98908

Применение интегрированных программных систем автоматизации математических расчетов

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Метод Симпсона. Метод прямоугольников. Для этого он вынужден изучать языки программирования и многочисленные подчас весьма тонкие капризные численные методы математических расчетов. Метод Симпсона Метод Симпсона также Ньютона-Симпсона относится к приёмам численного интегрирования.

Русский

2016-07-14

762 KB

0 чел.

Содержание

Введение…………………………………………………………………………………………......2
1 Теоретическая часть……………………………………………………………………………...3
1.1 Метод Симпсона..………………………………………………………………………………3
1.2 Метод прямоугольников………………………………………..………………………………4

2 Практическая часть...……………………………………………………………………………..7
2.1 Решение нелинейных уравнений………………………………………………………..……7
2.2 Решение систем линейных уравнений. …………………………………………...…………11
2.3 Аппроксимация функций..…………………………………………………………...………17
2.4 Вычисление определенного интеграла………………………………………………………23
2.5 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений…………………………......……26

Заключение…………………………………………………………………………………….…..32

Список литературы......……………………………………………………………………………33

                                                                   


Введение

Математические и научно - технические расчеты являются важной сферой применения персональных компьютеров. Часто они выполняются с помощью программ, написанных на языке высокого уровня, например Бейсике или Паскале. Сегодня эту работу нередко выполняет обычный пользователь ПК. Для этого он вынужден изучать языки программирования и многочисленные, подчас весьма тонкие капризные численные методы математических расчетов. Нередко при этом из-под руки способного физика, химика или инженера выходят далёкие от совершенства программы.

Это не вполне нормальное положение может изменить к лучшему применение интегрированных программных систем автоматизации математических расчетов (Eureka, MathCAD, MatLab и др.). Здесь рассматриваются возможности и эволюция одной из таких систем - MathCAD.

Фирма MathSoft Inc.(США) выпустила первую версию системы в 1986 г. Главная отличительная особенность системы MathCAD заключается в её входном языке, который максимально приближён к естественному математическому языку, используемому как в трактатах по математике, так и вообще в научной литературе. В последнее время широкое распространение получили пакеты математических программ (или математические системы), которые можно использовать для различных вычислений и вычерчивания графиков (Mathematica, Derive, Statistica, MathCAD, MathLAB и др.). В этих системах процесс вычислений сильно автоматизирован, что позволяет экономить время и больше внимания уделять физическому смыслу получаемого результата. Выбор системы зависит от характера решаемых задач, от вкуса, от практики.


1 Теоретическая часть

1.1 Метод Симпсона

Метод Симпсона (также Ньютона-Симпсона) относится к приёмам численного интегрирования. Получила название в честь британского математика Томаса Симпсона (1710—1761).

Суть метода заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке интерполяционным многочленом второй степени , то есть приближение графика функции на отрезке параболой. Метод Симпсона имеет порядок погрешности 4 и алгебраический порядок точности 3.

1.1.1 Формула

Формулой Симпсона называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке :


где
, и  — значения функции в соответствующих точках (на концах отрезка и в его середине).

1.1.2 Погрешность

При условии, что у функции на отрезке существует четвёртая производная, погрешность , согласно найденной Джузеппе Пеано формуле, равна:

В связи с тем, что значение зачастую неизвестно, для оценки погрешности используется следующее неравенство:


1.2 Метод прямоугольников

Метод прямоугольников — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном отрезке. Если рассмотреть график подынтегральной функции, то метод будет заключаться в приближённом вычислении площади под графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а высота — значением подынтегральной функции в этих узлах. Алгебраический порядок точности равен 0. (Для формулы средних прямоугольников
равен 1).

