9891

Принцип максимума Понтрягина.

Контрольная

Математика и математический анализ

Принцип максимума Понтрягина Предложен Л.С. Понтрягиным в 1956 г. Рассмотрим процесс, описываемый системой ОДУ: x - n-мерный вектор состояния (фазовые координаты) u - r-мерный вектор управляющих воздейств...

Русский

2013-03-18

84 KB

3 чел.

Принцип максимума Понтрягина

Предложен Л.С. Понтрягиным в 1956 г.

Рассмотрим процесс, описываемый системой ОДУ:

      (*)

x - n-мерный вектор состояния (фазовые координаты)

u – r-мерный вектор управляющих воздействий

f – n-мерная вектор-функция.

Так как t не входит в (*) явно, то система - автономная.

Любая система может быть сведена к (*), если положить .

Обычно на и накладываются ограничения.

Будем полагать

,          (**)

где U-замкнутая ограниченная область, не зависящая от x и t.

Управление  называется допустимым. Кроме того,  и удовлетворяет уравнению (*).

Примеры ограничений:

1)

2)

3)

Предполагаем также, что непрерывна и имеет непрерывные частные производные по .

Необходимо найти такое  при , чтобы система, двигаясь по траектории в соответствии с (*), обеспечивала минимум некоторого функционала J.

Обычно функционал J есть функция от части фазовых координат в начале и в конце траектории:

,       (***)

где  - некоторые составляющие вектора x в начале (t=0) и в конце траектории ( ).

В задаче на максимальное быстродействие

.

Полагая .

Часть фазовых координат, не вошедших в (***) может быть закреплена

,

.

Рассмотрим для простоты задачу с конечным интервалом времени, фиксированным левым концом и свободным правым.

     (1)

      (2)

Управление u(t) в силу ограничения (**) следует искать среди кусочно-непрерывных функций. (В вариационном исчислении искомое решение принадлежало классу непрерывных функций).

Пусть - оптимальная траектория и оптимальное управление. - это вектор, координаты которого могут иметь на отрезке  разрывы первого рода в конечном числе точек.

- бесконечно малая величина;

,  - бесконечно малый отрезок времени.

Дадим оптимальному управлению вариацию, заменив на бесконечно малом интервале на другое управление u, не меняя вне этого интервала.  Такая вариация называется "игольчатой".

Заметим, что приращения при  не обязаны быть сколь угодно малой величиной.

Игольчатая вариация относится к классу кусочно-непрерывных функций, среди которых мы ищем оптимальное управление.

Несмотря на то, что величина не является бесконечно малой, влияние этой вариации на последующее движение объекта бесконечно мало, т.к. влияние любого импульса (короткого) на систему оценивается величиной его площади (которая в нашем случае является бесконечно малой величиной).

В результате варьирования на бесконечно малом интервале траектория системы x, начиная с момента отличается от оптимальной траектории .

 

Начиная с момента , вариация траектории удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению с начальным условием:

     (3)

 

Формула (3) следует из разложения величин и в ряд Тейлора:

 

с учетом того, что = и принимая во внимание уравнение движения (2).

Согласно (2) приращение на интервале является решением уравнения

    (4)

с начальным условием (3), имеющим порядок малости .

Т.к. решения дифференциальных уравнений непрерывно зависят от начальных условий, то

.       (5)

Поэтому в выражении (4) правую часть можно линеаризовать, разлагая в ряд Тейлора и отбрасывая члены порядка и выше.

    (6)

Т.к. , то первая компонента вектора в точке есть вариация функции , причем

       (7)

в силу оптимальности траектории .

Введем функцию , удовлетворяющую условию

     (8)

Уравнение для следует из условия (8) постоянства скалярного произведения для каждого :

  . (9)

С учетом (6) (при ):

    (10)

Из условия произвольности

   (11)

Из (7)-(8) следуют граничные условия:

 

      (12)

Решая (11) при условии (12), находим и тогда условия (7)-(8) приобретают вид:

.   (13)

Вместо подставляем его значение (3), выраженное через правую часть уравнения (2) и получаем неравенство

   (14)

Функция называется функцией Гамильтона.

Из (14) следует, что на оптимальной траектории функция Гамильтона достигает своего максимума.

 

Момент начальной вариации был выбран произвольно на , следовательно это верно для всего интервала.

(16)

 

Это и есть принцип максимума Понтрягина.

Принцип максимума является необходимым условием оптимальности.

Для некоторых классов задач он является и достаточным, но это требует доказательства в каждом конкретном случае.

