9899

Классификация задач оптимизации

Реферат

Математика и математический анализ

Классификация задач оптимизации оптимизируемая функция (целевая функция, целевой функционал, критерий качества и т.п.), численно выражает степень достижения целей функционирования оптимизиру...

Русский

2013-03-18

70 KB

146 чел.

Классификация задач оптимизации

 

  F(X)  

F = {f1, f2, . . . , fk} - оптимизируемая функция (целевая функция, целевой функционал, критерий качества и т.п.), численно выражает степень достижения целей функционирования оптимизируемого объекта

X = (x1, x2, ..., xn)T - вектор независимых переменных, его компоненты - неизвестные задачи оптимизации (переменные оптимизации) - являются управляемыми входами объекта оптимизации  

D - множество допустимых значений неизвестных, определяемое налагаемыми на неизвестные ограничениями (допустимая область, допустимое множество)

S - пространство оптимизации

  min F(X) = - max(-F(X))

F = {f1, f2, ..., fk}

k = 1 - задача однокритериальной или скалярной оптимизации,  

k > 1 - задача многокритериальной или векторной оптимизации

 

F(X)  

X = (x1, x2, ..., xn)T 

n = 1 - задача одномерной (иногда - линейной) оптимизации,

n > 1 - задача многомерной оптимизации или задача оптимизации со многими переменными.

Допустимая область

D = S  - задача безусловной оптимизации или задача оптимизации без ограничений (какие-либо ограничения на неизвестные отсутствуют)

D S - задача условной оптимизации или задача с ограничениями (т.е. в задаче не все значения переменных допустимы)

Пространство оптимизации

S = Rn - задача оптимизации с непрерывными переменными

S = Zn - задача целочисленной оптимизации

S = Bn - задача булевой оптимизация (частный случай задачи целочисленной оптимизации, при которой переменные могут принимать только два значения - ноль и единица). Если при этом f(X) принимает значения из Rn, то - задача псевдобулевой оптимизации

Если значение целевой функции зависит от некоторых комбинаций объектов из конечного набора, их размещения или способа упорядочения, то такие задачи называются задачами комбинаторной оптимизации 

Задачи целочисленной и комбинаторной оптимизации объединяются понятием задач дискретной оптимизации 

В задачах смешанной оптимизации могут одновременно присутствовать переменные нескольких или даже всех типов (наиболее известный частный случай - задачи смешанного целочисленного программирования с целочисленными и непрерывными переменными)

Свойства функций, входящих в постановку задачи оптимизации

Целевая функция имеет более одного локального экстремума - задача глобальной или многоэкстремальной оптимизации (если требуется найти все локальные экстремумы или наилучший из них)

В задачах локальной оптимизации требуется найти один локальный экстремум (единственный для одноэкстремальной целевой функции или любой для многоэкстремальной)

Целевая функция и/или функции, описывающие ограничения, заданы не аналитически (в виде компьютерных программ, имитационных моделей, человеко-машинных процедур или как выход реальной системы) - задачи оптимизации с неявными функциями (поисковые задачи оптимизации)

Все функции, входящие в постановку задачи, записываются в явном аналитическом виде - задача математического программирования

Общая формулировка задачи математического программирования:

 f(X)   ,

при ограничениях                

 hi(X) = 0, i = 1, . . . , m,

 gi(X) 0, i = m+1, . . . , p.

Все функции, входящие в постановку, являются непрерывно дифференцируемыми - задача дифференцируемой оптимизации, иначе – задача недифференцируемой оптимизации

 

Целевая функция выпукла, функции-ограниче-ния образуют выпуклую допустимую область - задача выпуклой оптимизации 

Целевая функция сепарабельна, ограничения линейны - задача сепарабельного программирования 

Целевая функция квадратичная, ограничения – линейны - задача квадратичного программирования 

Все функции общего вида - общая задача нелинейного программирования

Целевая функция и функции-ограничения являются линейными относительно независимых переменных - задача линейного программирования 

Более узкие постановки задачи линейного программирования - транспортная задача, задача о назначениях, задача целочисленного линейного программирования и т.п.


