99394

Собственные и вынужденные колебания систем с одной степенью свободы

Лекция

Физика

Гармонических колебания возникают под действием вибрационных нагрузок. Вибрационные нагрузки появляются в результате вращения неуравновешенных частей двигателей. Как определяется вибрационная нагрузка? Покажем на примере балки, к которой прикреплен двигатель.

Русский

2016-09-12

212.27 KB

0 чел.

1

ЛЕКЦИЯ №23 Ч.2

Собственные и вынужденные колебания систем с одной степенью свободы

(Основные сведения из теории).

Периодические изменения деформаций упругой системы во времени называются колебаниями.

Ограничимся рассмотрением гармонических колебаний, при которых перемещения, усилия и напряжения  изменяются по закону синуса (sin) или косинуса (cos) во времени.

Гармонических колебания возникают под действием вибрационных нагрузок. Вибрационные нагрузки появляются в результате вращения неуравновешенных частей двигателей. Как определяется вибрационная нагрузка? Покажем на примере балки, к которой прикреплен двигатель.

                                         θ                  μ  ρ

                                                                             

                                                                                                       θt

                                                           

θ=const

                                                        S*sinθt

                                                                       S*cosθt

                                       Вибрационные силы

Условно вынесем неуравновешенную часть ротора двигателя.

θ – скорость вращения ротора двигателя (вала)

θt – угол

m0 – масса неуравновешенной части ротора.

S – амплитудное значение возмущающей силы.

S = m0θ2ρ (по аналогии S = =  = 2ρ)

При изучении колебаний упругие системы различают по числу степеней свободы.

Под числом степеней свободы понимают число независимых параметров (координат) определяющих положение масс во времени.

    Примеры на определение степеней свободы:

                             (без массовая пружина)

 y

                                               безмасовая балка продольными    

                                                                            деформациями пренебрегаем                         

                                 y

 
                                                                                            

направляющие

                                                               

 Масса равномерно распределена

                                              

                                          

                                                                                                                    Бесконечное число сосредоточенных масс

                                                                          

Из теоретической механики известно что:

колебания бывают собственными (свободными) и вынужденными.

Если упругую систему каким - либо образом вывести из состояния статического равновесия и предоставить её самой себе, то она будет совершать колебания относительно положения статического равновесия. Такие колебания называются собственными или свободными. Колебания системы, вызываемые действием возмущающих сил, называются вынужденными колебаниями.

Собственные колебания систем с одной степенью свободы без учета сил сопротивления.

    Рассмотрим незатухающие колебания. В качестве упругой системы возьмем консольную балку. Собственную массу системы не учитываем. Балка несет груз Р. При статическом действии груза Р балка прогнется и займет положение статического равновесия.

   

 

                                                                                                            

                                                                                                                                                        y                 

положение стат. равновесия

ст (р) – перемещение упругой системы от статического действия груза весом Р.

    Если теперь выведем балку из положения статического равновесия, то балка будет колебаться около положения статического равновесия.

Рассмотрим силы, действующие на конце балки в месте расположения груза.

В действительности сила инерции будет y

направлена вверх в сторону P

противоположную ускорения
                                                                                                                                                                       

                                                             сила

- перемещение от действия единичной силы P=1

   и         -  из уравнения исключаются   

                                                                                      

    (1)  Уравнение движения массы при колебаниях

Решение уравнения (1) записывается так:

(2)

А – амплитуда колебаний (величина наибольшего отклонения массы от положения равновесия)

ω- круговая частота собственных колебаний системы

- фаза колебаний

Уравнение (2) на графике изображается синусоидой (гармонические колебания)


                                 
y             T=2/ω-период колебаний


 
                                                                                                                                                 t

                                        0                          A

                                          

T – период колебаний – время одного колебания (сек.)

 (3)

ω – угловая частота колебаний, равна числу колебаний за 2 секунд (рад./сек.).

Величина f = 1/T (Герцах) – выражает число колебаний на секунду, иногда называется технической частотой.

(4)
Техническая частота колебаний (число колебаний в одну минуту).

Собственные колебания системы с одной степенью свободы с учётом сил сопротивления.

