98535

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции

Курсовая

Математика и математический анализ

Данная тема в школьном курсе алгебры недостаточно раскрыта. В учебниках школьной программы задачи такого вида рассматриваются в пункте о применении производной, а другие методы не рассматриваются. В то же время, актуальность этой темы очень высока, так как решение многих практических задач сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений.

Русский

2015-11-04

3.66 MB

7 чел.

Содержание

Cодержание………………………………………………………………..1

Введение …..................................................................................................2

  1.  Теоретическая часть ............................................................................3
    1.  Из истории математики.............................................................3 
  2.  Определение наибольшего и наименьшего значений функций, алгоритм его нахождения……………………………………………….10
  3.  Производная функции…………………………………………………..11
  4.  Экстремум функции…………………………………………………….12
  5.  Практическая часть…………………………………………………….13
  6.  Заключение………………………………………………………………25
  7.  Список используемой литературы……………………………………26

  1.  Практическая часть................................................................................11

Заключение...................................................................................................23         

Списокок используемой литературы …...................................................24              

Введение

Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, или как часто говорят, оптимального, решения поставленной задачи. Как, располагая определёнными ресурсами, добиться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени – так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому члену общества. Не все такие задачи поддаются точному математическому описанию, не для всех из них найдены короткие пути решения. Однако часть таких задач поддаётся исследованию с помощью методов математического анализа – это задачи, которые можно свести к нахождению наибольшего и наименьшего значения функции.

Данная тема в школьном курсе алгебры недостаточно раскрыта. В учебниках школьной программы задачи такого вида рассматриваются в пункте о применении производной, а другие методы не рассматриваются. В то же время, актуальность этой темы очень высока, так как решение многих практических задач сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений. Крайне важен тот факт, что задачи на нахождение наибольшего (наименьшего) значения величины регулярно встречаются в части C единого государственного экзамена, как задания высокого уровня сложности, причем обладают одним из самых высоких рейтингов. Отсюда вытекает, что учащиеся должны в совершенстве владеть данным материалом. Соответственно и сам учитель должен быть компетентен в этом вопросе.

Целью моей работы является изучить алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции и рассмотреть их примеры

1. Теоретическая часть  

1.1 Из истории математики

Задачи на максимум и минимум на протяжении всей истории математики играли важную роль в развитии этой науки. За все это время накопилось большое число красивых, важных, ярких и интересных задач в геометрии, алгебре, физике и т.п. В решении этих конкретных задач принимали участие крупнейшие ученые прошлых эпох - Евклид, Архимед, Аполлоний, Герон, Тарталья, Торричелли, Иоганн и Якоб Бернулли, Ньютон и многие другие. Решение конкретных задач стимулировало развитие теории, и в итоге были выработаны приемы, позволяющие единым методом решать задачи самой разнообразной природы

Задачи на максимум или минимум называют экстремальными задачами в математике. С простейшими экстремальными задачами знакомят в школе, в общем виде теория экстремальных задач изучается в университетах. В Древней Греции уже давно (во всяком случае, до VI века до н.э.) знали об экстремальных свойствах круга и шара, например:

среди плоских фигур с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет круг (решение изопериметрической экстремальной задачи);

шар имеет максимальный объем среди пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности. История сохранила легенду о следующей самой древней экстремальной задаче, известной как задача Дидоны. Финикийская царевна Дидона (IX век до н.э.) решила организовать поселение на берегу понравившегося ей залива в Северной Африке. Она уговорила вождя местного племени отдать ей клочок земли, который можно охватить воловьей шкурой. Воины Дидоны разрезали шкуру на тонкие полоски, и Дидона охватила ремнем, составленным из этих полосок, участок земли на берегу залива. Так возник город Карфаген. Задача Дидоны состоит в указании формы границы участка, имеющей заданную длину, при которой площадь участка максимальна. Если знать экстремальное свойство круга, то решение получается немедленно: граница участка представляет часть окружности, имеющей заданную длину. Так же известна следующая задача Евклида (IV век до н.э.): в заданный треугольник ABC вписать параллелограмм ADEF наибольшей площади.

