98902

Некоммутативные кольца

Курсовая

Математика и математический анализ

Кольцо в общей алгебре — алгебраическая структура, обобщающая свойства чисел в аспекте операций сложения и умножения. Простейшими примерами колец являются числа (целые, вещественные, комплексные), функции на множестве (например, непрерывные, гладкие или аналитические) и матрицы. Во всех случаях, имеется множество, похожее на множество чисел, в том смысле, что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом.

Русский

2016-07-14

151.48 KB

0 чел.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова»

Прикладная математика и информатика

(наименование кафедры)

(фамилия, имя, отчество студента) 

Щепцов Вячеслав Вечеславович

Институт   курс 1  группа

(код и наименование направления подготовки/специальности)

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине  Математический анализ

(наименование темы)

На тему       Некоммутативные кольца

(подпись руководителя)

(дата)

Работа допущена к защите

Признать, что работа

выполнена и защищена с оценкой  

(инициалы, фамилия)

(подпись)

(должность)

Руководитель        Мясникова С.В

  

(дата)

   

Коряжма 2014

Содержание

Введение

  1.  Глава 1. Кольцо……………………………………………………………………….4-5

  1.  Простейшие свойства и основные определения…………………………...................6

  1.  Подкольцо…………………….....................................................................................6-7

  1.  Идеалы...………………………………………………………………………..……….8
  2.  Гомоморфизм……………………………………………………………………….......9
  3.  Факторкольцо …………………………………………………………………………10

  1.  Классы колец…………………………………………………………………………..11
  2.  Глава 2. Некоммутативные кольца и их примеры……………………………....12-24

Заключение

Список литературы

Введение

Современная теория колец представляет собой достаточно развитую математическую дисциплину.  Так, например, монография Н. Джекобсона, относящаяся лишь к одной ее области, содержащая около 450 страниц, хотя не включает многих достижений последних лет. Весьма развита и теория алгебр  Ли.

Данная работа направлена на то, чтобы систематизировать и обобщить знания по теме «кольца» а так же ввести понятие некоммутативности кольца и рассмотреть примеры.

Как указывалось раньше, теория колец очень развита, поэтому мы затронем лишь некоторые её аспекты.

Глава 1.Кольцо в общей алгебре

Кольцо́ в общей алгебре — алгебраическая структура, обобщающая свойства чисел в аспекте операций сложения и умножения. Простейшими примерами колец являются числа (целыевещественныекомплексные),функции на множестве (например, непрерывныегладкие или аналитические) и матрицы. Во всех случаях, имеется множество, похожее на множество чисел, в том смысле, что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом.

Однако есть и существенные отличия. Уже на примере целых чисел видно, что операция умножения может быть необратимой (например, операция деления на два определена не на всём кольце целых чисел). Это различие ещё более существенно в кольцах функций и матриц: в них существуют ненулевые элементы, произведение которых равно 0. Например, квадрат матрицы  равен 0, так что она в принципе не может иметь обратную. Кроме того, умножение матриц не коммутативноАлгебры Ли являются важными примерами колец, в которых умножение не ассоциативно и не имеет единицы (тождественного по умножению элемента). Понятие кольца формализует общие свойства всех указанных примеров, позволяя изучать их общими абстрактными методами.

Теория колец делится на два основных раздела: теорию коммутативных колец (известную как коммутативная алгебра) и теорию некоммутативных колец. Первая из них возникла при решении проблем алгебраического характера, возникающих в алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел. С точки зрения полезности в этих областях, важнейшие коммутативные кольца — это полякольца многочленовкоординатные кольца алгебраических многообразий и кольца целых алгебраических числовых полей. Некоммутативная теория базируется на совершенно других методах и поэтому не может рассматриваться как обобщение коммутативной. Основная задача некоммутативной алгебры состоит в изучении строения некоммутативных колец: многие некоммутативные кольца можно разложить на простые составляющие, такие как кольца матриц.

Определение

Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами, выполняющимися для любых :

  1.  — коммутативность сложения;
  2.  — ассоциативность сложения;
  3.  — существование нейтрального элемента относительно сложения;
  4.  — существование противоположного элемента относительно сложения;
  5.  — ассоциативность умножения (некоторые авторы не требуют выполнения этой аксиомы)
  6.  — дистрибутивность.

