9908

Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий

Практическая работа

Физика

Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий. Цель работы.Известно,что в процессе эксплуатации различных химических аппаратов, трубопроводов и приборов появляются всевозможные вибрации (колебания). ...

Русский

2013-03-18

262.5 KB

1 чел.

Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий.

Цель работы. Известно, что в процессе эксплуатации различных химических аппаратов, трубопроводов  и  приборов появляются всевозможные вибрации (колебания). Если частоты этих колебаний совпадут с резонансными, а их амплитуды окажутся достаточно велики, то может произойти  частичное или полное разрушение аппарата. В результате  возможны немалые экономические потери, а также травмы и человеческие жертвы. Чтобы избежать подобного развития событий, целесообразно выполнить предварительные математические расчеты, связанные анализом сложных колебаний, воздействующих на аппараты, разложение этих колебаний на гармонические составляющие и сравнение их с резонансными частотами.

            Теоретические положения. Пусть на отрезке    задана некоторая функция   . Осуществляя  периодическое продолжение этой функции влево и вправо по оси   , получим периодическую функцию .   Так как   -  функция  периода ( полупериод), кусочно-монотонная на отрезке    , то ее можно разложить в ряд Фурье для произвольного отрезка   :

,                        (1)

где и   - коэффициенты Фурье, определяемые по формулам:

,                                        (2)

,                             (3)                              

.                              (4)

При решении различных технических и научных задач имеют место частные случаи , а именно, когда исходная функция четная, т.е.  и, когда эта функция нечетная, т.е. . Отсюда  следует, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, а нечетной – симметричен относительно начала координат. Для нас в данных случаях важным является то, что ряд Фурье (1) существенно упрощается. Так, для четной функции он принимает вид:

,                                (5)

где

,                                        (6)

.                              (7)

Т.е. состоит из свободного члена и косинусоидальной части.

Соответственно, ряд Фурье для  нечетной функции записывается как:

      ,                                  (8)

где

                                (9)

и состоит, таким образом, только из синусоидальной части.

Возможен вариант графика , когда функция вроде бы не является ни четной, ни нечетной, однако в результате параллельного перемещения рисунка вдоль оси   вверх или вниз на величину   , он становится нечетным относительно новой оси. Такой график будем называть условно-нечетным. Ряд Фурье для него будет иметь вид:

   ,                               (10)

причем

,                                           (11)

а

,                                 (12)

т.е. коэффициенты и   вычисляются по общим формулам  (2) и (4).

            Порядок выполнения работы.   

- переписать уравнение предполагаемого колебания, воздействующего на химический аппарат - , заданный отрезок и дополнительное условие (если оно имеется),

- изобразить исходную функцию на рисунке, при этом возможны два варианта:

     1)  если уравнение задано на отрезке , то сделать первый рисунок для заданного отрезка -  это будет функция   ,

           используя дополнительное условие, построить на втором рисунке функцию    для симметричного интервала ,

      2) если уравнение задано на отрезке , то сразу сделать рисунок для    ,

- на следующем рисунке изобразить периодическую функцию   , добавив слева и справа от по одному периоду,

- исходя из графика   , записать ряд Фурье в виде:

   (5), если функция четная,

   (8), если функция нечетная,

  (10), если функция условно-нечетная,

во всех случаях принять   n=5,

- записать выражения для коэффициентов Фурье в виде:

    (6), (7), если функция четная,

    (9), если функция нечетная,

    (11), (12), если функция условно-нечетная,

- вычислить в  MathCad  все требуемые коэффициенты с точностью   , дополнительно посчитав еще   или   численным методом  Симпсона,

- записать конкретное разложение функции   в ряд Фурье, подставив в формулы (5), (8) или (10) числовые значения,

- выписать выражения для пяти частичных сумм полученного ряда:

       ,

- в Excel  посчитать значения всех функций   , а также теоретический график   для 21 точки аргумента в пределах   ,

- сделать 6 рисунков - и один под другим, в одном масштабе,

    Примечание. Рисунки удобно разместить следующим образом:

                            Лист 1 -      и   ,

           Лист 2 -  ,

                            Лист 3 -    ,

                            Лист 4 -   

- сделать вывод по работе в следующем виде:

    “На химический аппарат воздействует сложное механическое колебание

                        = (привести полученную формулу),

которое порождает гармоники с амплитудами и частотами, равными: “

 

             

  Варианты исходных данных.  Все варианты разделены  на  две группы в зависимости от исходного интервала:

а) задан отрезок функции    на интервале  и дополнительное условие  или   . Используя  это дополнительное условие,  требуется вначале достроить график на весь симметричный интервале ,

б) задан отрезок функции    на симметричном  интервале .

Отрезок функции  

Интервал

Дополнительное условие

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

           Пример расчета.   

  1.  Дано. Отрезок функции

, ,   .

  

  1.   Построим: 
    1.  график заданной функции на интервале [-π;π]:

  1.  график периодической функции    :

III. Конкретизация ряда Фурье.

Так как fт (х) – четная функция, то ряд имеет вид:

.     При n = 5 и  l = π, имеем :    

  1.  Коэффициенты и ряд Фурье.
  2.  Вычислим коэффициенты Фурье, пользуясь формулами:

т. е.

  1.  Коэффициент  а3   найдем численным методом Симпсона.

