9908

Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий

Практическая работа

Физика

Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий. Цель работы.Известно,что в процессе эксплуатации различных химических аппаратов, трубопроводов и приборов появляются всевозможные вибрации (колебания). ...

Русский

2013-03-18

262.5 KB

1 чел.

Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий.

Цель работы. Известно, что в процессе эксплуатации различных химических аппаратов, трубопроводов  и  приборов появляются всевозможные вибрации (колебания). Если частоты этих колебаний совпадут с резонансными, а их амплитуды окажутся достаточно велики, то может произойти  частичное или полное разрушение аппарата. В результате  возможны немалые экономические потери, а также травмы и человеческие жертвы. Чтобы избежать подобного развития событий, целесообразно выполнить предварительные математические расчеты, связанные анализом сложных колебаний, воздействующих на аппараты, разложение этих колебаний на гармонические составляющие и сравнение их с резонансными частотами.

            Теоретические положения. Пусть на отрезке    задана некоторая функция   . Осуществляя  периодическое продолжение этой функции влево и вправо по оси   , получим периодическую функцию .   Так как   -  функция  периода ( полупериод), кусочно-монотонная на отрезке    , то ее можно разложить в ряд Фурье для произвольного отрезка   :

,                        (1)

где и   - коэффициенты Фурье, определяемые по формулам:

,                                        (2)

,                             (3)                              

.                              (4)

При решении различных технических и научных задач имеют место частные случаи , а именно, когда исходная функция четная, т.е.  и, когда эта функция нечетная, т.е. . Отсюда  следует, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, а нечетной – симметричен относительно начала координат. Для нас в данных случаях важным является то, что ряд Фурье (1) существенно упрощается. Так, для четной функции он принимает вид:

,                                (5)

где

,                                        (6)

.                              (7)

Т.е. состоит из свободного члена и косинусоидальной части.

Соответственно, ряд Фурье для  нечетной функции записывается как:

      ,                                  (8)

где

                                (9)

и состоит, таким образом, только из синусоидальной части.

Возможен вариант графика , когда функция вроде бы не является ни четной, ни нечетной, однако в результате параллельного перемещения рисунка вдоль оси   вверх или вниз на величину   , он становится нечетным относительно новой оси. Такой график будем называть условно-нечетным. Ряд Фурье для него будет иметь вид:

   ,                               (10)

причем

,                                           (11)

а

,                                 (12)

т.е. коэффициенты и   вычисляются по общим формулам  (2) и (4).

            Порядок выполнения работы.   

- переписать уравнение предполагаемого колебания, воздействующего на химический аппарат - , заданный отрезок и дополнительное условие (если оно имеется),

- изобразить исходную функцию на рисунке, при этом возможны два варианта:

     1)  если уравнение задано на отрезке , то сделать первый рисунок для заданного отрезка -  это будет функция   ,

           используя дополнительное условие, построить на втором рисунке функцию    для симметричного интервала ,

      2) если уравнение задано на отрезке , то сразу сделать рисунок для    ,

- на следующем рисунке изобразить периодическую функцию   , добавив слева и справа от по одному периоду,

- исходя из графика   , записать ряд Фурье в виде:

   (5), если функция четная,

   (8), если функция нечетная,

  (10), если функция условно-нечетная,

во всех случаях принять   n=5,

- записать выражения для коэффициентов Фурье в виде:

    (6), (7), если функция четная,

    (9), если функция нечетная,

    (11), (12), если функция условно-нечетная,

- вычислить в  MathCad  все требуемые коэффициенты с точностью   , дополнительно посчитав еще   или   численным методом  Симпсона,

- записать конкретное разложение функции   в ряд Фурье, подставив в формулы (5), (8) или (10) числовые значения,

- выписать выражения для пяти частичных сумм полученного ряда:

       ,

- в Excel  посчитать значения всех функций   , а также теоретический график   для 21 точки аргумента в пределах   ,

- сделать 6 рисунков - и один под другим, в одном масштабе,

    Примечание. Рисунки удобно разместить следующим образом:

                            Лист 1 -      и   ,

           Лист 2 -  ,

                            Лист 3 -    ,

                            Лист 4 -   

- сделать вывод по работе в следующем виде:

    “На химический аппарат воздействует сложное механическое колебание

                        = (привести полученную формулу),

которое порождает гармоники с амплитудами и частотами, равными: “

 

             

  Варианты исходных данных.  Все варианты разделены  на  две группы в зависимости от исходного интервала:

а) задан отрезок функции    на интервале  и дополнительное условие  или   . Используя  это дополнительное условие,  требуется вначале достроить график на весь симметричный интервале ,

б) задан отрезок функции    на симметричном  интервале .

Отрезок функции  

Интервал

Дополнительное условие

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

           Пример расчета.   

  1.  Дано. Отрезок функции

, ,   .

