9907

Применение интерполяционных формул Ньютона при решении химико-технологических задач

Практическая работа

Физика

Применение интерполяционных формул Ньютона при решении химико-технологических задач. Цель работы. Располагая таблицей данных, полученных в результате некоторого химического или технологического эксперимента, научиться выполнять интерполя...

Русский

2013-03-18

309 KB

18 чел.

Применение интерполяционных формул Ньютона

при решении химико-технологических задач.

Цель работы . Располагая таблицей данных, полученных в результате некоторого химического или технологического эксперимента, научиться  выполнять интерполяцию, т.е. находить  любые промежуточные значения внутри таблицы, а также  выполнять экстраполяцию - находить значения неизвестной функции за пределами этой таблицы.

Теоретические положения. Пусть неизвестная функция   задана на  сетке равноотстоящих узлов   ,  где    своими значениями    (табличная или сеточная функция)

:                Таблица 1                                                                             (1)

X

…..

Y

…..

 

 На практике часто требуется найти промежуточные значения   , для   , находящихся между узлами   отрезка   . Для решения этой задачи  в численных методах обычно заменяют  другой функцией   , близкой к ней  и позволяющей выполнять над нею те или иные аналитические или вычислительные операции. Если положить  , то приходим к задаче  интерполирования (интерполяции).  Совершенно очевидно, что графиков   , проходящих через заданные точки   , можно изобразить сколь угодно много. Вопрос состоит в том, чтобы придать интерполяционной формуле   наиболее простой вид, подобный, например,  широко используемой формуле Тейлора.

Если для сеточной функции построена таблица конечных разностей                , то для интерполирования  в начале таблицы 1, для которого количество разностей максимально, удобно пользоваться первой интерполяционной формулой Ньютона:

,  (2)

где новая переменная   ,   - шаг таблицы 1, а   -  горизонтальная строка таблицы разностей. Формула (2) обычно применяется при значениях   , а именно  для интерполирования вперед  (при , т.е. при  ) и  экстраполирования  назад ( при   , т.е. при   ).     

Если требуется искать промежуточные значения функции в конце таблицы 1, то в этих случаях более эффективной является вторая интерполяционная формула Ньютона:

,           (3)

где   , а   - диагональная строка таблицы разностей.

Формулу (3) целесообразно использовать при значениях , т.е. в окресности узла    для интерполирования назад (при  , т.е. при  )  и  экстраполирования вперед  (при   , т.е. при   ).

Порядок выполнения работы.  

- получить от преподавателя вариант химического или технологического процесса  в виде таблицы  (1), а также два значения аргумента, для которых следует вычислить величины неизвестной нам функции,

- составить в  Excel  таблицу разностей,

- выписать первую интерполяционную формулу Ньютона (2),

- найти величину вспомогательной переменной  t для интерполирования,

- подставить в (2) данные из таблицы горизонтальных разностей, величину t, исходные данные  и выполнить вычисления (все результаты подстановок привести в РГР),

- выписать вторую интерполяционную формулу Ньютона (3),  

- найти величину вспомогательной переменной  t для экстраполирования,

- подставить в (3) данные из таблицы диагональных разностей, величину t, исходные данные  и выполнить вычисления (все результаты подстановок привести в РГР),

- определить относительные погрешности отдельно для интерполирования и экстраполирования,

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных.  Результаты экспериментов представлены в виде таблиц     :

1

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.2

0.25

0.26

0.21

0.14

0.07

0

-0.07

-0.13

-0.17

-0.21

   