Примеры задач ЛП

Задача использования сырья. Для использования двух видов продукции Р1 и Р2 используют три вида сырья S1, S2 и S3. Запасы сырья в количество единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, и прибыль от единицы продукции приведены в таблице. Необходимо составить план выпуска продукции, максимизирующий прибыль.

Вид сырья

Запасы

Затраты сырья

Р1

Р2

S1

20

2

5

S2

40

8

5

S3

30

5

6

Прибыль от единицы

продукции

50

40

x1  0, x2  0,

z = 50x1 + 40x2   max.


Задача составления рациона ("оптимальной смеси"). При откорме каждое животное ежедневно должно получать не менее 9 единиц питательного вещества S1, не менее 8 единиц вещества S2 и не менее 12 единиц вещества S3. для составления рациона используют два вида корма. Содержание количества единиц питательных веществ в 1 кг корма приведены в таблице. Необходимо составить дневной рацион нужной питательности, причем затраты на него должны быть минимальными.

Вещества

Кол-во ед. питат. вещ-в в 1 кг

корм 1                  

корм 2

S1

     3

     1

S2

     1

     2

S3

     1

     6

Стоимость 1 кг корма

     4

     6

Z=4x1+6x2 min

x1  0, x22 0.


Общий вид задачи ЛП:

 Z = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn   min (max)

при условиях:

 x1  0, x2  0, . . . , xn  0,

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn   (=, ) b1,

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn   (=, ) b2,

.    .    .    .   .    .    .   .    .    .    .   .

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn   (=, ) bm.

Значения bi, cj, aij - известны (выявлены на стадии анализа реальной ситуации)

В матричных обозначениях

.

Задача ЛП записывается в виде:

 z = CTX  min (max),

при условиях:

 X 0,  

 AX   (=, ) B.

Параметрические задачи оптимизации (параметрическое программирование) - функции и коэффициенты, входящие в постановку задачи зависят от некоторого параметра или параметров

Вся исходная информация задачи оптимизации определена однозначно – детерминированные задачи оптимизации

Все или некоторые параметры модели носят вероятностный характер - принятие решения в условиях риска (стохастические задачи, стохастическое программирование, стохастическая аппроксимация)

Неопределенность данных имеет не вероятностный характер - оптимизация в условиях неопределенности (нечеткое математическое программирование или нечеткая оптимизация)

 

Конечномерные (матпрограммирование) и бесконечномерные (вариационное исчисление)

      На плоскости xOy даны две точки А1(x1, y1) и А2(x2, y2). Найти кривую кратчайшей длины, соединяющую эти точки.

 

y(x1) = y1, y(x2) = y2.


Статические и динамические (оптимальное управление)

Задача оптимального управления:

дана система, поведение которой описывается дифференциальным уравнением

,

где x- вектор фазовых координат, u- вектор управления, t- время.

На вектора x и u наложены ограничения: x X, uU.

Система рассматривается на интервале t[0, T].

Требуется определить вектор-функции u(t), x(t) доставляющие минимум функционалу J=J(x, u) при переводе из начального состояния (x(0), 0) в конечное состояние (x(T), T).

F – дифференцируемая функция своих аргументов.


Классификация методов оптимизации

Один из способов классификации методов оптимизации состоит в соотнесении их оптимизационным задачам, для решения которых они предназначены

По типу информации о производных, требуемой для организации процесса оптимизации, методы подразделяются на методы

- методы нулевого порядка, требующие только вычислений значений функции в точках пространства оптимизации и не требующие аналитического вида производных;

- методы первого порядка (градиентные), требующие кроме значений функции в точке еще и аналитическое задание производных первого порядка для вычисления градиента;

- методы второго порядка (ньютоновские), для работы которых требуются еще и производные второго порядка

Другая классификация:

- методы прямого поиска,

- методы линейной аппроксимации,

- методы квадратичной аппроксимации,

 

По степени математической обоснованности методы делят на эвристические и рациональные.

Методы оптимизации подразделяют на детерминированные и стохастические. Стохастические алгоритмы используют элементы случайности при выборе направления или длины шага в процессе оптимизации.

Оптимизирует не компьютер и даже не алгоритм, введенный в этот компьютер. Оптимизирует всегда человек. Он и несет ответственность за результат.

