9908

Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий

Практическая работа

Физика

Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий. Цель работы.Известно,что в процессе эксплуатации различных химических аппаратов, трубопроводов и приборов появляются всевозможные вибрации (колебания). ...

Русский

2013-03-18

262.5 KB

1 чел.

Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий.

Цель работы. Известно, что в процессе эксплуатации различных химических аппаратов, трубопроводов  и  приборов появляются всевозможные вибрации (колебания). Если частоты этих колебаний совпадут с резонансными, а их амплитуды окажутся достаточно велики, то может произойти  частичное или полное разрушение аппарата. В результате  возможны немалые экономические потери, а также травмы и человеческие жертвы. Чтобы избежать подобного развития событий, целесообразно выполнить предварительные математические расчеты, связанные анализом сложных колебаний, воздействующих на аппараты, разложение этих колебаний на гармонические составляющие и сравнение их с резонансными частотами.

            Теоретические положения. Пусть на отрезке    задана некоторая функция   . Осуществляя  периодическое продолжение этой функции влево и вправо по оси   , получим периодическую функцию .   Так как   -  функция  периода ( полупериод), кусочно-монотонная на отрезке    , то ее можно разложить в ряд Фурье для произвольного отрезка   :

,                        (1)

где и   - коэффициенты Фурье, определяемые по формулам:

,                                        (2)

,                             (3)                              

.                              (4)

При решении различных технических и научных задач имеют место частные случаи , а именно, когда исходная функция четная, т.е.  и, когда эта функция нечетная, т.е. . Отсюда  следует, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, а нечетной – симметричен относительно начала координат. Для нас в данных случаях важным является то, что ряд Фурье (1) существенно упрощается. Так, для четной функции он принимает вид:

,                                (5)

где

,                                        (6)

.                              (7)

Т.е. состоит из свободного члена и косинусоидальной части.

Соответственно, ряд Фурье для  нечетной функции записывается как:

      ,                                  (8)

где

                                (9)

и состоит, таким образом, только из синусоидальной части.

Возможен вариант графика , когда функция вроде бы не является ни четной, ни нечетной, однако в результате параллельного перемещения рисунка вдоль оси   вверх или вниз на величину   , он становится нечетным относительно новой оси. Такой график будем называть условно-нечетным. Ряд Фурье для него будет иметь вид:

   ,                               (10)

причем

,                                           (11)

а

,                                 (12)

т.е. коэффициенты и   вычисляются по общим формулам  (2) и (4).

            Порядок выполнения работы.   

- переписать уравнение предполагаемого колебания, воздействующего на химический аппарат - , заданный отрезок и дополнительное условие (если оно имеется),

- изобразить исходную функцию на рисунке, при этом возможны два варианта:

     1)  если уравнение задано на отрезке , то сделать первый рисунок для заданного отрезка -  это будет функция   ,

           используя дополнительное условие, построить на втором рисунке функцию    для симметричного интервала ,

      2) если уравнение задано на отрезке , то сразу сделать рисунок для    ,

- на следующем рисунке изобразить периодическую функцию   , добавив слева и справа от по одному периоду,

- исходя из графика   , записать ряд Фурье в виде:

   (5), если функция четная,

   (8), если функция нечетная,

  (10), если функция условно-нечетная,

во всех случаях принять   n=5,

- записать выражения для коэффициентов Фурье в виде:

    (6), (7), если функция четная,

    (9), если функция нечетная,

    (11), (12), если функция условно-нечетная,

- вычислить в  MathCad  все требуемые коэффициенты с точностью   , дополнительно посчитав еще   или   численным методом  Симпсона,

- записать конкретное разложение функции   в ряд Фурье, подставив в формулы (5), (8) или (10) числовые значения,

- выписать выражения для пяти частичных сумм полученного ряда:

       ,

- в Excel  посчитать значения всех функций   , а также теоретический график   для 21 точки аргумента в пределах   ,

- сделать 6 рисунков - и один под другим, в одном масштабе,

    Примечание. Рисунки удобно разместить следующим образом:

                            Лист 1 -      и   ,

           Лист 2 -  ,

                            Лист 3 -    ,

                            Лист 4 -   

- сделать вывод по работе в следующем виде:

    “На химический аппарат воздействует сложное механическое колебание

                        = (привести полученную формулу),

которое порождает гармоники с амплитудами и частотами, равными: “

 

             

  Варианты исходных данных.  Все варианты разделены  на  две группы в зависимости от исходного интервала:

а) задан отрезок функции    на интервале  и дополнительное условие  или   . Используя  это дополнительное условие,  требуется вначале достроить график на весь симметричный интервале ,

б) задан отрезок функции    на симметричном  интервале .

Отрезок функции  

Интервал

Дополнительное условие

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

           Пример расчета.   

  1.  Дано. Отрезок функции

, ,   .

