9909

Составление дифференциального уравнения, описывающего химико-технологический процесс и его решение методом конечных разностей.

Практическая работа

Физика

Составление дифференциального уравнения, описывающего химико-технологический процесс и его решение методом конечных разностей. Цель работы. Значительное количество химических и технологических процессов можно описать дифференциальными уравнени...

Русский

2013-03-18

198.5 KB

9 чел.

Составление дифференциального уравнения,

описывающего химико-технологический процесс и его решение методом конечных разностей.

Цель работы.  Значительное количество химических и технологических процессов можно описать дифференциальными уравнениями первого или второго порядка. При этом могут быть заданы не только начальные, но и краевые условия. Если решать такие задачи аналитическим путем, например, путем сведения к двум задачам Коши, то математических знаний в рамках курса Высшей математики может оказаться недостаточно. Кроме того, к аналитическим методам трудно применить вычислительную технику. В связи с этим, представляет большой интерес метод, когда производные дифференциального урав-нения заменяются на  конечно-разностные отношения, а само ДУ представляется в виде системы линейных алгебраических уравнений. Для решения последних разработаны весьма эффективные программы, не требующие от студентов глубоких математических знаний.

Теоретические положения .  Пусть некоторый химико-техноло-гический процесс описывается дифференциальным уравнением вида

                      (1)

с двуточечными линейными краевыми условиями

                             (2)

где   непрерывны на отрезке   , а    заданные константы, определяющие конкретный характер протекания химического или технологиеского процесса.

Одним из наиболее простых методов решения этой краевой задачи является сведение ее к системе конечно-разностных уравнений. Для этого отрезок   разбивается на   равных частей длины   . Точки разбиения имеют абсциссы:

Значения искомой функции и ее производных   и   в точках   обозначим как   и  . Соответственно обозначим     Заменяя производные симметричными конечно-разностными отношениями, для внутренних точек    отрезка    будем иметь:

             (3)

                       

                          

Для концевых точек , чтобы не выходить за пределы отрезка , положим:

        .                      (4)

Используя формулы (3), дифференциальное уравнение (1) во внутренних точках   заменим линейной системой уравнений

    + + = ,          (5)

Кроме того, краевые условия (2) дополнительно дают еще два уравнения  (при этом используем формулы для производных в концевых точках - (4)):

  = A, +  = B                (6)

Таким образом, получена система, состоящая из   уравнения с   неизвестным:   .  Решая эту систему одним из известных способов, найдем  значения искомой функции   .

 Порядок выполнения работы.      

- выписать строку с вариантом параметров исследуемого процесса,

- в соответствии с формулами (7) и (8) задать дифференциальное уравнение и краевые условия, подставив значения параметров,

- выписать выражения (3) и (4), с помощью которых производные заменяются на конечно-разностные соотношения,

- заменить в выражениях (7) и (8) первую и вторую производные по формулам (3) и (4) и записать систему конечно-разностных алгебра-ических уравнений в форме (5) и (6),

- вычислить в Excel таблицы аргументов - и правой части ДУ - ,

- подставив в формулы (5)  и  (6) значения констант и величины ,   записать 6 уравнений :

      а) первое уравнение получаем из первого краевого условия (6),

      б) четыре следующих уравнения получаем из выражения (5), подставляя туда последовательно значения  i=1, 2, 3 и 4,

      в) последнее уравнение получаем из второго краевого условия (6),

- выполнив над каждым из уравнениений преобразования (деления и приведения подобных членов относительно ), приведем их затем к линейному виду, т.е. в порядке убывания индекса функций   ,

- полученную систему линейных уравнений удобно решить методом прогонки:

      а) выражаем из первого уравнения через   и подставляем во второе уравнение,

      б) выражаем из второго уравнения   через   и подставляем в третье уравнение,

      в) продолжая этот процесс, в конце концов находим   ,

-  двигаясь затем в обратном направлении, последовательно находим    ,

-  сделать проверку правильности полученного решения:

       а) за точное значение -  примем величину правой части  диффе-ренциального уравнения  (7)  в точке   ,

б)  по найденному решению   составим таблицу разностей,

         в)  найдем величину второй производной в точке   -  , используя формулу численного дифференцирования для узлов,

       г)  вычислим всю левую часть  ДУ (7),  обозначив ее за   ,

       д) сравним    и    в точке   , для чего найдем абсолютную и относительную погрешности,

- сделать график функции   в виде ломаной или гистограммы.