Иными словами, кольцо — это универсальная алгебра , такая что алгебра  — абелева группа, и операция  дистрибутивна слева и справа относительно . Кольцо называется ассоциативным, если операция  ассоциативна.

Ассоциативные кольца могут обладать следующими дополнительными свойствами:

  1.  наличие единицы (кольцо с единицей);
  2.  коммутативность умножения:  (коммутативное кольцо);

Иногда под ассоциативным кольцом понимают ассоциативное кольцо с единицей. Но имеются примеры ассоциативных колец без единицы, например — нулевое кольцо, кольцо чётных чисел, или же любой несобственный идеал в кольце. Рассматриваются также неассоциативные кольца без единицы, например лиевские кольца и др.

Простейшие свойства.

Непосредственно из аксиом кольца можно вывести следующие свойства:

  1.  Нейтральный элемент относительно сложения в кольце единственен. Для любого элемента кольца обратный к нему по сложению элемент единственен.
  2.  , то есть 0 — поглощающий элемент по умножению.
  3.  , где  — элемент, обратный к  по сложению.
  4.  

Основные определения.

Виды элементов кольца

Левый делитель нуля — это ненулевой элемент  кольца , для которого существует ненулевой элемент  кольца , такой что  Аналогично определеяется правый делитель нуля. Пример: в кольце вычетов  двойка является делителем нуля.

Нильпотентный элемент — это элемент , такой что  для некоторого . Пример: матрица . Нильпотентный элемент всегда является делителем нуля.

Идемпотентный элемент  — это такой элемент, что  Пример: любой оператор проектирования, например,  в кольце матриц 

Если элемент  имеет обратный по умножению, он определён однозначно и обозначается  Такой  называется обратимым элементом. Множество всех обратимых элементов кольца  является группой относительно умножения, она обычно обозначается как . Например, множество обратимых элементов кольца матриц  образует полную линейную группу .

Подкольцо

Подмножество  называется подкольцом , если  само является кольцом относительно операций, определенных в . По определению, оно непусто, поскольку содержит нулевой элемент. Эквивалентно, непустое подмножество  является подкольцом, если для любых  и  из  и  также принадлежат .

Пересечение любого множества подколец является подкольцом. Наименьшее подкольцо, содержащее подмножество  называется подкольцом, порождённым . Такое подкольцо всегда существует, так как пересечение всех подколец, содержащих , удовлетворяет этому определению.

При работе с кольцами, содержащими единицу, в определение подкольца иногда добавляют условие, чтобы подкольцо содержало единицу из основного кольца (это позволяет сделать формулировки теорем более простыми). В этом случае множество подколец кольца с единицей содержит наименьший элемент: подкольцо, образованное суммами конечного числа 1 и −1. Может оказаться, что  для положительного . Если  — наименьшее (ненулевое) натуральное число, такое что это сумма n единиц равна нулю, n называется характеристикой кольца. Если такого n не существует, говорят что характеристика данного кольца равна нулю.

Идеалы

Основная статья: Идеал (алгебра)

Определение идеала кольца сходно с определением нормальной подгруппы в теории групп. Однако в действительности идеалы кольца играют роль «идеализированных» элементов кольца, отсюда и происхождение названия.

Подмножество I кольца R называется левым идеалом, если:

  1.  I является аддитивной подгруппой кольца, то есть

1) Сумма любых двух элементов из I принадлежит I, а также

2) .

  1.  I замкнуто относительно умножения слева на произвольный элемент кольца (в частности, из этого следует что I является подкольцом):

3) Для любого  верно .

Соответственно, правый идеал замкнут относительно умножения на элемент кольца справа, двусторонний идеал — как слева, так и справа.

Если  — элемент кольца , то множество элементов вида  (соответственно, ) называется левым (соответственно, правым) главным идеалом, порождённым . Если кольцо  коммутативно, эти определения совпадают и главный идеал, порождённый , обозначается . Например, множество всех чётных чисел образует идеал в кольце целых чисел, этот идеал порождён элементом 2. Можно доказать, что все идеалы в кольце целых чисел являются главными.

Аналогично случаю групп, кольцо называется простым, если оно ненулевое и единственные его идеалы — ноль и всё кольцо. Любое коммутативное простое кольцо является полем.

