9908

Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий

Практическая работа

Физика

Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий. Цель работы.Известно,что в процессе эксплуатации различных химических аппаратов, трубопроводов и приборов появляются всевозможные вибрации (колебания). ...

Русский

2013-03-18

262.5 KB

1 чел.

Определение амплитуд и частот колебаний аппаратов химических технологий.

Цель работы. Известно, что в процессе эксплуатации различных химических аппаратов, трубопроводов  и  приборов появляются всевозможные вибрации (колебания). Если частоты этих колебаний совпадут с резонансными, а их амплитуды окажутся достаточно велики, то может произойти  частичное или полное разрушение аппарата. В результате  возможны немалые экономические потери, а также травмы и человеческие жертвы. Чтобы избежать подобного развития событий, целесообразно выполнить предварительные математические расчеты, связанные анализом сложных колебаний, воздействующих на аппараты, разложение этих колебаний на гармонические составляющие и сравнение их с резонансными частотами.

            Теоретические положения. Пусть на отрезке    задана некоторая функция   . Осуществляя  периодическое продолжение этой функции влево и вправо по оси   , получим периодическую функцию .   Так как   -  функция  периода ( полупериод), кусочно-монотонная на отрезке    , то ее можно разложить в ряд Фурье для произвольного отрезка   :

,                        (1)

где и   - коэффициенты Фурье, определяемые по формулам:

,                                        (2)

,                             (3)                              

.                              (4)

При решении различных технических и научных задач имеют место частные случаи , а именно, когда исходная функция четная, т.е.  и, когда эта функция нечетная, т.е. . Отсюда  следует, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, а нечетной – симметричен относительно начала координат. Для нас в данных случаях важным является то, что ряд Фурье (1) существенно упрощается. Так, для четной функции он принимает вид:

,                                (5)

где

,                                        (6)

.                              (7)

Т.е. состоит из свободного члена и косинусоидальной части.

Соответственно, ряд Фурье для  нечетной функции записывается как:

      ,                                  (8)

где

                                (9)

и состоит, таким образом, только из синусоидальной части.

Возможен вариант графика , когда функция вроде бы не является ни четной, ни нечетной, однако в результате параллельного перемещения рисунка вдоль оси   вверх или вниз на величину   , он становится нечетным относительно новой оси. Такой график будем называть условно-нечетным. Ряд Фурье для него будет иметь вид:

   ,                               (10)

причем

,                                           (11)

а

,                                 (12)

т.е. коэффициенты и   вычисляются по общим формулам  (2) и (4).

            Порядок выполнения работы.   

- переписать уравнение предполагаемого колебания, воздействующего на химический аппарат - , заданный отрезок и дополнительное условие (если оно имеется),

- изобразить исходную функцию на рисунке, при этом возможны два варианта:

     1)  если уравнение задано на отрезке , то сделать первый рисунок для заданного отрезка -  это будет функция   ,

           используя дополнительное условие, построить на втором рисунке функцию    для симметричного интервала ,

      2) если уравнение задано на отрезке , то сразу сделать рисунок для    ,

- на следующем рисунке изобразить периодическую функцию   , добавив слева и справа от по одному периоду,

- исходя из графика   , записать ряд Фурье в виде:

   (5), если функция четная,

   (8), если функция нечетная,

  (10), если функция условно-нечетная,

во всех случаях принять   n=5,

- записать выражения для коэффициентов Фурье в виде:

    (6), (7), если функция четная,

    (9), если функция нечетная,

    (11), (12), если функция условно-нечетная,

- вычислить в  MathCad  все требуемые коэффициенты с точностью   , дополнительно посчитав еще   или   численным методом  Симпсона,

- записать конкретное разложение функции   в ряд Фурье, подставив в формулы (5), (8) или (10) числовые значения,

- выписать выражения для пяти частичных сумм полученного ряда:

       ,

- в Excel  посчитать значения всех функций   , а также теоретический график   для 21 точки аргумента в пределах   ,

- сделать 6 рисунков - и один под другим, в одном масштабе,

    Примечание. Рисунки удобно разместить следующим образом:

                            Лист 1 -      и   ,

           Лист 2 -  ,

                            Лист 3 -    ,

                            Лист 4 -   

- сделать вывод по работе в следующем виде:

    “На химический аппарат воздействует сложное механическое колебание

                        = (привести полученную формулу),

которое порождает гармоники с амплитудами и частотами, равными: “

 

             

  Варианты исходных данных.  Все варианты разделены  на  две группы в зависимости от исходного интервала:

а) задан отрезок функции    на интервале  и дополнительное условие  или   . Используя  это дополнительное условие,  требуется вначале достроить график на весь симметричный интервале ,

б) задан отрезок функции    на симметричном  интервале .

Отрезок функции  

Интервал

Дополнительное условие

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

           Пример расчета.   

  1.  Дано. Отрезок функции

, ,   .

  

  1.   Построим: 
    1.  график заданной функции на интервале [-π;π]:

  1.  график периодической функции    :

III. Конкретизация ряда Фурье.

Так как fт (х) – четная функция, то ряд имеет вид:

.     При n = 5 и  l = π, имеем :    

  1.  Коэффициенты и ряд Фурье.
  2.  Вычислим коэффициенты Фурье, пользуясь формулами:

т. е.

  1.  Коэффициент  а3   найдем численным методом Симпсона.

