9909

Составление дифференциального уравнения, описывающего химико-технологический процесс и его решение методом конечных разностей.

Практическая работа

Физика

Составление дифференциального уравнения, описывающего химико-технологический процесс и его решение методом конечных разностей. Цель работы. Значительное количество химических и технологических процессов можно описать дифференциальными уравнени...

Русский

2013-03-18

198.5 KB

9 чел.

Составление дифференциального уравнения,

описывающего химико-технологический процесс и его решение методом конечных разностей.

Цель работы.  Значительное количество химических и технологических процессов можно описать дифференциальными уравнениями первого или второго порядка. При этом могут быть заданы не только начальные, но и краевые условия. Если решать такие задачи аналитическим путем, например, путем сведения к двум задачам Коши, то математических знаний в рамках курса Высшей математики может оказаться недостаточно. Кроме того, к аналитическим методам трудно применить вычислительную технику. В связи с этим, представляет большой интерес метод, когда производные дифференциального урав-нения заменяются на  конечно-разностные отношения, а само ДУ представляется в виде системы линейных алгебраических уравнений. Для решения последних разработаны весьма эффективные программы, не требующие от студентов глубоких математических знаний.

Теоретические положения .  Пусть некоторый химико-техноло-гический процесс описывается дифференциальным уравнением вида

                      (1)

с двуточечными линейными краевыми условиями

                             (2)

где   непрерывны на отрезке   , а    заданные константы, определяющие конкретный характер протекания химического или технологиеского процесса.

Одним из наиболее простых методов решения этой краевой задачи является сведение ее к системе конечно-разностных уравнений. Для этого отрезок   разбивается на   равных частей длины   . Точки разбиения имеют абсциссы:

Значения искомой функции и ее производных   и   в точках   обозначим как   и  . Соответственно обозначим     Заменяя производные симметричными конечно-разностными отношениями, для внутренних точек    отрезка    будем иметь:

             (3)

                       

                          

Для концевых точек , чтобы не выходить за пределы отрезка , положим:

        .                      (4)

Используя формулы (3), дифференциальное уравнение (1) во внутренних точках   заменим линейной системой уравнений

    + + = ,          (5)

Кроме того, краевые условия (2) дополнительно дают еще два уравнения  (при этом используем формулы для производных в концевых точках - (4)):

  = A, +  = B                (6)

Таким образом, получена система, состоящая из   уравнения с   неизвестным:   .  Решая эту систему одним из известных способов, найдем  значения искомой функции   .

 Порядок выполнения работы.      

- выписать строку с вариантом параметров исследуемого процесса,

- в соответствии с формулами (7) и (8) задать дифференциальное уравнение и краевые условия, подставив значения параметров,

- выписать выражения (3) и (4), с помощью которых производные заменяются на конечно-разностные соотношения,

- заменить в выражениях (7) и (8) первую и вторую производные по формулам (3) и (4) и записать систему конечно-разностных алгебра-ических уравнений в форме (5) и (6),

- вычислить в Excel таблицы аргументов - и правой части ДУ - ,

- подставив в формулы (5)  и  (6) значения констант и величины ,   записать 6 уравнений :

      а) первое уравнение получаем из первого краевого условия (6),

      б) четыре следующих уравнения получаем из выражения (5), подставляя туда последовательно значения  i=1, 2, 3 и 4,

      в) последнее уравнение получаем из второго краевого условия (6),

- выполнив над каждым из уравнениений преобразования (деления и приведения подобных членов относительно ), приведем их затем к линейному виду, т.е. в порядке убывания индекса функций   ,

- полученную систему линейных уравнений удобно решить методом прогонки:

      а) выражаем из первого уравнения через   и подставляем во второе уравнение,

      б) выражаем из второго уравнения   через   и подставляем в третье уравнение,

      в) продолжая этот процесс, в конце концов находим   ,

-  двигаясь затем в обратном направлении, последовательно находим    ,

-  сделать проверку правильности полученного решения:

       а) за точное значение -  примем величину правой части  диффе-ренциального уравнения  (7)  в точке   ,

б)  по найденному решению   составим таблицу разностей,

         в)  найдем величину второй производной в точке   -  , используя формулу численного дифференцирования для узлов,

       г)  вычислим всю левую часть  ДУ (7),  обозначив ее за   ,

       д) сравним    и    в точке   , для чего найдем абсолютную и относительную погрешности,

- сделать график функции   в виде ломаной или гистограммы.

 

Варианты исходных данных. 

Задано дифференциальное уравнение второго порядка

                               (7)

с краевыми условиями в точках    и   

                             (8)

где    -  заданные числа,

     - функция, непрерывная на отрезке   .

