9907

Применение интерполяционных формул Ньютона при решении химико-технологических задач

Практическая работа

Физика

Применение интерполяционных формул Ньютона при решении химико-технологических задач. Цель работы. Располагая таблицей данных, полученных в результате некоторого химического или технологического эксперимента, научиться выполнять интерполя...

Русский

2013-03-18

309 KB

18 чел.

Применение интерполяционных формул Ньютона

при решении химико-технологических задач.

Цель работы . Располагая таблицей данных, полученных в результате некоторого химического или технологического эксперимента, научиться  выполнять интерполяцию, т.е. находить  любые промежуточные значения внутри таблицы, а также  выполнять экстраполяцию - находить значения неизвестной функции за пределами этой таблицы.

Теоретические положения. Пусть неизвестная функция   задана на  сетке равноотстоящих узлов   ,  где    своими значениями    (табличная или сеточная функция)

:                Таблица 1                                                                             (1)

X

…..

Y

…..

 

 На практике часто требуется найти промежуточные значения   , для   , находящихся между узлами   отрезка   . Для решения этой задачи  в численных методах обычно заменяют  другой функцией   , близкой к ней  и позволяющей выполнять над нею те или иные аналитические или вычислительные операции. Если положить  , то приходим к задаче  интерполирования (интерполяции).  Совершенно очевидно, что графиков   , проходящих через заданные точки   , можно изобразить сколь угодно много. Вопрос состоит в том, чтобы придать интерполяционной формуле   наиболее простой вид, подобный, например,  широко используемой формуле Тейлора.

Если для сеточной функции построена таблица конечных разностей                , то для интерполирования  в начале таблицы 1, для которого количество разностей максимально, удобно пользоваться первой интерполяционной формулой Ньютона:

,  (2)

где новая переменная   ,   - шаг таблицы 1, а   -  горизонтальная строка таблицы разностей. Формула (2) обычно применяется при значениях   , а именно  для интерполирования вперед  (при , т.е. при  ) и  экстраполирования  назад ( при   , т.е. при   ).     

Если требуется искать промежуточные значения функции в конце таблицы 1, то в этих случаях более эффективной является вторая интерполяционная формула Ньютона:

,           (3)

где   , а   - диагональная строка таблицы разностей.

Формулу (3) целесообразно использовать при значениях , т.е. в окресности узла    для интерполирования назад (при  , т.е. при  )  и  экстраполирования вперед  (при   , т.е. при   ).

Порядок выполнения работы.  

- получить от преподавателя вариант химического или технологического процесса  в виде таблицы  (1), а также два значения аргумента, для которых следует вычислить величины неизвестной нам функции,

- составить в  Excel  таблицу разностей,

- выписать первую интерполяционную формулу Ньютона (2),

- найти величину вспомогательной переменной  t для интерполирования,

- подставить в (2) данные из таблицы горизонтальных разностей, величину t, исходные данные  и выполнить вычисления (все результаты подстановок привести в РГР),

- выписать вторую интерполяционную формулу Ньютона (3),  

- найти величину вспомогательной переменной  t для экстраполирования,

- подставить в (3) данные из таблицы диагональных разностей, величину t, исходные данные  и выполнить вычисления (все результаты подстановок привести в РГР),

- определить относительные погрешности отдельно для интерполирования и экстраполирования,

- сделать выводы по работе.