Формула Симпсона имеет  

   вид:

      

       

Выберем    

  шаг:

               

3) Значения функции в заданных точках уi = f (xi) = - cos (xi/2) · cos (3xi)

X0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

х10

0

π/10

π/5

/10

/5

π/2

/5

/10

/5

/10

π

Y0

y1

y2

y3

y4

y5

y6

y7

y8

y9

у10

-1

-0,581

0,294

0,847

0,655

0

-0,476

-0,432

-0,095

0,092

0

В итоге получаем:

4) Разложение в ряд  Фурье заданной функции

  1.  Выпишем выражения для 5 первых частичных сумм.

  1.  Найдем амплитуды и частоты гармонических колебаний.

Амплитуды:   Частоты:

   

   

   

   

   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74232. Полупроводниковые диоды. Характеристики идеального диода на основе pn перехода 1.29 MB
  В зависимости от внутренней структуры типа количества и уровня легирования внутренних элементов диода и вольтамперной характеристики свойства полупроводниковых диодов бывают различными. Характеристики идеального диода на основе pn перехода Основу выпрямительного диода составляет обычный электроннодырочный переход. Как было показано в главе 2 вольтамперная характеристика такого диода имеет ярко выраженную нелинейность приведенную на рисунке 4. В прямом смещении ток диода инжекционный большой по величине и представляет собой...
74233. Аналитическая модель p – n – перехода Разновидности диодов 1.94 MB
  Варикапы Зависимость барьерной емкости СБ от приложенного обратного напряжения VG используется для приборной реализации. Функциональная зависимость емкости варикапа от напряжения определяется профилем легирования базы варикапа. В случае однородного легирования емкость обратно пропорциональна корню из приложенного напряжения VG. Задавая профиль легирования в базе варикапа NDx можно получить различные зависимости емкости варикапа от напряжения CVG – линейно убывающие экспоненциально убывающие.
74234. Развитие феодальной экономики в Западной Европе в средние века 61 KB
  Расцвет феодализма в странах Западной Европы отмеченный экономическим подъемом основанным на внутренней колонизации – освоении новых земель увеличении сбора сельскохозяйственных культур развитии животноводства; возрождении городов превратившихся в центры ремесленного производства и торговли. Развитие товарного производства и товарноденежных отношений сопровождалось коммутацией ренты появлением ярмарок кредитного дела банков. Расширялись товарноденежные отношения уничтожалась личная зависимость крестьян начался процесс...
74235. Становление индустриальной цивилизации. 68.5 KB
  Большую роль в разложении феодализма и генезисе буржуазных отношений сыграли географические открытия конца XV– середины XVII в. – середина XVI в.; португальские плавания к Индии и берегам Восточной Азии начиная с экспедиции Васко де Гама; испанские тихоокеанские экспедиции XVI в. Период русских и голландских открытий середина XVI – середина XVII в.
74236. ПЕРВОБЫТНОЕ ХОЗЯЙСТВО: ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ, ЧЕРТЫ И ОСОБЕННОСТИ 54 KB
  В соответствии с ней история человечества делится на три больших этапа в зависимости от материала из которого изготовлялись орудия труда: каменный век: 3 млн лет тому назад – конец III тысячелетия до н. Вовторых основой производственных отношений первобытного строя была коллективная общинная собственность на орудия труда и средства производства характеризовавшаяся низким уровнем и медленными темпами развития производительных сил уравнительным распределением материальных благ. Важнейшей чертой отличающей человека от животного является...
74237. ДВЕ МОДЕЛИ ХОЗЯЙСТВЕННОГО РАЗВИТИЯ: ДРЕВНЕВОСТОЧНАЯ ЭКОНОМИКА И АНТИЧНОЕ ХОЗЯЙСТВО 58.5 KB
  Отличительной чертой восточного типа хозяйства являлась государственная собственность на землю и ирригационные сооружения. В Древнем Египте регулярно проводились переписи населения и хозяйства в основном для распределения трудовой повинности. Это обусловило невысокий уровень развития хлебопашества в греческих полисах постоянный переход от зернового хозяйства к интенсивному виноградарству и садоводству. Хозяйства носили как правило многоотраслевой характер.
74238. Факторы самобытности в развитии Российской цивилизации 32 KB
  Ее основными элементами были: Община как первичная хозяйственно-социальная ячейка а не как частнособственническое образование как на Западе; Государство с его особой ролью организатора и творца гражданского общества. Но государство было одновременно и сильным и слабым. Слабость проявлялась в чрезвычайно низком коэффициенте полезного действия : государство не смогло создать стабильного общества и само неоднократно разрушалось. В то же время это слабое несовершенное государство было единственным интегратором и организатором общества и...
74239. Великие географические открытия и их результаты 133 KB
  Географические открытия Рост научных знаний Рост производства и появление мануфактур Развитие торговли и складывание европейского и мирового рынка Становление абсолютистских государств Реформация В чем значение эпохи великих географических открытий и каковы ее результаты приведшие к качественным изменениям в мировом развитии Cредневековая Европейская цивилизация замыкалась в узкие рамки европейской территории. Бурное развитие заморской торговли породило акционерные компании имевшие постоянный капитал и боровшиеся за монопольное...
74240. Возбудители гнойно - воспалительных процессов. Стафилококки 717 KB
  Подавляющее большинство гнойно - воспалительных заболеваний вызывают кокки, т.е. имеющие сферическую (шаровидную) форму микроорганизмы. Их делят на две большие группы - грамположительные и грамотрицательные. Внутри этих групп выделяют аэробные и факультативно - анаэробные кокки и анаэробные кокки.