9891

Принцип максимума Понтрягина.

Контрольная

Математика и математический анализ

Принцип максимума Понтрягина Предложен Л.С. Понтрягиным в 1956 г. Рассмотрим процесс, описываемый системой ОДУ: x - n-мерный вектор состояния (фазовые координаты) u - r-мерный вектор управляющих воздейств...

Русский

2013-03-18

84 KB

3 чел.

Принцип максимума Понтрягина

Предложен Л.С. Понтрягиным в 1956 г.

Рассмотрим процесс, описываемый системой ОДУ:

      (*)

x - n-мерный вектор состояния (фазовые координаты)

u – r-мерный вектор управляющих воздействий

f – n-мерная вектор-функция.

Так как t не входит в (*) явно, то система - автономная.

Любая система может быть сведена к (*), если положить .

Обычно на и накладываются ограничения.

Будем полагать

,          (**)

где U-замкнутая ограниченная область, не зависящая от x и t.

Управление  называется допустимым. Кроме того,  и удовлетворяет уравнению (*).

Примеры ограничений:

1)

2)

3)

Предполагаем также, что непрерывна и имеет непрерывные частные производные по .

Необходимо найти такое  при , чтобы система, двигаясь по траектории в соответствии с (*), обеспечивала минимум некоторого функционала J.

Обычно функционал J есть функция от части фазовых координат в начале и в конце траектории:

,       (***)

где  - некоторые составляющие вектора x в начале (t=0) и в конце траектории ( ).

В задаче на максимальное быстродействие

.

Полагая .

Часть фазовых координат, не вошедших в (***) может быть закреплена

,

.

Рассмотрим для простоты задачу с конечным интервалом времени, фиксированным левым концом и свободным правым.

     (1)

      (2)

Управление u(t) в силу ограничения (**) следует искать среди кусочно-непрерывных функций. (В вариационном исчислении искомое решение принадлежало классу непрерывных функций).

Пусть - оптимальная траектория и оптимальное управление. - это вектор, координаты которого могут иметь на отрезке  разрывы первого рода в конечном числе точек.

- бесконечно малая величина;

,  - бесконечно малый отрезок времени.

Дадим оптимальному управлению вариацию, заменив на бесконечно малом интервале на другое управление u, не меняя вне этого интервала.  Такая вариация называется "игольчатой".

Заметим, что приращения при  не обязаны быть сколь угодно малой величиной.

Игольчатая вариация относится к классу кусочно-непрерывных функций, среди которых мы ищем оптимальное управление.

Несмотря на то, что величина не является бесконечно малой, влияние этой вариации на последующее движение объекта бесконечно мало, т.к. влияние любого импульса (короткого) на систему оценивается величиной его площади (которая в нашем случае является бесконечно малой величиной).

В результате варьирования на бесконечно малом интервале траектория системы x, начиная с момента отличается от оптимальной траектории .

 

Начиная с момента , вариация траектории удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению с начальным условием:

     (3)

 

Формула (3) следует из разложения величин и в ряд Тейлора:

 

с учетом того, что = и принимая во внимание уравнение движения (2).

Согласно (2) приращение на интервале является решением уравнения

    (4)

с начальным условием (3), имеющим порядок малости .

Т.к. решения дифференциальных уравнений непрерывно зависят от начальных условий, то

.       (5)

Поэтому в выражении (4) правую часть можно линеаризовать, разлагая в ряд Тейлора и отбрасывая члены порядка и выше.

    (6)

Т.к. , то первая компонента вектора в точке есть вариация функции , причем

       (7)

в силу оптимальности траектории .

Введем функцию , удовлетворяющую условию

     (8)

Уравнение для следует из условия (8) постоянства скалярного произведения для каждого :

  . (9)

С учетом (6) (при ):

    (10)

Из условия произвольности

   (11)

Из (7)-(8) следуют граничные условия:

 

      (12)

Решая (11) при условии (12), находим и тогда условия (7)-(8) приобретают вид:

.   (13)

Вместо подставляем его значение (3), выраженное через правую часть уравнения (2) и получаем неравенство

   (14)

Функция называется функцией Гамильтона.

Из (14) следует, что на оптимальной траектории функция Гамильтона достигает своего максимума.

 

Момент начальной вариации был выбран произвольно на , следовательно это верно для всего интервала.

(16)

 

Это и есть принцип максимума Понтрягина.

Принцип максимума является необходимым условием оптимальности.

Для некоторых классов задач он является и достаточным, но это требует доказательства в каждом конкретном случае.