Варианты исходных данных.  Результаты экспериментов представлены в виде таблиц     :

1

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.2

0.25

0.26

0.21

0.14

0.07

0

-0.07

-0.13

-0.17

-0.21

   

2

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

0.12

0.17

0.19

0.18

0.17

0.13

0.06

-0.02

-0.07

-0.12

-0.17

3

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

0.03

0.07

0.11

0.14

0.16

0.17

0.16

0.14

0.09

0.03

-0.06

4

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

-0.03

0.12

0.21

0.27

0.31

0.32

0.31

0.28

0.23

0.16

0.10

5

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

-0.13

-0.03

0.03

0.06

0.08

0.07

0.06

0.03

-0.04

-0.17

-0.32

6

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

-0.03

-0.14

-0.18

-0.17

-0.15

-0.08

0.01

0.14

0.26

0.33

0.38

7

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

0.04

-0.07

-0.10

-0.09

-0.04

0.04

0.13

0.19

0.24

0.28

0.30

8

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.14

0.06

0

-0.04

-0.06

-0.05

-0.03

0.03

0.08

0.16

0.24

9

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

0.09

-0.01

-0.08

-0.13

-0.17

-0.16

-0.12

-0.04

0.03

0.09

0.14

10

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

0.26

0.11

0.08

0.02

-0.04

-0.08

-0.10

-0.11

-0.09

-0.04

0.04

11

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

-0.03

-0.10

-0.14

-0.15

-0.13

-0.08

-0.01

0.07

0.14

0.19

0.23

12

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

-0.09

-0.10

-0.11

-0.08

-0.05

-0.01

0.04

0.08

0.11

0.12

0.11

13

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

-0.16

-0.13

-0.07

-0.01

0.04

0.06

0.07

0.05

0.02

-0.03

-0.09

14

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

-0.23

-0.17

-0.09

-0.02

0.06

0.11

0.14

0.12

0.04

-0.08

-0.19

15

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Y

0.09

0.03

0

-0.01

-0.02

-0.03

-0.06

-0.08

-0.11

-0.16

-0.22

16

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.12

0.14

0.13

0.09

0.04

-0.04

-0.09

-0.10

-0.07

0.01

0.11

17

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

-0.16

-0.05

0.02

0.08

0.12

0.13

0.12

0.09

0.07

0.02

-0.03

18

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

-0.08

0.01

0.04

0.07

0.08

0.07

0.06

0.03

-0.01

-0.04

-0.09

19

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

-0.03

0.06

0.11

0.13

0.12

0.08

0.02

-0.08

-0.14

-0.18

-0.20

20

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.03

0.12

0.18

0.21

0.20

0.17

0.11

0.01

-0.12

-0.22

-0.27

21

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.14

0.08

-0.01

-0.09

-0.11

-0.09

-0.04

0.01

0.07

0.11

0.14

22

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.08

0.07

0.04

0.01

-0.05

-0.11

-0.12

-0.08

-0.02

0.04

0.09

23

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

-0.10

-0.03

0.04

0.09

0.12

0.13

0.11

0.08

0.06

0.04

0.03

24

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

-0.18

-0.09

-0.01

0.07

0.13

0.17

0.20

0.19

0.16

0.12

0.03

25

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

-0.03

0.03

0.06

0.07

0.06

0.05

0.01

-0.05

-0.11

-0.15

-0.18

26

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.19

0.16

0.08

-0.03

-0.09

-0.12

-0.07

0.01

0.09

0.17

0.21

27

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.12

0.04

-0.09

-0.20

-0.24

-0.23

-0.18

-0.11

-0.03

0.03

0.11

28

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.06

0.01

-0.07

-0.14

-0.18

-0.20

-0.19

-0.17

-0.12

-0.04

0.03

29

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.07

0.12

0.15

0.16

0.14

0.12

0.07

0.03

-0.02

-0.06

-0.08

30

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

y

0.14

0.13

0.12

0.11

0.06

0

-0.05

-0.09

-0.12

-0.13

-0.14

Найти значения функции    в точках    и    , используя первую и вторую интерполяционные формулы Ньютона.

