98414

ВЯЗКОЕ ЗАТУХАНИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН В СИЛЬНЫХ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ ПОЛЯХ

Дипломная

Физика

Разработать численный метод расчета коэффициента затухания звуковых волн в сильных центробежных полях на основе анализа резонансных кривых. Провести тестирование метода на задаче затухания волн в роторе без вращения. Получить аналитическое выражение для декремента затухания волн, поляризованных вдоль оси вращения.

Русский

2015-11-03

1.54 MB

0 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

высшего профессионального образования

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

ФАКУЛЬТЕТ ЭКСПЕРЕМЕНТАЛЬНОЙ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

КАФЕДРА МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

К ДИПЛОМНОМУ ПРОЕКТУ

НА ТЕМУ: «ВЯЗКОЕ ЗАТУХАНИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН В СИЛЬНЫХ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ ПОЛЯХ»

Студент – дипломник   Василевич Владимир Витальевич  

               (подпись)

Руководитель дипломного

проекта доктор ф.м.н,

профессор    Боговалов Сергей Владимирович  

                   (подпись, оценка)

Рецензент дипломного

проекта    Троян Виктор Иванович    

          (подпись, оценка)

Консультант    Кислов Владимир Александрович  

               (подпись)

Заведующий кафедрой

доктор ф.м.н, профессор Борман Владимир Дмитриевич   

               (подпись)

МОСКВА 2015 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

АННОТАЦИЯ 3

ГЛАВА 1 Литературный обзор 5

1.1 Историческая справка 5

1.2 Звуковые волны Ошибка! Закладка не определена.

1.3 Распространение звуковых волн вдоль длинной узкой трубки Ошибка! Закладка не определена.

1.5. Поведение газа в центробежном поле сил 5

ГЛАВА 2 Расчетная часть 16

2.1 Постановка задачи 16

2.2 Теоретический анализ 19

2.3 Описание программы 21

2.4 Верификация 24

2.5 Расчёт 30

ВЫВОДЫ 35

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 36


АННОТАЦИЯ

Данная работа посвящена исследованию вязкого затухания звуковых волн, поляризованных вдоль оси вращения в сильных центробежных полях. Эта тема очень важна для физики разделительных процессов, потому что в любой газовой центрифуге возникают звуковые волны [17], которые вносят поправки в потоки внутри неё.

Основная задача данного исследования заключается в том, чтобы понять, как далеко вдоль оси центрифуги может распространиться звуковая волна, и исследовать механизм затухания волн, так как понимание этого механизма может изменить эффективность разделение изотопов и рабочие параметры газовой центрифуги. 

 

ВВЕДЕНИЕ  

В мире действует 388 энергетических ядерных реакторов общей мощностью 333 ГВт [5], российская компания «ТВЭЛ» поставляет топливо для 73 из них. Это составляет 17 % мирового рынка.

В настоящее время разрабатываются международные проекты ядерных реакторов нового поколения, например, ГТ-МГР, которые обещают повысить безопасность и увеличить КПД АЭС.

Россия приступила к строительству первой в мире плавающей АЭС, окончание которого намечено на 2016 год. Такие АЭС позволят решить проблему нехватки энергии в отдалённых прибрежных районах страны [7].

США и Япония ведут разработки мини-АЭС, с мощностью порядка 10-20 МВт для целей тепло- и электроснабжения отдельных производств, жилых комплексов, а в перспективе — и индивидуальных домов. С уменьшением мощности установки растёт предполагаемый масштаб производства. Малогабаритные реакторы, такие как Hyperion АЭС, создаются с использованием безопасных технологий, многократно уменьшающих возможность утечки ядерного вещества [8].

Рост количества АЭС потребует увеличения производства низкообогащенного урана. Так как газодиффузионная технология является дорогой, и по оценкам WNA ее доля в общем обогащении упадет до нуля к 2017 году, основная нагрузка ляжет на центробежный метод разделения.

Вот почему вопросы касающиеся исследования процессов, происходящих в газовой центрифуге, являются очень актуальными. Их актуальность растет с каждым годом.

Так как газ внутри ротора вращается с очень большой скоростью, экспериментальное изучение этих процессов очень сложная задача. Поэтому наиболее эффективным методом исследования являются численные методы.  

