98088

Декартовая система координат

Реферат

Математика и математический анализ

Декарт происходил из старинного, но обедневшего дворянского рода де Карт — отсюда впоследствии возникло его латинизированное имя Картезиус и направление в философии — картезианство; и был младшим (третьим) сыном в семье. Он родился 31 марта 1596 года в городе Лаэ, Франция. Его мать умерла, когда ему был 1 год.

Русский

2015-10-27

1.11 MB

48 чел.

Министерство образования и науки РФ

ФГБОУ ВПО «Марийский государственный университет»

Кафедра педагогики

реферат

                     по дисциплине: методика обучения математике

на тему: «Декартовая система координат»

Выполнила:

Викторова О.К.

Проверил:

канд. пед. наук, профессор

__________Бородина М.В.

Йошкар-Ола

2015

Содержание:

  1.  Рене Декарт. Биография………………………………………………….3
  2.  Вклад Декарта в развитие математики как науки…………………….6
  3.  Возможный метод изучения декартовой системы координат на примере легенды об ее открытии……………………………………………………8
  4.  Заключение………………………………………………………………15
  5.  Список используемой литературы……………………………………..16


  1.  Биография

Рене́ Дека́рт  — французский философ, математик, механик, физик и физиолог, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики, автор метода радикального сомнения в философии, механицизма в физике, предтеча рефлексологии.

Декарт происходил из старинного, но обедневшего дворянского рода де Карт — отсюда впоследствии возникло его латинизированное имя Картезиус и направление в философии — картезианство; и был младшим (третьим) сыном в семье. Он родился 31 марта 1596 года в городе Лаэ, Франция. Его мать умерла, когда ему был 1 год. Отец Декарта был судьёй в городе Ренн и в Лаэ появлялся редко; воспитанием мальчика занималась бабушка по матери. В детстве Рене отличался хрупким здоровьем и невероятной любознательностью.

Начальное образование Декарт получил в иезуитском колле́же Ла Флеш, где его учителем был Жан Франсуа. В коллеже Декарт познакомился с Мареном Мерсенном (тогда — учеником, позже — священником), будущим координатором научной жизни Франции. Религиозное образование только укрепило в молодом Декарте скептическое отношение к тогдашним философским авторитетам. Позже он сформулировал свой метод познания: дедуктивные (математические) рассуждения над результатами воспроизводимых опытов.

В 1612 году Декарт закончил коллеж, некоторое время изучал право в Пуатье, затем уехал в Париж, где несколько лет чередовал рассеянную жизнь с математическими исследованиями. Затем он поступил на военную службу (1617) — сначала в революционной Голландии (в те годы — союзнице Франции), затем в Германии, где участвовал в недолгой битве за Прагу (Тридцатилетняя война). В Голландии в 1618 г. Декарт познакомился с выдающимся физиком и натурфилософом Исааком Бекманом, оказавшим значительное влияние на его формирование как учёного. Несколько лет Декарт провёл в Париже, предаваясь научной работе, где, помимо прочего, открыл принцип виртуальных скоростей, который в то время никто ещё не был готов оценить по достоинству.

Затем — ещё несколько лет участия в войне (осада Ля-Рошели). По возвращении во Францию оказалось, что свободомыслие Декарта стало известно иезуитам, и те обвинили его в ереси. Поэтому Декарт переезжает в Голландию (1628), где проводит 20 лет в уединённых научных занятиях.

Он ведёт обширную переписку с лучшими учёными Европы (через верного Мерсенна), изучает самые различные науки — от медицины до метеорологии. Наконец, в 1634 году он заканчивает свою первую, программную книгу под названием «Мир» (Le Monde), состоящую из двух частей: «Трактат о свете» и «Трактат о человеке». Но момент для издания был неудачным — годом ранее инквизиция чуть не замучила Галилея. Поэтому Декарт решил при жизни не печатать этот труд. Он писал Мерсенну об осуждении Галилея:

«Это меня так поразило, что я решил сжечь все мои бумаги, по крайней мере никому их не показывать; ибо я не в состоянии был вообразить себе, что он, итальянец, пользовавшийся расположением даже Папы, мог быть осуждён за то, без сомнения, что хотел доказать движение Земли… Признаюсь, если движение Земли есть ложь, то ложь и все основания моей философии, так как они явно ведут к этому же заключению».

