99049

Похідна та її вивчення у шкільному курсі математики

Курсовая

Педагогика и дидактика

Поняття функції дійсної змінної та її границі. Множина Е при цьому називається областю існування або областю визначення функції . Якщо функція визначена на множині Е і - довільна фіксована точка цієї множини то число якому функція ставить у відповідність точку називається значенням цієї функції в точці і позначається . Існує ряд способів задання функції.

Русский

2016-07-29

239.82 KB

0 чел.

ВСТУП

Подібно до того, як Архімед,

відкривши закон важеля, сказав:

«Дайте мені точку опори, і я зрушу

Землю», так і Ньютонові сучасники

говорили: «Складіть нам диференціальні

рівняння усіх рухів у природі і навчіть

нас їх інтегрувати, тоді ми будемо подібні

до Бога, бо за допомогою обчислень точно

знатимемо майбутні події».

Д. О. Граве

     Розділ алгебри та початків аналізу «Похідна та її застосування» займає значне місце у шкільному курсі математики, в першу чергу тому, що має велике прикладне значення.

Сучасна школа має забезпечити виховання всебічно розвиненої людини, тому одночасно з піднесенням науково-теоретичного рівня викладання треба дбати про вироблення в учнів уміння застосовувати здобуті знання на практиці, про розвиток розумових здібностей, виховання інтересу до предмета, про вміння самостійно здобувати знання.

Тема похідної та її застосування в курсі алгебри і початки аналізу має важливе значення в загальному розвитку дитини. В учнів формується: здатність самостійно аналізувати ситуацію, швидко адаптуватися до нових умов, уміння використовувати набуті знання, графічні навички (правильно і гарно виконувати побудову); розвивається: інтерес до алгебри і початків аналізу, здатність аналізувати і робити обґрунтовані висновки, культура усної і письмової математичної мови.

Загалом, вивчення теми похідна та її застосування в алгебрі та початках аналізу  робить суттєвий внесок у розвиток логічної культури учня.

При вивченні цієї теми вводиться поняття похідної, розкривається її геометричний і механічний зміст. Мова похідної дозволяє строго формулювати багато законів природи. У курсі математики за допомогою диференціального числення досліджуються властивості функцій, будуються їхні графіки, вирішуються задачі на найбільше й найменше значення, обчислюються площі й об'єми геометричних фігур, поглиблюються історичні знання з математики.

Актуальність теми роботи полягає в тому, що для багатьох задач елементарної математики в загальноосвітній школі допускається як «елементарне», так і «неелементарне» рішення. Застосування похідної дає як правило більше ефективне рішення. З'являється можливість оцінити силу, красу, спільність нового математичного апарата.

Все це зумовило вибір теми «Похідна та її вивчення у шкільному курсі математики».

Об’єктом дослідження є процес навчання математики в середніх загальноосвітніх навчальних закладах різних типів.

Предметом дослідження є методика розробки і використання конспектів уроків матеріалу курсу алгебри та початків аналізу  для середніх загальноосвітніх навчальних закладах різних типів.

Мета дослідження полягає в тому, щоб розробити систему дидактичних матеріалів для проблемного викладу матеріалу з теми похідна та її вивчення у шкільному курсі математики.

Для досягнення мети планується розв’язати такі завдання:

  1.  опрацювати науково-методичну літературу, що стосується вивчення даної теми;
  2.  проаналізувати шкільні програми, підручники та систематизувати відомості про вивчення похідної та її застосування в шкільному курсі алгебри;
  3.   розробити уроки по вивченню похідної та її застосування в середніх загальноосвітніх навчальних закладах різних типів; 
  4.  зробити висновки.

РОЗДІЛ І. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ТЕМИ «ПОХІДНА»

§1. Поняття функції дійсної змінної та її границі.

Нехай дано множину Е дійсних чисел. Якщо кожному числу x  Е за певним законом поставлено у відповідність одне дійсне число y, то кажуть, що на множині Е задана (визначена) функція і записують . При цьому x називається незалежною змінною, або аргументом, а y - залежною змінною, або функцією.  Множина Е при цьому називається областю існування, або областю визначення функції .

Якщо функція визначена на множині Е і  - довільна фіксована точка цієї множини, то число , якому функція ставить у відповідність точку , називається значенням цієї функції в точці  і позначається .

Існує ряд способів задання функції. Основними з них є такі: аналітичний, табличний і геометричний.

Класифікація функцій:

  1.  Обмежені функції. Функція, визначена на множині Е, називається

обмеженою зверху на цій множині, якщо існує число М таке, що для всіх x  Е правильна нерівність

.

Функція , визначена на множині Е, називається обмеженою знизу на цій множині, якщо існує число N таке, що для всіх x  Е правильна нерівність

Функція , обмежена на множині Е і зверху, і знизу називається обмеженою на цій множині.

Якщо функція  обмежена зверху (знизу), то графік цієї функції розміщений нижче (вище) від деякої прямої, паралельної осі Ох. Графік обмеженої функції розміщений між двома прямими, паралельними цій осі.

2. Монотонні функції. Функція, визначена на множині Е, навивається: а) зростаючою, б) спадною, в) незростаючою, г) неспадною на цій множині, якщо для будь-яких точок  і , правильна відповідно нерівність:

а) , б), в), г).

Зростаючі, спадні, незростаючі і неспадні функції на множині Е називаються монотонними на цій множині, а зростаючі і спадні функції, крім того, називаються строго монотонними.

3. Парні і непарні функції. Нехай Е — множина точок осі Ох — розміщена симетрично відносно початку координат, тобто якщо x  Е, то і — х Є Е. Функція , визначена на множині Е, розміщеній симетрично відносно початку координат, називається парною, якщо для будь-якого x  Е

,

і непарною, якщо

.

Графік парної функції розміщений симетрично відносно осі Оу, а графік непарної функції — симетрично відносно початку координат. Ця особливість графіків парної і непарної функцій дає змогу скоротити роботу з накреслення графіків таких функцій: досить накреслити графік функцій у тій частині області визначення, яка належить невід'ємній частині осі Ох, а потім продовжити його симетрично відносно осі Оу, якщо функція парна, і симетрично відносно початку координат, якщо функція непарна.

4. Періодичні функції. Функція , визначена на всій числовій осі, називається періодичною, якщо існує число , таке, що

для всіх x . Число  при цьому називається періодом функції

5. Елементарні функції. Функції степенева , показникова у = ах, логарифмічна, тригонометричні

, обернені тригонометричні  і стала у = с називаються основними елементарними функціями.

Основні елементарні функції, а також функції, знайдені за допомогою формул, що містять лише скінченне число арифметичних дій (додавання, віднімання, множення, ділення) і суперпозицій основних елементарних функцій, називаються елементарними функціями.

Елементарні функції поділяються на такі класи.

1) Цілі раціональні функції. Це функції вигляду

,

де аk (k = 0, 1, 2, ..., п) — сталі дійсні числа.

Цілі раціональні функції також називають алгебраїчними многочленами, або просто многочленами, а числа аk (k = 0, 1, 2, ..., п) — коефіцієнтами цих многочленів; якщо , то число п називають степенем даного многочлена.

  1.  Раціональні функції. Це функції вигляду

тобто частка двох цілих раціональних функцій.