Центробежный метод разделения изотопов является самым эффективным методом на сегодняшний день. На первый взгляд кажется, что механизм разделения прост и понятен: радиальный эффект создаётся за счёт разности масс изотопов, а аксиальный — за счёт разности температур на стенках. Но пара отборников, расположенных рядом с торцевыми крышками в газовой камере, во-первых, обеспечивают дополнительную осевую циркуляцию за счёт механического тормоза газа, а во-вторых, создают сильные ударные волны [17], которые быстро затухают, оставляя в большей части ротора волны малой амплитуды.

Эти волны и представляют наибольший интерес, в рамках данной работы. Дело в том, что они могут влиять на распределение потоков в газовой камере за счет передачи энергии и импульса от волн к газу благодаря молекулярной вязкости. Таким образом звуковые волны, генерируемые отборником, могут обеспечить дополнительный механизм генерации осевой циркуляции в газовой центрифуге, который может существенно отличаться от основного.

Целью дипломной работы является исследования механизма вязкого затухания звуковых волн в сильных центробежных полях на примере газовой центрифуги. Для достижения цели были поставлены задачи:

  1.  Разработать численный метод расчета коэффициента затухания звуковых волн в сильных центробежных полях на основе анализа резонансных кривых,
  2.  Провести тестирование метода на задаче затухания волн в роторе без вращения,
  3.  Получить аналитическое выражение для декремента затухания волн, поляризованных вдоль оси вращения,
  4.  Провести численный расчет декремента затухания в центробежном поле, пропорциональном 106g и сравнить это затухание с аналитическими предсказаниями.

Научная новизна исследования характеризуется тем, что в дипломной работе рассчитывается коэффициент затухания звуковых волн, учитывающий вязкость теплопроводность и трение на стенках, что делается впервые. До данной работы, как правило, рассматривался бездиссипативный газ, то есть его молекулярной вязкостью и теплопроводностью попросту пренебрегали.

Практическая значимость дипломной работы заключается в разработке численного метода расчета коэффициента затухания звуковых волн в сильных центробежных полях на основе анализа резонансных кривых, который позволит

ГЛАВА 1 Литературный обзор

  1.  Поведение газа в центробежном поле сил

Рассмотрим поведение газа внутри вращающегося вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью Ω цилиндра радиуса а[16]. Будем полагать, что температура газа в роторе Т=const и выходящие потоки газа из него равны нулю.

Известно [12], что замкнутая система, в рассматриваемом случае смесь газов, может совершать вращательное движение как целое, оставаясь в термодинамическом равновесии. Отметим, что возникновение внутреннего движения газа приводит к выходу его из равновесного состояния. Такого внутреннего движения газа нет, если газ вращается в цилиндре как целое с постоянной по объему угловой скоростью. При описании равновесного состояния газа его равномерное вращение можно учесть, вводя два силовых поля: поле центробежных сил и поле сил Кориолиса. Сила Кориолиса возникает при движении газа относительно системы координат, вращающейся

с угловой скоростью Ω. Она пропорциональна скорости движения газа в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Поэтому поле сил Кориолиса действует на газ лишь в неравновесном состоянии, а в состоянии термодинамического равновесия свойства вращающегося газа зависят лишь от поля центробежных сил. Для однокомпонентного газа условием термодинамического равновесия системы, находящейся в неоднородном поле сил u(r) должно быть дополнено условием на химический потенциал µ:

µ + u(r) = const,     (1.1)

где µ = µ(p, T) – химический потенциал газа при u = 0. Отметим, что при u=0 и T=const это условие сводится к условию постоянства в равновесии давления в объеме газа.

В случае вращающегося в цилиндре газа поле центробежных сил

,

и соотношение (1.1) принимает следующий вид:

,    (1.2)

где M – молярная масса газа.

Для дифференциала химического потенциала имеет место следующее термодинамическое соотношение:

dµ = −sdT + V dp,     (1.3)

где s и V – энтропия и объем, отнесенные к одному молю.

