9909

Составление дифференциального уравнения, описывающего химико-технологический процесс и его решение методом конечных разностей.

Практическая работа

Физика

Составление дифференциального уравнения, описывающего химико-технологический процесс и его решение методом конечных разностей. Цель работы. Значительное количество химических и технологических процессов можно описать дифференциальными уравнени...

Русский

2013-03-18

198.5 KB

9 чел.

Составление дифференциального уравнения,

описывающего химико-технологический процесс и его решение методом конечных разностей.

Цель работы.  Значительное количество химических и технологических процессов можно описать дифференциальными уравнениями первого или второго порядка. При этом могут быть заданы не только начальные, но и краевые условия. Если решать такие задачи аналитическим путем, например, путем сведения к двум задачам Коши, то математических знаний в рамках курса Высшей математики может оказаться недостаточно. Кроме того, к аналитическим методам трудно применить вычислительную технику. В связи с этим, представляет большой интерес метод, когда производные дифференциального урав-нения заменяются на  конечно-разностные отношения, а само ДУ представляется в виде системы линейных алгебраических уравнений. Для решения последних разработаны весьма эффективные программы, не требующие от студентов глубоких математических знаний.

Теоретические положения .  Пусть некоторый химико-техноло-гический процесс описывается дифференциальным уравнением вида

                      (1)

с двуточечными линейными краевыми условиями

                             (2)

где   непрерывны на отрезке   , а    заданные константы, определяющие конкретный характер протекания химического или технологиеского процесса.

Одним из наиболее простых методов решения этой краевой задачи является сведение ее к системе конечно-разностных уравнений. Для этого отрезок   разбивается на   равных частей длины   . Точки разбиения имеют абсциссы:

Значения искомой функции и ее производных   и   в точках   обозначим как   и  . Соответственно обозначим     Заменяя производные симметричными конечно-разностными отношениями, для внутренних точек    отрезка    будем иметь:

             (3)

                       

                          

Для концевых точек , чтобы не выходить за пределы отрезка , положим:

        .                      (4)

Используя формулы (3), дифференциальное уравнение (1) во внутренних точках   заменим линейной системой уравнений

    + + = ,          (5)

Кроме того, краевые условия (2) дополнительно дают еще два уравнения  (при этом используем формулы для производных в концевых точках - (4)):

  = A, +  = B                (6)

Таким образом, получена система, состоящая из   уравнения с   неизвестным:   .  Решая эту систему одним из известных способов, найдем  значения искомой функции   .

 Порядок выполнения работы.      

- выписать строку с вариантом параметров исследуемого процесса,

- в соответствии с формулами (7) и (8) задать дифференциальное уравнение и краевые условия, подставив значения параметров,

- выписать выражения (3) и (4), с помощью которых производные заменяются на конечно-разностные соотношения,

- заменить в выражениях (7) и (8) первую и вторую производные по формулам (3) и (4) и записать систему конечно-разностных алгебра-ических уравнений в форме (5) и (6),

- вычислить в Excel таблицы аргументов - и правой части ДУ - ,

- подставив в формулы (5)  и  (6) значения констант и величины ,   записать 6 уравнений :

      а) первое уравнение получаем из первого краевого условия (6),

      б) четыре следующих уравнения получаем из выражения (5), подставляя туда последовательно значения  i=1, 2, 3 и 4,

      в) последнее уравнение получаем из второго краевого условия (6),

- выполнив над каждым из уравнениений преобразования (деления и приведения подобных членов относительно ), приведем их затем к линейному виду, т.е. в порядке убывания индекса функций   ,

- полученную систему линейных уравнений удобно решить методом прогонки:

      а) выражаем из первого уравнения через   и подставляем во второе уравнение,

      б) выражаем из второго уравнения   через   и подставляем в третье уравнение,

      в) продолжая этот процесс, в конце концов находим   ,

-  двигаясь затем в обратном направлении, последовательно находим    ,

-  сделать проверку правильности полученного решения:

       а) за точное значение -  примем величину правой части  диффе-ренциального уравнения  (7)  в точке   ,

б)  по найденному решению   составим таблицу разностей,

         в)  найдем величину второй производной в точке   -  , используя формулу численного дифференцирования для узлов,

       г)  вычислим всю левую часть  ДУ (7),  обозначив ее за   ,

       д) сравним    и    в точке   , для чего найдем абсолютную и относительную погрешности,

- сделать график функции   в виде ломаной или гистограммы.

 

Варианты исходных данных. 

Задано дифференциальное уравнение второго порядка

                               (7)

с краевыми условиями в точках    и   

                             (8)

где    -  заданные числа,

     - функция, непрерывная на отрезке   .