1

0.12

1.08

16

0.12

1.08

2

0.13

1.07

17

0.13

1.07

3

0.14

1.06

18

0.14

1.06

4

0.15

1.05

19

0.15

1.05

5

0.16

1.04

20

0.16

1.04

6

0.17

1.03

21

0.12

1.08

7

0.18

1.02

22

0.18

1.02

8

0.22

1.08

23

0.17

1.03

9

0.23

1.07

24

0.28

1.02

10

0.24

1.06

25

0.24

1.06

11

0.25

1.05

26

0.23

1.07

12

0.26

1.04

27

0.22

1.08

13

0.27

1.03

28

0.25

1.05

14

0.28

1.02

29

0.26

1.04

15

0.08

1.02

30

0.27

1.03

Пример расчета.         

  1.  Цель работы.   

На основании данных, полученных в результате  сложного химического эксперимента, найти два интересующих нас недостающих значения: одно – в начале таблицы, а другое – за ее пределами, т.е. попытаться предсказать поведение процесса, не выполняя его.

  1.  Исходные данные.

Химический процесс задан следующей табличной функцией    , где   х є [0;1]:

Х

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

У

-0,08

-0,05

0

0,08

0,16

0,21

0,23

0,21

0,16

0,09

0

Требуется вычислить с помощью интерполяционных формул Ньютона значения  у(x)  в точках   х = 0.22 и   х = 1.05,  и посчитать относительные ошибки  вычислений -  δ.

  1.  Таблица разностей.

Составим  в Excel таблицу разностей для  х є [0;1]  с шагом  h = 0.1  и точностью  ε = 10-2.

В расчетах конечных разностей n-ого порядка (или n-ой конечной разности) используется следующая формула:

Х

y

∆y

2y

3y

4y

5y

6y

7y

8y

9y

10y

0

-0,08

0,03

0,02

0,01

-0,04

0,04

-0,01

-0,06

0,20

-0,46

0,90

0,1

-0,05

0,05

0,03

-0,03

0

0,03

-0,07

0,14

-0,26

0,44

0,2

0

0,08

0

-0,03

0,03

-0,04

0,07

-0,12

0,18

0,3

0,08

0,08

-0,03

0

-0,01

0,03

-0,05

0,06

0,4

0,16

0,05

-0,03

-0,01

0,02

-0,02

0

0,5

0,21

0,02

-0,04

0,01

0

-0,01

0,6

0,23

-0,02

-0,03

0,01

-0,01

0,7

0,21

-0,05

-0,02

0

0,8

0,16

-0,07

-0,02

0,9

0,09

-0,09

1,0

0

  1.  Первый интерполяционный полином Ньютона.

Для расчета значения функции у(х) в точке х = 0.22 применим I интерполяционную формулу   Ньютона, которая удобна при интерполировании функции вперед от начала таблицы:

 где

x – неизвестная величина;

х0 – узел;

Подставляя разности,  у0   и   t  в формулу,  найдем   у(0.22) = N(0.22):

у(0.22) = 0,013

  1.  Второй интерполяционный полином Ньютона.

Для расчета значения функции у(х) в точке х = 1.05 применим II интерполяционную формулу Ньютона, которая удобна при интерполировании функции вблизи конца таблицы (в нашем случае – это экстраполирование):

 где  

х  – неизвестная величина;

хn – узел;

Подставляя численные значения в формулу, найдем     у(1.05) = N(1.05):

у(1.05) = -0.045

  1.  Определим относительные погрешности   δ,%.

,

где у – точка на графике;

N(x) – значение функции, вычисленное по формуле Ньютона;

  1.     Относительная погрешность при интерполировании:

N(0.22) = 0.013

y(0.22) = 0,015

 δ(0.22) = 15.38%

  1.  Относительная погрешность при экстраполировании:

N(1.05) = -0.045

y(1.05) = -0.045

δ = 0%

7. Выводы по работе.

PAGE  1


EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  

EMBED Mathcad  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63145. Тваринництво рідного краю 19.63 KB
  Мета: формувати поняття про тваринництво як галузь сільського господарства; дати знання про галузі тваринництва; розкрити їх значення для людини; виховувати патріотичне ставлення до землі рідного краю любов до України пошану до людей та їхньої праці.