  

  1.   Построим: 
    1.  график заданной функции на интервале [-π;π]:

  1.  график периодической функции    :

III. Конкретизация ряда Фурье.

Так как fт (х) – четная функция, то ряд имеет вид:

.     При n = 5 и  l = π, имеем :    

  1.  Коэффициенты и ряд Фурье.
  2.  Вычислим коэффициенты Фурье, пользуясь формулами:

т. е.

  1.  Коэффициент  а3   найдем численным методом Симпсона.

Формула Симпсона имеет  

   вид:

      

       

Выберем    

  шаг:

               

3) Значения функции в заданных точках уi = f (xi) = - cos (xi/2) · cos (3xi)

X0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

х10

0

π/10

π/5

/10

/5

π/2

/5

/10

/5

/10

π

Y0

y1

y2

y3

y4

y5

y6

y7

y8

y9

у10

-1

-0,581

0,294

0,847

0,655

0

-0,476

-0,432

-0,095

0,092

0

В итоге получаем:

4) Разложение в ряд  Фурье заданной функции

  1.  Выпишем выражения для 5 первых частичных сумм.

  1.  Найдем амплитуды и частоты гармонических колебаний.

Амплитуды:   Частоты:

   

   

   

   

   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35174. Концепция применения CALS (ИПИ) - технологий в промышленности Нижегородской области 151.5 KB
  производственные информационные системы CALSтехнологии CALS Continuous Acquisition and Life cycle Support непрерывное развитие и поддержка жизненного цикла русский аналог ИПИ Информационная Поддержка жизненного цикла Изделий обеспечивающие информационную поддержку жизненного цикла изделий конструирование технологическое проектирование производство эксплуатацию утилизацию. В последнее время начали развиваться КИС и CALSтехнологии. Наибольшую отдачу дают информационные технологии и самое главное корпоративный...
35175. Разработка информационной системы организации, занимающейся продажей и установкой входных и межкомнатных дверей 924 KB
  Опыт применения ЭВМ для построения прикладных систем обработки данных показывает, что самым эффективным инструментом здесь являются не универсальные алгоритмические языки высокого уровня, а специализированные языки для создания систем управления данными.
35176. Необходимость внедрения информационной системы для небольшого частного предприятия «Computer Master» 3.01 MB
  В случае покупки товара из имеющихся в наличии при расчете кассир вводит номер чека. В результате проведения проблемного анализа выявлены следующие проблемы: Необоснованные затраты времени кассира на ввод номера чека и номера или номера товара. Затраты времени на устранения ошибок ввода номера товара в случае неправильного ввода. EUICashier Граничный класс отвечающий за отображение формы требования атрибутов покупки оборудования номер чека номер товара параметров и результатов поиска требований оплаты 3.
35177. Разработка информационной системы закупки комплектующих для производства 922 KB
  В данном разделе описывается сама организация и внешняя среда, с которой она взаимодействует. Основными знаниями, связывающими различные объекты предметной области в целое, являются бизнес-процессы, также представленные в данном разделе.
35178. АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ 6.02 MB
  Определение объекта системы. Отношения внутри диаграмм классов: обобщения ассоциации зависимости Структура АИС: Описание структуры информационной системы включающей в себя понятия: техническое обеспечение математическое обеспечение программное обеспечение информационное обеспечение организационное обеспечение правовое обеспечение. Глобальная сеть Internet как пример открытой информационной системы.
35179. Информация и информационные ресурсы 307.5 KB
  Информационные системы экономические информационные системы. По поддержке видов деятельности: система автоматизированного проектирования автоматизированные ИС автоматизированные системы управления технологическими процессами.Обеспечивающие подсистемы экономих информых систем ЭИС. Организацое обеспие внутреняя органия ИС обеспечая управлие всеми подсистемами ЭИС как единой системы.
35180. Сетевое администрирование на основе Microsoft Windows Server 2003 8.93 MB
  В рамках курса предполагается изучение базовых понятий сетевого администрирования и стека протоколов TCP IP рассмотрение эффективных решений задач управления пользователями и ресурсами сети освоение основных приемов и инструментов мониторинга компьютерной сети овладение базовыми средствами обеспечения безопасности сети. Цель задачи и объекты сетевого администрирования Решение данных задач осуществляется применительно к трем группам объектов: серверы компьютеры предоставляющие доступ к ресурсам сети и посредством которых системный...
35181. ОПЕРАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ И СРЕДЫ 2.18 MB
  Обычный урок В начале урока проверка Д З в виде контрольной работы или устного ответа и конспектов Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине Операционные системы Основные понятия и определения ОС. Ресурсы вычислительной системы их классификация. Управление оперативной памятью вычислительной системы.
35182. Информатика и сетевое администрирование 232 KB
  Узел составной сети имеющий IPадрес называется хост host. Локальный адрес это адрес присвоенный узлу в соответствии с технологией подсети входящей в составную сеть. IPадрес состоит из двух логических частей номера подсети ID подсети и номера узла ID хоста в этой подсети. При передаче пакета из одной подсети в другую используется ID подсети.