9909

Составление дифференциального уравнения, описывающего химико-технологический процесс и его решение методом конечных разностей.

Практическая работа

Физика

Составление дифференциального уравнения, описывающего химико-технологический процесс и его решение методом конечных разностей. Цель работы. Значительное количество химических и технологических процессов можно описать дифференциальными уравнени...

Русский

2013-03-18

198.5 KB

9 чел.

Составление дифференциального уравнения,

описывающего химико-технологический процесс и его решение методом конечных разностей.

Цель работы.  Значительное количество химических и технологических процессов можно описать дифференциальными уравнениями первого или второго порядка. При этом могут быть заданы не только начальные, но и краевые условия. Если решать такие задачи аналитическим путем, например, путем сведения к двум задачам Коши, то математических знаний в рамках курса Высшей математики может оказаться недостаточно. Кроме того, к аналитическим методам трудно применить вычислительную технику. В связи с этим, представляет большой интерес метод, когда производные дифференциального урав-нения заменяются на  конечно-разностные отношения, а само ДУ представляется в виде системы линейных алгебраических уравнений. Для решения последних разработаны весьма эффективные программы, не требующие от студентов глубоких математических знаний.

Теоретические положения .  Пусть некоторый химико-техноло-гический процесс описывается дифференциальным уравнением вида

                      (1)

с двуточечными линейными краевыми условиями

                             (2)

где   непрерывны на отрезке   , а    заданные константы, определяющие конкретный характер протекания химического или технологиеского процесса.

Одним из наиболее простых методов решения этой краевой задачи является сведение ее к системе конечно-разностных уравнений. Для этого отрезок   разбивается на   равных частей длины   . Точки разбиения имеют абсциссы:

Значения искомой функции и ее производных   и   в точках   обозначим как   и  . Соответственно обозначим     Заменяя производные симметричными конечно-разностными отношениями, для внутренних точек    отрезка    будем иметь:

             (3)

                       

                          

Для концевых точек , чтобы не выходить за пределы отрезка , положим:

        .                      (4)

Используя формулы (3), дифференциальное уравнение (1) во внутренних точках   заменим линейной системой уравнений

    + + = ,          (5)

Кроме того, краевые условия (2) дополнительно дают еще два уравнения  (при этом используем формулы для производных в концевых точках - (4)):

  = A, +  = B                (6)

Таким образом, получена система, состоящая из   уравнения с   неизвестным:   .  Решая эту систему одним из известных способов, найдем  значения искомой функции   .

 Порядок выполнения работы.      

- выписать строку с вариантом параметров исследуемого процесса,

- в соответствии с формулами (7) и (8) задать дифференциальное уравнение и краевые условия, подставив значения параметров,

- выписать выражения (3) и (4), с помощью которых производные заменяются на конечно-разностные соотношения,

- заменить в выражениях (7) и (8) первую и вторую производные по формулам (3) и (4) и записать систему конечно-разностных алгебра-ических уравнений в форме (5) и (6),

- вычислить в Excel таблицы аргументов - и правой части ДУ - ,

- подставив в формулы (5)  и  (6) значения констант и величины ,   записать 6 уравнений :

      а) первое уравнение получаем из первого краевого условия (6),

      б) четыре следующих уравнения получаем из выражения (5), подставляя туда последовательно значения  i=1, 2, 3 и 4,

      в) последнее уравнение получаем из второго краевого условия (6),

- выполнив над каждым из уравнениений преобразования (деления и приведения подобных членов относительно ), приведем их затем к линейному виду, т.е. в порядке убывания индекса функций   ,

- полученную систему линейных уравнений удобно решить методом прогонки:

      а) выражаем из первого уравнения через   и подставляем во второе уравнение,

      б) выражаем из второго уравнения   через   и подставляем в третье уравнение,

      в) продолжая этот процесс, в конце концов находим   ,

-  двигаясь затем в обратном направлении, последовательно находим    ,

-  сделать проверку правильности полученного решения:

       а) за точное значение -  примем величину правой части  диффе-ренциального уравнения  (7)  в точке   ,

б)  по найденному решению   составим таблицу разностей,

         в)  найдем величину второй производной в точке   -  , используя формулу численного дифференцирования для узлов,

       г)  вычислим всю левую часть  ДУ (7),  обозначив ее за   ,

       д) сравним    и    в точке   , для чего найдем абсолютную и относительную погрешности,

- сделать график функции   в виде ломаной или гистограммы.

 

Варианты исходных данных. 

Задано дифференциальное уравнение второго порядка

                               (7)

с краевыми условиями в точках    и   

                             (8)

где    -  заданные числа,

     - функция, непрерывная на отрезке   .

