9891

Принцип максимума Понтрягина.

Контрольная

Математика и математический анализ

Принцип максимума Понтрягина Предложен Л.С. Понтрягиным в 1956 г. Рассмотрим процесс, описываемый системой ОДУ: x - n-мерный вектор состояния (фазовые координаты) u - r-мерный вектор управляющих воздейств...

Русский

2013-03-18

84 KB

3 чел.

Принцип максимума Понтрягина

Предложен Л.С. Понтрягиным в 1956 г.

Рассмотрим процесс, описываемый системой ОДУ:

      (*)

x - n-мерный вектор состояния (фазовые координаты)

u – r-мерный вектор управляющих воздействий

f – n-мерная вектор-функция.

Так как t не входит в (*) явно, то система - автономная.

Любая система может быть сведена к (*), если положить .

Обычно на и накладываются ограничения.

Будем полагать

,          (**)

где U-замкнутая ограниченная область, не зависящая от x и t.

Управление  называется допустимым. Кроме того,  и удовлетворяет уравнению (*).

Примеры ограничений:

1)

2)

3)

Предполагаем также, что непрерывна и имеет непрерывные частные производные по .

Необходимо найти такое  при , чтобы система, двигаясь по траектории в соответствии с (*), обеспечивала минимум некоторого функционала J.

Обычно функционал J есть функция от части фазовых координат в начале и в конце траектории:

,       (***)

где  - некоторые составляющие вектора x в начале (t=0) и в конце траектории ( ).

В задаче на максимальное быстродействие

.

Полагая .

Часть фазовых координат, не вошедших в (***) может быть закреплена

,

.

Рассмотрим для простоты задачу с конечным интервалом времени, фиксированным левым концом и свободным правым.

     (1)

      (2)

Управление u(t) в силу ограничения (**) следует искать среди кусочно-непрерывных функций. (В вариационном исчислении искомое решение принадлежало классу непрерывных функций).

Пусть - оптимальная траектория и оптимальное управление. - это вектор, координаты которого могут иметь на отрезке  разрывы первого рода в конечном числе точек.

- бесконечно малая величина;

,  - бесконечно малый отрезок времени.

Дадим оптимальному управлению вариацию, заменив на бесконечно малом интервале на другое управление u, не меняя вне этого интервала.  Такая вариация называется "игольчатой".

Заметим, что приращения при  не обязаны быть сколь угодно малой величиной.

Игольчатая вариация относится к классу кусочно-непрерывных функций, среди которых мы ищем оптимальное управление.

Несмотря на то, что величина не является бесконечно малой, влияние этой вариации на последующее движение объекта бесконечно мало, т.к. влияние любого импульса (короткого) на систему оценивается величиной его площади (которая в нашем случае является бесконечно малой величиной).

В результате варьирования на бесконечно малом интервале траектория системы x, начиная с момента отличается от оптимальной траектории .

 

Начиная с момента , вариация траектории удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению с начальным условием:

     (3)

 

Формула (3) следует из разложения величин и в ряд Тейлора:

 

с учетом того, что = и принимая во внимание уравнение движения (2).

Согласно (2) приращение на интервале является решением уравнения

    (4)

с начальным условием (3), имеющим порядок малости .

Т.к. решения дифференциальных уравнений непрерывно зависят от начальных условий, то

.       (5)

Поэтому в выражении (4) правую часть можно линеаризовать, разлагая в ряд Тейлора и отбрасывая члены порядка и выше.

    (6)

Т.к. , то первая компонента вектора в точке есть вариация функции , причем

       (7)

в силу оптимальности траектории .

Введем функцию , удовлетворяющую условию

     (8)

Уравнение для следует из условия (8) постоянства скалярного произведения для каждого :

  . (9)

С учетом (6) (при ):

    (10)

Из условия произвольности

   (11)

Из (7)-(8) следуют граничные условия:

 

      (12)

Решая (11) при условии (12), находим и тогда условия (7)-(8) приобретают вид:

.   (13)

Вместо подставляем его значение (3), выраженное через правую часть уравнения (2) и получаем неравенство

   (14)

Функция называется функцией Гамильтона.

Из (14) следует, что на оптимальной траектории функция Гамильтона достигает своего максимума.

 

Момент начальной вариации был выбран произвольно на , следовательно это верно для всего интервала.

(16)

 

Это и есть принцип максимума Понтрягина.

Принцип максимума является необходимым условием оптимальности.

Для некоторых классов задач он является и достаточным, но это требует доказательства в каждом конкретном случае.

