9908

Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий

Практическая работа

Физика

Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий. Цель работы.Известно,что в процессе эксплуатации различных химических аппаратов, трубопроводов и приборов появляются всевозможные вибрации (колебания). ...

Русский

2013-03-18

262.5 KB

1 чел.

Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий.

Цель работы. Известно, что в процессе эксплуатации различных химических аппаратов, трубопроводов  и  приборов появляются всевозможные вибрации (колебания). Если частоты этих колебаний совпадут с резонансными, а их амплитуды окажутся достаточно велики, то может произойти  частичное или полное разрушение аппарата. В результате  возможны немалые экономические потери, а также травмы и человеческие жертвы. Чтобы избежать подобного развития событий, целесообразно выполнить предварительные математические расчеты, связанные анализом сложных колебаний, воздействующих на аппараты, разложение этих колебаний на гармонические составляющие и сравнение их с резонансными частотами.

            Теоретические положения. Пусть на отрезке    задана некоторая функция   . Осуществляя  периодическое продолжение этой функции влево и вправо по оси   , получим периодическую функцию .   Так как   -  функция  периода ( полупериод), кусочно-монотонная на отрезке    , то ее можно разложить в ряд Фурье для произвольного отрезка   :

,                        (1)

где и   - коэффициенты Фурье, определяемые по формулам:

,                                        (2)

,                             (3)                              

.                              (4)

При решении различных технических и научных задач имеют место частные случаи , а именно, когда исходная функция четная, т.е.  и, когда эта функция нечетная, т.е. . Отсюда  следует, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, а нечетной – симметричен относительно начала координат. Для нас в данных случаях важным является то, что ряд Фурье (1) существенно упрощается. Так, для четной функции он принимает вид:

,                                (5)

где

,                                        (6)

.                              (7)

Т.е. состоит из свободного члена и косинусоидальной части.

Соответственно, ряд Фурье для  нечетной функции записывается как:

      ,                                  (8)

где

                                (9)

и состоит, таким образом, только из синусоидальной части.

Возможен вариант графика , когда функция вроде бы не является ни четной, ни нечетной, однако в результате параллельного перемещения рисунка вдоль оси   вверх или вниз на величину   , он становится нечетным относительно новой оси. Такой график будем называть условно-нечетным. Ряд Фурье для него будет иметь вид:

   ,                               (10)

причем

,                                           (11)

а

,                                 (12)

т.е. коэффициенты и   вычисляются по общим формулам  (2) и (4).

            Порядок выполнения работы.   

- переписать уравнение предполагаемого колебания, воздействующего на химический аппарат - , заданный отрезок и дополнительное условие (если оно имеется),

- изобразить исходную функцию на рисунке, при этом возможны два варианта:

     1)  если уравнение задано на отрезке , то сделать первый рисунок для заданного отрезка -  это будет функция   ,

           используя дополнительное условие, построить на втором рисунке функцию    для симметричного интервала ,

      2) если уравнение задано на отрезке , то сразу сделать рисунок для    ,

- на следующем рисунке изобразить периодическую функцию   , добавив слева и справа от по одному периоду,

- исходя из графика   , записать ряд Фурье в виде:

   (5), если функция четная,

   (8), если функция нечетная,

  (10), если функция условно-нечетная,

во всех случаях принять   n=5,

- записать выражения для коэффициентов Фурье в виде:

    (6), (7), если функция четная,

    (9), если функция нечетная,

    (11), (12), если функция условно-нечетная,

- вычислить в  MathCad  все требуемые коэффициенты с точностью   , дополнительно посчитав еще   или   численным методом  Симпсона,

- записать конкретное разложение функции   в ряд Фурье, подставив в формулы (5), (8) или (10) числовые значения,

- выписать выражения для пяти частичных сумм полученного ряда:

       ,

- в Excel  посчитать значения всех функций   , а также теоретический график   для 21 точки аргумента в пределах   ,

- сделать 6 рисунков - и один под другим, в одном масштабе,

    Примечание. Рисунки удобно разместить следующим образом:

                            Лист 1 -      и   ,

           Лист 2 -  ,

                            Лист 3 -    ,

                            Лист 4 -   

- сделать вывод по работе в следующем виде:

    “На химический аппарат воздействует сложное механическое колебание

                        = (привести полученную формулу),

которое порождает гармоники с амплитудами и частотами, равными: “

 

             

  Варианты исходных данных.  Все варианты разделены  на  две группы в зависимости от исходного интервала:

а) задан отрезок функции    на интервале  и дополнительное условие  или   . Используя  это дополнительное условие,  требуется вначале достроить график на весь симметричный интервале ,

б) задан отрезок функции    на симметричном  интервале .

Отрезок функции  

Интервал

Дополнительное условие

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

           Пример расчета.   

  1.  Дано. Отрезок функции

, ,   .

