99367

Індивідуальні завдання до розрахунково-графічної роботи з вищої математики

Книга

Математика и математический анализ

Розрахунково-графічна робота (РГР) виконується студентом самостійно згідно номеру індивідуального варіанту, який визначається викладачем.Роботи виконані не за своїм варіантом, не зараховуються. РГР подається викладачеві на перевірку і захищається студентом на консультаціях у терміни, визначені учбовим планом.

Украинкский

2016-09-10

3.23 MB

0 чел.

МінІстерство освіти і науки УкраЇни

Запорізький національний технічний університет

Індивідуальні завдання до розрахунково-графічної роботи

з вищої математики

для студентів технічних спеціальностей

денної форми навчання

(3-й семестр)

2014

Індивідуальні завдання до розрахунково-графічної роботи з вищої математики для студентів технічних спеціальностей денної форми навчання (3-й семестр)/ Укл.: Засовенко А.В., Слюсарова Т.І., Шаніна З.М., Штефан Т.О. - Запоріжжя: ЗНТУ, 2014. - с.82

Укладачі:                А.В. Засовенко, к.т.н., доцент;

         Т.І. Слюсарова, асистент;

             З.М. Шаніна, к.т.н., доцент;

                                          Т.О. Штефан, ст. викладач.

Рецензенти:           І.М. Килимник, к.т.н., доцент;

                              Т.Г. Полякова, асистент.

Відповідальний

за випуск:                             Т.О. Штефан, ст. викладач.

Комп’ютерна версткаТ.О. Штефан, ст. викладач.

Затверджено

на засіданні кафедри

вищої математики

Протокол №2

від 03.09.2014 р.

ЗМІСТ

Правила виконання та оформлення розрахунково-графічної роботи.                                                           4

  1. Числові та функціональні ряди                              5
    1. Довідковий матеріал                              5
    2. Аудиторні завдання                                     13
    3. Індивідуальні завдання                                15

  1. Елементи функції комплексної змінної                                                    26
    1. Довідковий матеріал                                     26
    2. Аудиторні завдання                                      37
    3. Індивідуальні завдання                  40

  1. Елементи операційного числення                         59
    1. Довідковий матеріал                                    59
    2. Аудиторні завдання65
    3. Індивідуальні завдання                                 67

Література                                                                81

Правила виконання та оформлення розрахунково-графічної роботи.

Розрахунково-графічна робота (РГР) виконується студентом самостійно згідно номеру індивідуального варіанту, який визначається викладачем.Роботи виконані не за своїм варіантом, не зараховуються.

РГР подається викладачеві на перевірку і захищається студентом на консультаціях у терміни, визначені учбовим планом.

На титульній сторінці треба записати назву РГР, дисципліну, з якої виконується РГР, номер академічної групи, прізвище, ім’я та по батькові студента повністю, рік виконання роботи. Також необхідно зазначити посаду, науковий ступінь, прізвище, ім’я та по батькові викладача.

В роботі повинні бути розв’язані всі завдання вказані викладачем. Розв’язання задач необхідно подавати в порядку номерів завдань, зберігаючи їх послідовність. Умова задачі наводиться повністю.

  1. Числові та функціональні ряди

1.1Довідковий матеріал

Числові ряди

Вираз виду       ,(1.1)

де , називаєтьсячисловим рядом. Числа називаються членами ряду, -n член ряду (1.1).

Суми називаютьсячастинними сумами, а -n-оючастинною сумою ряду (1.1). Якщо послідовність частинних сум збіжна і , то ряд (1.1) називається збіжним,а числоS називається сумою ряду. Якщо  не існує (або нескінчена), то ряд (1.1) називаєтьсярозбіжним.

Необхідна умова збіжності ряду.Якщо ряд (1.1) збіжний, то

.

Достатні ознаки збіжності знакододатних рядів

-Ознака Д’Аламбера.Якщо для ряду  існує (скінчена або нескінчена) границя

,

то при  ряд збігається, а прирозбігається.При питання про збіжність рядупотребує додаткових досліджень.

-Ознака Коші (радикальна).Якщо для ряду існує (скінчена або нескінчена) границя

,

то приК1 ряд збігається, а приК1 розбігається. ПриК=1 питання про збіжність ряду залишається відкритим і потрібні додаткові дослідження.

-Інтегральна ознака Коші.Якщо функція неперервна і монотонно спадна на проміжку , то інтеграл  і ряд  одночасно збігаються або розбігаються (тут всі члени ряду. Твердження справедливе, якщо всі умови виконані на проміжку

-Ознакипорівняннярядів.Нехаймаємо два рядизневідємними членами: 1) та2) .

1.Якщодля будь-якого , тоіззбіжності ряду 2)випливаєзбіжність ряду 1), аізрозбіжності ряду 1)випливаєрозбіжність ряду 2).

2. Якщо існує , то ряди 1) і 2) одночасно збігаються, або розбігаються.

На практиці найчастіше досліджувані ряди порівнюють з

а) узагальненим гармонічним рядом

,

щозбігається при1 ірозбігається при1;

б) рядом, що представляє собою геометричну прогресію

де,

який збігається при  його сума і розбігається при .

Знакозмінні ряди

Ряд  називається знакозмінним, якщо серед його членів є як від’ємні, так і додатні.

Знакозмінний ряд  називається абсолютно збіжним, якщо ряд , складений з модулів його членів, є збіжним.

    (1.2)

Частинним випадком знакозмінного ряду є знакопочережний ряд, знаки членів якого строго чергуються:

(1.3)

де

Цей ряд досліджують на збіжність заознакою Лейбніца.

Теорема 1 (ознака Лейбніца). Якщо в знакопочережному ряді (1.3) члени такі, що

, де , але не обов’язково (1.4)

, (1.5)

то ряд (1.3) збігається.

Ряди вигляду (1.3), що задовольняють умовам (1.4) і (1.5), називаються рядами Лейбніца.

Теорема 2. Якщо збігається ряд (1.2), то збігається і знакозмінний ряд.

