9904

Двойственность в линейном программировании

Реферат

Информатика, кибернетика и программирование

Двойственность в линейном программировании Для любой задачи ЛП можно сформулировать двойственную задачу, являющуюся зеркальным отражением исходной задачи, т.к. она использует те же параметры, а ее решение может быть получено одновременно с решение...

Русский

2013-03-18

47 KB

46 чел.

Двойственность в линейном программировании

Для любой задачи ЛП можно сформулировать двойственную задачу, являющуюся "зеркальным отражением" исходной задачи, т.к. она использует те же параметры, а ее решение может быть получено одновременно с решением исходной задачи.

Прямая задача:

Сколько изделий и какой конструкции xj (j = 1, …, n) необходимо произвести, чтобы при заданных стоимостях                    cj (j = 1, …, n) единицы продукции и размерах имеющихся ресурсов bi (i = 1, …, m) максимизировать выпуск продукции в стоимостном выражении?

z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn  max

xj  0, j = 1, …, n

Двойственная задача:

Какие цены yi на единицу каждого из ресурсов нужно назначить при заданных количествах ресурсов bi и величинах стоимости продукции cj, чтобы продать ресурсы было бы не менее выгодно, чем производить продукцию?

f = b1y1 + b2y2  + … + bmym  min

yi  0, i = 1, …, m,


  

Пары двойственных задач

А. Несимметричные

Прямая задача:                    Двойственная задача:

                 

              

Б. Симметричные

Прямая задача:                    Двойственная задача:

                 

               


Основные теоремы двойственности

Теорема 1 (основное неравенство двойственности).

Для любых допустимых планов X прямой и Y двойственной задач их целевые функции z(X) и f(Y) связаны между собой неравенствами:

при минимизации   z(X) z(X)  f(Y),

при максимизации  z(X) z(X)  f(Y),

и не существенно, какая задача прямая, а какая - двойственная.

Доказательство.

При максимизации z(X):

При минимизации z(X) необходимо записать задачи в соответствующем виде и доказать по аналогии с приведенным доказательством (самостоятельно!).


Теорема 2 (
критерий оптимальности Канторовича).

Если на допустимых планах прямой и двойственной задач ЛП значения целевых функций совпадают, то эти планы являются оптимальными и наоборот, если планы прямой и двойственной задач оптимальны, то значения целевых функций на них совпадают.

Доказательство. (Докажем прямое утверждение)

Пусть X – допустимый план прямой задачи, а Y – допустимый план двойственной задачи и z(X) = f(Y).

Пусть X' – произвольный допустимый план прямой задачи. Тогда по основному неравенству двойственности

z(X')  f(Y), т.е. z(X')  f(Y) = z(X),

т.е. значение целевой функции прямой задачи в точке X является максимальным (т.к. это неравенство выполняется для любого допустимого плана).

Пусть Y' – произвольный допустимый план двойственной задачи. Тогда по основному неравенству двойственности

f(Y')  z(X) = f(Y),

т.е. значение целевой функции двойственной задачи в точке Y является минимальным.

Теорема 3. Для существования оптимального решения как прямой, так и двойственной задачи ЛП необходимо и достаточно существования какого-либо допустимого плана для каждой из них.

Доказательство.

Необходимость. Оптимальные решения являются допустимыми по определению. Если существуют оптимальные планы, то с очевидностью существуют и допустимые.

Достаточность. Если Y – допустимый план двойственной задачи, то по основному неравенству двойственности для любого допустимого плана X' прямой задачи выполняется z(X')  f(Y).

Т.о., последовательность значений целевой функции прямой задачи z(X1), z(X2), … на различных ее допустимых планах X1, X2, …, полученных симплекс-методом, является неубывающей и ограниченной сверху. Поэтому на допустимых планах X1, X2, … можно выбрать такой план X, для которого z(X')  z(X) при любом X', что доказывает условие достаточности для максимума.

Теорема 4. Если прямая (двойственная) задача имеет оптимальное решение, то и двойственная (прямая) задача имеет оптимальное решение.

Теорема 5. Если прямая (двойственная) задача не имеет решения из-за неограниченности целевой функции на множестве допустимых решений, то система ограничений двойственной (прямой) задачи противоречива.