Вскоре, однако, одна за другой, появляются другие книги Декарта:

«Рассуждение о методе…» (1637)

«Размышления о первой философии…» (1641)

«Первоначала философии» (1644)

В «Первоначалах философии» сформулированы главные тезисы Декарта:

«Бог сотворил мир и законы природы, а далее Вселенная действует как самостоятельный механизм».

«В мире нет ничего, кроме движущейся материи различных видов. Материя состоит из элементарных частиц, локальное взаимодействие которых и производит все природные явления».

«Математика — мощный и универсальный метод познания природы, образец для других наук».

Кардинал Ришельё благожелательно отнёсся к трудам Декарта и разрешил их издание во Франции, а вот протестантские богословы Голландии наложили на них проклятие (1642); без поддержки принца Оранского учёному пришлось бы нелегко.

В 1649 году Декарт, измученный многолетней травлей за вольнодумство, поддался уговорам шведской королевы Кристины (с которой много лет активно переписывался) и переехал в Стокгольм. Почти сразу после переезда он серьёзно простудился и вскоре умер. Предположительной причиной смерти явилась пневмония. Существует также гипотеза о его отравлении, поскольку симптомы болезни Декарта были сходны с симптомами, возникающими при остром отравлении мышьяком. Эту гипотезу выдвинул Айки Пиз, немецкий учёный, а затем поддержал Теодор Эберт. Поводом для отравления, по этой версии, послужило опасение католических агентов, что вольнодумство Декарта может помешать их усилиям по обращению королевы Кристины в католичество (это обращение действительно произошло в 1654 году).

К концу жизни Декарта отношение церкви к его учению стало резко враждебным. Вскоре после его смерти основные сочинения Декарта были внесены в пресловутый «Индекс», а Людовик XIV специальным указом запретил преподавание философии Декарта («картезианства») во всех учебных заведениях Франции.


  1.  Вклад Декарта в развитие математики как науки

В 1637 году вышел в свет главный философско-математический труд Декарта, «Рассуждение о методе» (полное название: «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках»).

В этой книге излагалась аналитическая геометрия, а в приложениях — многочисленные результаты в алгебре, геометрии, оптике (в том числе — правильная формулировка закона преломления света) и многое другое.

Особо следует отметить переработанную им математическую символику Виета, с этого момента близкую к современной. Коэффициенты он обозначал a, b, c…, а неизвестные — x, y, z. Натуральный показатель степени принял современный вид (дробные и отрицательные утвердились благодаря Ньютону). Появилась черта над подкоренным выражением. Уравнения приводятся к канонической форме (в правой части — ноль).

Символическую алгебру Декарт называл «Всеобщей математикой», и писал, что она должна объяснить «всё относящееся к порядку и мере».

Создание аналитической геометрии позволило перевести исследование геометрических свойств кривых и тел на алгебраический язык, то есть анализировать уравнение кривой в некоторой системе координат. Этот перевод имел тот недостаток, что теперь надо было аккуратно определять подлинные геометрические свойства, не зависящие от системы координат (инварианты). Однако достоинства нового метода были исключительно велики, и Декарт продемонстрировал их в той же книге, открыв множество положений, неизвестных древним и современным ему математикам.

В приложении «Геометрия» были даны методы решения алгебраических уравнений (в том числе геометрические и механические), классификация алгебраических кривых. Новый способ задания кривой — с помощью уравнения — был решающим шагом к понятию функции. Декарт формулирует точное «правило знаков» для определения числа положительных корней уравнения, хотя и не доказывает его.