Враховуючи ці дві теореми, можна запропонувати наступну схему дослідження на збіжність знакопочережного ряду (1.3): потрібно скласти ряд (1.2) з модулів членів даного ряду і дослідити знакододатний ряд (1.2) на збіжність по одній з достатніх ознак для знакододатних рядів викладених вище.

При цьому може виникнути одна із наступних ситуацій:

  1. Якщо ряд (1.2) збігається, то по теоремі 1 ряд (1.3) збігається абсолютно.
  2. Якщо ряд (1.2) розбігається і ознака Лейбниця не виконується, то ряд (1.3) розбіжний.
  3. Якщо ряд (1.2) розбігається і ознака Лейбниця  виконується, то ряд (1.3) збігається умовно.

Зауваження. Зверніть увагу на те, що з розбіжності ряду (1.2) не випливає розбіжність ряду (1.3) ряд (1.3) при цьому може бути або збіжним умовно (див. п. 3 схеми дослідження), або розбіжним (див. п 2 тієї ж схеми).

Степеневі ряди.

Функціональним рядом називається ряд вигляду

,                    (1.6)

де члени ряду – функції визначені на деякій множині дійсної вісі. Цей ряд може бути як збіжним, так і розбіжним. Якщо ряд (1.6) є збіжним в точці, то ця точка є точкою збіжності функціонального ряду (1.6). Множина точок з області, в якій ряд (1.6) збігається, називається областю збіжності ряду (1.6).

Степеневим рядом називається функціональний рядвигляду

,(1.7)

де-дійснічисла (коефіцієнти ряду). Областю збіжності степеневого ряду (1.7) завжди є інтервал довжиною з центром в початку координат. В кожній внутрішній точці цього інтервалу ряд (1.7) збігається абсолютно, а в точках, що лежать за ним, ряд розбігається. На кінцях інтервалу ряд (1.7) може бути як збіжним, так і розбіжним.

Числоназиваєтьсярадіусомзбіжностістепеневого ряду.Радіусзбіжностістепеневого рядуможназнайти за формулами

або  (1.8)

приумові,щограницііснують.

Питання прозбіжністьчирозбіжністьданого рядунакінцяхінтервалузбіжності (тобто при та при) для кожного конкретного рядурозглядаєтьсяокремо.

Степеневим рядомназиваєтьсятакожфункціональний рядвигляду

(1.9)

При одержимо ряд (1.7),який єчастиннимвипадком ряду (1.9).Інтерваломзбіжності ряду (1.9) єінтервал (з центром вточці. РадіусзбіжностіR ряду (1.9)знаходять затими ж формулами (1.8),що і для ряду (1.7).

Степеневий ряд можна почленно диференціювати або інтегрувати всередині його інтервалу збіжності

Розкладанняфункцій в ряд Тейлора

Якщо функціявизначена вдеякомуоколі точки і всамійточцімаєпохіднівсіхпорядків, товонаможе бутипредставленаформулою Тейлора:

,

дезалишковий член формулиТейлора, де. Ряд називають рядомТейлора.

Для того щоб ряд Тейлора збігався до функції в інтервалі (необхідно і достатньо, щоб в цьомуінтервалі функція мала похідні всіх порядків і залишковий член формули Тейлора при  для всіх з цього інтервалу:

.

Якщо, то ряд Тейлораназиваютьрядом Маклорена ітоді

.

Справедливітакірозкладиелементарнихфункцій в ряд Маклорена:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Степеневі ряди застосовують для наближеного обчислення визначених інтегралів і наближеного інтегрування диференціальних рівнянь.

Ряди Фурє

1. Розклад в ряд Фурє 2 - періодичної функції.

Рядом Фурє функції, яка є періодичною з періодом 2, називається тригонометричний ряд

,

де називаються коефіцієнтами Фурє і визначаються за формулами:

2. Ряди Фурє для парних і непарних 2 - періодичних функцій

Якщо функціяпарна, тобто, то ряд Фурє має вигляд:

,

а його коефіцієнти:

Длянепарної функції, що задовольняє умові, ряд Фурє має вигляд:

,

а його коефіцієнти:

3. Розклад в ряд Фурє 2l- періодичних функцій.

Нехай функція визначена на відрізку, має період 2l ( - довільне додатне число ) і на цьому відрізку є кусково-монотонною. Рядом Фурдля цієї функції називається тригонометричний ряд

,

коефіцієнти якого визначаються за формулами:

,.

Якщо функціяпарна то ряд Фурє для неї має вигляд:

,

а його коефіцієнти:

.

Якщо функціянепарна,то ряд Фурє для неї має вигляд:

,

а його коефіцієнти:

, ,.

4. Розклад в ряд функцій, заданих на інтервалі.

Іноді маємо справу з функціями, заданими тільки на інтервалі . В цьому випадку можна продовжити по деякому закону функцію на інтервал , а потім продовжити її на всю числову пряму періодично з періодом 2l.Продовжити функцію з інтервалу  на інтервал  можна довільним способом. Найчастіше функцію продовжують парним чи непарним способом. Якщо функцію продовжують парним способом, то ряд Фурє містить тільки косинуси і вільний член. Якщо продовжити непарним способом, то ряд Фурє містить тільки синуси. Одержані ряди представляють на інтервалі  задану функцію.

1.2 Аудиторні завдання

1. Дослідити збіжність рядів за необхідною ознакою збіжності:

а)

б)

в)

Відповідь: а) розбіжний, б) може бути збіжним, в) може бути збіжним.

2. Дослідити збіжність числових рядів:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

є)

Відповідь: а) розбіжний, б) розбіжний, в) збіжний, г) збіжний , д) збіжний, е) розбіжний, є) розбіжний.

3. Дослідити збіжність знакозмінних рядів:

а)

б)

в)

Відповідь:а) збіжний абсолютно, б) збігається умовно, в) розбіжний.

4. Знайти області збіжності степеневих рядів:

а)

б)

в)

г)

Відповідь: а)(-;+); б); в); г).

  1. Розвинути функціюf(x)=e в рядТейлора за степенямиx.
  2. Обчислити інтеграл з точністю до 0,001

.