Теорема 6 (о дополняющей нежесткости)

Необходимым и достаточным условиями оптимальности допустимых планов прямой X и двойственной Y задач является выполнение условий дополняющей нежесткости


Использование двойственности при решении задач ЛП

Теория двойственности позволила усовершенствовать симплекс-метод и создать улучшенный (или исправленный) симплекс-метод, который позволяет получать сразу решение и исходной и двойственной задач. Поэтому можно выбирать, решать ли задачу в том виде, в котором она поставлена, или решать двойственную задачу. Так как объем вычислений в задаче ЛП связан скорее с количеством ограничений, чем с количеством переменных, то можно порекомендовать переходить к двойственной задаче в случае, когда ограничений больше, чем переменных.

Теория двойственности позволяет также проводить анализ устойчивости решения при изменении коэффициентов cj и bj, то есть определять границы изменения этих коэффициентов при изменении условий (например, стоимости, запасов ресурсов и т.п.), то есть заранее знать, изменится или нет оптимальное решение, нужен ли дополнительный анализ, понадобится ли еще раз принимать решение.

Теория двойственности создана Дж. Фон Нейманом и Л.В. Канторовичем.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19580. РАЗРАБОТКА КОМПЛЕКСА МАРКЕТИНГА ДЛЯ ИП «БЕЛОВ Ю.В.» 273.93 KB
  В настоящее время большинство компаний в той или иной форме регулярно осуществляют рыночные исследования. Содержание понятия «маркетинг» определяется стоящими перед ним задачами
19581. ОЦЕНКА ФИНАНСОВОГО СОСТОЯНИЯ ОРГАНИЗАЦИИ 91.5 KB
  Методы и инструментарий финансового анализа. Общая оценка финансового состояния организации и изменений его финансовых показателей за отчетный период. Анализ платежеспособности и финансовой устойчивости организации. Анализ кредитоспособности и ликвидности баланса организации. Анализ эффективности использования оборотных средств.
19582. РОЗРОБКА HTML5 ДОДАТКУ ДЛЯ ВІЗУАЛІЗАЦІЇ ТА МАНІПУЛЯЦІЇ СІТКАМИ ЕЛЕМЕНТІВ 991 KB
  HTML еволюціонує, забезпечуючи поліпшену і складнішу стандартну графіком, що сприяє підвищенню якості взаємодії з користувачами. Це дає веб- розробникам можливість використовувати веб- технології на основі стандартів для створення інтерактивних сайтів і додатків зі складною графікою
19583. Техніка. Історія розвитку техніки. Основні види техніки 38.5 KB
  Тема.2.1.1 Техніка. Історія розвитку техніки. Основні види техніки. Мета: ознайомити з історією розвитку техніки та засобів праці значенням машин у сучасному виробництві та побуті; розвивати інтерес до техніки розширювати технічний кругозір творчі здібності; виховува...
19584. Мозг и психика 115 KB
  Сознание и мышление человека, его идеалы и духовные потребности, планы и образы окружающей действительности, какие бы возвышенные чувства у нас ни вызывали, прозаически связаны с функционированием вещественного, материального органа — мозга
19585. Обоснование плана развития растениеводства на предприятии ООО «Зелёные линии - Калуга 260 KB
  Целью курсовой работы является изучение состояния отрасли овощеводства ООО «Зелёные линии - Калуга», разработка мероприятий по совершенствованию производства культур, обоснование затрат на их реализацию.
19586. Проектирование плоских рычажных механизмов 697 KB
  Плоские рычажные механизмы, звенья которых образуют вращательные или поступательные кинематические пары, получили широкое распространение в современном машино и приборостроении.
19587. Цилиндрические зубчатые передачи 609.5 KB
  Передача непрерывного прошения от одного вала к другому с заданным передаточным отношением чаще всего осуществляется с помощью зубчатых механизмов. Зубчатые механизмы получили очень широкое применение как в машиностроении...
19588. Технологічний процес. Деталь. Фанера 64 KB
  Тема: Технологічний процес. Деталь. Фанера Мета: освітня: формування поняття деталь та технологічний процес; ознайомлення учнів з деякими способами отримання деталей та способами зєднання з фанери; формування в учнів знань про фанеру як конструкційний матеріал;