Якщо, то раціональна функція є ціла раціональна функція. Якщо раціональна функція не є цілою, то вона називається дробово-раціональною функцією. Отже, множина всіх дробово-раціональних функцій є підмножиною множини всіх раціональних функцій.

3) Ірраціональні функції. Це функції, які задані за допомогою суперпозицій раціональних функцій, степеневих функцій з раціональними показниками і чотирьох арифметичних дій, застосованих скінченне число раз. Наприклад,

— ірраціональна функція.

4) Алгебраїчні функції. Функція у від х називається алгебраїчною, якщо вона задовольняє рівняння

,

де  (k = 0, 1, 2, ..., п) — алгебраїчні многочлени від х.

Всяка раціональна функція є алгебраїчною, оскільки вона задовольняє рівняння

 

Можна показати, що і всяка ірраціональна функція також є алгебраїчною. 5) Трансцендентні функції. Елементарні функції, які не є алгебраїчними, називаються трансцендентними елементарними функціями. Можна показати, що тригонометричні, обернені тригонометричні, показникова і логарифмічна функції є трансцендентними елементарними функціями.

У курсі «Математичного аналізу» вивчають досить важливі властивості функцій, які не можна дослідити елементарними способами. В основі методів, за допомогою яких удається дослідити ці нові властивості, лежить поняття границі функції, одне із фундаментальних понять математики.

Розглянемо границю функції відносно множини. Нехай функція визначена на множині Е точок числової прямої і — гранична точка цієї множини, скінченна чи нескінченно віддалена. Число А називається границею функції   у точці  відносно множини Е, якщо для будь - якого числа  > 0 існує проколений окіл О* ( точки  такий, що для всіх x  Е  О* правильна нерівність

.

Те, що функція  у точці , скінченній чи нескінченно віддаленій, має границю відносно множини Е, яка дорівнює А, записуємо символічно так:

або     (x  Е, .

Зауважимо, що число  в цьому означенні будь-яке і, отже, може бути як завгодно малим. Якщо нерівність  виконується для заданого

  > 0, то вона тим більше виконуватиметься для будь-якого числа ' >. Тому в означенні границі функції важливими є малі числа > 0. Окіл О  точки , скінченної чи нескінченно віддаленої, кажучи взагалі, залежить від взятого числа > 0 і від самої точки , і якщо число > 0 буде спадати, прямуючи до нуля, то окіл О () зменшуватиметься, стягуючись до точки . Якщо нерівність  виконується для всіх точок x  Е, які належать проколеному околу О* () точки , то вона буде виконуватись і для всіх точок x  Е, що належать будь-якому іншому проколеному околу О1*  О* () цієї точки. Окільки в означенні границі функції в точці  нічого не говориться про розміри проколеного околу О* (), то його можна вважати як завгодно малим. Нарешті, нагадаємо, що значення функції  і в точці , і в точках, які не належать проколеному околу О* () точки , не беруть участі в означенні границі цієї функції в точці . Функція  у цих точках може бути не визначена. Тому існування границі функції в точці  відносно множини Е і величина цієї границі залежать від поведінки функції в досить малому проколеному околі О* () точки . Іншими словами, властивість функції мати границю в точці  є властивістю локальною: в одній точці границя може існувати, а в іншій — ні.

Теорема 1. Нехай функція  визначена на множині Е і  — гранична точка цієї множини, скінченна чи нескінченно віддалена.

Якщо

і Е1  Е, причому – гранична точка множини Е1, то

Тепер розглянемо границю функції. 

Нехай функція  визначена в інтервалі  тобто в деякому околі точки , за винятком, можливо, самої точки . Число А називається границею функції  в точці , якщо для будь-якого числа

 > 0 існує число  > 0 таке, що з нерівностей

випливає нерівність

.

Символічний запис у цьому випадку має вигляд

або                                                ( .

Неважко помітити, що це означення границі функції в точці  є окремим випадком загального означення границі функції в точці  відносно множини Е. Тут множина Е, на якій визначена функція, є околом  точки , за винятком, можливо, самої точки  Точка , очевидно, є граничною для Е. Роль околу О () точки  виконує інтервал                              , що є -околом цієї точки. Оскільки число  > 0 можна вважати досить малим, , то точки х, які задовольняють нерівності
, належатимуть проколеному околу   точки . Тому в символічному записі границі функції в точці  немає потреби вказувати на те, що x  Е, як це робилось у символічному записі загального означення границі функції в точці  відносно множини Е.

Якщо число А є границею функції  в точці , то геометрично це означає, що графік функції  для точок x   потрапляє всередину прямокутника, обмеженого прямими  Що ж до точки  (якщо в точці  функція  визначена), то вона може належати або не належати цьому прямокутнику.

Якщо число  спрямувати до нуля, то цей прямокутник буде стягуватись до точки  і, отже, коли точка х наближається до точки , графік функції наближається до точки .

Нехай функція  визначена на проміжку  (на проміжку ), . Число А називається правою (лівою) границею функції  в точці , коли для будь-якого числа   існує число  таке, що з нерівностей

випливає нерівність

                            .

Символічний запис у цьому випадку такий:

або                                                ( .

або                                                ( .

Запис  означає, що точка х наближається до точки  справа (зліва).

Теорема 2. Для того щоб функція в точці  мала границю, необхідно й достатньо, щоб у цій точці функція мала праву і ліву границі і щоб права границя дорівнювала лівій границі.

Критерієм існування границі є наступна теорема. Вона дає необхідну й достатню умову для існування границі функції в точці відносно множини Е.

Теорема 3. Для того щоб функція  визначена на множині Е, в граничній точці  цієї множини, скінченній чи нескінченно віддаленій, мала границю А відносно множини Е, необхідно й достатньо, щоб для будь-якої послідовності точок    справджувалась рівність

.

§2. Неперервність функцій. Таблиця важливих границь.

Функція , визначена в околі точки , називається неперервною в точці , якщо

Більш докладно умову неперервності функції  у точці  можна виразити у вигляді трьох вимог:

  1.   функція  повинна бути визначена в околі точки  (в тому числі і в самій точці );
  2.   в точці  вона повинна мати границю;
  3.   ця границя має дорівнювати значенню функції  в точці .

Якщо звернутись до означення границі, то рівність (1), що означає неперервність функції  в точці , на мові  означатиме: для будь-якого числа    існує число  таке, що з нерівності

                                                       (2)

випливає нерівність

                        (3)

Таким чином, на мові  неперервність функції в точці  можна означати так: функція , визначена в околі точки , називається неперервною в точці , якщо для будь-якого числа    існує число  таке, що з нерівності (2) випливає нерівність (3). Точки х, що задовольняють  нерівність (2),— це всі точки, які лежать  у -околі точки , і для кожної точки х значення функції  потрапляє в-окіл точки.

Поняття неперервної функції можна сформулювати і на мові приростів. Приростом аргументу х в точці  називається різниця  і позначається через .

Приростом функції в точці  називається різниця  і  позначається .

Оскільки , то

.                                    (4)

Приріст аргументу і приріст функції за знаком можуть бути і додатними, і від'ємними. Приріст функції, крім того, може дорівнювати й нулю.