Природа сил сопротивления может быть различная сила сопротивления среды – воздух, вода, силы трения, внутренние силы сопротивления материала. Учётом внутренние силы сопротивления материала – силы трения между частицами.

Силы внутреннего сопротивления материала можно учитывать в гипотезе Фойхта (немецкий физик Вольдемар Фойхт 1850 – 1919).

Согласно этой гипотезе силы внутреннего сопротивления заменяются внешней силой приложенной к массе и пропорциональны скорости движения массы.

α - коэффициент пропорциональности, зависящий от вида материала (определяется опытным путём).

При составлении уравнений движения массы, нужно к массе кроме ранее указанных сил приложить силу R.

Составим уравнение движения:

n=α/2m – коэффициент затухания

Решение уравнения имеет вид:

e=2,718…

   - круговая частота собственных колебаний с учётом затухания.

График колебаний с учётом сил сопротивления:

                                                    

                                                                         

                                                                                             t

                                  

                                 

     - логарифмический декремент затухания – характеризует скорость затухания колебаний.

Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы.

Сразу учтём силы внутреннего сопротивления, без рассмотрения частного случая.

Рассмотрим вынужденные колебания системы под действием гармонической возмущающей силы.

S – амплитудное значение возмущающей силы

- круговая частота вынужденных колебаний (круговая частота возмущающей силы)

Рассмотрим туже балку. Пусть P – вес мотора. Сначала балка прогнётся, а затем включим мотор.

 

                                                                                                            

                                                                                                                                                   

Положение статического равновесия P y

                                                                                                                       

                                                                                               

                                                                                                                      Ssinθt

Запишем уравнение движения в форме перемещений:

- уравнение движения массы при вынужденных колебаниях с учётом сил сопротивлений.

  - частное решение

Собственные колебания         вынужденные колебания

Без вывода из теоретической механики

   

На собственные колебания в момент пуска мотора накладываются вынужденные колебания. Со временем собственные колебания затухают и наступает установившийся режим.

Обозначим    перемещение упругой системы от статического действия амплитудного значения возмущающей силы.

- коэффициент нарастания амплитуды вынужденных колебаний с учётом сил внутреннего сопротивления.

Вынужденные колебания при устанавливаемом процессе записывается:

 - амплитудное значение

     Если частота возмущающей силы будет полтора – два раза больше или меньше частоты собственных колебаний, то при этом n (коэффициент затухания) можно принять равным нулю (т.е. не учитывать затухание). В этом случае выражение для коэффициента β упрощается.

 

- коэффициент нарастания амплитуды вынужденных колебаний без учёта сил внутреннего сопротивления.

Полное перемещение упругой системы при вынужденных колебаний определяется формулой:

β - иногда называют – динамическим коэффициентом.

Полное напряжения в упругой системе при вынужденных колебаниях определяется формулой:

 динамическое напряжение

Резонанс

Если частота собственных колебаний системы совпадает с частотой вынужденных колебаний, то коэффициент β=∞ при n=0. В этом случае напряжения, усилия и перемещения в упругой системе неограниченно возрастают, и это явление носит название резонанса. Если n≠0, то β имеет ограниченное значение.

Изобразим график зависимости между β и отношением частот θ/ω.

Нанесем квадратную сетку:

β

5                                                                               

4                                                                                                    

              3                                                                                                               

             2                                                                                                                 

             1                                                                                                                 

 0          0.5           1           1.5         2.0

При возрастании 2n/ω       β падает.

При θ/ω или ω/θ равным 1,5 графики слились.

 - при расчётах всегда берётся положительным.

Численные примеры

Пример 1: Определить частоту собственных колебаний системы.

Рассмотрим простейшую раму. (Собственная масса не учитывается)

                                                              

                      

                            

Система с одной степенью свободы, т.к. масса

e                                       EI=const                                     может перемещаться только горизонтально

                                                                                   т.к. продольными деформациями                          пренебрегаем.

                                                

 e

Нужно загрузить систему единичной силой в каком направлении? В центре массы и в направлении движения…………………………………………….

