9904

Двойственность в линейном программировании

Реферат

Информатика, кибернетика и программирование

Двойственность в линейном программировании Для любой задачи ЛП можно сформулировать двойственную задачу, являющуюся зеркальным отражением исходной задачи, т.к. она использует те же параметры, а ее решение может быть получено одновременно с решение...

Русский

2013-03-18

47 KB

45 чел.

Двойственность в линейном программировании

Для любой задачи ЛП можно сформулировать двойственную задачу, являющуюся "зеркальным отражением" исходной задачи, т.к. она использует те же параметры, а ее решение может быть получено одновременно с решением исходной задачи.

Прямая задача:

Сколько изделий и какой конструкции xj (j = 1, …, n) необходимо произвести, чтобы при заданных стоимостях                    cj (j = 1, …, n) единицы продукции и размерах имеющихся ресурсов bi (i = 1, …, m) максимизировать выпуск продукции в стоимостном выражении?

z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn  max

xj  0, j = 1, …, n

Двойственная задача:

Какие цены yi на единицу каждого из ресурсов нужно назначить при заданных количествах ресурсов bi и величинах стоимости продукции cj, чтобы продать ресурсы было бы не менее выгодно, чем производить продукцию?

f = b1y1 + b2y2  + … + bmym  min

yi  0, i = 1, …, m,


  

Пары двойственных задач

А. Несимметричные

Прямая задача:                    Двойственная задача:

                 

              

Б. Симметричные

Прямая задача:                    Двойственная задача:

                 

               


Основные теоремы двойственности

Теорема 1 (основное неравенство двойственности).

Для любых допустимых планов X прямой и Y двойственной задач их целевые функции z(X) и f(Y) связаны между собой неравенствами:

при минимизации   z(X) z(X)  f(Y),

при максимизации  z(X) z(X)  f(Y),

и не существенно, какая задача прямая, а какая - двойственная.

Доказательство.

При максимизации z(X):

При минимизации z(X) необходимо записать задачи в соответствующем виде и доказать по аналогии с приведенным доказательством (самостоятельно!).


Теорема 2 (
критерий оптимальности Канторовича).

Если на допустимых планах прямой и двойственной задач ЛП значения целевых функций совпадают, то эти планы являются оптимальными и наоборот, если планы прямой и двойственной задач оптимальны, то значения целевых функций на них совпадают.

Доказательство. (Докажем прямое утверждение)

Пусть X – допустимый план прямой задачи, а Y – допустимый план двойственной задачи и z(X) = f(Y).

Пусть X' – произвольный допустимый план прямой задачи. Тогда по основному неравенству двойственности

z(X')  f(Y), т.е. z(X')  f(Y) = z(X),

т.е. значение целевой функции прямой задачи в точке X является максимальным (т.к. это неравенство выполняется для любого допустимого плана).

Пусть Y' – произвольный допустимый план двойственной задачи. Тогда по основному неравенству двойственности

f(Y')  z(X) = f(Y),

т.е. значение целевой функции двойственной задачи в точке Y является минимальным.

Теорема 3. Для существования оптимального решения как прямой, так и двойственной задачи ЛП необходимо и достаточно существования какого-либо допустимого плана для каждой из них.

Доказательство.

Необходимость. Оптимальные решения являются допустимыми по определению. Если существуют оптимальные планы, то с очевидностью существуют и допустимые.

Достаточность. Если Y – допустимый план двойственной задачи, то по основному неравенству двойственности для любого допустимого плана X' прямой задачи выполняется z(X')  f(Y).

Т.о., последовательность значений целевой функции прямой задачи z(X1), z(X2), … на различных ее допустимых планах X1, X2, …, полученных симплекс-методом, является неубывающей и ограниченной сверху. Поэтому на допустимых планах X1, X2, … можно выбрать такой план X, для которого z(X')  z(X) при любом X', что доказывает условие достаточности для максимума.

Теорема 4. Если прямая (двойственная) задача имеет оптимальное решение, то и двойственная (прямая) задача имеет оптимальное решение.

Теорема 5. Если прямая (двойственная) задача не имеет решения из-за неограниченности целевой функции на множестве допустимых решений, то система ограничений двойственной (прямой) задачи противоречива.

Теорема 6 (о дополняющей нежесткости)

Необходимым и достаточным условиями оптимальности допустимых планов прямой X и двойственной Y задач является выполнение условий дополняющей нежесткости


Использование двойственности при решении задач ЛП

Теория двойственности позволила усовершенствовать симплекс-метод и создать улучшенный (или исправленный) симплекс-метод, который позволяет получать сразу решение и исходной и двойственной задач. Поэтому можно выбирать, решать ли задачу в том виде, в котором она поставлена, или решать двойственную задачу. Так как объем вычислений в задаче ЛП связан скорее с количеством ограничений, чем с количеством переменных, то можно порекомендовать переходить к двойственной задаче в случае, когда ограничений больше, чем переменных.

Теория двойственности позволяет также проводить анализ устойчивости решения при изменении коэффициентов cj и bj, то есть определять границы изменения этих коэффициентов при изменении условий (например, стоимости, запасов ресурсов и т.п.), то есть заранее знать, изменится или нет оптимальное решение, нужен ли дополнительный анализ, понадобится ли еще раз принимать решение.

Теория двойственности создана Дж. Фон Нейманом и Л.В. Канторовичем.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66494. ОСОБЕННОСТИ РАЗВИТИЯ ВНИМАНИЯ У ДЕТЕЙ ДОШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА 315.5 KB
  Внимание среди познавательных процессов занимает особенное место, поскольку оно не имеет собственного содержания, а обслуживает другие психические процессы. Внимание во многом определяет успешность их функционирования. От уровня развития свойств внимания (устойчивости, концентрации, объёма, распределения, переключения)
66497. Механизмы сетевого взаимодействия 39.5 KB
  Цель работы – изучить программный интерфейс сетевых сокетов, получить навыки организации взаимодействия программ при помощи протоколов Internet и разработки прикладных сетевых сервисов.
66499. Автоматическое управление в функции времени. Реле времени 248.5 KB
  Наряду с автоматизацией технологических процессов реле времени широко применяют для автоматизации процесса пуска мощных электродвигателей посредством пусковых реостатов в металлорежущих станках бытовых машинах и пр.
66501. Программирование и использование программных модулей 83 KB
  Разработать программный модуль (ПМ), в котором содержится не менее 4 подпрограмм (таблица 1) Задание 2 Составить Паскаль-программу, в которой используется не менее 4 подпрограмм программного модуля, разработанного в задании 1. Отчет должен содержать: -название лабораторной работы и номер варианта...
66502. Вибір та тестування оперативної пам’яті ПК 319 KB
  Мета: Набути вмінь та навиків при виборі та тестуванні оперативної пам’яті. ХІД РОБОТИ 1. Отримати від викладача материнську плату. 2. Визначити кількість роз’ємів для оперативної пам’яті. 3. Визначити тип модулів пам’яті, які встановлюються в дану материнську плату...