9891

Принцип максимума Понтрягина.

Контрольная

Математика и математический анализ

Принцип максимума Понтрягина Предложен Л.С. Понтрягиным в 1956 г. Рассмотрим процесс, описываемый системой ОДУ: x - n-мерный вектор состояния (фазовые координаты) u - r-мерный вектор управляющих воздейств...

Русский

2013-03-18

84 KB

3 чел.

Принцип максимума Понтрягина

Предложен Л.С. Понтрягиным в 1956 г.

Рассмотрим процесс, описываемый системой ОДУ:

      (*)

x - n-мерный вектор состояния (фазовые координаты)

u – r-мерный вектор управляющих воздействий

f – n-мерная вектор-функция.

Так как t не входит в (*) явно, то система - автономная.

Любая система может быть сведена к (*), если положить .

Обычно на и накладываются ограничения.

Будем полагать

,          (**)

где U-замкнутая ограниченная область, не зависящая от x и t.

Управление  называется допустимым. Кроме того,  и удовлетворяет уравнению (*).

Примеры ограничений:

1)

2)

3)

Предполагаем также, что непрерывна и имеет непрерывные частные производные по .

Необходимо найти такое  при , чтобы система, двигаясь по траектории в соответствии с (*), обеспечивала минимум некоторого функционала J.

Обычно функционал J есть функция от части фазовых координат в начале и в конце траектории:

,       (***)

где  - некоторые составляющие вектора x в начале (t=0) и в конце траектории ( ).

В задаче на максимальное быстродействие

.

Полагая .

Часть фазовых координат, не вошедших в (***) может быть закреплена

,

.

Рассмотрим для простоты задачу с конечным интервалом времени, фиксированным левым концом и свободным правым.

     (1)

      (2)

Управление u(t) в силу ограничения (**) следует искать среди кусочно-непрерывных функций. (В вариационном исчислении искомое решение принадлежало классу непрерывных функций).

Пусть - оптимальная траектория и оптимальное управление. - это вектор, координаты которого могут иметь на отрезке  разрывы первого рода в конечном числе точек.

- бесконечно малая величина;

,  - бесконечно малый отрезок времени.

Дадим оптимальному управлению вариацию, заменив на бесконечно малом интервале на другое управление u, не меняя вне этого интервала.  Такая вариация называется "игольчатой".

Заметим, что приращения при  не обязаны быть сколь угодно малой величиной.

Игольчатая вариация относится к классу кусочно-непрерывных функций, среди которых мы ищем оптимальное управление.

Несмотря на то, что величина не является бесконечно малой, влияние этой вариации на последующее движение объекта бесконечно мало, т.к. влияние любого импульса (короткого) на систему оценивается величиной его площади (которая в нашем случае является бесконечно малой величиной).

В результате варьирования на бесконечно малом интервале траектория системы x, начиная с момента отличается от оптимальной траектории .

 

Начиная с момента , вариация траектории удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению с начальным условием:

     (3)

 

Формула (3) следует из разложения величин и в ряд Тейлора:

 

с учетом того, что = и принимая во внимание уравнение движения (2).

Согласно (2) приращение на интервале является решением уравнения

    (4)

с начальным условием (3), имеющим порядок малости .

Т.к. решения дифференциальных уравнений непрерывно зависят от начальных условий, то

.       (5)

Поэтому в выражении (4) правую часть можно линеаризовать, разлагая в ряд Тейлора и отбрасывая члены порядка и выше.

    (6)

Т.к. , то первая компонента вектора в точке есть вариация функции , причем

       (7)

в силу оптимальности траектории .

Введем функцию , удовлетворяющую условию

     (8)

Уравнение для следует из условия (8) постоянства скалярного произведения для каждого :

  . (9)

С учетом (6) (при ):

    (10)

Из условия произвольности

   (11)

Из (7)-(8) следуют граничные условия:

 

      (12)

Решая (11) при условии (12), находим и тогда условия (7)-(8) приобретают вид:

.   (13)

Вместо подставляем его значение (3), выраженное через правую часть уравнения (2) и получаем неравенство

   (14)

Функция называется функцией Гамильтона.

