9908

Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий

Практическая работа

Физика

Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий. Цель работы.Известно,что в процессе эксплуатации различных химических аппаратов, трубопроводов и приборов появляются всевозможные вибрации (колебания). ...

Русский

2013-03-18

262.5 KB

1 чел.

Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий.

Цель работы. Известно, что в процессе эксплуатации различных химических аппаратов, трубопроводов  и  приборов появляются всевозможные вибрации (колебания). Если частоты этих колебаний совпадут с резонансными, а их амплитуды окажутся достаточно велики, то может произойти  частичное или полное разрушение аппарата. В результате  возможны немалые экономические потери, а также травмы и человеческие жертвы. Чтобы избежать подобного развития событий, целесообразно выполнить предварительные математические расчеты, связанные анализом сложных колебаний, воздействующих на аппараты, разложение этих колебаний на гармонические составляющие и сравнение их с резонансными частотами.

            Теоретические положения. Пусть на отрезке    задана некоторая функция   . Осуществляя  периодическое продолжение этой функции влево и вправо по оси   , получим периодическую функцию .   Так как   -  функция  периода ( полупериод), кусочно-монотонная на отрезке    , то ее можно разложить в ряд Фурье для произвольного отрезка   :

,                        (1)

где и   - коэффициенты Фурье, определяемые по формулам:

,                                        (2)

,                             (3)                              

.                              (4)

При решении различных технических и научных задач имеют место частные случаи , а именно, когда исходная функция четная, т.е.  и, когда эта функция нечетная, т.е. . Отсюда  следует, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, а нечетной – симметричен относительно начала координат. Для нас в данных случаях важным является то, что ряд Фурье (1) существенно упрощается. Так, для четной функции он принимает вид:

,                                (5)

где

,                                        (6)

.                              (7)

Т.е. состоит из свободного члена и косинусоидальной части.

Соответственно, ряд Фурье для  нечетной функции записывается как:

      ,                                  (8)

где

                                (9)

и состоит, таким образом, только из синусоидальной части.

Возможен вариант графика , когда функция вроде бы не является ни четной, ни нечетной, однако в результате параллельного перемещения рисунка вдоль оси   вверх или вниз на величину   , он становится нечетным относительно новой оси. Такой график будем называть условно-нечетным. Ряд Фурье для него будет иметь вид:

   ,                               (10)

причем

,                                           (11)

а

,                                 (12)

т.е. коэффициенты и   вычисляются по общим формулам  (2) и (4).

            Порядок выполнения работы.   

- переписать уравнение предполагаемого колебания, воздействующего на химический аппарат - , заданный отрезок и дополнительное условие (если оно имеется),

- изобразить исходную функцию на рисунке, при этом возможны два варианта:

     1)  если уравнение задано на отрезке , то сделать первый рисунок для заданного отрезка -  это будет функция   ,

           используя дополнительное условие, построить на втором рисунке функцию    для симметричного интервала ,

      2) если уравнение задано на отрезке , то сразу сделать рисунок для    ,

- на следующем рисунке изобразить периодическую функцию   , добавив слева и справа от по одному периоду,

- исходя из графика   , записать ряд Фурье в виде:

   (5), если функция четная,

   (8), если функция нечетная,

  (10), если функция условно-нечетная,

во всех случаях принять   n=5,

- записать выражения для коэффициентов Фурье в виде:

    (6), (7), если функция четная,

    (9), если функция нечетная,

    (11), (12), если функция условно-нечетная,

- вычислить в  MathCad  все требуемые коэффициенты с точностью   , дополнительно посчитав еще   или   численным методом  Симпсона,

- записать конкретное разложение функции   в ряд Фурье, подставив в формулы (5), (8) или (10) числовые значения,

- выписать выражения для пяти частичных сумм полученного ряда:

       ,

- в Excel  посчитать значения всех функций   , а также теоретический график   для 21 точки аргумента в пределах   ,

- сделать 6 рисунков - и один под другим, в одном масштабе,

    Примечание. Рисунки удобно разместить следующим образом:

                            Лист 1 -      и   ,

           Лист 2 -  ,

                            Лист 3 -    ,

                            Лист 4 -   

- сделать вывод по работе в следующем виде:

    “На химический аппарат воздействует сложное механическое колебание

                        = (привести полученную формулу),

которое порождает гармоники с амплитудами и частотами, равными: “

 

             

  Варианты исходных данных.  Все варианты разделены  на  две группы в зависимости от исходного интервала:

а) задан отрезок функции    на интервале  и дополнительное условие  или   . Используя  это дополнительное условие,  требуется вначале достроить график на весь симметричный интервале ,

б) задан отрезок функции    на симметричном  интервале .

Отрезок функции  

Интервал

Дополнительное условие

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

           Пример расчета.   