После гибели античной цивилизации научная жизнь в Европе стала возрождаться только в XV веке. Экстремальные задачи оказались среди тех, которыми интересовались лучшие умы того времени. Если в античные времена экстремальные задачи исследовались только геометрическими методами, и каждая задача для своего решения требовала специфического приема, то в XVII веке появились общие методы изучения экстремальных задач, которые привели к созданию дифференциального и интегрального исчислений. Первые элементы математического анализа были созданы И. Кеплером (1615 год), который так описывает появление своего открытия: "Мне как хорошему хозяину следовало запастись вином. Я купил его несколько бочонков. Через некоторое время пришел продавец - измерить вместимость бочонков, чтоб назначить цену на вино. Для этого он опускал в каждый бочонок железный прут и, не прибегая ни к какому вычислению, немедленно объявлял, сколько в бочке вина". После размышлений Кеплер открыл секрет такого простого способа измерения объема бочек. Оказалось, что бочары за долгую историю научились изготавливать бочки такой формы, при которой они имели наибольший объем при заданной длине мокрой части прута. А поскольку в окрестности максимума значения функции изменяются мало (в этом суть открытия И. Кеплера), то торговец вина почти не ошибался при объявлении объема бочки по одному измерению.

Открытое И. Кеплером основное свойство экстремумов было, затем оформлено в виде теоремы сначала П. Ферма (для многочленов), потом И. Ньютоном и Г.В. Лейбницем для произвольных функций и носит теперь название теоремы Ферма, согласно которой в точке экстремума x0 непрерывной функции f(x) производная функции равна нулю. С тех пор исследование функций с помощью анализа бесконечно малых величин стало одним из мощнейших математических методов и привело к созданию современного математического анализа.

О месте темы в курсе математики средней школы

Такие свойства функции, как монотонность (убывание и возрастание), а позднее экстремум функции (максимум и минимум), наибольшее и наименьшее значение функции, неоднократно рассматриваются учащимися в курсе математики средней школы, например, при изучении линейной функции, квадратной и кубической парабол, при исследовании квадратного трёхчлена, при рассмотрении свойств тригонометрических, показательных и логарифмических функций. Внимание к изучению именно этих свойств вполне естественно, так как они характеризуют важнейшие стороны явлений действительности, описываемых теми или иными функциями. Однако до введения понятия производной в нашем распоряжении нет инструмента, с помощью которого можно исследовать разнообразные функции единым методом. Следовательно, для того чтобы рассматривать приложения производной к исследованию функций, должен быть, во-первых, накоплен некоторый запас функций, исследованных так называемыми элементарными методами, причём опыт анализа должен подвести обучаемых к пониманию необходимости обобщения и, во-вторых, учащиеся должны в основном овладеть самим инструментом исследования, т.е. достаточно отчётливо представлять, что такое производная.

По современной программе этим требованиям соответствует 10-11 классы, в которых и предусмотрена специальная тема: «Применение производной». Разумеется, что применение производной к исследованию функции не ограничивается рамками этой темы, а продолжается в процессе изучения всего курса начала анализа, в особенности при изучении показательной, логарифмической и тригонометрических функций, изучаемых несколько позднее.

2. Непрерывность функции.

Определение^

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке , если выполняются следующие три условия:

  1.  Функция ;
  2.  Существует
  3.  .

2. Определение наибольшего и наименьшего значений функции, алгоритм его нахождения.

2.1 Определение термина наибольшего и наименьшего значения функции

Наибольшим значением функции у=f(x) на промежутке X называют такое значение = f( ), что для любого x, x≠ справедливо неравенство f(x)≤ f().

Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение= f( ), , что для любого x, x  справедливо неравенство f(x)≥ f(). 

