9897

Вариация функционала

Реферат

Математика и математический анализ

Вариация функционала Вариация одно из центральных понятий при изучении нелинейных функционалов, оно играет ту же роль, что понятие дифференциала при изучении нелинейных функций. Дифференциал нелинейной функции равен главной линейно...

Русский

2013-03-18

278.5 KB

21 чел.

16

PAGE 18

Вариация функционала

 

Вариация одно из центральных понятий при изучении нелинейных функционалов, оно играет ту же роль, что понятие дифференциала при изучении нелинейных функций. Дифференциал нелинейной функции равен главной линейной части ее приращения, замена приращения на дифференциал означает линеаризацию функции при малом изменении аргумента;

Вариация нелинейного функционала равна главной линейной части его приращения, замена приращения на вариацию означает линеаризацию функционала при переходе от одной функции (от которой зависит значение функционала) к другой, близкой функции.

Рассмотрим, например, функционал

Пусть функция y(x), от которой зависит его значение, сначала совпадала с некоторой , а затем мы перешли к некоторой другой, близкой функции .

Здесь - это вариация функ-

ции у(х), т.е. произвольная функция, мало уклоняющаяся от нуля и добавляемая к исходной функции  для получения новой, проварьированной функции  (см. рисунок). (При этом малое уклонение от нуля понимается в смысле той нормы, которая принята за основу, например, на рисунке малость понимается в смысле С1).

 При переходе от к  функционал получит приращение

.  (10)

Пусть теперь функция  зафиксирована, а функцию можно выбирать произвольно. Мы видим, что тогда ∆I состоит из двух частей, каждая из которых представляет собой функционал относительно . Первая часть

        (11)

обладает свойством линейности по δу, т.е. это линейный функционал, тогда как вторая часть

при малых имеет высший порядок малости. Таким образом, (11) представляет собой главную (т. е. с точностью до члена высшего порядка малости) линейную часть приращения (10) функционала при переходе от  к  . Выражение (11) и называется (первой) вариацией δI функционала; можно написать

.

(в силу произвольности функции  мы заменили ее обозначение на у(х)).

Разобранный пример является типичным. Если задан произвольный функционал I{у} и мы переходим от функции у(х) к функции у(х)+ δу(х), то, как правило, приращение функционала

можно представить в виде суммы двух слагаемых

  (12)

первое из которых при фиксированной функции у(х) представляет собой линейный функционал относительно δу(x), а второе имеет относительно δу(x) высший порядок малости. Тогда первое слагаемое, в правой части (12) и называется вариацией функционала I, т. е.

.

В случаях, когда слагаемым высшего порядка малости можно пренебречь, можно сказать просто, что вариация функционала – это его бесконечно малое изменение, т.е. изменение, полученное за счет бесконечно малой вариации функции, от которой зависит этот функционал. Замена приращения функционала на его вариацию означает линеаризацию этого функционала, аналогично рассуждениям, приводимым при введении понятия дифференциала функции.

В конкретных примерах вариация функционалов вычисляется с помощью формулы Тейлора. Пусть, например, рассматривается функционал вида

,     (13)

где в процессе интегрирования y считается зависящим от х, у=у(х). Тогда

.   (14)

Но, так как {члены высшего порядка малости}, то, подставляя в (14) и отбрасывая эти члены, получим

    (15)

Для функционала

     (16)

аналогично получаем

,  (17)

где  можно понимать и как , и как , так как производная от разности двух функций равна разности их производных.

Необходимое условие экстремума

Это условие совершенно аналогично необходимому условию экстремума функции одной или нескольких переменных. Допустим, что некоторая функция  реализует локальный максимум или минимум функционала I{у} в выбранном функциональном пространстве (R), причем этот функционал имеет вариацию , т. е. допускает вблизи линеаризацию. Кроме того, будем считать, что рассматривается внутренний (не граничный) экстремум, т.е. функционал I{у} определен для всех у, достаточно близких к  в смысле выбранной нормы; это будет предполагаться всюду далее, если не оговорено противоположное.