  

  1.   Построим: 
    1.  график заданной функции на интервале [-π;π]:

  1.  график периодической функции    :

III. Конкретизация ряда Фурье.

Так как fт (х) – четная функция, то ряд имеет вид:

.     При n = 5 и  l = π, имеем :    

  1.  Коэффициенты и ряд Фурье.
  2.  Вычислим коэффициенты Фурье, пользуясь формулами:

т. е.

  1.  Коэффициент  а3   найдем численным методом Симпсона.

Формула Симпсона имеет  

   вид:

      

       

Выберем    

  шаг:

               

3) Значения функции в заданных точках уi = f (xi) = - cos (xi/2) · cos (3xi)

X0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

х10

0

π/10

π/5

/10

/5

π/2

/5

/10

/5

/10

π

Y0

y1

y2

y3

y4

y5

y6

y7

y8

y9

у10

-1

-0,581

0,294

0,847

0,655

0

-0,476

-0,432

-0,095

0,092

0

В итоге получаем:

4) Разложение в ряд  Фурье заданной функции

  1.  Выпишем выражения для 5 первых частичных сумм.

  1.  Найдем амплитуды и частоты гармонических колебаний.

Амплитуды:   Частоты:

   

   

   

   

   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79604. НОВОЕ В РАЗВИТИИ РОССИЙСКОГО АВТОРСКОГО ПРАВА 74 KB
  Поводом для написания настоящей статьи послужило участие в семинаре организованном Российским авторским обществом при финансовой поддержке Tcis проходившем в г. Широкий и представительный состав участников этого мероприятия позволил сделать ряд выводов о тенденциях современного авторского права...
79605. ЗАЩИТА ПРАВ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ СОБСТВЕННОСТИ 81 KB
  Соответственно право на защиту здесь будет пониматься как субъективное гражданское право юридически закрепленная возможность управомоченного лица использовать специальные меры правоохранительного характера которая включает в себя как материально-правовые так и процессуальные меры.
79606. О НЕКОТОРЫХ МЕТОДОЛОГИЧЕСКИХ АСПЕКТАХ ИЗУЧЕНИЯ НОРМАТИВНО-ПРАВОВЫХ СИСТЕМ СУБЪЕКТОВ РФ В СВЕТЕ ПРОБЛЕМ ФЕДЕРАЛИЗМА 81 KB
  При изучении нормативно-правовых систем субъектов РФ по нашему мнению необходимо учитывать следующие моменты: отечественная доктрина не редко отрицает деление права в рамках федерации на федеральное право и право субъектов.
79607. О СУЩЕСТВУЮЩИХ ОПРЕДЕЛЕНИЯХ ТЕРМИНА «ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВО» В ОТЕЧЕСТВЕННОМ ПРАВОВЕДЕНИИ 111.5 KB
  Подзаконные нормативные правовые акты если они включены в круг источников права отделяются от понятия законодательство и как правило закрепляются как самостоятельные источники наряду с законодательством законами. Речь идет о понимании законодательства как всего объема...
79608. СОВОКУПНОСТЬ ПРЕСТУПЛЕНИЙ: ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ И ПРОБЛЕМЫ СООТНОШЕНИЯ РЕАЛЬНОЙ И ИДЕАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ 94.5 KB
  Квалификация при совокупности преступлений всегда представляла определенную трудность особенно в тех случаях когда преступления входящие в предмет судебной оценки существенно отличаются друг от друга по своему характеру направленности умысла и совершены в различной последовательности.
79609. ИЗУЧЕНИЕ И ПРЕПОДАВАНИЕ РИМСКОГО ПРАВА. ЛИЧНОСТЬ В СИСТЕМЕ РИМСКОГО ПРАВА. ЗАЩИТА ДОЛЖНИКОВ 68 KB
  Коллоквиум романистов стран Центральной и Восточной Европы и Италии организованный Юридическим институтом Дальневосточного Государственного Университета в сотрудничестве с Центром изучения Римского права и юридических систем Национального Совета Исследований...
79610. АБАНДОН В ТЕОРИИ И ПРАКТИКЕ СТРАХОВАНИЯ 145 KB
  Развитие страхования в экономике России являющееся основанием для проявления к нему все большего интереса со стороны в том числе и правовой науки определяет актуальность рассмотрения не только вопросов общей теории страхового права элементов договора страхования и иных аспектов правового...
79611. РОЛЬ ФИЗИЧЕСКИХ УПРАЖНЕНИЙ В СОВЕРШЕНСТВОВАНИИ ЛИЧНОСТНЫХ КАЧЕСТВ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИХ ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ КОММУНИКАБЕЛЬНОСТИ ЮРИСТОВ 76.5 KB
  Интересно отметить что характер учебной деятельности студентов ЮИ ИГУ во многом совпадает с характером деятельности некоторых военных специалистов несущих службу в условиях эмоционального напряжения.
79612. СИСТЕМА ПРАВА 122.5 KB
  Данная тема связана с характеристикой внутреннего строения позитивного права. Позитивное право представляет собой определенную систему, системное образование, и, как всякое системное образование, состоит из взаимосвязанных между собой элементов.