Декарт исследовал алгебраические функции (многочлены), а также ряд «механических» (спирали, циклоида). Для трансцендентных функций, по мнению Декарта, общего метода исследования не существует.

Комплексные числа ещё не рассматривались Декартом на равных правах с вещественными, однако он сформулировал (хотя и не доказал) основную теорему алгебры: общее число вещественных и комплексных корней многочлена равно его степени. Отрицательные корни Декарт по традиции именовал ложными, однако объединял их с положительными термином действительные числа, отделяя от мнимых (комплексных). Этот термин вошёл в математику. Впрочем, Декарт проявил некоторую непоследовательность: коэффициенты a, b, c… у него считались положительными, а случай неизвестного знака специально отмечался многоточием слева.

Все неотрицательные вещественные числа, не исключая иррациональные, рассматриваются Декартом как равноправные; они определяются как отношения длины некоторого отрезка к эталону длины. Позже аналогичное определение числа приняли Ньютон и Эйлер. Декарт пока ещё не отделяет алгебру от геометрии, хотя и меняет их приоритеты; решение уравнения он понимает как построение отрезка с длиной, равной корню уравнения. Этот анахронизм был вскоре отброшен его учениками, прежде всего — английскими, для которых геометрические построения — чисто вспомогательный приём.

Книга «Метод» сразу сделала Декарта признанным авторитетом в математике и оптике. Примечательно, что издана она была на французском, а не на латинском языке. Приложение «Геометрия» было, однако, тут же переведено на латинский и неоднократно издавалось отдельно, разрастаясь от комментариев и став настольной книгой европейских учёных. Труды математиков второй половины XVII века отражают сильнейшее влияние Декарта.

  1.  Возможный метод изучения декартовой системы координат на примере легенды об ее открытии

Существует несколько легенд об изобретении системы координат, которая носит имя Декарта.

Однажды Рене Декарт весь день пролежал в кровати, думая о чем-то, а муха жужжала вокруг и не давала ему сосредоточиться. Он стал размышлять, как бы описать положение мухи в любой момент времени математически, чтобы иметь возможность прихлопнуть ее без промаха. И ... придумал декартовы координаты, одно из величайших изобретений в истории человечества. Проследим путь открытия системы координат согласно этой легенде в картинках.

Время открытия: 1637 год.

Действующие лица:

Автор открытия: французский математик Рене Декарт.

"Соавтор" открытия": муха Декарта

Место действия: "кабинет" Рене Декарта.

На рисунке условно показаны три стены кабинета:

стена с дверным проемом

- профильная плоскость

пол - горизонтальная плоскость

стена с оконными проемами

- фронтальная плоскость;

Обратите внимание! Каждые две плоскости пересекаются по прямой

линии.

  1.  На фронтальную плоскость садится муха

  1.  Предположим, что

Рене Декарт смотрит на

фронтальную плоскость в

перпендикулярном ей

направлении.

Мы видим, что муха

находится на

фронтальной плоскости.

Но как точно определить

ее положение?

  1.  Эврика!

Нужно взять две взаимно перпендикулярные числовые прямые. Точку пересечения прямых обозначим как О - начало системы координат. Одну из прямых назовем ось X, другую - ось Y.

На нашем рисунке расстояние между делениями на числовых прямых

равно единице.

Внимание! Вы можете выбрать начало координат и направление осей

так, как это удобно в конкретной задаче.

  1.  Определим точное положение "соавтора" - мухи.

Проведем через точку, где находится муха две прямые:

  1.  Параллельно оси X. Прямая пересекает ось Y в точке с числовым

значением, равным 4. Это значение назовем координатой "у" нашего

"соавтора".

  1.  Параллельно оси Y. Прямая пересекает ось Х в точке с числовым

значением, равным (-2). Это значение назовем координатой "х" нашего объекта.


Принято координаты объекта, обычно точки, записывать в форме (x, y). Для нашей мухи мы можем сказать, что она находится в точке с координатами (-2, 4).