При температуре газа в цилиндре T=const из (1.2) и (1.3) следует:

V dp = ,     (1.4)

или

.     (1.5)

Равенство (1.4, 1.5) означает, что сила, равная градиенту давления в радиальном направлении, уравновешивается центробежной силой, действующей на единичный объем массой ρ =Mp/RT. Используя уравнение состояния идеального газа p =ρ RT/M, получим:

,     (1.6)

Интегрирование (1.6) дает распределение давления газа по радиусу во вращающемся цилиндре при условии постоянства температуры газа T:

p(r) = p(0) exp () = p(0) exp.  (1.7)

Рис.1. Зависимость давления гексофторида урана   от радиальной координаты во вращающемся с постоянной угловой скоростью

  цилиндре радиуса  = 0,065 м

Здесь p(0) – давление газа на оси цилиндра, R – универсальная газовая постоянная, A = . Константа А характеризует отношение кинетической энергии вращения газа к его тепловой энергии.

Физический смысл уравнения (1.2) и распределения (1.7) можно пояснить следующим образом. Молекулы газа под воздействием центробежной силы движутся по радиусу от оси к стенке ротора. Но хаотичное тепловое движение молекул стремится восстановить в объеме ротора равномерную плотность газа. Вследствие этого при постоянной температуре и в отсутствие других движений газа внутри ротора устанавливается термодинамическое распределение Больцмана в поле центробежных сил. Давление (и плотность газа) возрастает по радиусу от минимального значения на оси до максимального возле стенки ротора согласно известной барометрической формуле. Таким образом, условие (1.2) на химический потенциал в пространственно-неоднородном поле центробежных сил приводит к сильной экспоненциальной зависимости давления от радиальной координаты.

  1.  Волны в сильном центробежном поле

Рассмотрим газовую центрифугу, являющуюся ярким примером сильного центробежного поля. Роторы газовых центрифуг вращаются с линейной скоростью несколько сотен метров в секунду [20]. Центробежное ускорение может достигать порядка 6g на радиусе ротора в несколько сантиметров, что создает радиальный разделительный эффект в газовой центрифуге. Тем не менее, эффективное разделение изотопов в промышленных центрифугах достигается не только за счет центробежного поля. Результирующую роль играет осевая циркуляция, умножающая радиальный эффект разделения. Вследствие механического торможения газа, одной из причин возникновения циркуляции газа являются отборники, предназначенные для удаления обогащенной и обедненной газовой смеси.

Пара отборников, расположенная около торцевых крышек центрифуги, также способствует образованию сильных ударных волн (Рис.4), распространяющихся вдоль оси центрифуги.  Они могут отражаться от торцевых крышек формируя волны, бегущие в обоих направлениях вдоль оси вращения. Амплитуда ударных волн затухает довольно быстро. В большей части ротора мы имеем дело с волнами небольшой амплитуды, что позволяет рассмотреть их в первую очередь в линейном приближении.

 

 

Рис.4. Схема газовой центрифуги с отборниками. Сплошная линия – ударная волна, образованная отборником; пунктирная линия – волна, отраженная от верхней торцевой крышки.

 Даже рассматривая волны в линейном приближении возникает ряд сложностей. Применение обычных уравнений для расчета скоростей в данном случае попросту невозможно. Во-первых, сильное центробежное ускорение порядка 106 g резко изменяет характеристики линейных волн, во-вторых, сильный радиальный градиент плотности, меняющийся на 6 порядков за изменение радиуса порядка нескольких сантиметров, дает скорость поглощения, изменяющуюся на 6 порядков. В таких условиях применение уравнений Навье-Стокса возможно только в узкой области с размером 1-2 см, хотя, как известно, типичный радиус центрифуги 6-8 см. При меньшем радиусе газ становится настолько разреженным, что длина пробега его молекул превышает радиус ротора. В этой области гидродинамические уравнения не работают.   Из-за этих причин невозможно оценить даже длину распространения волн.

Предложено следующее решение данной проблемы []. Необходимо использовать упрощенную модель газа, предполагая, что гидродинамические уравнения справедливы везде. Кроме того, рассматриваем случай бездиссипативного газа, что означает пренебрежение молекулярной вязкостью и теплопроводностью.

