9907

Применение интерполяционных формул Ньютона при решении химико-технологических задач

Практическая работа

Физика

Применение интерполяционных формул Ньютона при решении химико-технологических задач. Цель работы. Располагая таблицей данных, полученных в результате некоторого химического или технологического эксперимента, научиться выполнять интерполя...

Русский

2013-03-18

309 KB

18 чел.

Применение интерполяционных формул Ньютона

при решении химико-технологических задач.

Цель работы . Располагая таблицей данных, полученных в результате некоторого химического или технологического эксперимента, научиться  выполнять интерполяцию, т.е. находить  любые промежуточные значения внутри таблицы, а также  выполнять экстраполяцию - находить значения неизвестной функции за пределами этой таблицы.

Теоретические положения. Пусть неизвестная функция   задана на  сетке равноотстоящих узлов   ,  где    своими значениями    (табличная или сеточная функция)

:                Таблица 1                                                                             (1)

X

…..

Y

…..

 

 На практике часто требуется найти промежуточные значения   , для   , находящихся между узлами   отрезка   . Для решения этой задачи  в численных методах обычно заменяют  другой функцией   , близкой к ней  и позволяющей выполнять над нею те или иные аналитические или вычислительные операции. Если положить  , то приходим к задаче  интерполирования (интерполяции).  Совершенно очевидно, что графиков   , проходящих через заданные точки   , можно изобразить сколь угодно много. Вопрос состоит в том, чтобы придать интерполяционной формуле   наиболее простой вид, подобный, например,  широко используемой формуле Тейлора.

Если для сеточной функции построена таблица конечных разностей                , то для интерполирования  в начале таблицы 1, для которого количество разностей максимально, удобно пользоваться первой интерполяционной формулой Ньютона:

,  (2)

где новая переменная   ,   - шаг таблицы 1, а   -  горизонтальная строка таблицы разностей. Формула (2) обычно применяется при значениях   , а именно  для интерполирования вперед  (при , т.е. при  ) и  экстраполирования  назад ( при   , т.е. при   ).     

Если требуется искать промежуточные значения функции в конце таблицы 1, то в этих случаях более эффективной является вторая интерполяционная формула Ньютона:

,           (3)

где   , а   - диагональная строка таблицы разностей.

Формулу (3) целесообразно использовать при значениях , т.е. в окресности узла    для интерполирования назад (при  , т.е. при  )  и  экстраполирования вперед  (при   , т.е. при   ).

Порядок выполнения работы.  

- получить от преподавателя вариант химического или технологического процесса  в виде таблицы  (1), а также два значения аргумента, для которых следует вычислить величины неизвестной нам функции,

- составить в  Excel  таблицу разностей,

- выписать первую интерполяционную формулу Ньютона (2),

- найти величину вспомогательной переменной  t для интерполирования,

- подставить в (2) данные из таблицы горизонтальных разностей, величину t, исходные данные  и выполнить вычисления (все результаты подстановок привести в РГР),

- выписать вторую интерполяционную формулу Ньютона (3),  

- найти величину вспомогательной переменной  t для экстраполирования,

- подставить в (3) данные из таблицы диагональных разностей, величину t, исходные данные  и выполнить вычисления (все результаты подстановок привести в РГР),

- определить относительные погрешности отдельно для интерполирования и экстраполирования,

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных.  Результаты экспериментов представлены в виде таблиц     :

1

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.2

0.25

0.26

0.21

0.14

0.07

0

-0.07

-0.13

-0.17

-0.21

   

