99370

Оптимизация поиска экстремальных значений

Лекция

Математика и математический анализ

Важное место в ПЭ занимают вопросы поиска кратчайшего пути нахождения максимальных или минимальных значений искомого показателя. Такие вопросы тесно связаны с более широкой проблемой поиска оптимальных условий протекания исследуемого процесса. Для решения таких задач разработаны специальные методы, среди которых наиболее известны...

Русский

2016-09-10

64.11 KB

0 чел.

7

Лекция № 10

5.3.3. ОПТИМИЗАЦИЯ ПОИСКА ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ

Важное место в ПЭ занимают вопросы поиска кратчайшего пути нахождения максимальных или минимальных значений искомого показателя. Такие вопросы тесно связаны с более широкой проблемой поиска оптимальных условий протекания исследуемого процесса. Для решения таких задач разработаны специальные методы, среди которых наиболее известны:

  1.  градиентный метод крутого восхождения (скорейшего спуска);
  2.  неградиентный метод Гаусса — Зайделя;
  3.  симплексный метод.

Основная идея этих методов иллюстрируется схемой на рис. 5.5. Из точки начала поиска 1 ищется кратчайший путь к точке экстремального (максимального или минимального) значения отклика у (параметра оптимизации).

Иными словами, для каждого опыта подбираются такие сочетания уровней факторов х1, х2, ..., при которых достижение искомого оптимума (экстремального значения у) потребует минимального числа опытов. Такая цель одинакова у всех перечисленных выше методов, различаются лишь способы ее достижения. Во всех методах план эксперимента корректируется после каждого опыта, т. е. значения (уровни) факторов каждого последующего опыта определяются в зависимости от результатов предыдущего. Способы же этой корректировки в каждом методе различны. Для выбора эффективной методики такой оптимизации обычно требуется некоторая предварительная (априорная) информация, для чего чаще всего проводятся предварительные упрощенные эксперименты в ограниченном объеме.

Градиентный метод крутого восхождения (скорейшего спуска) основан на том, что интенсивность изменений (возрастаний или убываний) отклика у в зависимости от любого фактора хi можно отобразить в линейной модели соответствующим коэффициентом регрессии bi. В связи с этим в процессе эксперимента значения факторов x1 х2, ... меняют пропорционально соответствующим коэффициентам регрессии b1, b2, ... . Это обеспечивает наибольшую крутизну «траектории движения» к намеченной цели (максимальному или минимальному значению отклика).

1 — точка начала поиска; 2 точка окончании поиска, в данном случае соответствующая максимальному значению отклика у: x1, х2 — факторы, у — отклик (параметр оптимизации).

Название метода связано с тем, что в терминах векторного анализа интенсивность изменения отклика у характеризуется градиентом поверхности отклика (скалярного поля) с координатами

которые, как отмечалось выше, совпадают с коэффициентами регрессии b1, b2, ... . В любой точке на поверхности отклика, описываемой функцией у = f(x1, х2, ...), такой градиент представляет вектор, показывающий направление наибольшего роста (уменьшения) этой функции.

Практически это осуществляется следующим образом. Один из факторов принимается за базовый, например x1, для него вычисляется произведение b1×Δx1, где b1 — коэффициент регрессии, Δx1 — интервал варьирования этого фактора («ширина» уровня). Далее для базового фактора выбирается шаг движения к оптимуму Δx0,1 который должен превышать возможные погрешности определения х1, и чаще всего он меньше Δx1. После этого определяют отношение v:

Аналогично вычисляются шаги движения к оптимуму для всех остальных факторов, например, для фактора х2 это будет величина Дх02. определяемая по формуле

где v — величина, определяемая по формуле (5.18);

b2, Δx2 — соответственно коэффициент регрессии и интервал варьирования рассматриваемого фактора х2.