  1.  Дано. Отрезок функции

, ,   .

  

  1.   Построим: 
    1.  график заданной функции на интервале [-π;π]:

  1.  график периодической функции    :

III. Конкретизация ряда Фурье.

Так как fт (х) – четная функция, то ряд имеет вид:

.     При n = 5 и  l = π, имеем :    

  1.  Коэффициенты и ряд Фурье.
  2.  Вычислим коэффициенты Фурье, пользуясь формулами:

т. е.

  1.  Коэффициент  а3   найдем численным методом Симпсона.

Формула Симпсона имеет  

   вид:

      

       

Выберем    

  шаг:

               

3) Значения функции в заданных точках уi = f (xi) = - cos (xi/2) · cos (3xi)

X0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

х10

0

π/10

π/5

/10

/5

π/2

/5

/10

/5

/10

π

Y0

y1

y2

y3

y4

y5

y6

y7

y8

y9

у10

-1

-0,581

0,294

0,847

0,655

0

-0,476

-0,432

-0,095

0,092

0

В итоге получаем:

4) Разложение в ряд  Фурье заданной функции

  1.  Выпишем выражения для 5 первых частичных сумм.

  1.  Найдем амплитуды и частоты гармонических колебаний.

Амплитуды:   Частоты:

   

   

   

   

   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31834. Участок по централизованному ремонту детали класса “корпусные” 1.65 MB
  На первом этапе технологического процесса восстановления детали класса “корпусные” поступают на рабочие места для контроля на наличие скрытых дефектов и дефектов другого характера. Далее деталь поступает на участок слесарно-механической обработки с учетом технологического маршрута со склада деталей ожидающих ремонта. Участок предназначен для восстановления деталей слесарно-механической обработкой, а также для изготовления дополнительных ремонтных деталей
31835. РАЗРАБОТКА СТРАТЕГИЧЕСКОГО ПЛАНА РАЗВИТИЯ ООО «ЕВРОДОР» 838 KB
  Возрастающая непредсказуемость рынка требует от предприятия нахождения адекватных способов реагирования обеспечивающих в перспективе сохранение или повышение эффективности его деятельности конкурентоспособности устойчивости развития и т. Перед предприятиями данной отрасли возник комплекс проблем стратегического характера: обеспечение выживаемости выбор и реализация конкурентных и интеграционных стратегий развития в новых экономических условиях реформирование моделей организации управления и др. Цель дипломной работы разработка...
31837. АНАЛИЗ КРЕДИТНОГО ПОРТФЕЛЯ «ОАО СБЕРБАНК РОССИИ» 417 KB
  АНАЛИЗ КРЕДИТНОГО ПОРТФЕЛЯ ОАО СБЕРБАНК РОССИИ ДР АНАЛИЗ КРЕДИТНОГО ПОРТФЕЛЯ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА НА ПРИМЕРЕ СБЕРБАНКА РОССИИ. Характеристика кредитной деятельности Сбербанка России. Анализ кредитного портфеля ОАО Сбербанк России.
31838. Разработка мультиагентной информационной системы для диспетчерской службы такси, позволяющей автоматизировать распределение заказов между таксистами и, тем самым, улучшить качество обслуживания клиентов 662.93 KB
  КЛАССИФИКАЦИЯ АГЕНТОВ. КОЛЛЕКТИВНОЕ ПОВЕДЕНИЕ АГЕНТОВ. АРХИТЕКТУРА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СИСТЕМЫ АГЕНТОВ Одноуровневая архитектура взаимодействия агентов Иерархическая архитектура взаимодействия агентов. АРХИТЕКТУРА АГЕНТА Общая классификация архитектур Архитектуры агентов основанные на знаниях Архитектура на основе планирования реактивная архитектура Многоуровневость.
31839. Система управления физической культурой и спортом в Российской Федерации на государственном и муниципальном уровнях 301 KB
  Проблематика дипломной работы определяется наличием противоречия между потребностью государства в реализации программно-целевых мероприятий по развитию физической культуры и спорта в нашей стране и необходимостью совершенствования управленческих аспектов в данной сфере деятельности посредствам информационно-аналитических методов.
31841. Направления повышения эффективности управления активными операциями ОАО Банк «Финансы и Кредит» 986.5 KB
  Обеспеченность имеет целью с помощью гарантии или залога защитить интересы банка и обезопасится от убытков в случае невозврата долга вследствие неплатежеспособности заемщика 6. Оценка личных качеств руководителей фирмы КЛАССИФИКАЦИЯ БАНКОВСКИХ КРЕДИТОВ 1 по основным категориям заемщиков отраслям народного хозяйства населению государственным органам власти производственные пополнения оборотных средств и основных средств потребительские на потребительские цели населения срочные предоставлены на определенный в договоре срок: ...