ID: 9890

Название работы: Принцип максимума Понтрягина

Категория: Реферат

Предметная область: Математика и математический анализ

Описание: Принцип максимума Понтрягина. Эффективным средством исследования задач оптимального управления является принцип максимума Понтрягина, представляющий собой необходимое условие оптимальности в таких задачах. Формулировка принципа максимума. Рассмотрим...

Язык: Русский

Дата добавления: 2013-03-18

Размер файла: 177 KB

Работу скачали: 113 чел.

Принцип максимума Понтрягина.

Эффективным средством исследования задач оптимального управления является принцип максимума Понтрягина, представляющий собой необходимое условие оптимальности в таких задачах.

Формулировка принципа максимума.

Рассмотрим задачу оптимального управления, являющуюся частным случаем задачи, сформулированной выше

 

        (2.1)

 

где              (2.2)

При этом предполагается, что моменты фиксированы, т.е. рассматривается задача с закрепленным временем; множество U не зависит от времени, фазовые ограничения отсутствуют. Положим

,

где - константа,

Функция H называется функцией Гамильтона.

Система линейных дифференциальных уравнений  относительно переменных называется сопряженной системой, соответствующей управлению u и траектории x. Здесь

 

В более подробной покоординатной записи сопряженная система принимает вид

    (2.3)

Система (2.3) имеет при любых начальных условиях единственное решение , определенное и непрерывное на всем отрезке .

Следующая теорема выражает необходимые условия оптимальности в задаче (2.1).

Теорема (принцип максимума Понтрягина).

Пусть функции и, имеют частные производные по переменным и непрерывны вместе с этими производными по совокупности аргументов . Предположим, что (u,x) – решение задачи (2.1). Тогда существует решение сопряженной системы (2.3), соответствующей управлению u и траектории x, и константа  такие, что

при , и выполняются следующие условия:

a) (условие максимума) при каждом  функция Гамильтона ,

достигает максимума по  при v=u(t), т.е.

    (2.4)

б) (условие трансверсальности на левом конце траектории) существуют числа , такие, что

       (2.5)

в) (условие трансверсальности на правом конце траектории) существуют числа , такие, что

     (2.6)

Центральным в теореме является условие максимума – (2.4).

Если отказаться от предположения о том, что конечный момент времени T фиксирован, то теорема останется справедливой за исключением условия трансверсальности на правом конце траектории. Условие (2.6) необходимо заменить условием

 

и добавить еще одно условие трансверсальности на правом конце траектории:

 

Пример применения принципа максимума.

1. Простейшая задача оптимального быстродействия.

 

Пусть точка движется по прямой в соответствии с законом

 

Таким образом, оптимальное управление u может принимать лишь два значения +1 или -1.

Условие максимума (2.4) позволяет, в принципе, найти управление u как функцию параметров  

     (2.7)

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

 

       (2.8)

объединяющую систему уравнений движения объекта и сопряженную систему.

Опишем численный метод. Для этого рассмотрим краевую задачу для системы дифференциальных уравнений (2.8) с краевыми условиями (2.5),(2.6), а также выписанными на основе (2.2) краевыми условиями

    (2.9)

Эта задача называется краевой задачей принципа максимума.

Задав произвольные начальные условия и решив каким-либо численным методом задачу Коши для системы (2.8), можно найти . При этом на каждом шаге численного интегрирования значение находится из решения вспомогательной оптимизационной задачи (2.7) (считаем, что параметр задан и равен либо 0, либо -1).

Значения являются очевидно, некоторыми функциями от a и b:

 

 Решение краевой задачи принципа максимума сводится, таким образом, к решению полученной из (2.9), (2.5), (2.6) системы уравнений

 

 

 

 

Эта система содержит 2n+m неизвестных и состоит из 2n+m уравнений. Ее решение можно находить известными численными методами, например методом Ньютона.

 

Отметим, что вычисление значений весьма трудоемко, так как требует при каждом (a,b) решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений (2.8). Именно в таких случаях особое значение приобретает изучение вопросов эффективности численных методов и построения оптимальных методов.

При реализации на ЭВМ методов решения задач оптимального управления, основанных на необходимых условиях экстремума, могут встретиться также значительные трудности, вызванные некорректностью постановки исходной и вспомогательных задач и некоторыми особенностями краевой задачи принципа максимума. Это приводит к необходимости применения методов регуляризации, учета специфики конкретной решаемой задачи, ее физического смысла и т.п.

Другие численные методы, не связанные непосредственно с принципом максимума, основаны на редукции исходной задачи к некоторой конечномерной задаче математического программирования. Их называют иногда прямыми методами (впрочем, разделение вычислительных методов на прямые и непрямые довольно условно). Конечномерные аналоги задач оптимального управления имеют особенности, позволяющие эффективно применять некоторые методы нелинейного, динамического программирования и т.д. Продемонстрируем пример такого подхода.

Рассмотрим следующую задачу оптимального управления

 

 

   (2.10)

где моменты времени фиксированы. Это задача более общего вида, чем (2.1), ибо в (2.10) U зависит от времени и имеются фазовые ограничения произвольного вида, которые, в частности, могут содержать ограничения на концах траектории вида (2.2)

Зафиксируем моменты времени и заменим задачу (2.10) ее конечноразностным аналогом

 

 

 

 

Положив

 

задачу можно переписать в виде

 

 

 

 

Мы получили задачу математического программирования с переменными

 

 

Задав начальное состояние и управление , по формулам легко вычислить траекторию ( ). Тем самым (2.11) сводится к задаче с переменными , и ее размерность, таким образом, оказывается равной n+Nr.