Задача точного определения положения мухи решена!

Новизна идеи состоит в том, что положение точки или объекта на

плоскости определяется с помощью двух пересекающихся осей.

Точно так же можно поступить и для определения положения мухи на

потолке.

Определите положение жука и бабочки на координатной плоскости.

Все эти примеры демонстрируют преимущества координатного способа определения положения мухи, жука и бабочки на плоскости с помощью системы координат Декарта. А как определить координаты тех же насекомых, если они летают, ведь в этом случае они не ползают по поверхности стены или потолка.

Для измерения положения объектов в пространстве в начале 19-го века

была добавлена ось Z, которая направлена перпендикулярно осям X и Y.

На рисунке ось Z направлена вверх.


Представьте себе, что амурский кот сидит на ветке дерева.

Если бы кот упал на горизонтальную плоскость - плоскость XOY, точка

его падения имела координаты (X1, Y1). Кот сидит на высоте Z1 от горизонтальной плоскости. Итак, положение амурского кота в пространстве

можно описать тремя координатами (X1, Y1 Z1), он находится на некоторой

высоте над поверхностью земли.

Координаты могут иметь различные числовые значения, в том числе и

нулевые, это означает, что объект находится на какой-то координатной оси.

Если все три координаты имеют нулевые значения - объект находится в начале системы координат.

Давайте определим координаты различных объектов на следующем

рисунке.

Попугай находится в точке с координатами (0, 0, Z1).

Бобер слева - (X1 0 0). Бобер справа - (0 Y1 0).

Мышь - (X1 Y1 0). Кот амурский - (X1 Y1 Z1).

Ответьте на вопрос:

"Куда нужно сесть этому хамелеону?"


  1.  Заключение

Декартовая система координат подтолкнула науку математику, вывела ее на совершенно новый уровень. Геометрия стала развиваться стремительнее. В данной работе рассмотрена координатная система на уровне 5-6 классов, чтобы дети заинтересовались и главное поняли, каким образом работать с системой координат. Конечно же в дальнейшем изучение декартовой системы координат будет более углубленное. В более старших классах речь пойдет о трехмерном пространстве. О построении объемных фигур и т. д. Изучение декартовой системы координат является одним из самых важных аспектов математики как науки, и каждый учитель должен донести свои знания до каждого ученика так, чтобы эти знания усвоились на всю жизнь.


  1.  Список используемой литературы

  1.  Любимов Н.А. Философия Декарта. СПб., 1886
  2.  Лят-кер Я.А. Декарт. М., 1975
  3.  Фишер К. Декарт: его жизнь, сочинения и учение. СПб., 1994
  4.   Мамардашвили М.К. Картезианские размышления. М., 1995
  5.  Используемые  сайты: https://ru.wikipedia.org


