99402

Аппроксимация полиномиальными функциями по методу наименьших квадратов

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Создать приложение для аппроксимации полиномиальными функциями по методу наименьших квадратов (реализации одномерная полиномиальная регрессия). При этом аппроксимирующая функция определяется в виде полиномиальной функции

Русский

2016-09-12

45.88 KB

0 чел.

Федеральное агентство связи

Волго-Вятский филиал Московского технического университета связи и информатики

Курсовая работа

на тему:

«Аппроксимация полиномиальными функциями по методу наименьших квадратов»

Выполнил студент: Проверил преподаватель:

Рогов Сергей Алексеевич Саладаев Е.Н.

Специальность: 210700

Студ. билет: №7БИН2040

2014

Цель работы: Создать приложение для аппроксимации полиномиальными функциями по методу наименьших квадратов (реализации одномерная полиномиальная регрессия). При этом аппроксимирующая функция определяется в виде полиномиальной функции

,

 где  m – степень полинома FQ(X),

  - коэффициенты искомого полинома,

которая будет наиболее близкой к исходной функции заданной табличными значениями, т.е. необходимо определить вектор коэффициентов полинома , при котором полиномиальная функция FQ(X) будет наиболее близкой к заданным в таблице точкам.

В качестве критерия близости используем квадратичный функционал

,     (2)

где    - искомый вектор коэффициентов полинома.


Содержание

  1.  Получение данных от пользователя
  2.  Получение матрицы коэффициентов уравнения (матрица Грама)
  3.  Составление системы уравнений
  4.  Решение системы уравнений методом Гаусса
  5.  Вычисление значений аппроксимирующей функции при данных Х, сравнение со входными Y, вычисление точности функции.
  6.  Выходные данные


  1.  Получение данных от пользователя

Данные от пользователя вводятся в таблицу на первом листе проекта. Программа автоматически загружает данные из ячеек в память:

n = Лист1.Cells(2, 7)

ReDim Values(1, n - 1)

Dim i As Integer, j As Integer

For i = 0 To 1

   For j = 0 To n - 1

       Values(i, j) = Лист1.Cells(j + 3, i + 2).Value

   Next j

Next i

  1.  Получение матрицы коэффициентов (матрица Грама)

Для получения коэффициентов системы необходимо составить матрицу Грама:

Dim degree As Integer

degree = Лист1.Cells(3, 7).Value

ReDim x(degree * 2, n) As Double

ReDim y(degree, n) As Double

For i = 0 To n - 1

   For j = 0 To degree * 2

       x(j, i) = Values(0, i) ^ j

       x(j, n) = Math.Round(x(j, n) + x(j, i), 8)

   Next j

   For j = 0 To degree

       y(j, i) = Values(0, i) ^ j * Values(1, i)

       y(j, n) = y(j, n) + y(j, i)

   Next j

Next i

В переменной degree будет храниться степень полинома. Для удобства дальнейших действий с данными матрицу Грама разделим на два массива, в массив x(degree * 2, n) записываются данные, получаемые из возведения в степень входных значений X, а в массив y(degree,n) значения, получаемые от произведения X в степени j и Y.

Также в последними элементами массивов являются суммы всех предыдущих элементов, именно из этих сумм и будет составляться система уравнений.


  1.  Составление системы уравнений

Из полученной матрицы коэффициентов составляем систему уравнений. Коэффициенты системы будут храниться в отдельном массиве linearSystem:

ReDim linearSystem(degree, degree + 1) As Double

For i = 0 To degree

   For j = i To i + degree ' 2

       linearSystem(i, j - i) = x(j, n)

   Next j

   linearSystem(i, degree + 1) = y(i, n)

Next i

  1.  Решение системы уравнений методом Гаусса

Полученную систему необходимо решить. Корни системы будут являться коэффициентами в аппроксимирующей функции. Систему решаем по методу Гаусса:

