9899

Классификация задач оптимизации

Реферат

Математика и математический анализ

Классификация задач оптимизации оптимизируемая функция (целевая функция, целевой функционал, критерий качества и т.п.), численно выражает степень достижения целей функционирования оптимизиру...

Русский

2013-03-18

70 KB

147 чел.

Классификация задач оптимизации

 

  F(X)  

F = {f1, f2, . . . , fk} - оптимизируемая функция (целевая функция, целевой функционал, критерий качества и т.п.), численно выражает степень достижения целей функционирования оптимизируемого объекта

X = (x1, x2, ..., xn)T - вектор независимых переменных, его компоненты - неизвестные задачи оптимизации (переменные оптимизации) - являются управляемыми входами объекта оптимизации  

D - множество допустимых значений неизвестных, определяемое налагаемыми на неизвестные ограничениями (допустимая область, допустимое множество)

S - пространство оптимизации

  min F(X) = - max(-F(X))

F = {f1, f2, ..., fk}

k = 1 - задача однокритериальной или скалярной оптимизации,  

k > 1 - задача многокритериальной или векторной оптимизации

 

F(X)  

X = (x1, x2, ..., xn)T 

n = 1 - задача одномерной (иногда - линейной) оптимизации,

n > 1 - задача многомерной оптимизации или задача оптимизации со многими переменными.

Допустимая область

D = S  - задача безусловной оптимизации или задача оптимизации без ограничений (какие-либо ограничения на неизвестные отсутствуют)

D S - задача условной оптимизации или задача с ограничениями (т.е. в задаче не все значения переменных допустимы)

Пространство оптимизации

S = Rn - задача оптимизации с непрерывными переменными

S = Zn - задача целочисленной оптимизации

S = Bn - задача булевой оптимизация (частный случай задачи целочисленной оптимизации, при которой переменные могут принимать только два значения - ноль и единица). Если при этом f(X) принимает значения из Rn, то - задача псевдобулевой оптимизации

Если значение целевой функции зависит от некоторых комбинаций объектов из конечного набора, их размещения или способа упорядочения, то такие задачи называются задачами комбинаторной оптимизации 

Задачи целочисленной и комбинаторной оптимизации объединяются понятием задач дискретной оптимизации 

В задачах смешанной оптимизации могут одновременно присутствовать переменные нескольких или даже всех типов (наиболее известный частный случай - задачи смешанного целочисленного программирования с целочисленными и непрерывными переменными)

Свойства функций, входящих в постановку задачи оптимизации

Целевая функция имеет более одного локального экстремума - задача глобальной или многоэкстремальной оптимизации (если требуется найти все локальные экстремумы или наилучший из них)

В задачах локальной оптимизации требуется найти один локальный экстремум (единственный для одноэкстремальной целевой функции или любой для многоэкстремальной)

Целевая функция и/или функции, описывающие ограничения, заданы не аналитически (в виде компьютерных программ, имитационных моделей, человеко-машинных процедур или как выход реальной системы) - задачи оптимизации с неявными функциями (поисковые задачи оптимизации)

Все функции, входящие в постановку задачи, записываются в явном аналитическом виде - задача математического программирования

Общая формулировка задачи математического программирования:

 f(X)   ,

при ограничениях                

 hi(X) = 0, i = 1, . . . , m,

 gi(X) 0, i = m+1, . . . , p.

Все функции, входящие в постановку, являются непрерывно дифференцируемыми - задача дифференцируемой оптимизации, иначе – задача недифференцируемой оптимизации

 

Целевая функция выпукла, функции-ограниче-ния образуют выпуклую допустимую область - задача выпуклой оптимизации 

Целевая функция сепарабельна, ограничения линейны - задача сепарабельного программирования 

Целевая функция квадратичная, ограничения – линейны - задача квадратичного программирования 

Все функции общего вида - общая задача нелинейного программирования

Целевая функция и функции-ограничения являются линейными относительно независимых переменных - задача линейного программирования 

Более узкие постановки задачи линейного программирования - транспортная задача, задача о назначениях, задача целочисленного линейного программирования и т.п.


Примеры задач ЛП

Задача использования сырья. Для использования двух видов продукции Р1 и Р2 используют три вида сырья S1, S2 и S3. Запасы сырья в количество единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, и прибыль от единицы продукции приведены в таблице. Необходимо составить план выпуска продукции, максимизирующий прибыль.

