98908
Применение интегрированных программных систем автоматизации математических расчетов
Курсовая
Информатика, кибернетика и программирование
Метод Симпсона. Метод прямоугольников. Для этого он вынужден изучать языки программирования и многочисленные подчас весьма тонкие капризные численные методы математических расчетов. Метод Симпсона Метод Симпсона также Ньютона-Симпсона относится к приёмам численного интегрирования.
Русский
2016-07-14
762 KB
0 чел.
Содержание
Введение…………………………………………………………………………………………......2
1 Теоретическая часть……………………………………………………………………………...3
1.1 Метод Симпсона..………………………………………………………………………………3
1.2 Метод прямоугольников………………………………………..………………………………4
2 Практическая часть...……………………………………………………………………………..7
2.1 Решение нелинейных уравнений………………………………………………………..……7
2.2 Решение систем линейных уравнений. …………………………………………...…………11
2.3 Аппроксимация функций..…………………………………………………………...………17
2.4 Вычисление определенного интеграла………………………………………………………23
2.5 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений…………………………......……26
Заключение…………………………………………………………………………………….…..32
Список литературы......……………………………………………………………………………33
Введение
Математические и научно - технические расчеты являются важной сферой применения персональных компьютеров. Часто они выполняются с помощью программ, написанных на языке высокого уровня, например Бейсике или Паскале. Сегодня эту работу нередко выполняет обычный пользователь ПК. Для этого он вынужден изучать языки программирования и многочисленные, подчас весьма тонкие капризные численные методы математических расчетов. Нередко при этом из-под руки способного физика, химика или инженера выходят далёкие от совершенства программы.
Это не вполне нормальное положение может изменить к лучшему применение интегрированных программных систем автоматизации математических расчетов (Eureka, MathCAD, MatLab и др.). Здесь рассматриваются возможности и эволюция одной из таких систем - MathCAD.
Фирма MathSoft Inc.(США) выпустила первую версию системы в 1986 г. Главная отличительная особенность системы MathCAD заключается в её входном языке, который максимально приближён к естественному математическому языку, используемому как в трактатах по математике, так и вообще в научной литературе. В последнее время широкое распространение получили пакеты математических программ (или математические системы), которые можно использовать для различных вычислений и вычерчивания графиков (Mathematica, Derive, Statistica, MathCAD, MathLAB и др.). В этих системах процесс вычислений сильно автоматизирован, что позволяет экономить время и больше внимания уделять физическому смыслу получаемого результата. Выбор системы зависит от характера решаемых задач, от вкуса, от практики.
1 Теоретическая часть
1.1 Метод Симпсона
Метод Симпсона (также Ньютона-Симпсона) относится к приёмам численного интегрирования. Получила название в честь британского математика Томаса Симпсона (17101761).
Суть метода заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке интерполяционным многочленом второй степени
, то есть приближение графика функции на отрезке параболой. Метод Симпсона имеет порядок погрешности 4 и алгебраический порядок точности 3.
1.1.1 Формула
Формулой Симпсона называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке :
где ,
и
значения функции в соответствующих точках (на концах отрезка и в его середине).
1.1.2 Погрешность
При условии, что у функции на отрезке
существует четвёртая производная, погрешность
, согласно найденной Джузеппе Пеано формуле, равна:
В связи с тем, что значение зачастую неизвестно, для оценки погрешности используется следующее неравенство:
1.2 Метод прямоугольников
Метод прямоугольников метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном отрезке. Если рассмотреть график подынтегральной функции, то метод будет заключаться в приближённом вычислении площади под графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а высота значением подынтегральной функции в этих узлах. Алгебраический порядок точности равен 0. (Для формулы средних прямоугольников
равен 1).
Если отрезок является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по:
В случае разбиения отрезка интегрирования на элементарных отрезков приведённые выше формулы применяются на каждом из этих элементарных отрезков между двумя соседними узлами. В результате, получаются составные квадратурные формулы
Формулу с вычислением значения в средней между двумя узлами точке можно применять лишь тогда, когда подынтегральная функция задана аналитически, либо
каким-нибудь иным способом, допускающим вычисление значения в произвольной точке. В задачах, где функция задана таблицей значений остаётся лишь вычислять среднее значение между интегралами, посчитанными по формулам левых и правых прямоугольников соответственно, что приводит к составной квадратурной формуле трапеций.
Поскольку составные квадратурные формулы являются ни чем иным, как суммами, входящими в определение интеграла Римана, при они сходятся к точному значению интеграла. Соответственно, с увеличением
точность получаемого по приближённым формулам результата возрастает.
Равномерную сетку можно описать следующим набором формул:
где шаг сетки.
Для равномерных сеток формулы прямоугольников можно записать в виде следующих формул Котеса:
1.2.3 Погрешность
Для формул правых и левых прямоугольников погрешность составляет
Для формулы прямоугольников (средних)
Для составных формул правых и левых прямоугольников на равномерной сетке:
Для составной формулы прямоугольников:
2 Практическая часть
2.1 Решение нелинейных уравнений
Mathcad
2.1.1 Шаговый метод
Будем вычислять значение F(x),двигаясь вправо с некоторым шагом h.
Построим график функции F(x):
Рисунок 2 График функции
Построим таблицу значений «х» и таблицу значений F(x) :
2.1.2 Метод Ньютона (касательных)
Зададим диапазон изменения номера итерации и начальное приближение к корню:
Вывод таблицы приближенных решений для итерации:
Excel
2.1.3 Шаговый метод
Рисунок 2.1 График функции
2.1.4 Метод половинного деления
2.1.5 Метод касательных
2.2 Решение систем линейных уравнений.
