9891

Принцип максимума Понтрягина.

Контрольная

Математика и математический анализ

Принцип максимума Понтрягина Предложен Л.С. Понтрягиным в 1956 г. Рассмотрим процесс, описываемый системой ОДУ: x - n-мерный вектор состояния (фазовые координаты) u - r-мерный вектор управляющих воздейств...

Русский

2013-03-18

84 KB

3 чел.

Принцип максимума Понтрягина

Предложен Л.С. Понтрягиным в 1956 г.

Рассмотрим процесс, описываемый системой ОДУ:

      (*)

x - n-мерный вектор состояния (фазовые координаты)

u – r-мерный вектор управляющих воздействий

f – n-мерная вектор-функция.

Так как t не входит в (*) явно, то система - автономная.

Любая система может быть сведена к (*), если положить .

Обычно на и накладываются ограничения.

Будем полагать

,          (**)

где U-замкнутая ограниченная область, не зависящая от x и t.

Управление  называется допустимым. Кроме того,  и удовлетворяет уравнению (*).

Примеры ограничений:

1)

2)

3)

Предполагаем также, что непрерывна и имеет непрерывные частные производные по .

Необходимо найти такое  при , чтобы система, двигаясь по траектории в соответствии с (*), обеспечивала минимум некоторого функционала J.

Обычно функционал J есть функция от части фазовых координат в начале и в конце траектории:

,       (***)

где  - некоторые составляющие вектора x в начале (t=0) и в конце траектории ( ).

В задаче на максимальное быстродействие

.

Полагая .

Часть фазовых координат, не вошедших в (***) может быть закреплена

,

.

Рассмотрим для простоты задачу с конечным интервалом времени, фиксированным левым концом и свободным правым.

     (1)

      (2)

Управление u(t) в силу ограничения (**) следует искать среди кусочно-непрерывных функций. (В вариационном исчислении искомое решение принадлежало классу непрерывных функций).

Пусть - оптимальная траектория и оптимальное управление. - это вектор, координаты которого могут иметь на отрезке  разрывы первого рода в конечном числе точек.

- бесконечно малая величина;

,  - бесконечно малый отрезок времени.

Дадим оптимальному управлению вариацию, заменив на бесконечно малом интервале на другое управление u, не меняя вне этого интервала.  Такая вариация называется "игольчатой".

Заметим, что приращения при  не обязаны быть сколь угодно малой величиной.

Игольчатая вариация относится к классу кусочно-непрерывных функций, среди которых мы ищем оптимальное управление.

Несмотря на то, что величина не является бесконечно малой, влияние этой вариации на последующее движение объекта бесконечно мало, т.к. влияние любого импульса (короткого) на систему оценивается величиной его площади (которая в нашем случае является бесконечно малой величиной).

В результате варьирования на бесконечно малом интервале траектория системы x, начиная с момента отличается от оптимальной траектории .

 

Начиная с момента , вариация траектории удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению с начальным условием:

     (3)

 

Формула (3) следует из разложения величин и в ряд Тейлора:

 

с учетом того, что = и принимая во внимание уравнение движения (2).

Согласно (2) приращение на интервале является решением уравнения

    (4)

с начальным условием (3), имеющим порядок малости .

Т.к. решения дифференциальных уравнений непрерывно зависят от начальных условий, то

.       (5)

Поэтому в выражении (4) правую часть можно линеаризовать, разлагая в ряд Тейлора и отбрасывая члены порядка и выше.

    (6)

Т.к. , то первая компонента вектора в точке есть вариация функции , причем

       (7)

в силу оптимальности траектории .

Введем функцию , удовлетворяющую условию

     (8)

Уравнение для следует из условия (8) постоянства скалярного произведения для каждого :

  . (9)

С учетом (6) (при ):

    (10)

Из условия произвольности

   (11)

Из (7)-(8) следуют граничные условия:

 

      (12)

Решая (11) при условии (12), находим и тогда условия (7)-(8) приобретают вид:

.   (13)

Вместо подставляем его значение (3), выраженное через правую часть уравнения (2) и получаем неравенство

   (14)

Функция называется функцией Гамильтона.

Из (14) следует, что на оптимальной траектории функция Гамильтона достигает своего максимума.

 

Момент начальной вариации был выбран произвольно на , следовательно это верно для всего интервала.

(16)

 

Это и есть принцип максимума Понтрягина.

Принцип максимума является необходимым условием оптимальности.

Для некоторых классов задач он является и достаточным, но это требует доказательства в каждом конкретном случае.

Введение Гамильтониана H позволяет упростить запись основного уравнения (2) и сопряженного (11)

 

        (17)

Вместе с краевыми условиями эта система представляет собой двухточечную нелинейную краевую задачу. Входящие в (17) управление выражается через и из условий оптимальности (16).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63841. Заболевания органов дыхания как медико-социальная проблема 26 KB
  БОД заболевания 8 класса МКБ. Группы БОД: ОРЗ Другие болезни ВДП Пневмонии и грипп Хр. болезни легких вызываемые внешними агентами Другие болезни органов дыхания Роль БОД по материалам текущей обращаемости: в структуре заболеваемости населения являются ведущими.
63842. Психическое здоровье 33.5 KB
  Классификация нервно психических заболеваний 5 класс межд. В экономически развитых странах нервно психические заболевания очень важная проблема: 25 28 на 1000 человек. Нервно психическая патология. Изменяется структура нервно психической патологии в развивающихся и развитых странах.
63843. Медико-социальное значение алкоголизма 29 KB
  Алкоголизм рассматривается как медико-социальная проблема влияющая на показатели состояния здоровья заболеваемости и смертности. Уровень смертности среди систематически пьющих в 3 раза выше чем среди непьющих. В структуре смертности первое место занимают травмы...
63844. Научное просвещение как фактор активизации политической жизни общества 39.5 KB
  Для современной России характерна такая ситуация в которой население все меньше и меньше направляет свою энергию в общественно-политическую сферу жизни общества. Политическое просвещение как культурный социальный и политический феномен имеет объективные исторически обусловленные основания...
63845. Трансформация сознания российского общества 62.79 KB
  В основе любой процветающей цивилизации или общности людей связанных единой культурой всегда лежит какая либо общезначимая национальная идея вокруг которой и выстраивается жизнь народа и целого государства. Трансформация сознания это изменение убеждений стремлений...
63846. Лица с ограниченными возможностями: группы барьеров 16.55 KB
  Инвалидность это проблема не одного человека а всего общества в целом. В результате это большинство лиц с ограниченными возможностями во всем мире оказываются отверженными и живут в условиях моральных и материальных невзгод.
63847. Информационные миры: проблемы формирования и перспективы развития 22.48 KB
  Одно из основных увеличение количества информации. Нескончаемый поток информации заставляет современного человека воспринимать ее на ином качественном уровне. В данной статье хотелось бы сконцентрироваться на том как изменятся восприятие социальной информации...
63848. Феномен потребления в структуре общественных отношений, его историко-культурный аспект 53 KB
  В каком смысле он является потребителем в данном случае Он ищет в буднях своих предков вдохновляющие примеры потребляет выработанные для него обществом идеалы прошедшего читает истории о давно минувших временах переживает трагедии своего народа...