99370

Оптимизация поиска экстремальных значений

Лекция

Математика и математический анализ

Важное место в ПЭ занимают вопросы поиска кратчайшего пути нахождения максимальных или минимальных значений искомого показателя. Такие вопросы тесно связаны с более широкой проблемой поиска оптимальных условий протекания исследуемого процесса. Для решения таких задач разработаны специальные методы, среди которых наиболее известны...

Русский

2016-09-10

64.11 KB

0 чел.

7

Лекция № 10

5.3.3. ОПТИМИЗАЦИЯ ПОИСКА ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ

Важное место в ПЭ занимают вопросы поиска кратчайшего пути нахождения максимальных или минимальных значений искомого показателя. Такие вопросы тесно связаны с более широкой проблемой поиска оптимальных условий протекания исследуемого процесса. Для решения таких задач разработаны специальные методы, среди которых наиболее известны:

  1.  градиентный метод крутого восхождения (скорейшего спуска);
  2.  неградиентный метод Гаусса — Зайделя;
  3.  симплексный метод.

Основная идея этих методов иллюстрируется схемой на рис. 5.5. Из точки начала поиска 1 ищется кратчайший путь к точке экстремального (максимального или минимального) значения отклика у (параметра оптимизации).

Иными словами, для каждого опыта подбираются такие сочетания уровней факторов х1, х2, ..., при которых достижение искомого оптимума (экстремального значения у) потребует минимального числа опытов. Такая цель одинакова у всех перечисленных выше методов, различаются лишь способы ее достижения. Во всех методах план эксперимента корректируется после каждого опыта, т. е. значения (уровни) факторов каждого последующего опыта определяются в зависимости от результатов предыдущего. Способы же этой корректировки в каждом методе различны. Для выбора эффективной методики такой оптимизации обычно требуется некоторая предварительная (априорная) информация, для чего чаще всего проводятся предварительные упрощенные эксперименты в ограниченном объеме.

Градиентный метод крутого восхождения (скорейшего спуска) основан на том, что интенсивность изменений (возрастаний или убываний) отклика у в зависимости от любого фактора хi можно отобразить в линейной модели соответствующим коэффициентом регрессии bi. В связи с этим в процессе эксперимента значения факторов x1 х2, ... меняют пропорционально соответствующим коэффициентам регрессии b1, b2, ... . Это обеспечивает наибольшую крутизну «траектории движения» к намеченной цели (максимальному или минимальному значению отклика).

1 — точка начала поиска; 2 точка окончании поиска, в данном случае соответствующая максимальному значению отклика у: x1, х2 — факторы, у — отклик (параметр оптимизации).

Название метода связано с тем, что в терминах векторного анализа интенсивность изменения отклика у характеризуется градиентом поверхности отклика (скалярного поля) с координатами

которые, как отмечалось выше, совпадают с коэффициентами регрессии b1, b2, ... . В любой точке на поверхности отклика, описываемой функцией у = f(x1, х2, ...), такой градиент представляет вектор, показывающий направление наибольшего роста (уменьшения) этой функции.

Практически это осуществляется следующим образом. Один из факторов принимается за базовый, например x1, для него вычисляется произведение b1×Δx1, где b1 — коэффициент регрессии, Δx1 — интервал варьирования этого фактора («ширина» уровня). Далее для базового фактора выбирается шаг движения к оптимуму Δx0,1 который должен превышать возможные погрешности определения х1, и чаще всего он меньше Δx1. После этого определяют отношение v:

Аналогично вычисляются шаги движения к оптимуму для всех остальных факторов, например, для фактора х2 это будет величина Дх02. определяемая по формуле

где v — величина, определяемая по формуле (5.18);

b2, Δx2 — соответственно коэффициент регрессии и интервал варьирования рассматриваемого фактора х2.