Если отрезок является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по:

  1.  Формуле левых прямоугольников:
  2.  Формуле правых прямоугольников:
  3.  Формуле прямоугольников (средних):

1.2.1 Составные квадратурные формулы

В случае разбиения отрезка интегрирования на элементарных отрезков приведённые выше формулы применяются на каждом из этих элементарных отрезков между двумя соседними узлами. В результате, получаются составные квадратурные формулы

  1.  Для левых прямоугольников:
  2.  Для правых прямоугольников:
  3.  Для средних прямоугольников:

Формулу с вычислением значения в средней между двумя узлами точке можно применять лишь тогда, когда подынтегральная функция задана аналитически, либо
каким-нибудь иным способом, допускающим вычисление значения в произвольной точке. В задачах, где функция задана таблицей значений остаётся лишь вычислять среднее значение между интегралами, посчитанными по формулам левых и правых прямоугольников соответственно, что приводит к составной квадратурной формуле трапеций.

Поскольку составные квадратурные формулы являются ни чем иным, как суммами, входящими в определение интеграла Римана, при они сходятся к точному значению интеграла. Соответственно, с увеличением точность получаемого по приближённым формулам результата возрастает.

1.2.2 Составные формулы для равномерных сеток

Равномерную сетку можно описать следующим набором формул:

где  — шаг сетки.

Для равномерных сеток формулы прямоугольников можно записать в виде следующих формул Котеса:

  1.  Составная формула левых прямоугольников:
  2.  Составная формула правых прямоугольников:
  3.  Составная формула средних прямоугольников:

1.2.3 Погрешность

Для формул правых и левых прямоугольников погрешность составляет

Для формулы прямоугольников (средних)


Для составных формул правых и левых прямоугольников на равномерной сетке:

Для составной формулы прямоугольников:


2 Практическая часть

2.1 Решение нелинейных уравнений

Mathcad

2.1.1 Шаговый метод

Будем вычислять значение  F(x),двигаясь вправо с некоторым шагом h.

 

Построим график функции F(x):

Рисунок 2 – График функции

Построим таблицу значений «х» и таблицу значений F(x) :

2.1.2 Метод Ньютона (касательных)

Зададим диапазон изменения номера итерации и начальное приближение к корню:

Вывод таблицы приближенных решений для  итерации:


Excel

                                                           

  1.  Рассмотрим равнение:

Шаговый метод:

  1.  Левую часть за f(x)

2.1.3 Шаговый метод


Рисунок 2.1 – График функции

2.1.4 Метод половинного деления

2.1.5 Метод касательных

2.2 Решение систем линейных уравнений.

То, что слева запишем в виде матрицы, а то, что справа возьмем как столбец свободных членов:

Выполним несколько операций над матрицей «А»:

2.2.1 Метод обратной матрицы

2.2.2 Метод Крамера

Запишем матрицу А и столбец свободных членов b:

Найдем определитель матрицы:

Вычислим определители матриц, полученных заменой соответствующего столбца исходной матрицы столбцом свободных членов:

2.2.3 Метод Гаусса

Запишем матрицу А и столбец свободных членов b:

Формируем расширенную матрицу системы:

Приводим матрицу к ступенчатому виду:

Формируем вектор-столбец решения системы уравнений:


              

Excel

Запишем матрицу «А» и выполним несколько операций:

2.2.4 Метод обратной матрицы

2.2.5 Метод Крамера

Вычислим определители матриц, полученных заменой соответствующего столбца исходной матрицы столбцом свободных членов:

2.2.6 Метод Гаусса

1) Запишем матрицу А и столбец свободных членов b

2) Преобразуем матрицу так, чтобы на главной диагонали были 1

2.2.7 Метод итерации

 

Метод не работает, так как не прошла проверка на сходимость.