Введение Гамильтониана H позволяет упростить запись основного уравнения (2) и сопряженного (11)

 

        (17)

Вместе с краевыми условиями эта система представляет собой двухточечную нелинейную краевую задачу. Входящие в (17) управление выражается через и из условий оптимальности (16).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52109. Сценарий выступления агитбригады молодых творческих педагогов 88.5 KB
  Карманова Деньгиденежки затем на мотив песни группы Гринджоли Разом нас багато Разом вас багато Всіх не прогодувати Председатель ПК: ах так Ну теперь держитесь отходит в сторону зовёт членов ПК Члены Пк берут транспаранты: ПК нас защитит и ходят по сцене со словами: Разом нас багато Всіх не подолати 3 раза Министр выглядывает кусает губыприносит приказ на повышение З п председателю ПК Все радуются обнимаютсяуходят со сцены Вера Васильевна: вот это да к самому министру не побоялись поехать Ирина Владимировна:...
52110. World AIDS Day is December 1st 70.5 KB
  Ukraine has an HIV/AIDS epidemic. UNAIDS estimates the number of people infected with HIV/AIDS to be between 260 000 and 590 000. The cases of HIV have doubled every year for the past three years. Experts estimate that 1.4 percent of the adult population is HIV positive or has AIDS. This is the highest rate of infection in Eastern Europe and the CIS states. Unfortunately, it is also estimated that about 90 percent of these people don't know, and arent registered with the government thus not receiving the treatment.
52111. Оглянись внимательно вокруг 49.5 KB
  Что по вашему мнению мы должны заложить в фундамент Дома личности способности здоровье окружение Стены можно сравнить с характером человека Их каких кирпичиков по вашему мнению мы возведём стены Дома личности доброта терпение любовь дружба понимание милосердие терпение уважение целеустремленностть Что может быть светом в окошке нашего дома Умение любить людей Что украшает наш дом жизнерадостность оптимизм внешность увлечения духовность И наконец что венчает любой дом Его крыша. Все названные...
52112. Активизация учащегося на уроке как фактор повышения его эффективности 136.5 KB
  В учебном заведении особое место занимают такие формы занятий которые обеспечивают активное участие в уроке каждого учащегося повышают авторитет знаний и индивидуальную ответственность учащихся за результаты учебного труда. Вопросы и их роль в активизации деятельности учащихся [7] 2. Приемы активизации [8] Уровни познавательной активности [9] Принципы активизации познавательной деятельности учащихся. [17] Факторы побуждающие учащихся к активности.
52113. АКТИВІЗАЦІЯ ПІЗНАВАЛЬНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ УЧНІВ НА УРОКАХ УКРАЇНСЬКОЇ МОВИ ТА ЛІТЕРАТУРИ 115 KB
  Сучасний етап історичного розвитку України характеризується істотними змінами в житті її народу оновленням усіх сфер діяльності людини переоцінкою та утвердженням у свідомості нації нових світоглядних орієнтацій. Згідно із законом України Про освіту Державною національною доктриною розвитку освіти України в XXI столітті Концепцією загальної середньої освіти ми маємо здійснити кардинальний перехід від традиційного інформаційнопояснювального навчання зорієнтованого на передачу готових знань до особистісно розвивального спрямованого не...
52114. Створення на уроці умов для підвищення пізнавальної акивності учнів 130 KB
  Нові завдання шкільної освіти в Україні що спрямовані на гуманізацію та демократизацію всього навчального процесу в школі визначають нові пріоритети навчання і виховання потребують формування ініціативної особистості здатної до раціональної творчої праці. Тому ми не повинні забувати про те що сучасні діти не такі якими були ми отже вони потребують від сучасного навчання чогось нового. Формування пізнавального інтересу необхідна умова шкільного навчання. Стійкий пізнавальний інтерес ознака готовності дитини до навчання в школі.
52115. Акваріум 1.51 MB
  Мета: освітня: закріпити знання студентів про влаштування акваріуму в ДНЗ підбір рибок та правила догляду за ними.html на цій сторінці розміщені поради щодо влаштування акваріуму догляду за ним підбору риб та ін. Саме з посмішкою ви повинні заходити до малят у дитячий садок і нести їм лише позитивні емоції не забувати частіше посміхатись адже посмішка це ключик який відкриває найпотаємніше в дитячих душах Оголошення теми і мети заняття: Сьогодні ми поговоримо про влаштування акваріуму та його мешканців. Чи бачили ви проходячи...
52117. Лицеисты за здоровое будущее 59 KB
  Ведущий 1: Здравствуйте Люди часто говорят друг другу при встрече это хорошее доброе слово Ведущий 2: Они желают друг другу здоровья. Вот и мы обращаемся к Вам здравствуйте дорогие друзья и учителя Гости Ведущий 1: А вы знаете что дороже всего на свете Конечно это жизнь это здоровье. Ведущий 2: Ещё в Древней Руси говорили: Здоровье дороже богатства. Ведущий 1: Здоровье не купишь.