2

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

0.12

0.17

0.19

0.18

0.17

0.13

0.06

-0.02

-0.07

-0.12

-0.17

3

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

0.03

0.07

0.11

0.14

0.16

0.17

0.16

0.14

0.09

0.03

-0.06

4

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

-0.03

0.12

0.21

0.27

0.31

0.32

0.31

0.28

0.23

0.16

0.10

5

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

-0.13

-0.03

0.03

0.06

0.08

0.07

0.06

0.03

-0.04

-0.17

-0.32

6

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

-0.03

-0.14

-0.18

-0.17

-0.15

-0.08

0.01

0.14

0.26

0.33

0.38

7

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

0.04

-0.07

-0.10

-0.09

-0.04

0.04

0.13

0.19

0.24

0.28

0.30

8

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.14

0.06

0

-0.04

-0.06

-0.05

-0.03

0.03

0.08

0.16

0.24

9

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

0.09

-0.01

-0.08

-0.13

-0.17

-0.16

-0.12

-0.04

0.03

0.09

0.14

10

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

0.26

0.11

0.08

0.02

-0.04

-0.08

-0.10

-0.11

-0.09

-0.04

0.04

11

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

-0.03

-0.10

-0.14

-0.15

-0.13

-0.08

-0.01

0.07

0.14

0.19

0.23

12

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

-0.09

-0.10

-0.11

-0.08

-0.05

-0.01

0.04

0.08

0.11

0.12

0.11

13

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

-0.16

-0.13

-0.07

-0.01

0.04

0.06

0.07

0.05

0.02

-0.03

-0.09

14

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

-0.23

-0.17

-0.09

-0.02

0.06

0.11

0.14

0.12

0.04

-0.08

-0.19

15

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

0.09

0.03

0

-0.01

-0.02

-0.03

-0.06

-0.08

-0.11

-0.16

-0.22

16

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.12

0.14

0.13

0.09

0.04

-0.04

-0.09

-0.10

-0.07

0.01

0.11

17

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

-0.16

-0.05

0.02

0.08

0.12

0.13

0.12

0.09

0.07

0.02

-0.03

18

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

-0.08

0.01

0.04

0.07

0.08

0.07

0.06

0.03

-0.01

-0.04

-0.09

19

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

-0.03

0.06

0.11

0.13

0.12

0.08

0.02

-0.08

-0.14

-0.18

-0.20

20

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.03

0.12

0.18

0.21

0.20

0.17

0.11

0.01

-0.12

-0.22

-0.27

21

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.14

0.08

-0.01

-0.09

-0.11

-0.09

-0.04

0.01

0.07

0.11

0.14

22

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.08

0.07

0.04

0.01

-0.05

-0.11

-0.12

-0.08

-0.02

0.04

0.09

23

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

-0.10

-0.03

0.04

0.09

0.12

0.13

0.11

0.08

0.06

0.04

0.03

24

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

-0.18

-0.09

-0.01

0.07

0.13

0.17

0.20

0.19

0.16

0.12

0.03

25

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

-0.03

0.03

0.06

0.07

0.06

0.05

0.01

-0.05

-0.11

-0.15

-0.18

26

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.19

0.16

0.08

-0.03

-0.09

-0.12

-0.07

0.01

0.09

0.17

0.21

27

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.12

0.04

-0.09

-0.20

-0.24

-0.23

-0.18

-0.11

-0.03

0.03

0.11

28

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.06

0.01

-0.07

-0.14

-0.18

-0.20

-0.19

-0.17

-0.12

-0.04

0.03

29

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.07

0.12

0.15

0.16

0.14

0.12

0.07

0.03

-0.02

-0.06

-0.08

30

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.14

0.13

0.12

0.11

0.06

0

-0.05

-0.09

-0.12

-0.13

-0.14

Найти значения функции    в точках    и    , используя первую и вторую интерполяционные формулы Ньютона.

1

0.12

1.08

16

0.12

1.08

2

0.13

1.07

17

0.13

1.07

3

0.14

1.06

18

0.14

1.06

4

0.15

1.05

19

0.15

1.05

5

0.16

1.04

20

0.16

1.04

6

0.17

1.03

21

0.12

1.08

7

0.18

1.02

22

0.18

1.02

8

0.22

1.08

23

0.17

1.03

9

0.23

1.07

24

0.28

1.02

10

0.24

1.06

25

0.24

1.06

11

0.25

1.05

26

0.23

1.07

12

0.26

1.04

27

0.22

1.08

13

0.27

1.03

28

0.25

1.05

14

0.28

1.02

29

0.26

1.04

15

0.08

1.02

30

0.27

1.03

Пример расчета.         

  1.  Цель работы.   

На основании данных, полученных в результате  сложного химического эксперимента, найти два интересующих нас недостающих значения: одно – в начале таблицы, а другое – за ее пределами, т.е. попытаться предсказать поведение процесса, не выполняя его.

  1.  Исходные данные.

Химический процесс задан следующей табличной функцией    , где   х є [0;1]:

Х

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

У

-0,08

-0,05

0

0,08

0,16

0,21

0,23

0,21

0,16

0,09

0

Требуется вычислить с помощью интерполяционных формул Ньютона значения  у(x)  в точках   х = 0.22 и   х = 1.05,  и посчитать относительные ошибки  вычислений -  δ.

  1.  Таблица разностей.

Составим  в Excel таблицу разностей для  х є [0;1]  с шагом  h = 0.1  и точностью  ε = 10-2.

