9908

Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий

Практическая работа

Физика

Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий. Цель работы.Известно,что в процессе эксплуатации различных химических аппаратов, трубопроводов и приборов появляются всевозможные вибрации (колебания). ...

Русский

2013-03-18

262.5 KB

1 чел.

Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий.

Цель работы. Известно, что в процессе эксплуатации различных химических аппаратов, трубопроводов  и  приборов появляются всевозможные вибрации (колебания). Если частоты этих колебаний совпадут с резонансными, а их амплитуды окажутся достаточно велики, то может произойти  частичное или полное разрушение аппарата. В результате  возможны немалые экономические потери, а также травмы и человеческие жертвы. Чтобы избежать подобного развития событий, целесообразно выполнить предварительные математические расчеты, связанные анализом сложных колебаний, воздействующих на аппараты, разложение этих колебаний на гармонические составляющие и сравнение их с резонансными частотами.

            Теоретические положения. Пусть на отрезке    задана некоторая функция   . Осуществляя  периодическое продолжение этой функции влево и вправо по оси   , получим периодическую функцию .   Так как   -  функция  периода ( полупериод), кусочно-монотонная на отрезке    , то ее можно разложить в ряд Фурье для произвольного отрезка   :

,                        (1)

где и   - коэффициенты Фурье, определяемые по формулам:

,                                        (2)

,                             (3)                              

.                              (4)

При решении различных технических и научных задач имеют место частные случаи , а именно, когда исходная функция четная, т.е.  и, когда эта функция нечетная, т.е. . Отсюда  следует, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, а нечетной – симметричен относительно начала координат. Для нас в данных случаях важным является то, что ряд Фурье (1) существенно упрощается. Так, для четной функции он принимает вид:

,                                (5)

где

,                                        (6)

.                              (7)

Т.е. состоит из свободного члена и косинусоидальной части.

Соответственно, ряд Фурье для  нечетной функции записывается как:

      ,                                  (8)

где

                                (9)

и состоит, таким образом, только из синусоидальной части.

Возможен вариант графика , когда функция вроде бы не является ни четной, ни нечетной, однако в результате параллельного перемещения рисунка вдоль оси   вверх или вниз на величину   , он становится нечетным относительно новой оси. Такой график будем называть условно-нечетным. Ряд Фурье для него будет иметь вид:

   ,                               (10)

причем

,                                           (11)

а

,                                 (12)

т.е. коэффициенты и   вычисляются по общим формулам  (2) и (4).

            Порядок выполнения работы.   

- переписать уравнение предполагаемого колебания, воздействующего на химический аппарат - , заданный отрезок и дополнительное условие (если оно имеется),

- изобразить исходную функцию на рисунке, при этом возможны два варианта:

     1)  если уравнение задано на отрезке , то сделать первый рисунок для заданного отрезка -  это будет функция   ,

           используя дополнительное условие, построить на втором рисунке функцию    для симметричного интервала ,

      2) если уравнение задано на отрезке , то сразу сделать рисунок для    ,

- на следующем рисунке изобразить периодическую функцию   , добавив слева и справа от по одному периоду,

- исходя из графика   , записать ряд Фурье в виде:

   (5), если функция четная,

   (8), если функция нечетная,

  (10), если функция условно-нечетная,

во всех случаях принять   n=5,

- записать выражения для коэффициентов Фурье в виде:

    (6), (7), если функция четная,

    (9), если функция нечетная,

    (11), (12), если функция условно-нечетная,

- вычислить в  MathCad  все требуемые коэффициенты с точностью   , дополнительно посчитав еще   или   численным методом  Симпсона,

- записать конкретное разложение функции   в ряд Фурье, подставив в формулы (5), (8) или (10) числовые значения,

- выписать выражения для пяти частичных сумм полученного ряда:

       ,

- в Excel  посчитать значения всех функций   , а также теоретический график   для 21 точки аргумента в пределах   ,

- сделать 6 рисунков - и один под другим, в одном масштабе,

    Примечание. Рисунки удобно разместить следующим образом:

                            Лист 1 -      и   ,

           Лист 2 -  ,

                            Лист 3 -    ,

                            Лист 4 -   

- сделать вывод по работе в следующем виде:

    “На химический аппарат воздействует сложное механическое колебание

                        = (привести полученную формулу),

которое порождает гармоники с амплитудами и частотами, равными: “

 

             

  Варианты исходных данных.  Все варианты разделены  на  две группы в зависимости от исходного интервала:

а) задан отрезок функции    на интервале  и дополнительное условие  или   . Используя  это дополнительное условие,  требуется вначале достроить график на весь симметричный интервале ,

б) задан отрезок функции    на симметричном  интервале .

Отрезок функции  

Интервал

Дополнительное условие

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

           Пример расчета.   

  1.  Дано. Отрезок функции

, ,   .

  

  1.   Построим: 
    1.  график заданной функции на интервале [-π;π]:

  1.  график периодической функции    :

III. Конкретизация ряда Фурье.

Так как fт (х) – четная функция, то ряд имеет вид:

.     При n = 5 и  l = π, имеем :    

  1.  Коэффициенты и ряд Фурье.
  2.  Вычислим коэффициенты Фурье, пользуясь формулами:

т. е.

  1.  Коэффициент  а3   найдем численным методом Симпсона.