Эти определения понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на данном интервале при абсциссе .

2.2 Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) на непрерывном отрезке .

1) Найти производную (x).

2) Найти стационарные и критические точки функции, лежащие на отрезке

3) Вычислить значения функции y= f(x) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках a и b: выбрать среди этих значений наименьшее и наибольшее.

3. Производная функции

Определение производной функции:

Производной функции f в точке  называется число, к которому стремится разностное отношение

, при , стремящемся к нулю.

4. Экстремум функции

 Пусть  - область определения функции  и точка  .

   Определение 1. Число М называется локальным максимумом функции  , если существует такая окрестность точки , что для всех  из нее выполняется неравенство   . При этом М=, а сама точка   называется точкой локального максимума.

   Определение 2. Число m называется локальным минимумом функции , если существует такая окрестность точки , что для всех  из нее выполняется неравенство . При этом m=, а сама точка   называется точкой локального минимума.

   Определение 3. Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами. Соответствующая точка   называется точкой локального экстремума.

   Теорема ФермаЕсли функция  имеет производную в точке   и достигает в этой точке локального экстремума, то 

   Определение 4. Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками.

   Замечание. Функция может иметь экстремум и в точке, где эта функция не имеет производной. Например,  - точка минимума функции , а  не существует.

   Определение 5. Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или не является дифференцируемой, называют критическими точками.

Для того, чтобы точка  была точкой экстремума функции , необходимо, чтобы  являлась критической точкой данной функции.

   Теорема 1. (достаточные условия того, что стационарная точка является точкой экстремума) Пусть функция   дифференцируема на множестве ,  - стационарная точка функции   и . Тогда:

1) если при переходе через точку   производная функции   меняет знак с “плюса” на “минус”, т. е.   слева от точки   и  справа от точки  , то   - точка локального максимума функции ;

2)  если при переходе через точку   производная функции   меняет знак с “минуса” на “плюс”, то  - точка локального минимума функции .

   Теорема 2. (достаточные условия того, что стационарная точка является точкой экстремума)  Пусть функция   дифференцируема на множестве ,  - стационарная точка функции   и эта функция имеет вторую непрерывную производную в окрестности  точки . Тогда:

1) если, то  - точка локального максимума функции ;

2) если , то   - точка локального минимума функции  .

   Схема для решения задач на определение экстремума функций.

   1. Установить область определения функции .

   2. Найти её первую производную.

   3. Найти стационарные точки функции  , т.е. решить уравнение  , и точки, в которых   не определена.

    4. Определить знак производной на числовых интервалах, на которые стационарные и критические точки разбили область определения.

5. Практическая часть

Рассмотрим теперь на практике, какие бывают задачи и как можно исследовать функцию на наибольшее и наименьшее значение.

Задача №1

Укажите наибольшее число, принадлежащее промежутку

а) [-15; -11];

б) [5; 7);

в) [5; 7].

Так же в 7 классе а теме «Линейная функция» Мордкович А.Г. вводит само понятие наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Он рассматривает линейную функцию y  на отрезке [0;6].

Рис. 1

Соответствующий отрезок графика выделяется на чертеже. Замечается, что самая большая ордината у точек, принадлежащих выделенной части, равна 7 - это и есть наибольшее значение заданной линейной функции на отрезке. Записывается это следующим образом. Далее отмечается, что самая маленькая ордината у точек, принадлежащих выделенной на рисунке части прямой, равна 4 - это и есть наименьшее значение линейной функции на отрезке [0; 6]. Записывают так .

Задача №2

Постройте график функции  . С помощью графика найдите:

а) значения у при х = 4; 7; 16;

б) значения х, если у = 0; 1; 3;

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [0; 4];

г) при каких значениях х график функции расположен выше прямой

у = 1; ниже прямой у = 1.

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции  :

а) на отрезке [0; 4];

б) на луче  

в) на отрезке [1; 9];

г) на полуинтервале (2; 9].