2.3 Аппроксимация функций

Mathcad

Функция задана векторами значений:

Количество итераций:

2.3.1 Линейная аппроксимация

Определим вектор функцию:


Вычислим параметр b:

Формула линейной функции:

Ошибка:

     

Рисунок 2.2 -  График функции

2.3.2 Аппроксимация 4-ой степени

      

 

Рисунок 2.3 - График функции

2.3.3 Параболическая аппроксимация

Рисунок 2.4 – График функции

2.3.4 Метод неопределенных коэффициентов

Рисунок 2.5 – график функции

Excel

Запишем исходные данные:

Строим график ,диапазон данных берем значения y, а так же значения проверки:

Рисунок 2.6 - Аппроксимация функции

2.4 Вычисление определенного интеграла

Mathcad

Запишем подынтегральную функцию и отрезок интегрирования:

Построим  график функции:

                                                 Рисунок 2.7  - график функции

Excel

Выводим таблицу:

 



Рисунок 2.8 – график функции

Рисунок 2.9 – Метод трапеций

Рисунок 2.10 - Метод правых прямоугольников

Рисунок 2.11 – Метод левых прямоугольников

2.5 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Mathcad

2.5.1 Метод Эйлера

        Введем функцию:

 

Начальное значение:

Отрезок:

Шаг:

Количество точек:

 

Формула для вычисления таблицы:

Таблица значений:

2.5.2 Метод Рунге Кутта

Рисунок 2.12 – График решения

Excel

2.5.3 Метод Эйлера

Рисунок 2.13 – График функции

2.5.4 Метод Рунге-Кутта

Значение функции:

Рисунок 2.14  – Графики функций

Заключение

В заключение хотелось бы сказать, что при тщательном изучении обеих программ (Excel, MathCad),  может показаться, что первая более трудоемка и сложна в изучении при коротком курсе. Однако, Excel дает более подробный анализ того, или иного случая нежели MathCad, так как тот в совою очередь обеспечивает быстрый расчет благодаря удобному функционалу.

И все же, свое предпочтение  я отдаю Excel, так как считаю, что человеку, разобравшемуся, в данном ПО, не составит большого труда освоить пакет MathCad.


Список литературы

1. Мамонова Т.Е. Информационные технологии. Работа в MathCAD и MatLab: учебно-методическое пособие / Т.Е. Мамонова; Томский политехнический университет. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2011г.
2. Лапчик, М.П. М Численные методы/ М.П. Лапчик, .И. Рагулина, Е.К. Хеннер.- Москва: Издательский центр «Академия», 2009
3.
http://ru.wikipedia.org/wiki/MathCad