Рассмотрим идеальный газ, имеющий молярную массу M и вращающийся с угловой скоростью ω. Система уравнений определяющая поведение газа во вращающейся системе запишется следующим образом []:

                                  (1)

                                                         (2)

                                                        (3)

                        (4)

,                                                   (5)

где –  теплоемкость при постоянном давлении, P - давление, D - плотность,  – температура и  –радиальная, угловая и осевая компоненты скорости.

Параметры газа могут быть представлены суммой параметров твердотельного вращения и неких отклонений:

,         (6)

где ,  ,  – давление, плотность и температура твердотельного вращения, соответственно,,  , , , ,  – отклонения радиальной, угловой, осевой компонент скорости, давления, плотности и температуры от значений твердотельного вращения, соответственно.

Зависимости от радиуса давления и плотности при твердотельном вращении имеют вид:

,         (7)

,         (8)

где, a – радиус ротора, а  и  – давление и плотность газа на стенке, соответственно.

Плотность идеального газа равна:

     (9)

Для отклонения плотности газа от твердотельного вращения имеем:

   (10)

Предполагая, что волны осесимметричны и делая ряд преобразований с уравнениями (1)-(10) [], получаем:

                   (39)

Где                           (33)

                  (36)

 

Для удобства введем . После подстановки получим:

                 (40)

Где                   (41)

              (42)

Анализ уравнений 39, 40 показывает, что в газовой центрифуге образуются волны трех семейств (рис.4), два семейства, названные верхним и нижним, при условии А≠0, и одно, названное звуковым, для условия А=0. Рассмотрим их более подробно.

При условии А≠0 решение уравнения 40 будет выглядеть как [22]:

              (45)

            (46)

                (47)

                              (48)

                     (49)

                      (50)

         (43)

           (44)

Рис.5. Закон дисперсии для первых четырёх радиальных мод волн верхнего и нижнего семейства (линии 1-4). Линия 5 – закон дисперсии обычных звуковых волн Ω=ck, линия 6 показывает условие .

1.3.Затухание звуковых волн 

Одной из причин затухания звуковых волн в газе, является наличие вязкости и теплопроводности, приводящее к диссипации энергии звуковых волн, в связи с чем звук поглощается, т.е. его интенсивность постепенно уменьшается. Для вычисления диссипируемой в единицу времени энергии Емех воспользуемся следующими общими соображениями. Механическая энергия представляет собой не что иное, как максимальную работу, которую можно получить при переходе из данного неравновесного состояния в состояние термодинамического равновесия. Как известно из термодинамики, максимальная работа совершается, если переход происходит обратным образом (т.е. без изменения энтропии), и равна соответственно этому:

Емех = Е0-Е(S),

Где Е0 есть заданное начальное значение энергии тела в состоянии равновесия с той же энтропией S, которую тело имело вначале. Дифференцируя по времени, получаем:

Емех = - Е(S) = -  S.

Производная от энергии по энтропии есть температура. Поэтому

 – температура, которую имело бы тело, если бы оно находилось в состоянии термодинамического равновесия (с заданным значением энтропии). Обозначая эту температуру как Т0 имеем, следовательно:

Емех = Т0 S.

Воспользуемся для S выражением:

, (14)

включающим в себя возрастание энтропии, обусловленное как теплопроводностью, так и вязкостью. Поскольку температура Т мало меняется вдоль жидкости и мало отличается от Т0, то можно вынести ее из-под знака интеграла и писать Т вместо Т0:

.

Эта формула представляет собой обобщение формулы

на случай сжимаемой жидкости и наличия теплопроводности.

Пусть ось х совпадает с направлением распространения звуковой волны. Тогда

Два последних члена в (14) дают

.

Нас, конечно, интересует среднее по времени значение величин; усреднение дает

.

(V0 – объем жидкости).

Далее, вычислим первый член в (14). Отклонение Т′ температуры в звуковой волне от своего равновесного значения связано со скоростью формулой

так что градиент температуры равен

.

Для среднего по времени значения от первого члена в (14) получаем:

.

С помощью известных термодинамических формул

  (15)

можно переписать выражение в виде

.