Тогда для любой  должно быть

.     (18)

В самом деле, пусть для определенности при  функционал I имеет минимум и >0 для некоторой . Подставим в (12) kδy вместо δу, где k - скаляр: получим

Однако при малых |k| левая часть должна быть положительной, а правая имеет знак k, т.е. может быть как больше нуля, так и меньше нуля. Полученное противоречие и доказывает необходимость условия (18).

 Как видно из описания постановок задач вариационного исчисления в конкретных задачах часто рассматривается экстремум функционала не среди всех функций, составляющих определенное функциональное пространство, а только среди функций, удовлетворяющих некоторым добавочным линейным неоднородным условиям, например

       .     (19)

В этом случае условие (18) должно выполняться для любой вариации δу, удовлетворяющей соответствующим однородным условиям, т.е. для условий (19)

, .

В самом деле, для таких δу функция y+kδy также удовлетворяет условиям (19), а потому можно повторить то же доказательство, что было приведено выше для (18).

Линейные неоднородные условия определяют в пространстве (R) гиперплоскость (речь идет о гиперплоскостях в бесконечномерном функциональном пространстве). Если ставится задача об экстремуме функционала на некотором криволинейном многообразии (S) пространства (R), то, проводя линеаризацию в точке экстремума, получим, что условие (18) должно выполняться для любой y, принадлежащей касательной гиперплоскости к (S), проведенной в точке экстремума.

 

Уравнение Эйлера

Во многих задачах удается, пользуясь необходимым условием экстремума, найти искомое решение у(x). Однако форма (18) этого условия не совсем удобна, так как она включает в себя произвольную функцию δу. Поэтому необходимое условие преобразуют к другой, равносильной форме, содержащей только искомое решение. Такое преобразование различно для разных классов функционалов, и дальнейшее содержание в основном посвящено рассмотрению этих классов. Необходимое условие, получающееся для решения, обычно состоит из двух частей: из уравнения Эйлера (обычно дифференциального), которому решение должно удовлетворять внутри области своего определения, и из добавочных граничных условий, которые могут быть частично заданы заранее, а частично – выведены из условия (18).

Функционал (16), значения которого мы будем сравнивать для всех непрерывно дифференцируемых функций у(х), удовлетворяющих заданным граничным условиям

у(а)a,  у(в)b.      (19)

На основании формул (18) и (17) получаем, что должно быть

   (20)

для любой функции , удовлетворяющей условиям (19).

Чтобы выяснить отсюда, какому уравнению должна удовлетворять функция , проинтегрируем второй член (20) по частям:

,   (21)

так как в силу условий , , проинтегрированный член равен нулю. Подставляя (21) в (20) получаем

.

Но отсюда следует, что выражение в фигурных скобках тождественно равно нулю при аxb т. е. в сокращённой записи

      (22)

где под   понимается полная производная, составленная с учётом зависимости у и  от х. Для доказательства этого обозначим на минуту выражение в фигурных скобках через (х). Если (а)=(b)=0, то можно просто положить у=(х) на интервале а+  х b–, где >0 весьма мало, а к точкам х=а и х=b значение (х) спадает до нуля. Устремляя ε к нулю, мы опять приходим к , а оттуда к (22).

Если раскрыть выражение полной производной по формуле производной сложной функции (и писать у вместо ), мы получим

  (23)

Мы видим, что это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.

Всякое решение уравнения Эйлера (23) называется экстремалью функционала (16), оно придает этому функционалу стационарное значение в следующем смысле: если у(x) –любое такое решение, взятое на некотором интервале a1x bl (a a1 <b1 b); в частности, может быть а1=a, b1=b и если произвольно проварьировать у(х) на этом интервале, не меняя значения y(a1) и y(b1), то

.

Экстремалями называются также графики решений, т. е. интегральные линии уравнения.

Совокупность экстремалей, как общее решение обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, образует двухпараметрическое семейство функций. Двух граничных условий (19) в принципе как раз достаточно для отыскания требуемых частных решений. Правда, уравнение Эйлера редко интегрируется в квадратурах, и потому приходится пользоваться численным интегрированием краевых задач, по поводу которого мы отсылаем читателя к соответствующим руководствам.