10

PAGE  8


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78855. Функции научной теории 14.81 KB
  Функции научной теории. Объяснение и предсказание окружающих нас вещей и явлений представляет собой важнейшую функцию науки в целом и научной теории в частности. Основные функций теории можно отнести следующие. Методологическая функция на базе теории формулируются многообразные методы способы и приемы исследовательской деятельности.
78856. Методы научного познания и их классификация 41.5 KB
  Методы научного познания и их классификация Метод систематизированная совокупность шагов действий кые необходимо предпринять чтобы решить определенную задачу или достичь определенной цели. Методы эмпирического познания Методы теоретического познания. Моделирование от лат образец мира метод при ком исследуемый объект оригинал замещается другим модель специально созданным для его изучения. Рефлексия основной метод метатеоретического познания в науке познание обращенное ученым на самого себя.
78857. Ценности и их роль в познании 35.5 KB
  Ценности и их роль в познании Философское учение о ценстях и их природе называется аксиологией. Эпоха Возрождения выдвигает на первый план ценсти гуманизма. В Новое время развитие науки и новых общественных отношений во многом определяют и основной подход к рассмотрению предметов и явлений как ценстей. Кант впервые употребляет понятие ценсти в специальном узком смысле.
78858. Проблема истины в познании 14.2 KB
  Проблема истины в познании. Важнейшая проблема в познании это проблема истины. Такое понимание истины было продолжено и материалистами Нового времени.в Софисты считали что объективной истины нет: Человек мера всех вещей.
78859. Интернализм и экстернализм в понимании механизмов научной деятельности 14.04 KB
  Анализируя многообразие течений философии науки можно выделить две различные стратегии: 1 интернализм; 2 экстернализм Экстерналистские взгляды впервые возникли еще в период становления классической науки и признают решающим движущим фактором развития науки внешние для нее обстоятельства социальные экономические и т. По мнению экстерналистов не только возникновение науки но и дальнейшее ее развитие всецело определяется потребностями общества. Тем не менее все эксерналисты сходятся в том что решающее влияние на развитие науки оказывает...
78860. Научные революции и их роль в динамике научного знания 31 KB
  Научные революции и их роль в динамике научного знания В динамике научного знания особую роль играют этапы развития связанные с перестройкой исследовательских стратегий задаваемых основаниями науки. Основания науки обеспечивают рост знания до тех пор пока общие черты системной организации изучаемых объектов учтены в картине мира а методы освоения этих объектов соответствуют сложившимся идеалам и нормам исследования. Но по мере развития науки она может столкнуться с принципиально новыми типами объектов требующими иного видения реальности...
78861. Проблема роста научного знания у К. Поппера 29 KB
  Проблема роста научного знания у К. Говоря о росте знания он имеет в виду не его накопление а ниспровержение старых научных теорий и их замену лучшими научными теориями. В своей концепции он формулирует три основных требования к росту знания: 1 Новое знание должно исходить из новой простой идеи; 2 Новое знание должно приводить к представлению явлений которые до сих пор не наблюдались; 3 Новое знание должно выдерживать новые и строгие поверки В частности именно он ввёл понятие фальсифицируемости лат. flsus ложный необходимого...
78862. Концепция исследовательских программ Лакатоса 30 KB
  Концепция исследовательских программ Лакатоса Лакатос автор теории и методологии научноисследовательских программ в рамках которых вслед за К. Лакатос полагает что основой теории научной рациональности должен стать принцип критицизма универсальный принцип всякой научной деятельности. Лакатос полагает что можно на протяжении длительного времени защищать любую теорию даже если эта теория ложна. Cуть концепции Лакатоса: Согласно Лакатосу в науке образуются не просто цепочки сменяющих одна другую теорий о которых пишет Поппер но...
78863. Эволюция концепции науки в позитивизме 29.5 KB
  Эволюция концепции науки в позитивизме. Позитиви́зм философское учение и направление в методологии науки определяющее единственным источником истинного действительного знания эмпирические исследования и отрицающее познавательную ценность философского исследования. Сущность позитивистской концепции соотношения философии и науки отражается во фразе О. Эталоном научного знания для позитивизма является естествознание методы которого автоматически переносятся на другие науки в том числе социальногуманитарные.