Гомоморфизм

Гомоморфизм колец — это отображение, сохраняющее операции сложения и умножения. А именно, гомоморфизм из кольца R в кольцо S — это функция , такая, что  и . В случае колец с единицей иногда требуют также условия .

Гомоморфизм колец называется изоморфизмом, если существует обратный гомоморфизм колец. Любой биективный гомоморфизм колец является изоморфизмом. Автоморфизм — это гомоморфизм из кольца в себя, который является изоморфизмом. Пример: все автоморфизмы кольца вычетов  (p — произвольное простое число) имеют вид «умножение на ненулевой элемент кольца».

Если  — гомоморфизм колец, множество элементов , переходящих в ноль, называется ядром  (обозначается ). Ядро любого гомоморфизма является двусторонним идеалом. С другой стороны, образ  не всегда является идеалом, но является подкольцом .

Факторкольцо

Основная статья: Факторкольцо

Определение факторкольца по идеалу аналогично определению факторгруппы. Более точно, факторкольцо кольца  по двустороннему идеалу  — это множество классов смежности аддитивной группы  по аддитивной подгруппе  со следующими операциями:

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I,

(a + I)(b + I) = (ab) + I.

Аналогично случаю групп, существует канонический гомоморфизм , задаваемый как . Слово «канонический» означает, что этот гомоморфизм удовлетворяет универсальному свойству: если  — гомоморфизм в произвольное кольцо S, такой что , существует единственный гомоморфизм , такой что . В случае, когда  сюръективен и , универсальное свойство говорит о существовании гомоморфизма , такого что . Нетрудно проверить, что этот гомоморфизм сюръективен, а также инъективен, из чего следует теорема о гомоморфизме колец: образ сюръективного гомоморфизма колец изоморфен факторкольцу прообраза по ядру.

Классы колец.

  1.  Ассоциативное кольцо с единицей , в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется телом.
  2.  Коммутативное тело называется полем. Иначе говоря, поле — это коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, не имеющее нетривиальных идеалов.
  3.  Ассоциативное коммутативное кольцо без делителей нуля называется областью целостности (или целостным кольцом).
  4.  Кольцо, элементами которого являются числа, а операциями — сложение и умножение чисел, называют числовым кольцом. Например, множество чётных чисел является числовым кольцом.

Глава 2.Некоммутативные кольца. Примеры.

Во множестве линейных преобразований конечномерного векторного пространства определены две операции: сложения и умножения, а при записи линейных преобразований матрицами эти операции переносятся и на матрицы. Существование обеих операций исключительно важно и постоянно используется. Например, только благодаря этому можно определить многочлены от линейного преобразования, а они используются, хотя бы, при исследовании структуры линейного преобразования, существенно зависящий от кратности корней его минимального многочлена. Те же две операции и предельный переход дают возможность определить аналитические функции от матрицы (вещественной или комплексной). Например,

А это позволяет, записав систему n линейных обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постояннымb коэффициентами и с n неизвестными в виде

Где x – вектор неизвестных функций, A – матрица коэффициентов, написать решение в виде , где   - вектор начальных данных. Операции сложения и умножения линейных преобразований подчиняются всем аксиомам коммутативного кольца, за исключением коммутативного умножения.

Таким образом, кольцо есть множество с операциями сложения и умножения, удовлетворяющими условиям:

a + b= b + a,

a + (b + c) = (a + b) + c,

(ab)c = a(bc),

a(b + c) = ab+ bc,

(b + c)a =ba + ca.

Существует элемент 0, для которого a + 0 = 0 + a = a для всех a. Существует для любого a элемент – a со свойством a + (-a) = 0. Существует такой элемент 1, что    1a = a1 = a для всех a.

Приведем несколько примеров колец (некоммутативных; примеры коммутативных колец были рассмотрены во множестве).

Некоммутативные кольца. Примеры.

Пример 1.

Кольцо линейных преобразований векторного пространства L и его естественное обобщение – кольцо всех гомоморфизмов в себя модуля M над коммутативным кольцом A.  Гомоморфизмы модуля в себе называется эндоморфизмами, а определенное выше кольцо обозначается  Если A = K – поле, получаем кольцо линейных преобразований векторного пространства L, которое мы будем дальше также обозначать

Пример 2.