К оптимуму движутся из точки начала поиска, которая выбирается экспериментатором более или менее произвольно, исходя из условий проводимого эксперимента. К значениям факторов в этой точке х1, х2, ... добавляются соответствующие приращения Δx1, Δx2, проводится соответствующая серия опытов и уточняется принятая линейная модель. Иными словами, осуществляется первый шаг в направлении градиента. Полученные новые координаты (значения факторов х1, х2, ...) используются в качестве исходных для определения положения следующей точки траектории поиска. Для нее снова проводится серия опытов, уточняется линейная модель и т. д. Движение к оптимуму прекращают, когда достигается максимум (или минимум) отклика у. На последних шагах часто приходится переходить на нелинейные модели.

Неградиентный метод Гаусса — Зайделя является наиболее простым среди рассматриваемых методов поиска оптимума. В нем факторы меняются не одновременно, а поочередно. Двухфакторный эксперимент начинается при фиксированном значении фактора х1. Меняя фактор х2, продвигаются до локального экстремума (достижения следующего уровня). Затем фиксируют фактор х2 и меняют х1; далее снова фиксируют х1 и меняют х2 и т. д. В результате траектория движения приобретает форму ломаной линии. На рис. 5.6 приведены траектории движения к оптимуму при двухфакторном эксперименте с использованием градиентного метода крутого восхождения и рассматриваемого метода Гаусса — Зайделя.

Рис. 5.6 Поиск максимума(минимума) при двухфакторном эксперименте: 1 — градиентный метод крутого восхождения; 2 — неграднентный метод Гаусса — Зайделя; 3 — стационарная область экстремума.

В большинстве случаев при использовании неградиентного метода Гаусса — Зайделя требуется больше опытов, чем при методе крутого восхождения.

Симплексный метод поиска также предполагает пошаговое уточнение функции отклика у = f(x1, х2, ...). Однако выбор точек (сочетаний уровней факторов) производится по специфическим правилам, основанным на геометрической интерпретации плана эксперимента в виде простейшей геометрической фигуры (симплекса) в k-мерном пространстве с координатами x1, х2, ... хk, отображающими рассматриваемые факторы. В однофакторном эксперименте упомянутый симплекс — это отрезок прямой, в двухфакторном — равносторонний треугольник, в трехфакторном — тетраэдр и т. д. В двухфакторном эксперименте, представленном на рис. 5.7, движение к оптимуму начинается с построения в плоскости факторов (x1, х2) равностороннего треугольника — симплекса, координаты которого, как и в других методах, выбираются по усмотрению экспериментатора более или менее произвольно.

Рис. 5.7 Поиск максимума (минимума) при двухфакторном эксперименте симплексным методом: х1, х2факторы; 1,2,...,9 — вершины симплексов.

Направление движения к оптимуму определяется на основе сравнения откликов у1, у2, у3, ... в вершинах построенного симплекса и выделения среди них наиболее отличающегося от оптимума, т. е. наименьшего или наибольшего, в зависимости от вида оптимума. Шаг поиска осуществляется в направлении новой точки, которая является зеркальным отображением точки с минимальным значением уi. Эта точка получается в результате вращения рассматриваемой фигуры (симплекса) относительно стороны (грани), противоположной вершине с минимальным (максимальным) значением функции отклика.

На рис. 5.7 показана графическая схема поиска оптимума симплексным методом при двухфакторном эксперименте. Первым шагом было проведение трех опытов в вершинах симплекса 1—2—3 с получением соответствующих откликов у1, у2, у3. Предполагалось, что оптимуму соответствует максимальное значение отклика у (т. е. ищется вершина поверхности откликов), поэтому среди полученных трех откликов y1, у2, у3 отыскивался минимальный. Таковым оказался результат, полученный в точке 1 (т. е. ymin = y1). Следующему симплексу соответствовали точки 2, 3, 4, где точка 4 представляла зеркальное отображение точки 1 , т. е. точка 4 симметрична точке 1 относительно оси (стороны) 2-3. Таким образом, для выполнения второго шага достаточно лишь одного опыта, соответствующего точке 4. После его проведения сравнивались отклики у2, у3, у4 снова отыскивался минимальный результат. Таковым оказался отклик в точке 2, поэтому следующим шагом рассматривался симплекс 3, 4, 5, где точка 5 служила зеркальным отражением точки 2 (относительно оси симметрии 3-4). Далее рассматривался симплекс 4,5,6 и т. д.