Параметры уравнения (7) и краевых условий (8) представлены в таблице

1

1.5

Cos(4.9x)

1.6

0

2.2

5.7

0

0.2

2.4

2

2.0

Sin(0.8x)

1.5

0

2.4

5.2

0.5

6.8

2.0

3

1.3

Exp(3.7x)

1.0

0

2.4

5.2

0.2

4.0

2.0

4

1.4

-4x

1.5

0

2.0

5.2

2.2

1.6

2.4

5

1.0

Cos(1.2x)

0

3.8

5.7

1.5

0.2

0.6

0.8

6

0.5

Sin(0.2x)

0

3.0

4.8

1.1

0.2

0.6

0.7

7

0.8

Exp(-3x)

0

3.1

5.1

1.0

0.2

0.6

0.6

8

0.8

4.7x

0

2.9

5.0

1.3

0.3

1.1

0.8

9

0.9

Cos(3x)

0.7

0.7

0.5

0.3

0

-0.1

0.7

10

0.5

Sin(4.1x)

0.6

0.6

0.6

0.7

0

0.2

0.9

11

1.1

Exp(2x)

0.8

0.8

0.9

0.8

0

0.2

0.8

12

0.6

6.6x

0.8

0.8

0.8

0.5

0

0.1

0.7

13

1.8

Cos(1.1x)

0.9

2.3

1.5

0

0.5

1.0

2.2

14

2.4

Sin(5.5x)

1.0

2.3

1.4

0

0.6

2.5

2.0

15

2.1

Exp(-4x)

1.0

2.3

1.3

0

0.3

0.6

2.1

16

2.2

1.3x

1.1

2.3

1.5

0

1.2

0.6

1.9

17

0.8

Cos(4.1x)

9.2

1.8

0

2.4

0.6

7.7

0.6

18

0.7

Sin(7.4x)

5.1

1.5

0

2.5

0.4

0.8

0.9

19

0.9

Exp(2.9x)

9.2

1.8

0

2.9

0.6

1.1

0.6

20

1.1

-4.2x

5.1

1.5

0

2.3

0.7

1.1

0.9

21

0.9

Cos(2.3x)

0.6

0.6

0.7

0.3

0

-0.1

0.6

22

0.5

Sin(0.6x)

0.5

0.5

0.7

0.8

0

0.2

0.9

23

0.7

Exp(2.2x)

0.6

0.6

0.6

0.4

0

0.1

0.7

24

1.0

2.5x

0.7

0.7

0.6

0.5

0

0.1

0.8

25

2.3

Cos(1.9x)

1.0

0

2.3

5.5

0

0.4

2.2

26

1.3

Sin(6.3x)

1.4

0

2.3

5.2

0.6

7.2

2.1

27

1.8

Exp(2.6x)

1.8

0

2.2

5.5

0.4

4.2

2.3

28

2.4

-5.2x

1.8

0

2.2

5.5

2.3

1.0

2.3

29

0.6

Cos(0.5x)

0

2.1

6.1

1.4

0

0.3

0.7

30

0.5

Sin(6.5x)

0

2.7

6.1

1.2

0.1

0.5

0.6

Пример расчета.      

1.Исходные данные :

   а) представлены в виде таблицы параметров исследуемого процесса

P2

f(x)

A

B

B

0.8

4.7x

0

2.9

5.0

1.3

0.3

1.1

0.8

б) задано дифференциальное уравнение процесса

                                                      (1)

и краевые условия

                                (2)

в) точки разбиения отрезка   [0,b] :

           xk=kh        h=b/5=0.8/5=0.16        n=5       y(xk)=yk            f(xk)=fk

г) заменим производные симметричными конечно-разностными отношениями:

- для внутренних точек имеем:

                    (3)

- для концевых точек имеем:

                                              (4)

д) подставляя формулы (3) и (4) в уравнение (1)  и краевые условия (2), получим систему:

                                        (5)

                             (6)

                                    (7)

  1.  Результаты расчетов:

а) вычислим   xk                 

x0=0          

x1=0.16           

x2=0.32                

x3=0.48                

x4=0.64

x5=0.8

б) вычислим   fk

   f(x0)=4.7*0=0

   f(x1)=4.7*0.16=0.752

   f(x2)=4.7*0.32=1.504

   f(x3)=4.7*0.48=2.256

   f(x4)=4.7*0.64=3.008

   f(x5)=4.7*0.8=3.7

в)  запишем ДУ и краевые условия:

                     

      

г)  составим 6 уравнений, подставив в формулы (5), (6) и  (7)  const  и  fk

     - из первого краевого условия (5) имеем

            (8)

 - подставляя в формулу (6)  последовательно  k=1, 2, 3 и 4, получим  еще четыре                        уравнения

           (9)

          (10)

         (11)

         (12)

- наконец, из второго краевого условия (7)  будем иметь

                 (13)

