99394

Собственные и вынужденные колебания систем с одной степенью свободы

Лекция

Физика

Гармонических колебания возникают под действием вибрационных нагрузок. Вибрационные нагрузки появляются в результате вращения неуравновешенных частей двигателей. Как определяется вибрационная нагрузка? Покажем на примере балки, к которой прикреплен двигатель.

Русский

2016-09-12

212.27 KB

0 чел.

1

ЛЕКЦИЯ №23 Ч.2

Собственные и вынужденные колебания систем с одной степенью свободы

(Основные сведения из теории).

Периодические изменения деформаций упругой системы во времени называются колебаниями.

Ограничимся рассмотрением гармонических колебаний, при которых перемещения, усилия и напряжения  изменяются по закону синуса (sin) или косинуса (cos) во времени.

Гармонических колебания возникают под действием вибрационных нагрузок. Вибрационные нагрузки появляются в результате вращения неуравновешенных частей двигателей. Как определяется вибрационная нагрузка? Покажем на примере балки, к которой прикреплен двигатель.

                                         θ                  μ  ρ

                                                                             

                                                                                                       θt

                                                           

θ=const

                                                        S*sinθt

                                                                       S*cosθt

                                       Вибрационные силы

Условно вынесем неуравновешенную часть ротора двигателя.

θ – скорость вращения ротора двигателя (вала)

θt – угол

m0 – масса неуравновешенной части ротора.

S – амплитудное значение возмущающей силы.

S = m0θ2ρ (по аналогии S = =  = 2ρ)

При изучении колебаний упругие системы различают по числу степеней свободы.

Под числом степеней свободы понимают число независимых параметров (координат) определяющих положение масс во времени.

    Примеры на определение степеней свободы:

                             (без массовая пружина)

 y

                                               безмасовая балка продольными    

                                                                            деформациями пренебрегаем                         

                                 y

 
                                                                                            

направляющие

                                                               

 Масса равномерно распределена

                                              

                                          

                                                                                                                    Бесконечное число сосредоточенных масс

                                                                          

Из теоретической механики известно что:

колебания бывают собственными (свободными) и вынужденными.

Если упругую систему каким - либо образом вывести из состояния статического равновесия и предоставить её самой себе, то она будет совершать колебания относительно положения статического равновесия. Такие колебания называются собственными или свободными. Колебания системы, вызываемые действием возмущающих сил, называются вынужденными колебаниями.

Собственные колебания систем с одной степенью свободы без учета сил сопротивления.

    Рассмотрим незатухающие колебания. В качестве упругой системы возьмем консольную балку. Собственную массу системы не учитываем. Балка несет груз Р. При статическом действии груза Р балка прогнется и займет положение статического равновесия.

   

 

                                                                                                            

                                                                                                                                                        y                 

положение стат. равновесия

ст (р) – перемещение упругой системы от статического действия груза весом Р.

    Если теперь выведем балку из положения статического равновесия, то балка будет колебаться около положения статического равновесия.

Рассмотрим силы, действующие на конце балки в месте расположения груза.

В действительности сила инерции будет y

направлена вверх в сторону P

противоположную ускорения
                                                                                                                                                                       

                                                             сила

- перемещение от действия единичной силы P=1

   и         -  из уравнения исключаются   

                                                                                      

    (1)  Уравнение движения массы при колебаниях

Решение уравнения (1) записывается так:

(2)

А – амплитуда колебаний (величина наибольшего отклонения массы от положения равновесия)

ω- круговая частота собственных колебаний системы

- фаза колебаний

Уравнение (2) на графике изображается синусоидой (гармонические колебания)


                                 
y             T=2/ω-период колебаний


 
                                                                                                                                                 t

                                        0                          A

                                          

T – период колебаний – время одного колебания (сек.)

 (3)

ω – угловая частота колебаний, равна числу колебаний за 2 секунд (рад./сек.).

Величина f = 1/T (Герцах) – выражает число колебаний на секунду, иногда называется технической частотой.

(4)
Техническая частота колебаний (число колебаний в одну минуту).

Собственные колебания системы с одной степенью свободы с учётом сил сопротивления.

Природа сил сопротивления может быть различная сила сопротивления среды – воздух, вода, силы трения, внутренние силы сопротивления материала. Учётом внутренние силы сопротивления материала – силы трения между частицами.

Силы внутреннего сопротивления материала можно учитывать в гипотезе Фойхта (немецкий физик Вольдемар Фойхт 1850 – 1919).

Согласно этой гипотезе силы внутреннего сопротивления заменяются внешней силой приложенной к массе и пропорциональны скорости движения массы.

α - коэффициент пропорциональности, зависящий от вида материала (определяется опытным путём).