То, что слева запишем в виде матрицы, а то, что справа возьмем как столбец свободных членов:
Выполним несколько операций над матрицей «А»:
2.2.1 Метод обратной матрицы
2.2.2 Метод Крамера
Запишем матрицу А и столбец свободных членов b:
Найдем определитель матрицы:
Вычислим определители матриц, полученных заменой соответствующего столбца исходной матрицы столбцом свободных членов:
2.2.3 Метод Гаусса
Запишем матрицу А и столбец свободных членов b:
Формируем расширенную матрицу системы:
Приводим матрицу к ступенчатому виду:
Формируем вектор-столбец решения системы уравнений:
Excel
Запишем матрицу «А» и выполним несколько операций:
2.2.4 Метод обратной матрицы
2.2.5 Метод Крамера
Вычислим определители матриц, полученных заменой соответствующего столбца исходной матрицы столбцом свободных членов:
2.2.6 Метод Гаусса
1) Запишем матрицу А и столбец свободных членов b
2) Преобразуем матрицу так, чтобы на главной диагонали были 1
2.2.7 Метод итерации
Метод не работает, так как не прошла проверка на сходимость.
2.3 Аппроксимация функций
Mathcad
Функция задана векторами значений:
Количество итераций:
2.3.1 Линейная аппроксимация
Определим вектор функцию:
Вычислим параметр b:
Формула линейной функции:
Ошибка:
Рисунок 2.2 - График функции
2.3.2 Аппроксимация 4-ой степени
Рисунок 2.3 - График функции
2.3.3 Параболическая аппроксимация
Рисунок 2.4 График функции
2.3.4 Метод неопределенных коэффициентов
Рисунок 2.5 график функции
Excel
Запишем исходные данные:
Строим график ,диапазон данных берем значения y, а так же значения проверки:
Рисунок 2.6 - Аппроксимация функции
2.4 Вычисление определенного интеграла
Mathcad
Запишем подынтегральную функцию и отрезок интегрирования:
Построим график функции:
Рисунок 2.7 - график функции
Excel
Выводим таблицу:
Рисунок 2.8 график функции
Рисунок 2.9 Метод трапеций
Рисунок 2.10 - Метод правых прямоугольников
Рисунок 2.11 Метод левых прямоугольников
2.5 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Mathcad
2.5.1 Метод Эйлера
Введем функцию:
Начальное значение:
Отрезок:
Шаг:
Количество точек:
Формула для вычисления таблицы:
Таблица значений:
2.5.2 Метод Рунге Кутта
Рисунок 2.12 График решения
Excel
2.5.3 Метод Эйлера
Рисунок 2.13 График функции
2.5.4 Метод Рунге-Кутта
Значение функции:
Рисунок 2.14 Графики функций
Заключение
В заключение хотелось бы сказать, что при тщательном изучении обеих программ (Excel, MathCad), может показаться, что первая более трудоемка и сложна в изучении при коротком курсе. Однако, Excel дает более подробный анализ того, или иного случая нежели MathCad, так как тот в совою очередь обеспечивает быстрый расчет благодаря удобному функционалу.
И все же, свое предпочтение я отдаю Excel, так как считаю, что человеку, разобравшемуся, в данном ПО, не составит большого труда освоить пакет MathCad.
Список литературы
1. Мамонова Т.Е. Информационные технологии. Работа в MathCAD и MatLab: учебно-методическое пособие / Т.Е. Мамонова; Томский политехнический университет. Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2011г.
2. Лапчик, М.П. М Численные методы/ М.П. Лапчик, .И. Рагулина, Е.К. Хеннер.- Москва: Издательский центр «Академия», 2009
3. http://ru.wikipedia.org/wiki/MathCad
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
72284. | СУЩНОСТЬ, ФУНКЦИИ И ИСТОЧНИКИ ФОРМИРОВАНИЯ ПРИБЫЛИ | 128 KB | |
Прибыль создает определенные гарантии для дальнейшего существования и развития предприятия. Каждое предприятие прежде чем начать производство продукции определяет каждую прибыль какой доход оно сможет получить. | |||
72285. | Полупроводниковые диоды | 94 KB | |
Выпрямительные диоды классифицируются по мощности. В зависимости от максимально допустимого среднего значения прямого тока различают выпрямительные диоды малой средней и большой мощности. Диоды малой мощности предназначены для выпрямления токов до 300мА диоды средней и большой... | |||
72286. | ДЕПОЗИТ ЯК ГОЛОВНЕ ДЖЕРЕЛО ФОРМУВАННЯ БАНКІВСЬКИХ РЕСУРСІВ | 316.81 KB | |
За останні роки в економіці України відбулися радикальні зміни, обумовлені досягненням Україною політичної та економічної незалежності і переходом до розбудови соціально орієнтованої ринкової економіки, тому сучасні банківські установи пропонують своїм клієнтам широкий набір послуг... | |||
72288. | Электронные и квантовые приборы СВЧ | 143.42 KB | |
Кривая электронной перестройки частоты имеет такой вид: Диапазон частот Частота колебаний ЛОВ зависит от напряжения U0 приложенного между замедляющей системой и катодом. Ширина диапазона электронной перестройки частот характеризуется либо коэффициентом перекрытия диапазона либо относительной... | |||
72292. | Учреждения и органы, исполняющие наказания | 346 KB | |
Нормы уголовно-исполнительного законодательства закрепляющие виды исправительных учреждений правила их назначения и изменения различным категориям осужденных а также правила определения места отбывания лишения свободы содержат существенные недостатки выражающиеся в их рассогласованности отсутствии... | |||