Вид сырья

Запасы

Затраты сырья

Р1

Р2

S1

20

2

5

S2

40

8

5

S3

30

5

6

Прибыль от единицы

продукции

50

40

x1  0, x2  0,

z = 50x1 + 40x2   max.


Задача составления рациона ("оптимальной смеси"). При откорме каждое животное ежедневно должно получать не менее 9 единиц питательного вещества S1, не менее 8 единиц вещества S2 и не менее 12 единиц вещества S3. для составления рациона используют два вида корма. Содержание количества единиц питательных веществ в 1 кг корма приведены в таблице. Необходимо составить дневной рацион нужной питательности, причем затраты на него должны быть минимальными.

Вещества

Кол-во ед. питат. вещ-в в 1 кг

корм 1                  

корм 2

S1

     3

     1

S2

     1

     2

S3

     1

     6

Стоимость 1 кг корма

     4

     6

Z=4x1+6x2 min

x1  0, x22 0.


Общий вид задачи ЛП:

 Z = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn   min (max)

при условиях:

 x1  0, x2  0, . . . , xn  0,

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn   (=, ) b1,

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn   (=, ) b2,

.    .    .    .   .    .    .   .    .    .    .   .

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn   (=, ) bm.

Значения bi, cj, aij - известны (выявлены на стадии анализа реальной ситуации)

В матричных обозначениях

.

Задача ЛП записывается в виде:

 z = CTX  min (max),

при условиях:

 X 0,  

 AX   (=, ) B.

Параметрические задачи оптимизации (параметрическое программирование) - функции и коэффициенты, входящие в постановку задачи зависят от некоторого параметра или параметров

Вся исходная информация задачи оптимизации определена однозначно – детерминированные задачи оптимизации

Все или некоторые параметры модели носят вероятностный характер - принятие решения в условиях риска (стохастические задачи, стохастическое программирование, стохастическая аппроксимация)

Неопределенность данных имеет не вероятностный характер - оптимизация в условиях неопределенности (нечеткое математическое программирование или нечеткая оптимизация)

 

Конечномерные (матпрограммирование) и бесконечномерные (вариационное исчисление)

      На плоскости xOy даны две точки А1(x1, y1) и А2(x2, y2). Найти кривую кратчайшей длины, соединяющую эти точки.

 

y(x1) = y1, y(x2) = y2.


Статические и динамические (оптимальное управление)

Задача оптимального управления:

дана система, поведение которой описывается дифференциальным уравнением

,

где x- вектор фазовых координат, u- вектор управления, t- время.

На вектора x и u наложены ограничения: x X, uU.

Система рассматривается на интервале t[0, T].

Требуется определить вектор-функции u(t), x(t) доставляющие минимум функционалу J=J(x, u) при переводе из начального состояния (x(0), 0) в конечное состояние (x(T), T).

F – дифференцируемая функция своих аргументов.


Классификация методов оптимизации

Один из способов классификации методов оптимизации состоит в соотнесении их оптимизационным задачам, для решения которых они предназначены

По типу информации о производных, требуемой для организации процесса оптимизации, методы подразделяются на методы

- методы нулевого порядка, требующие только вычислений значений функции в точках пространства оптимизации и не требующие аналитического вида производных;

- методы первого порядка (градиентные), требующие кроме значений функции в точке еще и аналитическое задание производных первого порядка для вычисления градиента;

- методы второго порядка (ньютоновские), для работы которых требуются еще и производные второго порядка

Другая классификация:

- методы прямого поиска,

- методы линейной аппроксимации,

- методы квадратичной аппроксимации,

 

По степени математической обоснованности методы делят на эвристические и рациональные.

Методы оптимизации подразделяют на детерминированные и стохастические. Стохастические алгоритмы используют элементы случайности при выборе направления или длины шага в процессе оптимизации.

Оптимизирует не компьютер и даже не алгоритм, введенный в этот компьютер. Оптимизирует всегда человек. Он и несет ответственность за результат.