Відповідь: 0,747.

  1. Знайти зазначене число ненульових членів розвинення в ряд розв’язку диференціального рівняння при заданих початкових умовах:

(пять членів)

Відповідь: у = 2 +(х+1) +(х+1)2+(х+1)4+(х+1)5.

  1. Розвинути в ряд Фурє функцію на зазначеному інтервалі

а)

б)f(x)=x2 ;T=2l ;x;

в)  за синусами.

Відповідь:

;

;.

1.3 Індивідуальні завдання

1.3.1 Дослідити збіжність ряду за необхідною ознакою збіжності:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

1.3.2Дослідити збіжність числових рядів за допомогою достатніх ознак збіжності:

1.а)

б)

в)

г)

2.а)

б)

в)

г)

3.а)

б)

в)

г)

4.а)

б)

в)

г)

5.а)

б)

в)

г)

6.а)

б)

в)

г)

7.а)

б)

в)

г)

8.а)

б)

в)

г)

9.а)

б)

в)

г)

10.а)

б)

в)

г)

11.а)

б)

в)

г)

12.а)

б)

в)

г)

13.а)

б)

в)

г)

14.а)

б)

в)

г)

15.а)

б)

в)

г)

16а)

б)

в)

г)

17.а)

б)

в)

г)

18.а)

б)

в)

г)

19.а)

б)

в)

г)

20.а)

б)

в)

г)

21.а

б)

в)

г)

22.а)

б)

в)

г)

23.а)

б)

в)

г)

24.а)

б)

в)

г)

25.а)

б)

в)

г)

26.а)

б)

в)

г)

27.а)

б)

в)

г)

28.а)

б)

в)

г)

29.а)

б)

в)

г)

30.а)

б)

в)

г)

1.3.3 Дослідити збіжність знакозмінних рядів:

1.а)

б)

в)

2.а)

б)

в)

3.а)

б)

в)

4.а)

б)

в)

5.а)

б)

в)

6.а)

б)

в)

7.а)

б)

в)

8. а)

б)

в)

9. а)

б)

в)

10.а)

б)

в)

11. а)

б)

в)

12. а)

б)

в)

13.а)

б)

в)

14. а)

б)

в)

15. а)

б)

в)

16. а)

б)

в)

17. а)

б)

в)

18. а)

б)

в)

19. а)

б)

в)

20. а)

б)

в)

21. а)

б)

в)

22. а)

б)

в)

23.а)

б)

в)

24.а)

б)

в)

25.а)

б)

в)

26.а)

б)

в)

27.а)

б)

в)

28.а)

б)

в)

29.а)

б)

в)

30.а)

б)

в)

1.3.4 Знайти області збіжності степеневих рядів:

1.а)

б)

в)

2.а)

б)

в)

3.а)

б)

в)

4.а)

б)

в)

5.а)

б)

в)

6.а)

б)

в)

7.а)

б)

в)

8.а)

б)

в)

9.а)

б)

в)

10.а)

б)

в)

11.а)

б)

в)

12.а)

б)

в)

13.а)

б)

в)

14.а)

б)

в)

15.а)

б)

в).

16.а)

б)

в)

17.а)

б)

в)

18.а)

б)

в)

19.а)

б)

в)

20.а)

б)

в)

21.а)

б)

в)

22.а)

б)

в)

23.а)

б)

в)

24.а)

б)

в)

25.а)

б)

в)

26.а)

б)

в)

27.а)

б)

в)

28.а)

б)

в)

29.а)

б)

в)

30.а)

б)

в)

1.3.5 Обчислити інтеграл з точністю до 0,001:

1. .

2.

3.

4. .

5..

6. .

7. .

8 .

9. .

10. .

11..

12. .

13..

14..

15. .

16. .

17..

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

26. .

27. .

28 .

29. .

30.

1.3.6 Знайти зазначене число ненульових членів розвинення в ряд розв’язку диференціального рівняння при заданих початкових умовах:

1.

(чотири члени)

2.

(три члени)

3.

(чотири члени)

4.

(чотири члени)

5.

(три члени)

6.

(чотири члени)

7.

(чотири члени)

8.

(чотири члени)

9.

(три члени)

10.

(три члени )

11.

(чотири члени)

12.

(чотири члени)

13.

(три члени)

14.

(чотири члени)

15.

(чотири члени)

16.

(три члени)

17.

(три члени)

18.

(три члени)

19.

(чотири члени)

20.

(чотири члени)

21.

(три члени)

22.

(чотири члени)

23.

(три члени)

24.

(три члени)

25.

(чотири члени)

26.

(три члени)

27.

(три члени)

28.

(чотири члени)

29.

(чотири члени)

30.

(чотири члени)

1.3.7Розкласти в ряд Фурє

а) функцію= з періодом;

б) функцію задану на інтервалі ;

в) функцію задану на інтервалі  (в прикладах з непарними номерами по косинусам, в прикладах з парними номерами по синусам).

1.

2.

.

3.

.

4.

.

5.

.

6.

7.

.

8.

.

9.

10.

.

11.

.

12.

13.

.

14.

.

15.

.

16.

.

17.

.

18.

.

19.

.

20.

.

21.

.

22.

.

23.

.

24.

.

25.

.

26.

.

27.

.

28.

.

29.

.

30.

.

2.Елементитеоріїфункціїкомплексноїзмінної

2.1 Довідковий матеріал.

Комплексними числами називаються числа виду, де і – дійсні числа, – уявна одиниця,. Числа таназиваються, відповідно, дійсною та уявною частинами комплексного числа і позначаються:. -алгебраїчна форма комплексного числа. Комплексне число називаєтьсяспряженим до комплексного числа.

Для комплексних чисел та вводиться поняття рівності іарифметичні операції за наступними правилами:

а), якщо і;

б)

в)

г).

Для комплексних чисел не існують поняттябільше”, “менше.

Кожному числу ставлять у відповідність точку на декартовій площиніабо її радіус-вектор. В полярній системі координат з початком в точціта полярною віссю вздовж комплексному числу ставлять у відповідність точку . Число називають модулем комплексного числа і позначають, а - аргументом  комплексного числа і позначають

Модуль комплексного числа однозначно визначається формулою

.