При составлении уравнений движения массы, нужно к массе кроме ранее указанных сил приложить силу R.

Составим уравнение движения:

n=α/2m – коэффициент затухания

Решение уравнения имеет вид:

e=2,718…

   - круговая частота собственных колебаний с учётом затухания.

График колебаний с учётом сил сопротивления:

                                                    

                                                                         

                                                                                             t

                                  

                                 

     - логарифмический декремент затухания – характеризует скорость затухания колебаний.

Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы.

Сразу учтём силы внутреннего сопротивления, без рассмотрения частного случая.

Рассмотрим вынужденные колебания системы под действием гармонической возмущающей силы.

S – амплитудное значение возмущающей силы

- круговая частота вынужденных колебаний (круговая частота возмущающей силы)

Рассмотрим туже балку. Пусть P – вес мотора. Сначала балка прогнётся, а затем включим мотор.

 

                                                                                                            

                                                                                                                                                   

Положение статического равновесия P y

                                                                                                                       

                                                                                               

                                                                                                                      Ssinθt

Запишем уравнение движения в форме перемещений:

- уравнение движения массы при вынужденных колебаниях с учётом сил сопротивлений.

  - частное решение

Собственные колебания         вынужденные колебания

Без вывода из теоретической механики

   

На собственные колебания в момент пуска мотора накладываются вынужденные колебания. Со временем собственные колебания затухают и наступает установившийся режим.

Обозначим    перемещение упругой системы от статического действия амплитудного значения возмущающей силы.

- коэффициент нарастания амплитуды вынужденных колебаний с учётом сил внутреннего сопротивления.

Вынужденные колебания при устанавливаемом процессе записывается:

 - амплитудное значение

     Если частота возмущающей силы будет полтора – два раза больше или меньше частоты собственных колебаний, то при этом n (коэффициент затухания) можно принять равным нулю (т.е. не учитывать затухание). В этом случае выражение для коэффициента β упрощается.

 

- коэффициент нарастания амплитуды вынужденных колебаний без учёта сил внутреннего сопротивления.

Полное перемещение упругой системы при вынужденных колебаний определяется формулой:

β - иногда называют – динамическим коэффициентом.

Полное напряжения в упругой системе при вынужденных колебаниях определяется формулой:

 динамическое напряжение

Резонанс

Если частота собственных колебаний системы совпадает с частотой вынужденных колебаний, то коэффициент β=∞ при n=0. В этом случае напряжения, усилия и перемещения в упругой системе неограниченно возрастают, и это явление носит название резонанса. Если n≠0, то β имеет ограниченное значение.

Изобразим график зависимости между β и отношением частот θ/ω.

Нанесем квадратную сетку:

β

5                                                                               

4                                                                                                    

              3                                                                                                               

             2                                                                                                                 

             1                                                                                                                 

 0          0.5           1           1.5         2.0

При возрастании 2n/ω       β падает.

При θ/ω или ω/θ равным 1,5 графики слились.

 - при расчётах всегда берётся положительным.

Численные примеры

Пример 1: Определить частоту собственных колебаний системы.

Рассмотрим простейшую раму. (Собственная масса не учитывается)

                                                              

                      

                            

Система с одной степенью свободы, т.к. масса

e                                       EI=const                                     может перемещаться только горизонтально

                                                                                   т.к. продольными деформациями                          пренебрегаем.

                                                

 e

Нужно загрузить систему единичной силой в каком направлении? В центре массы и в направлении движения…………………………………………….

1 Строим эпюру  изгибающих моментов для заданной системы от единичной силы, приложенной к массе по направлению её движения при колебаниях (масса не перемещается вертикально)

 1

                                                                     Эп.

2 Определяем перемещение от единичной силы путём перемножения единичной эпюры самой на себя

3 Определяем частоту собственных колебаний по формуле:

Пример 2: На двух балках установлен двигатель весом P=1.8 kH. Амплитуда возмущающей силы S=0.4 kH. Двигатель делает n=3000 об/мин. Определить наибольшие нормальные напряжения в балке.

 
                                                                

                                                                                                           y         N8

                                                                                                                                                                                       z

 e/2=0.75M  P     e/2=0.72M

1

1/2   1*e/4     1/2

1 Геометрические характеристики сечения:

2 Строим эпюру изгибающих моментов для балки от единичной вертикальной силы, приложенной посредине полёта (масса мотора может перемещаться вертикально).

3 Определяем перемещения от единичной силы:

Перемещения от статического действия силы

4 Определяем частоту собственных колебаний системы (балки):

5 Определяем круговую частоту возмущающей силы:

Резонанса нет, двигатель работает за резонансом.