К оптимуму движутся из точки начала поиска, которая выбирается экспериментатором более или менее произвольно, исходя из условий проводимого эксперимента. К значениям факторов в этой точке х1, х2, ... добавляются соответствующие приращения Δx1, Δx2, проводится соответствующая серия опытов и уточняется принятая линейная модель. Иными словами, осуществляется первый шаг в направлении градиента. Полученные новые координаты (значения факторов х1, х2, ...) используются в качестве исходных для определения положения следующей точки траектории поиска. Для нее снова проводится серия опытов, уточняется линейная модель и т. д. Движение к оптимуму прекращают, когда достигается максимум (или минимум) отклика у. На последних шагах часто приходится переходить на нелинейные модели.

Неградиентный метод Гаусса — Зайделя является наиболее простым среди рассматриваемых методов поиска оптимума. В нем факторы меняются не одновременно, а поочередно. Двухфакторный эксперимент начинается при фиксированном значении фактора х1. Меняя фактор х2, продвигаются до локального экстремума (достижения следующего уровня). Затем фиксируют фактор х2 и меняют х1; далее снова фиксируют х1 и меняют х2 и т. д. В результате траектория движения приобретает форму ломаной линии. На рис. 5.6 приведены траектории движения к оптимуму при двухфакторном эксперименте с использованием градиентного метода крутого восхождения и рассматриваемого метода Гаусса — Зайделя.

Рис. 5.6 Поиск максимума(минимума) при двухфакторном эксперименте: 1 — градиентный метод крутого восхождения; 2 — неграднентный метод Гаусса — Зайделя; 3 — стационарная область экстремума.

В большинстве случаев при использовании неградиентного метода Гаусса — Зайделя требуется больше опытов, чем при методе крутого восхождения.

Симплексный метод поиска также предполагает пошаговое уточнение функции отклика у = f(x1, х2, ...). Однако выбор точек (сочетаний уровней факторов) производится по специфическим правилам, основанным на геометрической интерпретации плана эксперимента в виде простейшей геометрической фигуры (симплекса) в k-мерном пространстве с координатами x1, х2, ... хk, отображающими рассматриваемые факторы. В однофакторном эксперименте упомянутый симплекс — это отрезок прямой, в двухфакторном — равносторонний треугольник, в трехфакторном — тетраэдр и т. д. В двухфакторном эксперименте, представленном на рис. 5.7, движение к оптимуму начинается с построения в плоскости факторов (x1, х2) равностороннего треугольника — симплекса, координаты которого, как и в других методах, выбираются по усмотрению экспериментатора более или менее произвольно.

Рис. 5.7 Поиск максимума (минимума) при двухфакторном эксперименте симплексным методом: х1, х2факторы; 1,2,...,9 — вершины симплексов.

Направление движения к оптимуму определяется на основе сравнения откликов у1, у2, у3, ... в вершинах построенного симплекса и выделения среди них наиболее отличающегося от оптимума, т. е. наименьшего или наибольшего, в зависимости от вида оптимума. Шаг поиска осуществляется в направлении новой точки, которая является зеркальным отображением точки с минимальным значением уi. Эта точка получается в результате вращения рассматриваемой фигуры (симплекса) относительно стороны (грани), противоположной вершине с минимальным (максимальным) значением функции отклика.

На рис. 5.7 показана графическая схема поиска оптимума симплексным методом при двухфакторном эксперименте. Первым шагом было проведение трех опытов в вершинах симплекса 1—2—3 с получением соответствующих откликов у1, у2, у3. Предполагалось, что оптимуму соответствует максимальное значение отклика у (т. е. ищется вершина поверхности откликов), поэтому среди полученных трех откликов y1, у2, у3 отыскивался минимальный. Таковым оказался результат, полученный в точке 1 (т. е. ymin = y1). Следующему симплексу соответствовали точки 2, 3, 4, где точка 4 представляла зеркальное отображение точки 1 , т. е. точка 4 симметрична точке 1 относительно оси (стороны) 2-3. Таким образом, для выполнения второго шага достаточно лишь одного опыта, соответствующего точке 4. После его проведения сравнивались отклики у2, у3, у4 снова отыскивался минимальный результат. Таковым оказался отклик в точке 2, поэтому следующим шагом рассматривался симплекс 3, 4, 5, где точка 5 служила зеркальным отражением точки 2 (относительно оси симметрии 3-4). Далее рассматривался симплекс 4,5,6 и т. д.

