98439

Кільце многочленів від багатьох змінних.Симетричні многочлени від невідомих

Лекция

Математика и математический анализ

Познайомити з основними симетричними многочленами; довести теорему і супутні леми про симетричні многочлени. Поняття симетричного многочлена та їх різновиди. Леми про симетричні многочлени. Основна теорема про симетричні многочлени.

Украинкский

2017-02-21

383 KB

9 чел.

Лекція №5

Тема. Кільце многочленів від багатьох змінних.Симетричні многочлени від  невідомих.

Мета вивчання:

  • познайомити з основними симетричними многочленами;
  • довести теорему і супутні леми про симетричні многочлени.

План.

  1. Поняття симетричного многочлена та їх різновиди.
  2. Леми про симетричні многочлени.
  3. Основна теорема про симетричні многочлени.

Література.[3], стор.312-328.

Зміст лекції.

1. Многочленом від змінних , ,..., (n>1) над полем  називається сума кінцевого числа доданків  виду

, (1)

де  - елемент поляP, а ,..., - цілі невід’ємні числа, причому під  при =0 розуміють 1. Позначають:ƒ( ).

При  вводять поняттястепеня многочлена  щодо деякої  змінної абостепеня члена по сукупності змінних.

Степенем члена (1) щодо змінної  називається число , астепенем члена по сукупності змінних називають суму + (приА ).

Степенем многочлена ƒ( ) щодо змінної  (1) називається найвищий зі степенів його членів відносно .

Степенем многочлена ƒ( ) по сукупності змінних називається найвища зі степенів його членів по сукупності змінних.

Якщо у даного многочлена всі члени мають однаковий степіньs по сукупності змінних, то він називаєтьсяоднорідним у степеніs многочленом абоформою степеняs.

Якщо у даного многочлена всі коефіцієнти – нулі, то він називаєтьсянуль – многочленом і про його степінь не говорять.

На множині усіх многочленів від змінних  над полемР визначені відношення рівності, операції додавання і множення. Щодо цих операцій множина многочленів утворює кільце, до того ж асоціативно – комутативне, яке позначають:Р

У випадку завдання многочлена від однієї змінної була можливість розташування членів многочлена у визначеному порядку, або по спаданню степенів змінної, або по зростанню.

У випадку многочлена від кількох змінних такої можливості немає, тому що у даного многочлена може бути кілька многочленів одного і того самого степеня. Для упорядкування запису многочлена від кількох змінних використовується лексико – графічний запис многочлена – по спаданню висоти члена многочлена.

Розглянемо два члени многочлена того самого порядку з ненульовими коефіцієнтами:

(А 0)

(В 0)

Говорять, що перший член вище другого, якщо перша ненульова різниця виду  додатна, тобто 0.

Розташування членів многочлена  в порядку спадання висот називаєтьсялексико – графічним записом.

Приклад. Нехай дано многочлен ƒ( )=2-5 + +. Представимо його в лексико - графічному записі:

ƒ( )=2 -5 + +.

Теорема.Вищий член добутку двох многочленів дорівнює добутку вищих членів цих многочленів.

# Маємо два многочлени над полемР: ƒ( ), g( ). Виділимо вищий член першого:

.

Виділимо його довільний член:

.

Те що перший член вище другого означає: 0 ( а всі попередні – нульові)

Для g( ) аналогічно маємо:

, ( )>0. Покажемо що член  вищий за .

Покажемо спочатку, що  вищий за .

має вигляд:

                                                                                                             (2)

має вигляд:

Будемо вважати, що . З умов: випливає:

=0=0

=0=0

---------------------------------------

=0=0

>00.

Порівнюючи показники в (2) одержимо:

0

0

           і т.д.

Якщоi=j  то процес продовжується, якщоi<j, то потрібний результат.

Висновок. Дійсно,  вищий за . Аналогічно перевіряється що  вищий за інші добутки.#

  1. Означення.Симетричним многочленом від  невідомих називається такий многочлен, який не змінюється при будь-якій взаємозаміні невідомих.

З означення слідує, що симетричні многочлени – окремий випадок многочленів від  невідомих.

Сума та добуток симетричних многочленів є симетричний многочлен, звідси зазначаємо, що сукупність усіх симетричних многочленів від  невідомих над полемР утворює кільце, до того ж асоціативно-комутативне.

