98439

Кільце многочленів від багатьох змінних.Симетричні многочлени від невідомих

Лекция

Математика и математический анализ

Познайомити з основними симетричними многочленами; довести теорему і супутні леми про симетричні многочлени. Поняття симетричного многочлена та їх різновиди. Леми про симетричні многочлени. Основна теорема про симетричні многочлени.

Украинкский

2017-02-21

383 KB

9 чел.

Лекція №5

Тема. Кільце многочленів від багатьох змінних.Симетричні многочлени від  невідомих.

Мета вивчання:

  • познайомити з основними симетричними многочленами;
  • довести теорему і супутні леми про симетричні многочлени.

План.

  1. Поняття симетричного многочлена та їх різновиди.
  2. Леми про симетричні многочлени.
  3. Основна теорема про симетричні многочлени.

Література.[3], стор.312-328.

Зміст лекції.

1. Многочленом від змінних , ,..., (n>1) над полем  називається сума кінцевого числа доданків  виду

, (1)

де  - елемент поляP, а ,..., - цілі невід’ємні числа, причому під  при =0 розуміють 1. Позначають:ƒ( ).

При  вводять поняттястепеня многочлена  щодо деякої  змінної абостепеня члена по сукупності змінних.

Степенем члена (1) щодо змінної  називається число , астепенем члена по сукупності змінних називають суму + (приА ).

Степенем многочлена ƒ( ) щодо змінної  (1) називається найвищий зі степенів його членів відносно .

Степенем многочлена ƒ( ) по сукупності змінних називається найвища зі степенів його членів по сукупності змінних.

Якщо у даного многочлена всі члени мають однаковий степіньs по сукупності змінних, то він називаєтьсяоднорідним у степеніs многочленом абоформою степеняs.

Якщо у даного многочлена всі коефіцієнти – нулі, то він називаєтьсянуль – многочленом і про його степінь не говорять.

На множині усіх многочленів від змінних  над полемР визначені відношення рівності, операції додавання і множення. Щодо цих операцій множина многочленів утворює кільце, до того ж асоціативно – комутативне, яке позначають:Р

У випадку завдання многочлена від однієї змінної була можливість розташування членів многочлена у визначеному порядку, або по спаданню степенів змінної, або по зростанню.

У випадку многочлена від кількох змінних такої можливості немає, тому що у даного многочлена може бути кілька многочленів одного і того самого степеня. Для упорядкування запису многочлена від кількох змінних використовується лексико – графічний запис многочлена – по спаданню висоти члена многочлена.

Розглянемо два члени многочлена того самого порядку з ненульовими коефіцієнтами:

(А 0)

(В 0)

Говорять, що перший член вище другого, якщо перша ненульова різниця виду  додатна, тобто 0.

Розташування членів многочлена  в порядку спадання висот називаєтьсялексико – графічним записом.

Приклад. Нехай дано многочлен ƒ( )=2-5 + +. Представимо його в лексико - графічному записі:

ƒ( )=2 -5 + +.

Теорема.Вищий член добутку двох многочленів дорівнює добутку вищих членів цих многочленів.

# Маємо два многочлени над полемР: ƒ( ), g( ). Виділимо вищий член першого:

.

Виділимо його довільний член:

.

Те що перший член вище другого означає: 0 ( а всі попередні – нульові)

Для g( ) аналогічно маємо:

, ( )>0. Покажемо що член  вищий за .

Покажемо спочатку, що  вищий за .

має вигляд:

                                                                                                             (2)

має вигляд:

Будемо вважати, що . З умов: випливає:

=0=0

=0=0

---------------------------------------

=0=0

>00.

Порівнюючи показники в (2) одержимо:

0

0

           і т.д.

Якщоi=j  то процес продовжується, якщоi<j, то потрібний результат.

Висновок. Дійсно,  вищий за . Аналогічно перевіряється що  вищий за інші добутки.#

  1. Означення.Симетричним многочленом від  невідомих називається такий многочлен, який не змінюється при будь-якій взаємозаміні невідомих.

З означення слідує, що симетричні многочлени – окремий випадок многочленів від  невідомих.

Сума та добуток симетричних многочленів є симетричний многочлен, звідси зазначаємо, що сукупність усіх симетричних многочленів від  невідомих над полемР утворює кільце, до того ж асоціативно-комутативне.

Приклад.  є симетричним многочленом ( не змінюється при будь-якій взаємозаміні невідомих )

Серед усіх симетричних многочленів від  неівдомих особливо виділяють часткові випадки:

I Основні (елементарні) симетричні  многочлени:

----------------------------------------------

.

