9908

Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий

Практическая работа

Физика

Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий. Цель работы.Известно,что в процессе эксплуатации различных химических аппаратов, трубопроводов и приборов появляются всевозможные вибрации (колебания). ...

Русский

2013-03-18

262.5 KB

1 чел.

Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий.

Цель работы. Известно, что в процессе эксплуатации различных химических аппаратов, трубопроводов  и  приборов появляются всевозможные вибрации (колебания). Если частоты этих колебаний совпадут с резонансными, а их амплитуды окажутся достаточно велики, то может произойти  частичное или полное разрушение аппарата. В результате  возможны немалые экономические потери, а также травмы и человеческие жертвы. Чтобы избежать подобного развития событий, целесообразно выполнить предварительные математические расчеты, связанные анализом сложных колебаний, воздействующих на аппараты, разложение этих колебаний на гармонические составляющие и сравнение их с резонансными частотами.

            Теоретические положения. Пусть на отрезке    задана некоторая функция   . Осуществляя  периодическое продолжение этой функции влево и вправо по оси   , получим периодическую функцию .   Так как   -  функция  периода ( полупериод), кусочно-монотонная на отрезке    , то ее можно разложить в ряд Фурье для произвольного отрезка   :

,                        (1)

где и   - коэффициенты Фурье, определяемые по формулам:

,                                        (2)

,                             (3)                              

.                              (4)

При решении различных технических и научных задач имеют место частные случаи , а именно, когда исходная функция четная, т.е.  и, когда эта функция нечетная, т.е. . Отсюда  следует, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, а нечетной – симметричен относительно начала координат. Для нас в данных случаях важным является то, что ряд Фурье (1) существенно упрощается. Так, для четной функции он принимает вид:

,                                (5)

где

,                                        (6)

.                              (7)

Т.е. состоит из свободного члена и косинусоидальной части.

Соответственно, ряд Фурье для  нечетной функции записывается как:

      ,                                  (8)

где

                                (9)

и состоит, таким образом, только из синусоидальной части.

Возможен вариант графика , когда функция вроде бы не является ни четной, ни нечетной, однако в результате параллельного перемещения рисунка вдоль оси   вверх или вниз на величину   , он становится нечетным относительно новой оси. Такой график будем называть условно-нечетным. Ряд Фурье для него будет иметь вид:

   ,                               (10)

причем

,                                           (11)

а

,                                 (12)

т.е. коэффициенты и   вычисляются по общим формулам  (2) и (4).

            Порядок выполнения работы.   

- переписать уравнение предполагаемого колебания, воздействующего на химический аппарат - , заданный отрезок и дополнительное условие (если оно имеется),

- изобразить исходную функцию на рисунке, при этом возможны два варианта:

     1)  если уравнение задано на отрезке , то сделать первый рисунок для заданного отрезка -  это будет функция   ,

           используя дополнительное условие, построить на втором рисунке функцию    для симметричного интервала ,

      2) если уравнение задано на отрезке , то сразу сделать рисунок для    ,

- на следующем рисунке изобразить периодическую функцию   , добавив слева и справа от по одному периоду,

- исходя из графика   , записать ряд Фурье в виде:

   (5), если функция четная,

   (8), если функция нечетная,

  (10), если функция условно-нечетная,

во всех случаях принять   n=5,

- записать выражения для коэффициентов Фурье в виде:

    (6), (7), если функция четная,

    (9), если функция нечетная,

    (11), (12), если функция условно-нечетная,

- вычислить в  MathCad  все требуемые коэффициенты с точностью   , дополнительно посчитав еще   или   численным методом  Симпсона,

- записать конкретное разложение функции   в ряд Фурье, подставив в формулы (5), (8) или (10) числовые значения,

- выписать выражения для пяти частичных сумм полученного ряда:

       ,

- в Excel  посчитать значения всех функций   , а также теоретический график   для 21 точки аргумента в пределах   ,

- сделать 6 рисунков - и один под другим, в одном масштабе,

    Примечание. Рисунки удобно разместить следующим образом:

                            Лист 1 -      и   ,

           Лист 2 -  ,

                            Лист 3 -    ,

                            Лист 4 -   

- сделать вывод по работе в следующем виде:

    “На химический аппарат воздействует сложное механическое колебание

                        = (привести полученную формулу),

которое порождает гармоники с амплитудами и частотами, равными: “

 

             

  Варианты исходных данных.  Все варианты разделены  на  две группы в зависимости от исходного интервала:

а) задан отрезок функции    на интервале  и дополнительное условие  или   . Используя  это дополнительное условие,  требуется вначале достроить график на весь симметричный интервале ,

б) задан отрезок функции    на симметричном  интервале .

Отрезок функции  

Интервал

Дополнительное условие

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

           Пример расчета.   

  1.  Дано. Отрезок функции

, ,   .

