9904

Двойственность в линейном программировании

Реферат

Информатика, кибернетика и программирование

Двойственность в линейном программировании Для любой задачи ЛП можно сформулировать двойственную задачу, являющуюся зеркальным отражением исходной задачи, т.к. она использует те же параметры, а ее решение может быть получено одновременно с решение...

Русский

2013-03-18

47 KB

46 чел.

Двойственность в линейном программировании

Для любой задачи ЛП можно сформулировать двойственную задачу, являющуюся "зеркальным отражением" исходной задачи, т.к. она использует те же параметры, а ее решение может быть получено одновременно с решением исходной задачи.

Прямая задача:

Сколько изделий и какой конструкции xj (j = 1, …, n) необходимо произвести, чтобы при заданных стоимостях                    cj (j = 1, …, n) единицы продукции и размерах имеющихся ресурсов bi (i = 1, …, m) максимизировать выпуск продукции в стоимостном выражении?

z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn  max

xj  0, j = 1, …, n

Двойственная задача:

Какие цены yi на единицу каждого из ресурсов нужно назначить при заданных количествах ресурсов bi и величинах стоимости продукции cj, чтобы продать ресурсы было бы не менее выгодно, чем производить продукцию?

f = b1y1 + b2y2  + … + bmym  min

yi  0, i = 1, …, m,


  

Пары двойственных задач

А. Несимметричные

Прямая задача:                    Двойственная задача:

                 

              

Б. Симметричные

Прямая задача:                    Двойственная задача:

                 

               


Основные теоремы двойственности

Теорема 1 (основное неравенство двойственности).

Для любых допустимых планов X прямой и Y двойственной задач их целевые функции z(X) и f(Y) связаны между собой неравенствами:

при минимизации   z(X) z(X)  f(Y),

при максимизации  z(X) z(X)  f(Y),

и не существенно, какая задача прямая, а какая - двойственная.

Доказательство.

При максимизации z(X):

При минимизации z(X) необходимо записать задачи в соответствующем виде и доказать по аналогии с приведенным доказательством (самостоятельно!).


Теорема 2 (
критерий оптимальности Канторовича).

Если на допустимых планах прямой и двойственной задач ЛП значения целевых функций совпадают, то эти планы являются оптимальными и наоборот, если планы прямой и двойственной задач оптимальны, то значения целевых функций на них совпадают.

Доказательство. (Докажем прямое утверждение)

Пусть X – допустимый план прямой задачи, а Y – допустимый план двойственной задачи и z(X) = f(Y).

Пусть X' – произвольный допустимый план прямой задачи. Тогда по основному неравенству двойственности

z(X')  f(Y), т.е. z(X')  f(Y) = z(X),

т.е. значение целевой функции прямой задачи в точке X является максимальным (т.к. это неравенство выполняется для любого допустимого плана).

Пусть Y' – произвольный допустимый план двойственной задачи. Тогда по основному неравенству двойственности

f(Y')  z(X) = f(Y),

т.е. значение целевой функции двойственной задачи в точке Y является минимальным.

Теорема 3. Для существования оптимального решения как прямой, так и двойственной задачи ЛП необходимо и достаточно существования какого-либо допустимого плана для каждой из них.

Доказательство.

Необходимость. Оптимальные решения являются допустимыми по определению. Если существуют оптимальные планы, то с очевидностью существуют и допустимые.

Достаточность. Если Y – допустимый план двойственной задачи, то по основному неравенству двойственности для любого допустимого плана X' прямой задачи выполняется z(X')  f(Y).

Т.о., последовательность значений целевой функции прямой задачи z(X1), z(X2), … на различных ее допустимых планах X1, X2, …, полученных симплекс-методом, является неубывающей и ограниченной сверху. Поэтому на допустимых планах X1, X2, … можно выбрать такой план X, для которого z(X')  z(X) при любом X', что доказывает условие достаточности для максимума.

Теорема 4. Если прямая (двойственная) задача имеет оптимальное решение, то и двойственная (прямая) задача имеет оптимальное решение.

Теорема 5. Если прямая (двойственная) задача не имеет решения из-за неограниченности целевой функции на множестве допустимых решений, то система ограничений двойственной (прямой) задачи противоречива.