  

  1.   Построим: 
    1.  график заданной функции на интервале [-π;π]:

  1.  график периодической функции    :

III. Конкретизация ряда Фурье.

Так как fт (х) – четная функция, то ряд имеет вид:

.     При n = 5 и  l = π, имеем :    

  1.  Коэффициенты и ряд Фурье.
  2.  Вычислим коэффициенты Фурье, пользуясь формулами:

т. е.

  1.  Коэффициент  а3   найдем численным методом Симпсона.

Формула Симпсона имеет  

   вид:

      

       

Выберем    

  шаг:

               

3) Значения функции в заданных точках уi = f (xi) = - cos (xi/2) · cos (3xi)

X0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

х10

0

π/10

π/5

/10

/5

π/2

/5

/10

/5

/10

π

Y0

y1

y2

y3

y4

y5

y6

y7

y8

y9

у10

-1

-0,581

0,294

0,847

0,655

0

-0,476

-0,432

-0,095

0,092

0

В итоге получаем:

4) Разложение в ряд  Фурье заданной функции

  1.  Выпишем выражения для 5 первых частичных сумм.

  1.  Найдем амплитуды и частоты гармонических колебаний.

Амплитуды:   Частоты:

   

   

   

   

   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80726. Предмет, цели, задачи курса теоретической грамматики 34.33 KB
  Отличие теоретической грамматики от практической. Практическая грамматика предписывает определенные правила употребления, учит как надо говорить или писать, а теоретическая грамматика, анализируя факты языка, излагает их, не давая никаких предписаний. В отличие от практической грамматики, теоретическая грамматика не во всех случаях дает готовое решение. В языке существует ряд явлений, интерпретируемых по-разному разными лингвистами.
80727. Теория классификации частей речи. Проблема частей речи в зарубежной и отечественной лингвистике 38.55 KB
  Теория классификации частей речи. Проблема частей речи в зарубежной и отечественной лингвистике Весь словарный состав английского языка как и всех индоевропейских языков подразделяется на определенные лексико-грамматические классы называемые частями речи. Самые первые перечни частей речи приводившиеся в ранних трудах по философии и логике и являвшиеся первыми классификациями частей речи едва ли основывались на каких либо четких критериях. Многие другие разряды слов приобретшие впоследствии статус частей речи были выделены из сферы имени...
80728. Проблема частей речи в отечественной лингвистике. Классификации отечественных лингвистов 31.25 KB
  Проблема частей речи в отечественной лингвистике. Классификации отечественных лингвистов Отечественные лингвисты в отличие от зарубежных авторов считают триединый принцип классификации частей речи ведущим но допускают возможность привлечения двух признаков: семантического и синтаксического так как английский язык аналитический и в ряде случаев отсутствует признак формы. Впервые эта мысль была высказана Щербой в статье О частях речи в английском языке. Наиболее четкое определение частей речи которого придерживаются и исследователи...
80729. Имя существительное. Проблемы падежа, числа, рода. Лексико-грамматические разряды существительных 35.14 KB
  Существительное – это знаменательная часть речи обладающая семантическим значением предметности характеризующаяся наличием определенных грамматических категорий и зависимых грамматических значений. Грамматическое значение – это обобщенное абстрагированное значение объединяющее крупные разряды слов и выраженное через свойственные ему формальные показатели. Зависимое грамматическое значение лексико-грамматическое значение – это значение соединяющее лексический состав и грамматическую форму. Итак существительное обладает значением...
80730. Проблема артикля 33.85 KB
  Проблема места артикля представлена двумя теориями: Одна из них рассматривает сочетание Артикль Существительное как аналитическую форму. Вторая теория относит артикль к служебным частям речи а сочетание Артикль Существительное трактуется как сочетание особого типа. В соответствии с первой теорией если данное сочетание рассматривать как аналитическое то артикль приравнивается к вспомогательной части аналитической формы. В пользу этого можно привести следующие доводы: Артикль является морфологическим показателем существительного.
80731. Прилагательное. Категории прилагательного 36.35 KB
  Прилагательное это часть речи называющая признак предмета обладающий условной устойчивостью без указания на развитие признака вор времени. Прилагательное выделяется на основе трех критериев: значения формы и функции. Прилагательное обладает обобщающим грамматическим значением и это – значение признака свойства или состояния.
80732. The Old English Noun 27.92 KB
  The inflection of the Old English noun indicates distinctions of number (singular and plural) and case. The case system is somewhat simpler than that of Latin and some of the other Indo-European languages. There is no ablative, and generally no locative or instrumental case, these having been merged with the dative...
80733. Actual division of the sentence 26.83 KB
  The purpose of the actual division of the sentence is to reveal the correlative significance of the sentence parts from the point of view of their actual informative role in an utterance. The main components of the actual division of the sentence are the theme and the rheme.
80734. Sentence in traditional syntax 27.07 KB
  From the traditional point of view the nuclear of syntax is formed by the gram. Subject and gram. Predicate. Periphery is formed by other parts of a sentence: complements, objects, two types of adjuncts (attributes and adverbial modifiers). These parts of a syntax are called secondary and are normally optional.