2

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

0.12

0.17

0.19

0.18

0.17

0.13

0.06

-0.02

-0.07

-0.12

-0.17

3

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

0.03

0.07

0.11

0.14

0.16

0.17

0.16

0.14

0.09

0.03

-0.06

4

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

-0.03

0.12

0.21

0.27

0.31

0.32

0.31

0.28

0.23

0.16

0.10

5

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

-0.13

-0.03

0.03

0.06

0.08

0.07

0.06

0.03

-0.04

-0.17

-0.32

6

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

-0.03

-0.14

-0.18

-0.17

-0.15

-0.08

0.01

0.14

0.26

0.33

0.38

7

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

0.04

-0.07

-0.10

-0.09

-0.04

0.04

0.13

0.19

0.24

0.28

0.30

8

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.14

0.06

0

-0.04

-0.06

-0.05

-0.03

0.03

0.08

0.16

0.24

9

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

0.09

-0.01

-0.08

-0.13

-0.17

-0.16

-0.12

-0.04

0.03

0.09

0.14

10

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

0.26

0.11

0.08

0.02

-0.04

-0.08

-0.10

-0.11

-0.09

-0.04

0.04

11

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

-0.03

-0.10

-0.14

-0.15

-0.13

-0.08

-0.01

0.07

0.14

0.19

0.23

12

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

-0.09

-0.10

-0.11

-0.08

-0.05

-0.01

0.04

0.08

0.11

0.12

0.11

13

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

-0.16

-0.13

-0.07

-0.01

0.04

0.06

0.07

0.05

0.02

-0.03

-0.09

14

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

-0.23

-0.17

-0.09

-0.02

0.06

0.11

0.14

0.12

0.04

-0.08

-0.19

15

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

0.09

0.03

0

-0.01

-0.02

-0.03

-0.06

-0.08

-0.11

-0.16

-0.22

16

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.12

0.14

0.13

0.09

0.04

-0.04

-0.09

-0.10

-0.07

0.01

0.11

17

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

-0.16

-0.05

0.02

0.08

0.12

0.13

0.12

0.09

0.07

0.02

-0.03

18

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

-0.08

0.01

0.04

0.07

0.08

0.07

0.06

0.03

-0.01

-0.04

-0.09

19

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

-0.03

0.06

0.11

0.13

0.12

0.08

0.02

-0.08

-0.14

-0.18

-0.20

20

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.03

0.12

0.18

0.21

0.20

0.17

0.11

0.01

-0.12

-0.22

-0.27

21

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.14

0.08

-0.01

-0.09

-0.11

-0.09

-0.04

0.01

0.07

0.11

0.14

22

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.08

0.07

0.04

0.01

-0.05

-0.11

-0.12

-0.08

-0.02

0.04

0.09

23

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

-0.10

-0.03

0.04

0.09

0.12

0.13

0.11

0.08

0.06

0.04

0.03

24

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

-0.18

-0.09

-0.01

0.07

0.13

0.17

0.20

0.19

0.16

0.12

0.03

25

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

-0.03

0.03

0.06

0.07

0.06

0.05

0.01

-0.05

-0.11

-0.15

-0.18

26

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.19

0.16

0.08

-0.03

-0.09

-0.12

-0.07

0.01

0.09

0.17

0.21

27

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.12

0.04

-0.09

-0.20

-0.24

-0.23

-0.18

-0.11

-0.03

0.03

0.11

28

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.06

0.01

-0.07

-0.14

-0.18

-0.20

-0.19

-0.17

-0.12

-0.04

0.03

29

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.07

0.12

0.15

0.16

0.14

0.12

0.07

0.03

-0.02

-0.06

-0.08

30

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.14

0.13

0.12

0.11

0.06

0

-0.05

-0.09

-0.12

-0.13

-0.14

Найти значения функции    в точках    и    , используя первую и вторую интерполяционные формулы Ньютона.

1

0.12

1.08

16

0.12

1.08

2

0.13

1.07

17

0.13

1.07

3

0.14

1.06

18

0.14

1.06

4

0.15

1.05

19

0.15

1.05

5

0.16

1.04

20

0.16

1.04

6

0.17

1.03

21

0.12

1.08

7

0.18

1.02

22

0.18

1.02

8

0.22

1.08

23

0.17

1.03

9

0.23

1.07

24

0.28

1.02

10

0.24

1.06

25

0.24

1.06

11

0.25

1.05

26

0.23

1.07

12

0.26

1.04

27

0.22

1.08

13

0.27

1.03

28

0.25

1.05

14

0.28

1.02

29

0.26

1.04

15

0.08

1.02

30

0.27

1.03

Пример расчета.         

  1.  Цель работы.   

На основании данных, полученных в результате  сложного химического эксперимента, найти два интересующих нас недостающих значения: одно – в начале таблицы, а другое – за ее пределами, т.е. попытаться предсказать поведение процесса, не выполняя его.

  1.  Исходные данные.

Химический процесс задан следующей табличной функцией    , где   х є [0;1]:

Х

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

У

-0,08

-0,05

0

0,08

0,16

0,21

0,23

0,21

0,16

0,09

0

Требуется вычислить с помощью интерполяционных формул Ньютона значения  у(x)  в точках   х = 0.22 и   х = 1.05,  и посчитать относительные ошибки  вычислений -  δ.

  1.  Таблица разностей.

Составим  в Excel таблицу разностей для  х є [0;1]  с шагом  h = 0.1  и точностью  ε = 10-2.

В расчетах конечных разностей n-ого порядка (или n-ой конечной разности) используется следующая формула:

Х

y

∆y

2y

3y

4y

5y

6y

7y

8y

9y

10y

0

-0,08

0,03

0,02

0,01

-0,04

0,04

-0,01

-0,06

0,20

-0,46

0,90

0,1

-0,05

0,05

0,03

-0,03

0

0,03

-0,07

0,14

-0,26

0,44

0,2

0

0,08

0

-0,03

0,03

-0,04

0,07

-0,12

0,18

0,3

0,08

0,08

-0,03

0

-0,01

0,03

-0,05

0,06

0,4

0,16

0,05

-0,03

-0,01

0,02

-0,02

0

0,5

0,21

0,02

-0,04

0,01

0

-0,01

0,6

0,23

-0,02

-0,03

0,01

-0,01

0,7

0,21

-0,05

-0,02

0

0,8

0,16

-0,07

-0,02

0,9

0,09

-0,09

1,0

0

  1.  Первый интерполяционный полином Ньютона.

