14,769

0,3

12,221

0,3

9,6984

0,35

11,759

0,35

11,759

0,35

11,759

0,35

11,758

0,35

10,090

0,35

8,2036

0,4

9,4973

0,4

9,4973

0,4

9,4973

0,4

9,4972

0,4

8,3977

0,4

6,9860

0,45

7,7385

0,45

7,7385

0,45

7,7385

0,45

7,7385

0,45

7,0197

0,45

5,9742

0,5

6,3315

0,5

6,3315

0,5

6,3315

0,5

6,3315

0,5

5,8758

0,5

5,1196

0,55

5,1803

0,55

5,1803

0,55

5,1803

0,55

5,1803

0,55

4,9111

0,55

4,3881

0,6

4,2210

0,6

4,2210

0,6

4,2210

0,6

4,2210

0,6

4,0873

0,6

3,7550

0,65

3,4093

0,65

3,4093

0,65

3,4093

0,65

3,4093

0,65

3,3763

0,65

3,2021

0,7

2,7135

0,7

2,7135

0,7

2,7135

0,7

2,7135

0,7

2,7573

0,7

2,7154

0,75

2,1105

0,75

2,1105

0,75

2,1105

0,75

2,1105

0,75

2,2145

0,75

2,2842

0,8

1,5829

0,8

1,5829

0,8

1,5829

0,8

1,5829

0,8

1,7356

0,8

1,9002

0,85

1,1173

0,85

1,1173

0,85

1,1173

0,85

1,1173

0,85

1,3107

0,85

1,5566

0,9

0,7035

0,9

0,7035

0,9

0,7035

0,9

0,7035

0,9

0,9321

0,9

1,2479

0,95

0,3332

0,95

0,3332

0,95

0,3332

0,95

0,3332

0,95

0,5934

0,95

0,9696

Как видно из результатов расчета, представленных в табл. 4.13, безразмерная величина  существенно не влияет на фильтрационное сопротивление. При  < 0,001 значения фильтрационного сопротивления остаются постоянными, при изменении . Это объясняется тем, что при малых значениях  интеграл вероятности принимает значение равное единице
= 1. При > 0,001, повышение параметра , увеличивает его влияние на фильтрационное сопротивление. По полученным результатам построим зависимости функции фильтрационного сопротивления  от относительного вскрытия  при  = 0,001,  = 0,05,  = 0,01,   = 0,1.

Рис. 4.28. Зависимость функции фильтрационного сопротивления, от относительного вскрытия пласта, при различных значениях параметра .

Как видно из рис. 4.28, с при  > 0,5, фильтрационные сопротивления достаточно близки, и практически не зависят от параметра . Расхождение кривых наблюдается при  < 0,5, где заметно, что с увеличением параметра , фильтрационные сопротивления уменьшаются. Приняв во внимание формулу (2.63), можно заключить, что с увеличением радиуса скважины, уменьшением толщины пласта и пьезопроводности, фильтрационное сопротивление , при неустановившемся притоке жидкости или газа к несовершенной скважине в неограниченном пласте уменьшается.

Проанализировав поведение функции фильтрационного сопротивления , были получены выводы, что, при неустановившемся притоке жидкости или газа к несовершенной скважине в неограниченном пласте, фильтрационное сопротивление уменьшается при:

  •  увеличении относительного вскрытия пласта;
  •  увеличении радиуса скважины;
  •  уменьшении пьезопроводности;
  •  уменьшении толщины пласта.

Рекомендуется использовать рассмотренный алгоритм, при решении задач нахождения фильтрационных сопротивлений, при неустановившемся притоке жидкости или газа к несовершенной скважине в неограниченном пласте.


ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной магистерской диссертации были исследованы основные понятия проблемы определения фильтрационных сопротивлений, при притоке к несовершенным скважинам, методики решения задач нахождения фильтрационных сопротивлений. На основе проведенного анализа различных методик была разработана программа для решения прикладных задач, таких как вычисление величин фильтрационных сопротивлений и построение графиков.

