9909

Составление дифференциального уравнения, описывающего химико-технологический процесс и его решение методом конечных разностей.

Практическая работа

Физика

Составление дифференциального уравнения, описывающего химико-технологический процесс и его решение методом конечных разностей. Цель работы. Значительное количество химических и технологических процессов можно описать дифференциальными уравнени...

Русский

2013-03-18

198.5 KB

9 чел.

Составление дифференциального уравнения,

описывающего химико-технологический процесс и его решение методом конечных разностей.

Цель работы.  Значительное количество химических и технологических процессов можно описать дифференциальными уравнениями первого или второго порядка. При этом могут быть заданы не только начальные, но и краевые условия. Если решать такие задачи аналитическим путем, например, путем сведения к двум задачам Коши, то математических знаний в рамках курса Высшей математики может оказаться недостаточно. Кроме того, к аналитическим методам трудно применить вычислительную технику. В связи с этим, представляет большой интерес метод, когда производные дифференциального урав-нения заменяются на  конечно-разностные отношения, а само ДУ представляется в виде системы линейных алгебраических уравнений. Для решения последних разработаны весьма эффективные программы, не требующие от студентов глубоких математических знаний.

Теоретические положения .  Пусть некоторый химико-техноло-гический процесс описывается дифференциальным уравнением вида

                      (1)

с двуточечными линейными краевыми условиями

                             (2)

где   непрерывны на отрезке   , а    заданные константы, определяющие конкретный характер протекания химического или технологиеского процесса.

Одним из наиболее простых методов решения этой краевой задачи является сведение ее к системе конечно-разностных уравнений. Для этого отрезок   разбивается на   равных частей длины   . Точки разбиения имеют абсциссы:

Значения искомой функции и ее производных   и   в точках   обозначим как   и  . Соответственно обозначим     Заменяя производные симметричными конечно-разностными отношениями, для внутренних точек    отрезка    будем иметь:

             (3)

                       

                          

Для концевых точек , чтобы не выходить за пределы отрезка , положим:

        .                      (4)

Используя формулы (3), дифференциальное уравнение (1) во внутренних точках   заменим линейной системой уравнений

    + + = ,          (5)

Кроме того, краевые условия (2) дополнительно дают еще два уравнения  (при этом используем формулы для производных в концевых точках - (4)):

  = A, +  = B                (6)

Таким образом, получена система, состоящая из   уравнения с   неизвестным:   .  Решая эту систему одним из известных способов, найдем  значения искомой функции   .

 Порядок выполнения работы.      

- выписать строку с вариантом параметров исследуемого процесса,

- в соответствии с формулами (7) и (8) задать дифференциальное уравнение и краевые условия, подставив значения параметров,

- выписать выражения (3) и (4), с помощью которых производные заменяются на конечно-разностные соотношения,

- заменить в выражениях (7) и (8) первую и вторую производные по формулам (3) и (4) и записать систему конечно-разностных алгебра-ических уравнений в форме (5) и (6),

- вычислить в Excel таблицы аргументов - и правой части ДУ - ,

- подставив в формулы (5)  и  (6) значения констант и величины ,   записать 6 уравнений :

      а) первое уравнение получаем из первого краевого условия (6),

      б) четыре следующих уравнения получаем из выражения (5), подставляя туда последовательно значения  i=1, 2, 3 и 4,

      в) последнее уравнение получаем из второго краевого условия (6),

- выполнив над каждым из уравнениений преобразования (деления и приведения подобных членов относительно ), приведем их затем к линейному виду, т.е. в порядке убывания индекса функций   ,

- полученную систему линейных уравнений удобно решить методом прогонки:

      а) выражаем из первого уравнения через   и подставляем во второе уравнение,

      б) выражаем из второго уравнения   через   и подставляем в третье уравнение,

      в) продолжая этот процесс, в конце концов находим   ,

-  двигаясь затем в обратном направлении, последовательно находим    ,

-  сделать проверку правильности полученного решения:

       а) за точное значение -  примем величину правой части  диффе-ренциального уравнения  (7)  в точке   ,

б)  по найденному решению   составим таблицу разностей,

         в)  найдем величину второй производной в точке   -  , используя формулу численного дифференцирования для узлов,

       г)  вычислим всю левую часть  ДУ (7),  обозначив ее за   ,

       д) сравним    и    в точке   , для чего найдем абсолютную и относительную погрешности,

- сделать график функции   в виде ломаной или гистограммы.