Собирая полученные выражения, находим среднее значение диссипации энергии в виде

  (16)

Полная же энергия звуковой волны равна

.      (17)

Для звука имеем дело с задачей, в которой звуковая волна распространяется вдоль жидкости и ее интенсивность падает с увеличением пройденного расстояния x. Очевидно, что это уменьшение будет происходить по закону , а для амплитуды как – , где коэффициент поглощения γ определяется посредством

.      (18)

Подставляем сюда (16) и (17), находим, таким образом, следующее выражение для коэффициента поглощения звука[10]:

,   (19)

которое используется для расчёта объёмного эффекта затухания звуковых волн при верификации.

ГЛАВА 2 Расчетная часть

2.1 Постановка задачи

Перейдём теперь непосредственно к постановке и решению задачи. Для этого рассмотрим цилиндрическую трубу (ротор), заполненную гексофторидом урана , которая вращается с угловой скоростью ω. Длина ротора L намного больше, чем его радиус r (L>> r), что позволяет считать ротор бесконечным (Рис.6.). Предполагаем, что температура T на внешней стенке постоянна и равна 300 K. Внутри ротора находится источник, который генерирует звуковые волны c волновым вектором k направленным вдоль оси Z. 

Рис.6. Цилиндрическая вращающаяся труба

Необходимо разработать численный метод расчёта коэффициента затухания звуковых волн для вышеописанной модели и исследовать зависимости глубины проникновения звуковой волны от её волнового вектора, а также от радиуса и скорости вращения ротора.

Фундамент исследования составила работа [16] в которой предложен метод верификации, основанный на полуаналитическом решении задачи о циркуляции газа в роторе бесконечной длины. Поставленная задача решается с гармоническим возмущением малой амплитуды во вращающемся газе. В работе также показано, как решение системы уравнений в частных производных сводится к решению системы однородных дифференциальных уравнений, которые могут быть решены почти с любой точностью на персональном компьютере.

Запишем основную систему дифференциальных уравнений во вращающейся цилиндрической системе координат, описывающих движение в роторе [10]:

,

,

,

,

 

вместе с плотностью  и давлением , которые в данной модели подчиняются следующим распределениям:

,                                    (28)

,                                    (29)

где  – давление и плотность на стенке ротора, соответственно,

образуется система уравнений, которая численно решается с помощью Maple при граничных условиях скользящей стенки:

=

=0

и граничных условиях трения на стенке:

.

Сравнение результатов, полученных с помощью данной полуаналитической модели и результатов численного моделирования, полученных в среде ANSYS CFX, показывает, что результаты эквивалентны[16].

2.2 Теоретический анализ

 Получим теперь аналитическое выражение для декремента затухания волн, поляризованных вдоль оси вращения в центробежном поле сил. Для этого запишем систему уравнений для аксиальной компоненты скорости в цилиндрической системе координатах:

 

 

Подставляя выражение , и решая систему получим уравнение:

.

Решение которого будет состоять из общего однородного и частного неоднородного:

Решая общее однородное уравнение

получим:

Решая частное неоднородное уравнение

получим:

.

Их сумма запишется как:

Усредняя, получаем:

.

Так как энергия пропорциональна квадрату скорости, окончательно получим:

.

Зная, что вторая вязкость не внесёт значительного вклада, а теплопроводность на этом этапе мы не учитываем, то запишем формулу (19) без второй вязкости и теплопроводности:

.

Запишем коэффициент поглощения звуковых волн в единицу времени:

.

Принимая во внимание то, что k=ω/c и перейдя к единым обозначениям получим выражение для энергии:

,

где  , , а  – нормировочная постоянная,

которое принимает вид резонансной кривой.

Теперь перейдем к выводу коэффициента затухания звука в центробежном поле сил. Для этого запишем общий вид коэффициента затухания звука в трубе без вращения [10]:

,

где .

Для вращающейся системы:

,

где .

Следовательно, коэффициент затухания звуковых волн в центробежном поле сил будет равен:

,

откуда, после преобразований, получаем:

.                                                    (30)

2.3 Описание программы

Структура программы довольно проста. Она имеет цикл по частоте возмущений, который начинается с того, что считываются входные параметры, приведённые в таблице 2, далее по формулам (28) и (29) вычисляется распределение плотности и давления по радиусу, после чего решается система однородных дифференциальных уравнений (27), которая после линеаризации [16] принимает вид:

,

,

,

,

,

,

.

Таблица 2.1. 