 

Варианты исходных данных. 

Задано дифференциальное уравнение второго порядка

                               (7)

с краевыми условиями в точках    и   

                             (8)

где    -  заданные числа,

     - функция, непрерывная на отрезке   .

Параметры уравнения (7) и краевых условий (8) представлены в таблице

1

1.5

Cos(4.9x)

1.6

0

2.2

5.7

0

0.2

2.4

2

2.0

Sin(0.8x)

1.5

0

2.4

5.2

0.5

6.8

2.0

3

1.3

Exp(3.7x)

1.0

0

2.4

5.2

0.2

4.0

2.0

4

1.4

-4x

1.5

0

2.0

5.2

2.2

1.6

2.4

5

1.0

Cos(1.2x)

0

3.8

5.7

1.5

0.2

0.6

0.8

6

0.5

Sin(0.2x)

0

3.0

4.8

1.1

0.2

0.6

0.7

7

0.8

Exp(-3x)

0

3.1

5.1

1.0

0.2

0.6

0.6

8

0.8

4.7x

0

2.9

5.0

1.3

0.3

1.1

0.8

9

0.9

Cos(3x)

0.7

0.7

0.5

0.3

0

-0.1

0.7

10

0.5

Sin(4.1x)

0.6

0.6

0.6

0.7

0

0.2

0.9

11

1.1

Exp(2x)

0.8

0.8

0.9

0.8

0

0.2

0.8

12

0.6

6.6x

0.8

0.8

0.8

0.5

0

0.1

0.7

13

1.8

Cos(1.1x)

0.9

2.3

1.5

0

0.5

1.0

2.2

14

2.4

Sin(5.5x)

1.0

2.3

1.4

0

0.6

2.5

2.0

15

2.1

Exp(-4x)

1.0

2.3

1.3

0

0.3

0.6

2.1

16

2.2

1.3x

1.1

2.3

1.5

0

1.2

0.6

1.9

17

0.8

Cos(4.1x)

9.2

1.8

0

2.4

0.6

7.7

0.6

18

0.7

Sin(7.4x)

5.1

1.5

0

2.5

0.4

0.8

0.9

19

0.9

Exp(2.9x)

9.2

1.8

0

2.9

0.6

1.1

0.6

20

1.1

-4.2x

5.1

1.5

0

2.3

0.7

1.1

0.9

21

0.9

Cos(2.3x)

0.6

0.6

0.7

0.3

0

-0.1

0.6

22

0.5

Sin(0.6x)

0.5

0.5

0.7

0.8

0

0.2

0.9

23

0.7

Exp(2.2x)

0.6

0.6

0.6

0.4

0

0.1

0.7

24

1.0

2.5x

0.7

0.7

0.6

0.5

0

0.1

0.8

25

2.3

Cos(1.9x)

1.0

0

2.3

5.5

0

0.4

2.2

26

1.3

Sin(6.3x)

1.4

0

2.3

5.2

0.6

7.2

2.1

27

1.8

Exp(2.6x)

1.8

0

2.2

5.5

0.4

4.2

2.3

28

2.4

-5.2x

1.8

0

2.2

5.5

2.3

1.0

2.3

29

0.6

Cos(0.5x)

0

2.1

6.1

1.4

0

0.3

0.7

30

0.5

Sin(6.5x)

0

2.7

6.1

1.2

0.1

0.5

0.6

Пример расчета.      