Якщо точка  фіксована, то приріст (4) функції  в точці  є функцією від . Якщо , то, і, обернено, якщо , то . Якщо виконана рівність (1), то

при .                            (5)

Правильне й обернене твердження: з (5) випливає (1). Отже, означення неперервної функції в точці  можна сформулювати так: функція , визначена в околі точки , називається неперервною в точці , якщо
                                              

Іншими словами, функція  називається неперервною в точці , якщо нескінченно малим приростам аргументу відповідають нескінченно малі прирости функції.

З критерію існування границі і означення неперервності функції в точці випливає твердження, яке дає необхідну й достатню умову того, щоб функція  була неперервною в точці.

Теорема 1. Для того щоб функція , визначена в деякому околі точки , була неперервною в точці , необхідно й достатньо, щоб для будь-якої послідовності точок  , взятих із цього околу, яка збігається до точки , послідовність  збігалась до .

Дана теорема дає змогу дати інше означення неперервної функції в точці , еквівалентне поданому раніше. Саме функція, визначена в околі точки , називається неперервною в точці , якщо для всякої послідовності точок , з цього околу, збіжної до точки , послідовність  збігається до .

В теорії границь важливе місце займають перераховані нижче важливі границі (з їх допомогою обчислюється багато границь від елементарних функцій):

Приклади границь, що містять невизначеності виду нуль на нуль   часто зустрічаються у тригонометричних функціях. Для їх розкриття використовують першу чудову границю, суть якої полягає в тому, що границя відношення синус функції до аргументу, коли той прямує до нуля рівна одиниці                                                                                                                                                                                                                                                                              

На її основі можна отримати ряд корисних для практики важливих границь:

Друга чудова границя дозволяє розкривати невизначеності виду . Коротко вона має наступний запис:

Виходячи з неперервності функцій  і, використовуючи другу чудову границю, правильні ще кілька важливих рівностей:

Якщо покласти , то останню рівність можна записати   у вигляді

Приклади, які зводяться до першої та другої чудових границь зустрічаються доволі рідко, однак без них такі приклади не розв'язати.

Задачі, які приводять до поняття похідної

Задача про дотичну до кривої. Нехай дано криву АВ (рис. 1) і точку М0, що належить цій кривій. Візьмемо довільну точку М  АВ. Через точки М0 і М проведемо пряму М0М. Пряма, що проходить  через дві точки кривої, називається січною. Січна з кривою може мати дві (або більше) спільні точки. Нехай точка М рухається вздовж кривої АВ до точки М0. Тоді січна М0М при цьому може прямувати до деякого граничного положення М0Т (рис. 2). Пряма М0Т, яка є граничним положенням січної М0М, коли точка М вздовж кривої АВ наближається до точки М0, називається дотичною до кривої АВ в точці М0. Щоб це означення дотичної до кривої АВ в даній її точці М0 було строгим, треба дати означення граничного положення січної М0М. Вважають, що пряма М0Т є граничним положенням січної М0М, коли точка М вздовж кривої АВ наближається до точки М0, якщо для будь-якого числа існує число  таке, що, як тільки відстань точки М до точки М0 стане меншою  січна М0М потрапить всередину кута, для якого пряма М0Т є бісектрисою і величина якого менша від  (рис. 2). Дотична до кривої АВ в точці М0  АВ проходить через току М0 цієї кривої. Ця дотична з кривою АВ, крім точки М0, може мати й інші спільні точки, причому цих точок може бути нескінченна множина.

              рис. 1                               рис. 2

З означення дотичної до кривої АВ в точці М0  АВ випливає, що факт існування дотичної й її положення залежать від поведінки кривої АВ в досить малому околі точки М0. В одній точці кривої АВ дотична може існувати, в іншій її точці — ні. Припустимо, що дотична до кривої АВ в точці М0  АВ існує. З означення дотичної випливає, що до кривої АВ в точці М0  АВ може існувати тільки одна дотична. Завдання полягає в тому, щоб за рівнянням кривої АВ знайти рівняння її дотичної в точці М0  АВ.

Нехай крива АВ задана в прямокутних декартових координатах за допомогою рівняння у = , де — неперервна функція в проміжку , і нехай    є абсциса точки М0. Щоб знайти рівняння дотичної до кривої у =  в точці М0 (; ), досить знати кутовий коефіцієнт k цієї дотичної. Для цього на кривій у =  візьмемо довільну точку М з координатами (; ). Через точки М0 і М проведемо січну М0М (рис. 3).

Тангенс кута φ нахилу січної М0М з додатним напрямом осі Ох визначимо за формулою

де

               рис. 3                 

Припустимо, що дотична до кривої у =  в точці М0 не паралельна осі Оу. Якщо , то , точка ММ0, φ а, де  — кут нахилу дотичної М0Т до кривої у =  в точці М0 (; . Оскільки  є неперервною функцією кута φ, то  при . Отже, кутовий коефіцієнт k дотичної М0Т до кривої у =  в точці М0 можна обчислити за формулою

З формули видно, що для знаходження кутового коефіцієнта дотичної треба обчислити границю (1) відношення приросту функції  в точці  до приросту аргументу х в цій точці. З означення дотичної випливає також, що дотична до кривої у =  в точці М0 (; не паралельна осі Оу, існує тоді і тільки тоді, коли існує скінченна границя (1).

Задача про швидкість рухомої точки. Нехай точка М рухається по прямій за законом , де S — довжина шляху, взята від деякої початкової точки М0, t — час, за який пройдено шлях S. Нехай М — положення точки в момент t (рис. 4), а М' — в момент часу    і    — довжина шляху, пройденого за час . Відношення

в механіці називається величиною середньої швидкості руху на ділянці ММ', а границя цього відношення при  називається величиною швидкості руху в точці М, або величиною миттєвої швидкості в момент t. Якщо величину миттєвої швидкості в момент t позначити через V (t), то

Таким чином, для знаходження величини миттєвої швидкості в момент t треба обчислити границю (2) відношення приросту шляху  в момент t за часом, протягом якого цей приріст шляху відбувався за умови, що час прямує до нуля. Іншими словами, й тут треба знайти границю відношення приросту функції  в точці t до приросту аргументу t, коли приріст аргументу  прямує до нуля.

 М0                                                                          М                    М'

                                            

 

рис. 4

§4. Означення похідної. Правила диференціювання.

Нехай функція   визначена в деякому околі точки  і нехай х — точка з цього околу,  . Якщо відношення

має границю при , то ця границя називається похідною функції  в точці  і позначається . Таким чином,

Якщо ввести позначення , то означення похідної запишемо у вигляді

або у вигляді

тобто похідною функції  в точці  називається границя відношення (якщо вона існує) приросту функції  в точці  до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Рівність (1) §3 тепер можна записати так:

тобто похідна функції  в точці  дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до кривої  в точці  з додатним напрямом осі Ох. Це твердження виражає геометричний зміст похідної. Рівність (2) §3, яку можна переписати у вигляді

переконує нас у тому, що величина миттєвої швидкості в момент часу t дорівнює похідній від шляху по часу. Це твердження виражає механічний зміст похідної.

Основні правила диференціювання функцій:

1. Неперервність диференційовної функції. Функція називається диференційовною в точці х, якщо вона в цій точці мав скінченну похідну. Функція називається диференційовною в інтервалі (), якщо вона диференційовна в кожній точці цього інтервалу. Операція знаходження похідної від даної функції називається диференціюванням цієї функції.