Простейшим бесконечномерным аналогом кольца линейных преобразований является кольцо ограниченных линейных операторов в банаховом пространстве.

Пример 3.

Кольца линейных дифференциальных операторов от одного или n переменных, коэффициентами которых являются многочлены или аналитические, или бесконечно дифференцируемые функции, или формальные степенные ряды (конечно, от того же числа переменных).

Прежде чем идти дальше в рассмотрении примеров, отметим те понятия, которые были нами введены для коммутативных колец, но на самом деле коммутативности не использовали. Это – изоморфизм, гомоморфизм, ядро и образ гомоморфизма, подкольцо, градуированное кольцо.

Например, выбор базиса в n – мерном пространстве L над полем K определяет изоморфизм кольца  с кольцом матриц порядка n, которое обозначается

В кольце R совокупность элементов a, коммутирующих со всеми элементами R  (т. е. ax =xa для всех xR), образует подкольцо, которое называется центром. Оно обозначается Z(R).

Если центр кольца R содержит подкольцо A, то R называется алгеброй над A. Забыв об умножении в R и обращая внимание лишь на умножение элементов из R на элементы из A, мы превращаем R в модуль над A.  Понятие гомоморфизма двух алгебр над коммутативным кольцом A отличается от простого гомоморфизма колец тем, что требуется, чтобы каждый элемент из A отображается сам в себя, т.е. чтобы гомоморфизм определял гомоморфизм соответствующих модулей над A. Так же определяется понятие подалгебры алгебры R над A – она должна быть подкольцом, содержащим A.

Если A = K есть поле и R – алгебры над K, то размерность R как линейного пространства над K называется рангом алгебры R. Мы уже встречались с этим понятием: конечное расширение L/K -  это расширение, являющееся алгеброй конечного ранга. Алгебра конечного ранга. Алгебра конечного ранга n над полем K по определению обладает базисом, и умножение в алгебре определяются умножением элементов этого базиса. Так как… есть снова элемент алгебры, то он записывается в виде

(1)                                 

Элементы  называются структурными константами алгебры. Они определяют умножение в алгебре:

Соотношение (1) называются таблицей умножения алгебры. Конечно, структурные константами нельзя задавать произвольно: они должны удовлетворять условиям, отражающим требование ассоциативности умножения и существование единичного элемента.

Например, кольцо матриц являются алгеброй ранга… над полем K. За её базис можно взять  матриц ,у которых все элементы равны 0, за исключением стоящих на пересечении i-й строки j-го столбца, которые равны 1. Её структурные константы определяются равенствами:

(2)                                   



Теперь можно привести ещё несколько примеров колец, задающихся проще всего алгебры над полем.

Пример 4.

Пусть G – конечная группа. Построим алгебру над полем K, элементы базиса которой занумерованы элементами группы:    и перемножаются так же, как эти элементы:

Полученная алгебра называется групповой алгеброй группы G и обозначается K[G]. Точно так же определяется групповая алгебра A[G] конечной группы G над коммутативным кольцом A. Отождествляя элементы   с соответствующими элементами базиса… можно считать, что элементы алгебры K[G] записываются в виде сумм:


Произведение  записывается, конечно, в таком же виде… где, как легко проверить,

(3)

Элемент  задается своими коэффициентами, которые можно рассматривать как функцию на G и соответственно записывать в виде Тогда мы получим интерпретацию алгебры K[G]  как алгебры функции на группе, с умножением, сопоставляющим функциям (g) функцию(g).

(4)

Эта запись служит отправной точкой для обобщений на бесконечные группы. Например, если G – единичная окружность |z| =1, то, записывая её элементы через аргумент мы увидим, что функция на G – это просто периодическая функция от  с периодом 2. По аналогии с формулой (4) групповую алгебру нашей группы определяют как алгебру периодических функций  (например, непрерывных и абсолютно интегрируемых) с законом умножения, сопоставляющим    функцию

Эта операция называется в анализе сверткой функций.

Это определение обладает одним формальным недочетом – групповая алгебра не содержит единицы, которая является  единичного элемента. От этого легко избавиться, присоединив к построенной алгебре R единицу, т.е. рассмотрев в пространстве.. умножение


Другой путь обобщения понятия групповой алгебры на бесконечные группы применим к счетным группам и связан с рассмотрением рядов функций. Рассматриваются бесконечные ряды (например, абсолютно сходящиеся) вида с законом умножения (3).