Аргумент, як кут повороту, визначається з точністю до сталого доданку вигляду 2pk,k=0,±1,±2,...Єдине значення, що задовольняє умову- p < j £ p, називається головним значенням аргументу і позначаєтьсяargz. Отже,

Головне значення аргументу визначається за формулою:

Комплексне число може бути записано у наступних формах:

1) - тригонометрична форма;

2) - показникова форма; де- формула Ейлера.

Комплексне число підносять до натурального степеня за формулою Муавра: або,

.

Коріньп-го степеня (п – ціле) з комплексного числа має різних значень, які отримують за формулою:

де.

Лінії та множини точок на комплексній площині.Інколи рівняння визначає лінію на комплексній площині, а нерівність  або  визначає частину комплексної площини, точки якої задовольняють цій нерівності. Враховуючи, що,та підставляючи їх у рівняння, отримаємо рівняння шуканої лінії через і, а підставляючи в нерівність  або  - область, яка складається з множин точок.

Непорожня множина комплексної площини називається областю, якщо виконуються такі умови: а) вона відкрита, тобто разом з кожною своєю точкою містить деякий окіл цієї точки; б) вона зв’язна, тобто будь-які дві її точки можна сполучити деякою ламаною, всі точки якої належать цій множині.

Точка називається межовою точкою області, якщо в кожному її околі містяться точки, що належать і що не належать цій області. Множина всіх межових точок області називається межею цієї області. Множина точок, що складається з області D та її межі, називається замкненою областю. Якщо межу o6лacті утворює одна лінія, що не має самоперетину, то область називається однозв'язною.

Однозв’язна область– це область, в якій довільну замкнену криву, що їй належить, можна неперервною деформацією стягнути в точку,

залишаючись в цій області. Однозв’язна область не містить «дірок», а багато зв’язна область – це область з «дірками».

Функції комплексної змінної.Якщо кожному комплексному числу, що належить області, за певним правилом поставлено у відповідність одне або кілька комплексних чисел області, то кажуть, що на множині визначена функція

де. Точку або точки області, що відповідають заданій точці з області, називаютьобразом точки, а функціювідображенням.

До основних елементарних функцій комплексної змінної належать:

а)лінійна функція, де, – комплексні числа

б)степенева функція

в)показникова функція,

.

Функціяє періодичною з чисто уявним періодом 2i:

.

г)логарифмічна функція визначається як функція обернена до показникової. Ця функція є багатозначною.

Головним значенням називається значення, яке отримане прик=0 і позначається

.

д)загальна степенева функція

де – будь-яке комплексне число.

Ця функція багатозначна. Головне її значення:

е)загальна показникова функція: - будь-яке комплексне число. Головне значення цієї багатозначної функції

.

є)тригонометричні функції

.

Модулі функцій і можуть бути більше одиниці. Для тригонометричних функцій комплексного аргументу справедливі всі тригонометричні формули для дійсного аргументу.

ж)гіперболічні функції

.

Справедливі наступні співвідношення між тригонометричними та гіперболічними функціями:

з)обернені тригонометричні функції

;;

;.

Всі ці функції багатозначні.

Диференціювання функцій комплексної змінної. Аналітичні функції. Нехай функціявизначена в деякій області комплексної змінної і точки та належить області. Функція називається диференційованою в точці , якщо існує скінчена границя . Ця границя називається похідною функції в точці і позначається  або.

Якщо, то в кожній точці диференційованості функції виконуються співвідношення

які називаються умовамиКоші - Рімана.

Зворотне твердження теж вірно.

Функція називаєтьсяаналітичною в даній точці z D, якщо вона диференційована як в самій точці, так і в деякому її околі.

Функція називається аналітичною в області, якщо вона диференційована в кожній точці цієї області.

Для того, щоб функція була аналітичною в області, необхідно і достатньо існування в цій області неперервних частинних похідних функцій, що задовольняють умовам Коші - Рімана.

Для будь-якої аналітичної функціїмаємо

Як і в дійсному аналізі, диференційована в деякій точці функція комплексної змінної є неперервною в цій точці. З означення похідної і властивостей границь випливає, що правила диференціювання і таблиця похідних функцій комплексної змінної не відрізняються від аналогічних співвідношень для функцій дійсної змінної.

Якщо функція аналітична в деякій області, то дійсна і уявна частини цієї функції в області є розв’язком рівняння Лапласа:

та

Розв’язки рівняння Лапласа називаються гармонічними функціями. Дві гармонічні функції та, що задовольняють умовам Коші - Рімана, називаються спряженими.

Інтегрування функції комплексної змінної. Теорема та формула Коші.Нехай неперервна функція задана в області, а – гладка або кусково-гладка лінія, що належить області D. Тоді

   (2.1)

Тому для інтеграла від комплексної функції справедливі відповідні властивості криволінійних інтегралів. Зокрема, при зміні напряму обходу кривої цей інтеграл тільки змінює знак:

Якщо функція аналітична в однозв'язній області, що містить точки і, то має місце формулаНьютона – Лейбниця:

,(2.2)

де - первісна функція для: .

При інтегруванні аналітичної функції справедлива таблиця основних інтегралів та методи інтегрування, як для функції дійсного аргументу.

Теорема Коші.Якщо функція аналітична в однозв’язній області, а – будь-яка або кусково-гладка замкнена лінія, що належить області, то

(2.3)

Теорема Коші поширюється на багато зв’язну область. Іншими словами, для складеного контуру справедливо: інтеграл функції

по зовнішньому контуру дорівнює сумі інтегралів по всіх внутрішніх контурах при умові,що обіг усіх контурів здійснюється проти годинникової стрілки.

Якщо функція аналітична в області, обмеженої кусково-гладким замкненим контуром, і на самому контурі, то має місце інтегральна формула Коші

,  (2.4)

де при обігу контуру область залишається зліва.

Якщо функція аналітична в області і на її межі, то для будь-якого натурального має місце формула

,  (2.5)

де .