Лема 1. Якщо функція диференційовна в точці х, то вона в цій точці неперервна.

Доведення. Нехай в точці х існує похідна

Звідси і з рівності

за теоремою про границю добутку маємо

Це означає, що функція в точці х неперервна.

2. Похідна суми, добутку і частки.

Теорема 1. Якщо функції і  диференційовні в точці , то в цій точці диференційовна функція , причому

(3)

тобто похідна суми диференційовних функцій у точці х дорівнює сумі похідних цих функцій у розглядуваній точці.

Доведення. Позначивши через, маємо

,

Звідси

Якщо умови теореми виконані, то

З рівності (2) за допомогою теореми про границю суми дістанемо

тобто функція диференційовна в точці х і має місце рівність (3).

Теорема 2. Якщо функції і  диференційовні в точці х, то функція  також диференційовна в цій точці, причому

Доведення. Позначивши , маємо

  

Звідси

Якщо виконані умови теореми, то правильні рівності (3), а внаслідок леми 1

З рівності (7) за допомогою теорем про границю добутку і суми дістанемо

тобто функція  диференційовна в точці х і правильна рівність (6).

Лема 2. Якщо  = с для   , то ) для , тобто похідна від сталої функції дорівнює нулю.

Доведення. Маємо

Звідси

Наслідок 1. Якщо функція диференційовна в точці х, то функція , де с — стале число, також диференційовна в цій точці х, причому

(8)

тобто сталий множник можна виносити за знак похідної.

Цей наслідок випливає з теореми 2 і леми 2. Формула (8) є окремим випадком формули (6) при  .

Наслідок 2. Різниця двох функцій, диференційовних у точці х, є функція, диференційовна в цій точці х, причому

Теорема 3. Якщо функції і   диференційовні в точці х і якщо в цій точці , то функція  диференційовна в точці х, причому

Доведення. За лемою 1 функція неперервна в точці х,  для всіх досить малих . Позначивши  маємо

Звідси

Якщо виконані умови теореми, то правильні рівності (5), а внаслідок леми 1 .

З рівності (8) ва допомогою теореми про границю суми, добутку і частки дістаємо

тобто функція   диференційовна в точці х і правильна рівність (9).

Наслідок 3. Якщо функція  диференційовна в точці х, причому

то в точці х диференційовна функція , причому

3. Похідна складеної функції.

Теорема 4. Якщо функція диференційовна в точці х, а функція диференційовна в точці , то складена функція  диференційовна в точці х, причому

Доведення. Нехай функція  диференційовна в точці и. Функцію визначимо за допомогою рівності

(12)

Функція  неперервна в точці , оскільки

Звідси випливає, що , коли , набуваючи при цьому яких завго днозначень, у тому числі і . З (12) маємо

(13)

причому остання рівність правильна і при .

Якщо функція  диференційовна в точці x, то за лемою 1

Оскільки функція  диференційовна в точці , то правильна рівність (13), де , причому не виключена можливість перетворення  в нуль при . Поділивши праву і ліву частини цієї рівності на , дістанемо

Вище було зазначено, що при , причому не виключена можливість перетворення  в нуль при . Оскільки  неперервна в точці , то  при . За умовою теореми

тоді з (14) маємо

Теорему доведено.

4. Похідна оберненої функції.

Теорема 5. Нехай функція  строго монотонна на проміжку  і неперервна на цьому проміжку. Якщо в точці  існує , то обернена функція в точці  має похідну, причому

Доведення. Нехай виконано умови теореми, обернена функція визначена на деякому проміжку , строго монотонна і неперервна на цьому проміжку. Оскільки , то, тобтонеперервна в точці у, причому внаслідок строгої монотонності оберненої функції

Маємо

Якщо , то внаслідок неперервності оберненої функції  в точці у і . За умовою теореми

Звідси і з рівності (16), використовуючи теорему про границю частки, дістанемо

і теорему доведено.

§ 5. Таблиця похідних та її обґрунтування.

1. Похідні основних елементарних функцій.

Теорема 1. Правильні такі рівності:

  1.  
  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  
  12.   
  13.   
  14.  
  15.  
  16.  
  17.  

Доведення. Якщо y = x, то

Якщо n натуральне число (n >1), то для будь-якого  

 

У точці х ≠ 0, яка є внутрішньою точкою області існування функції  

( — дійсне число), маємо

Якщо x = 0, то

 

Отже, формула 3) правильна в кожній внутрішній точці області існування функції , за винятком точки , коли .

Формули 4) і 5) випливають з формули 3) при   і .

Якщо , , то для будь-якого дістанемо.

Зокрема,

Використовуючи першу чудову границю і неперервність функції  для будь-якого , знайдемо

Аналогічно

Використовуючи теорему про похідну частки і рівності 8), 9), для будь-якого знайдемо

Аналогічно для

Для  маємо

Зокрема   Якщо  де   то,  тому  Застосовуючи теорему про похідну оберненої функції і рівність 8), для  знайдемо

Якщо  де   то,

  Застосовуючи теорему про похідну оберненої функції і рівність 9), знайдемо

Аналогічно длямаємо

Теорему доведено.

§ 6. Основні теореми диференціального числення.

Теореми Ролля, Лагранжа і Коші

Нагадаємо, що функція  називається диференційовною в інтервалі, якщо вона диференційовна в кожній точці цього інтервалу.

Теорема 1 (Ролля).  Якщо функція неперервна на відрізку , диференційовна в інтервалі , причому , то існує принаймні одна точка  така, що .

Доведення. Нехай виконано умови теореми. Функція , неперервна на відрізку , за другою теоремою Вейєрштрасса має на цьому відрізку найбільше і найменше значення, тобто існують дві точки  і  такі, що

для будь-якого  . Тут можливі два випадки: 1) т = М, 2) т < М. У першому випадку маємо:

тому  для будь-якого. У цьому випадку за точку  можна взяти будь-яку точку інтервалу . У другому випадку, внаслідок умови , принаймні одна з точок або  належить інтервалу . Нехай, наприклад,. Покажемо, що . Дійсно, для досить малих  точка  належатиме інтервалу , причому

Якщо  то з (1) маємо:

Якщо ж , то з (1) дістанемо:

З нерівностей (2) і (3) робимо висновок, що . У цьому випадку за точку  можна взяти точку . Коли б , то аналогічно переконалися б у тому, що . Теорему доведено.

Неважко з'ясувати геометричний зміст теореми Ролля: якщо функція  задовольняє умову теореми Ролля, то серед усіх дотичних до кривої                    існує принаймні одна, паралельна осі Ох.

Точка х0 називається нулем функції , якщо . З теореми Ролля випливає такий наслідок.

Наслідок. Якщо функція  неперервна на відрізку  і диференційовна в інтервалі , то між кожними двома нулями функції міститься принаймні один нуль  похідної .

Теорема 2 (Лагранжа). Якщо функція  неперервна на відрізку  диференційовна в інтервалі , то існує принаймні одна точка така, що

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію

Ця функція задовольняє всі умови теореми Ролля. Справді, вона неперервна на відрізку як різниця двох неперервних функцій на цьому відрізку: функцій і  Вона диференційовна в інтервалі , причому

На кінцях відрізка  функція  має однакові значення:

                 Рис. 5

За теоремою Ролля існує принаймні одна така точка , в якій . Тому, враховуючи (5) переконуємось у правильності рівності (4). Доведена теорема має простий геометричний зміст: якщо функція  задовольняє умови теореми Лагранжа, то серед усіх дотичних до кривої  знайдеться принаймні одна, яка паралельна хорді АВ, що з'єднує точки  i  (рис. 5).