Приклад.  є симетричним многочленом ( не змінюється при будь-якій взаємозаміні невідомих )

Серед усіх симетричних многочленів від  неівдомих особливо виділяють часткові випадки:

I Основні (елементарні) симетричні  многочлени:

----------------------------------------------

.

IIСтепеневі суми:

----------------------------

IIIМногочленні многочлени:

Означення.Многочленним многочленом від  невідомих називається такий многочлен, який містить вказаний вищий член і усі ті, і тільки ті члени, які виходять з нього шляхом різноманітних взаємозамін невідомих.

Приклад.  від трьох невідомих:  з вищим членом  має вигляд:

.

  1. Лема 1.Якими б не були комплексні числа , існують комплексні числа  такі, що

------------------------------

Побудуємо многочлен .

Цей многочлен має степінь , отже в комплексній області він має рівно  комплексних коренів (ураховуючи кратні). Позначимо їх , тоді, використовуючи формули Вієта, що зв’язують корені многочлена з коефіцієнтами, одержуємо:

.

Лема 2.У вищому члені симетричного многочлена показники при невідомих не зростають.

Нехай  - симетричний многочлен від . Нехай  - його вищий член. Покажемо, що .

Тому що многочлен симетричний, значить він містить члени, які виходять з вищого шляхом взаємозаміни невідомих, тому що при взаємозаміні він не змінюється.

. Зіставляючи цей член з підкресленим одержимо: . Аналогічно міркуючи, одержимо, що  і т.д.

  1. Теорема.Усякий симетричний многочлен  може бути поданий у вигляді многочлена від основних симетричних.
    • Нехай  - многочлен, а   - його вищий член.

На підставі леми 2: .

Побудуємо добуток:

(3)

де  - цілі невід’ємні числа,

- сим. многочлен з вищим членом - ;

- ----//----//----//----//---- ;

- ----//----//----//----//---- ;

------------------------------------------------------

Добуток (3) є симетричним многочленом від  і його вищий член (за теоремою про вищий член добутку двох многочленів) є

.

Очевидно, що якщо вимогти, щоб

   -------------------

і усе виконується одночасно, то вищий член побудованого симетричного многочлена і вищий член даного симетричного многочлена з’являться однаковими.

- усі одержані числа цілі, невід’ємні.

Висновок:завжди можна побудувати (3), у якого вищий член співпадає з вищим членом даного. Тому різниця між даним та побудованим многочленами:

- симетричний многочлен, вищий член якого має нижчий степінь, ніж вищий член даного. Нехай цим вищим членом буде

,

тому

- симетричний многочлен, вищий член якого нижче вищого члена  і т.д. на -му кроці прийдемо до 0-многочлена:

.

Додаючи усі одержані рівності, отримаємо:

Отже, .

Приклади. 1) Симетричний многочлен  від невідомих виразити через елементарні симетричні многочлени.

Розв’язування. Тут вищий член  і тому , тобто

, звідки

.

Тому .

Зауваження. У більш складних завданнях доцільно спочатку встановити, які члени можуть увійти до виразу даного многочлена через основні елементарні, а потім знайти коефіцієнти цих членів методом невизначених коефіцієнтів.

2) Знайти вираз для симетричного многочлена .

Розв’язування. Відомо (див. доведення основної теореми), що члени шуканого многочлена  визначаються через вищі члени симетричних многочленів , причому ці вищі члени нижчі вищого члена даного многочлена , тобто нижчі . Знайдемо усі добутки , що задовольняють наступним умовам: 1) вони нижчі за член ; 2) вони можуть бути вищими членами симетричних многочленів, тобто задовольняють нерівностям: ; 3) за сукупністю невідомих вони мають степінь 4 (тому що усі многочлени  мають, як ми знаємо, той самий степінь, що і однорідний многочлен ). Випишемо лише відповідні комбінації показників і вкажемо поруч ті добутки степенів , які ними визначаються, одержимо таблицю:

22000

21100

11110

Таким чином, многочлен  має вигляд

.