Параметр

Значение

M

 352 грамм моль-1

 rвнеш

 0,065 м

 rвнут

 0,0001 м

 2π  1700 с-1

 T0

 300 K

 P

 10665 Па

 K

 2π  10 - 2π  200 м-1

 cp

 385 Дж кг-1  К-1

 μ

 1,83  10-5 Па с

 J

 2π  868 – 2π  17376 с-1

 Λ

 0,0061 Втм-1 К-1

R

8,314462 м2 кг  с-2 К-1 Моль-1

G

1,067

где  M – молярная масса гексофторида урана (UF6), rвнеш –внешняя граница расчетов, rвнут – внутренняя граница расчетов, ω – круговая частота вращения ротора, T0 – температура на внешней границе, p – давление на внешней границе, k – волновое число задаваемых возмущений,  cp – удельная теплоемкость гексофторида урана UF6 при постоянном давлении, μ –динамическая вязкость гексофторида урана UF6,  j – частота задаваемых возмущений,  λ – теплопроводность гексофторида урана UF6, R – универсальная газовая постоянная, g – показатель адиабаты.

Далее по формуле:

,

где

считается суммарная энергия волны.

По полученным значениям строится график зависимости энергии волны от частоты вращения ротора.

Рис.7. Пример расчетного графика зависимости энергии волны от её частоты

Далее, предполагая вид кривой:

,

где a и b – искомые параметры,

проводится интерполяция полученных значений к данному виду.

 

Рис.8.

2.4 Верификация

Верификации данной программы начнём с рассмотрения покоящегося цилиндра без трения на стенках заполненного вязким газом. Для этого положим скорость вращения равную нулю и теплопроводность близкую к нулю (теплопроводность в программе нельзя задать нулевой, иначе уравнения вырождаются и Maple не понимает, как считать систему) и используем граничные условия свободного скольжения на стенках.

Построив теоретический график зависимости суммарной энергии системы от частоты возмущений, и сравнив его с полученным численно, легко понять, что на данном этапе метод даёт правильный результат.

Рис.9. Графики зависимости энергии волны от её частоты в идеальном вязком газе

Ниже представлены теоретическая и интерполированная функции для данного случая:

Далее рассмотрим покоящийся цилиндр без трения на стенках заполненный вязким теплопроводящим газом, и сравним результаты с теоретическими.

Рис.10. Графики зависимости энергии волны от её частоты в идеальном вязком теплопроводящем газе

Здесь представлены теоретическая и подобранная программой функции для данного случая:

Отклонение коэффициента затухания, рассчитанного по этому методу от теоретического, составляет 0,76%.

Убедившись в правильности вычисления резонансных кривых удостоверимся в правильности метода в целом. Для этого рассмотрим два случая, которые имеют аналитическое решение.

Первый случай - это покоящийся цилиндр без трения на стенках заполненный вязким теплопроводящим газом. Выше для этого случая выводилось:

,                                        (31)

здесь считаем, что член со второй вязкостью  не внесёт существенной поправки.

Для наглядности преобразуем (31) в зависимость глубины проникновения звуковой волны от её волнового числа:

(32)

Построим в логарифмическом масштабе расчётный график и теоретический.

Рис.11. Графики зависимости дальности затухания волны от её волнового числа построенные с учётом вязкости и теплопроводности в логарифмическом масштабе. – экспериментальный график,  – теоретический график

Видно, что зависимость имеет степенной характер. Более того отклонение от теоретического оказывается даже меньше, чем для предыдущих случаев и составляет 0,52%.

Далее рассмотрим второй случай - покоящийся цилиндр с трением на стенках заполненный идеальным газом. Теоретическая зависимость коэффициента поглощения от частоты возмущения имеет вид [10]:

также преобразуем её в зависимость глубины проникновения звуковой волны от её волнового числа:

                                          (33)

Построим в логарифмическом масштабе расчётный график и теоретический.

Рис.12. Графики зависимости длины затухания волны от её волнового числа построенные с учётом трения на внешней стенке в логарифмическом масштабе.  – экспериментальный график,  – теоретический график

Окончательно, зная, что формула (32) учитывает только поглощение за счёт вязкости и теплопроводности, формула (33) учитывает поглощение за счёт трения о стенку, производим расчет, учитывающий оба этих явления.