В точке 6 возникает особая ситуация, когда новая точка 7 дает минимальный результат в новом симплексе 4, 6, 7. В этом случае целесообразно возвратиться к предыдущему симплексу и при построении нового симплекса использовать для зеркального отображения другую точку с «неблагоприятным» результатом, в данном случаев. После проведения экспериментов в точках 8 и 9 выясняется, что система симплексов замыкается вокруг точки 6, в связи с чем движение прекращают и точку 6 принимают за оптимум. Для окончательного подтверждения такого вывода обычно проводят контрольные опыты.

5.3.4. ПРОЧИЕ ЗАДАЧИ ПЭ

Рассмотренные в разделах 5.3.2 и 5.3.3 методы являются наиболее типичными для прикладных исследований, но ими отнюдь не исчерпываются возможности ПЭ. Существует обширный класс задач, в которых методы ПЭ используются в направлениях, не рассматривавшихся выше. При этом и рассмотренные методы могут по-разному реализовываться в зависимости от условий экспериментирования, дополнительных ограничений и т. д. Таковыми могут быть, например, натурные эксперименты в условиях действующего предприятия, когда большие изменения уровней факторов оказываются недопустимыми. Во многих случаях вопросы планирования эксперимента так переплетаются с вопросами анализа получаемых данных, что их можно относить как к сфере планирования, так и к сфере обработки получаемой информации. Как уже отмечалось, в ПЭ рассматриваются так называемые отсеивающие эксперименты, позволяющие выделять из множества факторов такие, которыми в данных условиях можно пренебречь. Это важно на начальной стадии исследования, когда не ясно, какие факторы могут существенно влиять на изучаемый процесс, но имеется множество предположений по этому поводу.

Следует также отметить, что методы поиска оптимума часто используются не для планирования эксперимента, а для разработки оптимального режима конкретного технологического процесса на производстве, т. е. они могут представлять не вспомогательный методический вопрос, а служить главной целью исследования.

Все эти вопросы рассматриваются в специальной литературе, далее приводятся лишь некоторые типичные идеи применяемых алгоритмов.

При невозможности больших изменений уровней факторов часто используется так называемый метод эволюционного планирования, основанный на многократном проведении опытов в рабочей области процесса. Опыты проводят циклами, которые планируются в виде полного или дробного факторных экспериментов. В этих случаях исследования стараются свести к однофакторному или двухфакторному эксперименту. Благодаря множеству циклов измерений погрешности определения средних значений (средние значения откликов) оказываются значительно меньшими погрешностей единичных опытов. При т циклах такое уменьшение составляет  раз. Это обстоятельство позволяет повышать точность эксперимента настолько, что эффект влияния изучаемых факторов удается обнаруживать при весьма малых диапазонах изменения этих факторов. Такое исследование обычно ведется поэтапно (фазами) для разных уровней факторов (разных рабочих зон). После проведения одной или нескольких фаз и обработки данных принимается решение по дальнейшим шагам оптимизации, т. е. о прекращении эксперимента, о проведении следующей фазы, изменении значений уровней факторов, изучении влияния других факторов и т. д.