IIСтепеневі суми:

----------------------------

IIIМногочленні многочлени:

Означення.Многочленним многочленом від  невідомих називається такий многочлен, який містить вказаний вищий член і усі ті, і тільки ті члени, які виходять з нього шляхом різноманітних взаємозамін невідомих.

Приклад.  від трьох невідомих:  з вищим членом  має вигляд:

.

  1. Лема 1.Якими б не були комплексні числа , існують комплексні числа  такі, що

------------------------------

Побудуємо многочлен .

Цей многочлен має степінь , отже в комплексній області він має рівно  комплексних коренів (ураховуючи кратні). Позначимо їх , тоді, використовуючи формули Вієта, що зв’язують корені многочлена з коефіцієнтами, одержуємо:

.

Лема 2.У вищому члені симетричного многочлена показники при невідомих не зростають.

Нехай  - симетричний многочлен від . Нехай  - його вищий член. Покажемо, що .

Тому що многочлен симетричний, значить він містить члени, які виходять з вищого шляхом взаємозаміни невідомих, тому що при взаємозаміні він не змінюється.

. Зіставляючи цей член з підкресленим одержимо: . Аналогічно міркуючи, одержимо, що  і т.д.

  1. Теорема.Усякий симетричний многочлен  може бути поданий у вигляді многочлена від основних симетричних.
    • Нехай  - многочлен, а   - його вищий член.

На підставі леми 2: .

Побудуємо добуток:

(3)

де  - цілі невід’ємні числа,

- сим. многочлен з вищим членом - ;

- ----//----//----//----//---- ;

- ----//----//----//----//---- ;

------------------------------------------------------

Добуток (3) є симетричним многочленом від  і його вищий член (за теоремою про вищий член добутку двох многочленів) є

.

Очевидно, що якщо вимогти, щоб

   -------------------

і усе виконується одночасно, то вищий член побудованого симетричного многочлена і вищий член даного симетричного многочлена з’являться однаковими.

- усі одержані числа цілі, невід’ємні.

Висновок:завжди можна побудувати (3), у якого вищий член співпадає з вищим членом даного. Тому різниця між даним та побудованим многочленами:

- симетричний многочлен, вищий член якого має нижчий степінь, ніж вищий член даного. Нехай цим вищим членом буде

,

тому

- симетричний многочлен, вищий член якого нижче вищого члена  і т.д. на -му кроці прийдемо до 0-многочлена:

.

Додаючи усі одержані рівності, отримаємо:

Отже, .

Приклади. 1) Симетричний многочлен  від невідомих виразити через елементарні симетричні многочлени.

Розв’язування. Тут вищий член  і тому , тобто

, звідки

.

Тому .

Зауваження. У більш складних завданнях доцільно спочатку встановити, які члени можуть увійти до виразу даного многочлена через основні елементарні, а потім знайти коефіцієнти цих членів методом невизначених коефіцієнтів.

2) Знайти вираз для симетричного многочлена .

Розв’язування. Відомо (див. доведення основної теореми), що члени шуканого многочлена  визначаються через вищі члени симетричних многочленів , причому ці вищі члени нижчі вищого члена даного многочлена , тобто нижчі . Знайдемо усі добутки , що задовольняють наступним умовам: 1) вони нижчі за член ; 2) вони можуть бути вищими членами симетричних многочленів, тобто задовольняють нерівностям: ; 3) за сукупністю невідомих вони мають степінь 4 (тому що усі многочлени  мають, як ми знаємо, той самий степінь, що і однорідний многочлен ). Випишемо лише відповідні комбінації показників і вкажемо поруч ті добутки степенів , які ними визначаються, одержимо таблицю:

22000

21100

11110

Таким чином, многочлен  має вигляд

.

Коефіцієнт при  ми поклали рівним одиниці, тому що цей член визначений як вищий член многочлена  і має (див. доведення основної теореми) такий самий коефіцієнт. КоефіцієнтиА іВ ми знайдемо так. Покладемо  Легко бачити, що при цих значеннях невідомих многочлен  одержить значення 3, а многочлени  - відповідно значення 3, 3, 1, і 0. Тому

,

ЗвідкиА=-2. Покладемо тепер  Значення многочленів ,  будуть рівні відповідно 6, 4, 6, 4, 1. Тому

,

ЗвідкиВ=2. Таким чином, шуканим виразом для  буде

3) Знайти суму кубів коренів многочлена

.

Розв’язування. Для розв’язання цієї задачі знайдемо вираз через елементарні симетричні многочлени для симетричного многочлена . Застосовуючи той самий метод, як і у попередньому прикладі, одержимо таблицю:

3000

2100

1110

і тому

.