 

 Уравнение Эйлера в квадратурах.

 Рассмотрим уравнение Эйлера:

.

 1) Положим, что функция F не содержит у, т.е.

    .

Уравнение Эйлера принимает вид:

    

и имеет очевидный первый интеграл  (дифференциальное уравнение первого порядка, зависящее от х, ).

2) Если F не содержит х, т.е. , то нетрудно проверить, что имеется интеграл:

Действительно:

.

Поскольку F не содержит x, множитель при -у' является левой частью уравнения Эйлера

,

т.е. равен нулю, и, следовательно, в силу этого уравнения:

т. е. мы имеем действительно интеграл.

3) Если F не содержит y', т.е. F=F(x, y), то уравнение Эйлера принимает вид:

,

т. е. мы имеем не дифференциальное, а конечное уравнение. Его решение не содержит произвольных постоянных и, следовательно, удовлетворяет граничным условиям только в исключительных случаях.

4) Пусть F не содержит х и у, т.е. F(x, y, y')= F(y'). Тогда в уравнении Эйлера

 

и оно примет вид:

.

Его общее решение у=С1х+С2 – семейство экстремалей (всевозможные прямые).

Обобщения простейшей задачи вариационного

исчисления

Задача на экстремум функционала, зависящего от производных высших порядков.

Рассмотрим функционал вида:

,   (23)

где функция имеет непрерывные частные производные вплоть до (n+1)-го порядка по всем аргументам, а .

Граничные условия в этой задаче имеют вид

, , …, ,

, , …, .    (24)

Необходимое условие 1.

Для того чтобы функционал (23) достигал на функции  локального экстремума, необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера-Пуассона

.   (25)

Подобно случаю простейшей задачи вариационного исчисления, решения уравнения (25), удовлетворяющие граничным условиям (24), являются кривыми возможного абсолютного экстремума этого функционала на множестве

.

Рассмотрим функционал вида

     (26)

с граничными условиями

   ,  , ,    (27)

 Вариация функционала (26) имеет вид

    (28)

Применяя необходимое условие экстремума (18) и рассуждая, как при выводе (21) (причем последнее слагаемое в (26) придется интегрировать по частям два раза), приходим к соответствующему уравнению Эйлера

.

Это обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка; четырех граничных условий (27) в принципе как раз достаточно, чтобы получить искомое частное решение у(х), реализующее экстремум. Функционалы с производными порядка до k>2 включительно рассматриваются аналогично; уравнение Эйлера для такого функционала имеет порядок 2k.

Функционалы от нескольких функций.

Функционал может зависеть не от одной, а от нескольких функций одного переменного. Так будет, в частности, в таких задачах на экстремум, где искомой является не плоская, а пространственная линия; впрочем, такие задачи возникают и независимо от их геометрического истолкования.

Пусть функционал имеет вид:

,  (29)

где функция F(...) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем своим аргументам и , k=1, …, n.

Граничные условия в этой задаче имеют вид

   (30)

Необходимое условие 2.

Для того чтобы набор функций у1(х), ..., уn(х)C1[a;b] доставлял слабый экстремум функционалу (29), необходимо, чтобы эти функции удовлетворяли системе дифференциальных уравнений Эйлера

, k=1, …, n.      (31)

Рассмотрим, например, функционал

,    (32)

зависящий от двух функций y1(x), y2(x), заданных при , причем никакой связи между этими функциями не предполагается. Одну из них можно зафиксировать, а другую произвольно варьировать. Фиксируя y2(x) и варьируя y1(x), мы получаем частную вариацию , аналогичную частному дифференциалу,

.

Аналогично выражается частная вариация по y2 

.

Если ставится задача об экстремуме функционала (32) при простейших граничных условиях

y1(a)=y1a , y1(b)=y1b , y2(a)=y2a , y2(b)=y2b ,   (33)

то для функций , , реализующих экстремум, обе частные вариации необходимо должны равняться нулю. Рассуждая аналогично случаю с одной функцией, мы приходим к системе уравнений Эйлера

, .  (34)

Общее решение этой системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка содержит четыре произвольных постоянных, которые определяются из четырёх граничных условий.