Среди отсеивающих экспериментов наиболее часто используются методы, основанные на дисперсионном анализе, позволяющем оценивать с заданной доверительной вероятностью значимость влияния отдельных факторов. Основная идея дисперсионного анализа заключается в разложении дисперсии общего среднего отклика на компоненты, отражающие влияние не только отдельных факторов и их взаимодействий (факторные дисперсии), но и «нерасчлененных» случайных причин, рассматриваемых как «шум» (так называемая остаточная дисперсия). На основании сопоставления факторных дисперсий с остаточной производится оценка значимости отдельных факторов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40533. Слово как единица и предмет лексикологии. Признаки слова. Аспекты его изучения. Структура лексикологии как науки 23.5 KB
  Признаки слова. Признаки слова: фонетическая оформленность – фонетически непроницаемо для других слов. Обычно у слова есть номинативная функция. Слово не равно: Словоформе – грамматическая разновидность слова.
40534. Способы выражения синтаксических отношений в языках мира. Языки номинативного и эргативного строя. Виды синтаксических связей 21 KB
  Языки номинативного и эргативного строя. Грамматические способы: аффиксация особенно флексия способ служебных слов способ порядка слов способ интонации способ ударения Языки номинативного и эргативного строя. По характеру выражения субъектнообъектных отношений все языки мира делятся на языки: номинативного строя Субъект действия выражен номинативом. эргативного строя Оформление субъекта зависит от свойств глагола если глагол: переходный то существительное стоит в эргативном падеже обозначает реально действующее лицо.
40535. Предмет языкознания. Языкознание общее и частное. Прикладное языкознание. Связь языкознания с другими науками 79.99 KB
  Собака Определенная порода собаки Сужается значение слова 4. К диалектной лексике относятся слова распространение которых ограничено той или иной территорией. пойти за грибам с рукам с ногам специфическими словами орать в смысле 'пахать' и т. Суть: безъязычный человек слыша звуки природы старался подражать им своим речевым аппаратом = звукоподражательные слова кукушка от куку гавкать от гавгав etc.
40536. Основные теории происхождения человеческой речи. Исторические процессы в жизни языков 27.5 KB
  Исторические процессы в жизни языков. Следует различать вопрос о происхождении языка и вопрос об образовании реально существующих существовавших языков. Исторические процессы в жизни языков. 2 противоположных процесса: интеграция дифференциация Дифференциация – территориальное деление языков возникновение диалектов или родственных языков.
40537. Предложение как единица синтаксиса. Предикативность. Классификация предложений 24 KB
  Предложение как единица синтаксиса. Предложение – основная коммуникативная единица языка и речи. Предложение рассматривается с двух аспектов: конструктивной точки зрения – традиционный структурный синтаксис коммуникативной точки зрения – коммуникативный синтаксис. Главное отличие предложение от словосочетания – для предложения характерна интонация сообщения или законченности и выражение мысли.
40538. Аффиксация как грамматический способ, типы аффиксов 27.5 KB
  Бопп склеивание 1 Индоевропейская семья 1 Тюркская финноугорская семья кавказские языки 2 Аффиксы многозначны 2 Аффиксы однозначны. 3 Аффиксы нестандартны 3 Аффиксы стандартны 4 Без аффиксов слово не является оформленным 4 Без аффиксов слово может функционировать 5 Аффиксы сливаются с корнем хорошо видно на фонетическом уровне 5 Морфемный шов четко виден В русском языке агглютинирующий аффикс – постфикс ся Классификация аффиксов: по положению относительно корня: префиксы постфиксы по значению обычно постфиксы: ...
40539. Баски 33.5 KB
  Vscones о чем свидетельствует обилие имен собственных баскского происхождения в этом районе. Праязыком баскского является аквитанский в котором было насчитано 400 имён собственных и 70 богословных названий. Не увенчались успехом попытки установления родства баскского языка с кавказскими хамитскими и дравидийскими языками с лигурским и тем более японским. Французский филолог принц ЛуиЛюсьен Бонапарт 1813–1891 выделил следующие диалекты баскского языка: бискайский гипускоанский южный и северный варианты верхненаваррского...
40540. Генеалогическая классификация языков. Структура индоевропейской языковой семьи. Важнейшие языковые семьи 22 KB
  Генеалогическая классификация языков. Генеалогическая классификация – изучение и группировка языков мира на основании определения родственных связей между ними отнесения их к одной семье группе т.
40541. Грамматические способы в языках мира (кроме аффиксации) 29.5 KB
  Полное или частичное повторение корня основы или целого слова возможно изменение звукового состава. Супплетивизм – использование разнокоренных слов разноосновных для образования нового слова лексическое значение не меняется. формы степени сравнения: хороший лучше виды глагола: брать взять временные формы: быть буду был формы местоимений: я меня мною формы числа: человек люди Способ ударения – образует формы слова передвижением ударения. Служебные слова: предлоги союзы частицы артикли: признак имени...