Розвинення функцій комплексної змінної в степеневий ряд.

Степеневий ряд  має областю збіжності круг з центром у початку координат. Радіус збіжності цього ряду  визначається однією з формул

 або  ,

якщо існують відповідні границі.

Функціяf(z), що аналітична в крузі  може бути єдиним чином розвинена в степеневий ряд Тейлора:  де коєфіцієнти обчислюються за формулами :

– коло, що належить околу точки, в якому функція аналітична.

Мають місце формули розвинення в ряд Тейлора деяких функцій:

;

;

;

;

;

.

Якщо функція однозначна і аналітична в кільці  ( не виключаючи випадків, коли ), то вона може бути єдиним чином розвинена в ряд Лорана  в цьому кільці, а саме

де коефіцієнти знаходяться за формулами

де – довільний замкнений контур в середині круга аналітичності, що містить точку

Ряд  називається правильною частиною ряду Лорана, а ряд  – головною частиною ряду Лорана.

Класифікація нулів та ізольованих особливих точок функції комплексної змінної.Нехай функція аналітична в точці. Точка називаєтьсянулем функції порядку, якщо.

Точка називається ізольованою особливою точкою функції, якщо дана функція аналітична в деякому околі цієї точки, за винятком самої точки. Ізольовані особливі точки бувають: усувними, полюсами і істотно особливими. Класифікація ізольованих особливих точок здійснюється за характером розвинення функції в ряд Лорана.

Точка називаєтьсяусувною ізольованою особливою точкою, якщо у розвиненні функції в ряд Лорана в околі цієї точки відсутня головна частина або  де.

Точка називаєтьсяполюсом, якщо у розвиненні функції в ряд Лорана в околі цієї точки головна частина має скінчену кількість членів або . Порядок полюса відповідає кількості членів головної частини ряду Лорана.

Точка називаєтьсяістотно особливою, якщо у розвиненні функції в ряд Лорана в околі цієї точки головна частина має нескінчену кількість членів або  не існує.

Лишки та їх застосування.Нехай – ізольована особлива точка функції, а – довільний контур, що охоплює цю єдину особливу точку і повністю лежить в області аналітичності даної функції (всередині контуру, окрім точки , і на самому контурі функція аналітична). Лишком функції в ізольованій особливій точці називається комплексне число

,

де обхід контуру здійснюється проти годинникової стрілки. Інтегруючи почленно ряд Лорана, можна одержати:

а) – у скінченній точці . Тобто лишок функціїв скінченній ізольованій особливій точці  дорівнює коефіцієнту при мінус першій степені в розвиненні даної функції в ряд Лорана в околі цієї точки.

б)  – у нескінченно віддаленій точці , оскільки додатному обходу для цієї точки відповідає рух за годинниковою стрілкою.

Мають місце формули для обчислення лишків:

а) – полюс першого порядку функції:

;

б) – полюсm-го порядку функції:

;

в) – усувна особлива точка:

;

г) – істотно особлива точка:

.

Лишки застосовуються для обчислення контурних інтегралів.

Якщо функція аналітична в області та її межі, за винятком скінченої кількості ізольованих особливих точок, які належать цій області, то

.

Якщо функція аналітична в комплексній площині за винятком скінченного числаізольованих особливих точок (), то сума всіх лишків,включаючи лишок у нескінченно віддаленій точці,дорівнює нулю

Звідси  де - особливі точки функції.

Застосування лишків до обчислення визначених інтегралів.Якщораціональна функція, тобто, де та - многочлени відповідних степенів, причому , а неперервна на всій дійсній вісі (), то

,

десума лишків функції у всіх полюсах , розташованих у верхній півплощині.

2.2Аудиторні завдання

1. Задані комплексні числа та. Знайти а) б) в)  г) д) є) всі значення.

Відповідь: а); б); в); г); д);

є)

2. Записати задані числа=2+2і, ,,  у тригонометричній та показниковій формах.

3. Які лінії на комплексній площині визначаються рівняннями:

a) , б) , в) ?

Відповідь:a) коло:, б) гіпербола:, в) парабола:.

4. Обчислити (для багатозначних функцій знайти головні значення):a), б).

Відповідь:.

5. Знайти область аналітичності функції.

Відповідь: вся комплексна площина.

6. Знайти аналітичну функцію за її відомою дійсною або уявною частиною:

a); б).

Відповідь:.

7. Обчислити інтеграли: , де нижнє півколо, за годинниковою стрілкою, б).

Відповідь: а); б).

8. Обчислити інтеграли за допомогою інтегральної формули Коші: а),  б).

Відповідь: а); б).

9. Знайти радіус збіжності степеневого ряду .

Відповідь:.

10. Знайти розвинення функції в ряд Лорана у вказаній області:

Відповідь:.

11. Класифікувати ізольовані особливі точки функції (окрім ), та знайти в цих точках лишки функції:

а), б).

Відповідь: а)  - усувні особливі точки,, - полюси першого порядку,; б) - полюс другого порядку.

12. Обчислити інтеграли за допомогою лишків:

а);б)  в).

Відповідь: а) , б), в).

2.3 Індивідуальні завдання

2.3.1 Задані комплексні числаz1 іz2. Знайти а) б) в)  г) д) є) всі значення.

1.

2.

3.

4

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27

28.

 29.

30.

2.3.2 Записати задані числаz1 іz2 у тригонометричній та показникові формах.

1.=2+і, .                  2., .

3.,.                4., .

5., .                   6., .

7., .                             8., .

9., .                     10., .

11., .                      12.,.

13., .             14., .

15., .                 16.,

17., .                     18., .

19., .                  20., .

21., .             22., .

23., .                  24., .

25., .                26., .

27., .                28.,.

29., .         30.,.

2.3.3Обчислити (для багатозначних функцій знайти їх головні значення).

1.                   2.

3.                  4.

5.                            6.

7.                    8.

9.              10.

11.                      12.

13.                     14.

15.16.

17.18.

19.20.

21.                         22.

23.              24.

25.                       26.

27.          28.

29.      30.