Постройте график функции . С помощью графика найдите:

а) значения у при х = -3; 1; 6;

б) значения х если у = 3; -1; -6;

в) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-3; -1];

Решите двойное неравенство  и укажите наименьшее и наибольшее целые числа, которые являются его решениями.

Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее системе неравенств

Задача №3

Определить наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.

1. 

Функция определена на всем множестве действительных чисел

Найдем производную функции

Приравняем ее к нулю и определим критические точки

.

Проверим знак производной слева и справа от найденной точки

Производная при переходе через точку     меняет знак с положительного «+»  на отрицательный «-« , следовательно она является точкой локального максимума.

Найдем значение функции в точке   

и на краях отрезка

;

.

Таким образом, функция достигает максимума в точке локального экстремума   и минимума на одном из краев отрезка  .

Задача №4

.

На заданном промежутке функция определена; вычислим ее производную

.

Приравнивая нуля найдем критическую точку

.

Заданная точка принадлежит отрезку. Найдем значения функции во всех точках

.

.

.

Функция приобретает максимум и минимум в точках

;.

Задача №5

.

Функция определена везде, потому приступим сразу к вычислению производной

.

Приравняем ее к нулю и находим критические точки

;

.

Найдем значения функции во всех подозрительных на экстремум точках

;

;

  

;

.

Из полученного набора значений следует, что функция принимает максимум и минимум на краях отрезка

; .

 

Задача №6

Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке [0;5]. 

Решение. 

Находим производную функции:

Находим точки, в которых производная равна нулю:

Из полученных значений нам надо оставить лишь те, которые принадлежат заданному промежутку [0;5]. Оба значения лежат в этом промежутке.

Находим значения функции в полученных стационарных точках из промежутка и на концах промежутка:

y(0)=4; y()=3,92; y(5)=454

Таким образом,

; .

Ответ: ;

Задача №7

Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на заданном отрезке .

Решение:

В этой задаче используется теорема о том, что непрерывная функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений на отрезке: либо в критических точках, где производная обращается в нуль или не существует; либо на концах отрезка. Таким образом, для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке, необходимо найти её значения в критических точках и на концах отрезка, а затем сравнить эти значения. 

Перепишем выражение функции в виде:

Найдем производную функции в виде:

Найдем критические точки:

. Отсюда 10 или  .


        Вычислим значения функции в найденной точке и на концах отрезка:

  Сравнивая полученные значения, можем заключить, что наибольшее значение равно , а наименьшее значение равно .  

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке равно .

Наименьшее значение функции на отрезке равно .

Задача №9

С помощью производных высших порядков найти экстремум функции .

Решение: 

Находим производную функции: . Найдем критические точки: ,

;

;

Находим  , вычисляем ,

Значит – точки минимума функции;  ,

Значит  – точки максимума функции.

Задача №9  

Найдите наименьшее значение функции   на интервале

(0; 2)

Решение:

  1.  ;
  2.  ;
  3.  

На интервале (0; 2) данная функция непрерывна, имеет единственный экстремум в точке  x=1 и этот экстремум - минимум. Следовательно,  - наименьшее значение данной функции на интервале (0; 2)

Ответ: 1

Задача №10

Основание пирамиды - равнобедренный прямоугольный треугольник. Все боковые рёбра пирамиды равны  . Найдите наибольший возможный объём такой пирамиды.

Решение:

Примем высоту DO данной пирамиды за x, где . Из прямоугольного треугольника ADO находим AO2=3-x2 , а из равнобедренного треугольника  ACO находим AC2=2AO2 =2(3-x2) . Таким образом, требуется найти наибольшее значение функции V(x)=на интервале (0;) .

; ; 

На интервале (0;) функция  V(x) непрерывна, имеет единственный экстремум в точке x = 1 и этот экстремум - максимум.

Следовательно, V(1)= - наибольшее значение данной функции на интервале (0;).