Аналогично рассматриваются функционалы, зависящие от большего числа функций, а также функционалы, зависящие от нескольких функций и выражающиеся через производные более высокого порядка.

Запишите самостоятельно необходимые условия экстремалей функционала, зависящего от производных третьего порядка трех функций.

Функционалы от функций нескольких переменных

Функционал  может зависеть от функции нескольких переменных. Будем для определенности рассматривать функции z(x, y) двух независимых переменных, заданных в некоторой области (G) плоскости (x, y), т.е. при (x, y)(G). Тогда функционал имеет вид:

,

а его вариация равна

  ,

где p и q – стандартные сокращенные обозначения для  и , а , . Граничное условие состоит в том, что значение функции z(x, y) задано на контуре (Г) области (G), т.е.

zM(Г)=(M) (задано, M=(x, y))   (*)

Геометрически это означает, что сравниваются между собой всевозможные поверхности, имеющие уравнение вида z=z(x,y) и "натянутые" на один и тот же контур (Г).

Для получения необходимого условия функционала в данном случае надо воспользоваться общим условием, а затем, как и ранее, произвести интегрирование по частям. Преобразуя подобным же образом последний член разложения, приходи к уравнению Эйлера для функционала с функциями двух переменных

.

Это уравнение было впервые получено М.В. Остроградским в 1834 г. и поэтому называется также уравнением Остроградского.

Развернутая форма этого уравнения такова:

.

(Доказать самостоятельно).

Это уравнение с частными производными второго порядка, так что вариационная задача сводится к решению этого уравнения при граничном условии (*). Случай более, чем двух независимых переменных рассматривается аналогично.

Задачи с подвижными границами

В задачах вариационного исчисления с подвижными границами в отличие от ранее рассмотренных задач граничные условия на функцию у(х), х[а; b], на концах отрезка [a; b] не зафиксированы.

Простейшая задача вариационного исчисления с подвижными границами состоит в определении функции y(x)C1[a;b] и точек , х0<x1 для которых функционал

    (35)

достигает слабого экстремума при условиях

,    (36)

(Здесь , F(x,y,z) - заданные функции и F(х,у,z) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем аргументам).

Эту задачу можно сформулировать и следующим образом. Пусть на плоскости заданы гладкие кривые и , . Требуется найти такую гладкую кривую y=y(x) которая соединяет какую-либо точку кривой γ1 с какой-либо точкой кривой γ2 и доставляет слабый экстремум функционалу (35).

Необходимое условие 3. 

Для того чтобы функционал (35) достигал на функции y(x)C1[a; b] слабого экстремума при условиях (36), необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера

и условиям трансверсальности

, 

.   (37)

Таким образом, для определения экстремалей в простейшей задаче с подвижными границами необходимо найти общее решение у(х12) уравнения Эйлера, после чего из условия (37) и уравнений

   (38)

определить постоянные С1 и С2, и концы отрезка [ ].

Если на одном из концов искомой кривой у(х) задано обычное граничное условие (у(a) =y0 или y(b)=y1), то условие трансверсальности (37) следует записать только для другого конца кривой.

Частным случаем задачи с подвижными границами является задача, в которой задана абсцисса одного из концов кривой у(х), например х2 = b, но граничное условие для x=b отсутствует. Это означает, что граничная точка (b, у(b)) кривой у(х) может перемещаться по вертикальной прямой х=b, и вместо второго условия трансверсальности (37) следует записать естественное граничное условие

.     (39)

К задачам вариационного исчисления с подвижными границами относится и задача Больца, состоящая в определении функции y(x)C1[a; b], доставляющей слабый экстремум функционалу

,  (40)

где f(u,v) - заданная функция, имеющая непрерывные производные по u и v.

Необходимое условие экстремума функционала (40) формулируется следующим образом.

Необходимое условие 4.