Пример 5.

Знаменитейший пример некоммутативного кольца – это алгебра кватернионов H. Она является алгеброй ранга 4 над полем вещественных чисел R и имеет базис 1, i, j, k с законом умножения:

т.е. если записать i, j и k по кругу то произведение двух соседних элементов, взятое в порядке по часовой стрелке, равно третьему, а против часовой стрелки – ему же с обратным знаком.

Модулем кватерниона q = a + bi +cj + dk называется число , сопряженным – кватернион=abicjdk.

Имеют место соотношения

(5)

которые легко проверить. Из них следует, что если q 0, то кватернион  является обратным к q, т.е.

Если q = a + bi +cj+ dk, то a называется вещественной частью q, а bi + cj + dk – мнимой; они обозначаются Re q и Im q. При a = 0 кватернион называется чисто мнимым. В этом случае он соответствует трехмерному вектору x = (b, c,d). Произведение двух чисто мнимых кватернионов выражаются через обе основные операции алгебры трехмерных векторов: скалярное и векторное произведение: (x y) и [x, y]. Именно, если чисто мнимые кватернионы p и q соответствуют векторам x и y, то Re(pq) = (x,y), а Im(pq) соответствует вектору [x, y].

Из равенств (5) легко следует, что для кватернионов  и . Это означает, что если a, b, c, d и - произвольные числа, то произведение

может быть представлено в виде где  (коэффициенты при 1, i, j и k у кватерниона) выражаются очень просто через a, b, c, d и   (читатель может эти выражения легко выписать). Получающееся тождество было, впрочем, найдено Эйлером задолго до введения кватернионов Гамильтоном. Оно полезно, например, при доказательстве знаменитой теоремы Лагранжа о том, что любое натуральное число п равно сумме квадратов четырех целых чисел: благодаря этому тождеству вопрос сразу сводится к случаю простого числа и, а этот последний вопрос связывается с арифметикой некоммутативного кольца Z + Zi + Zj + Zk.

Пример 6.

Кватернионы содержат поле комплексных чисел С в качестве элементов вида a + bj. Любой кватернион однозначно записывается в виде С. Эта запись

(6)

дает удобное представление кватернионов. При действиях над записанными в этом виде кватернионами надо только помнить, что z не коммутируют. Однако легко проверить, что их перестановка подчиняется простому правилу:

Представление (6) имеет одно важное геометрическое применение.  Рассмотрим пары  отличные от пары (0, 0), и отождествим пропорциональные (слева) пары:  при q  0. Мы получим кватернионную проективную прямую). Подобно вещественной или комплексной проективной прямой, она содержит конечную часть — пары , которую можно отождествить с H (считая = 1), и получается из нее присоединением бесконечно удаленной точки (, 0). Это показывает, что  как многообразие диффеоморфно четырехмерной сфере . Представляя H в виде (6) и полагая , мы заменим пару () четверкой (), в которой не все  равны 0. Эти четверки, рассматриваемые с точностью до отличного от 0 комплексного множителя, образуют трехмерное комплексное проективное пространство (С). Как (H), так и (С) получились из одного и того же множества пар , но разными процессами отождествления. (Эти процессы различаются выбором множителя пропорциональности: И в первом и С — во втором случае.) Так как пары, отождествляемые во втором случае, заведомо отождествляются и в первом, то мы получаем отображение (С)

Это — очень важное в геометрии твисторное расслоение над сферой слоями которого является некоторое четырехмерное семейство прямых в (C). Оно дает возможность свести многие дифференциально-геометрические вопросы, связанные со сферой S4, к вопросам комплексно аналитической геометрии пространства (C).

Кольцо, в котором для любого отличного от 0 элемента а существует обратный элемент , т.е. такой, что  = 1, называется телом. Впрочем, достаточно требовать существования лишь левого обратного элемента , т.е. такого, что а = 1 (или лишь правого обратного). Если а' — левый обратный к а и а'' — левый обратный к a и а'', то, по ассоциативности, а"а' а равно и а, и а". Это значит, что аа' = 1, т. е. а' является и правым обратным. Поле — это коммутативное тело, кватернионы — первый встретившийся нам пример некоммутативного тела. Легко проверить, что обратный элемент к данному элементу в теле существует только один. В теле разрешимо произвольное уравнение ах = b при а 0 : х = . Для уа = b, а  0, аналогично у = b.

