9892

Классические методы безусловной оптимизации

Реферат

Математика и математический анализ

Классические методы безусловной оптимизации Классический подход к задаче определения локальных и глобальных минимумов состоит в использовании методов математического анализа для поиска уравнений, которым должны удовлетворять эти точки, и для решения...

Русский

2013-03-18

101 KB

10 чел.

Классические методы безусловной оптимизации

Классический подход к задаче определения локальных и глобальных минимумов состоит в использовании методов математического анализа для поиска уравнений, которым должны удовлетворять эти точки, и для решения этих уравнений.

Определение 1.1. Функция f(x) одной переменной имеет локальный минимум в точке x, если существует , такая, что  для всех , то есть если существует некоторая окрестность точки , в которой значение функции в любой ее точке больше, чем .

Определение 1.2. Функция имеет глобальный минимум в точке , если  для всех x из области определения f(x).

     

0

      

   

Из рисунка 1 видно, что в точках и касательная к графику функции будет параллельна оси OX, а это означает, что производная функции в этих точках будет равна нулю. Следовательно, и будут решениями уравнения .

Однако это же справедливо и для точки максимума , и для точки перегиба . Таким образом, найденное уравнение является необходимым условием минимума, но не является достаточным.

В точках и производная  меняет знак с отрицательного на положительный, в - с положительного на отрицательный, в точке производная знак не меняет. Следовательно, в точке минимума производная является возрастающей функцией. Степень же возрастания измеряется второй производной, то есть в нашем случае , , . Однако если , то ситуация остается неопределенной.

Надежное основание для полученных результатов дает разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки ( , ).

 

Если - точка минимума, то для любого достаточно малого .

Если , то отрицательное h сделает отрицательной разность , что невозможно в точке минимума. Если, то произойдет то же самое, если выбрать положительное h. Следовательно,  - это необходимое условие существования минимума в точке .

Так как всегда, то при  и  всегда выполняется , то есть   - точка минимума, а при ,  (h - любое) и - точка максимума. Следовательно, это достаточные условия.

Если же , то рассуждения, аналогичные проведенным для первой производной, можно повторить для  и так далее.

Это позволяет сформулировать следующее правило:

Теорема 1(необходимое и достаточное условие существования экстремума функций одной переменной). 

Если функция и ее производные непрерывны, то точка является точкой экстремума (максимума или минимума) тогда и только тогда, когда порядок ее первой, не обращающейся в ноль в точке производной есть четное число. При этом, если , то - точка максимума, если , то - точка минимума.

Таким образом, при классическом подходе для поиска минимума функции одной переменной необходимо решить уравнение  и установить знак  в полученных точках. Аналитическое решение такого уравнения в общем случае невозможно, поэтому используются методы приближенного решения уравнения , известные из математического анализа (методы Ньютона, бисекций, и т.д.).

Рассмотрим функцию   действительных переменных. Введем матричные обозначения для точки в n-мерном пространстве, градиента (вектора частных производных первого порядка функции f) и гессиана (матрицы частных производных второго порядка):

 - точка в n-мерном пространстве,

- градиент,

- гессиан (матрица Гессе).

- элемент -  частная производная второго порядка.

Напомним, что - симметрическая матрица.

Определение 3. Функция имеет локальный минимум в точке , если существует окрестность точки , такая, что во всех точках этой окрестности, то есть существует такая >0, что для всех  справедливо .

Определение 4. Если для всех из области определения функции f, то - точка глобального минимума.

Предполагая непрерывность и всех ее частных производных, можно обобщить классический подход на случай n2.

Запишем разложение функции в ряд Тейлора:

=  .   H = (h1, h2, . . . , hn)T.

Тогда, если - точка минимума функции , то каждая первая частная производная  должна обращаться в ноль в точке , иначе соответствующим выбором можно будет добиться того, что разность будет отрицательна.

Следовательно, необходимое условие существования минимума в точке :

  .

Тогда знак разности определяется членом , который положителен для всех , если матрица положительно определена, и отрицателен при отрицательно определенном гессиане.

Достаточное условие минимума:

- положительно определена.

Достаточное условие максимума:

- отрицательно определена.


Пример:

, тогда

положительно определена при любом Х,

поэтому точка (2, 4, 6) является точкой локального минимума, а так как это единственная стационарная точка, то она же является и точкой глобального минимума.

Таким образом, для решения задачи оптимизации классическим методом необходимо решить систему уравнений , что невозможно сделать аналитически за исключением очень узкого класса таких систем (например, система линейных уравнений невысокого порядка). Затем придется еще устанавливать определенность гессиана, что тоже является совсем нетривиальной задачей в случае больших размерностей. Все это приводит к необходимости разрабатывать итерационные процедуры решения задач оптимизации.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5706. Редагування текстів в MS Word 40.5 KB
  Редагування текстів Автозаміна Автозаміна - це автоматичне виправлення помилок і неправильних слів. Крім того, автозаміна дає змогу за допомогою кількох символів вставити великий текстовий фрагмент. Для настроювання механізму автозаміни потрібн...
5707. Інтернет як джерело банківської, фінансової і підприємницької інформації 131 KB
  Інтернет як джерело банківської, фінансової і підприємницької інформації Банківська і підприємницька інформація як підсистеми економічної інформації 1. Загальна характеристика дисципліни, її місце в системі підготовки бакалаврів зі спеціал...
5708. Педагогіка вищої школи як наука 74 KB
  Педагогіка вищої школи як наука План Предмет, категорії та основні завдання педагогіки вищої школи. Місце педагогіки вищої школи в системі педагогічних наук та її зв’язок з іншими науками. Сучасні методологічні аспекти педагог...
5709. Программирование на языках среднего уровня С/С++ 689 KB
  Предисловие Настоящий конспект лекций посвящен программированию на языках среднего уровня С/С++, в нем рассмотрен объектно-ориентированный подход программирования. Условно конспект лекций можно разделить на две части: первая часть посвящена основным...
5710. Теория государства и права. Теории происхождения и становления государства 209 KB
  Тема 1. Учение о государстве 1.1. Теории происхождения и становления государства. 2. Классовая теория, связывает происхождение государства с возникновением производительной экономики, получения избыточного продукта. Согласно её формуле, ...
5711. Основи охорони праці. Основні принципи державної політики в галузі охорони праці в навчальних закладах 42.5 KB
  Предмет, структура, мета курсу Основи охорони праці Основні принципи державної політики в галузі охорони праці. Організація охорони праці у навчальних закладах. Охорона праці, згідно закону України Про охорону п...
5712. Основні поняття і категорії статистики 60.5 KB
  Основні поняття і категорії статистики Зміст поняття статистика. Слово статистика (від lat. status – стан речей) означає кількісний облік масових явищ і процесів (наприклад, соціально-економічних, соціально-демографічних тощо). В сучасних соціа...
5713. Місце, роль та завдання органів кримінальної юрисдикції 118 KB
  ПЛАН 1. Загальна характеристика органів кримінальної юрисдикції. 2. Функції органів кримінальної юрисдикції РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА: Конституція України від 28 червня 1996 р. Кримінально-процесуальний кодекс України від....
5714. Расчет грузоподъемного механизма башенного крана 621.5 KB
  Грузоподъемные машины - высокоэффективное средство комплексной механизации и автоматизации подъемно-транспортных, погрузочно-разгрузочных и складских работ. Применение таких машин уменьшает объем использования тяжелых ручных ...