Для решения задачи (2.11) часто применяют метод динамического программирования. В данном случае этот метод выглядит следующим образом. Введем функцию

 

где минимум берется по таким  что

 

(будем предполагать, что все фигурирующие здесь и ниже минимумы достигаются). Если множество таких наборов пусто, то значение не определено. Нетрудно видеть, что

 

  (2.12)

где минимум берется по таким , что значение определено.

Положив и проводя вычисления по формулам (2.12) при k=N-1,N-2,…0 можно найти решение задачи (2.11).

Действительно, пусть - значение управления, реализующее минимум в (2.12). Ясно, что значение задачи  (2.11), т.е. минимальное значение минимизирующей функции, равно , где минимум берется по таким , что значение определено. Оптимальное управление и оптимальная траектория находятся, очевидно, по формулам

       (2.13)

При численной реализации данного метода сеточные аппроксимации множеств , т.е. некоторые конечные множества

 

Затем строятся множества , которые служат сеточными аппроксимациями интересующих  нас подмножеств (i=0,…,N-1).

Далее по формулам (2.12) вычисляются значения для

и т.д. причем при каждом k минимум в (2.12) берется по . После того как найдена точка минимизирующая решение задачи определяется формулами (2.13).

Отметим, что дискретные задачи оптимального управления встречаются на практике (например, при описании импульсных систем) и потому представляют интерес не только как конечноразностные аналоги непрерывных задач.

Задачи оптимизации управляемых процессов, или как они будут в дальнейшем называться, задачи оптимального управления, составляют один из широких классов экстремальных задач и имеют важное прикладное значение.

Принцип максимума Понтрягина.

 Предложен Л.С. Понтрягиным в 1956 г.

Рассмотрим процесс, описываемый системой ОДУ:

       (*)

x- n-мерный вектор состояния (фазовые координаты)

u – r-мерный вектор управляющих воздействий

f – n-мерная вектор-функция.

Т.к. t не входит в (*) явно, то система автономная.

Любая система может быть сведена к (*), если положить .

Обычно на и накладываются ограничения.

Будем полагать

          (**)

где U-замкнутая ограниченная область не зависящая от x и t.

Управление  называется допустимым. Кроме того  и удовлетворяет уравнению (*).

Примеры ограничений:

1)

2)

3)

Предполагаем также, что непрерывна и имеет непрерывные частные производные по .

Необходимо найти такое  при , чтобы система, двигаясь по траектории в соответствии с (*), обеспечивала минимум некоторого функционала J.

Обычно функционал J есть функция от части фазовых координат в начале и в конце траектории:

        (***)

где  - некоторые составляющие вектора x в начале (t=0) и в конце траектории ( ). В задаче на максимальное быстродействие ; Полагая .

Часть фазовых координат, не вошедших в (***) может быть закреплена

 

 

Рассмотрим для простоты задачу. Задача с конечным интервалом времени, фиксированным левым концом и свободным правым.

     (1)

      (2)

Управление u(t) в силу ограничения (**) следует искать среди кусочно-непрерывных функций. (В вариационном исчислении искомое решение принадлежало классу непрерывных функций).

Пусть - оптимальная траектория и оптимальное управление. - это вектор, координаты которого могут иметь на отрезке разрывы первого рода в конечном числе точек.

  - б.м. величина;  - б.м. отрезок времени.

Дадим управлению вариацию, заменив на б.м. интервале на другое управление u, не меняя вне этого интервала [“Игольчатая вариация”].

При этом приращения при  вовсе не должны быть сколь угодно малой величиной.

Игольчатая вариация относится к классу кусочно-непрерывных функций, среди которых мы ищем оптимальное управление.

Несмотря на конечную величину , влияние этой вариации на последующее движение объекта – бесконечно мало, т.к. влияние любого импульса (короткого) на систему оценивается  величиной его площади (которая – б.м.)

В результате варьирования на б.м. интервале движение системы x начиная с момента отличается от оптимального .

 

Начиная с момента , вариация траектории удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению с начальным условием:

  (3)

Формула (3) следует из разложения величин и в ряд Тейлора

 

с учетом того что = и принимая во внимание уравнение движения (2).

Согласно (2) приращение на интервале является решением уравнения

     (4)

с начальным условием (3), имеющим порядок малости .

Т.к. решения дифференциальных уравнений непрерывно зависят от начальных условий, то .      (5)

Поэтому в (4) правую часть можно линеаризовать, разлогая в ряд Тейлора и отбрасывая члены порядка и выше.

     (6)

Т.к. , то первая компонента вектора в точке есть вариация функции

, причем     (7)

в силу оптимальности траектории .

Введем функцию , удовлетворяющую условию

      (8)

Уравнение следует из условия (8) постоянства скалярного произведения для каждого

    (9)

С учетом (6) (при )

     (10)

Из условия произвольности

    (11)

Из (7)-(8) следуют граничные условия:

        (12)

Решая (11) при условии (12), получаем и тогда условия (7)-(8) приобретают вид:

     (13)

вместо подставляем его значение (3), выраженное через правую часть уравнения (2) и получаем неравенство

    (14)

Функция называются функцией Гамильтона.

Из (14) следует, что на оптимальной траектории функция Гамильтона достигает своего максимума.

Момент начальной вариации был выбран произвольно на , следовательно это верно для всего интервала.

  (16)

Принцип максимума Понтрягина.

Принцип максимума является необходимым условием оптимальности.

Для некоторых классов задач он является и достаточным, но это требует доказательства в каждом конкретном случае.

Введение Гамильтониана H позволяет упростить запись основного уравнения (2) и сопряженного (11)

 

        (17)

Вместе с краевыми условиями эта система представляет собой двухточечную нелинейную краевую задачу. Входящие в (17) управление выражается через и из условий оптимальности (16).