Ответ: 

Замечание:  Рассмотренный выше алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на интервале применим и для нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке, если функция непрерывна на этом отрезке и имеет на нём единственный экстремум.

Задача №12

Найдите наименьшее значение функции 

 

Решение:

 Найдём область определения данной функции:

На множестве  (-3; 2] имеем:

;   

Следовательно, 

Таким образом, требуется найти наименьшее значение функции  на множестве (-3; 2].

Найдём производную функции  f(x): .

Решим уравнение  на множестве  (-3; 2]:

           

Функция  , заданная на множестве R, возрастает на отрезке [-3; -2], следовательно, для любого   выполняется условие . Значения функций g(x) и  f(x) совпадают на множестве (-3; 2], значит, для любого   выполняется условие . 

На отрезке [-2;2] функция  f(x) непрерывна, имеет единственный экстремум и этот экстремум - минимум. Следовательно,  - наименьшее значение функции  f(x) на отрезке [-2; 2]. Таким образом, число 48 - наименьшее значение функции  f(x).

 Ответ: 48

Задача №12

Найдите наименьшее значение функции   на отрезке  .

Решение:

Напомним, что любая функция принимает наименьшее или наибольшее значение тогда, когда ее производная равна нулю или не существует. 

Найдем производную  и приравняем ее к нулю. 

Видим, что производная равна нулю при x1=0 и x2=5

Заметим, что при х  [4; 5) производная y´(x)<0 и значит функция убывает при х  (5; 6] производная y´(x)>0 и значит функция возрастает

То есть при х = 5 y´(x) меняет знак с - на +, значит при х = 5 наименьшее значение: у(5) = (52 - 7*5 + 7) * е5-5 = (25 - 35 + 7) * е= -3*1 = -3.

Ответ: -3.

Задача №14

Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке .

Решение:

Поскольку , критические точки f(x) совпадают с теми, для которых производная равна нулю. Легко найти, что это точки . Из того, что , следует, что знак  совпадает со знаком выражения , и можно нарисовать картинку поведения f(x) на отрезке

+ - +

Отсюда видно, что наименьшее значение   принимает либо в точке  -2, либо в  точке 1.

Поскольку , наименьшее значение функции на отрезке  равно -16. Наибольшее значение функции есть одно из двух чисел  и . Поскольку , наибольшее значение  на  равно 24.

Ответ: ; .

Задача №15

Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .

Решение:

Напомним, что любая функция принимает наименьшее или наибольшее значение тогда, когда ее производная равна нулю или не существует.

Найдем производную .

.

Заметим, что   при любых , так как , как мы знаем, это выполнимо всегда, так как  .

Делаем такой вывод: так как производная  при , то функция возрастает на этом отрезке и наибольшее значение будет при наибольшем x их этого отрезка - это .

Подставим  в  и получим , так как .

Ответ: 7.

Задача № 16

Найдите наибольшее значение площади прямоугольника со сторонами параллельными осям координат, и с диагональю OP, где О – начало координат, а Р – точка на графике функции .

Решение:

Длины сторон прямоугольника равны положительным координатам точки Р. Поэтому его площадь равна их произведению: .  Исследуем функцию ,   с помощью производной.

.

Так как , а по условию , то   – единственная критическая точка. Найдем значения функции S в концах отрезка [0,2; 1] и сравним их с .

Так как , то . Так как , то ,  , и  .

Ответ: 13.

Заключение

Над изучением этой темы работали многие ученые и философы. Много лет назад появились такие термины как функция, график, исследование функции и до сих пор они сохранились, приобретая новые черты и признаки.

Я выбрала эту тему, потому что мне было очень интересно узнать историю возникновения исследования функции. Мне кажется, что многим было бы интересно побольше узнать о функции, о ее свойствах и преобразованиях. Сделав эту курсовую работу, я систематизировала свои навыки пополнила свой запас знаний об этой теме.

