99369

Типичные численные методы решения технических задач

Лекция

Математика и математический анализ

Разработаны специальные методы таких решений среди которых особого внимания заслуживают метод конечных разностей метод граничных элементов и особенно метод конечных элементов. Идея метода граничных элементов МГЭ состоит в том что определение искомых функций внутри некоторой области R сводится к определению этих функций на границе этой области после чего получают решения в любой точке изучаемой области R по аналитическим формулам не прибегая к дискретизации этой области. В методе граничных элементов большое...

Русский

2016-09-10

245.46 KB

1 чел.

10

Лекция № 15

7.3. ТИПИЧНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

7.3.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Методология численных решений дифференциальных уравнений уже давно стала одной из важных областей прикладной математики. Разработаны специальные методы таких решений, среди которых особого внимания заслуживают метод конечных разностей, метод граничных элементов и, особенно, метод конечных элементов. Эти методы нашли исключительно широкое применение в различных областях механики: статике сооружений, механике сплошных сред (теории упругости, теории пластичности и др.), механике грунтов и т. д. В этих методах вместо решения (интегрирования) дифференциальных уравнений составляются (по определенным правилам) и решаются соответствующие этим дифференциальным уравнениям системы алгебраических уравнений. Количество неизвестных (и соответственно алгебраических уравнений) определяется числом рассматриваемых узлов принятой расчетной схемы и чаще всего исчисляется сотнями или даже тысячами, поэтому расчеты выполняются на компьютерах с помощью специальных программ.

Упомянутые методы подробно описаны в специальной литературе, далее кратко приводятся лишь их основные идеи.

7.3.2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

Метод конечных разностей (МКР) исторически предшествовал развитию других численных методов решения дифференциальных уравнений в частных производных. Идея метода в том, что частные производные в дифференциальных уравнениях заменяются отношениями разностей переменных (конечными разностями), в результате чего получаются разностные уравнения (уравнения в конечных разностях). Рассматриваемый объект разделяется на дискретные интервалы, т. е. фиксируется некоторая система узловых точек, соответствующих границам таких интервалов (местам контактов смежных участков).

В случае одномерной задачи, т. е. когда изучается функция и = f(x), исследуемая область аргумента х разделяется на конечное число участков Ах (рис. 7.4а). При числе участков п число узлов составит п + 1. При решении двумерных задач и = f(x, у) в пределах исследуемой области строится сетка с шагами по соответствующим координатам Дд;, Лу, причем узлами считаются точки пересечения линий сетки (рис. 7.46). При числе участков Дд: и Ду соответственно пит число узлов составляет (п + 1)(т + 1).

При многомерной задаче используется пространственная (многомерная сетка).

Для каждого io узла дифференциальное уравнение преобразуется в конечно-разностный аналог, т. е. дифференциальные операторы заменяются разностями, охватывающими обычно два интервала — вправо и влево от узла: например, по оси х это будут интервалы х + ∆х и х - ∆х. При одномерной задаче первая производная заменяется конечно-разностными соотношениями:

Если задача является двумерной, т. е. изучается функция и = f(x, у), то на каждом (i, j)-м участке производится замена:

На основе несложных операций, связанных с использованием теоремы Тейлора, получены формулы для перехода от дифференциальных операторов к конечно-разностным применительно к первой, второй, третьей и т. д. производным.

Таким образом, производные в исходных дифференциальных выражениях заменяются конечными разностями, в результате чего получаются разностные уравнения, в которых неизвестными являются значения искомых функций в некотором числе узлов (обычно это большинство узлов). Для каждого узла записывается столько разностных уравнений, сколько значений искомых функций должно быть определено в этом узле. Общее же число таких уравнений будет равно произведению числа искомых функций на число узлов. Граничные условия также записываются в разностной форме. В сочетании с ними полученные разностные уравнения образуют систему алгебраических уравнений, решение которой и дает значения искомых функций во всех узлах.

7.3.3. МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Идея метода граничных элементов (МГЭ) состоит в том, что определение искомых функций внутри некоторой области R сводится к определению этих функций на границе этой области, после чего получают решения в любой точке изучаемой области R по аналитическим формулам, не прибегая к дискретизации этой области. Наиболее типичная область применения метода — определение напряженно-деформированного состояния упругих (линейно деформируемых), упруго-пластичных сред, стержневых систем и прочие задачи механики подобного типа.

В методе граничных элементов большое значение имеют так называемые сингулярные решения, т. е. аналитические решения, отвечающие точному возмущению в бесконечной однородной среде. Эти решения не проявляют каких-либо аномалий в области Rt за исключением самой точки возмущения, где проявляется математическая аномалия — сингулярность. Примером сингулярности может служить значение напряжений в точке действия силы на поверхности упругого полупространства в известном решении Буссинеска. Напряжения (и соответственно деформации) в этой точке оказываются по Буссинеску бесконечными.