Справді, тангенс кута , який утворює хорда АВ з додатним напрямом осі Ох, дорівнює

За теоремою Лагранжа існує точка , в якій виконується рівність (4), тобто . Використовуючи геометричний зміст похідної  в точці с, переконуємось у тому, що дотична до кривої в точці  утворює з додатним напрямом осі Ох кут, що дорівнює , тобто ця дотична паралельна хорді АВ.

Формула (4) називається формулою Лагранжа.

З нерівностейвипливають нерівності звідки 0Позначивши і зазначивши, що формулу Лагранжа (4) можна записати у такому вигляді:

Якщо функція  на відрізку задовольняє умови теореми Лагранжа, то вона задовольнятиме умови цієї теореми на кожному відрізку , де.

Позначивши  , за формулою Лагранжа (6)  маємо

Таким чином, приріст функції в точці, взагалі кажучи, не дорівнює диференціалу цієї функції в цій точці. Однак цей приріст функції дорівнює диференціалу цієї функції в деякій точці , що міститься між точками х і а.

Наслідок. Якщо функція  диференційовна в інтервалі , то в цьому інтервалі похідна   не може мати точок розриву першого роду.

Теорема 3 (Коші).  Якщо функції  і  неперервні на відрізку і дифєренційовні в інтервалі , причому в усіх точках  то існує принаймні одна точка така, що

Доведення. Насамперед зауважимо, що за умов, накладених у теоремі на функцію , значення цієї функції в точках а і b різні. Справді, за теоремою Лагранжа, умови якої тут виконані, маємо

Оскільки

Розглянемо допоміжну функцію

Ця функція задовольняє всі умови теореми Ролля. Вона неперервна на відрізку , диференційовна в інтервалі , причому для

На кінцях відрізка  функція  має однакові значення:

За теоремою Ролля є принаймні одна така точка, в якій   . Звідси із (8) маємо

Перенісши в праву частину другий член правої частини цієї рівності і поділивши після цього праву і ліву частини знайденої рівності на , дістанемо формулу (7).

Формула (7) називається формулою Коші. Зазначимо, що теорема Лагранжа виходить з теореми Коші, якщо за функцію  взяти функцію . В свою чергу, теорема Ролля виходить з теореми Лагранжа, якщо на функцію , яка задовольняє умови теореми Лагранжа, накласти ще умову: . 

Отже, з трьох теорем Ролля, Лагранжа і Коші найбільш загальною є теорема Коші.

§7. Похідні вищих порядків. Формула Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа і Коші.

Похідні вищих порядків. Нехай функція  визначена в інтервалі . В § 4 означено поняття похідної . Це похідна першого порядку. Якщо в інтервалі  існує похідна першого порядку  і якщо ця похідна, розглядувана як деяка функція від х, має похідну в усіх точках інтервалу , то похідна від похідної першого порядку функції  за означенням називається похідною другого порядку від цієї функції або другою похідною i позначається .

Отже, за означенням

Похідна другого порядку , розглядувана як деяка функція, визначена в інтервалі може мати похідну в інтервалі                        .

Похідна від похідної другого порядку функції  називається похідною третього порядку або третьою похідною цієї функції і позначається  або

Взагалі похідна від похідної n-го порядку функції  називається похідною -го порядку або -ю похідною цієї функції і позначається . Таким чином, за означенням

 Інтервал , в якому існує похідна п-го порядку функції , може збігатися з інтервалом  в якому визначена вихідна функція , може бути і частиною цього інтервалу.

Якщо функції  і  мають похідні n-го порядку в точці х, то в цій точці мають похідну n-го порядку і функції , , , , причому

де    і за означенням  Правильність рівностей (1) - (4) випливає з основних правил диференціювання функцій.

Функція , що має похідну n-го порядку в точці х, називається n разів дифенційовною в цій точці. Якщо функція  га разів диференційовна в кожній точці інтервалу , то вона називається n разів дифенційовною в цьому інтервалі.

Якщо функція , визначена на відрізку , має похідну в інтервалі , а в точці х = а (в точці х = b) має праву (ліву) похідну, то, розглядаючи похідну  як деяку функцію, визначену на відрізку , можна говорити про праву (ліву) похідну в точці х = а (в точці х = b) цієї функції. Якщо ця права (ліва) похідна в точці х = а (в точці х = b) існує, то вона називається правою (лівою) похідною другого поряд к у в точці х = а (в точці х = b)  або другою правою (лівою) похідною функції . Функцію  називаємо двічі диференційовною на відрізку , якщо вона двічі диференційовна в інтервалі , в точці х = а має праву похідну другого порядку, а в точці х = b — ліву похідну другого порядку.

Аналогічно означається права (ліва) похідна n-го порядку в точці х = а (в точці х = b) і n разів диференційовна функція на відрізку . Для правої (лівої) похідної n-го порядку правильні рівності (1) — (4) за умови, що функції  і  в точці х мають праву (ліву) похідну n-го порядку.  Формула Тейлора для довільної функції. Нехай функція  в точці х = а має похідні до порядку п включно. Позначимо через Рn (х; а) многочлен Тейлора цієї функції:

Розглянемо різницю

Найближче завдання полягає в тому, щоб різницю (6) виразити через значення похідної (п + 1)-го порядку функції . При певних умовах, накладених на функцію , це зробити можна. Правильна наступна теорема.

Теорема 1. Якщо функція на відрізку  неперервна разом із своїми похідними до порядку п включно, а в інтервалі  має похідну (п+1) -го порядку, то для будь-якого правильна рівність

тобто

де р - довільне додатне число і  0 <  < 1 (, взагалі кажучи, залежить від х, р і п).

Формула (7) називається формулою Тейлора для функції. Останній член, який стоїть у правій частині цієї формули, тобто член , називається додатковим членом формули Тейлора у формі Шльомильха i Роша. Цей додатковий член при р = п + 1 має вигляд

а при р — 1 — вигляд

Додаткові члени формули Тейлора, визначені за формулами (8) і (9), називаються додатковими членами відповідно у формі Лагранжа і у формі Коші.

Теорема 2. Якщо функція  на відрізку  неперервна разом із своїми похідними до порядку п включно, а в інтервалі  має похідну (п + +1) -го порядку, то для будь-якого правильні рівності

де  0 <  < 1.

        Формула (10) є формула Тейлора з допоміжним членом у формі Лагранжа, а формула (11) — формула Тейлора з допоміжним членом у формі Коші.

§8. Критерії сталості, монотонності і строгої монотонності диференційовних  функцій.

Теорема 1. Нехай функція неперервна на проміжку  і диференційовна в інтервалі . Для того щоб функція була сталою на проміжку , необхідно й достатньо, щоб  для всіх .

Доведення. Якщо функція  стала на проміжку , то  для всіх. Цим доведена необхідність. Доведемо достатність. Нехай  для всіх . Візьмемо будь-яку фіксовану точку . Тоді за теоремою Лагранжа в довільній точці  маємо

оскільки  Функція стала на проміжку . Теорему доведено.