Введение Гамильтониана H позволяет упростить запись основного уравнения (2) и сопряженного (11)

 

        (17)

Вместе с краевыми условиями эта система представляет собой двухточечную нелинейную краевую задачу. Входящие в (17) управление выражается через и из условий оптимальности (16).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35599. Геологическая деятельность озер и болот 17.94 KB
  Источниками питания озер служат атмосферные воды поверхностный сток и подземная разгрузка водоносных горизонтов; Основную массу воды в озера поставляют реки. По величине озера сильно различаются. Существенно различаются озера по глубине солености воды и т. По этому признаку выделяются озера экзогенные происхождение которых связано с поверхностными факторами и эндогенные появление которых обусловлено поверхностным проявлением глубинных факторов.
35600. Тектонические движения 15.19 KB
  Хайн разделил все тектонические движения по уровню их зарождения в земном шаре. Он все тектонические движения разделил на: 1 Общие колебания в ядре Земли; 2 Сверхглубинные движения в нижней мантии; 3 Глубинные движения в верхней мантии в результате физикохимических процессов; 4 Коровые движения производные от глубинных движений делятся на складчатые и разрывные; 5 Покровные поверхностные возникают в результате перетока пластичных масс или гравитационного соскальзывания крупных пластин осадочного чехла что приводит к образованию...
35601. Понятие о геосинклиналях 15.47 KB
  В начальных стадиях развития Геосинклиналей преобладает погружение всей зоны и накопление внутри нее мощных толщ преимущественно обломочных и нередко основных эффузивных пород. В дальнейшем процессе развития Геосинклиналей усиливается интрузивная деятельность а в отдельных местах происходит образование складок завершающееся поднятием а затем новым погружением этих участков что обусловливает перерывы в осадконакоплении в различных местах. Заключительные этапы развития Геосинклиналей связаны с усилением складкообразования и обычно с...
35602. Этапы развития земной коры 15.45 KB
  Важным фактором развития Земли на этом этапе и несколько позднее по аналогии с Луной принимается предполагаемая метеоритная бомбардировка спровоцировавшая разогрев и интенсивный базальтовый вулканизм. На этом этапе развития началось расслоение Земли на оболочки ядро внутреннее и возможно внешнее мантию кору и атмосферу. Раннеархейский этап 4035 млрд.
35603. Ответы к зачету по геологии 113.87 KB
  Кювье применили палеонтологические методы определения возраста горных пород что позволило установить основные этапы развития Земли и земной коры. Основу геологических знаний дают полевые исследования местности где изучаются геологические породы особенности залегания слоев и геологических тел которые можно изучить в естественных обнажениях шурфах и искусственных карьерах. В витринах к данным стендам представлены образцы разнообразных микроразрывов зеркал скольжения кливажа складок разной формы различных пород. По занимаемому в составе...
35604. Физика. Модели в механике 2.06 MB
  Под воздействием тел друг на друга тела могут деформироваться т. Абсолютно твердым телом называется тело которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками или точнее между двумя частицами этого тела остается постоянным. Любое движение твердого тела можно представить как комбинацию поступательного и вращательного движений. Вращательное движение это движение при котором все точки тела движутся по окружностям центры которых лежат на одной и той же прямой называемой осью вращения.
35605. Магнитики из гипса. Мастер-класс 760 KB
  Мастеркласс Вы видите эти магнитики на холодильник А знаете из чего они Ответ прост: из гипса. Итак нам понадобится: гипс; собственно сами магниты; формы для отливки; акриловые краски; универсальный клей. Где всё это искать Гипс как и магниты можно найти в магазинах для рукоделия.
35606. Магнитики на холодильник 26.5 KB
  Магнитики на холодильник могут наклеиваться с практической целью чтобы например оставлять заметки на видном месте или научить ребенка читать или считать. В других случаях многочисленные магнитики могут рассказать о продуктах которые съели их хозяева или о местах где они побывали. Очень интересно будет смотреться если вы сделаете магнитики на холодильник своими руками. Это достаточно творческое развивающее фантазию занятие которое может превратить ваши магнитики на холодильник в поистине уникальные если можно так сказать дизайнерские...
35607. Магнітики на холодильник із гіпса 14.55 MB
  Перший етап роботи Спочатку потрібно підготувати місце для роботи і застилити стіл газетами і надіти фартух щоб не забруднитися. Розчин готовий Другий етап роботи Тепер можна заливати готовий розчин у формочки мишізмії та єнота. Третій етап роботи Минув день.