  

  1.   Построим: 
    1.  график заданной функции на интервале [-π;π]:

  1.  график периодической функции    :

III. Конкретизация ряда Фурье.

Так как fт (х) – четная функция, то ряд имеет вид:

.     При n = 5 и  l = π, имеем :    

  1.  Коэффициенты и ряд Фурье.
  2.  Вычислим коэффициенты Фурье, пользуясь формулами:

т. е.

  1.  Коэффициент  а3   найдем численным методом Симпсона.

Формула Симпсона имеет  

   вид:

      

       

Выберем    

  шаг:

               

3) Значения функции в заданных точках уi = f (xi) = - cos (xi/2) · cos (3xi)

X0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

х10

0

π/10

π/5

/10

/5

π/2

/5

/10

/5

/10

π

Y0

y1

y2

y3

y4

y5

y6

y7

y8

y9

у10

-1

-0,581

0,294

0,847

0,655

0

-0,476

-0,432

-0,095

0,092

0

В итоге получаем:

4) Разложение в ряд  Фурье заданной функции

  1.  Выпишем выражения для 5 первых частичных сумм.

  1.  Найдем амплитуды и частоты гармонических колебаний.

Амплитуды:   Частоты:

   

   

   

   

   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26952. Основные теории происхождения права 8.75 KB
  основные теории происхождения права ПРАВОсистема нормправил поведениякоторые исходят от госва выражают волю и интересы определенных слоев населения или большинства общества сформулированы в специальных гос документахнормативных актах охраняются от нарушений силой общественного мнения и мерами госпринуждения.правонеотчуждаемые правапринадлежащие человеку от рожденияисточник правачеловеческая природапоэтому зны должны подстраиваться под подлинное право.Источникправовой обычай.Все остальные правом не являются.
26953. Основные правовые семьи современности 8.72 KB
  Национальноправовые системы историческая совокупность праваюридической практики и господствующей правовой идеологии отдельной страныотражающая ее социальноэкономические политические и культурные особенности.Суды общей юрисдикции рассматривают дела всех категорийпоэтому отсутствует деление права на частное и публичноенет деления права по отраслямнет кодификации норм права.ИСТОЧНИК:нормативноправовой актакт правотворчествапринятый в особом порядке строго определенными субъектами и содержащий норму права.Существенную роль при...
26954. Правовое регулирование и правовое воздействие. 7.35 KB
  ТИП ПРАВОВОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ определенный порядок регулирования выражающий общую направленность воздействия на общественные отношения которая зависит от соотношения дозволений и запретов в праве. В основе такого регулирования лежит общее дозволение а само регулирование осуществляется при помощи конкретных запретов. В основе такого регулирования лежит общий запрет а само регулирование осуществляется при помощи конкретных дозволений.
26956. Виды правонарушений 6.48 KB
  состав Правонарушениевиновное поведение праводееспособного индивидакоторе противоречит предписаниям норм правапричиняет вред другим лицам и влечет за собой юридическую ответственность. ДИСЦИПЛИНАРНЫЙправонарушениекоторое совершается в сфере служебных отношенийи нарушаетглавным образом порядок отношений подчиненности по службе. АДМИНИСТРАТИВНЫЙправонарушениепосягающее на установленный законом общественный порядокна отношения в области исполнительной и рапорядительной деятельности органов госване связанные с осуществлением служебных...
26957. Причины правонарушений, пути их преодоления 9.63 KB
  ТЕОРИЯ ПРИРОЖДЕННОГО ПРЕСТУПНИКА есть людиобладающие определенным набором признакова потому предрасположенные к совершению преступленийт.Баснословные цены на продукты питания и промышленные товары привели к небывалому росту таких преступленийкак кражииные хищения имуществаграбежиразбои.На приобретение наркотиков и алкогольных напитков постоянно требуются немалые суммы денегчто провоцирует лицих употребляющихна совершение таких преступленийкак кражиграбежи ит. ПРОФИЛАКТИКАспециально осуществляемая деятельность по учету и...
26958. Понятие, признаки и виды юридической ответственности 12.44 KB
  Понятиепризнаки и виды юридической ответственности.Характеризуется определенными ЛИШЕНИЯМИкоторые правонарушитель должен претерпетьобъективное свойство ответственности; 3.Условиями этой ответственности являются: противоправное поведение должника возникновение убытков кредитора наличие причинной связи между поведением должника и возникновением убытков у кредитора вина должника.Административной ответственности подлежит лицо достигшее к моменту совершения административного правонарушения 16 лет.
26960. Понятие и формы реализации права 6.75 KB
  Понятие и формы реализации права. РЕАЛИЗАЦИЯ НОРМ ПРАВА воплощение их предписаний в правомерном поведении субъектов правав их практической деятельности. ОСОБЕННОСТИ: 1 Реализация права всегда связана ТОЛЬКО с ПРАВОМЕРНЫМ ПОВЕДЕНИЕМ людейтаким поведениемкоторое соответствует правовым предписаниям.Это АКТИВНЫЕ положительные действияиспользование права или исполнение обязанности;в другомБЕЗДЕЙСТВИЕ субъектоввоздержание от совершения противоправных действий.