Теорема 2. Нехай функція  неперервна на проміжку  і диференційовна в інтервалі . Для того щоб функція  не спадала (не зростала) на проміжку , необхідно й достатньо, щоб                          для всіх .

Доведення. Нехай функція  не спадає на проміжку  і нехай  . Тоді при  маємо

звідси і

Необхідність доведено. Припустимо тепер, що для всіх                     . Нехай   — довільні точки проміжку , . За теоремою Лагранжа, умови якої на відрізку [] виконані, дістанемо

тобто. Функція  на проміжку не спадає. Аналогічно доводиться теорема для випадку, коли  не зростає на .

Теорема 3. Нехай функція  неперервна на проміжку і диференційовна в інтервалі . Для того щоб функція  була зростаючою (спадною) на проміжку , необхідно й достатньо, щоб  для всіх , причому ті точки , в яких  не складали б ніякого відрізка.

Доведення. Нехай  зростає на . Тоді вона не спадає на . За теоремою 2 для всіх .

Покажемо, що ті точки , в яких , не складають ніякого відрізка. Припустимо, що ці точки склали відрізок тобто для   Тоді за теоремою 1 функція  стала на відрізку , що суперечить умові теореми. Необхідність доведено. Нехай для всіх , причому точки , в яких , не складають ніякого відрізка . За теоремою 2 функція  не спадає на проміжку . Покажемо, що вона зростає на цьому проміжку. Припустимо, що вона не зростатиме на проміжку . Тоді існуватимуть дві точки  такі, що , а  не може бути більше , оскільки функція  не спадає на  Звідси, внаслідок того, що  не спадає на , випливає рівність  для всіх . Проте тоді   для всіх , що суперечить одній з умов теореми.

Аналогічно доводиться теорема для випадку, коли  спадає на . Теорему доведено.

Зауважимо, що похідна зростаючої функції може перетворюватись в нуль в деяких точках. Наприклад, функція  зростає в інтервалі (-∞;+∞), однак її похідна  дорівнює нулю в точці х = 0.

Наслідок. Якщодля всіх , то в інтервалі функція  зростає (спадає).

§9. Локальні екстремуми.

Вважають, що функція  в точці  має максимум (мінімум), якщо існує окіл  цієї точки такий, що для всіх    правильна нерівність  .

Максимум і мінімум функції в точці називається екстремумом цієї функції в цій точці. Екстремум функції в точці іноді називають локальним (місцевим) екстремумом цієї функції в цій точці. Слово «локальний» (місцевий) має на меті підкреслити, що значення функції в точці x0 є найбільшим (найменшим) порівняно не з усіма значеннями цієї функції в області її існування, а з тими її значеннями, яких вона набуває в точках, що лежать у досить малому околі точки х0 і відмінні від точки х0. Якщо функція  в точці х0 має екстремум, то точка х0 називається точкою екстремуму функції .

Наступна теорема дає необхідні умови для екстремуму функції в точці.

Теорема 1. Якщо функція  в точці х0 має екстремум і якщо в цій точці існує похідна, то ця похідна дорівнює нулю.

Доведення. Нехай для означеності функція в точці х0 має максимум. Тоді існує окіл  цієї точки такий, що для всіх  . Тоді для всіх .

Якщо  , то , отже,

Якщо ж , то

 i, отже,  

Звідси і з (1) робимо висновок, що.

Точка х0, в якій , називається стаціонарною точкою функції. Таким чином, точки екстремуму диференційовної функції слід шукати серед її стаціонарних точок. Зазначимо, що не кожна стаціонарна точка функції  є точкою екстремуму цієї функції.

Вважають, що функція  змінює знак при переході точки х через точку , якщо існує окіл  цієї точки такий, що  для   і   для  або навпаки.

Теорема 2. Нехай функція  диференційовна в околі точки , за винятком, можливо, точки , в якій функція неперервна. Якщо при переході точки х через точку  похідна  змінює знак, то в точці  існує екстремум функції, причому максимум, якщо похідна  змінює знак з плюса на мінус, і мінімум, якщо похідна змінює знак з мінуса на плюс.

Доведення. Нехай для означеності при переході точки х через точку  похідна змінює знак з плюса на мінус, тобто

Тоді на проміжку (] функція  зростає, а на проміжку [) функція  спадає. Отже, для всіх ,                 правильна нерівність , тобто функція в точці  має максимум.

Випадок, коли при переході точки х через точку похідна  змінює знак з мінуса на плюс, розглядається аналогічно.

Про наявність екстремуму в стаціонарній точці функції  можна судити по другій похідній цієї функції в цій точці.

Теорема 3. Нехай функція диференційовна в околі своєї стаціонарної точки , а в самій точці має похідну другого порядку. Якщо , то функція  в точці  має мінімум. Якщо ж , то функція в точці  має максимум.

Доведення. Нехай для означеності , де  — стаціонарна точка функції . За означенням похідної другого порядку функції  в точці  маємо

Оскільки — стаціонарна точка функції , то .

Тому

За відомою властивістю границь у досить малому околі  точки  маємо

Звідси при ,  дістаємо  а при  знаходимо , тобто при переході точки х через точку  похідна  змінює знак з мінуса на плюс. За теоремою 2 функція  має мінімум у точці . Аналогічно можна показати, що коли , то в точці  функція  має максимум. Теорему доведено.

§10. Дослідження функції на опуклість.

Нехай функція  диференційовна в інтервалі . Тоді в кожній точці цього інтервалу існує дотична до кривої і ця дотична не паралельна осі Оу.

                       Рис. 6                                         Рис. 7

Вважають, що крива обернена опуклістю вгору, (вниз) в інтервалі якщо вона лежить нижче (вище), ніж будь-яка дотична, проведена в довільній точці цієї кривої (виключаючи, природно, саму точку дотику, яка лежить на кривій). На рис. 6 крива  в інтервалі  обернена опуклістю вгору, а на рис. 7 — опуклістю вниз.

Теорема 1. Нехай функція  в інтервалі  має похідну другого порядку. Якщо  для всіх, то крива  в інтервалі  обернена опуклістю вниз (вгору).

Доведення. Нехай  для всіх . Проведемо дотичну до кривої в довільній точці . Її рівняння має вигляд

Якщо , то, знайшовши  з рівняння (1) і двічі застосувавши теорему Лагранжа, дістанемо

де

Оскільки , і, внаслідок умови теореми, , то

або

тобто крива лежить вище, ніж дотична в інтервалі . Якщо ж   то

де  

Оскільки і, внаслідок умови теореми,то

або

тобто крива  лежить вище, ніж дотична і в інтервалі . А це означає, що в інтервалі крива обернена опуклістю вниз.

Аналогічно доводиться, що коли для всіх , то крива  в інтервалі  обернена опуклістю вгору.

Наслідок 1. Нехай в околі точки с функція  має другу похідну, неперервну в точці с. Якщо  то в досить малому околі точки с крива  обернена опуклістю вниз (вгору).

Дійсно, внаслідок неперервності функції  в точці с в досить малому околі цієї точки вона зберігатиме знак числа , тобто в досить малому околі точки с похідна другого порядку буде додатною, якщо            , і від'ємною, якщо . За теоремою 1 крива  в цьому околі точки с буде обернена опуклістю вниз, якщо , і опуклістю вгору, якщо .

