99394

Собственные и вынужденные колебания систем с одной степенью свободы

Лекция

Физика

Гармонических колебания возникают под действием вибрационных нагрузок. Вибрационные нагрузки появляются в результате вращения неуравновешенных частей двигателей. Как определяется вибрационная нагрузка? Покажем на примере балки, к которой прикреплен двигатель.

Русский

2016-09-12

212.27 KB

5 чел.

1

ЛЕКЦИЯ №23 Ч.2

Собственные и вынужденные колебания систем с одной степенью свободы

(Основные сведения из теории).

Периодические изменения деформаций упругой системы во времени называются колебаниями.

Ограничимся рассмотрением гармонических колебаний, при которых перемещения, усилия и напряжения  изменяются по закону синуса (sin) или косинуса (cos) во времени.

Гармонических колебания возникают под действием вибрационных нагрузок. Вибрационные нагрузки появляются в результате вращения неуравновешенных частей двигателей. Как определяется вибрационная нагрузка? Покажем на примере балки, к которой прикреплен двигатель.

                                         θ                  μ  ρ

                                                                             

                                                                                                       θt

                                                           

θ=const

                                                        S*sinθt

                                                                       S*cosθt

                                       Вибрационные силы

Условно вынесем неуравновешенную часть ротора двигателя.

θ – скорость вращения ротора двигателя (вала)

θt – угол

m0 – масса неуравновешенной части ротора.

S – амплитудное значение возмущающей силы.

S = m0θ2ρ (по аналогии S = =  = 2ρ)

При изучении колебаний упругие системы различают по числу степеней свободы.

Под числом степеней свободы понимают число независимых параметров (координат) определяющих положение масс во времени.

    Примеры на определение степеней свободы:

                             (без массовая пружина)

 y

                                               безмасовая балка продольными    

                                                                            деформациями пренебрегаем                         

                                 y

 
                                                                                            

направляющие

                                                               

 Масса равномерно распределена

                                              

                                          

                                                                                                                    Бесконечное число сосредоточенных масс

                                                                          

Из теоретической механики известно что:

колебания бывают собственными (свободными) и вынужденными.

Если упругую систему каким - либо образом вывести из состояния статического равновесия и предоставить её самой себе, то она будет совершать колебания относительно положения статического равновесия. Такие колебания называются собственными или свободными. Колебания системы, вызываемые действием возмущающих сил, называются вынужденными колебаниями.

Собственные колебания систем с одной степенью свободы без учета сил сопротивления.

    Рассмотрим незатухающие колебания. В качестве упругой системы возьмем консольную балку. Собственную массу системы не учитываем. Балка несет груз Р. При статическом действии груза Р балка прогнется и займет положение статического равновесия.

   

 

                                                                                                            

                                                                                                                                                        y                 

положение стат. равновесия

ст (р) – перемещение упругой системы от статического действия груза весом Р.

    Если теперь выведем балку из положения статического равновесия, то балка будет колебаться около положения статического равновесия.

Рассмотрим силы, действующие на конце балки в месте расположения груза.

В действительности сила инерции будет y

направлена вверх в сторону P

противоположную ускорения
                                                                                                                                                                       

                                                             сила

- перемещение от действия единичной силы P=1

   и         -  из уравнения исключаются   

                                                                                      

    (1)  Уравнение движения массы при колебаниях

Решение уравнения (1) записывается так:

(2)

А – амплитуда колебаний (величина наибольшего отклонения массы от положения равновесия)

ω- круговая частота собственных колебаний системы

- фаза колебаний

Уравнение (2) на графике изображается синусоидой (гармонические колебания)


                                 
y             T=2/ω-период колебаний


 
                                                                                                                                                 t

                                        0                          A

                                          

T – период колебаний – время одного колебания (сек.)

 (3)

ω – угловая частота колебаний, равна числу колебаний за 2 секунд (рад./сек.).

Величина f = 1/T (Герцах) – выражает число колебаний на секунду, иногда называется технической частотой.

(4)
Техническая частота колебаний (число колебаний в одну минуту).

Собственные колебания системы с одной степенью свободы с учётом сил сопротивления.

Природа сил сопротивления может быть различная сила сопротивления среды – воздух, вода, силы трения, внутренние силы сопротивления материала. Учётом внутренние силы сопротивления материала – силы трения между частицами.

Силы внутреннего сопротивления материала можно учитывать в гипотезе Фойхта (немецкий физик Вольдемар Фойхт 1850 – 1919).

Согласно этой гипотезе силы внутреннего сопротивления заменяются внешней силой приложенной к массе и пропорциональны скорости движения массы.

α - коэффициент пропорциональности, зависящий от вида материала (определяется опытным путём).

При составлении уравнений движения массы, нужно к массе кроме ранее указанных сил приложить силу R.

Составим уравнение движения:

n=α/2m – коэффициент затухания

Решение уравнения имеет вид:

e=2,718…

   - круговая частота собственных колебаний с учётом затухания.

