9891

Принцип максимума Понтрягина.

Контрольная

Математика и математический анализ

Принцип максимума Понтрягина Предложен Л.С. Понтрягиным в 1956 г. Рассмотрим процесс, описываемый системой ОДУ: x - n-мерный вектор состояния (фазовые координаты) u - r-мерный вектор управляющих воздейств...

Русский

2013-03-18

84 KB

3 чел.

Принцип максимума Понтрягина

Предложен Л.С. Понтрягиным в 1956 г.

Рассмотрим процесс, описываемый системой ОДУ:

      (*)

x - n-мерный вектор состояния (фазовые координаты)

u – r-мерный вектор управляющих воздействий

f – n-мерная вектор-функция.

Так как t не входит в (*) явно, то система - автономная.

Любая система может быть сведена к (*), если положить .

Обычно на и накладываются ограничения.

Будем полагать

,          (**)

где U-замкнутая ограниченная область, не зависящая от x и t.

Управление  называется допустимым. Кроме того,  и удовлетворяет уравнению (*).

Примеры ограничений:

1)

2)

3)

Предполагаем также, что непрерывна и имеет непрерывные частные производные по .

Необходимо найти такое  при , чтобы система, двигаясь по траектории в соответствии с (*), обеспечивала минимум некоторого функционала J.

Обычно функционал J есть функция от части фазовых координат в начале и в конце траектории:

,       (***)

где  - некоторые составляющие вектора x в начале (t=0) и в конце траектории ( ).

В задаче на максимальное быстродействие

.

Полагая .

Часть фазовых координат, не вошедших в (***) может быть закреплена

,

.

Рассмотрим для простоты задачу с конечным интервалом времени, фиксированным левым концом и свободным правым.

     (1)

      (2)

Управление u(t) в силу ограничения (**) следует искать среди кусочно-непрерывных функций. (В вариационном исчислении искомое решение принадлежало классу непрерывных функций).

Пусть - оптимальная траектория и оптимальное управление. - это вектор, координаты которого могут иметь на отрезке  разрывы первого рода в конечном числе точек.

- бесконечно малая величина;

,  - бесконечно малый отрезок времени.

Дадим оптимальному управлению вариацию, заменив на бесконечно малом интервале на другое управление u, не меняя вне этого интервала.  Такая вариация называется "игольчатой".

Заметим, что приращения при  не обязаны быть сколь угодно малой величиной.

Игольчатая вариация относится к классу кусочно-непрерывных функций, среди которых мы ищем оптимальное управление.

Несмотря на то, что величина не является бесконечно малой, влияние этой вариации на последующее движение объекта бесконечно мало, т.к. влияние любого импульса (короткого) на систему оценивается величиной его площади (которая в нашем случае является бесконечно малой величиной).

В результате варьирования на бесконечно малом интервале траектория системы x, начиная с момента отличается от оптимальной траектории .

 

Начиная с момента , вариация траектории удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению с начальным условием:

     (3)

 

Формула (3) следует из разложения величин и в ряд Тейлора:

 

с учетом того, что = и принимая во внимание уравнение движения (2).

Согласно (2) приращение на интервале является решением уравнения

    (4)

с начальным условием (3), имеющим порядок малости .

Т.к. решения дифференциальных уравнений непрерывно зависят от начальных условий, то

.       (5)

Поэтому в выражении (4) правую часть можно линеаризовать, разлагая в ряд Тейлора и отбрасывая члены порядка и выше.

    (6)

Т.к. , то первая компонента вектора в точке есть вариация функции , причем

       (7)

в силу оптимальности траектории .

Введем функцию , удовлетворяющую условию

     (8)

Уравнение для следует из условия (8) постоянства скалярного произведения для каждого :

  . (9)

С учетом (6) (при ):

    (10)

Из условия произвольности

   (11)

Из (7)-(8) следуют граничные условия:

 

      (12)

Решая (11) при условии (12), находим и тогда условия (7)-(8) приобретают вид:

.   (13)

Вместо подставляем его значение (3), выраженное через правую часть уравнения (2) и получаем неравенство

   (14)

Функция называется функцией Гамильтона.

Из (14) следует, что на оптимальной траектории функция Гамильтона достигает своего максимума.

 

Момент начальной вариации был выбран произвольно на , следовательно это верно для всего интервала.

(16)

 

Это и есть принцип максимума Понтрягина.

Принцип максимума является необходимым условием оптимальности.

Для некоторых классов задач он является и достаточным, но это требует доказательства в каждом конкретном случае.

Введение Гамильтониана H позволяет упростить запись основного уравнения (2) и сопряженного (11)

 

        (17)

Вместе с краевыми условиями эта система представляет собой двухточечную нелинейную краевую задачу. Входящие в (17) управление выражается через и из условий оптимальности (16).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

11308. Эмиссия денег. Банковский мультипликатор 44 KB
  Лекция №2 Эмиссия денег. Банковский мультипликатор Банковская система должна обеспечивать национальное хозяйство денежными средствами в объеме который нужен для его нормального функционирования. Увеличение потребности экономики в деньгах в связи с ростом национа
11309. Деньги, денежное обращение, денежная масса, денежная база 87 KB
  Лекция №3 Деньги денежное обращение денежная масса денежная база Одним из важнейших показателей характеризующих денежнокредитную сферу и в частности денежный оборот является денежная масса. Денежная масса это совокупность денежных средств предназначенных...
11310. Банки: основные понятия 53 KB
  Лекция №6 Банки: основные понятия Банк от итал. banco лавка стол на которых менялы раскладывали монеты финансовокредитный институт основной функцией которого является оказание финансовых услуг юридическим и физическим лицам. Банковская система Российской Фе
11311. Виды банковских вкладов 43.5 KB
  Лекция Виды банковских вкладов В Гражданском кодексе говорится что вклады бывают двух видов: срочные; до востребования. В свою очередь в банковской практике вклады под проценты предлагаются трех видов: Расчетные; Расчетный вклад это по
11312. Логические основы цифровой техники 107.5 KB
  9 Тема №1 Логические основы цифровой техники Занятие 1. Алгебра логических высказываний Учебные методические и воспитательные цели: ...
11313. Методы синтеза цифровых устройств 162 KB
  Занятие 2. Методы синтеза цифровых устройств Учебные методические и воспитательные цели: 1. Изучить методы синтеза цифровых устройств. 2. Пок...
11314. Дешифраторы и шифраторы 198.5 KB
  Занятие. Шифраторы и дешифраторы Учебные методические и воспитательные цели. Изучить принципы построения кодирующих и декодирующих устройств. Показать приемы активизации аудитории. Воспитывать уважение к цифровым и импульсным устройствам.
11315. Мультиплексоры и преобразователи кодов 255.5 KB
  Занятие 2. Мультиплексоры и преобразователи кодов Учебные методические и воспитательные цели: 1. Изучить принципы построения преобразователей кодов мультиплексоров и демультиплексоров 2. Воспитывать стремление овладеть основами синтеза цифровых ...
11316. Триггеры с раздельным и счетным запуском 109 KB
  Занятие 3. Триггеры с раздельным и счетным запуском Учебные методические и воспитательные цели: Изучить принципы построения триггеров с раздельным и счетным запуском. Совершенствовать умение выделять главное для качественного конспектирования учебного мат...