Покладаючи спочатку , а потім , , ми одержимо , тобто

(4)

Для знаходження суми кубів коренів  треба, ураховуючи формули Вієта, в виразі (4) замінити , через коефіцієнт при , тобто через 2, і нарешті, замінити  через коефіцієнти при  з протилежним знаком, тобто через –1. Таким чином, сума кубів дорівнюватиме

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23302. Історія української культури 22.5 KB
  Українська наука та національна культура. Народна культура та її матеріальні і духовні складові та їх елементи. Культура і побут населення України 1. розвитку і представлений кількома історикогеографічними регіонами: Полісся та Волинь Волинська Рівненська Житомирська Чернігівська частина Київської та Сумської областей Карпати Львівська ІваноФранківська Закарпатська Чернівецька області Поділля Хмельницька Рівненська частина Житомирської областей Наддніпрянська Україна або середина Подніпровя Черкаська Кіровоградська...
23303. Культурно-мистецьке життя Київської держави 26 KB
  Запровадження християнства Образотворче мистецтво Київської держави архітектура Літературний процес Київської держави Література: 1. Перша стадія Київської держави умовно поділяється на два великих етапи згідно з археологічними розкопками та літописами: VIII початок ІХ ст. про хрещення Київської держави за князя Аскольда.
23304. Культурно-мистецьке життя Київської держави. Літературний процес 16 KB
  Літературний процес Традиції писемності давніх словян зокрема давньословянських племен Київської держави повязані з писемністю цивілізацій Давнього Світу свідченням чого є написи малюнковозвукового письма у кургані Камяна Могила у Запорізькії області в якій відображена історична самосвідомість зокрема уявлення про те як вони з Індії з Месопотамії прийшли до Карпат. Отже на території Київської держави існували цивілізації при чому в ІХХ ст. Літературні памятки Київської держави умовно поділяються на: Перекладна література:...
23306. Етномовні макроспільності первісності - загальна хар-ка; індоєвропейська родина 19 KB
  Ностратична макроспільнота Ескалеутська родина екімоси алеути мови народів Півночі Алтайська родина тюркська татарська узбецька киргизька туркменська турецька монгольська бурятська калмицька Уральські мови фіноугорські мови та діалекти Дравідійська родина еламська протоіранська Картвельська грузинська та діалекти народів Закавказзя Індоєвропейська 12 мов та мовних груп: 1. індоіранські давньоіндійські мови зокрема мова Вед санскрит давньоіранські мови Авести 3. тохарські мови 7. альбанські мови 8.
23307. Археологічні культури первісності на території України 18.5 KB
  ; Історія української культури т. 1 Основні етапи розвитку матеріальної та духовної культури первісного суспільства на території України 1. Головним обєктом дослідження історії первісних суспільств зокрема на території України є так звані археологічні культури група або декілька груп чи комплексів груп матеріальних викопних археологічних знахідок які харся трьома спільностями: спільність території поширення цих памяток часу або хронологічного періоду поширення технології виготовлення 1 знаряддя праці з природних та штучних...
23308. Культурно-мистецьке життя Галицько-Волинського князівства 15 KB
  життя ГВК літературни процес образотворче мистецтво та архітектура ГВК 1 Впродовж другої половини ХІІІ ст. процеси давньоукраїнського державотворення переміщується на західноукраїнські землі де галицькі князі Роман Мстиславич і його син Данило Галицький створили ГВК. Протяго майже 40 років Данило Романович обєднав етнічні українські землі у складі ГВК. ГВК втратило політичну незалежність і було поділено між Польським та Угорським королівствами.
23309. ІУК як наукова дисципліна 26.5 KB
  Розвиток ІУК в ХХ ст. Важливий внесок у становлення ІУК як науки про культуру протягом ХІХ ст. зробили: вихованці та викладачі внз Харківський Київський університети науковці з академічних установ Росія АвстроУгорщина Німеччниа Франція представники різних державних і громадських наукових товариств ІсторикоФілологічне Товариство Харківський унт КАК Київська археографічна комісія Південнозахідний відділ РГТ Російське географічне товариство комісій КАК обєдання наковців та окремі дослідники Основними напрямами...
23310. Культура як об’єкт наукового дослідження 18.5 KB
  Дослідженням культури в усіх її проявах займаються науки про культуру: історія культури теорія культури філософія культури соціологія культури культурологія соціальна онтологія. більшість наук використовують методи а загальноісторичний окремий тип соціальноекономічного розвитку суспільства ототожнюється із однойменним типом культури б локальногеографічний поділ культур світу на етнічні народні регіональні континентальні Інші типи культур: класові професійні субкультури молодіжні етнічні та інші 2. Чинники формування...