Інтервал , в якому крива  обернена опуклістю вгору (вниз), називається інтервалом опуклості вгору (вниз) для цієї кривої.

Нехай функція  диференційовна в інтервалі , за винятком, можливо, точки в якій  неперервна, і нехай у точці існує дотична. Точка  називається точкою перегину кривої , якщо існує такий окіл точки с, що в лівій половині цього околу крива обернена опуклістю вниз (вгору), а в правій її половині —опуклістю вгору (вниз).

Наступна теорема дає необхідну умову для точки перегину.

Теорема 2. Нехай функція  в околі точки с має похідну другого порядку, неперервну в точці с. Якщо точка  є точкою перегину кривої  , то

Доведення. Доводячи теорему методом міркування від супротивного, припустимо, що . Тоді в результаті наслідку з теореми 1 знайдеться окіл точки с, в якому крива  буде обернена опуклістю вгору, якщо , і опуклістю вниз, якщо . А де суперечить одній з умов теореми, згідно з якою точка  є точкою перегину кривої .

Отже,  і теорему доведено.

Теорема 3. Нехай функція  в околі точки с має похідну другого порядку, причому  Якщо  при переході точки х через точку с змінює знак, то  є точка перегину кривої

Доведення. Нехай, наприклад,  для, і              для, де , тобто нехайпри переході точки х через точку с змінює знак з мінуса на плюс. Тоді за теоремою 1 в інтервалі  крива буде обернена опуклістю вгору, а в інтервалі  — опуклістю вниз. Оскільки  існує в околі точки с, то в цьому околі існує і , зокрема, існує , тобто в точці  існує дотична до кривої  (причому ця дотична не паралельна осі Оу). Тому точка  є точка перегину кривої .

З теорем 1—3 випливає правило для знаходження інтервалів опуклості вгору (вниз) і точок перегину кривої , для якої існує .

Щоб знайти інтервали опуклості вгору (вниз) і точки перегину кривої , треба знайти похідну другого порядку від функції . Після цього цю похідну зрівняти з нулем: . Розв'язати знайдене рівняння, тобто знайти його корені. Ці корені можуть бути точками перегину. Після цього, користуючись теоремою 3, перевірити, як поводить   при переході точки х через корені рівняння . Якщо  при переході точки х через корінь с цього рівняння змінює знак, то точка  є точка перегину кривої . Кожний інтервал, що міститься між двома сусідніми точками перегину, буде інтервалом опуклості вгору (вниз) кривої .

Зауважимо, що теорема 2 дає необхідну, а теорема 3 достатню умови для існування точки перегину лише у такої кривої , для якої функція  в околі точки с має похідну другого порядку. Однак точка  може виявитись точкою перегину кривої , для якої функція не має в точці  х = с  похідної  другого порядку.                                              

Цю обставину слід мати на увазі при знаходженні інтервалів опуклості і точок перегину кривої , для якої функція  в деяких точках не має похідної другого порядку. Точки, в яких не існує похідна другого порядку від функції , можуть виявитись точками перегину кривої .

§ 11. Асимптоти функції. Схема повного дослідження функцій.

Асимптоти. Нехай функція визначена в інтервалі  (в інтервалі). Пряма

називається асимптотою кривої , якщо відстань точки Р (x, f (x)), яка лежить на кривій, до цієї прямої прямує до нуля при  (при ). На рис. 8 пряма АВ є асимптотою  кривої .

Теорема. Нехай функція  визначена в інтервалі  (в інтервалі . Для того щоб пряма (1) була асимптотою кривої , необхідно й достатньо, щоб

Рис. 8

(2)

Доведення. Розглянемо випадок, коли функція  визначена в інтервалі   (коли функція  визначена в інтервалі  міркування аналогічні).

Доведемо спочатку необхідність умов (2). Нехай пряма (1) є асимптотою кривої. Відстань р точки Р (x, f (x)), що лежить на цій кривій, до прямої (1) дорівнює добутку абсолютної величини різниці ординат у точці  кривої і прямої на , де  — кут нахилу прямої (1) з додатним напрямом осі Ох,  тобто

Оскільки  і  не залежить від x, то

Звідси

і

тобто правильні рівності (2).

Доведемо достатність умов (2). Нехай мають місце рівності (2), де k і b  — скінченні числа. Покажемо, що пряма (1), де k і b визначаються з рівностей (2), є асимптотою кривої . З (2) маємо

тобто абсолютна величина різниці ординат у точці х кривої  і прямої (1) прямує до нуля . Проте тоді при прямує до нуля і відстань точки Р (x, f (x)), яка лежить на кривій , до прямої (1). Отже, пряма (1) є асимптотою кривої  . Теорему доведено.

Зауважимо, що асимптота гіперболи не має з нею спільних точок, тобто не перетинає гіперболи. В загальному ж випадку асимптота кривої  може перетинатись з цією кривою як у скінченній, так і в нескінченній множині точок.

Рис. 9

У вигляді (1) може бути записане рівняння будь-якої прямої, відмінної від прямої, паралельної осі Оу. Асимптоти, рівняння яких записуються у вигляді (1), називаються похилими асимптотами.

Нехай функція  визначена в околі точки х0 (можливо, односторонній) і нехай

або те і друге. Тоді пряма  (рис. 9) називається вертикальною асимптотою.

Повне дослідження функцій. Дослідження функцій рекомендується проводити за такою схемою.

  1.   Визначити область існування функції. Встановити точки розриву і інтервали неперервності функції. Дослідити функцію на парність, непарність, періодичність.
  2.   Знайти точки максимуму і мінімуму функції, обчислити значення функції в цих точках. Встановити інтервали монотонності функції.
  3.   Знайти точки перегину графіка функції, обчислити значення функції в цих точках.

Встановити інтервали опуклості графіка функції.

  1.  Знайти асимптоти графіка функції. Обчислити граничні значення функції в точках, межових для області її існування.
  2.  Побудувати графік функції.

Зробимо кілька зауважень щодо цієї схеми. Насамперед усі результати, добуті при дослідженні, слід наносити на рисунок з тим, щоб накреслення графіка функції вібувалося паралельно дослідженню. Це скоротить роботу з накреслення графіка. Якщо в результаті дослідження виявиться, що функція періодична, то наступне дослідження цієї функції досить провести на відрізку довжиною в період. З'ясувавши всі особливості функції на цьому відрізку, встановимо (внаслідок періодичності) її особливості в усій області існування.

Якщо функція виявиться парною (непарною), то дослідження досить провести в тій частині області існування функції, яка належить невід'ємній частині осі Ох. Особливості функції, виявлені тут, перенесуться (внаслідок парності або непарності) і на ту частину області існування функції, яка належить недодатній частині осі Ох.

Для визначення інтервалів монотонності функції на осі Ох слід позначити як стаціонарні точки функції , так і точки, в яких функція і її перша похідна або не існують, або мають розрив. Інтервал між двома сусідніми точками часто буває інтервалом монотонності. Для визначення ж інтервалів опуклості і точок перегину кривої  слід нанести на вісь Ох не тільки ті точки, в яких друга похідна  перетворюється в нуль, а й точки, в яких не існують або розривні функції ,  і .