Параметры уравнения (7) и краевых условий (8) представлены в таблице

1

1.5

Cos(4.9x)

1.6

0

2.2

5.7

0

0.2

2.4

2

2.0

Sin(0.8x)

1.5

0

2.4

5.2

0.5

6.8

2.0

3

1.3

Exp(3.7x)

1.0

0

2.4

5.2

0.2

4.0

2.0

4

1.4

-4x

1.5

0

2.0

5.2

2.2

1.6

2.4

5

1.0

Cos(1.2x)

0

3.8

5.7

1.5

0.2

0.6

0.8

6

0.5

Sin(0.2x)

0

3.0

4.8

1.1

0.2

0.6

0.7

7

0.8

Exp(-3x)

0

3.1

5.1

1.0

0.2

0.6

0.6

8

0.8

4.7x

0

2.9

5.0

1.3

0.3

1.1

0.8

9

0.9

Cos(3x)

0.7

0.7

0.5

0.3

0

-0.1

0.7

10

0.5

Sin(4.1x)

0.6

0.6

0.6

0.7

0

0.2

0.9

11

1.1

Exp(2x)

0.8

0.8

0.9

0.8

0

0.2

0.8

12

0.6

6.6x

0.8

0.8

0.8

0.5

0

0.1

0.7

13

1.8

Cos(1.1x)

0.9

2.3

1.5

0

0.5

1.0

2.2

14

2.4

Sin(5.5x)

1.0

2.3

1.4

0

0.6

2.5

2.0

15

2.1

Exp(-4x)

1.0

2.3

1.3

0

0.3

0.6

2.1

16

2.2

1.3x

1.1

2.3

1.5

0

1.2

0.6

1.9

17

0.8

Cos(4.1x)

9.2

1.8

0

2.4

0.6

7.7

0.6

18

0.7

Sin(7.4x)

5.1

1.5

0

2.5

0.4

0.8

0.9

19

0.9

Exp(2.9x)

9.2

1.8

0

2.9

0.6

1.1

0.6

20

1.1

-4.2x

5.1

1.5

0

2.3

0.7

1.1

0.9

21

0.9

Cos(2.3x)

0.6

0.6

0.7

0.3

0

-0.1

0.6

22

0.5

Sin(0.6x)

0.5

0.5

0.7

0.8

0

0.2

0.9

23

0.7

Exp(2.2x)

0.6

0.6

0.6

0.4

0

0.1

0.7

24

1.0

2.5x

0.7

0.7

0.6

0.5

0

0.1

0.8

25

2.3

Cos(1.9x)

1.0

0

2.3

5.5

0

0.4

2.2

26

1.3

Sin(6.3x)

1.4

0

2.3

5.2

0.6

7.2

2.1

27

1.8

Exp(2.6x)

1.8

0

2.2

5.5

0.4

4.2

2.3

28

2.4

-5.2x

1.8

0

2.2

5.5

2.3

1.0

2.3

29

0.6

Cos(0.5x)

0

2.1

6.1

1.4

0

0.3

0.7

30

0.5

Sin(6.5x)

0

2.7

6.1

1.2

0.1

0.5

0.6

Пример расчета.      

1.Исходные данные :

   а) представлены в виде таблицы параметров исследуемого процесса

P2

f(x)

A

B

B

0.8

4.7x

0

2.9

5.0

1.3

0.3

1.1

0.8

б) задано дифференциальное уравнение процесса

                                                      (1)

и краевые условия

                                (2)

в) точки разбиения отрезка   [0,b] :

           xk=kh        h=b/5=0.8/5=0.16        n=5       y(xk)=yk            f(xk)=fk

г) заменим производные симметричными конечно-разностными отношениями:

- для внутренних точек имеем:

                    (3)

- для концевых точек имеем:

                                              (4)

д) подставляя формулы (3) и (4) в уравнение (1)  и краевые условия (2), получим систему:

                                        (5)

                             (6)

                                    (7)

  1.  Результаты расчетов:

а) вычислим   xk                 

x0=0          

x1=0.16           

x2=0.32                

x3=0.48                

x4=0.64

x5=0.8

б) вычислим   fk

   f(x0)=4.7*0=0

   f(x1)=4.7*0.16=0.752

   f(x2)=4.7*0.32=1.504

   f(x3)=4.7*0.48=2.256

   f(x4)=4.7*0.64=3.008

   f(x5)=4.7*0.8=3.7

в)  запишем ДУ и краевые условия:

                     

      

г)  составим 6 уравнений, подставив в формулы (5), (6) и  (7)  const  и  fk

     - из первого краевого условия (5) имеем

            (8)

 - подставляя в формулу (6)  последовательно  k=1, 2, 3 и 4, получим  еще четыре                        уравнения

           (9)

          (10)

         (11)

         (12)

- наконец, из второго краевого условия (7)  будем иметь

                 (13)

д)  преобразуем полученные уравнения к линейному виду и расположим в   порядке уменьшения k

                                         (8*)

           (9*)

           (10*)

           (11*)

           (12*)

                                           (13*)

е) для решения системы используем метод прогонки:

              -  выражаем из (8*) y0 через y1 и подставляем в (9*)

       -  выражаем из (9*) y1 через y2 и подставляем в (10*)

       -  выражаем из (10*) y2 через y3 и подставляем в (11*)