Стандартные понятия линейной алгебры над полем К переносятся дословно на случай линейных пространств над любым телом D. Отметим только единственное, хотя и формальное, но существенное различие. Если линейное преобразование n-мерного векторного пространства над некоторым телом задается в базисе ,.. ,  матрицейа  — матрицей (), то преобразование  задается, как легко проверить, матрицей , где

(8)

Иначе говоря, в обычной формуле умножения матриц множители меняются местами. (Это можно обнаружить уже на примере одномерных пространств!) В связи с этим вводится следующее определение. Кольца R и R' называются инверсно-изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие          а <—> a', а  R, а'  R', обладающее свойствами: из  <—> ' и  <—> ' следует  +  <—> ' +'  и   Если соответствие а <—> а' устанавливает инверсный изоморфизм кольца R с собой, то оно называется инволюцией. Таково соответствие а <—> а* в кольце матриц (А) над коммутативным кольцом А (а* — транспонированная матрица) или B групповой алгебре или q <—>  в алгебре кватернионов H.

Для каждого кольца R существует инверсно-изоморфное ему кольцо R'. Для этого надо просто в множестве элементов R сохранить операцию сложения, а произведение элементов а и & определить как bа.

Теперь мы можем описать наш результат, выраженный формулой (8), так:

Кольцо линейных преобразований n-мерного векторного пространства над телом D изоморфно кольцу матриц (D') над инверсно-изоморфным телом D'.

С учетом этого изменения общеизвестные результаты линейной алгебры

сохраняются для векторных пространств над телами. Идя дальше, можно определить и проективное пространство (D) над телом D, и оно тоже будет обладать большинством привычных нам свойств.

Пример 7.

Рассмотрим пространство (L) контравариантных тензоров ранга г над n-мерным векторным пространством L над полем К. Операция тензорного умножения определяет произведение тензоров  (L) и   (L) как тензор из  (L). Чтобы при помощи этой операции построить кольцо, рассмотрим прямую сумму (L) всех пространств (L), состоящую из последовательностей (), в каждой из которых только конечное число членов отлично от нуля. Сумму последовательностей определим покомпонентно, а произведение () и как где Из свойств умножения тензоров вытекает, что таким образом мы получаем кольцо. Оно содержит подпространства (L) г = 0, 1, ..., и каждый его элемент представляется как конечная сумма

Элементы (L) = К отождествляются с полем К, так что построенное кольцо является алгеброй над К. Оно называется тензорной алгеброй векторного пространства L и обозначается T(L). Разложение T(L) в сумму всех  (L) делает алгебру T(L) градуированной.

Выберем некоторый базис в пространстве (L) = L. Известные свойства тензорного умножения показывают, что произведения

где (, ... ,) — любые наборы по m индексов, каждый из которых может принимать значения 1, ... , n, образуют базис в (L). Поэтому все такие произведения (при всех т) образуют бесконечный базис тензорной алгебры над полем К. Таким образом, любой элемент тензорной алгебры представляется как линейная комбинация произведений элементов , причем разные произведения (отличающиеся также и порядком сомножителей) линейно независимы. Ввиду этого алгебру T(L) называют также алгеброй некоммутативных многочленов от n переменных . В таком качестве она обозначается K(,)

Указанная выше характеристика алгебры T(L) имеет важные приложения. Элементы {} (в конечном или бесконечном числе) называются образующими алгебры R над коммутативным кольцом А, если любой элемент представляется в виде линейной комбинации с коэффициентами из А некоторых их произведений. Пусть алгебра R имеет конечное число образующих над полем К. Сопоставим любому элементу  алгебры  K(,)элемент ' =  алгебры R. Легко убедиться, что в результате мы получаем гомоморфизм образом которого является все R. Таким образом, любая алгебра, имеющая конечное число образующих, является гомоморфным

образом алгебры некоммутативных многочленов. В этом смысле алгебры неком-

мутативных многочленов играют в теории некоммутативных алгебр такую же роль, как алгебры коммутативных многочленов в коммутативной алгебре или свободные модули в теории модулей.