1.Исходные данные :

   а) представлены в виде таблицы параметров исследуемого процесса

P2

f(x)

A

B

B

0.8

4.7x

0

2.9

5.0

1.3

0.3

1.1

0.8

б) задано дифференциальное уравнение процесса

                                                      (1)

и краевые условия

                                (2)

в) точки разбиения отрезка   [0,b] :

           xk=kh        h=b/5=0.8/5=0.16        n=5       y(xk)=yk            f(xk)=fk

г) заменим производные симметричными конечно-разностными отношениями:

- для внутренних точек имеем:

                    (3)

- для концевых точек имеем:

                                              (4)

д) подставляя формулы (3) и (4) в уравнение (1)  и краевые условия (2), получим систему:

                                        (5)

                             (6)

                                    (7)

  1.  Результаты расчетов:

а) вычислим   xk                 

x0=0          

x1=0.16           

x2=0.32                

x3=0.48                

x4=0.64

x5=0.8

б) вычислим   fk

   f(x0)=4.7*0=0

   f(x1)=4.7*0.16=0.752

   f(x2)=4.7*0.32=1.504

   f(x3)=4.7*0.48=2.256

   f(x4)=4.7*0.64=3.008

   f(x5)=4.7*0.8=3.7

в)  запишем ДУ и краевые условия:

                     

      

г)  составим 6 уравнений, подставив в формулы (5), (6) и  (7)  const  и  fk

     - из первого краевого условия (5) имеем

            (8)

 - подставляя в формулу (6)  последовательно  k=1, 2, 3 и 4, получим  еще четыре                        уравнения

           (9)

          (10)

         (11)

         (12)

- наконец, из второго краевого условия (7)  будем иметь

                 (13)

д)  преобразуем полученные уравнения к линейному виду и расположим в   порядке уменьшения k

                                         (8*)

           (9*)

           (10*)

           (11*)

           (12*)

                                           (13*)

е) для решения системы используем метод прогонки:

              -  выражаем из (8*) y0 через y1 и подставляем в (9*)

       -  выражаем из (9*) y1 через y2 и подставляем в (10*)

       -  выражаем из (10*) y2 через y3 и подставляем в (11*)

       -  выражаем из (11*) y3 через y4 и подставляем в (12*)

       -  выражаем из (12*) y4 через y5 и подставляем в (13*)

       -  находим   y5

ж)  двигаясь в обратном направлении последовательно вычисляем:

3. Проверка

а)  за точное значение принимаем

б)  по найденному решению   составим таблицу разностей:

I

y

0

0,4034

0,0166

-0,0106

-0,0410

0,0427

-0,0657

1

0,4200

0,0060

-0,0516

0,0017

-0,0230

 

2

0,4260

-0,0456

-0,0499

-0,0213

 

 

3

0,3804

-0,0955

-0,0712

 

 

 

4

0,2849

-0,1667

 

 

 

 

5

0,1182

 

 

 

 

 

 

в)  подставим разности в формулу для  (из лекции) и получим:

-2.9063

г)  вычислим всю левую часть  ДУ (1)  и обозначим ее за

 ????

