9899

Классификация задач оптимизации

Реферат

Математика и математический анализ

Классификация задач оптимизации оптимизируемая функция (целевая функция, целевой функционал, критерий качества и т.п.), численно выражает степень достижения целей функционирования оптимизиру...

Русский

2013-03-18

70 KB

149 чел.

Классификация задач оптимизации

 

  F(X)  

F = {f1, f2, . . . , fk} - оптимизируемая функция (целевая функция, целевой функционал, критерий качества и т.п.), численно выражает степень достижения целей функционирования оптимизируемого объекта

X = (x1, x2, ..., xn)T - вектор независимых переменных, его компоненты - неизвестные задачи оптимизации (переменные оптимизации) - являются управляемыми входами объекта оптимизации  

D - множество допустимых значений неизвестных, определяемое налагаемыми на неизвестные ограничениями (допустимая область, допустимое множество)

S - пространство оптимизации

  min F(X) = - max(-F(X))

F = {f1, f2, ..., fk}

k = 1 - задача однокритериальной или скалярной оптимизации,  

k > 1 - задача многокритериальной или векторной оптимизации

 

F(X)  

X = (x1, x2, ..., xn)T 

n = 1 - задача одномерной (иногда - линейной) оптимизации,

n > 1 - задача многомерной оптимизации или задача оптимизации со многими переменными.

Допустимая область

D = S  - задача безусловной оптимизации или задача оптимизации без ограничений (какие-либо ограничения на неизвестные отсутствуют)

D S - задача условной оптимизации или задача с ограничениями (т.е. в задаче не все значения переменных допустимы)

Пространство оптимизации

S = Rn - задача оптимизации с непрерывными переменными

S = Zn - задача целочисленной оптимизации

S = Bn - задача булевой оптимизация (частный случай задачи целочисленной оптимизации, при которой переменные могут принимать только два значения - ноль и единица). Если при этом f(X) принимает значения из Rn, то - задача псевдобулевой оптимизации

Если значение целевой функции зависит от некоторых комбинаций объектов из конечного набора, их размещения или способа упорядочения, то такие задачи называются задачами комбинаторной оптимизации 

Задачи целочисленной и комбинаторной оптимизации объединяются понятием задач дискретной оптимизации 

В задачах смешанной оптимизации могут одновременно присутствовать переменные нескольких или даже всех типов (наиболее известный частный случай - задачи смешанного целочисленного программирования с целочисленными и непрерывными переменными)

Свойства функций, входящих в постановку задачи оптимизации

Целевая функция имеет более одного локального экстремума - задача глобальной или многоэкстремальной оптимизации (если требуется найти все локальные экстремумы или наилучший из них)

В задачах локальной оптимизации требуется найти один локальный экстремум (единственный для одноэкстремальной целевой функции или любой для многоэкстремальной)

Целевая функция и/или функции, описывающие ограничения, заданы не аналитически (в виде компьютерных программ, имитационных моделей, человеко-машинных процедур или как выход реальной системы) - задачи оптимизации с неявными функциями (поисковые задачи оптимизации)

Все функции, входящие в постановку задачи, записываются в явном аналитическом виде - задача математического программирования

Общая формулировка задачи математического программирования:

 f(X)   ,

при ограничениях                

 hi(X) = 0, i = 1, . . . , m,

 gi(X) 0, i = m+1, . . . , p.

Все функции, входящие в постановку, являются непрерывно дифференцируемыми - задача дифференцируемой оптимизации, иначе – задача недифференцируемой оптимизации

 

Целевая функция выпукла, функции-ограниче-ния образуют выпуклую допустимую область - задача выпуклой оптимизации 

Целевая функция сепарабельна, ограничения линейны - задача сепарабельного программирования 

Целевая функция квадратичная, ограничения – линейны - задача квадратичного программирования 

Все функции общего вида - общая задача нелинейного программирования

Целевая функция и функции-ограничения являются линейными относительно независимых переменных - задача линейного программирования 

Более узкие постановки задачи линейного программирования - транспортная задача, задача о назначениях, задача целочисленного линейного программирования и т.п.


Примеры задач ЛП

Задача использования сырья. Для использования двух видов продукции Р1 и Р2 используют три вида сырья S1, S2 и S3. Запасы сырья в количество единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, и прибыль от единицы продукции приведены в таблице. Необходимо составить план выпуска продукции, максимизирующий прибыль.

Вид сырья

Запасы

Затраты сырья

Р1

Р2

S1

20

2

5

S2

40

8

5

S3

30

5

6

Прибыль от единицы

продукции

50

40

x1  0, x2  0,

z = 50x1 + 40x2   max.


Задача составления рациона ("оптимальной смеси"). При откорме каждое животное ежедневно должно получать не менее 9 единиц питательного вещества S1, не менее 8 единиц вещества S2 и не менее 12 единиц вещества S3. для составления рациона используют два вида корма. Содержание количества единиц питательных веществ в 1 кг корма приведены в таблице. Необходимо составить дневной рацион нужной питательности, причем затраты на него должны быть минимальными.