В точке 6 возникает особая ситуация, когда новая точка 7 дает минимальный результат в новом симплексе 4, 6, 7. В этом случае целесообразно возвратиться к предыдущему симплексу и при построении нового симплекса использовать для зеркального отображения другую точку с «неблагоприятным» результатом, в данном случаев. После проведения экспериментов в точках 8 и 9 выясняется, что система симплексов замыкается вокруг точки 6, в связи с чем движение прекращают и точку 6 принимают за оптимум. Для окончательного подтверждения такого вывода обычно проводят контрольные опыты.

5.3.4. ПРОЧИЕ ЗАДАЧИ ПЭ

Рассмотренные в разделах 5.3.2 и 5.3.3 методы являются наиболее типичными для прикладных исследований, но ими отнюдь не исчерпываются возможности ПЭ. Существует обширный класс задач, в которых методы ПЭ используются в направлениях, не рассматривавшихся выше. При этом и рассмотренные методы могут по-разному реализовываться в зависимости от условий экспериментирования, дополнительных ограничений и т. д. Таковыми могут быть, например, натурные эксперименты в условиях действующего предприятия, когда большие изменения уровней факторов оказываются недопустимыми. Во многих случаях вопросы планирования эксперимента так переплетаются с вопросами анализа получаемых данных, что их можно относить как к сфере планирования, так и к сфере обработки получаемой информации. Как уже отмечалось, в ПЭ рассматриваются так называемые отсеивающие эксперименты, позволяющие выделять из множества факторов такие, которыми в данных условиях можно пренебречь. Это важно на начальной стадии исследования, когда не ясно, какие факторы могут существенно влиять на изучаемый процесс, но имеется множество предположений по этому поводу.

Следует также отметить, что методы поиска оптимума часто используются не для планирования эксперимента, а для разработки оптимального режима конкретного технологического процесса на производстве, т. е. они могут представлять не вспомогательный методический вопрос, а служить главной целью исследования.

Все эти вопросы рассматриваются в специальной литературе, далее приводятся лишь некоторые типичные идеи применяемых алгоритмов.

При невозможности больших изменений уровней факторов часто используется так называемый метод эволюционного планирования, основанный на многократном проведении опытов в рабочей области процесса. Опыты проводят циклами, которые планируются в виде полного или дробного факторных экспериментов. В этих случаях исследования стараются свести к однофакторному или двухфакторному эксперименту. Благодаря множеству циклов измерений погрешности определения средних значений (средние значения откликов) оказываются значительно меньшими погрешностей единичных опытов. При т циклах такое уменьшение составляет  раз. Это обстоятельство позволяет повышать точность эксперимента настолько, что эффект влияния изучаемых факторов удается обнаруживать при весьма малых диапазонах изменения этих факторов. Такое исследование обычно ведется поэтапно (фазами) для разных уровней факторов (разных рабочих зон). После проведения одной или нескольких фаз и обработки данных принимается решение по дальнейшим шагам оптимизации, т. е. о прекращении эксперимента, о проведении следующей фазы, изменении значений уровней факторов, изучении влияния других факторов и т. д.