Теорема 6 (о дополняющей нежесткости)

Необходимым и достаточным условиями оптимальности допустимых планов прямой X и двойственной Y задач является выполнение условий дополняющей нежесткости


Использование двойственности при решении задач ЛП

Теория двойственности позволила усовершенствовать симплекс-метод и создать улучшенный (или исправленный) симплекс-метод, который позволяет получать сразу решение и исходной и двойственной задач. Поэтому можно выбирать, решать ли задачу в том виде, в котором она поставлена, или решать двойственную задачу. Так как объем вычислений в задаче ЛП связан скорее с количеством ограничений, чем с количеством переменных, то можно порекомендовать переходить к двойственной задаче в случае, когда ограничений больше, чем переменных.

Теория двойственности позволяет также проводить анализ устойчивости решения при изменении коэффициентов cj и bj, то есть определять границы изменения этих коэффициентов при изменении условий (например, стоимости, запасов ресурсов и т.п.), то есть заранее знать, изменится или нет оптимальное решение, нужен ли дополнительный анализ, понадобится ли еще раз принимать решение.

Теория двойственности создана Дж. Фон Нейманом и Л.В. Канторовичем.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67521. Уравнения и характеристики двигателя постоянного тока последовательного возбуждения. Управление напряжением и реостатное 225.5 KB
  Схема включения двигателя последовательного возбуждения показана на рис. Схема включения двигателя последовательного возбуждения Уравнение баланса напряжений и выражения для ЭДС и электромагнитного момента имеют вид: U = rя rв I Eя; 4. Механические характеристики двигателя последовательного возбуждения...
67522. Причины и признаки экологического кризиса. Глобальные экологические проблемы 114 KB
  По ходу развития цивилизации перед человечеством неоднократно возникали сложные проблемы порою планетарного характера. В полной мере эти проблемы проявились уже во второй половине и в особенности в последней четверти XX века то есть на рубеже двух веков и даже тысячелетий.
67523. Управление шаговым двигателем с реактивным ротором и линейным шаговым двигателем с постоянным магнитом 273.5 KB
  Фазы обмотки питаются прямоугольными импульсами напряжения. В ответ на каждый импульс ротор поворачивается на определенный угол и останавливается в ожидании следующего импульса. Показаны пути замыкания магнитного потока Ф созданного фазой А при подаче на нее импульса напряжения U0.
67524. Моменты синхронного двигателя и его пуск при питании от инвертора частоты. Синхронизирующий момент 595.5 KB
  Схема включения обмоток синхронного двигателя Вращающееся магнитное поле статора увлекает за собой ротор-индуктор который в установившемся режиме вращается синхронно с полем. Рассмотрим СД ротор которого имеет неявно выраженные полюса с постоянным магнитным потоком...
67525. Моментный электропривод с синхронным двигателем и синусно-косинусным вращающимся трансформатором 364.5 KB
  В целом электропривод ведет себя как электромеханическая система с пропорциональным управлением и гибкой тахометрической обратной связью. Следует обратить внимание, что амплитудно-модулированные сигналы и синусно-косинусный вращающийся трансформатор СКВТ были применены для получения двойной информации...
67526. АНТРОПОГЕННЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ НА БИОСФЕРУ. ЗАГРЯЗНЕНИЕ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ 258.5 KB
  По объектам загрязнения различают загрязнение поверхностных и подземных вод загрязнение атмосферного воздуха загрязнение почв и т. Источниками антропогенного загрязнения наиболее опасного для популяций любых организмов являются промышленные предприятия химические металлургические целлюлозно-бумажные...
67527. Обобщенная электрическая машина, соответствующая синхронному двигателю 270.5 KB
  Электрические машины разных типов имеют разное математическое описание. Современные электромеханические системы содержат электрические машины разных типов. Анализ таких систем оказывается затруднительным. Теория обобщенных электрических машин упрощает анализ сложных электромеханических систем, так как...
67529. АНТРОПОГЕННЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ НА АТМОСФЕРУ 98.5 KB
  Охрана атмосферного воздуха ключевая проблема оздоровления окружающей природной среды. Человек может находиться без пищи пять недель без воды пять дней а без воздуха всего лишь пять минут. Оно происходит при вымывании аэрозолей из атмосферы осадками турбулентном перемешивании приземного слоя...