2.3.4Які лінії на комплексній площині визначаються наступними відповідними рівняннями та нерівностями.

1.б)

2.б)

3.б).

4.б)

5.б)

6.б)

7.б)

8.б)

9.б)

10.б)

11.б)

12.б)

13.б)

14.б)

15.б)

16.б)

17.б)

18.б)

19.б)

20.б)

21.б)

22.б)

23.б)

24.б)

25.б)

26.б)

27.б)

28.б)

29.б)

30.б)

2.3.5 З’ясувати, чи є задана функція аналітичною.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

14.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

2.3.6Поновити аналітичну функцію по відомій уявній або дійсній частині.

1.a)

б).

2.a),

б).

3.a),

б).

4.a) ,

б).

5.а),

б).

6.a),

б).

7.a),

б).

8.a),

б).

9.a),

б) .

10.a),

б).

11.a),

б).

12. a),

б).

13.a),

б).

14.a),

б).

15.a),

б).

16. a),

б).

17.a),

б).

18. а),

б).

19.a),

б).

20.a),

б).

21.a),

б).

22.a),

б).

23.a),

б).

24.a),

б).

25.a),

б).

26.a),

б).

27.a),

б).

28.а),

б).

29.а),

б).

30.a),

б).

2.3.7Обчислити інтеграли.

1., де відрізок від до; .

2. , де верхнєпівколо,обхідзагодинниковоюстрілкою;.

3., деверхнєпівколо, обхідпротигодинниковоїстрілки, .

4. , девідрізок,щоз’єднує та, .

5. , девідрізок віддо, .

6. , девідрізок, що з’єднує та, .

7. , де;.

8. , де ;.

9. , де , .

10. , де відрізок, що з’єднує та; .

11. , де ; .

12. , де відрізок, що з’єднує та; .

13. , де, .

14. , де верхнє півколо, обхід за годинниковою стрілкою, .

15. , де ,  .

16. , де , .

17. , де , .

18. , де верхнє півколо, обхід проти годинникової стрілки, .

19. , де ,  .

20. , де , .

21. , де праве півколо, обхід проти годинникової стрілки, .

22. , де , .

23. , де відрізок від до, .

24. , де ,  .

25. , де , .

26. , де праве півколо, обхід проти годинникової стрілки, .

27. , де , .

28. , де відрізок, що з’єднує та, .

29. , де , .

30. , де , .

2.3.8Обчислити інтеграли за допомогою інтегральної формули Коші

1.

.

2.

3.

.

4.

5.

.

6.

7.

.

8.

9.

10.

11.

.

12.

.

13.

.

14.

в).

15.

.

16.

17.

18.

19.

20.

.

21.

.

22.

23.

.

24.

25.

26.

27.

28.

.

29.

30.

2.3.9 Знайти радіус збіжності степеневого ряду.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

2.3.10Розвинути в ряд Лорана функцію по степенях в заданому кільці.

1.

2..

3..

4..

5..

6..

7..

8..

9.

10.

11.

12.

13..

14.

15..

16..

17.

18..

19..

20..

21. .

22..

23..

24..

25..

26..

27..

28..

29..

30..

2.3.11Зясувати характер особливих точок функції і знайти лишки в цих точках.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

2.3.12Обчислити інтеграли за допомогою лишків.

1.а)

б)

в)

2.а)

б)

в)

3.а)

б)

в)

4.а)

б)

в)

5.а)

б)

в)

6.а)

б)

в)

7.а)

б)

в).

8.а)

б)

в)

9.а)

б)

в)

10.а)

б)

в)

11.а)

б)

в)

12.а)

б)

в)

13.а)

б)

в)

14.а)

б)

в)

15.а)

б)

в)

16.а)

б)

в)

17.а)

б)

в)

18.а)

б)

в)

19.а)

б)

в)

20.а)

б)

в)

21.а)

б)

в)

22.а)

б)

в)

23.а)

б)

в)

24.а)

б)

в)

25.а)

б)

в)

26.а)

б)

в)

27.а)

б)

в)

28.а)

б)

в)

29.а)

б)

в)

30.а)

б)

в)

3.Елементиопераційногочислення

3.1Довідковий матеріал.

Оригіналом називається комплексна функція дійсної змінної, що задовольняє умовам:

1) – однозначна, кусково-неперервна функція разом зі своїми похідними-го порядку в інтервалі ;

2) при ;

3) існують такі числа і , що для всіх справедливо: .

Число, для якого умова 3) виконана при будь-якому і не виконується при ( – точна нижня межа чисел) називається показником зростання функції. Функції, які при  є обмеженими, або задовольняють умові 3) називаються функціями експоненціального типу.

Зображенням функції-оригіналу називається функція комплексної змінної, яка визначається інтегралом (перетворення Лапласа) Лапласа

Цей інтеграл залежить від параметра. Операцію переходу від оригінала до зображення називають перетворенням Лапласа.Якщо функція – оригінал із показником зростання, то її зображення визначено у комплексній півплощині. Співвідношення між оригіналом і зображенням символічно записують: ,  і т.п. Оригінал зображується малою літерою, а зображення – відповідною великою.

Найпростішою функцією-оригіналом є одинична функція Хевісайда:

.

Зауважимо, якщо для функції, що задовольняє умовам 1) і 3), не виконується умова 2), то для функції

умова 2) виконується і ця функція є оригіналом. Надалі запис слід розуміти як .

Властивості перетворення Лапласа.

Припускаємо, що функції,  є оригіналами.

  1. Лінійність. Якщо, то для будь-яких комплексних чисел  функціятакож є оригіналом і справедлива рівність:

  1. Теорема подібності. Якщо, ,, то

і.

  1. Теорема зсуву. Якщо і– будь-яке комплексне число, то

,

тобто множенню оригіналу на відповідає зсув зображення на.

  1. Теорема запізнювання.Якщо, ,, то

,

тобто запізнюванню оригіналу на відповідає множення зображення на.

  1. Диференціювання оригінала.Якщо функції  є функції-оригінали і, то

,

,

…………………………………..

Зокрема, якщо , то

.