Для пояснения сущности МГЭ целесообразно рассмотреть более конкретную задачу, приведенную в справочнике Г. И. Швецова и др.*

Пусть необходимо получить значения искомой функции в пределах области R, ограниченной контуром С (см. рис. 7.5). Вместо непосредственного решения задачи для ограниченной области R рассматривается задача о бесконечной плоскости, на которой эта область располагается. На рис. 7.56 пунктирная линия С отмечает след контура С на этой плоскости.

Предположим, что имеется сингулярное решение для точечного возмущения (например, сосредоточенной силы) в некоторой точке бесконечной плоскости. Разделим С’ на ряд элементов (граничных элементов), как это показано на рис. 7.5, и примем допущение, что нас удовлетворит приближенное решение, которое будет отвечать условиям на С только в средних точках элементов на С’. Разместим сингулярности на С’ — по одной в центре каждого из N граничных элементов. Тогда при условии линейности исходных дифференциальных уравнений для сингулярного решения воздействие всех сингулярностей на произвольный граничный элемент можно рассматривать как сумму воздействий отдельных сингулярностей неизвестной интенсивности. Однако, хотя значения интенсивностей отдельных сингулярностей неизвестны, из граничных условий на С известно совместное их действие. В связи с этим можно записать систему N линейных алгебраических уравнений относительно N неизвестных значений интенсивности. Решение такой системы и будет главным этапом численного решения исходной задачи, т. е. оно будет отражать значения искомой функции в каждом граничном элементе на контуре С. После получения таких значений для граничных элементов можно построить решение в любой точке области R по аналитическим формулам, не прибегая к дискретизации этой области, т. е. не разделяя ее на мелкие дискретные элементы.

Таким образом, в МГЭ на простые элементы разделяется не вся изучаемая область, а лишь ее границы.

Для решения сложных задач обычно используются более гибкие варианты МГЭ, приспособленные для широкого круга условий. Эти варианты достаточно подробно описаны в специальной литературе. Они содержат довольно громоздкие математические выкладки, и от рассмотрения их при первом знакомстве с МГЭ можно воздержаться.

7.3.4. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Метод конечных элементов (МКЭ) является в настоящее время одним из наиболее популярных численных методов решения прикладных задач. Он получил особенно широкое применение в механике (строительной механике, механике грунтов и др.), математической физике (в задачах теплопроводности, гидродинамики, аэродинамики, фильтрации и других задач физики сплошных сред). Подавляющее большинство современных программных комплексов, применяемых при решении задач в упомянутых выше областях, основываются на использовании МКЭ. За последние два-три десятилетия в сфере механики МКЭ практически вытеснил рассмотренные выше методы МКР и МГЭ. Подробное изложение этого метода приводится в современных учебниках по строительной механике, механике грунтов, теории упругости, теории пластичности и др. Далее кратко излагаются основные принципы МКЭ в том виде, в каком они обычно используются в упомянутых областях механики.

Идея метода конечных элементов состоит в мысленном разделении изучаемой области на простейшие (конечные) элементы, соединяющиеся в узлах, и изучении поведения полученной (дискретизированной) системы при воздействии на нее внешних факторов. Как и в рассмотренных выше методах (МКР, МГЭ), задача сводится к решению системы алгебраических уравнений, число которых определяется числом упомянутых узлов и числом величин, определяемых в этих узлах. Если искомая величина является скалярной (температура, гидравлический напор и др.), количество уравнений будет равно числу узлов N. Если искомая величина — вектор (перемещения, силы и др.), число уравнений будет равно 2N или 3iV в зависимости от числа составляющих такого вектора (плоская или пространственная задачи) и т. д.

Как и в МКР и МГЭ, в МКЭ точность расчета зависит от степени дискретизации изучаемой системы: она будет тем выше, чем на большее число элементов разделяется изучаемая область (т. е. чем больше узлов имеет дискретизированная система). Это связано с тем, что условия совместимости деформаций выполняются только в узлах дискретизированной системы. В зависимости от размерности изучаемого объекта (точнее, его математической модели), конечные элементы могут быть одномерными (отрезками линий), двумерными (плоскими) или трехмерными (объемными). В общем случае они могут иметь любую форму (прямолинейную или криволинейную), но в подавляющем большинстве случаев удобно ограничиваться простейшими формами — треугольной или прямоугольной.