      д) найдем абсолютную и относительную погрешности

%

4. График решения дифференциального уравнения


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76756. Первая и вторая висцеральные дуги 187.99 KB
  Развитие лицевого (висцерального) черепа определяется мозгом и краниальным (глоточным) отделом первичной кишки, в котором на боковых стенках между висцеральными (жаберными) карманами появляются хрящевые висцеральные (жаберные) дуги, но особое значение для черепа имеют первые две.
76757. Кости лицевого черепа. Глазница 192.12 KB
  Подвисочная поверхность находится сзади тела образуя стенку подвисочной и крылонебной ямок состоит: из бугра верхней челюсти с задними альвеолярными отверстиями для одноименных нервов и сосудов. Глазничная поверхность занимает на теле кости верхнее положение участвуя в образовании нижней стенки глазницы. Носовая поверхность образует латеральную стенку полости носа. Небный отросток носовой гребень по медиальному краю; передняя носовая ость: окончание носового гребня впереди; верхняя носовая поверхность; нижняя небная поверхность...
76758. Височная кость 184.9 KB
  У верхушки пирамиды внутреннее отверстие сонного канала. На передней поверхности пирамиды находятся: каменисточешуйчатая щель хрящевая ростковая зона и отверстие мышечнотрубного канала; дугообразное возвышение от полукружных костных каналов лабиринта; крыша барабанной полости от среднего уха; тройничное вдавление на вершине пирамиды для одноименного нервного узла; расщелины и борозды большого и малого каменистого нервов. На задней поверхности пирамиды располагаются: внутреннее слуховое отверстие и внутренний слуховой проход для YII...
76759. Клиновидная кость 180.73 KB
  Клиновидная кость воздухоносная состоит из тела малых и больших крыльев и крыловидных отростков. На верхней поверхности тела находится турецкое седло а в нем: гипофизарная ямка для гипофиза центральной нейроэндокринной железы; бугорок седла кпереди от ямки; спинка седла с задними наклоненными отростками кзади от ямки; сонные борозды: правая и левая с клиновидными язычками лежат по боковым поверхностям седла предназначены для внутренней сонной артерии и внутреннего сонного симпатического нерва венозного пещеристого синуса. На...
76760. Крылонёбная ямка 181.89 KB
  Ямка соседствует и имеет связи с височной и подвисочной ямами. По форме ямка узкая щель ограниченная тремя выше перечисленными костями она граничит и сообщается с полостью черепа средней черепной ямой полостями носа и рта глазницей височной и подвисочной ямами. Крылонебная ямка сообщается: с полостью рта через большой и малый небные каналы с одноименными сосудами и нервами которые снабжают твердое и мягкое небо и небные миндалины; с полостью носа через клиновиднонебное отверстие с одноименными сосудами и нервами для слизистой...
76761. Полость носа 181.99 KB
  Полость носа обладает верхней нижней и парными боковыми стенками. Верхняя стенка состоит из: носовой части лобной кости продырявленной пластинки решетчатой кости и тела клиновидной которые составляют верхнезаднюю часть стенки; парных носовых костей: право и левой образующих передневерхнюю часть стенки. Нижняя стенка включает: небные отростки верхних челюстей и горизонтальные пластинки небных костей костное небо; носовой гребень который проходит по середине стенки в продольном направлении. Латеральные стенки правая и левая...
76762. Внутреннее основание черепа 184.16 KB
  Внутренняя граница между сводом и основанием выделяется не во всех учебниках: слепое отверстие лобной кости и основание ее глазничных отростков; соединение малых и больших крыльев клиновидной кости латеральная оконечность верхней глазничной щели стык теменноклиновидного и лобнотеменного швов; основание пирамиды височной кости и сосцевиднотеменной шов; борозда поперечного синуса крестообразное возвышение и внутренний выступ затылочной кости. Передняя черепная яма образована: по бокам глазничными частями лобной кости; в центре ...
76763. Наружное основание черепа 183.43 KB
  Наружная граница между сводом и основанием проходит по носолобному шву надглазничным краям скуловым отросткам лобной кости подвисочному гребню клиновидной по основанию скуловых отростков височных костей над наружным слуховым отверстием по верхнему краю через основание сосцевидных отростков; заканчивается по верхней выйной линии и наружному затылочному выступу. В своде по наружной поверхности выделяют передний отдел лоб лобная область с рельефом: чешуя лобной кости на ней лобные бугры правый и левый; надбровные дуги у границы с...
76764. Классификация соединений костей 181.35 KB
  Среди соединений костей различают по анатомической классификации: непрерывные когда между концами костей имеется сплошная соединительная или хрящевая а в последующем и костная ткань; прерывные соединения или суставы главными признаками которых является наличие щели полости между суставными концами костей и синовиальной оболочки в капсуле; полупрерывные соединения или симфизы когда в прослойке между костями хряща или фиброзной ткани появляется щель. В основу биомеханической классификации положены оси проводимые через соединения костей...