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34509. Готическое искусство Франции. Термин «готика». Ведущая роль архитектуры. Принципы готической каркасной конструкции, ее элементы. Роль скульптуры. Причины появления витражной живописи 18.95 KB
  Особое внимание уделялось сторожевой башне ратуши беффруа которая была символом независимости республики как городской собор был символом благосостояния граждан коммуны. На площади перед собором происходили диспуты лекции разыгрывались мистерии. Самым большим храмом периода ранней готики был Собор Парижской Богоматери пятинефный храм вмещал до 9000 человек. Раннеготический собор в Лане 1174 1226.
34510. Искусство Проторенессанса. Скульптура. Н. Пизано. Живопись П. Каваллини. Джотто – реформатор итальянской живописи. Принципы творчества Фрески Капеллы дель Арена в Падуе 20.03 KB
  Мозаичный цикл в церкви Санта Мариа ин Трастевере 1291. Фрагмент фрески “Страшный суд†в церкви Санта Чечилиа ин Трастевере 1293. Ассизи Житийный цикл фресок в верхней церкви Сан Франческо посвященных св. Фрески в трансепте верхней церкви св.
34511. Искусство Раннего Возрождения. Формирование новых принципов изобразительного языка. Переплетение ренессансных принципов и средневековых традиций в искусстве ХV в. Мазаччо – основоположник живописи Кватроченто. А. дель Кастаньо. П. дела Франческо. Проблема 21.58 KB
  Стефана 1425 1426 ниш церкви Ор Сан Микеле. Георгий†1415 1417 для ниш церкви Ор Сан Микеле. “Благовещение†алтаря Кавальканти в церкви Санта Кроче 1я пол. Полиптих для церкви кармелиток в Пизе 1426 ныне в различных музеях: готическая экспрессия и ее преодоление.
34512. Высокое Возрождение в Италии. Общая характеристика искусства Высокого Возрождения. Творчество Леонардо да Винчи, Рафаэля Санти, Микельанджело Буанаротти 17.58 KB
  Творчество Леонардо да Винчи Рафаэля Санти Микельанджело Буанаротти. Флорентийскоримские мастера Леонардо да Винчи 1452 1519 ученик Верроккьо универсальный гений. Непродуктивность Леонардоживописца неспособность довести вещь до конца следствия опережающей работы интеллекта. Леонардо в Милане 1482 1499.
34513. Позднее Возрождение в Венеции. Творчество Тициана, Тинторетто, Веронезе 16.52 KB
  1509 Дрезден Картинная галерея “Три философа†ок. “Любовь небесная и земная†1514 Рим галерея Боргезе. Импозантность и демонстрация жизненного амплуа модели в портретах Федериго II Гонзага 1529 Мадрид Прадо и Ипполито Медичи 1533 Флоренция галерея Питти. Работы среднего периода: “Введение во храм†1534 1538 Венеция Академия “Венера Урбинская†1538 Флоренция Уффици “Даная†1544 1546 Неаполь галерея Каподимонте.
34514. Северное Возрождение. Искусство Нидерландов. Ян ван Эйк. Рогир ван дер Вейден. Гуто ван дер Гус. Мир И. Босха. Питер Брейгель Старший 19.04 KB
  Ян ван Эйк. Рогир ван дер Вейден. Гуто ван дер Гус. и Яна около 1390 1441 ван Эйков законченного Яном ван Эйком в 1432 г.
34515. Философско-эстетические взгляды А. Мердок. Конфликт искусства и жизни в романах писательницы 15.66 KB
  Конфликт искусства и жизни в романах писательницы Ее философскопсихол. Чаще всего ее романы связаны с событиями частной семейной жизни. По ее мнению роман должен повествовать о сложной нравственности жизни человека о загадочности человеческого индивидуальности о том что человек это необыкновенная ценность она выступила против романа мифа романапритчи и связала роман с философией. В романе 70х : Человек случайности Черный принц Священная и земная любовь на первый план выдвигается философская проблема случайности в жизни...
34516. Игра в сюжетном развитии и повествовательной организации произведений Д. Фаулза 19.88 KB
  До конца 1960х вышли в свет два романа писателя Волхв и роман Женщина французского лейтенанта. При этом Фаулз достигает эффекта максимального присутствия предлагая в конце романа читателю сделать выбор вместе с его героем уподобиться осторожному обывателю или рискнуть обрести свое я в извечном конфликте долга и чувства. деконструирует сам тип викторианского романа. Но задача Фаулза не в том чтобы занять читателя интеллектуальной игрой по разгадке аллюзий а в деконструировании или деконструкции согласно терминологии...
34517. Творчество У. Эко и постмодернизм 18.02 KB
  Эко и постмодернизм. Много сделал Экоученый для осмысления таких явлений как постмодернизм и массовая культура. Постмодернизм согласно Эко не столько явление имеющее строго фиксированные хронологические рамки а скорее определенное духовное состояние особого рода игра участие в которой возможно и в том случае если участник не воспринимает постмодернистскую иронию интерпретируя предложенный текст сугубо серьезно. По мнению Эко высокая и массовая эстетики в постмодернизме сближаются.