Для того чтобы функционал (40) достигал на функции y(x)C1[a;b] слабого экстремума, необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера

и условиям трансверсальности для задачи Больца

,

.    (41)

Условия (41) используются для определения постоянных C1 и С2 из общего решения у(х, С1, С2) уравнения Эйлера.

Задачи на условный экстремум.

Задачи вариационного исчисления, в которых на искомые функции накладываются, помимо граничных условий, дополнительные ограничения, называются задачами на условный экстремум.

Рассмотрим следующую задачу об экстремуме функционала, зависящего от нескольких функций,

   (42)

с граничными условиями

    , , ,    (43)

при дополнительных ограничениях, заданных уравнениями с граничными условиями

, i=1, …, m , m<n   (44)

Эта задача вариационного исчисления называется задачей Лагранжа.

Введём функцию Лагранжа рассматриваемой задачи

 ,       (45)

где  – произвольные функции (множители Лагранжа).

При решении задачи Лагранжа используется следующее необходимое условие экстремума функционала (42).

 

Необходимое условие 6. 

Если функции у1(х),..., yn (x) доставляют слабый экстремум функционалу (42) при условиях (44), то существуют множители Лагранжа

  , i=1, …, m, m<n,

при которых эти функции удовлетворяют системе уравнений Эйлера

    , i=1, …, n ,    (46)

записанных для функционала

С помощью необходимого условия 6 решение задачи об условном экстремуме функционала J(у1, ..., уn) сводится к исследованию экстремума функционала I(у1,.., уn) без дополнительных условий (44). 

При использовании необходимого условия 6 для решения задачи Лагранжа искомые функции уk(х), k=1,..., n, и множители Лагранжа , i=1, …, m, определяются из системы n+m  уравнений (46) и (44).

Задача на условный экстремум функционала (42) с граничными условиями (43) при дополнительных условиях

, i=1, …, m, m<n.  (47)

(интегральные связи) называется изопериметрической задачей.

Функция Лагранжа данной задачи имеет вид

 

,     (48)

где множителями Лагранжа , i=1, ..., m, являются произвольные вещественные числа.

При решении изопериметрической задачи используется следующее необходимое условие экстремума, подобное условию, сформулированному в необходимом условии 6 для задачи Лагранжа.

Необходимое условие 7.

Если функции y1(x),.., уn(х) доставляют слабый экстремум функционалу (42) при условиях (43), (47), то существуют числа (множители Лагранжа), при которых эти функции удовлетворяют системе уравнений Эйлера

, k=1, …, n,   (49)

где - функция Лагранжа (48).

При использовании необходимого условия 7 для решения изопериметрической задачи функции уk(х), k=1, ..., n, и множители Лагранжа , i=1, …, m, находятся из системы n + m уравнений (47) и (49).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77808. Спортивный туризм 163.5 KB
  Прежде чем начать раскрывать ее, нам следует узнать, что же представляет из себя спортивный туризм. Туризм – это временные выезды (путешествия) граждан РФ, иностранных граждан и лиц без гражданства с постоянного места жительства в оздоровительных, познавательных, профессионально-деловых, спортивных...
77809. Протокол надежной доставки сообщений - TC 1.09 MB
  В данной курсовой работе рассматривался протокол надежного соединения –- TCP. Рассматривались следующие вопросы: Сегменты TCP Порты и установление TCP соединений Концепция квитирования Реализация скользящего окна в протоколе TCP...
77810. Пифагор и его теорема 326 KB
  Целью нашего исследования было: узнать, кто такой был Пифагор и какое отношение он имеет к этой теореме. Изучая историю теоремы, мы решили выяснить: Существуют ли другие доказательства этой теоремы? Каково значение этой теоремы в жизни людей?
77812. Дезинфекция. Предстерилизационная очистка. Стерилизация. Виды и методы 227.5 KB
  Дезинфекция — это комплекс мероприятий, направленных на уничтожение возбудителей инфекционных заболеваний и разрушение токсинов на объектах внешней среды. Для её проведения обычно используются химические вещества, например, формальдегид или гипохлорит натрия...