6 Определяем коэффициент нарастания амплитуды внутренних колебаний ( без учёта затухания):

При расчётах коэффициент берётся положительным

7 Определяем наибольшие нормальные напряжения в балке. (т.е полные от стат. силы P и дин. Силы S) максимальные динамические напряжения:

Максимальные динамические напряжения


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79197. Умышленное причинение тяжкого вреда здоровью. Состав и виды 34.79 KB
  Имеется в виду причинение вреда здоровью опасного для жизни человека который по своему характеру угрожает жизни потерпевшего и может вызвать его смерть. Причинение тяжкого вреда здоровью распространяется и на повреждения неопасные для жизни в момент их причинения но повлекшие угрожающие жизни состояния и заболевания или патологические состояния возникшие в результате воздействия различных внешних факторов и закономерно осложняющиеся угрожающим жизни состоянием или сами представляющие угрозу для жизни человека. В соответствии с...
79198. Заражение ВИЧ-инфекцией. Состав и виды 30.41 KB
  Способы совершения данного преступления различные: в результате полового контакта; при переливании крови или ее препаратов содержащих вирус; при контактах поврежденных поверхностей тела; при использовании для инъекций не стерильных шприцев а также женщинойвирусоносителем при родах либо с молоком матери зараженным вирусом и в других случаях. Состав преступления формальный для окончания преступления не требуется наступления последствий а именно заражения потерпевшего.
79199. Оставление в опасности 30.24 KB
  Преступление небольшой тяжести состав основной простой формальный Объект – общественные отношения обеспечивающие безопасность жизни или здоровья Обязательный признак – потерпевший другой человек находящийся в опасном для жизни или здоровья состоянии и лишенное возможности принять меры к самосохранению по малолетству старости болезни или вследствие своей беспомощности Объективная сторона характеризуется общественноопасным деянием в форме бездействия оставление без помощи вышеуказанного лица обстоятельства совершения...
79200. Общая характеристика преступлений против свободы, чести и достоинства личности 31.93 KB
  Отнесение рассматриваемой главы к разделу о преступлениях против личности которым открывается Особенная часть УК РФ вытекает из конституционных положений об охране свободы защите своей чести и доброго имени достоинства личности например ст. 126128 УК РФ; б честь и достоинство человека включая оценку его личности окружающими и им самим ст.
79201. Похищение человека. Состав и виды. Отличие от незаконного лишения свободы 34.79 KB
  Под похищением человека ст. Но при всех условиях похищение признается оконченным с момента захвата похищенного лица т. Наказание за похищение значительно усиливается при наличии квалифицирующих обстоятельств ч.
79202. Клевета. Состав и виды. Отличие от ложного доноса 34.68 KB
  С объективной стороны клевета определяется как распространение заведомо ложных сведений порочащих честь и достоинство другого лица или подрывающих его репутацию. Имеются в виду измышления заведомо ложные сведения подрывающие положительную оценку окружающими общественным мнением личности и его деятельности как не соответствующих этическим правовым профессиональным критериям. Обязательный элемент понятия клеветы распространение заведомо ложных сведений компрометирующих человека в устной или письменной форме в том числе в официальном...
79203. Общая характеристика преступлений против половой неприкосновенности и половой свободы личности 32.66 KB
  Разновидностью преступлений против личности являются общественно опасные посягательства на половую неприкосновенность и половую свободу человека. Видовым объектом преступлений являются общественные отношения обеспечивающие половую неприкосновенность и половую свободу личности. Непосредственным объектом выступают отношения связанные с посягательством на половую неприкосновенность и половую свободу конкретной личности нарушенные общественно опасным действием. Половые преступления в зависимости от непосредственного объекта можно подразделить...
79204. Изнасилование. Состав и виды 31.04 KB
  Беспомощное состояние потерпевшей при изнасиловании может выражаться в том что она: 1 не могла понимать характера и значения совершаемых действий в силу своего физического или психического состояния малолетства душевного расстройства беспамятства или иного болезненного состояния; 2 понимала характер совершаемых в отношении ее действий но не могла оказать сопротивления виновному физические недостатки сильное опьянение и т. Виновный же должен осознавать беспомощное состояние потерпевшей вне зависимости от того привел ли он сам...
79205. Насильственные действия сексуального характера. Состав и виды 29.74 KB
  Насильственные действия сексуального характера ст. Состав преступления предусмотренный этой статьей охватывает насильственное мужеложство и лесбиянство а также иные насильственные действия сексуального характера с применением или угрозой применения насилия либо с использованием беспомощного состояния потерпевшей потерпевшего. Под иными действиями сексуального характера понимаются любые кроме мужеложства и лесбиянства способы удовлетворения полового желания в извращенной форме.