Нарешті, щоб якомога точніше накреслити графік функції в тих інтервалах області її існування, в яких немає особливостей цієї функції і які великі за розмірами, треба взяти кілька точок і обчислити значення функції в цих точках.

§ 12. Застосування похідної до розвязання прикладних задач.

Знання похідної дозволяє вирішувати численні задачі по економічній теорії, фізиці, алгебрі й геометрії.

   За допомогою диференціального числення було розв’язано багато задач теоретичної механіки, фізики, астрономії. Зокрема, використовуючи методи диференціального числення, вчені передбачили повернення комети Галлея, що стало тріумфом науки XVIII ст.

    За допомогою цих методів математики у XVIII ст. вивчали властивості різних кривих, знайшли криву, по якій найшвидше падає матеріальна точка, навчилися знаходити кривину ліній.

    І тепер поняття похідної широко застосовується у різних галузях науки та техніки.

Похідна знаходить широке застосування у фізиці для знаходження швидкості по відомій функції координати від часу, прискорення по відомій функції швидкості від часу; для знаходження найбільших і найменших величин.

Розглянемо задачі з фізики, які розв’язуються за допомогою похідної. Найбільш характерними серед них є знаходження:

  1.   швидкості та прискорення прямолінійного  руху тіла чи матеріальної точки;
  2.  кутової швидкості тіла обертання ;
  3.  швидкості зростання маси кристалів;
  4.  швидкості зміни температури під час нагрівання;
  5.  визначення освітленості електричної лампочки.

 Економічний зміст похідної: похідна виступає як інтенсивність зміни деякого економічного об'єкта (процесу) за часом або щодо іншого досліджуваного фактору.

 Розглянемо задачі, які зустрічаються в економіці.

    Серед них найбільш характерні:

  1.  визначення загальної вартості утримання різних видів транспорту;
  2.  визначення продуктивності праці;
  3.  визначення попиту товарів, зміну доходів при збільшенні ціни;
  4.  визначення затрат підприємств залежно від об’єму продукції, яка випускається;
  5.  знаходження оптимальних розмірів продукції з найбільшим

    ( найменшим ) об’ємом (площею).

Геометричний зміст похідної: похідна функції в точці x0 дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції, проведеної в точці з абсцисою x0.

Алгебраїчний зміст похідної: похідна функції y = f (x) у точці x0 - це швидкість зміни функції f (х) у точці x0.

Найхарактерніші задачі з математики, які розв’язуються за допомогою похідної:

 -    дослідження та побудова графіків функцій;

  1.  знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку;
  2.  розв’язування рівнянь ;
  3.  доведення  нерівностей;

 -    розв’язування завдань з параметрами;

  1.  наближені обчислення .

Отже, справжні знання дають учням новий підхід до багатьох перетворень у математиці, які стандартним шляхом є важко розв'язними або розв'язними, але громіздкими способами. Розглянуті підходи нестандартного характеру для учнів здадуться новими й незвичайними, що розширять їхній кругозір і підвищить інтерес до похідної.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53189. ГРА НА УРОЦІ АНГЛІЙСЬКОЇ МОВИ ЯК ЗАСІБ ПІДВИЩЕННЯ ПІЗНАВАЛЬНОЇ АКТИВНОСТІ ШКОЛЯРІВ 83 KB
  У школярів молодшого віку переважають ігрові інтереси, довільна поведінка, наочнообразне мислення, практичне ставлення до розвязування завдань. Зважаючи на все це, доцільно у роботі з ними на уроках іноземної мови систематично застосовувати елементи гри у поєднані з бесідою, елементами самостійної роботи.
53190. Інтерактивна ділова гра ток-шоу «Я так думаю» 37.5 KB
  Правила гри: Усі учасники мають рівні права; Кожен учасник має право висловити свою думку; Думка кожного має бути почута врахована та прийнята. Учасники ділової гри: всі педагогічні працівники. Загальний сценарій: учасники об’єднуються в чотири групи – Батьки Діти Педагоги та Експерти; ведучий роз’яснює мету гри загальний сценарій та правила гри; групова гра: розігрування ситуації відповідно до обраних ролей; міжгрупова дискусія керована ведучим; підсумок гри за допомогою експертів.
53191. Гра як засіб всебічного розвитку учнів 139.5 KB
  За її допомогою діти пізнають світ. В грі діти перевіряють свою силу і спритність у них виникають бажання фантазувати відкривати таємниці і прагнути чогось прекрасного. Захопившись грою діти не помічають що навчаються до активної діяльності залучаються навіть найпасивніші учні. Захопившись грою діти не помічають що навчаються.
53192. Гра не тільки розважає, а й здоров’я додає! 94.5 KB
  Від ставлення людини до особистого здоров’я залежить його збереження та зміцнення. Одне з найважливіших завдань сучасної школи – навчити дітей та їх батьків берегти і зміцнювати своє здоров’я. Вчитель повинен сформувати в учнів свідоме ставлення до свого здоров’я надати життєві навички здорового способу життя та безпечної для здоров’я поведінки.
53193. Літературна гра на тему: Шевченко - художник 32.5 KB
  Шевченка створена на тему його однойменної поеми Катерина Картина проектується на екран. На екран проектується репродукція картини Т.На екран проектується обкладинка першого видання Кобзаря. ВовчкуАвтопортрет зі свічкою Репродукція проектується на екран.
53194. Гра «Поле чудес» План-конспект узагальнюючого уроку на тему «Світлотінь» для 6 класу 308 KB
  Завдання можуть бути суто теоретичними а можуть чергуватися практичні та теоретичні питання. Нас чекають цікаві завдання відкриття призи. Познайомимося з умовами гри: Розподіл барабана на сектори: Кожен сектор має своє позначення: Намальований пензлик це означає що гравуць отримує практичне завдання виконати в кольорі аквареллю на папері пейзаж натюрморт розмивання набризк і т. Намальований олівець практичне завдання виконати простим олівцем малюнок геометричне тіло з світлотінню глечик вазу і т.
53195. Фізико-математична гра «Щасливий випадок» 241.5 KB
  Правила: В цьому раунді кожній команді буде задано деяку кількість простих запитань з математики, інформатики, фізики та астрономії за обмежений час (1 хв.) Кожна правильна відповідь оцінюється 1 балом. Приймаються лише перші відповіді команди. Якщо ніхто з учасників команди не знає відповіді на запитання, можна говорити «Пас» або «Далі». Очки при цьому не нараховуються.
53196. Гра – тренінг «Обираємо професію разом» 41.5 KB
  Учитель: одна мудра людина сказала: Щастяце коли хочеться іти на працю а у вечорі йти додому Просто правда Але тільки на перший погляд. проводила тест на визначення профорієнтації за результатами цього тесту ви об’єднались в групи: 1 людина людина; 2 людина – техніка; 3 людина – природа; 4 людиназнакова система; 5 людина мистецтво. Завдання 1: на столі знаходяться речі дивлячись на них ви повинні відповісти на такі запитання: людина – людина: 1. Яка ємкість одноразового стаканчика людина техніка: 1.
53197. Мандрівка в народну гру 66 KB
  Їх із задоволенням грають діти і навіть дорослі не проти пограти. Проте у всіх іграх є одна спільна рисанародна мудрість. Гра найважливіша форма дитячої діяльності. Спостережливість уміння володіти собою як гра.