График колебаний с учётом сил сопротивления:

                                                    

                                                                         

                                                                                             t

                                  

                                 

     - логарифмический декремент затухания – характеризует скорость затухания колебаний.

Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы.

Сразу учтём силы внутреннего сопротивления, без рассмотрения частного случая.

Рассмотрим вынужденные колебания системы под действием гармонической возмущающей силы.

S – амплитудное значение возмущающей силы

- круговая частота вынужденных колебаний (круговая частота возмущающей силы)

Рассмотрим туже балку. Пусть P – вес мотора. Сначала балка прогнётся, а затем включим мотор.

 

                                                                                                            

                                                                                                                                                   

Положение статического равновесия P y

                                                                                                                       

                                                                                               

                                                                                                                      Ssinθt

Запишем уравнение движения в форме перемещений:

- уравнение движения массы при вынужденных колебаниях с учётом сил сопротивлений.

  - частное решение

Собственные колебания         вынужденные колебания

Без вывода из теоретической механики

   

На собственные колебания в момент пуска мотора накладываются вынужденные колебания. Со временем собственные колебания затухают и наступает установившийся режим.

Обозначим    перемещение упругой системы от статического действия амплитудного значения возмущающей силы.

- коэффициент нарастания амплитуды вынужденных колебаний с учётом сил внутреннего сопротивления.

Вынужденные колебания при устанавливаемом процессе записывается:

 - амплитудное значение

     Если частота возмущающей силы будет полтора – два раза больше или меньше частоты собственных колебаний, то при этом n (коэффициент затухания) можно принять равным нулю (т.е. не учитывать затухание). В этом случае выражение для коэффициента β упрощается.

 

- коэффициент нарастания амплитуды вынужденных колебаний без учёта сил внутреннего сопротивления.

Полное перемещение упругой системы при вынужденных колебаний определяется формулой:

β - иногда называют – динамическим коэффициентом.

Полное напряжения в упругой системе при вынужденных колебаниях определяется формулой:

 динамическое напряжение

Резонанс

Если частота собственных колебаний системы совпадает с частотой вынужденных колебаний, то коэффициент β=∞ при n=0. В этом случае напряжения, усилия и перемещения в упругой системе неограниченно возрастают, и это явление носит название резонанса. Если n≠0, то β имеет ограниченное значение.

Изобразим график зависимости между β и отношением частот θ/ω.

Нанесем квадратную сетку:

β

5                                                                               

4                                                                                                    

              3                                                                                                               

             2                                                                                                                 

             1                                                                                                                 

 0          0.5           1           1.5         2.0

При возрастании 2n/ω       β падает.

При θ/ω или ω/θ равным 1,5 графики слились.

 - при расчётах всегда берётся положительным.

Численные примеры

Пример 1: Определить частоту собственных колебаний системы.

Рассмотрим простейшую раму. (Собственная масса не учитывается)

                                                              

                      

                            

Система с одной степенью свободы, т.к. масса

e                                       EI=const                                     может перемещаться только горизонтально

                                                                                   т.к. продольными деформациями                          пренебрегаем.

                                                

 e

Нужно загрузить систему единичной силой в каком направлении? В центре массы и в направлении движения…………………………………………….

1 Строим эпюру  изгибающих моментов для заданной системы от единичной силы, приложенной к массе по направлению её движения при колебаниях (масса не перемещается вертикально)

 1

                                                                     Эп.

2 Определяем перемещение от единичной силы путём перемножения единичной эпюры самой на себя

3 Определяем частоту собственных колебаний по формуле:

Пример 2: На двух балках установлен двигатель весом P=1.8 kH. Амплитуда возмущающей силы S=0.4 kH. Двигатель делает n=3000 об/мин. Определить наибольшие нормальные напряжения в балке.

 
                                                                

                                                                                                           y         N8

                                                                                                                                                                                       z

 e/2=0.75M  P     e/2=0.72M

1

1/2   1*e/4     1/2

1 Геометрические характеристики сечения:

2 Строим эпюру изгибающих моментов для балки от единичной вертикальной силы, приложенной посредине полёта (масса мотора может перемещаться вертикально).

3 Определяем перемещения от единичной силы:

Перемещения от статического действия силы

4 Определяем частоту собственных колебаний системы (балки):

5 Определяем круговую частоту возмущающей силы:

Резонанса нет, двигатель работает за резонансом.