Мы должны опять прервать наш обзор примеров некоммутативных колец, чтобы познакомиться с простейшим методом их конструкции. Как и в случае коммутативных колец, естественно обратить внимание на свойства, которыми обладают ядра гомоморфизмов. Очевидно, что если — гомоморфизм, то его ядро вместе с элементами а и b содержит и их сумму и вместе с элементом а содержит как ах, так и ха, где х — любой элемент кольца R. Мы сталкиваемся с тем, что понятие идеала коммутативного кольца в некоммутативном случае

может быть обобщено тремя способами: а), б) и в) ниже. Рассмотрим подмножество I С R, содержащее вместе с любыми двумя элементами

их сумму.

а) Если вместе с любым элементом а  I и любым х  R элемент ха тоже содержится в I, то I называется левым идеалом, б) Если (при тех же условиях) ах содержится в I, то I называется правым идеалом, в) Если выполнены одновременно условия а) и б), то I называется двусторонним идеалом. Таким образом, ядро гомоморфизма является двусторонним идеалом.

Приведем примеры на эти понятия. В кольце линейных преобразований конечномерного векторного пространства L над телом D подпространство V  L определяет левый идеал vI, состоящий из всех преобразований , для которых  (V) = 0, и правый идеал 1у, состоящий из тех преобразований , для которых         (L) С V. В кольце ограниченных линейных операторов в банаховом пространстве все вполне непрерывные (или компактные) операторы образуют двусторонний идеал.

Совокупность элементов вида ха, х  R, образует левый идеал, а элементы ау, у  R, образуют правый. Для двусторонних идеалов соответствующая конструкция немного сложнее. Мы приведем ее сразу в более общем виде. Пусть {} — система элементов кольца R. Все суммы вида  R, образуют двусторонний идеал. Он называется идеалом, порожденным системой {}.

Совершенно аналогично коммутативному случаю определяются классы смежности по двусторонним идеалам и кольцо этих классов. Для него сохраняется прежнее обозначение R/I и термин факторкольцо. Например, если R — кольцо ограниченных линейных операторов в банаховом пространстве и I — его двусторонний идеал вполне непрерывных операторов, то многие свойства оператора  зависят только от его образа в R/I. Так, выполнение альтернативы Фредгольма равносильно тому, что образ  в R/I имеет обратный.

Совершенно параллельно коммутативному случаю формулируется

и доказывается теорема о гомоморфизмах.

Пусть {} — система элементов кольца некоммутативных многочленов  и I — двусторонний идеал, ею порожденный. В алгебре R = /I обозначим через  образы элементов . Очевидно, что они являются образующими алгебры R. Говорят, что алгебра R определена образующими  и соотношениями  = 0. Согласно теореме о гомоморфизмах любая алгебра с конечным числом образующих может быть определена некоторой системой образующих и соотношений. Но в то время как система образующих по определению конечна, систему соотношений иногда конечной выбрать нельзя.

Кольцо коммутативных многочленов К[] определяется соотношениями . Пусть R — кольцо дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами от n переменных . Образующими в этой алгебре являются, например, операторы  умножения на :

и операторы

Легко показать, что она определяется соотношениями:

(9)           

Применим эту конструкцию к построению еще нескольких важных

примеров алгебр. Пусть в n-мерном векторном пространстве L задана билинейная симметричная форма, которую мы обозначим через (ж, у). Рассмотрим алгебру, образующие которой взаимно однозначно соответствуют элементам некоторого базиса пространства L (и обозначаются теми же буквами), а соотношения имеют вид:

ху + ух = (х,у),

где х и у — элементы выбранного базиса пространства L.

Таким образом, наша алгебра является факторалгеброй тензорной

алгебры Т(Ь) по идеалу I, порожденному элементами

(ж, у)-ху- ух

Заключение

В работе рассмотрена теория некоммутативных колец, которая обобщают знания по данной теме. Так же в работе приведены примеры, которые, позволят лучше ознакомится с алгеброй кватернионов.

Работа содержит теоретический и задачный материал и может быть полезна школьникам-выпускникам.

Список литературы

1. И. Р. Шафаревич, «Основные понятия алгебры» 2001г.

2.  Херстейн И. - «Некоммутативные кольца»1972г.