Среди отсеивающих экспериментов наиболее часто используются методы, основанные на дисперсионном анализе, позволяющем оценивать с заданной доверительной вероятностью значимость влияния отдельных факторов. Основная идея дисперсионного анализа заключается в разложении дисперсии общего среднего отклика на компоненты, отражающие влияние не только отдельных факторов и их взаимодействий (факторные дисперсии), но и «нерасчлененных» случайных причин, рассматриваемых как «шум» (так называемая остаточная дисперсия). На основании сопоставления факторных дисперсий с остаточной производится оценка значимости отдельных факторов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79914. УСНИЙ ЖУРНАЛ «ДВАДЦЯТИЛІТНІЙ ШЛЯХ НА ГОЛГОФУ» 112.5 KB
  Мета: ознайомити учнів із життєвим шляхом поета світового рівня, борця за справедливість; навчати розумінню, що таке добро і зло, в чому сенс людського життя, щастя; переконати, що правдиве слово митця будило совість нації; формувати високі моральні якості; виховувати національну гідність і свідомість.
79915. Виховна година «Хто вам сказав, що я слабка...» 161 KB
  Викладач Ні я жива Я буду вічно жити Я в серці маю те що не вмирає Так писала відома українська поетеса Леся Петрівна Косач. На шлях я вийшла ранньою весною І тихий спів несмілий заспівала Леся Українка пройшла великий шлях перемоги духу над стражданням тіла і проявами буденності життя.
79916. Счастливый случай 1.84 MB
  Все вопросы заданы скорее в шутку. Однако даже самые трудные из этих вопросов все равно предназначены для забавы. Участники быстро отвечают на вопросы. Вы слушайте вопросы Ни пуха ни пера Любой предмет в физике.
79917. Рідна школа, рідна сім’я – тут зростає доля моя… 473 KB
  Посібник містить тести для батьків, які допомагають діагностувати проблеми сімей, виявити характер стосунків, взаєморозуміння між членами родини, дає практичні рекомендації щодо підготовки дитини до школи, кращої її адаптації.
79918. Сценарій виховного заходу «Школа – країна дивовижних мрій» 67 KB
  У школі сьогодні свято Зібралось гостей багато. Розмова дітей А моя мама вчилася в нашій школі. І моя мама працює у нашій школі вчителем. А мій тато шахтар а мій водій а мій програміст Вчитель: Діти тихо тихо Так і є багато ваших батьків вчилися в нашій школі а тепер вони стали дорослі стали батьками...
79919. Страна превратится в пустыню, если семья не станет святыней 45 KB
  Показать учащимся необходимость ценить и уважать свою семью, чтобы обеспечить благополучие и процветание своей страны. Познакомить детей с понятиями «семья», «генеалогия», «генеалогическое древо». Научить учащихся составлять родословную своей семьи. Показать основы для дальнейшего изучения истории поколений.
79920. КЛАССНЫЙ ЧАС ДЛЯ СТАРШЕКЛАССНИКОВ: «СЕМЬЯ — КЛЮЧ К СЧАСТЬЮ» 36.5 KB
  А что же должно быть между двумя молодыми людьми чтобы они захотели создать семью Правильно любовь А что же такое любовь Лично для меня любовь это любовь к моим родителям их я люблю дочерней любовью. Это любовь к моим детям их я люблю материнской любовью. Это любовь к моему мужу его я люблю женской любовью.
79921. Вивчення проблеми сенсу буття та призначення людини на Землі за творами Річарда Баха «Чайка Джонатан Лівінгстон» та Пауло Коельо «Алхімік» 185.5 KB
  Ніколи людині не було байдужим питання про сутність її призначення, місію на Землі. Пошук істини виправдовував зміст життя, приводив до відкриттів, які окриляли, запевняли: не дарма, не дарма... Складався досвід, життєстверджуючий, ґрунтовний. Здавалось би, повтори, доповни своїм.
79922. Гра «Щасливий випадок» 46 KB
  Мета: Показати учням красу та багатство української мови, викликати навички бажання вивчати її, збагачувати її, збагачувати свій словниковий запас; розвивати навички виразного читання, усне мовлення учнів, кмітливість. Виховувати любов і повагу до своєї Батьківщини, свого народу, рідної мови