6 Определяем коэффициент нарастания амплитуды внутренних колебаний ( без учёта затухания):

При расчётах коэффициент берётся положительным

7 Определяем наибольшие нормальные напряжения в балке. (т.е полные от стат. силы P и дин. Силы S) максимальные динамические напряжения:

Максимальные динамические напряжения


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22231. Анализ требований к отбору S блоков разработчиков стандарта 291 KB
  Введение в дифференциальный криптанализ Анализ требований к отбору S блоков разработчиков стандарта. Построение произвольной двухблочной характеристики обозначает левый полублок в скобках приводится вариант активизации на промежуточном цикле S блоков S7 и S8. Для того чтобы уйти от однобитного перехода на втором цикле можно взять левый полублок с битами попадающими на те же входы S блоков S блоки S5 и S6 что и использованные ранее входы  18 и 23 биты должна сохраниться идея активизации на каждом цикле не более двух S блоков. Для...
22232. Дифференциальны криптоанализ полного 16-циклового DES 279 KB
  Любая пара плайнтекстов дающая повышение промежуточных характерных XOR значений названа правильной парой. Предполагаемое изменение XOR соответствующих значений в течении шифрования правильной пары плайнтекстов в новой версии 16цикловой атаки проиллюстрировано на Рис.2 которое включает 15цикловую атаку в циклах со 2 до 16 с предшествующим новым 1ым циклом Наша цель сгенерировать без потери вероятности пары плайнтекстов чьи XOR выходы после первого цикла являются требуемыми XOR входов в 13цикловой характеристике в циклах со 2го по...
22233. Дифференциальный криптоанализ DES Атака на полный 16-цикловый DES со сложностью 219 551.5 KB
  В таблице 1 представлен фрагмент таблицы разностей для второго S блока Таблица 1 Входной Выходной XOR XOR 0x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x Ax Bx Cx Dx Ex Fx 4x 0 0 0 0 0 6 0 14 0 6 10 4 10 6 4 4 8x 0 0 0 4 0 4 0 8 0 10 16 6 6 0 6 4 Рассмотрим ситуацию когда на входе второго S блока одной 16цикловой характеристики имеется входная разность 4x а на входе второго S блока другой 16цикловой характеристики имеется входная разность 8x. Убедимся прежде всего что и в этом случае используя известные входные пары и выходные XORы для пары S блоков...
22234. Криптографическая система 256 KB
  Замыслом который стал определяющим при формировании настоящей программы Вашей подготовки стала задача ознакомления Вас с двумя наиболее сложными в теоретическом да и практическом отношении криптоаналитическими атаками позволившими в свое время найти слабости в широко известном и все еще применяемом до настоящего времени стандарте симметричного блочного шифрования США алгоритме DES. Поэтому хотя сегодня уже шифр DES можно считать уходящим со сцены представляется целесообразным изучение принципов выполнения указанных выше...
22235. Дифференциальный криптанализ 528 KB
  Для DESподобных криптосистем различие выбирается как побитовая сумма по модулю два XOR значений двух текстов в модульной арифметике  разность пары текстов. Эта операция в дальнейшем для краткости будет обозначаться аббревиатурой из английских букв  XOR2. Данное фиксированное значение XOR входной пары правых полу блоков для F функции легко определяет свое XOR значение после расширения по формуле: EXEX = EXX. XOR с ключом не изменяет значение XOR в паре т.
22236. Введение в дифференциальный криптанализ 741 KB
  Будем говорить что X может вызвать Y с вероятностью p для F функции если p есть доля всех возможных входных пар зашифрованных всеми возможными значениями подключа в которых входной XOR F функции равен X а выходной XOR равен Y. Если в DES X  Y X переходит в Y с вероятностью p для F функции то каждая фиксированная входная пара Z Z с Z = ZZ= X образует выходной XOR F функции равный Y с той же самой долей p возможных значений подключа. Очевидно что для каждого входного XOR имеем = независимо от ключа KS. Если имеется k входных пар...
22237. Введение в дифференциальный криптанализ. Итеративные характеристики 401.5 KB
  Статистическое поведение большинства характеристик не позволяет нам искать пересечение всех ключей предложенных поддерживаемых различными парами как это мы делали в примере 6 Л2 так как пересечение обычно пустое: неправильные пары не обязательно указывают на правильный ключ как возможное значение. Однако мы знаем что правильное ключевое значение должно быть результатом всех правильных пар которые встречаются приблизительно с характеристической вероятностью с вероятностью характеристики. Все другие возможные ключевые значения...
22238. Атака на DES уменьшенный до восьми циклов 414 KB
  Введение в дифференциальный криптанализ 1 Атака на DES уменьшенный до восьми циклов Чтобы найти другие биты Эли Бихам и Ади Шамир фильтруют все пары и оставляют только те которые имеют ожидаемое значение используя при этом известные значения h и значения ключевых битов K8 входящих в S6 S7 и S8. Ожидаемое число остающихся пар есть 53. Они применяют аналогичный метод счета используя увеличенное отношение S N созданное большой концентрацией правильных пар и затем снова фильтруют пары. Неправильная пара не отвергается этим или...
22239. Введение в дифференциальный криптанализ 626 KB
  Анализ требований к отбору S блоков разработчиков стандарта. В этом разделе мы хотим высказать свою версию обоснования требований к отбору S блоков выдвинутых разработчиками стандарта. Критерии отбора S блоков: 1. Если два входа S блока отличаются своими первыми двумя битами и имеют совпадающими 2 последних бита то выходные биты не должны быть теми же самыми  для любых e и f; Для любых ненулевых 6ти битовых различий между входами не более чем 8 из 32 пар входов могут показывать одни и те же выходные различия; Критерий подобный...