3.A. И. Кострикин «основные структуры алгебры» 2001г.

4. .A. И. Кострикин «сборник по алгебре»2001г.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

51448. Силові перетворювачі автоматизованих електроприводів. Методичні вказівки 44 KB
  Мета роботи: закріплення знань про принципи дії однофазних однополуперіодних схем випрямлення, розрахунок, моделювання та дослідження часових діаграмм. Теоретичні відомості Випрямлячем називається статичний перетворювач електричної енергії змінного струму в постійний струм. Перетворювач являє собою електричний агрегат, силова частина якого складається в загальному випадку, з наступних основних вузлів
51449. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЛОКАЛЬНОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СЕТИ ОРГАНИЗАЦИИ С ПРИМИНЕНИЕМ СТРУКТУРИРОВАННОЙ КАБЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ 3.01 MB
  В курсовом проекте предлагается спроектировать ЛВС организации с применением структурированной кабельной системы. Назначение проектируемой ЛВС – обеспечение возможности информационного обмена между рабочими станциями организации.
51450. Понятие государства и права 459.76 KB
  Государство- основное орудие политической власти в классовом обществе. В более широком смысле под Г. понимают политическую форму организации жизни общества, которая складывается как результат возникновения и деятельности публичной власти — особой управляющей системы, руководящей основными сферами общественной жизни и опирающейся в случае необходимости на силу принуждения.
51451. ОХРАНА ТРУДА И ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ В.И. Николин 2.64 MB
  Нам ранее неоднократно приходилось на самых различных научно-методических уровнях: Всеукраинском, Всероссийском и Международном доказывать, что предмет «Безопасность жизнедеятельности» как самостоятельный не имеет право на существование в вузе. У этого предмета нет границ, ибо сама по себе безопасность жизнедеятельности простирается от обучения умению безопасно действовать еще в детских яслях до знания того, как предотвратить аварию на атомной электростанции. Под безопасностью жизнедеятельности вполне можно и нужно понимать преподавание только цикла дисциплин.
51452. VISUAL BASIC 6.0. Обчислювальна техніка і програмування 2.27 MB
  Навчальний посібник присвячений оволодінню найпопулярнішою системою швидкої розробки програм. У методичному матеріалі описуються інструментальні засоби середовища Visual Basic.6 і розглядаються компоненти, властивості, методи та події, необхідні для розроблення широкого спектру базових програм, за допомогою яких студенти навчаються програмуванню.
51453. ФОРМИРОВАНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ О ДОМАШНИХ ЖИВОТНЫХ У ДЕТЕЙ МЛАДШЕГО ДОШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА С ОБЩИМ НЕДОРАЗВИТИЕМ РЕЧИ 3 УРОВНЯ СРЕДСТВАМИ ХУДОЖЕСТВЕННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 881.83 KB
  Экспериментальная работа по формированию представлений о домашних животных у детей младшего дошкольного возраста с общим недоразвитием речи 3 уровня средствами художественной литературы. Теоретические основы формирования представления о домашних животных средствами художественной литературы
51454. Шаншуға арналған ерітінділерді тұрақтандыру 39.11 KB
  Шаншуға арналған ерітінділерді стрильдеу процесінде және сақтаған кезде, кейбір дәрілік заттар ыдырап,оларды тұрақтандыру қажеттілігін тудырады. Ерітінділердегі дәрілік заттардың ыдырау себебі-гидролиз және тотығу-тотықсыздану реакциялары есебінен жүреді.
51455. ТЕПЛОВОЙ РАСЧЕТ ХОЛОДИЛЬНОЙ УСТАНОВКИ 7.18 MB
  В учебном пособии рассмотрены термодинамические основы холодильных машин, действительный рабочий процесс в поршневом компрессоре, конструкции и методика теплового расчета испарителей и конденсаторов, рекомендации по подбору элементов. Для курсового проектирования по дисциплине «Тепломассообменное оборудование предприятий» студентами специальности «Промышленная теплоэнергетика» и бакалаврами направления «Теплоэнергетика и теплотехника».
51456. Совершенствование налогового контроля бюджетных организаций 218 KB
  Налоговая система Республики Беларусь является важнейшим элементом развития рыночной экономики. Именно налоги составляют доходную часть федерального, региональных и местных бюджетов страны...