9892

Классические методы безусловной оптимизации

Реферат

Математика и математический анализ

Классические методы безусловной оптимизации Классический подход к задаче определения локальных и глобальных минимумов состоит в использовании методов математического анализа для поиска уравнений, которым должны удовлетворять эти точки, и для решения...

Русский

2013-03-18

101 KB

10 чел.

Классические методы безусловной оптимизации

Классический подход к задаче определения локальных и глобальных минимумов состоит в использовании методов математического анализа для поиска уравнений, которым должны удовлетворять эти точки, и для решения этих уравнений.

Определение 1.1. Функция f(x) одной переменной имеет локальный минимум в точке x, если существует , такая, что  для всех , то есть если существует некоторая окрестность точки , в которой значение функции в любой ее точке больше, чем .

Определение 1.2. Функция имеет глобальный минимум в точке , если  для всех x из области определения f(x).

     

0

      

   

Из рисунка 1 видно, что в точках и касательная к графику функции будет параллельна оси OX, а это означает, что производная функции в этих точках будет равна нулю. Следовательно, и будут решениями уравнения .

Однако это же справедливо и для точки максимума , и для точки перегиба . Таким образом, найденное уравнение является необходимым условием минимума, но не является достаточным.

В точках и производная  меняет знак с отрицательного на положительный, в - с положительного на отрицательный, в точке производная знак не меняет. Следовательно, в точке минимума производная является возрастающей функцией. Степень же возрастания измеряется второй производной, то есть в нашем случае , , . Однако если , то ситуация остается неопределенной.

Надежное основание для полученных результатов дает разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки ( , ).

 

Если - точка минимума, то для любого достаточно малого .

Если , то отрицательное h сделает отрицательной разность , что невозможно в точке минимума. Если, то произойдет то же самое, если выбрать положительное h. Следовательно,  - это необходимое условие существования минимума в точке .

Так как всегда, то при  и  всегда выполняется , то есть   - точка минимума, а при ,  (h - любое) и - точка максимума. Следовательно, это достаточные условия.

Если же , то рассуждения, аналогичные проведенным для первой производной, можно повторить для  и так далее.

Это позволяет сформулировать следующее правило:

Теорема 1(необходимое и достаточное условие существования экстремума функций одной переменной). 

Если функция и ее производные непрерывны, то точка является точкой экстремума (максимума или минимума) тогда и только тогда, когда порядок ее первой, не обращающейся в ноль в точке производной есть четное число. При этом, если , то - точка максимума, если , то - точка минимума.

Таким образом, при классическом подходе для поиска минимума функции одной переменной необходимо решить уравнение  и установить знак  в полученных точках. Аналитическое решение такого уравнения в общем случае невозможно, поэтому используются методы приближенного решения уравнения , известные из математического анализа (методы Ньютона, бисекций, и т.д.).

Рассмотрим функцию   действительных переменных. Введем матричные обозначения для точки в n-мерном пространстве, градиента (вектора частных производных первого порядка функции f) и гессиана (матрицы частных производных второго порядка):

 - точка в n-мерном пространстве,

- градиент,

- гессиан (матрица Гессе).

- элемент -  частная производная второго порядка.

Напомним, что - симметрическая матрица.

Определение 3. Функция имеет локальный минимум в точке , если существует окрестность точки , такая, что во всех точках этой окрестности, то есть существует такая >0, что для всех  справедливо .

Определение 4. Если для всех из области определения функции f, то - точка глобального минимума.

Предполагая непрерывность и всех ее частных производных, можно обобщить классический подход на случай n2.

Запишем разложение функции в ряд Тейлора:

=  .   H = (h1, h2, . . . , hn)T.

Тогда, если - точка минимума функции , то каждая первая частная производная  должна обращаться в ноль в точке , иначе соответствующим выбором можно будет добиться того, что разность будет отрицательна.

Следовательно, необходимое условие существования минимума в точке :

  .

Тогда знак разности определяется членом , который положителен для всех , если матрица положительно определена, и отрицателен при отрицательно определенном гессиане.

Достаточное условие минимума:

- положительно определена.

Достаточное условие максимума:

- отрицательно определена.


Пример:

, тогда

положительно определена при любом Х,

поэтому точка (2, 4, 6) является точкой локального минимума, а так как это единственная стационарная точка, то она же является и точкой глобального минимума.

Таким образом, для решения задачи оптимизации классическим методом необходимо решить систему уравнений , что невозможно сделать аналитически за исключением очень узкого класса таких систем (например, система линейных уравнений невысокого порядка). Затем придется еще устанавливать определенность гессиана, что тоже является совсем нетривиальной задачей в случае больших размерностей. Все это приводит к необходимости разрабатывать итерационные процедуры решения задач оптимизации.

 


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4755. Работа с файлами. Организация доступа к данным записанным в файл 1.15 MB
  Файлы Чтобы сохранять входные данные и результаты неограниченно долго и иметь возможность воспользоваться ими в любой момент используют файлы на магнитных носителях информации. По способу доступа к информации, записанной в файл, различают файлы прям...
4756. Проектирование и разработка типов на языке C# в соответствии со стандартами принятыми в спецификации CTS (Система общих типов) 343 KB
  Проектирование и разработка типов на языке C# в соответствии со стандартами принятыми в спецификации CTS (Система общих типов). Лекция. Введение. Общие сведения о системе общих типов (CTS). Типы значений и ссылочные типы. Встроенные типы. Определени...
4757. Использование библиотеки классов. NET Framework (Visual C#) 751 KB
  Использование библиотеки классов. NET Framework (Visual C#) Библиотека классов платформы .NET Framework Framework Class Library, FCL содержит определения типов, например, классов, структур, перечислимых типов, интерфейсов и.т.д. Каждый тип пре...
4758. Пространство имен System IO в Visual C# 41 KB
  Пространство имен System IO Задание: создать проект VisualC# Windows Application и выполнить примеры Классы File, FileInfo, Directory, DirectoryInfo, Path содержат методы для работы с файлами и каталогами (папками). Классы File и Dir...
4759. Линейное программирование. Сведения из теории 436.5 KB
  Математическое программирование представляет собой математическую дисциплину, занимающуюся изучением экстремальных задач и методов их решения. В общем случае постановка задачи математического программирования состоит в нахождении наибольшего...
4760. Парадигмы и стили программирования 133.5 KB
  Парадигмы и стили программирования Исторический очерк. Стили программирования. Понятия парадигмы программирования. Основные виды парадигм. Особенности функционального и логического программирования. Исторический о...
4761. Введение в язык Пролог (Prolog) 55.5 KB
  Введениев язык Пролог История происхождения языка Prolog. Prolog в России Версии языка Пролог Диалект SWI-Prolog Prolog — это язык программирования для символических, нечисловых вычислений. Он особенно хорошо...
4762. Основные понятия языка Prolog 112 KB
  Основные понятия языка Prolog. Теоретические принципы Пролога Синтаксис языка Prolog Теоретические принципы Пролога Пролог существенно отличается от языков, традиционно используемых в программировании. В языках Бейсик, Алгол и Паскаль о...
4763. Математическое программирование. Линейное программирование 1.79 MB
  Переход от административных к экономическим методам управления производством, развитие рыночных отношений, распространение договорных цен – все это нацеливает экономические службы на поиск наилучших хозяйственных решений, обеспечивающи...