Из (14) следует, что на оптимальной траектории функция Гамильтона достигает своего максимума.

 

Момент начальной вариации был выбран произвольно на , следовательно это верно для всего интервала.

(16)

 

Это и есть принцип максимума Понтрягина.

Принцип максимума является необходимым условием оптимальности.

Для некоторых классов задач он является и достаточным, но это требует доказательства в каждом конкретном случае.

Введение Гамильтониана H позволяет упростить запись основного уравнения (2) и сопряженного (11)

 

        (17)

Вместе с краевыми условиями эта система представляет собой двухточечную нелинейную краевую задачу. Входящие в (17) управление выражается через и из условий оптимальности (16).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17486. Вивчення способів адресації даних мікропроцесором i8086 і їх використання при пересиланні даних 47 KB
  Лабораторна робота №1 З дисципліни СП та ОС Мета: Вивчення способів адресації даних мікропроцесором i8086 і їх використання при пересиланні даних. Теоретичні відомості: Мікропроцесор вибирає один з семи режимів адресації за значенням поля режиму команди: регіс
17487. Формати і правила роботи з командами передачі керування, умовних і безумовних переходів, порівняння мікропроцесора i8086 41.09 KB
  Лабораторна робота №5 З дисципліни СПіОС на тему: Формати і правила роботи з командами передачі керування умовних і безумовних переходів порівняння мікропроцесора i8086 Мета: Ознайомитись з правилами роботи команд передачі керування умовних і безумовних пере
17488. Формати і правила роботи з командами множення і ділення мікропроцесора i8086 38.43 KB
  Лабораторна робота №3 З дисципліни СПіОС на тему Формати і правила роботи з командами множення і ділення мікропроцесора i8086 Мета: Ознайомитись з основними форматами і правилами роботи з командами множення і ділення мікропроцесора i8086. Вивчити основні відомості ...
17489. Формати і правила роботи з командами маніпулювання бітами мікропроцесора i8086 38.76 KB
  Лабораторна робота №4 З дисципліни СПіОС на тему Формати і правила роботи з командами маніпулювання бітами мікропроцесора i8086 Мета: Ознайомитись з основними форматами і правилами роботи з командами маніпулювання бітами мікропроцесора i8086. Вивчити основні відом
17490. Изучение процесса прокольной прокатки 220.5 KB
  Цель работы: изучить устройство прокатного стана условия захвата заготовки валками; рассчитать основные величины деформации при прокатке; определить опережение и угол захвата. Краткие теоретические сведения Прокатка заключается в обжатии заготовки между вращаю...
17491. Складання комплексного документа в текстовому редакторі Word 979 KB
  ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 1 Складання комплексного документа в текстовому редакторі Word Мета роботи: навчитися складати комплексний документ в текстовому редакторі Word: набирати та редагувати текст створювати та змінювати таблиці використовувати таблиці для обчислення дан...
17492. Побудова графіків в редакторі Excel 437.5 KB
  ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 2 Побудова графіків в редакторі Excel Мета роботи: навчитися користуватися таблицями для обчислення даних редагувати таблиці створювати графіки на основі таблиць даних прогнозувати дані. Загальні положення побудови графіка за числовими даними
17493. Методи наближеного розв’язання рівнянь в редакторі Excel 364.5 KB
  ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 3 Методи наближеного розвязання рівнянь в редакторі Excel Мета роботи: навчитися знаходити корені рівняння за допомогою редактора Excel визначати точність знайденого розвязку. Загальні положення про корені рівняння та точність знайденого розвяз
17494. Використання логічних операторів в редакторі Excel для пошуку рішень 505.5 KB
  ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 4 Використання логічних операторів в редакторі Excel для пошуку рішень Мета роботи: навчитися користуватися логічними операторами для пошуку правильних рішень логічних задач. Загальні положення про використання логічних операторів В таблиці 1 н