Коефіцієнт при  ми поклали рівним одиниці, тому що цей член визначений як вищий член многочлена  і має (див. доведення основної теореми) такий самий коефіцієнт. КоефіцієнтиА іВ ми знайдемо так. Покладемо  Легко бачити, що при цих значеннях невідомих многочлен  одержить значення 3, а многочлени  - відповідно значення 3, 3, 1, і 0. Тому

,

ЗвідкиА=-2. Покладемо тепер  Значення многочленів ,  будуть рівні відповідно 6, 4, 6, 4, 1. Тому

,

ЗвідкиВ=2. Таким чином, шуканим виразом для  буде

3) Знайти суму кубів коренів многочлена

.

Розв’язування. Для розв’язання цієї задачі знайдемо вираз через елементарні симетричні многочлени для симетричного многочлена . Застосовуючи той самий метод, як і у попередньому прикладі, одержимо таблицю:

3000

2100

1110

і тому

.

Покладаючи спочатку , а потім , , ми одержимо , тобто

(4)

Для знаходження суми кубів коренів  треба, ураховуючи формули Вієта, в виразі (4) замінити , через коефіцієнт при , тобто через 2, і нарешті, замінити  через коефіцієнти при  з протилежним знаком, тобто через –1. Таким чином, сума кубів дорівнюватиме

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10449. Соответствие между дискретным преобразованием Фурье, рядом Фурье и непрерывным преобразованием Фурье 62.5 KB
  Соответствие между дискретным преобразованием Фурье рядом Фурье и непрерывным преобразованием Фурье. Как правило сигнал представленный в цифровом виде состоит из последовательности из последовательности из N отсчетов xn. Такому сигналу можно поставить в соответс
10450. Математическое описание непрерывных изображений. Преобразование Фурье. Дискретизация и восстановление изображений. Теорема Котельникова 163 KB
  Математическое описание непрерывных изображений. Преобразование Фурье. Дискретизация и восстановление изображений. Теорема Котельникова. А. Распределение освещенности на изображении описывается в общем случае непрерывной функцией от четырех переменных двух про
10451. Схемы переходов от непрерывных преобразований к дискретным преобразованиям 44 KB
  Схемы переходов от непрерывных преобразований к дискретным преобразованиям. Введем определения следующих операций: Частотным окном FW frequency window называется ограничение спектра сигнала по частоте. При этом спектр сигнала становится финитным. Окно не обязательно дол
10452. Глаз и психофизические свойства зрения. Зрительные явления. Модель одноцветного зрения. Модель цветного зрения 301 KB
  Глаз и психофизические свойства зрения. Зрительные явления. Модель одноцветного зрения. Модель цветного зрения. На выходе изображающих систем обычно создается фотоснимок или изображение на экране которые рассматриваются человеком. Поэтому очевидно что для эффективн
10453. Квантование изображений. Фотометрия и колориметрия. Преобразование координат цвета. Цветовое тело 788.5 KB
  Квантование изображений. Фотометрия и колориметрия. Преобразование координат цвета. Цветовое тело. Рассмотрим случай чернобелого панхроматического изображения. Для его представления в цифровом виде величину каждого отсчета дискретного изображения необходимо предс...
10454. Двумерные унитарные преобразования. Преобразование Фурье, косинусное, синусное, Адамара, Хаара 2.03 MB
  Двумерные унитарные преобразования. Преобразование Фурье косинусное синусное Адамара Хаара. А. Унитарные преобразования являются частным случаем линейных преобразований когда линейный оператор точно обратим а его ядро удовлетворяет условию ортогональности. В...
10455. Вейвлет-преобразование. Алгоритмы Лифтинга и Маллата 192.5 KB
  Вейвлетпреобразование. Алгоритмы Лифтинга и Маллата. Вейвлет компрессия в последнее время стала передовой технологией среди методов представления и сжатия сигналов и изображений. Методы сжатия с вейвлет преобразованием можно отнести к классу методов с исполь
10456. Алгоритмы сжатия изображений 163 KB
  Алгоритмы сжатия изображений Введение В настоящее время в космических системах ДЗЗ отмечается быстрый рост производительности оптикоэлектронных систем съемки Земли в то время рост пропускной способности радиолиний передачи данных характеризуется более медленным...
10457. Алгоритмы сжатия на основе вейвлет-преобразования. Алгоритм SPIHT 63 KB
  Алгоритмы сжатия на основе вейвлетпреобразования. Алгоритм SPIHT. Изображение полученное при помощи вейвлетпреобразования можно сжимать различными способами. Большинство из них можно отнести к одной из двух категорий. К первой категории относятся способы сводящиеся