98805

Программы Excel и MathCad

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Математические и научно - технические расчеты являются важной сферой применения персональных компьютеров. Часто они выполняются с помощью программ, написанных на языке высокого уровня, например Бейсике или Паскале. Сегодня эту работу нередко выполняет обычный пользователь ПК.

Русский

2015-11-07

788.5 KB

2 чел.

Список содержания

Введение…………………………………………………………………………………………......2
1 Теоретическая часть……………………………………………………………………………...3
1.1 Метод Симпсона..………………………………………………………………………………3
1.2 Метод прямоугольников………………………………………..………………………………4

2 Практическая часть...……………………………………………………………………………..7
2.1 Решение нелинейных уравнений………………………………………………………..……7
2.2 Решение систем линейных уравнений. …………………………………………...…………11
2.3 Аппроксимация функций..…………………………………………………………...………17
2.4 Вычисление определенного интеграла………………………………………………………23
2.5 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений…………………………......……26

Заключение…………………………………………………………………………………….…..32

Литература…………………………………………………………………………………………33

                                                                   


Введение

Математические и научно - технические расчеты являются важной сферой применения персональных компьютеров. Часто они выполняются с помощью программ, написанных на языке высокого уровня, например Бейсике или Паскале. Сегодня эту работу нередко выполняет обычный пользователь ПК. Для этого он вынужден изучать языки программирования и многочисленные, подчас весьма тонкие капризные численные методы математических расчетов. Нередко при этом из-под руки способного физика, химика или инженера выходят далёкие от совершенства программы.

Это не вполне нормальное положение может изменить к лучшему применение интегрированных программных систем автоматизации математических расчетов (Eureka, MathCAD, MatLab и др.). Здесь рассматриваются возможности и эволюция одной из таких систем - MathCAD.

Фирма MathSoft Inc.(США) выпустила первую версию системы в 1986 г. Главная отличительная особенность системы MathCAD заключается в её входном языке, который максимально приближён к естественному математическому языку, используемому как в трактатах по математике, так и вообще в научной литературе. В последнее время широкое распространение получили пакеты математических программ (или математические системы), которые можно использовать для различных вычислений и вычерчивания графиков (Mathematica, Derive, Statistica, MathCAD, MathLAB и др.). В этих системах процесс вычислений сильно автоматизирован, что позволяет экономить время и больше внимания уделять физическому смыслу получаемого результата. Выбор системы зависит от характера решаемых задач, от вкуса, от практики.


1 Теоретическая часть

1.1 Метод Симпсона

Метод Симпсона (также Ньютона-Симпсона) относится к приёмам численного интегрирования. Получила название в честь британского математика Томаса Симпсона (1710—1761).

Суть метода заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке интерполяционным многочленом второй степени , то есть приближение графика функции на отрезке параболой. Метод Симпсона имеет порядок погрешности 4 и алгебраический порядок точности 3.

1.1.1 Формула

Формулой Симпсона называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке :


где
, и  — значения функции в соответствующих точках (на концах отрезка и в его середине).

1.1.2 Погрешность

При условии, что у функции на отрезке существует четвёртая производная, погрешность , согласно найденной Джузеппе Пеано формуле, равна:

В связи с тем, что значение зачастую неизвестно, для оценки погрешности используется следующее неравенство:


1.2. Метод прямоугольников

Метод прямоугольников — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном отрезке. Если рассмотреть график подынтегральной функции, то метод будет заключаться в приближённом вычислении площади под графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а высота — значением подынтегральной функции в этих узлах. Алгебраический порядок точности равен 0. (Для формулы средних прямоугольников
равен 1).

Если отрезок является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по:

  1.  Формуле левых прямоугольников:
  2.  Формуле правых прямоугольников:
  3.  Формуле прямоугольников (средних):

1.2.1 Составные квадратурные формулы

В случае разбиения отрезка интегрирования на элементарных отрезков приведённые выше формулы применяются на каждом из этих элементарных отрезков между двумя соседними узлами. В результате, получаются составные квадратурные формулы

  1.  Для левых прямоугольников:
  2.  Для правых прямоугольников:
  3.  Для средних прямоугольников:

Формулу с вычислением значения в средней между двумя узлами точке можно применять лишь тогда, когда подынтегральная функция задана аналитически, либо
каким-нибудь иным способом, допускающим вычисление значения в произвольной точке. В задачах, где функция задана таблицей значений остаётся лишь вычислять среднее значение между интегралами, посчитанными по формулам левых и правых прямоугольников соответственно, что приводит к составной квадратурной формуле трапеций.