И сравниваем результат с теоретическими предсказаниями, которые складываются из первого и второго эффекта по формуле:

                                                      (34)

на рис.13 видно, что теоретическая и расчетная зависимости имеют одинаковый вид.

Рис.13. Графики зависимости длины затухания волны от её волнового числа построенные в логарифмическом масштабе. - экспериментальный график учитывающий вязкость, теплопроводность и трение на внешней стенке, - теоретический график учитывающий вязкость и теплопроводность, - теоретический график учитывающий трение на внешней стенке, - теоретическая зависимость рассчитанная по формуле (34)

Как теоретическая, так и расчетная зависимости при малых волновых числах k асимптотически стремятся к зависимости, учитывающую трение о стенку, а при больших волновых числах k учитывающую вязкость. Отсюда можно сделать вывод, что при малых волновых числах k основную роль в затухании играет процесс трения на стенках, но при их росте всё большую роль играет вязкость газа.

2.5 Расчёт

Теперь рассчитаем случай максимально приближенный к реальной центрифуге: вращающийся цилиндр со всеми диссипативными взаимодействиями (трением на внешней стенке, вязкостью и теплопроводностью).

Для этого случая теоретических зависимостей нет, поэтому нам придётся полагаться на расчет и полученный ранее коэффициент затухания звука в центробежном поле сил.

Зная зависимость коэффициента затухания звука от его частоты (19) и рассчитанный выше поправочный коэффициент на скорость вращения ротора (30), несложно получить зависимость глубины проникновения волны от её волнового числа:

=                              (33)

с которой расчёт полностью согласуется.

Формула (33) не учитывает трения на стенках цилиндра, и на данный момент не существует теоретических моделей, учитывающих этот эффект.

 

Рис.14. Графики зависимости глубины проникновения волны от её волнового числа построенные в логарифмическом масштабе. - глубина проникновения учитывающая вязкость, теплопроводность и трение на внешней стенке рассчитанная экспериментально, - теоретическая глубина проникновения учитывающая вязкость и теплопроводность, - теоретическая глубина проникновения учитывающая трение на внешней стенке, теоретическая зависимость, рассчитанная по формуле

После этого был проведён расчет зависимости длины пробега звуковой волны от радиуса.

Рис.15. Графики зависимости глубины проникновения волны от радиуса ротора

Рис.16. Графики зависимости глубины проникновения волны от угловой скорости центрифуги для разных волновых чисел

Рис.17. Графики зависимости длины пробега волны от угловой скорости центрифуги в логарифмическом масштабе для разных волновых чисел


ВЫВОДЫ

В ходе исследования были получены следующие результаты:

  1.  Разработан численный метод расчета коэффициента затухания звуковых волн в сильных центробежных полях на основе анализа резонансных кривых.
  2.  Проведено тестирование метода на задаче затухания волн в роторе без вращения.
  3.  Получено аналитическое выражение для декремента затухания волн, поляризованных вдоль оси вращения.
  4.  Проведен численный расчет декремента затухания в центробежном поле, пропорциональном 106g и сравнение этого затухания с аналитическими предсказаниями.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

    1. Proudman J., On the motion of solids in liquids possessing vorticity, Proc. Roy. Soc., 1916

2. Taylor G. I., Experiments with rotating fluids, Proc. Cambridge Phif. Soc., 1921

3.

4. Taylor G. I., Experiments on the motion of solid bodies in rotating fluids, Proc. Roy. Soc., 1923

5. Kelvin Lord, Vibrations of a columnar vortex.  Phil. Mag., 1880

6. Вjernes V. and Sоlberg H., Zellulare Tragheitswellen und Turbulence, Avhandl Norsk Vid. Akad. Nat., 1929

7. Greenspan P. Harvey, The Theory of Rotating Fluids, Cambridge At the University Press, 1968

8. Miles J. W., The Cauchy Poissin problem for a rotating liquid, J. Fluid Mech., 1963

9. Fultz D., A note on overstability and the elastoid-inertia oscillations of Kelvin, Solberg and Bjerkness, J. Meteorol., 1959

10. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Гидродинамика, Теоретическая физика: т.VI (3-е изд., перераб.), М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1986