Для расчета значения функции у(х) в точке х = 0.22 применим I интерполяционную формулу   Ньютона, которая удобна при интерполировании функции вперед от начала таблицы:

 где

x – неизвестная величина;

х0 – узел;

Подставляя разности,  у0   и   t  в формулу,  найдем   у(0.22) = N(0.22):

у(0.22) = 0,013

  1.  Второй интерполяционный полином Ньютона.

Для расчета значения функции у(х) в точке х = 1.05 применим II интерполяционную формулу Ньютона, которая удобна при интерполировании функции вблизи конца таблицы (в нашем случае – это экстраполирование):

 где  

х  – неизвестная величина;

хn – узел;

Подставляя численные значения в формулу, найдем     у(1.05) = N(1.05):

у(1.05) = -0.045

  1.  Определим относительные погрешности   δ,%.

,

где у – точка на графике;

N(x) – значение функции, вычисленное по формуле Ньютона;

  1.     Относительная погрешность при интерполировании:

N(0.22) = 0.013

y(0.22) = 0,015

 δ(0.22) = 15.38%

  1.  Относительная погрешность при экстраполировании:

N(1.05) = -0.045

y(1.05) = -0.045

δ = 0%

7. Выводы по работе.

PAGE  1


EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80636. Будівельні споруди. Виготовлення композиції «Казковий будиночок для улюбленого героя казки» 42.5 KB
  Мета: удосконалювати навички роботи з пластилі ном, природним матеріалом; закріпити знання учнів про рельєф, уміння створювати композицію; форму вати уявлення про мистецтво архітектури, професією будівельника; ознайомити з термінами – черепиця, карниз, фундамент; розвивати спостережливість, уяву...
80638. Маркетинг услуг 42.5 KB
  Маркетинг услуг Маркетинг услуг маркетинг осуществляющийся в качестве сопутствующей деятельности в комплексе с маркетингом потребительских товаров или промышленном маркетинге. В современный период в развитых странах происходит переход от так называемой индустриальной экономики к сервисной что связано с повышением значимости сферы услуг и превращением её в движущую силу хозяйственного развития. В сервисной экономике многие предприятия обрабатывающей промышленности расширяют предложение услуг Toyot IBM осваивают практике лизинга...
80639. Туристический маркетинг 137.5 KB
  Туристический маркетинг Основные положения. Туристический продукт. отдыхающих внутри страны то туристический маркетинг становится потребностью населения в полноценном проведении отпусков и каникул. Туристический маркетинг совокупность методов и приемов для полного удовлетворения потребностей людей с точки зрения психологических и социальных факторов для рационального с финансовой точки зрения ведения дел туристическими организациями.
80641. Разработка методики изучения рынка и оценки конкурентоспособности природоохранной продукции 96.5 KB
  Маркетинг играет двоякую роль: с одной стороны именно в результате маркетинговых исследований выявляется реалистичность и эффективность альтернативных вариантов развития предприятия а с другой служба маркетинга является основным источником комплексной информации о производстве и реализации. В соответствии с этим весь комплекс работ в рамках маркетинга может быть представлен в виде схемы: рис.1 Принципиальная схема функционирования маркетинга. В связи с этим потребитель становится с одной стороны предметом изучения а с другой ...
80642. Служба маркетинга на промышленном предприятии 37 KB
  Служба маркетинга на промышленном предприятии Современная концепция маркетинга принятая в США рассматривает его как целенаправленную комплексную деятельность производственной компании состоящую из системы взаимосвязанных мероприятий: научнотехнические и конъюнктурноэкономические исследования по разработке и освоению продукции; разработка технологии и схем управления производства; организация промышленного производства продукции с учетом ее конкурентоспособности на рынке; организация оптимальной системы сбыта продукции с использованием...
80643. Характеристика промышленного маркетинга в рыночной экономике 40 KB
  Характеристика промышленного маркетинга в рыночной экономике Особенности организации современного производства товаров и услуг. Логика маркетинга ориентированного на продукт нельзя продать то чего у вас пока ещё нет. Риск существует и в информационную эру но он с лихвой оправдывается при использовании интегрированного маркетинга.
80644. ВНЕШНЯЯ ТОРГОВЛЯ РОССИИ И ЕЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ 98 KB
  Структура внешней торговли представлена следующими видами: экспорт; импорт; транзитная торговля: покупка за рубежом с одновременной продажей в третью страну; особые формы: реэкспорт или реимпорт товаров прошедших облагораживание; производство по лицензии; кооперация; компенсационные сделки. Специфика товарной структуры экспорта России ее сырьевая направленность: доля топлива энергетических товаров в 1996 г. Импорт вид предпринимательской деятельности российских резидентов связанный...