Проведя анализ существующих аналитических решений задач нахождения фильтрационных сопротивлений в различной постановке, при помощи разработанного программного продукта, можно сделать ряд практических вывод, например, было установлено, что наиболее сильно способствует понижению фильтрационных сопротивлений  увеличение относительного вскрытия пласта . Для решения важной практической инженерной задачи о выборе оптимальной величины вскрытия пласта необходимо построить зависимость фильтрационного сопротивления от относительного вскрытия. Тогда оптимальные вскрытия  будут лежать в области, для которой не характерно резкое возрастание зависимости.

При несовершенстве скважины по степени вскрытия, т.е. когда пласт вскрывается не на всю мощность, на фильтрационное сопротивление так же влияют геометрические характеристики пласта и скважины: радиус скважины, толщина и анизотропия пласта.

Было проведено исследование формул нескольких ученых (И.А. Чарного, Г.Б. Пыхачева, А.М. Пирвердяна, А.П. Телкова и М.Н. Велиева) для коэффициента дополнительного фильтрационного сопротивления, обусловленного частичным вскрытием. В ходе вычислительного эксперимента были посчитаны значения дополнительного сопротивления в широком диапазоне параметров и сравнены с данными, полученными В.И. Щуровым экспериментально, методом электролитического моделирования. Для всех результатов вычислений по представленным формулам были посчитаны средние отклонения от данных В.И. Щурова. Для автоматизации процесса вычислительного эксперимента была оцифрована номограмма В.И. Щурова, которая широко используется для нахождения дополнительного фильтрационного сопротивления, обусловленного несовершенством по степени вскрытия. По результатам сравнения, для расчета рекомендуются алгоритмы, основанные на формулах М.Н. Велиева и
А.П. Телкова. Вычисления по данным формулам дают результаты, наиболее приближенные к экспериментальным данным, а также учитывают анизотропию пласта.

Из построенных зависимостей фильтрационных сопротивлений, при изменении значения анизотропии следует, что с увеличением анизотропии пласта χ фильтрационное сопротивление возрастает. Из этого можно заключить, что в сильно анизотропных пластах с подошвенной водой, малые вскрытия с целью продления безводного периода эксплуатации, могут оказаться неоправданными.

При несовершенстве скважины по характеру вскрытия на фильтрационное сопротивление оказывают влияние перфорационные характеристики: глубина перфорационного канала, радиус перфорационных отверстий, плотность перфорации. Наиболее активно фильтрационные процессы протекают в призабойной зоне пласта, где и происходит перфорирование обсадной колонны. В работе было показано, что с увеличением длины перфорационного канала, радиуса перфорационного отверстия и плотности перфорации фильтрационное сопротивление понижается. Это объясняется увеличением суммарной площади поверхности учавствующей в процессе фильтрации.

Дополнительные фильтрационное сопротивление, обусловленные наличием экрана возрастает, с увеличением радиуса экрана, при этом резкое увеличение наблюдается при относительных вскрытиях  > 0,3. Также было показано, что величина дополнительного фильтрационного сопротивления, обусловленного наличием экрана составляет порядка 1 – 2% от суммарного фильтрационного сопротивления и существенно на него не влияет. Таким образом, при расчете фильтрационных сопротивлений при притоке жидкости (газа) к несовершенной  скважине с экраном на забое им можно пренебречь.


СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

  1.  Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде (перевод с английского) М.: Гостоптехиздат. 1969. 628 с.
  2.  Пирвердян А.М. Приближенная формула для притока жидкости к несовершенной скважине. Изв. АН СССР, ОТН, №4, 1957.
  3.  Пыхачев Г.Б. «Нефть и газ», №10, 1963.
  4.  Телков А.П., Грачев С.И. и др. Пространственная фильтрация и прикладные задачи разработки нефтегазоконденсатных месторождений и нефтедобыча. – Тюмень. ООО НИПИКБС-Т. – 2001 г.
  5.  Велиев М.Н., Мамедов Г.А. Нестационарный приток жидкости к скважине, несовершенной по степени вскрытия. Техника и технология нефтедобычи. Труды АзНИПИнефть, 1999. С. 18-20
  6.  Щуров В.И. Технология и техника добычи нефти. М., 1983. 51.
  7.  Телков А.П., Стклянин Ю.И. Образование конусов воды при добыче нефти и газа. – М.: Недра, 1965.
  8.  Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. – М.: Гостоптехиздат, 1963.
  9.  Телков А.П. Подземная гидрогазодинамика. – Уфа, Башиздат, 1974.
  10.  Телков А.П. Расчет фильтрационных сопротивлений, обусловленных несовершенством скважины и экраном в условиях однородно-анизотропного пласта и взаимодействие скважин. – Нефтяной хозяйство, 1972, № 4. – С. 9-13.
  11.  Щелкачев В.Н., Назаров С.Н. Учет влияния гидродинамического несовершенства скважин в условиях упругого режима. – Нефтяное хозяйство, 1954, № 5.
  12.  Минский Е.М. О притоке жидкости и газа к несовершенным скважинам при нелинейном законе сопротивления. – ДАН СССР, 1955, т. 103, №3.
  13.   Зотов Г.А., Тверковкин С.М. Газогидродинамические методы исследований газовых скважин. – М.: Недра, 1970.
  14.   Телков А.П., Грачев С.И., Краснова Т.Л, Сохошко С.К. Особенности разработки нефтегазовых месторождений. – Тюмень, ООО НИПИКБС-Т, 2000. – 328 с.
  15.   Минский Е.М., Марков П.П. Экспериментальные исследования сопротивления несовершенных скважин. – Тр. ВНИИ, 1956, вып. 8.
  16.   Литвинов А.А. Количественная оценка гидродинамического совершенства эксплуатации скважин при различных видах перфорации по данным промысловых исследований. – Тр. ТатНИИ, 1960, вып. П.
  17.   Тихов A.M. Математическая теория движения жидкости и газа к центральной несовершенной скважине. Изд-во Харьковского университета, Харьков, 1964. – 156 с.  
  18.  Хейн А.Л. Теоретические основы и методика определения параметров пласта по данным испытания несовершенных скважин при неустановившемся режиме фильтрации жидкостей и газов. В сб. «Вопросы разработки и эксплуатации газовых месторождений». – Тр. ВНИИ, 1953,
    вып. 4.
  19.  Harris M.H. The Effect of Perforating on Well Productivity. – I.P.T. Apr., 1966.
  20.  Соловкин Е.Б., Соловкина Н.А. Выбор плотности перфорации скважин. – НТС «Нефтепромысловое дело», 1979, вып. 5. – С. 20-23.
  21.   Телков А.П., Грачёв С.И. Гидромеханика пласта применительно к прикладным задачам разработки нефтяных и газовых месторождений: учебное пособие. В 2 ч. Ч. II – Тюмень: ТюмГНГУ, 2009. – 352 с.
  22.   Р.Я. Кучумов, Н.Г. Мусакаев Лабораторный практикум по курсу «Численные методы». – Тюмень: Издательство Тюменского государственного нефтегазового университета, 2004. – 112с.
  23.   Р.Я. Кучумов, Р.Р. Кучумов, Н.Г. Мусакаев Применение численных методов к решению задач нефтепромысловой механики. – Тюмень: Издательство Тюменского государственного нефтегазового университета, 2004. – 184с.
  24.  Технологический режим работы газовых скважин // Алиев З.С., Андреев С.А., Власенко А.П., Коротаев Ю.П. М.: «Недра», 1978. 279 с.
  25.   Пыхачев Г.Б., Исаев Р.Г. Подземная гидравлика. – М.: Недра,1973.
  26.   Телков А.П. Некоторые особенности эксплуатации нефтяных залежей с подошвенной водой. – НТО. – М.: ВНИИОЭНГ, 1972. – 136с.
  27.   Щелкачев В.Н. Разработка нефтеводоносных пластов при упругом режиме. – М. – Л: Гостоптехиздат, 1959.
  28.  Минский Е.М. О турбулентной фильтрации газа в пористых
    средах. – Сб. «Вопросы добычи, транспорта и переработки природных газов». М.: Гостоптехиздат, 1951.
  29.   Кучумов Р.Р. Информационно-программное обеспечение процесса гидродинамического моделирования притока жидкости к несовершенной скважине: дис. канд. техн. наук, Тюмень, 2007, 229с.
  30.   Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. Гостехиздат, 1952.


ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Листинг программного продукта для расчета фильтрационных сопротивлений

unit Unit1;

// Основной блок, отвечающий за функционирование главного меню, и вызов
//    вычислительных блоков

interface

uses

 Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,  Dialogs, StdCtrls, Menus, ExtCtrls;

type

 TForm1 = class(TForm)

   MainMenu1: TMainMenu;

   N1: TMenuItem;

   N2: TMenuItem;

   N3: TMenuItem;

   N4: TMenuItem;

   N5: TMenuItem;

   N6: TMenuItem;

   N7: TMenuItem;

   N8: TMenuItem;

   N9: TMenuItem;

   N10: TMenuItem;

   N11: TMenuItem;

   N12: TMenuItem;

   N13: TMenuItem;

   N14: TMenuItem;

   Image1: TImage;

   procedure Button1Click(Sender: TObject);

   procedure N2Click(Sender: TObject);

   procedure N3Click(Sender: TObject);

   procedure N4Click(Sender: TObject);

   procedure N8Click(Sender: TObject);

   procedure N7Click(Sender: TObject);

   procedure N6Click(Sender: TObject);

   procedure N10Click(Sender: TObject);

   procedure N11Click(Sender: TObject);

   procedure N12Click(Sender: TObject);

   procedure N13Click(Sender: TObject);

   procedure N14Click(Sender: TObject);

   procedure FormCreate(Sender: TObject);

 private

   { Private declarations }

 public

   { Public declarations }

 end;

var

 Form1: TForm1;

implementation

uses Unit2, Unit3, Unit4, Unit5, Unit6, Unit7, Unit8, Unit9, Unit10,

 Unit11, Unit12, Unit13;

{$R *.dfm}

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

begin

Form2.Show

end;

procedure TForm1.N2Click(Sender: TObject);

begin

Form2.Show

end;

procedure TForm1.N3Click(Sender: TObject);

begin

Form3.Show

end;

procedure TForm1.N4Click(Sender: TObject);

begin

form4.show

end;

procedure TForm1.N8Click(Sender: TObject);

begin

form2_1.show

end;

procedure TForm1.N7Click(Sender: TObject);

begin

form2_2.show

end;

procedure TForm1.N6Click(Sender: TObject);

begin

form2_3.show

end;

procedure TForm1.N10Click(Sender: TObject);

var i:integer;

begin

form8.show;

for i:=1 to 11 do

form8.Canvas.TextOut(165+i*50,680,floattostr(i/10-0.1));

for i:=1 to 13 do BEGIN

form8.Canvas.TextOut(200,20+(i-1)*50,floattostr(70-i*5));

form8.Canvas.TextOut(725,20+(i-1)*50,floattostr(7-i*0.5));

                 END;

end;

procedure TForm1.N11Click(Sender: TObject);

begin

form9.show

end;

procedure TForm1.N12Click(Sender: TObject);

begin

form12.show

end;

procedure TForm1.N13Click(Sender: TObject);

begin

form11.show

end;

procedure TForm1.N14Click(Sender: TObject);

begin

form13.show