11.  Лайтхилл Дж., Волны в жидкостях, Пер. с англ., M.: Мир, 1981

12. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М., Статистическая физика, ч.1, Теоретическая физика: т.V, М: Физматлит, 2003

13. V. D. Borisevich, V. D. Borman, G. A. Sulaberidze, et al., Physical Foundations of Isotope Separation in the Gas Centrifuge, Mosk. Energ. Inst., 2011

14. S.V.Bogovalov, V.D.Borisevich, V.D.Borman, V.A.Kislov, I.V.Tronin, V.N.Tronin, Verification of Software Codes for Simulation of Unsteady Flows in a Gas Centrifuge, Received November 22, 2012

15. Bogovalov S.V., Borisevich V.D., Borman V.D., Kislov V.A., Tronin I.V., Tronin V.N., Verification of numerical codes for modeling of the flow and isotope separation in gas centrifuges, Computers & Fluids, 2013

16. Борисевич В.Д., Борман В.Д., Сулаберидзе Г.А., Тихомиров А.В., Токманцев В.И., Физические основы разделения изотопов в газовой центрифуге, М.:МИФИ, 2005

17.

18. Geoffrey Rothwell, Market Power in Uranium Enrichment, Science and Global Security, 2009

19. Harvey P. Greenspan, The Theory of Rotating Fluids, Cambridge At the University Press, 1968


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27283. Факторы регионализма 25 KB
  К факторам регионализма можно отнести: 1.Этнический фактор Этнос исторически возникший вид социальной группировки людей который обладает совокупностью признаков.Демографический фактор демографиянаука которая изучает воспроизводство населения.
27284. Сегментирование. Целевой рынок 24 KB
  Целевой рынок Сегментация рынка заключается в делении рынка на четкие группы покупателей которым следует адресовать разные продукты и разные маркет усилия. Целевой рынок – совокупность сущ и потенц покупателей. Стратегия охвата целевого рынка: Недиффер маркет – товар рынок организация выходит на рынок с одним продуктомПр. Диффер маркет – товар1 рынок1 товар2 рынок2 деят организации на неск сегментахПр.
27286. Цикл обслуживания туриста 26 KB
  Обслуживание во время пребывания Основные услуги Орг прожив гостей питание услуги горничной выдача ключей на ресепшен. Дополнит услуги Услуги бизнесцентра пользование междунар междугор связью копир работы предоставл компьютера переводческие услуги услуги сервисбюро брон билетов орг экс обслуж орг питанияразл подраздел общепита обслуж в номерах орг банкетов орг хран личных вещей камера хранения депозитная ячейка платная эл инд сейфы телекоммуникац услугипобудка услуги платного ТВ анимац услуги Выезд и выписка...
27287. Экономика отрасли 27 KB
  Показатели качества: 1.Техничности это те показатели которые обеспечивают рациональность использования материалов. Экологические показатели отражают степень влияния вредных воздействий на окр. Показатели конкурентоспособности: 1.
27288. Экскурсионная деятельность 30.5 KB
  Методические приемы рассказа: прием экс. прием описания. прием характтикиопред. прием комментированияразъясняет смысл события или замысел автора.
27289. Маркет исследование 25 KB
  Маркет инф получается на основе первичных и вторичных данных. Первичные – получаются в результате спец провед маркет исслед для решения конкретной проблемы. источников для целей отличных от целей маркет исслед.
27290. Этапы развития туризма в России 28 KB
  Предпринимат 18901917 19221928 – появл общества тур направл они разраб экс маршруты путеводители организ речных и морск круизов 2 самых больших теплохода того вр формир курорты Крым и Кавказ формир предпр тур бизнеса Кавказская ривьера стр гостин разв экс деят период характ познаватэкс напр и становлением разл видов туризма. Организцентр 1928 301970 – создается всесоюзное добровольное общество пролетарского труизма и экс – ОПТЭ куда вошли орг по туризму была устан гос монополия общ Интурист – развитие ин туризма...
27291. Автомат информ системы 25 KB
  АИС можно отнести к классу очень сложных систем в связи с многозначностью различных структурных отношений между компонентами системы. АИС может быть определена как целый комплекс современных автоматизированных информационных технологий которые предназначены для информационного обслуживания. Современные АИС позволяют: 1.