д)  преобразуем полученные уравнения к линейному виду и расположим в   порядке уменьшения k

                                         (8*)

           (9*)

           (10*)

           (11*)

           (12*)

                                           (13*)

е) для решения системы используем метод прогонки:

              -  выражаем из (8*) y0 через y1 и подставляем в (9*)

       -  выражаем из (9*) y1 через y2 и подставляем в (10*)

       -  выражаем из (10*) y2 через y3 и подставляем в (11*)

       -  выражаем из (11*) y3 через y4 и подставляем в (12*)

       -  выражаем из (12*) y4 через y5 и подставляем в (13*)

       -  находим   y5

ж)  двигаясь в обратном направлении последовательно вычисляем:

3. Проверка

а)  за точное значение принимаем

б)  по найденному решению   составим таблицу разностей:

I

y

0

0,4034

0,0166

-0,0106

-0,0410

0,0427

-0,0657

1

0,4200

0,0060

-0,0516

0,0017

-0,0230

 

2

0,4260

-0,0456

-0,0499

-0,0213

 

 

3

0,3804

-0,0955

-0,0712

 

 

 

4

0,2849

-0,1667

 

 

 

 

5

0,1182

 

 

 

 

 

 

в)  подставим разности в формулу для  (из лекции) и получим:

-2.9063

г)  вычислим всю левую часть  ДУ (1)  и обозначим ее за

 ????

      д) найдем абсолютную и относительную погрешности

%

4. График решения дифференциального уравнения


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13587. Инфляция - единственная форма наказания без законного основания. Милтон Фридман 16.89 KB
  Инфляция единственная форма наказания без законного основания Милтон Фридман Выбранное мною высказывание поднимает проблему роли и места инфляции в экономике а также её воздействия на субъектов рынка. Данная проблема достаточно актуально для многих развивающихся...
13588. Экономическая конкуренция – это не война, а соперничество в интересах друг друга 16.45 KB
  Экономическая конкуренция это не война а соперничество в интересах друг друга. Э. Каннан В выбранном мною высказывании рассматривается сущность такого понятия как экономическая конкуренция ее важность для экономики рыночного типа. В современной России основы р
13589. Конкуренцию никак нельзя соединить с планированием, не ослабляя ее как фактор организации производства 13.98 KB
  Конкуренцию никак нельзя соединить с планированием не ослабляя ее как фактор организации производства. Ф. фон Хайек Выбранное мною высказывание связано с пониманием сущности конкуренции и ее антипода планирования. Именно конкуренция обеспечивает взаимосвязи ры
13590. Слово «кризис», написанное по-китайски, состоит из двух иероглифов: один означает «опасность», другой – «благоприятная возможность» 15.47 KB
  Слово кризис написанное покитайски состоит из двух иероглифов: один означает опасность другой благоприятная возможность Джон Кеннеди В данном высказывании затрагивается проблема сущности экономического кризиса и его последствий. Эта проблема очень актуа
13591. Торговля не разорила еще ни одного народа 18.87 KB
  Торговля не разорила еще ни одного народа. Б. Франклин В выбранном мною высказывании автор рассматривает сущность международной торговли и ее роли и значения для развития национальной экономики. В наше время этот вопрос актуален как никогда. Именно сейчас особо явн...
13592. Цены монополии во всех случаях являются самыми высокими из тех, которые можно выжать из покупателей 30 KB
  Цены монополии во всех случаях являются самыми высокими из тех которые можно выжать из покупателей А. Смит. Выбранное мною высказывание затрагивает вопрос о сущности монополизма и его опасности для потребителя. В России проблема монополизма также стала актуальной ...
13593. Погоня за прибылью Эссе по высказыванию 30 KB
  Погоня за прибылью единственный способ при помощи которого люди могут удовлетворить потребности тех кого они вовсе не знают. Ф. Хайек Выбранное мною высказывание связано с предпринимательской деятельностью ее целями и задачами. Эта тема несомненная актуальна ос...
13594. Погоня за прибылью – единственный способ, при помощи которого люди могут удовлетворить потребности тех, кого они вовсе не знают 17.55 KB
  Погоня за прибылью единственный способ при помощи которого люди могут удовлетворить потребности тех кого они вовсе не знают. Ф. Хайек В выбранном мною высказывании автор рассматривает проблему предпринимательской деятельности ее целей и результатов. Предприни...
13595. Слово «кризис», написанное по-китайски, состоит из двух иероглифов» один означает «опасность», другой – благоприятная возможность (Дж. Кеннеди) 15.73 KB
  Слово кризис написанное покитайски состоит из двух иероглифов один означает опасность другой благоприятная возможность. Дж. Кеннеди В выбранном мною высказывании автор американский президент Джон Кеннеди обращается к проблеме противоречивости роли и ...