10

PAGE  8


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23565. Технология SDH 148.5 KB
  Синхронная цифровая иерархия (SDH) — технология широкополосных транспортных сетей, которые являются инфраструктурой для подключения пользователя к широкому спектру услуг. Сети SDH позволяют передавать информационные потоки на скоростях до 10 Гбит/сек
23566. Фонологические взгляды И. А. Бодуэна де Куртенэ 28.5 KB
  Бодуэна де Куртенэ И. Бодуэн де Куртенэ создавая теорию фонем трактовал фонологические единицы как некие сущности наличествующие в психологической системе человека пользующегося соответствующим языком.Пр54в Придерживаясь материалистической трактовки природы психическогоПр54н Бодуэн де Куртенэ только тогда считал возможным говорить о существовании тех или иных внутриязыковых закономерностей когда представлял себе их психофизический механизм и только тогда выдвигал то или иное понятие когда мог определить его хотя бы в самых...
23567. Фонология 23.5 KB
  лежит понятие фонемы как совокупности существенных признаков свойственных данному звуковому образованию определение Н. Главной функцией фонемы является смыслоразличительная или сигнификативная. Таким образом можно сказать что фонемы д и к отличаются друг от друга двумя дифференциальными признаками местом образования и звонкостьюглухостью. В русской фонологической системе 5 гласных фонем и 32 согласных гласность и согласность или как говорят вокализм и консонантизм это первый дифференциальный признак для фонемы: мы обычно сразу...
23568. ФОНЕМЫ И СИСТЕМЫ ФОНЕМ 93 KB
  Понятие фонемы Ключевым понятием функциональной фонетики или фонологии является понятие фонемы. Следовательно хотя фонемы как таковые единицами языка не являются поскольку сами по себе они лишены значения существование единиц языка морфем слов и их форм принципиально невозможно без фонем из которых строятся их означающие. О соотношении фонемы и звука Фонемы не могут быть непосредственно отождествлены со слышимыми и произносимыми людьми в процессе речевого общения звуками. Фонемы представляют собой единицы звукового строя языка тогда...
23569. 8 особенности артикуляционной базы английского языка 39.5 KB
  в англ языке большее напряжение конечных согл наличие аспирглухих взрывных соглперед ударотсутсвие палатализациинет нет попарного разделения на тверд и мяг есть фарингальная артикул.hпереднеязвчные согл характеризуются аппикальным укладомдорсальнымнапряж мышц губ при произношении более значительнаогубленостьлабоализациянапряжение в конце фразы силнее характерно наличие скользящих гласныхдифтонгов попарно распределение напряж и ненапряж фонемдолгих краткналичие гласных смеш уклада э:наличие межзубных 9 артикуляторный...
23570. сновные фонетические особенности канадского варианта английского языка 31 KB
  Class bath dance произносится в американском варианте с гласным номер 4. Дифтонг [ou] произносится в британском варианте т.которые в американском варианте произносятся с [ai] канадцы в основном произносят побритански с [i]. В канадском варианте английского языка в области грамматики не встречается существенных различий с британским вариантом.
23571. Акценты и диалекты в Великобритании 50 KB
  Взаимодействие близкородственных языков английского и скандинавских сказалось в наличии в современном А.В процессе образования нации происходило формирование национального английского языка складывавшегося на основе лондонского диалекта который сочетал в себе южные и восточноцентральные диалектные черты. развития английского языка характеризуется рядом изменений резко отграничивших среднеанглийскую звуковую систему от древнеанглийской. В то время как в 40 70е годы наблюдался расцвет скучного английского БиБиСи в 80е годы начали...
23572. ОППОЗИЦИЯ ЯЗЫКОВАЯ 53 KB
  В этом смысле говорят о фонологической оппозиции например между русскими фонемами k и r слова кот и рот различаются не только по звучанию но и по значению или о семантической оппозиции 'ед. Подобное истолкование позволяет использовать понятие оппозиции чтобы разграничить отношения между различными языковыми единицами так называемые оппозитивные отношения и отношения между различными вариантами одной и той же языковой единицы неоппозитивные отношения.Трубецкой употребляли термин оппозиции не только по отношению к функциональным...
23573. Различие между транскрипцией фонологической и транскрипцией фонетической 34.5 KB
  Обозначение фонем 3. Обозначение отдельной фонемы должно четко отличаться от обозначения группы фонем. Если в данной транскрипционной системе отсутствуют специальные знаки для некоторых фонем например для аффрикат или дифтонгов и если они обыкновенно передаются группой из двух или более букв символизирующих их конститутивные элементы то группа знаков соответствующих фонеме такого рода должна связываться снизу дужкой например чешское ou немецкое pf. Когда обозначение определенных дизъюнктивных фонем диакритиками или определенных...