Рис. 7.6 Схема замены изучаемого объекта системой из конечных элементов:

а — изучаемый объект (континуальная система); б — разделение изучаемого объекта на конечные элементы треугольной формы; в — схема соединения конечного элемента ЛВС с соседними элементами (обозначенными пунктиром) в точках Д. В, С.

При решении задач в области механики конечные элементы размещаются таким образом, чтобы нагрузки попадали на какие-либо узлы полученной дискретной системы. Сами же узлы обычно располагают в вершинах конечных элементов, хотя в некоторых случаях их размещают на сторонах или даже внутри таких элементов. На рис. 7.6 приведен пример разделения объекта на треугольные конечные элементы. Принятие одинаковых размеров конечных элементов, как это сделано на рис. 7.6, не является обязательным требованием: на участках с наиболее интенсивным изменением искомого показателя конечно-элементная сетка обычно сгущается.

МКЭ позволяет обходиться без составления дифференциальных уравнений, требуется лишь разбиение рассматриваемого объекта на конечные элементы и задание внешних нагрузок, действующих на узлы конечно-элементной системы.

Соединения в узлах могут быть жесткими и шарнирными. В зависимости от этого состояние каждого элемента характеризуется тем или иным числом возможных перемещений его узлов, называемым «числом степеней свободы» . Если плоский узел представляет собой шарнир, то его положение на плоскости можно охарактеризовать двумя линейными перемещениями, например вертикальным и горизонтальным. Если же это жесткий узел, необходимо добавить третью степень свободы — поворот.

В задачах, связанных с изучением напряженно-деформированного состояния сплошных сред или стержневых систем (механика сплошных сред, строительная механика, механика грунтов и т. д.), полученная совокупность конечных элементов рассматривается как статически неопределимая система, в узлах которой требуется определить перемещения и усилия. Для таких определений может использоваться в принципе любой классический метод строительной механики — метод перемещений, метод сил, смешанный метод. Однако наиболее удобным оказывается метод перемещений, сущность которого состоит в мысленном введении в систему дополнительных связей (защемлений) и выявлении условий, когда в этих связях не возникают усилия (моменты, силы).

Составляется система канонических уравнений, отображающая факт отсутствия таких усилий при повороте добавленных защемлений на угол, соответствующий фактическому повороту узлов при рассматриваемом загружении системы. Например, для стержневой конструкции (рамы) традиционная форма канонических уравнений имеет вид

Здесь неизвестными являются перемещения Zi (i = 1, 2, .... n), т. е. возможные перемещения узлов системы по направлению введенных (фиктивных) связей. Величины rij (i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2,…, n) представляют реактивные моменты (усилия) в защемлении io узла от поворота j-го узла на единичный угол. FlPq — реактивное усилие i-го узла от действия внешней нагрузки Fq.

В матричной форме система канонических уравнений (7.10) может быть представлена в виде

{F} — вектор (матрица-столбец) компонентов реактивных моментов (усилий) от действия внешних нагрузок Pq (в системе уравнений (7.10) соответствующих величинам FlPq)

Искомые перемещения Zi определяются, исходя из преобразования матричного уравнения (7.11):

где [R]-1 —обратная матрица по отношению к матрице жесткости (7.12), остальные обозначения те же, что и в (7.11).

По вычисленным перемещениям Zi в каждом узле определяются нормальные и касательные напряжения.

В данном случае принцип получения матрицы жесткости приведен в упрощенной форме для иллюстрации основной идеи метода перемещений. Фактически в МКЭ процедура составления матрицы жесткости несколько сложнее и обычно предполагает два этапа:

  1.  составление матрицы жесткости конечного элемента — МЖЭ;
  2.  составление матрицы жесткости системы — МЖС (глобальной матрицы жесткости).

МЖС получается на основе построения МЖЭ каждого элемента. Элементы МЖЭ rij отражают усилия, действующие на i-й узел элемента при единичном смещении (угловом или линейном) j-го узла по направлению какой-либо из его степеней свободы. При этом предполагается, что перемещения по направлению остальных степеней свободы равны нулю. МЖЭ однозначно определяется конфигурацией конечного элемента, задаваемой координатами его узлов и характеристиками деформационных свойств его материала.

Поскольку в каждом узле обычно соединяются несколько конечных элементов, реакции отдельных элементов по каждому направлению суммируются.

Компоненты МЖС вычисляются путем суммирования компонентов МЖЭ следующим образом:

где запись r ϵ i, j означает, что суммирование производится по элементам, содержащим узлы i и j; если это не соблюдается, то rij,r = 0;

rij— компонент МЖС— суммарное реактивное усилие (момент) в i-м узле от единичных перемещений (угловых, линейных) j-х узлов, принадлежащих соседним конечным элементам, содержащим узел i;

rij,r — компонент МЖЭ — реактивный момент (усилие) в i-м узле конечного элемента гот единичного перемещения (углового, линейного) у-го узла того же конечного элемента.