Параметры уравнения (7) и краевых условий (8) представлены в таблице

1

1.5

Cos(4.9x)

1.6

0

2.2

5.7

0

0.2

2.4

2

2.0

Sin(0.8x)

1.5

0

2.4

5.2

0.5

6.8

2.0

3

1.3

Exp(3.7x)

1.0

0

2.4

5.2

0.2

4.0

2.0

4

1.4

-4x

1.5

0

2.0

5.2

2.2

1.6

2.4

5

1.0

Cos(1.2x)

0

3.8

5.7

1.5

0.2

0.6

0.8

6

0.5

Sin(0.2x)

0

3.0

4.8

1.1

0.2

0.6

0.7

7

0.8

Exp(-3x)

0

3.1

5.1

1.0

0.2

0.6

0.6

8

0.8

4.7x

0

2.9

5.0

1.3

0.3

1.1

0.8

9

0.9

Cos(3x)

0.7

0.7

0.5

0.3

0

-0.1

0.7

10

0.5

Sin(4.1x)

0.6

0.6

0.6

0.7

0

0.2

0.9

11

1.1

Exp(2x)

0.8

0.8

0.9

0.8

0

0.2

0.8

12

0.6

6.6x

0.8

0.8

0.8

0.5

0

0.1

0.7

13

1.8

Cos(1.1x)

0.9

2.3

1.5

0

0.5

1.0

2.2

14

2.4

Sin(5.5x)

1.0

2.3

1.4

0

0.6

2.5

2.0

15

2.1

Exp(-4x)

1.0

2.3

1.3

0

0.3

0.6

2.1

16

2.2

1.3x

1.1

2.3

1.5

0

1.2

0.6

1.9

17

0.8

Cos(4.1x)

9.2

1.8

0

2.4

0.6

7.7

0.6

18

0.7

Sin(7.4x)

5.1

1.5

0

2.5

0.4

0.8

0.9

19

0.9

Exp(2.9x)

9.2

1.8

0

2.9

0.6

1.1

0.6

20

1.1

-4.2x

5.1

1.5

0

2.3

0.7

1.1

0.9

21

0.9

Cos(2.3x)

0.6

0.6

0.7

0.3

0

-0.1

0.6

22

0.5

Sin(0.6x)

0.5

0.5

0.7

0.8

0

0.2

0.9

23

0.7

Exp(2.2x)

0.6

0.6

0.6

0.4

0

0.1

0.7

24

1.0

2.5x

0.7

0.7

0.6

0.5

0

0.1

0.8

25

2.3

Cos(1.9x)

1.0

0

2.3

5.5

0

0.4

2.2

26

1.3

Sin(6.3x)

1.4

0

2.3

5.2

0.6

7.2

2.1

27

1.8

Exp(2.6x)

1.8

0

2.2

5.5

0.4

4.2

2.3

28

2.4

-5.2x

1.8

0

2.2

5.5

2.3

1.0

2.3

29

0.6

Cos(0.5x)

0

2.1

6.1

1.4

0

0.3

0.7

30

0.5

Sin(6.5x)

0

2.7

6.1

1.2

0.1

0.5

0.6

Пример расчета.      

1.Исходные данные :

   а) представлены в виде таблицы параметров исследуемого процесса

P2

f(x)

A

B

B

0.8

4.7x

0

2.9

5.0

1.3

0.3

1.1

0.8

б) задано дифференциальное уравнение процесса

                                                      (1)

и краевые условия

                                (2)

в) точки разбиения отрезка   [0,b] :

           xk=kh        h=b/5=0.8/5=0.16        n=5       y(xk)=yk            f(xk)=fk

г) заменим производные симметричными конечно-разностными отношениями:

- для внутренних точек имеем:

                    (3)

- для концевых точек имеем:

                                              (4)

д) подставляя формулы (3) и (4) в уравнение (1)  и краевые условия (2), получим систему:

                                        (5)

                             (6)

                                    (7)

  1.  Результаты расчетов:

а) вычислим   xk                 

x0=0          

x1=0.16           

x2=0.32                

x3=0.48                

x4=0.64

x5=0.8

б) вычислим   fk

   f(x0)=4.7*0=0

   f(x1)=4.7*0.16=0.752

   f(x2)=4.7*0.32=1.504

   f(x3)=4.7*0.48=2.256

   f(x4)=4.7*0.64=3.008

   f(x5)=4.7*0.8=3.7

в)  запишем ДУ и краевые условия:

                     

      

г)  составим 6 уравнений, подставив в формулы (5), (6) и  (7)  const  и  fk

     - из первого краевого условия (5) имеем

            (8)

 - подставляя в формулу (6)  последовательно  k=1, 2, 3 и 4, получим  еще четыре                        уравнения

           (9)

          (10)

         (11)

         (12)

- наконец, из второго краевого условия (7)  будем иметь

                 (13)