Формула Симпсона имеет  

   вид:

      

       

Выберем    

  шаг:

               

3) Значения функции в заданных точках уi = f (xi) = - cos (xi/2) · cos (3xi)

X0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

х10

0

π/10

π/5

/10

/5

π/2

/5

/10

/5

/10

π

Y0

y1

y2

y3

y4

y5

y6

y7

y8

y9

у10

-1

-0,581

0,294

0,847

0,655

0

-0,476

-0,432

-0,095

0,092

0

В итоге получаем:

4) Разложение в ряд  Фурье заданной функции

  1.  Выпишем выражения для 5 первых частичных сумм.

  1.  Найдем амплитуды и частоты гармонических колебаний.

Амплитуды:   Частоты:

   

   

   

   

   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34392. Квотирование, лицензирование, валютное регулирование экспорта и импорта 25 KB
  Квотирование К установление количественных ограничений квот на ввоз и вывоз товаров. Лицензирование Л: для ввоза вывоза определенных товаров требуется получить установленный документ лицензию. Число квотированных товаров по мере приближения цен к мировым снижается. Кроме того лицензированию подлежат экспорт и импорт специфических товаров: товаров и технологий военного и двойного назначения ядерных материалов драгоценных металлов и камней наркотических и психотронных средств ядов.
34393. Определение эффективности ВЭС 29 KB
  Эффективность экспорта продукции Ээ определяется соотношением валютной выручки Вэ к затратам на экспорт Зэ. Если Ээ 1 то экспорт продукции экономически выгоден Ээ = Вэ Зэ. Эффективность импорта продукции Эи определяется соотношением затрат на производство импортозамещающих товаров Зи к валютным расходам на приобретение импортных товаров Ви Эи = Зи Ви. На основе расчетов эффективности экспорта и импорта делается вывод о целесообразности поставок продукции в ту или иную страну и импорта товаров.
34394. Промышленные комплексы. Проблемы их функционирования в современных условиях. Реструктуризация промышленности 34 KB
  Строительство основа строительного комплекса особенностями которого являются длительный период производства продукции и большие затраты трудовых материальных и финансовых ресурсов. Особое внимание при этом предусматривается уделять модернизации наукоемкого сектора промти экспортно ориентированным отраслям и импортозамещающим производствам созданию и развитию производств основанных на прогрессивных технологиях. Предусматриваются следующие важнейшие меропр: реформирование системы гос п п завершение приватизации малых п п и...
34395. Прогнозирование и планирование объема и структуры промышленного производства 33 KB
  На заключительном этапе формируются плановый объем и структура выпуска промышленной продукции с учетом спроса возможностей производства и обеспечения производственными ресурсами. Обосновывается и устанавливается заказ на поставку важнейших видов продукции для государственных нужд. Для прогнозирования спроса и объема производства конкретных видов продукции хорошие результаты дает метод Дельфи . Путем анкетного опроса группы ученых и специалистов по данной проблеме формируется информация по выпуску каждого вида продукции по годам которая...
34396. Сущность и содержание прогнозирования. Роль и характер прогнозов 44.5 KB
  Прогнозирование это процесс разработки прогноза построенный на вероятностном научно обоснованном суждении о перспективах развития объекта в будущем его возможном состоянии и альтернативных путях его достижения. Социальноэкономическое прогнозирование является способом предвидения представления о будущем обусловленном закономерностями общественного развития и действием разнообразных и разнонаправленных факторов в прогнозируемом периоде. В соответствии с Законом О государственном прогнозировании и программах социальноэкономического...
34397. Сущность планирования. Директивное, индикативное, стратегическое планирование, их характеристика 47 KB
  При формировании рыночных отношений в Республике Беларусь необходимо видение перспектив ее экономического и социального развития. Планирование это процесс принятия управленческого решения основанный на обработке исходной информации и включающий в себя определение и научную постановку целей средств и путей их достижения посредством сравнительной оценки альтернативных вариантов и выбора наиболее приемлемого из них в ожидаемых условиях развития. Суть планирования состоит не в разработке и доведении многочисленных показателей до...
34398. Предмет курса, его место в системе экономических наук 27 KB
  Пип наука изучающая экие теории и законы применительно к конкретным условиям производства их специфические проявления в важнейших процессах прва закономерностях темпов и пропорциях с тем чтобы в результате этого изучения с учетом достижений НТП передового опыта обосновать объемы темпы и пропорции общественного производства в целях наиболее эффективного развития экономики. Задача курса состоит в рассмотрении комплекса теоретических методологических организационных вопросов пип экономики на современном этапе. Теория пип является...
34399. Исторический аспект развития прогнозирования и планирования 26 KB
  Экономическая мысль совершая поиск путей становления системы планирования испытывала колебания вступала в противоборство допуская ошибки и избавляясь от них под влиянием реальных явлений хозяйственной жизни. Рассмотрим становление и совершенствование прогнозирования и планирования в бывшем СССР и развитых зарубежных странах. Первый долгосрочный план который представляет интерес с точки зрения общей методологии планирования это план ГОЭЛРО государственный план электрификации России разработанный в 1920 г.
34400. Развитие и особенности ПИП в зарубежных странах (США, Япония, Франция и др.) 45.5 KB
  Для США характерно стратегическое планирование суть которого состоит в выборе главных приоритетов развития национальной экономики ведущую роль в реализации которых играет государство. Основным источником займов на цели разработки и освоения новой технологии является Японский банк развития. Направления стратегического развития разрабатываются в виде целевых государственных программ и сопровождаются комплексом различных финансовых льгот и преференций стимулирующих их реализацию. Она представляет собой модель будущего развития экономики...