Поскольку составные квадратурные формулы являются ни чем иным, как суммами, входящими в определение интеграла Римана, при они сходятся к точному значению интеграла. Соответственно, с увеличением точность получаемого по приближённым формулам результата возрастает.

1.2.2 Составные формулы для равномерных сеток

Равномерную сетку можно описать следующим набором формул:

где  — шаг сетки.

Для равномерных сеток формулы прямоугольников можно записать в виде следующих формул Котеса:

  1.  Составная формула левых прямоугольников:
  2.  Составная формула правых прямоугольников:
  3.  Составная формула средних прямоугольников:

1.2.3 Погрешность

Для формул правых и левых прямоугольников погрешность составляет

Для формулы прямоугольников (средних)


Для составных формул правых и левых прямоугольников на равномерной сетке:

Для составной формулы прямоугольников:


2 Практическая часть

2.1 Решение нелинейных уравнений

Mathcad

2.1.1 Шаговый метод

Будем вычислять значение  f(x),двигаясь вправо с некоторым шагом h.

 

Построим график функции f(x):

Рисунок 2 – График функции

Построим таблицу значений «х» и таблицу значений f(x) :

2.1.2 Метод Ньютона (касательных)

Зададим диапазон изменения номера итерации и начальное приближение к корню:

Вывод таблицы приближенных решений для  итерации:


Excel

                                                           

  1.  Рассмотрим равнение:

Шаговый метод:

  1.  Левую часть за f(x)

2.1.3 Шаговый метод


Рисунок 2.1 – График функции

2.1.4 Метод половинного деления

2.1.5 Метод касательных

2.2 Решение систем линейных уравнений.

То, что слева запишем в виде матрицы, а то, что справа возьмем как столбец свободных членов:

Выполним несколько операций над матрицей «А»:

2.2.1 Метод обратной матрицы

2.2.2 Метод Крамера

Запишем матрицу А и столбец свободных членов b:

Найдем определитель матрицы:

Вычислим определители матриц, полученных заменой соответствующего столбца исходной матрицы столбцом свободных членов:

2.2.3 Метод Гаусса

Запишем матрицу А и столбец свободных членов b:

Формируем расширенную матрицу системы:

Приводим матрицу к ступенчатому виду:

Формируем вектор-столбец решения системы уравнений:


              

Excel

Запишем матрицу «А» и выполним несколько операций:

2.2.4 Метод обратной матрицы

2.2.5 Метод Крамера

Вычислим определители матриц, полученных заменой соответствующего столбца исходной матрицы столбцом свободных членов:

2.2.6 Метод Гаусса

1) Запишем матрицу А и столбец свободных членов b

2) Преобразуем матрицу так, чтобы на главной диагонали были 1

2.2.7 Метод итерации

 

Метод не работает, так как не прошла проверка на сходимость.

2.3 Аппроксимация функций

Mathcad

Функция задана векторами значений:

Количество итераций:

2.3.1 Линейная аппроксимация

Определим вектор функцию:


Вычислим параметр b:

Формула линейной функции:

Ошибка:

     

Рисунок 2.2 -  График функции

2.3.2 Аппроксимация 4-ой степени

      

 

Рисунок 2.3 - График функции

2.3.3 Параболическая аппроксимация

Рисунок 2.4 – График функции

2.3.4 Метод неопределенных коэффициентов

Рисунок 2.5 – график функции

Excel

Запишем исходные данные:

Строим график ,диапазон данных берем значения y, а так же значения проверки:

Рисунок 2.6 - Аппроксимация функции

2.4 Вычисление определенного интеграла

Mathcad

Запишем подынтегральную функцию и отрезок интегрирования:

Построим  график функции:

                                                 Рисунок 2.7  - график функции

Excel

Выводим таблицу:

 



Рисунок 2.8 – график функции

Рисунок 2.9 – Метод трапеций

Рисунок 2.10 - Метод правых прямоугольников

Рисунок 2.11 – Метод левых прямоугольников

2.5 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Mathcad

2.5.1 Метод Эйлера

        Введем функцию:

 

Начальное значение:

Отрезок:

Шаг:

Количество точек:

 

Формула для вычисления таблицы:

Таблица значений:

2.5.2 Метод Рунге Кутта

Рисунок 2.12 – График решения

Excel

2.5.3 Метод Эйлера

Рисунок 2.13 – График функции

2.5.4 Метод Рунге-Кутта

Значение функции:

Рисунок 2.14  – Графики функций

Заключение

В заключение хотелось бы сказать, что при тщательном изучении обеих программ (Excel,MathCad),  может показаться, что первая более трудоемка и сложна в изучении при коротком курсе. Однако, Excel дает более подробный анализ того, или иного случая нежели MathCad, так как тот в совою очередь обеспечивает быстрый расчет благодаря удобному функционалу.