       -  выражаем из (11*) y3 через y4 и подставляем в (12*)

       -  выражаем из (12*) y4 через y5 и подставляем в (13*)

       -  находим   y5

ж)  двигаясь в обратном направлении последовательно вычисляем:

3. Проверка

а)  за точное значение принимаем

б)  по найденному решению   составим таблицу разностей:

I

y

0

0,4034

0,0166

-0,0106

-0,0410

0,0427

-0,0657

1

0,4200

0,0060

-0,0516

0,0017

-0,0230

 

2

0,4260

-0,0456

-0,0499

-0,0213

 

 

3

0,3804

-0,0955

-0,0712

 

 

 

4

0,2849

-0,1667

 

 

 

 

5

0,1182

 

 

 

 

 

 

в)  подставим разности в формулу для  (из лекции) и получим:

-2.9063

г)  вычислим всю левую часть  ДУ (1)  и обозначим ее за

 ????

      д) найдем абсолютную и относительную погрешности

%

4. График решения дифференциального уравнения


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43968. Державне регулювання субєктів зовнішньоекономічної діяльності 396.36 KB
  Необхідною умовою розвитку національної економіки, поглиблення співпраці з іншими державами, створення сприятливого середовища для залучення іноземних інвестицій є належне державне регулювання зовнішньоекономічної діяльності, яка становить важливий напрям загальної господарської діяльності держави.
43969. Дипломатичне право 302.5 KB
  Статус державних комітетів України мають такі центральні органи виконавчої влади: Державний комітет архівів; Державний комітет будівництва архітектури та житлової політики; Державний комітет по водному господарству; Державний комітет по земельних ресурсах; Державний комітет звязку та інформатизації; Державний комітет з енергозбереження. Фонд державного майна України та Рахункова палата. Діяльність останніх є підконтрольною безпосередньо Верховній Раді України.
43970. Проектирование жилого здания в Хабаровске 684.5 KB
  Общая численность населения края составляет 19 млн. Хабаровск является главным и самым крупным городом на территории Хабаровского края. Распределение населения по территории края крайне неравномерно: наиболее плотно заселена южная часть Бикинский район – 118 чел км2 наименее плотно – северная АяноМайский район – 003 чел км2. На территории края расположено 7 городов среди наиболее крупных – Хабаровск 612 тыс.
43971. Розробка сайту Web бібліотеки 1.4 MB
  Web бібліотека сьогодні представляють собою навіть не напрямок, це - ідеологія. Web бібліотеки стають невідємною частиною діяльності практично в будь-якій області; з необхідністю мати, розвивати і використовувати електронну бібліотеку сьогодні стикаються практично всі. Як раніше всі прагнули отримати компютери, так зараз, коли вже відбулося певне насичення компютерами, говорять в основному про дві речі - Інтернеті і Web бібліотека.
43972. Створення сайту Web-бібліотека 1.28 MB
  В Японії ведуться роботи з реалізації проекту Web бібліотеки 21 століття. Історія виникнення web бібліотеки Web бібліотеки сьогодні представляють собою навіть не напрямок це ідеологія. Web бібліотеки стають невідємною частиною діяльності практично в будьякій області; з необхідністю мати розвивати і використовувати електронну бібліотеку сьогодні стикаються практично всі. У цьому сенсі найбільше не пощастило звичайним бібліотекам: з одного боку саме бібліотеки є однією з головних рушійних сил розвитку...
43973. Психологическое желание материнства 209 KB
  Материнство изучается в русле различных наук: истории, культурологи, медицины, физиологии, биологии поведения, социологии, психологии. Каждая наука изучает и определяет материнство, исходя из своих целей и задач. Интерес к комплексному изучению материнства появился сравнительно недавно.
43974. Проблеми функціонування промислового підприємства в умовах ринкових відносин 121.5 KB
  Собівартість продукції. Рентабельність продукції. Конкурентоспроможність продукції в ринкових умовах. В умовах ринкової економіки виживає лише той хто найбільше грамотно визначить вимоги ринку і організує виробництво продукції яка користується попитом і забезпечить високий рівень заробітної плати працівників підприємства.
43975. Зелена музика твоїх думок 30.51 MB
  Приступаючи до вибору моєї дипломної роботи я думала над тим яку роль будуть відігравати мої вироби в інтер’єрі, як вони будуть використовуватись. Мені захотілось, щоб ці керамічні твори мали як декоративне так і утилітарне призначення. Тому я вирішила обрати темою своєї дипломної роботи декоративні кашпо на тему: «Зелена музика твоїх думок».
43976. ДРАМАТУРГІЯ ЄВГЕНА ПЛУЖНИКА У КОНТЕКСТІ ЙОГО ДОБИ 345 KB
  У вирі такої провокативної і суперечливої дійсності з’явилися драматичні шедеври Євгена Павловича Плужника. Таємницю творчого феномену Євгена Плужника розгадувало чимало науковців. Жулинського дружини найближчого друга Євгена Плужника Григорія Косинки Т.