  1. Диференціювання зображення. Якщо, то

Останню формулу представимо у вигляді:

  1. Інтегрування оригінала.Якщо

.

  1. Інтегрування зображення. Якщо і інтеграл  збіжний, то

.

  1. Теорема множення (теорема про згортку).Якщо і, то. Вираз

називається згорткою функцій і.

Якщо функція в околі точки  може бути представлена рядом Лорана , то функція  є оригіналом, що має зображенням функцію.

Якщо – правильний раціональний дріб, знаменник якого має лише прості корні ( нулі ), то функція є оригіналом, що має зображенням.

Знаходження зображення за заданим оригіналом

Цей процес виконується з використанням властивостей перетворення Лапласа та таблиці основних зображень.

Знаходження оригіналу за заданим зображенням

Для знаходження оригіналапо відомому зображенню найчастіше застосовують наступні способи:

1) якщо є правильний раціональний дріб, то його розкладають на суму простих дробів і знаходять оригінали для кожного простого дробу, використовуючи властивості перетворення Лапласа, наведені вище;

2) використовуютьформулу розкладання, згідно якої при деяких

достатньо загальних умовах оригіналом для служить функція , де сума лишків береться по усім особливим точкам функції.

Застосування операційного числення

1) Розвязання задачі Коші для лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами

Постановка задачі Коші така: знайти розв’язок лінійного диференціального рівняння–го порядку зі сталими коефіцієнтами:

,

який задовольняє початкові умови

Операційний метод розв’язування такої задачі  полягає в тому, що шукану функцію і праву частину диференціального рівняння вважаємо оригіналами і переходимо від рівняння, що зв’язує оригінали до рівняння, що зв’язує зображення. Тут – задана функція-оригінал, тазадані числа. Застосуємо теорему диференціювання оригіналу і врахуємо властивість лінійності до обох частин заданого рівняння, поклавши,. Отримаємо лінійне алгебраїчне рівняння, яке розв’язуємо відносно. Для знайденого зображення знаходимо оригінал. Це і є шуканий розв’язок.

2) Розвязання задачі Коші для систем лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами

Розв’язання задачі Коші для системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами виконується за тією ж схемою, що і для лінійного диференціального рівняння. Застосування перетворень Лапласа до рівнянь системи, зводить її до системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно зображень шуканих розв’язків. За знайденим зображенням знаходимо оригінали, які є розв’язками системи.

Основні оригінали і їх зображення.

Оригінал

Зображення

Оригінал

Зображення

1.

    1

12

2.

13

3.

14

4.

15

5.

16

6.

17

7.

18

8.

19

9.

20

10

21

11

22

23

3.2Аудиторні завдання

  1. Визначити, які з функцій є функціями-оригіналами: а); б); в).

Відповідь:а)так, б) ні, в) так.

2. Користуючись означенням, знайти зображення за Лапласом наведених функцій: а); б); в).

Відповідь: а); б);в).

3. Знайти зображення за Лапласом наведених функцій, користуючись таблицею оригіналів та зображень

а); б); в).

Відповідь: а); б);

в).

4. Знайти зображення наведених функцій, користуючись теоремами про зображення та оригінали:

а); б); в); г); д).

Відповідь:.

5. Знайти зображення за Лапласом кусково-неперервної функції, заданої графічно:

Відповідь:.

6. Знайти оригінали за заданими зображеннями:

;;.

Відповідь: а);б);

в).

7. Користуючись методом операційного числення, знайти розв'язок диференціального рівняння, який задовольняє вказаним початковим умовам:

а);

б) .

Відповідь: а);б).

8. Користуючись методом операційного числення, знайти розв'язок систем диференціальних рівнянь (вважається, що ):

а)               б)

Відповідь: а)

б)

3.3Індивідуальні завдання

3.3.1 Визначити, які з функцій є функціями-оригіналами.

1. а); б).

2. а); б).

3. а); б).

4. а); б).

5. а); б).

6. а); б).

7. а); б).

8. а); б).

9. а); б).

10. а); б).

11. а); б).

12. а); б).

13. а); б).

14. а); б).

15. а); б).

16. а); б).

17. а); б).

18. а); б).

19. а); б).

20. а); б).

21. а); б).

22. а); б).

23. а); б).

24. а); б).

25. а); б).

26. а); б).

27. а); б).

28. а); б).

29. а); б).

30. а); б).

3.3.2 Користуючись означенням, знайти зображення за Лапласом наведених функцій.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

3.3.3 Знайти зображення за Лапласом наведених функцій, користуючись таблицею оригіналів та зображень.

1..

2..

3..

4..

5..

6..

7..

8.

9..

10..

11..

12..

13..

14.

15..

16..

17.

18..

19..

20..

21..

22..

23.

24..

25..

26.

27..

28..

29..

30..

3.3.4Знайти зображення наведених функцій, користуючись теоремами про зображення та оригінали:

1.a),б) ,в),г),д) .

2.a),б) ,в),г),д) .

3.a),  б) ,в),г) ,д) .

4.a),б) ,в),г),д) .

5.a),б) ,в),г),д) .

6.a),б) ,в),г),д) .

7.a),б) ,в),г),д) .

8.a),б),в),г),д).

9.a),б),в),г),д).

10.a),б),в),г),д).

11.a),б),в),г),д).

12.a),б),в),г),д).

13.a),б),в),г),д).

14.a) ,б),в),г),д).

15.a),б), в),г),д).

16.a),б),в),г),д).

17.a),б),в),г),д).

18.a),б) ,в),г),д).

19.a),б),в),г),д).

20.a),б),в),г),д).

21.a),б),в),г),д).

22.a),б),в),г),д).

23.a),б),в),г),д).

24.a) ,б),в),г),д).

25.a),б),в),г),д).

26.a),б),в), г), д).

27.a),б),в),г),д).

28.a),б),в),г),д)  29.a),б),в),г),д).

30.a),б),в),г),д).

3.3.5Знайти зображення за Лапласом для функцій, заданих графічно:

3.3.6 Знайти оригінал за заданим зображенням:

1.а);

б).