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83897. Хирургическая анатомия слепой кишки. Техника выполнения аппендэктомии при ретроперитонеальном расположении червеобразного отростка 50.91 KB
  Техника выполнения аппендэктомии при ретроперитонеальном расположении червеобразного отростка. Червеобразный отросток Варианты положения периферической части отростка нисходящее верхушка отростка обращена вниз и влево и достигает пограничной линии а иногда опускается в малый таз наиболее частый вариант; медиальное вдоль концевого отдела подвздошной кишки; латеральное в правом боковом канале; восходящее вдоль передней стенки слепой кишки; ретроцекальное и ретроперитонеальное в забрюшинной клетчатке. Проекция основания отростка...
83898. Аппендэктомия. Доступ, техника выполнения, особенности операции при перитоните и гангренозном аппендиците 53.03 KB
  Аппендэктомия ppendectomi удаление червеобразного отростка. Показания: острые или хронические воспалительные изменения червеобразного отростка доброкачественные и злокачественные его новообразования. Оперативный прием При пересечении брыжейки отростка порциями со стороны свободного ее конца накладывают кровоостанавливающий зажим ближе к основанию пересекают брыжейку над зажимом после чего часть брыжейки под зажимом прошивают лигатуру завязывают. Культя отростка погружается в кисет.
83899. Ретроградная аппендэктомия. Доступ, показания, техника выполнения, опасности и профилактика осложнений 46.28 KB
  Показания: спаечный процесс в области червеобразного отростка ретроцекальное или ретроперитонеальное его положение невозможно вывести отросток в рану. Технические приемы: Отыскивание начального отдела слепой кишки и отростка. Проделывание окна в брыжейке отростка у его основания перевязка отростка. Пересечение отростка погружение культи в стенку слепой кишки по описанному выше способу.
83900. Хирургическое лечение рака толстой кишки 49.17 KB
  Радикальное иссечение опухоли тослтой кишки вместе с соответствующей частью брыжейки с сосудами и сопровождающими лимфатическими сосудами и узлами является наиболее подходящей операцией для локального устранения опухоли. Виды резекции толстой кишки в зависимости от локализации патологического процесса: Правосторонняя гемиколэктомия удаление всей правой половины толстой кишки захватывая 1015 см конечного отрезка подвздошной кишки слепую восходящую ободочную правый изгиб и правую треть поперечной ободочной кишки с последующим наложением...
83901. Операция Гартмана. Показания, техника выполнения 50.66 KB
  Операция заключается в одномоментной резекции пораженного отрезка сигмовидной ободочной и части прямой кишки с наложением одноствольного противоестественного заднего прохода. Показания: операция показана у ослабленных и пожилых больных при раке сигмовидной ободочной кишки или ректосигмоидного отдела осложненном непроходимостью или перфорацией а также при завороте сигмовидной ободочной кишки с гангреной ее и перитонитом. После ревизии брюшной полости производят мобилизацию сигмовидной ободочной кишки а при раке ректосигмовидного отдела...
83902. Хирургическая анатомия прямой кишки. Хирургическое лечение геморроя 50.85 KB
  Хирургическая анатомия прямой кишки Скелетотопия: начало соответствует уровню верхнего края S2 позвонка. Строение: В зависимости от местоположения кишки в ней выделяют тазовую лежит выше диафрагмы и содержит надампулярную часть и ампулу и промежностную анальный канал части. Покрытие брюшиной: надампулярный отдел прямой кишки покрыт брюшиной интраперитонеально в области ампулы брюшина покрывает переднюю и частично боковые стенки кишки переходя на матку у мужчин на мочевой пузырь и на боковые стенки таза.
83903. Виды операций на прямой кишке 48.36 KB
  Сфинктеросохраняющие операции: передняя резекция прямой кишки; брюшноанальная резекция прямой кишки с низведением Сфинктеронесохраняющие операции связанные с удалением замыкательного аппарата и наложением противоестественного заднего прохода: брюшнопромежностная экстирпация прямой кишки; обструктивная резекция прямой кишки. Передняя резекция прямой кишки показана при раке верхнеампулярного и ректосигмоидного отделов нижняя граница опухоли располагается на 10 см выше прямокишечнозаднепроходной линии. Брюшноанальную резекцию прямой...
83904. Операции наложения противоестественного заднего прохода 45.26 KB
  Показания: опухоли раны рубцовые сужения прямой кишки ампутации прямой кишки. Техника наложения одноствольного противоестественного заднего прохода операция Гартмана: послойное вскрытие брюшной полости косым переменным разрезом в левой паховой области; прокалывание брыжейки кишки в бессосудистой зоне и проведение через окно резиновой трубки; сшивание под трубкой приводящей и отводящей петель между собой 34 узловыми серозномышечными швами образование шпоры; подшивание париетальной брюшины к краям кожного разреза; подшивание...
83905. Хирургическая анатомия мужского таза. Этажи. Клетчаточные пространства 51.81 KB
  Стенки таза представленные тазовыми костями ниже пограничной линии крестцом копчиком и мышцами закрывающими большое седалищное грушевидная мышца и запирательное внутренняя запирательная мышца отверстия спереди сзади и с боков ограничивают полость таза. Снизу полость таза ограничена мягкими тканями промежности. Ее мышечную основу образуют мышца поднимающая задний проход и глубокая поперечная мышца промежности принимающие участие в образовании диафрагмы таза и мочеполовой диафрагмы соответственно.