Аналогичным образом вычисляются компоненты вектора {F}, отражающего реактивные усилия от действия внешних нагрузок Pq (см. матричную зависимость (7.11)).

Матрица жесткости системы обычно симметрична и имеет ленточную структуру, схематически показанную на рис. 7.7. Компоненты этой матрицы, расположенные вне ленты, равны нулю.

Полученная матрица жесткости системы [R], компоненты которой определяются по формуле (7.16), используется для определения неизвестных Zi так же, как и в рассмотренном выше случае, т. е. на основе матричной зависимости (7.15). В ней под [R] и {F} понимаются соответственно матрица жесткости системы (МЖС) и вектор реактивных усилий от действия внешних нагрузок.

В настоящее время в инженерной практике все расчеты, связанные с применением МКЭ, выполняются на компьютере, для чего разработаны соответствующие программные комплексы (StructureCAD, ЛИРА, MicroFe и др.). Это же относится и к рассмотренным выше численным методам, характерным для работ XX в., — МКР и МГЭ. Даже на первых этапах становления МКР, когда вычислительная техника стояла на уровне ламповых ЭВМ, расчеты этим методом обычно не выполнялись вручную. Следует при этом отметить, что в практическом проектировании часто не требуется знания теоретических основ рассмотренных методов, однако для исследователя, применяющего в основном подобные методы в сложных малоизученных случаях, такое понимание является необходимым. По этой причине исследователь должен очень хорошо владеть методами исчисления матриц и обладать достаточно высокой компьютерной культурой, ибо без этого успешное применение численных методов невозможно.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48307. Конспект лекций по Java. Программирование на Java 2.04 MB
  Под жизненным циклом мы будем понимать процесс, необходимый для создания работающего приложения. Для программ на Java он отличается от жизненного цикла программ на других языках программирования. Типичная картина жизненного цикла для большинства языков программирования выглядит примерно так...
48308. ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ. СТРАХОВАНИЕ 351.5 KB
  Содержание Общая характеристика страхования История возникновения и развития страхования Сущность и функции страхования его роль в развитии экономики Основные понятия и термины используемые в страховании Классификация страхования.
48309. Социально-экономическая сущность страхования и её роль в рыночной экономике 488.5 KB
  Классификация рисков Понятие рисков страхования классификация рисков и риск-менеджмент. Договор страхования и принципы страхования. Социально-экономическая сущность страхования и её роль в рыночной экономике.
48311. БАЗОВЫЙ КУРС ФИЛОСОФИИ 1.16 MB
  Мировоззрение – это совокупность взглядов личности или общества на мир в целом или место человека в этом мире. У любого человека существует потребность в мировоззрении поскольку оно отвечает на самые фундаментальные вопросы человеческой жизни: Что такое мир Что такое человек В чем смысл человеческой жизни и смерти К чему следует стремиться в жизни Что самое важное ценное В чем смысл истории и т. У человека нет такой жизненной программы поэтому он должен сам на свой страх и риск пытаться постичь жизнь в целом проектировать свою...
48312. Национальная экономика 537 KB
  Структура национальной экономики представлена отношениями между имеющимися в стране производственными ресурсами объемами их распределения между экономическими субъектами между объемами производства этих субъектов составными частями национального продукта. Отраслевая структура характеризует сложившуюся систему распределения производственных ресурсов по основным видам деятельности а также долю отдельных отраслей в общем объеме национального производства. Макроэкономические пропорции – количественные соотношения между отдельными частями и...
48313. ОБЛІК У ГАЛУЗЯХ ВИРОБНИЦТВА ТА ПОСЛУГ 1.15 MB
  Закону Про податок на прибуток витрати на отримання ліцензій зараховуються в склад валових витрат. Оплата проводиться не пізніше ніж за один день до початку здійснення торговельної діяльності Витрати пов’язані з попередньою оплатою вартості торгового патенту обліковуються по дебету рахунка 39 Витрати майбутніх періодів...
48315. Основы волновой теории 1.23 MB
  Оптика – это раздел физики, который изучает распространение света и взаимодействие его с веществом. Свет представляет собой электромагнитное излучение и обладает двойственной природой. В одних явлениях свет ведёт себя как электромагнитная волна, в других – как поток особых частиц фотонов или квантов света. Волновыми свойствами света занимается волновая оптика, квантовой – квантовая.