Dim eqNum As Integer

Dim rate As Double

For eqNum = 0 To degree

   rate = linearSystem(eqNum, eqNum)

   

   For i = 0 To degree + 1

       linearSystem(eqNum, i) = linearSystem(eqNum, i) / rate

   Next i

   

   For i = eqNum + 1 To degree

       rate = linearSystem(i, eqNum)

       For j = 0 To degree + 1

           linearSystem(i, j) = linearSystem(i, j) - linearSystem(eqNum, j) * rate

       Next j

   Next i

Next eqNum

For eqNum = 0 To degree

   For i = 0 To degree

       If linearSystem(eqNum, i) <> 0 And linearSystem(eqNum, i) <> 1 Then

           rate = linearSystem(eqNum, i)

           For j = 0 To degree + 1

               linearSystem(eqNum, j) = linearSystem(eqNum, j) - linearSystem(i, j) * rate

           Next j

       End If

   Next i

Next eqNum

Алгоритм решения системы состоит из двух циклов. В первом цикле формируется треугольная матрица следующим образом:

  1.  Цикл движется по уравнениям системы
  2.  Берётся значение на пересечении текущей строки и главной диагонали (если представить систему как матрицу)
  3.  Первый вложенный цикл проходит по всем коэффициентам текущего уравнения и делит их на значение из п.2
  4.  Второй вложенный цикл вычитает из всех последующих уравнений преобразованное текущее
  5.  После цикл движется по всем следующим уравнениям, проделывая то же самое. Получается треугольная матрица (все элементы ниже главной диагонали равны нулю)
  6.  Второй цикл преобразовывает матрицу в единичную

Поскольку система преобразована, то последние элементы массива системы уже содержат корни. Они выводятся на первый лист и по ним заполняется таблица отчетных значений.


  1.  Вычисление значений аппроксимирующей функции при данных Х, сравнение со входными Y, вычисление точности функции.

Поскольку необходимо сравнить исходные данные с данными, возвращаемыми аппроксимирующей функцией, считаем для входных Х значения функции и выводим их на Лист1:

Dim yVal As Double

Dim accSum As Double

For i = 0 To n - 1

   yVal = 0

   For j = 0 To degree

       yVal = yVal + solutions(j) * Values(0, i) ^ j

   Next j

   Лист1.Cells(3 + i, 4).Value = yVal

   Лист1.Cells(3 + i, 5).Value = (yVal - Values(1, i)) ^ 2

   accSum = Лист1.Cells(3 + i, 5).Value

Next i

Лист1.Cells(n + degree + 2, 4).Value = Лист1.Cells(2, 5).Value & degree & "="

Лист1.Cells(n + degree + 2, 5).Value = accSum


  1.  Выходные данные

В ходе выполнения программы на первых двух листах выводятся данные, получаемые при преобразованиях и вычислениях. Выводятся они для отчета, а также использовались при отладке.

По порядку выполнения программы выводятся следующие данные:

  1.  Таблица коэффициентов

X0

X1

X2

X3

X4

X0Y

X1Y

X2Y

1

-1

1

-1

1

0,01

-0,01

0,01

1

-0,9

0,81

-0,729

0,6561

-0,09

0,081

-0,0729

1

-0,8

0,64

-0,512

0,4096

-0,16

0,128

-0,1024

1

-0,7

0,49

-0,343

0,2401

-0,21

0,147

-0,1029

1

-0,6

0,36

-0,216

0,1296

-0,24

0,144

-0,0864

1

-0,5

0,25

-0,125

0,0625

-0,25

0,125

-0,0625

1

-0,4

0,16

-0,064

0,0256

-0,24

0,096

-0,0384

1

-0,3

0,09

-0,027

0,0081

-0,21

0,063

-0,0189

1

-0,2

0,04

-0,008

0,0016

-0,15

0,03

-0,006

1

-0,1

0,01

-0,001

0,0001

-0,08

0,008

-0,0008

1

0

0

0

0

0,01

0

0

1

0,1

0,01

0,001

0,0001

0,12

0,012

0,0012

1

0,2

0,04

0,008

0,0016

0,25

0,05

0,01

1

0,3

0,09

0,027

0,0081

0,4

0,12

0,036

1

0,4

0,16

0,064

0,0256

0,57

0,228

0,0912

1

0,5

0,25

0,125

0,0625

0,76

0,38

0,19

1

0,6

0,36

0,216

0,1296

0,97

0,582

0,3492

1

0,7

0,49

0,343

0,2401

1,2

0,84

0,588

1

0,8

0,64

0,512

0,4096

1,45

1,16

0,928

1

0,9

0,81

0,729

0,6561

1,71

1,539

1,3851

1

1

1

1

1

2

2

2

21

0

7,7

0

5,0666

7,82

7,723

5,0975

  1.  Коэффициенты системы уравнений

21

0

7,7

7,82

0

7,7

0

7,723

7,7

0

5,0666

5,0975

  1.  Преобразованная система

1

0

0

0,007856

0

1

0

1,002987

0

0

1

0,99416

  1.  Корни системы

Корни

0,007856

1,002987

0,99416

  1.  Таблица входных данных, значений аппроксимирующей функции и квадратичного функционала

 

x

y

σ

1

-1,00

0,01

-0,00097

0,000120367

2

-0,90

-0,09

-0,08956

1,91005E-07

3

-0,80

-0,16

-0,15827

2,98768E-06

4

-0,70

-0,21

-0,2071

8,42826E-06

5

-0,60

-0,24

-0,23604

1,56896E-05

6

-0,50

-0,25

-0,2451

2,40304E-05

7

-0,40

-0,24

-0,23427

3,27911E-05

8

-0,30

-0,21

-0,20357

4,13942E-05

9

-0,20

-0,15

-0,15298

8,85349E-06

10

-0,10

-0,08

-0,0825

6,25795E-06

11

0,00

0,01

0,007856

4,59884E-06

12

0,10

0,12

0,118096

3,62593E-06

13

0,20

0,25

0,248219

3,17081E-06

14

0,30

0,40

0,398226

3,14694E-06

15

0,40

0,57

0,568116

3,5496E-06

16

0,50

0,76

0,757889

4,45594E-06

17

0,60

0,97

0,967545

6,02494E-06

18

0,70

1,20

1,197085

8,49743E-06

19

0,80

1,45

1,446508

1,21961E-05

20

0,90

1,71

1,715814

3,37987E-05

21

1,00

2,00

2,005003

2,50282E-05

  1.  Суммы квадратичных функционалов

σ2=

2,50282E-05

σ3=

2,99193E-06

σ4=

1,15802E-07

σ5=

1,20453E-06

По данным из этих таблиц формируются два графика:

  1.  График сравнения входных Y и возвращаемых полученной функцией

  1.  График изменения точности аппроксимации в зависимости от степени полинома


Заключение

В ходе выполнения курсовой работы был реализован алгоритм аппроксимации полиномиальными функциями по методу наименьших квадратов. При работе с полученной программой я убедился, что степень полинома влияет на точность получаемой функции, но это вовсе не означает, что увеличение степени увеличивает точность. Для получения наилучшего результата следует сравнить несколько функций и выбрать ту, где точность аппроксимации больше всего. Это и будет самая точная аппроксимирующая функция.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41860. Окислительно-восстановительное титрование. Иодометрическое определение пероксида водорода. Иодометрическое определение растворённого в воде кислорода 65.63 KB
  Сформировать умения по стандартизации раствора тиосульфата натрия; выполнению иодометрического определения пероксида водорода; иодометрического определения растворенного в воде кислорода. При этом к определяемому веществу добавляют взятое в заведомом избытке точное количество стандартного раствора иода. Какую среду сильнокислую слабокислую должен иметь раствор после добавления серной кислоты Почему при добавлении крахмала амилозы к раствору иода появляется синее окрашивание Какие ещё вещества могут взаимодействовать с иодом...
41861. Определение удельной теплоты плавления олова 286.55 KB
  Температура при которой вещество плавится называется температурой плавления вещества. Температура плавления для данного вещества при одинаковых условиях одинакова. Однако это не значит что в процессе плавления к телу не надо подводить энергию.
41862. Диаграмма Парето 48.04 KB
  Например если на складе находится большое число деталей проводить контроль всех деталей без всякого различия неэффективно. Но если разделить детали на группы по их стоимости то на долю группы наиболее дорогих деталей группа А составляющих 2030 от общего числа деталей придётся 7080 от общей стоимости всех деталей. На долю группы самых дешёвых деталей группа С составляющей 4050 от всего количества деталей придётся всего 510 от общей стоимости. Контроль деталей на складе будет эффективным если контроль деталей группы А будет...
41863. Редактирование рабочей книги. Построение диаграмм 976.65 KB
  Изучение способов работы с данными в ячейке. Изучение возможностей автозаполнения. Построение диаграмм. Создание и сохранение таблицы (рабочей книги). Форматирование содержимого ячеек, выбор диапазона ячеек и работа с ними, редактирование содержимого ячеек.
41864. Функционально-стоимостной анализ в конструкторской подготовке производства 296 KB
  Функционально-стоимостной анализ — метод, позволяющий отбирать наилучшие технические решения при создании и освоении новой техники (технологии), увязывать в единый комплекс вопросы обеспечения функциональной полезности и качества новой техники (технологии)
41865. Гистограмма. Характерные типы гистограмм 82 KB
  Результаты измерений вводим в электронную таблицу. В ячейку А1 вводим заголовок работы. Начиная с ячейки А3 вводим в столбец порядковые номера измерений с 1 по 100 например при помощи команды ПравкаЗаполнитьПрогрессия . В ячейки В3:В102 вводим значения коэффициента деформации из табл.
41866. Графики. Построение и виды графиков. 53.14 KB
  На третьем шаге вводим заголовки диаграммы и осей основные линии сетки по осям удаляем легенду. Характер изменения выручки а также прогноз даёт линия тренда построить которую можно открыв контекстное меню на ломаной линии и выбрав команду Добавить линию тренда. В открывшемся диалоговом окне на вкладке Тип показаны возможные типы линии тренда. Чтобы выбрать тип линии наилучшим образом аппроксимирующий данные можно поступить следующим образом: поместить на диаграмме линии тренда всех приемлемых типов т.
41867. Построение фигур и линий в CorelDRAW. Рабочая среда и интерфейс пользователя 549.49 KB
  Модель кривой В основе принятой в CorelDRW модели линий лежат два понятия: узел и сегмент. По характеру предшествующих сегментов выделяют три типа узлов: начальный узел незамкнутой кривой прямолинейный и криволинейный. В средней части строки состояния для кривой выводится обозначение класса объекта Кривая на слое 1 а также количество узлов этой кривой. Вместо этого задается расположение узлов будущей кривой и появляется возможность уже в процессе построения воздействовать на положение направляющих точек в каждом из них.
41868. Табличный процессор Excel. Ознакомление. Форматирование таблиц в Excel 202.96 KB
  Название ошибки Значение ошибки ДЕЛ 0 Деление на нуль Н Д Неопределенные данные ИМЯ Программа не может распознать имя использованное в формуле ПУСТО Задано пересечение областей не имеющих общих ячеек ЧИСЛО Возникли проблемы с числом ССЫЛКА Формула неправильно ссылается на ячейку например если ячейки были удалены ЗНАЧ Аргумент или операнд имеет недопустимый тип ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ: Задание Создать таблицу в соответствии с предложенным вариантом по образцу. Создайте таблицу в соответствии с вашим вариантом по образцу Для...