В расчетах конечных разностей n-ого порядка (или n-ой конечной разности) используется следующая формула:

Х

y

∆y

2y

3y

4y

5y

6y

7y

8y

9y

10y

0

-0,08

0,03

0,02

0,01

-0,04

0,04

-0,01

-0,06

0,20

-0,46

0,90

0,1

-0,05

0,05

0,03

-0,03

0

0,03

-0,07

0,14

-0,26

0,44

0,2

0

0,08

0

-0,03

0,03

-0,04

0,07

-0,12

0,18

0,3

0,08

0,08

-0,03

0

-0,01

0,03

-0,05

0,06

0,4

0,16

0,05

-0,03

-0,01

0,02

-0,02

0

0,5

0,21

0,02

-0,04

0,01

0

-0,01

0,6

0,23

-0,02

-0,03

0,01

-0,01

0,7

0,21

-0,05

-0,02

0

0,8

0,16

-0,07

-0,02

0,9

0,09

-0,09

1,0

0

  1.  Первый интерполяционный полином Ньютона.

Для расчета значения функции у(х) в точке х = 0.22 применим I интерполяционную формулу   Ньютона, которая удобна при интерполировании функции вперед от начала таблицы:

 где

x – неизвестная величина;

х0 – узел;

Подставляя разности,  у0   и   t  в формулу,  найдем   у(0.22) = N(0.22):

у(0.22) = 0,013

  1.  Второй интерполяционный полином Ньютона.

Для расчета значения функции у(х) в точке х = 1.05 применим II интерполяционную формулу Ньютона, которая удобна при интерполировании функции вблизи конца таблицы (в нашем случае – это экстраполирование):

 где  

х  – неизвестная величина;

хn – узел;

Подставляя численные значения в формулу, найдем     у(1.05) = N(1.05):

у(1.05) = -0.045

  1.  Определим относительные погрешности   δ,%.

,

где у – точка на графике;

N(x) – значение функции, вычисленное по формуле Ньютона;

  1.     Относительная погрешность при интерполировании:

N(0.22) = 0.013

y(0.22) = 0,015

 δ(0.22) = 15.38%

  1.  Относительная погрешность при экстраполировании:

N(1.05) = -0.045

y(1.05) = -0.045

δ = 0%

7. Выводы по работе.

PAGE  1


EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6089. Стандартизация и взаимозаменяемость деталей машин 40 KB
  Стандартизация и взаимозаменяемость деталей машин Стандартизацией называется процесс установления в применения стандартов - документов, содержащих обязательные нормы, правила и требования, относящиеся к различным сторонам человеческой деятельно...
6090. Схеми на операційних підсилювачах 27.74 KB
  Схеми на операційних підсилювачах У даній роботі досліджується ряд схем, побудованих на основі операційних підсилювачів (ОП). Ідеальний ОП характеризується коефіцієнтом підсилення та вхідним опором, що прямують до нескінченості, вихідним опором, що ...
6091. Прессовые соединения 37 KB
  Прессовые соединения Прессовым называется соединение составных частей изделий с гарантированным натягом вследствие того, что размер охватываемой детали больше соответствующего размера охватывающей детали. Прессовые соединения передают рабочие нагруз...
6092. Механические муфты. Назначение и классификация муфт 33 KB
  Механические муфты. Назначение и классификация муфт Приводными муфтами (обычно просто муфтами) называются устройства, служащие для кинематической и силовой связи валов в приводах машин и механизмов. Муфты передают с одного вала на другой вращающий м...
6093. Состав горючих газов 32.23 KB
  Состав горючих газов. В состав газообразного топлива входят горючие и негорючие газы. Физико-химические и теплотехнические характеристики газового топлива обусловлены различием в составе горючих компонентов и наличием в газе негорючих газообразных к...
6094. Детали машин как научная дисциплина 30 KB
  Детали машин - научная дисциплина, включающая теорию, расчет и конструирование деталей общего назначения. Как отдельные детали и узлы любой машины, так и машина в целом должны удовлетворять следующим требованиям: работоспособности Работоспособным...
6095. SDI інтерфейс на основі модальних форм 33.71 KB
  SDI інтерфейс на основі модальних форм Хід роботи Створив новий проект, та підключив до нього форму Form2. Розмістив на формах необхідні компоненти. Викликаю другу форму як модальну за допомогою події OnClick від Button1, та в цій події вказав ф...
6096. Використання логічних операторів при пошуку 31.5 KB
  Використання логічних операторів при пошуку Для розширення можливостей пошуку за текстом використовуються логічні оператори. Необхідно враховувати, що всі слова-оператори повинні вводитись лише великими літерами OR Оператор OR використовується, якщо...
6097. Компоненты ЭИС. Предметная область. Детализация представлений ЭИС. Жизненный цикл ЭИС. 33.02 KB
  Компоненты ЭИС. Предметная область. Детализация представлений ЭИС. Жизненный цикл ЭИС. Компоненты ЭИС Все, что происходит в процессе функционирования материальных систем окружающего нас мира, может быть описано в форме сообщений. Сообщен...