 

Варианты исходных данных. 

Задано дифференциальное уравнение второго порядка

                               (7)

с краевыми условиями в точках    и   

                             (8)

где    -  заданные числа,

     - функция, непрерывная на отрезке   .

Параметры уравнения (7) и краевых условий (8) представлены в таблице

1

1.5

Cos(4.9x)

1.6

0

2.2

5.7

0

0.2

2.4

2

2.0

Sin(0.8x)

1.5

0

2.4

5.2

0.5

6.8

2.0

3

1.3

Exp(3.7x)

1.0

0

2.4

5.2

0.2

4.0

2.0

4

1.4

-4x

1.5

0

2.0

5.2

2.2

1.6

2.4

5

1.0

Cos(1.2x)

0

3.8

5.7

1.5

0.2

0.6

0.8

6

0.5

Sin(0.2x)

0

3.0

4.8

1.1

0.2

0.6

0.7

7

0.8

Exp(-3x)

0

3.1

5.1

1.0

0.2

0.6

0.6

8

0.8

4.7x

0

2.9

5.0

1.3

0.3

1.1

0.8

9

0.9

Cos(3x)

0.7

0.7

0.5

0.3

0

-0.1

0.7

10

0.5

Sin(4.1x)

0.6

0.6

0.6

0.7

0

0.2

0.9

11

1.1

Exp(2x)

0.8

0.8

0.9

0.8

0

0.2

0.8

12

0.6

6.6x

0.8

0.8

0.8

0.5

0

0.1

0.7

13

1.8

Cos(1.1x)

0.9

2.3

1.5

0

0.5

1.0

2.2

14

2.4

Sin(5.5x)

1.0

2.3

1.4

0

0.6

2.5

2.0

15

2.1

Exp(-4x)

1.0

2.3

1.3

0

0.3

0.6

2.1

16

2.2

1.3x

1.1

2.3

1.5

0

1.2

0.6

1.9

17

0.8

Cos(4.1x)

9.2

1.8

0

2.4

0.6

7.7

0.6

18

0.7

Sin(7.4x)

5.1

1.5

0

2.5

0.4

0.8

0.9

19

0.9

Exp(2.9x)

9.2

1.8

0

2.9

0.6

1.1

0.6

20

1.1

-4.2x

5.1

1.5

0

2.3

0.7

1.1

0.9

21

0.9

Cos(2.3x)

0.6

0.6

0.7

0.3

0

-0.1

0.6

22

0.5

Sin(0.6x)

0.5

0.5

0.7

0.8

0

0.2

0.9

23

0.7

Exp(2.2x)

0.6

0.6

0.6

0.4

0

0.1

0.7

24

1.0

2.5x

0.7

0.7

0.6

0.5

0

0.1

0.8

25

2.3

Cos(1.9x)

1.0

0

2.3

5.5

0

0.4

2.2

26

1.3

Sin(6.3x)

1.4

0

2.3

5.2

0.6

7.2

2.1

27

1.8

Exp(2.6x)

1.8

0

2.2

5.5

0.4

4.2

2.3

28

2.4

-5.2x

1.8

0

2.2

5.5

2.3

1.0

2.3

29

0.6

Cos(0.5x)

0

2.1

6.1

1.4

0

0.3

0.7

30

0.5

Sin(6.5x)

0

2.7

6.1

1.2

0.1

0.5

0.6

Пример расчета.      