Список используемой литературы

  1.  Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа 10-11кл. – Москва, 2009.
  2.  Мордкович А.Г. и др. Задачник по алгебре и началам математического анализа 10-11кл. – Москва,2009.
  3.  Колмогоров А.Н., Абрамов А.М. и др. Алгебра и начала математического анализа 10-11кл. – Просвещение, 2008.
  4.  Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. – Москва, 1992.
  5.  Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала математического анализа 10-11кл. – Москва, 2010.
  6.  Виленкин Н.Я. Производная и задачи на экстремум // Квант,1978 №6 с. 60-64.
  7.  Гусак А. А.. Высшая математика. Учебное пособие для студентов вузов в 2-х томах. – Мн., 1998. – 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).
  8.  Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н. Ш. Кремера.– М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.
  9.  Яблонский А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С. А. Самаля.– Мн.: Выш. шк., 2000 г.
  10.  Ткачук В.В. Математика абитуриенту М: МЦНМО, 2008.

PAGE 1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13729. Тест биология. Вариант 6 ДПА 657.1 KB
  ВАРИАНТ 6 Первая часть Назовите тип стебля характерный для пшеницы. А вьющийся Б цепкий В соломина Г ползучий Укажите представителя отдела Голосеменные. А сфагнум остролистый Б кедр сибирский В хвощ полевой Г щитник му...
13730. Тест биология. Вариант 7 ДПА 1.74 MB
  ВАРИАНТ 7 Первая часть 1 Назовите нитчатую зеленую водоросль. А саргассум Б хлорелла В ламинария Г спирогира 2. Назовите подземное видоизменение вегетативного органа образованного путем утолщения дополнительного корня. А микориза Б клубнекор
13731. Тест биология. Вариант 8 ДПА 395.69 KB
  ВАРИАНТ 8 Первая часть Назовите структуру расположенную в пазухе листа древесного растения. А дополнительный корень Б боковая почка В камбий Г соцветие Назовите клеточную структуру хламидомонады отсутствующую в клетках высших растений. А клет
13732. Тест биология. Вариант 9 ДПА 1.99 MB
  ВАРИАНТ 9 1 Назовите внешний слой коры стебля древесного растения А пробка Бкамбий В кожица Г луб 2. Укажите споровое растение А щитник мужской Б сосна обыкновенная В горох посевной Г паслен черный 3. Укажите насекомых которые являются переносчиками...
13733. История отечества. Тест (9-11 классы) 69 KB
  Инструкция по выполнению работы Часть 1 состоит из 65 заданий. К каждому заданию дается 4 варианта ответа только один из которых верный. Часть 2 состоит из 10 заданий. При их выполнении требуется записать развернутый ответ на специальном бланке для записи ответ
13734. История отечества. Тест. Вариант 1 97.5 KB
  Вариант №1 Часть 1 А1. В каком веке была создана Русская Правда – свод законов Древнерусского государства 1 IX в. 2 X в. 3XI в. 4XII в. А2. Кто из названных лиц благословил войско Дмитрия Донского
13735. История отечества. Тест. Вариант 2 124 KB
  Вариант №2 Часть 1 А1. Какое из названных событий произошло в XI в. 1 принятие христианства на Руси 2 создание Русской Правды 3 первое летописное упоминание Москвы 4 создание Повести временны
13736. История отечества. Тест. Вариант 3 128 KB
  Вариант №3 Часть 1 А1. Какое из указанных событий произошло позднее других 1 начало опричнины 3 созыв первого Земского собора 2 Стоглавый собор 4 присоединение Казанского ханства А2. Во гл...
13737. История отечества. Тест. Вариант 4 124.5 KB
  Вариант №4 Часть 1 А1. Что из указанного относится к XII в. 1 приглашение Владимира Мономаха на княжение в Киев 2 походы Святослава на печенегов 3 княжение Ярослава Мудрого 4 борьба Александра