Введение Гамильтониана H позволяет упростить запись основного уравнения (2) и сопряженного (11)

 

        (17)

Вместе с краевыми условиями эта система представляет собой двухточечную нелинейную краевую задачу. Входящие в (17) управление выражается через и из условий оптимальности (16).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35431. ПСИХОДИАГНОСТИКА ХАРАКТЕРА И МОТИВАЦИИ 335.5 KB
  В выражении “это характерно для него†содержится смысл что определенные действия поступки человека являются для него типичными закономерными. Еще в IV веке Аристотель сделал попытку описать характер как центральное личностное образование определяющее лицо индивидуальность человека. Характер человека имеет оценочное значение. В психологии характер определяется как совокупность устойчивых индивидуальных свойств человека складывающихся и проявляющихся в деятельности и общении обусловливающая типичные для него способы поведения и...
35432. Психодиагностика. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ О ПСИХОМЕТРИИ И ОБЛАСТИ ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ 332.5 KB
  Под ВЫБОРКОЙ понимается случайным образом формируемое из генеральной или выборочной совокупности множество заданий или испытуемых. В совокупности сведений характеризующих валидность теста содержится информация об адекватности применяемой модели деятельности с точки зрения отражения в ней изучаемой психологической особенности о степени однородности заданий субтестов включенных в тест их сопоставимости при количественной оценке результатов теста в целом. для проверки нет ли упущений: преобразуйте этот список в перечень заданий...
35433. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ О ПСИХОДИАГНОСТИКЕ ЛИЧНОСТИ И ПСИХИЧЕСКИХ СВОЙСТВ 378.5 KB
  Понятие о природных особенностях человека Свойства нервной системы находят свое отражение в темпераменте человека. Дальнейшее изучение темперамента развивалось в двух направлениях: изучение индивидуальных свойств и закономерностей работы нервной системы а не телесной организации; применение факторного анализа. В отечественной психологии изучение свойств нервной системы под руководством И.Павлова завершилось выделением типов нервной системы или типов высшей нервной деятельности.
35434. СОЦИАЛЬНАЯ ПСИХОЛОГИЯ 305.5 KB
  Общая характеристика группы в социальной психологии 6 Классификация групп 7 Основные социальнопсихологические характеристики малой группы 10 Структура группы 12 2. Генезис и динамика малой группы 16 Группа как развивающаяся система 16 Механизмы и этапы развития малой группы 16 Проблема коллектива в отечественной социальной психологии . Группа как субъект совместной деятельности 34 Признаки и структура групповой деятельности 34 Социальнопсихологические...
35435. Социальная психология личности 71 KB
  Социально-психологические теории личности в социальной психологии. Парыгина о социальной психологии личности. Содержание социально-психологического исследования личности.
35436. СОЦИАЛЬНАЯ ПСИХОЛОГИЯ КАК НАУКА. ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ СОЦИАЛЬНОЙ ПСИХОЛОГИИ 330.5 KB
  ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ СОЦИАЛЬНОЙ ПСИХОЛОГИИ Юнита 1. История развития социальной психологии. Проблема личности в социальной психологии. Основные направления прикладных исследований в социальной психологии.
35437. СОЦИАЛЬНО-ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ОБЩЕНИЯ 654.5 KB
  Проблема межличностных отношений и общения в социальной психологии 6 Общая характеристика межличностных отношений как социально-психологического феномена 6 Общение в системе межличностных отношений и взаимодействия людей 10 Структура содержание и формы общения 12 Основные функции и стороны процесса общения: коммуникативная интерактивная перцептивная 19 2. Коммуникативные средства общения и экспрессивный репертуар человека 27 Психологические условия эффективной коммуникации...
35438. Потоковість будівельних процесів 26 KB
  Техніка безпеки у будівництві вирішує питання запобігання травматизму і виключення нещасних випадків на виробництві.
35439. Організація робочого місця і праці мулярів 62.5 KB
  Виходячи з цього висоту ярусу кладки за товщини стіни до двох цеглин вибирають близько 12 м а за товщини у три цеглини 09 м. У разі кладки стін з великим числом прорізів або архітектурних деталей стовпів і стін завтовшки в одну і півтори цеглини а також перегородок у півцеглини роботи виконує ланка двійка див. Кладку суцільних стін завтовшки у дві цеглини з однорядним перевязуванням та завтовшки півтори цеглини з багаторядним перевязуванням доцільно проводити ланкою трійка див. Ефективною є кладка стін простої та середньої...