9904

Двойственность в линейном программировании

Реферат

Информатика, кибернетика и программирование

Двойственность в линейном программировании Для любой задачи ЛП можно сформулировать двойственную задачу, являющуюся зеркальным отражением исходной задачи, т.к. она использует те же параметры, а ее решение может быть получено одновременно с решение...

Русский

2013-03-18

47 KB

46 чел.

Двойственность в линейном программировании

Для любой задачи ЛП можно сформулировать двойственную задачу, являющуюся "зеркальным отражением" исходной задачи, т.к. она использует те же параметры, а ее решение может быть получено одновременно с решением исходной задачи.

Прямая задача:

Сколько изделий и какой конструкции xj (j = 1, …, n) необходимо произвести, чтобы при заданных стоимостях                    cj (j = 1, …, n) единицы продукции и размерах имеющихся ресурсов bi (i = 1, …, m) максимизировать выпуск продукции в стоимостном выражении?

z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn  max

xj  0, j = 1, …, n

Двойственная задача:

Какие цены yi на единицу каждого из ресурсов нужно назначить при заданных количествах ресурсов bi и величинах стоимости продукции cj, чтобы продать ресурсы было бы не менее выгодно, чем производить продукцию?

f = b1y1 + b2y2  + … + bmym  min

yi  0, i = 1, …, m,


  

Пары двойственных задач

А. Несимметричные

Прямая задача:                    Двойственная задача:

                 

              

Б. Симметричные

Прямая задача:                    Двойственная задача:

                 

               


Основные теоремы двойственности

Теорема 1 (основное неравенство двойственности).

Для любых допустимых планов X прямой и Y двойственной задач их целевые функции z(X) и f(Y) связаны между собой неравенствами:

при минимизации   z(X) z(X)  f(Y),

при максимизации  z(X) z(X)  f(Y),

и не существенно, какая задача прямая, а какая - двойственная.

Доказательство.

При максимизации z(X):

При минимизации z(X) необходимо записать задачи в соответствующем виде и доказать по аналогии с приведенным доказательством (самостоятельно!).


Теорема 2 (
критерий оптимальности Канторовича).

Если на допустимых планах прямой и двойственной задач ЛП значения целевых функций совпадают, то эти планы являются оптимальными и наоборот, если планы прямой и двойственной задач оптимальны, то значения целевых функций на них совпадают.

Доказательство. (Докажем прямое утверждение)

Пусть X – допустимый план прямой задачи, а Y – допустимый план двойственной задачи и z(X) = f(Y).

Пусть X' – произвольный допустимый план прямой задачи. Тогда по основному неравенству двойственности

z(X')  f(Y), т.е. z(X')  f(Y) = z(X),

т.е. значение целевой функции прямой задачи в точке X является максимальным (т.к. это неравенство выполняется для любого допустимого плана).

Пусть Y' – произвольный допустимый план двойственной задачи. Тогда по основному неравенству двойственности

f(Y')  z(X) = f(Y),

т.е. значение целевой функции двойственной задачи в точке Y является минимальным.

Теорема 3. Для существования оптимального решения как прямой, так и двойственной задачи ЛП необходимо и достаточно существования какого-либо допустимого плана для каждой из них.

Доказательство.

Необходимость. Оптимальные решения являются допустимыми по определению. Если существуют оптимальные планы, то с очевидностью существуют и допустимые.

Достаточность. Если Y – допустимый план двойственной задачи, то по основному неравенству двойственности для любого допустимого плана X' прямой задачи выполняется z(X')  f(Y).

Т.о., последовательность значений целевой функции прямой задачи z(X1), z(X2), … на различных ее допустимых планах X1, X2, …, полученных симплекс-методом, является неубывающей и ограниченной сверху. Поэтому на допустимых планах X1, X2, … можно выбрать такой план X, для которого z(X')  z(X) при любом X', что доказывает условие достаточности для максимума.

Теорема 4. Если прямая (двойственная) задача имеет оптимальное решение, то и двойственная (прямая) задача имеет оптимальное решение.

Теорема 5. Если прямая (двойственная) задача не имеет решения из-за неограниченности целевой функции на множестве допустимых решений, то система ограничений двойственной (прямой) задачи противоречива.

Теорема 6 (о дополняющей нежесткости)

Необходимым и достаточным условиями оптимальности допустимых планов прямой X и двойственной Y задач является выполнение условий дополняющей нежесткости


Использование двойственности при решении задач ЛП

Теория двойственности позволила усовершенствовать симплекс-метод и создать улучшенный (или исправленный) симплекс-метод, который позволяет получать сразу решение и исходной и двойственной задач. Поэтому можно выбирать, решать ли задачу в том виде, в котором она поставлена, или решать двойственную задачу. Так как объем вычислений в задаче ЛП связан скорее с количеством ограничений, чем с количеством переменных, то можно порекомендовать переходить к двойственной задаче в случае, когда ограничений больше, чем переменных.

Теория двойственности позволяет также проводить анализ устойчивости решения при изменении коэффициентов cj и bj, то есть определять границы изменения этих коэффициентов при изменении условий (например, стоимости, запасов ресурсов и т.п.), то есть заранее знать, изменится или нет оптимальное решение, нужен ли дополнительный анализ, понадобится ли еще раз принимать решение.

Теория двойственности создана Дж. Фон Нейманом и Л.В. Канторовичем.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63099. Пошук інформації в мережі Інтернет 1.32 MB
  Староста доповідає про наявність учнів на уроці. Мабуть вона вже відома вам з повсякденного життя але чи впевнені ви що вмієте повністю використовувати можливості пошуку інформації...
63105. Подготовка семян гороха к посеву 23.73 KB
  Цель урока: Ознакомление с правилами и последовательностью подготовки семян гороха к посеву. Задачи: обучение определению всхожести семян гороха; коррекция и развитие внимания памяти речи мелкой моторики на основе выполнения заданий физминутки и практической работы...