Вещества

Кол-во ед. питат. вещ-в в 1 кг

корм 1                  

корм 2

S1

     3

     1

S2

     1

     2

S3

     1

     6

Стоимость 1 кг корма

     4

     6

Z=4x1+6x2 min

x1  0, x22 0.


Общий вид задачи ЛП:

 Z = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn   min (max)

при условиях:

 x1  0, x2  0, . . . , xn  0,

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn   (=, ) b1,

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn   (=, ) b2,

.    .    .    .   .    .    .   .    .    .    .   .

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn   (=, ) bm.

Значения bi, cj, aij - известны (выявлены на стадии анализа реальной ситуации)

В матричных обозначениях

.

Задача ЛП записывается в виде:

 z = CTX  min (max),

при условиях:

 X 0,  

 AX   (=, ) B.

Параметрические задачи оптимизации (параметрическое программирование) - функции и коэффициенты, входящие в постановку задачи зависят от некоторого параметра или параметров

Вся исходная информация задачи оптимизации определена однозначно – детерминированные задачи оптимизации

Все или некоторые параметры модели носят вероятностный характер - принятие решения в условиях риска (стохастические задачи, стохастическое программирование, стохастическая аппроксимация)

Неопределенность данных имеет не вероятностный характер - оптимизация в условиях неопределенности (нечеткое математическое программирование или нечеткая оптимизация)

 

Конечномерные (матпрограммирование) и бесконечномерные (вариационное исчисление)

      На плоскости xOy даны две точки А1(x1, y1) и А2(x2, y2). Найти кривую кратчайшей длины, соединяющую эти точки.

 

y(x1) = y1, y(x2) = y2.


Статические и динамические (оптимальное управление)

Задача оптимального управления:

дана система, поведение которой описывается дифференциальным уравнением

,

где x- вектор фазовых координат, u- вектор управления, t- время.

На вектора x и u наложены ограничения: x X, uU.

Система рассматривается на интервале t[0, T].

Требуется определить вектор-функции u(t), x(t) доставляющие минимум функционалу J=J(x, u) при переводе из начального состояния (x(0), 0) в конечное состояние (x(T), T).

F – дифференцируемая функция своих аргументов.


Классификация методов оптимизации

Один из способов классификации методов оптимизации состоит в соотнесении их оптимизационным задачам, для решения которых они предназначены

По типу информации о производных, требуемой для организации процесса оптимизации, методы подразделяются на методы

- методы нулевого порядка, требующие только вычислений значений функции в точках пространства оптимизации и не требующие аналитического вида производных;

- методы первого порядка (градиентные), требующие кроме значений функции в точке еще и аналитическое задание производных первого порядка для вычисления градиента;

- методы второго порядка (ньютоновские), для работы которых требуются еще и производные второго порядка

Другая классификация:

- методы прямого поиска,

- методы линейной аппроксимации,

- методы квадратичной аппроксимации,

 

По степени математической обоснованности методы делят на эвристические и рациональные.

Методы оптимизации подразделяют на детерминированные и стохастические. Стохастические алгоритмы используют элементы случайности при выборе направления или длины шага в процессе оптимизации.

Оптимизирует не компьютер и даже не алгоритм, введенный в этот компьютер. Оптимизирует всегда человек. Он и несет ответственность за результат.

10

PAGE  8


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55979. Звуки і букви 26.5 KB
  Усвідомлене й міцне засвоєння теоретичного матеріалу є необхідною базою для формування навичок грамотного письма. До того ж схеми-опори допомагають вирішити проблему переводу теоретичного матеріалу в практичні вміння.
55982. Літературно-музична композиція, присвячена Дню народження Тараса Шевченка 79.5 KB
  Мета: Поглибити знання учнів про життя видатного сина українського народу - Т.Г.Шевченка. Розвивати творчі здібності учнів, спонукати їх до власної творчості; Виховувати любов і повагу до традицій нашого народу, патріотизм.
55983. Taras Hryhorovych Shevchenko – poet, citizen artist 49.5 KB
  Equipment: multimedia projector, computers, audio CDs with songs based on Shevchenko’s poems. The classroom is decorated with reproductions of T.H. Shevchenko’s paintings, samples of Ukrainian embroidery and guilder rose (калина). The first slide of computer presentation reads
55985. Наша дума, наша пісня не вмре, не загине… 504 KB
  Важко,через сніги і морози, пробивається цього року весна. Але знаменна вона тим, в березневі дні народився геніальний співець і пророк нації Т. Шевченко. Він не просто поет, він – Пророк і Учитель.
55986. Свіча Шевченкова горить… 13.39 MB
  Мета заходу: викликати у студентів інтерес до постаті Великого Кобзаря; виховувати почуття патріотизму, національної гордості за свій народ і його видатних людей Звучить мелодія кобзи. Звук стихає, під тихий звук кобзи ведучі, одягнені в українські вишиванки – хлопець і дівчина студенти.
55987. Наша дума, наша пісня не вмре, не загине! 68.82 KB
  В похилій хаті край Над ставом чистим і прозорим Життя Тарасику дала Кріпачка мати вбита горем. Ведучий: Скільки тих шляхів на світі і куди вони всі ведуть Увечері сяде дід на призьбі малий Тарас коло нього показує дід на темне небо на зорі.