д)  преобразуем полученные уравнения к линейному виду и расположим в   порядке уменьшения k

                                         (8*)

           (9*)

           (10*)

           (11*)

           (12*)

                                           (13*)

е) для решения системы используем метод прогонки:

              -  выражаем из (8*) y0 через y1 и подставляем в (9*)

       -  выражаем из (9*) y1 через y2 и подставляем в (10*)

       -  выражаем из (10*) y2 через y3 и подставляем в (11*)

       -  выражаем из (11*) y3 через y4 и подставляем в (12*)

       -  выражаем из (12*) y4 через y5 и подставляем в (13*)

       -  находим   y5

ж)  двигаясь в обратном направлении последовательно вычисляем:

3. Проверка

а)  за точное значение принимаем

б)  по найденному решению   составим таблицу разностей:

I

y

0

0,4034

0,0166

-0,0106

-0,0410

0,0427

-0,0657

1

0,4200

0,0060

-0,0516

0,0017

-0,0230

 

2

0,4260

-0,0456

-0,0499

-0,0213

 

 

3

0,3804

-0,0955

-0,0712

 

 

 

4

0,2849

-0,1667

 

 

 

 

5

0,1182

 

 

 

 

 

 

в)  подставим разности в формулу для  (из лекции) и получим:

-2.9063

г)  вычислим всю левую часть  ДУ (1)  и обозначим ее за

 ????

      д) найдем абсолютную и относительную погрешности

%

4. График решения дифференциального уравнения


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67178. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ АНЕСТЕЗИОЛОГИИ. ИНГАЛЯЦИОННЫЙ НАРКОЗ 278 KB
  Универсальной и общепризнанной теории действия анестетиков нет. Ранние теории наркоза в настоящее время представляются полностью несостоятельными: Коагуляционная теория Кьюн 1864 коагуляция белка под влиянием эфира и хлороформа обнаружилось что коагуляция происходит только при концентрациях значительно превышающих терапевтические.
67179. Проблеми державного відтворення української культури у 1917-1920 рр. та особливості національно-культурного розвитку українських земель у 1920-1930-х рр. XX століття 133 KB
  Відкриття Української Академії наук УАН. відбулося територіальне роз'єднання українських земель завершилося формування української нації ускладнилася соціальна структура та політизувалося суспільне життя. Ця орієнтація зумовила вивчення проблем етнографії фольклору мови а також стимулювала бажання...
67180. Повернення об’єктів функціями. Потенційні проблеми 74.5 KB
  Якщо об'єкти можна передавати функціям, то з таким самим успіхом функції можуть повертати об'єкти. Щоби функція могла повернути об'єкт, по-перше, необхідно оголосити об'єкт, який повертається нею, типом відповідного класу. По-друге, потрібно забезпечити повернення...
67181. Асиметричні криптоперетворення та їх застосування для забезпечення конфіденційності 240.65 KB
  Найбільшою особливістю асиметричних перетворень є використання асиметричної пари ключів, які містить відкритий ключ, що відомий всім, та особистого ключа, що пов’язаний з відкритим ключем за допомогою певного математичного перетворення.
67182. ПРАВОВОЕ ГОСУДАРСТВО И ГРАЖДАНСКОЕ ОБЩЕСТВО 305.5 KB
  Аристотель выделял два рода правления, один из которых направлен к выгоде правителя, другой — подданных, общества. В них по-разному проявлялась роль права как посредника между человеком и государством. Ясно, что в обществах, где в выгоде находились правители, право в большей мере использовалось в качестве
67183. ДВИГАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ ЦНС 137 KB
  Командные двигательные центры расположены в стволе мозга и моторных областях коры которые связаны с локальными моторными аппаратами нисходящими путями. Так например нейроны моторной коры вызывающие сгибание руки контактируют посредством своих аксонов с управляющими именно...
67184. Лексика с точки зрения происхождения 119 KB
  Кальки лексические семантические фразеологические Причины заимствования внешние и внутренние Пути заимствования устный и письменный; непосредственно и через язык-посредник Внутренние заимствования Освоение заимствований Экзотизмы и варваризмы Отношение к заимствованиям...
67185. СИМЕТРИЧНІ КРИПТОПЕРЕТВОРЕННЯ ШИФРУВАНННЯ 177.37 KB
  Симетричне криптографічне перетворення у вигляді блокового симетричного шифру БСШ знайшло широке застосування на практиці. БСШ будуються на основі використання декількох симетричних криптографічних перетворень елементарних шифрів більшість яких розглянуто вище в підрозділі...
67186. Оформлення таблиць 720.5 KB
  Таблиці чудово справляються з тим для чого вони насправді призначені представленням табличних даних. Структура таблиці Перш ніж переходити до CSS давайте розглянемо ключові структурні елементи таблиць які знадобляться для гарного оформлення...