Формула Симпсона имеет  

   вид:

      

       

Выберем    

  шаг:

               

3) Значения функции в заданных точках уi = f (xi) = - cos (xi/2) · cos (3xi)

X0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

х10

0

π/10

π/5

/10

/5

π/2

/5

/10

/5

/10

π

Y0

y1

y2

y3

y4

y5

y6

y7

y8

y9

у10

-1

-0,581

0,294

0,847

0,655

0

-0,476

-0,432

-0,095

0,092

0

В итоге получаем:

4) Разложение в ряд  Фурье заданной функции

  1.  Выпишем выражения для 5 первых частичных сумм.

  1.  Найдем амплитуды и частоты гармонических колебаний.

Амплитуды:   Частоты:

   

   

   

   

   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80477. Математические загадки лесных жителей 369 KB
  Цель: повторить прием составления таблицы деления отработать решение задач на два действия. Развивать мышление, память, внимание, творческое воображение, последовательность рассуждений при решении примеров, задач. Воспитывать любовь к природе, бережное к ней отношение.
80479. Письмове додавання трицифрових чисел без переходу через розряд. Прості задачі на додавання. Розширена задача на спосіб зведення до одиниці 51.5 KB
  Ознайомити учнів із прийомом письмового додавання трицифрових чисел без переходу через розряд; удосконалювати вміння учнів розв’язувати прості задачі на зведення до одиниці; узагальнювати вміння розв’язати рівняння; розвивати мислення; виховувати інтерес до математики та казок
80480. Запис і читання трицифрових чисел. Випадки додавання й віднімання трицифрових чисел, пов’язаних з нумерацією 1.31 MB
  Мета: формувати вміння читати і записувати трицифрові числа в нумераційну таблицю, закріпити додавання і віднімання розрядних чисел та додавання і віднімання одиниці, вдосконалювати вміння розв’язувати складені задачі на «зменшення», «збільшення» на кілька одиниць, задач геометричного змісту...
80481. СУСПІЛЬНО-ПОЛІТИЧНИЙ ЛАД І ПРАВО УКРАЇНИ ПІСЛЯ ПЕРЕМОГИ ЛЮТНЕВОЇ ДЕМОКРАТИЧНОЇ РЕВОЛЮЦІЇ (лютий—жовтень 1917 р.) 38.27 KB
  Тимчасовий уряд та його органи в Україні. Законодавство Тимчасового уряд. За згодою між лідерами Тимчасового комітету і керівництвом Петроградської Ради робітничих і солдатських депутатів був утворений Тимчасовий уряд. Через кризи прорахунки та помилки коаліційний Тимчасовий уряд представлений кадетами народними соціалістами меншовиками та есерами вів країну до Установчих зборів котрі як він сподівався мали розвязати кардинальні питання її нового буття.
80482. УКРАЇНСЬКІ ЗЕМЛІ ПІД ВЛАДОЮ РЕЧІ ПОСПОЛИТОЇ 106.5 KB
  ЗАГАЛЬНИЙ ІСТОРИЧНИЙ ОГЛЯД Після Люблінської унії 1569 року Велике князівство Литовське втратило не лише свої землі а й державне значення. Перше велике козацькоселянське повстання вибухнуло у 1591 році і тривало до 1593 року. Восени 1595 року все українське Правобережжя і ПівденноСхідна Білорусія опинилися в руках повстанців. Згідно зі статтями Переяславської угоди від 29 травня 1630 року козаки визнавали свою провину однак не підлягали покаранню за участь в повстанні.
80483. УКРАЇНСЬКА ДЕРЖАВА ТА ПРАВО В РОКИ ВИЗВОЛЬНОЇ ВІЙНИ. ЕВОЛЮЦІЯ ДЕРЖАВНО - ПРАВОВОЇ СИСТЕМИ (середина ХVІІ – ХVІІІ ст.ст.) 218 KB
  Політичне та економічне становище України було дуже тяжким. Український історик і юрист Андрій Яковлів підкреслював що українським проектом договору гарантувалася повнота внутрішньої автономії держави й усувалося будьяке втручання влади московського царя у внутрішні справи України. Самостійність України визнавалась і на міжнародній арені. Спочатку і Москва ставилась до України як до вільної держави.
80484. УТВОРЕННЯ УКРАЇНСЬКОЇ РАДЯНСЬКОЇ РЕСПУБЛІКИ. ДЕРЖАВА І ПРАВО УСРР В РОКИ ГРОМАДЯНСЬКОЇ ВІЙНИ І ВОЄННОЇ ІНТЕРВЕНЦІЇ 122.5 KB
  Радянське державне будівництво в Україні в умовах громадянської війни та воєнної інтервенції весна 1918 кінець 1920 рр. в Україні розгорталися в загальному контексті громадянської війни на території Росії. Під час збройної боротьби на політичну арену вийшли різноманітні отамани діяльність яких стала однією з характерних рис громадянської війни в Україні. Більшовики спираючись на допомогу радянської Росії докладали чимало зусиль щоб відновити в Україні радянську владу.
80485. СУСПІЛЬНО-ПОЛІТИЧНИЙ ЛАД І ПРАВО УКРАЇНИ В ПЕРІОД З ПОЧАТКУ XX ст. до 1917 року 27.16 KB
  Кожний стан поділявся на групи становища які мали особливі тільки їм надані законом права та обов\'язки. У Луганську та Катеринославі Ради розпустили міські думи і провели роботу по підготовці виборів нового складу цих органів на засадах загального та рівного виборчого права. Вона містила норми про права підданих яких не було в попередніх редакціях Основних законів. Джерела права.