1.Исходные данные :

   а) представлены в виде таблицы параметров исследуемого процесса

P2

f(x)

A

B

B

0.8

4.7x

0

2.9

5.0

1.3

0.3

1.1

0.8

б) задано дифференциальное уравнение процесса

                                                      (1)

и краевые условия

                                (2)

в) точки разбиения отрезка   [0,b] :

           xk=kh        h=b/5=0.8/5=0.16        n=5       y(xk)=yk            f(xk)=fk

г) заменим производные симметричными конечно-разностными отношениями:

- для внутренних точек имеем:

                    (3)

- для концевых точек имеем:

                                              (4)

д) подставляя формулы (3) и (4) в уравнение (1)  и краевые условия (2), получим систему:

                                        (5)

                             (6)

                                    (7)

  1.  Результаты расчетов:

а) вычислим   xk                 

x0=0          

x1=0.16           

x2=0.32                

x3=0.48                

x4=0.64

x5=0.8

б) вычислим   fk

   f(x0)=4.7*0=0

   f(x1)=4.7*0.16=0.752

   f(x2)=4.7*0.32=1.504

   f(x3)=4.7*0.48=2.256

   f(x4)=4.7*0.64=3.008

   f(x5)=4.7*0.8=3.7

в)  запишем ДУ и краевые условия:

                     

      

г)  составим 6 уравнений, подставив в формулы (5), (6) и  (7)  const  и  fk

     - из первого краевого условия (5) имеем

            (8)

 - подставляя в формулу (6)  последовательно  k=1, 2, 3 и 4, получим  еще четыре                        уравнения

           (9)

          (10)

         (11)

         (12)

- наконец, из второго краевого условия (7)  будем иметь

                 (13)

д)  преобразуем полученные уравнения к линейному виду и расположим в   порядке уменьшения k

                                         (8*)

           (9*)

           (10*)

           (11*)

           (12*)

                                           (13*)

е) для решения системы используем метод прогонки:

              -  выражаем из (8*) y0 через y1 и подставляем в (9*)

       -  выражаем из (9*) y1 через y2 и подставляем в (10*)

       -  выражаем из (10*) y2 через y3 и подставляем в (11*)

       -  выражаем из (11*) y3 через y4 и подставляем в (12*)

       -  выражаем из (12*) y4 через y5 и подставляем в (13*)

       -  находим   y5

ж)  двигаясь в обратном направлении последовательно вычисляем:

3. Проверка

а)  за точное значение принимаем

б)  по найденному решению   составим таблицу разностей:

I

y

0

0,4034

0,0166

-0,0106

-0,0410

0,0427

-0,0657

1

0,4200

0,0060

-0,0516

0,0017

-0,0230

 

2

0,4260

-0,0456

-0,0499

-0,0213

 

 

3

0,3804

-0,0955

-0,0712

 

 

 

4

0,2849

-0,1667

 

 

 

 

5

0,1182

 

 

 

 

 

 

в)  подставим разности в формулу для  (из лекции) и получим:

-2.9063

г)  вычислим всю левую часть  ДУ (1)  и обозначим ее за

 ????