2. а);

б).

3. а);

б).

4. а);

б).

5. а);

б).

6. а);

б).

7. а);

б).

8. а);

б).

9. а);

б).

10. а);

б).

11. а);

б).

12. а);

б).

13.а);

б).

14. а);

б).

15. а);

б).

16. а);

б).

17. а);

б).

18. а);

б).

19. а);

б).

20. а);

б).

21. а);

б).

22. а);

б).

23. а);

б).

24. а);

б).

25. а);

б).

26. а);

б).

27. а);

б).

28. а);

б).

29. а);

б).

30. а);

б).

3.3.7Користуючись методом операційного числення, знайти розв'язок диференціального рівняння, який задовольняє вказаним початковим умовам.

1.

,.

16.

,

.

2.

,

.

17.

,

.

3.

,

.

18.

,

.

4.

,

.

19.

,

.

5.

,

.

20.

,

.

6.

,

.

21.

,

.

7.

,

.

22.

,

.

8.

,

.

23.

,

.

9.

,

.

24.

,

.

10.

,

.

25.

,

.

11.

,

.

26.

.

12.

,

.

27.

,

.

13.

,

.

28.

,

.

14.

,

.

29.

,

.

15.

,

.

30.

,

.

3.3.8 Користуючись методом операційного числення, знайти розв'язок системи диференціальних рівнянь (вважається, що ).

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

ЛІТЕРАТУРА

  1. Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление: Учеб. для вузов. 2-е изд. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. -228 с.
  2. Высшая математика. Специальные главы.: Пособие для студентов вузов.// Под ред. П.И. Чинаева. – К.: Вища школа, 1981.- 368 с.
  3. Краснов М.Л.,Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория  устойчивости. Учебное пособие. - М.: «Наука», 1981. -302 с.
  4. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Задачи и примеры с подробными решениями. 3-е изд. - Едиториал УРСС, 2003. – 208 с.
  5. Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного (с элементами операционного исчисления).— М.: Лань, 2002.-292 с.
  6. Морозова В.Д. Теория функций комплексного переменного: Учеб. для вузов // Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. - 3-е изд., исправл. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. - 520 с.
  7. Овчинников П.П., Михайленко В.М. Вища  математика: Підручник. У 2 ч. Ч. 2: Диференціальні рівняння. Операційне числення. Ряди та їх застосування. Стійкість за Ляпуновим. Рівняння математичної фізики. Оптимізація і керування. Теорія ймовірностей. Числові методи. // За ред. П.П. Овчинникова. - К.: Техніка, 2004. – 792 с.
  8. Сборникиндивидуальных заданий по высшей математике в 3-х частях. Часть 3. // Под ред. А.П. Рябушко. – Минск: «Вышэйшая школа», 1991. – 288 с.
  9. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы. // Ред. А.В. Ефимов, Б.П. Демидович. - М.: «Наука», 1984. - 608 с.
  10. Шведенко С.В. Начала анализа функций комплексной переменной: М.: МИФИ. 2008. - 356 с.
  11. Beerends R.J., et al. Fourier and Laplace Transforms / Cambridge University Press, 2003. — 458 p.

12. Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики. Под ред. Г.И. Кручковича.  Учебное пособие  для  втузов. - М.:  Высш.  школа,  1970. - 512 с.

13.Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. - М.: Высш. школа, 1964. – 480 с


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18723. Исторические этапы взаимодействия молодежи и общества 24.12 KB
  Исторические этапы взаимодействия молодежи и общества. Социальноисторические факторы влияющие на взаимоотношения молодежи и общества. Отношение к молодежи в традиционном индустриальном и постиндустриальном обществе объекты и субъекты взаимодействия сферы взаимо...
18724. Молодежь как социально-демографическая группа 27.13 KB
  Молодежь как социальнодемографическая группа. Индекс развития человеческого потенциала индекс развития молодёжи. Возрастные границы. Документы регламентирующие возрастные границы. Специфика социального статуса и социальноролевое поведение. Ценности и ценностные ...
18725. Общественное объединение как составляющая часть общественного движения на различных уровнях 22.74 KB
  Общественное объединение как составляющая часть общественного движения на различных уровнях. Теоретические основы понятия общественное движение. Территориальная сфера деятельности общественных объединений как составляющая часть молодежного детского движения ...
18726. Общественные объединения как субъект молодежной политики 24.06 KB
  Общественные объединения как субъект молодежной политики. Субъекты реализации молодёжной политики. Место общественных объединений в реализации молодёжной политики Под общественным объединением понимается добровольное самоуправляемое некоммерческое формирова
18727. Этапы становления государственной молодежной политики в РФ 41.19 KB
  Этапы становления государственной молодежной политики в РФ. Важнейшее значение для развития любого государства является решение задач обеспечения социального воспроизводства. При этом именно российское государство активно и широко используя потенциал общественнос...
18728. Стратегия ГМП в РФ 33.97 KB
  Стратегия ГМП в РФ. Стратегия государственной молодёжной политики далее Стратегия разработана на период до 2016 года и определяет совокупность приоритетных направлений ориентированных на молодёжь включающих задачи связанные с участием молодёжи в реализации приорит
18729. Социальное воспитание молодежи 26.71 KB
  Социальное воспитание молодежи. Определение сущность социального воспитания. Воспитание сегодня понимают как: передачу социального опыта и мировой культуры; воспитательное воздействие на человека группу людей или коллектив прямое косвенное опосредованное; орган
18730. Социализация личности. Человек как объект и субъект социализации 28.51 KB
  Социализация личности. Человек как объект и субъект социализации. Социализация – это процесс усвоения индивидом норм и правил поведения принятых в обществе. Каждый человек особенно в детстве и юности является объектом социализации. Человек как субъект социализаци
18731. Человек как субъект и объект воспитания 25.98 KB
  Человек как субъект и объект воспитания. Потребность в воспитании. Воспитание – это целенаправленное воздействие на человека для подготовки его к выполнению всего многообразия социальных функций труда общения познания и т.д.. Оно входит в процесс социализации и явл...