И все же, свое предпочтение  я отдаю Excel, так как считаю, что человеку, разобравшемуся, в данном ПО, не составит большого труда освоить пакет MathCad.


Список литературы

1. Мамонова Т.Е. Информационные технологии. Работа в MathCAD и MatLab: учебно-методическое пособие / Т.Е. Мамонова; Томский политехнический университет. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2011г.
2. Лапчик, М.П. М Численные методы/ М.П. Лапчик, .И. Рагулина, Е.К. Хеннер.- Москва: Издательский центр «Академия», 2009
3.
http://ru.wikipedia.org/wiki/MathCad


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10817. Вимірювання та вимірювальні прилади 105.5 KB
  Щоб скористатися вимірювальним приладом, зняти показання, спочатку необхідно визначити ціну поділки вимірювального приладу
10818. Державні службовці та корупція 69.11 KB
  Державний чиновник частіше за інших громадян в змозі опинитися в ситуації, де конфлікт інтересів є реальним і значимим, в результаті чого може постраждати неупередженість думок і з’являється спокуса або мотив забезпечити власні, а не державні інтереси.
10819. План-конспект уроку. Повторення Я, моя сімя і друзі 44.5 KB
  Outline for the lesson of English for 11thgraders. Lesson 3 Планконспект уроку з англійської мови для учнів 11х класів. Урок 3 Тема Повторення Я моя сім’я і друзі Підтема: Освіта в Україні. Мета: Практикувати учнів у читанні тексту за темою уроку з добуванням основної інформації. Фор
10820. Загальна характеристика відповідальності державних службовців 200 KB
  Вона полягає в застосуванні до державних службовців тих чи інших покарань, стягнень, передбачених законодавством, за винне вчинення ними правопорушень, тобто за провини та дії, що юридично визнані протиправними. Як відомо, правопорушення поділяються на злочини та провини (делікти).
10821. Туристский потенциал Челябинской области 135 KB
  Основная цель данной работы заключается в том, чтобы показать и доказать необходимость развития туризма в Челябинской области. Ведь это не только промышленный регион, но еще и место, где сосредоточены огромные туристские ресурсы, такие как Аркаим, Ильменский государственный заповедник и другие.
10822. Людина серед людей 101 KB
  Outline for the lesson of English for 11thgraders. Lesson 6 Планконспект уроку з англійської мови для учнів 11х класів. Урок 6 Підтема: Людина серед людей. Мета: Обговорити в групах та в процесі аудіювання тексту положення та якості особистості в суспіл Систематизувати та повторити тему
10823. Видатні люди. Люди, які самі себе зробили. (Self-Made People.) 50 KB
  Outline for the lesson of English for 11thgraders. Lesson 7 Планконспект уроку з англійської мови для учнів 11х класів. УРОК 7 Тема. Повторення. Я моя сімя і друзі Підтема: Видатні люди. Люди які самі себе зробили. SelfMade People. Мета: Систематизувати матеріал Plural of Nouns та тренувати учнів у ...
10824. Люди, робота і професія. Діагностичне тестування 52.5 KB
  Outline for the lesson of English for 11thgraders. Lesson 8 Планконспект уроку з англійської мови для учнів 11х класів. УРОК 8 Тема: Люди робота і професія. Підтема: Діагностичне тестування. Мета: Проконтролювати розуміння та обговорити текст для домашнього читання. Провести контроль на
10825. Люди, робота і професія. Друзі. для учнів 11-х класів 53.5 KB
  УРОК 9 Тема: Люди робота і професія. Підтема: Друзі Мета: Проаналізувати та обговорити результати діагностичного тесту. Формувати в учнів уміння висловлювати свою думку за темою уроку адекватно реагувати в ситуації спілкування. Практикувати учнів у вживанні видоча