      д) найдем абсолютную и относительную погрешности

%

4. График решения дифференциального уравнения


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84225. СТРОМАЛЬНО-СОСУДИСТЫЕ БЕЛКОВЫЕ ДИСТРОФИИ 31.33 KB
  К стромальнососудистым диспротеинозам относят: мукоидное набухание; фибриноидное набухание; гиалиноз; амилоидоз. Амилоидоз отличается от этих процессов тем что в состав образующихся белковополисахаридных комплексов входит аномальный не встречающийся в норме фибриллярный белок который синтезируется специальными клетками амилоидобластами. Амилоид в гистологических препаратах очень похож на гиалин и выглядит в световом микроскопе как бесструктурный гомогенный плотный стекловидный розового цвета белок.
84226. СТРОМАЛЬНО-СОСУДИСТЫЕ ДИСТРОФИИ 24.36 KB
  Причина первичного идиопатического ожирения неизвестна. Виды вторичного ожирения: алиментарное; церебральное; эндокринное; наследственное. По внешним проявлениям различают универсальный симметричный тип ожирения который делят на три подтипа: верхний; средний; нижний. По превышению массы тела больного выделяют четыре степени ожирения: I степень ожирения избыточная масса тела составляет до 30; II степень ожирения избыточная масса тела составляет до 50; III степень ожирения избыточная масса тела составляет до 99; ...
84227. СМЕШАННЫЕ ДИСТРОФИИ НАРУШЕНИЕ ОБМЕНА ХРОМОПРОТЕИДОВ (ЭНДОГЕННЫЕ ПИГМЕНТАЦИИ). НАРУШЕНИЕ ОБМЕНА 30.75 KB
  Обмен железа в норме регулируется так чтобы общая сумма железа в организме поддерживалась в пределах узкого диапазона. Увеличение общего количества железа в органе наблюдается при гемосидерозе и гемохроматозе. Анаболический ферритин образуется из железа всасывающегося в кишечнике а катаболический из железа гемолизированных эритроцитов. Билирубин конечный продукт катаболизма порфиринового кольца молекулы гемоглобина он не содержит ни железа ни белка.
84229. НАРУШЕНИЕ МИНЕРАЛЬНОГО ОБМЕНА (МИНЕРАЛЬНЫЕ ДИСТРОФИИ) 24.82 KB
  Обмен кальция. Нарушение обмена кальция в тканях организма называют обызвествлением. Метастатическая кальцификация возникает при увеличении концентрации кальция или фосфора в крови гиперкальциемия.
84230. ОБРАЗОВАНИЕ КАМНЕЙ КАК ОДНА ИЗ ФОРМ НАРУШЕНИЯ ОБМЕНА ВЕЩЕСТВ 22.61 KB
  Наиболее часто камни образуются в желчных и мочевых путях являясь причиной развития желчнокаменной и мочекаменной болезней. Они встречаются также в других полостях и протоках: в выводных протоках поджелудочной железы и слюнных желез в бронхах и бронхоэктазах бронхиальные камни в криптах миндалин на зубах в кишечнике. Желчные камни могут быть холестериновыми пигментными известковыми или холестериновопигментноизвестковыми сложные или комбинированные камни.
84231. НЕКРОЗ 24.24 KB
  Факторы вызывающие некроз: физические; токсические; биологические; аллергические; сосудистый; трофоневротический. зависимости от механизма действия патогенного фактора различают: прямой некроз обусловленный непосредственным действием фактора травматические токсические и биологические некрозы; непрямой некроз возникающий опосредованно через сосудистую и нервноэндокринную системы аллергические сосудистые и трофоневротические некрозы. морфологические признаки некроза.
84232. АПОПТОЗ. АТРОФИЯ 25.24 KB
  АТРОФИЯ Определение морфологические проявления апоптоза Определение классификация значение атрофии Апоптоз или запрограммированная смерть клетки представляет собой процесс посредством которого внутренние или внешние факторы активируя генетическую программу приводят к гибели клетки и ее эффективному удалению из ткани. При увеличении апоптоза наблюдается прогрессивное уменьшение количества клеток в ткани атрофия. Атрофия прижизненное уменьшение объема ткани или органа за счет уменьшения размеров каждой клетки а в дальнейшем числа...
84233. НАРУШЕНИЯ КРОВООБРАЩЕНИЯ 23.15 KB
  Общее артериальное полнокровие или артериальная гиперемия это увеличение числа форменных элементов крови эритроцитов иногда сочетающееся с увеличением объема циркулирующей крови. Общее венозное полнокровие один из самых частых типов общих нарушений кровообращения и является клиникоморфологическим проявлением сердечной или легочносердечной недостаточности. Общее венозное полнокровие может быть по клиническому течению острым и хроническим.