1 Строим эпюру  изгибающих моментов для заданной системы от единичной силы, приложенной к массе по направлению её движения при колебаниях (масса не перемещается вертикально)

 1

                                                                     Эп.

2 Определяем перемещение от единичной силы путём перемножения единичной эпюры самой на себя

3 Определяем частоту собственных колебаний по формуле:

Пример 2: На двух балках установлен двигатель весом P=1.8 kH. Амплитуда возмущающей силы S=0.4 kH. Двигатель делает n=3000 об/мин. Определить наибольшие нормальные напряжения в балке.

 
                                                                

                                                                                                           y         N8

                                                                                                                                                                                       z

 e/2=0.75M  P     e/2=0.72M

1

1/2   1*e/4     1/2

1 Геометрические характеристики сечения:

2 Строим эпюру изгибающих моментов для балки от единичной вертикальной силы, приложенной посредине полёта (масса мотора может перемещаться вертикально).

3 Определяем перемещения от единичной силы:

Перемещения от статического действия силы

4 Определяем частоту собственных колебаний системы (балки):

5 Определяем круговую частоту возмущающей силы:

Резонанса нет, двигатель работает за резонансом.

6 Определяем коэффициент нарастания амплитуды внутренних колебаний ( без учёта затухания):

При расчётах коэффициент берётся положительным

7 Определяем наибольшие нормальные напряжения в балке. (т.е полные от стат. силы P и дин. Силы S) максимальные динамические напряжения:

Максимальные динамические напряжения


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63502. Проблемы аксиологии. Подлинные и мнимые нравственные ценности семьи, народа и общества 84.5 KB
  Аксиология это учение о ценностях мир которых огромен и мал может быть уродлив по иерархии и ведет к гибели человека семьи народа государства человеческого общества в целом если на первом месте ценности чисто потребительские материальные и политические но не подлинно человеческие мнимые.
63503. Философская антропология. Человек в природе, культуре и системе социальных связей 75 KB
  Напор трудностей не выдерживают пытаются спрятаться от жизни чтобы за них кто то их основные проблемы решал. Чацкий их хватает на занятия науками искусствами государственными делами они хорошо укорененные в жизни духовно аристократичны самостоятельны...
63504. Гносеология и эпистемология. Проблема истины и ее критериев. Познание и практика 99 KB
  Раздел философии в котором изучаются познавательные возможности человека называется гносеологией. В знаниях научных больше всего объективного: независимого от человека и человечества. Глаз человека видит хуже глаза орла зато видит больше.
63505. Философские аспекты понимания общества. Специфика социального познания 78 KB
  Философские аспекты понимания общества. Социальное строение жизни общества изучает прежде всего социология вопросы управления общественной жизнью политология хозяйственную деятельность в материальном производстве экономическая теория и т.
63506. Формационная и цивилизационная концепции общественного развития 76.5 KB
  Да и времени не оставили нам уже не только людьми созданные но и природой уготованные 21 веку глобальные проблемы вокруг решения которых надо скорее всему человечеству объединиться несмотря на все цивилизационные различия и групповые эгоистичные мечты амбициозных правителей.
63507. Онтология. Единство мира. Монистические и плюралистические концепции бытия 64.5 KB
  Монистические и плюралистические концепции бытия. Уже автор термина бытие Парменид в тезисе о тождестве бытия и мышления утверждал познаваемость мира человеческим мышлением. Вопрос о единстве мира всего бытия или изначальной множественности значит и невозможности...
63508. Проблемы происхождения, эволюции и сохранения жизни во Вселенной 75 KB
  Например и в мозге человека есть но особенно для навигации птицы и пчелы удачно используют магнетит залетающий на Землю с Марса. Материальное это понятие обозначающее объективное бытие телесных вещей их свойств и отношений а идеальное это субъективная реальность высшая форма опережающего отражения бытия вменяемого...
63509. Структура научного познания, его формы. Фундаментальные и прикладные знания 107.5 KB
  Деление условно рамки отдельной науки часто мешают решению проблем это надо учитывать при структурировании научной работы. По сферам использования науки делятся на фундаментальные и прикладные отраслевые: нефтепереработки геологоразведки авиастроения...