99427

Численные методы и оптимизация

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Получить линейную и квадратичную аппроксимирующие функции заданной функции yx методом наименьших квадратов для степенного базиса: выполнить расчет параметров линейной аппроксимирующей функции; получить систему нормальных уравнений и выполнить расчет ее параметров для проведения квадратичной аппроксимирующей функции; проверить полученные результаты; вычислить значения аппроксимирующих функций в узлах аппроксимации; построить график заданной функции множество заданных точек и графики функций линейной и квадратичной...

Русский

2016-09-14

178.18 KB

0 чел.

Московский  технический университет
связи и информатики

Курсовая работа по предмету

Информатика

Н.Новгород

2012 год

Задание

  1. Получить линейную  и квадратичную  аппроксимирующие функции заданной функции y(x) методом наименьших квадратов для степенного базиса:
  2. выполнить расчет параметров линейной аппроксимирующей функции;
  3. получить систему нормальных уравнений и выполнить расчет ее параметров для проведения квадратичной аппроксимирующей функции;
  4. проверить полученные результаты;
  5. вычислить значения аппроксимирующих функций в узлах аппроксимации;
  6. построить график заданной функции (множество заданных точек) и графики функций линейной и квадратичной аппроксимации;
  7. оценить качество аппроксимации.
  8. Найти два корня уравнения  с заданной точностью :
  9. отделить корни уравнения;
  10. проверить (аналитически) условия сходимости применяемых методов решения уравнений. В случае необходимости привести уравнение к виду, обеспечивающему сходимость процесса приближения к корню;
  11. выбрать начальные приближения;
  12. записать рекуррентную формулу для уточнения корня и произвести по ней расчеты;
  13. оценить погрешности.
  14. Вычислить  при разбиении отрезка интегрирования на n1=10 и n2=20 интервалов, где x1,  x2 - корни уравнения :
  15. оценить погрешность.
  16. Определить точку экстремума функции  методами одномерной оптимизации (с точностью ):
  17. проверить условие унимодальности функции и выбрать начальный отрезок оптимизации;
  18. провести расчеты по сокращению отрезка оптимизации и проверить условие окончания поиска минимума (максимума) функции.


  1. Нахождение линейной и квадратичной аппроксимирующих функций

Исходная функция  задана таблицей.

i

0

1

2

3

4

5

xi

7

9

11

13

15

17

y(x)

-1.976

-0.19

1.576

3.056

2.926

2.524

Линейная аппроксимирующая функция имеет вид

Найдем параметры линейной аппроксимации:

 

 

Проверим полученные данные средствами MathCad:

или

Искомая линейная аппроксимирующая функция примет вид:

Квадратичная аппроксимирующая функция имеет вид . Для определения параметров многочлена второй степени составим и решим систему нормальных уравнений.

Запишем в следующую таблицу элементы матрицы Грама и столбец свободных членов:

i

x0

x1

x2

x3

x4

y

xy

x2y

0

1

7

49

343

2401

-1.976

-13.832

-96.824

1

1

9

81

729

6561

-0.19

-1.710

-15.390

2

1

11

121

1331

14641

1.576

17.336

190.696

3

1

13

169

2197

28561

3.056

39.728

516.464

4

1

15

225

3375

50625

2.926

43.890

658.350

5

1

17

289

4913

83521

2.524

42.908

729.436

6

72

934

12888

186310

7.916

128.32

1982.732

Система нормальных уравнений примет вид:

Найдем решение этой системы уравнений:

Проверим полученные данные средствами MathCad:

Искомая квадратичная аппроксимирующая функция примет вид:

Значения исходной функции y(x), а также аппроксимирующих функций F1(x) и F2(x) в узлах аппроксимации приведены в таблице 3:

x

7

9

11

13

15

17

y(x)

-1.976

-0.19

1.576

3.056

2.926

2.524

F1(x)

-1.06124

-0.10901

0.84322

1.79545

2.74768

3.6999

F2(x)

-2.16402

0.11124

1.7249

2.67696

2.96742

2.59628

Графики  функций  линейной  и  квадратичной  аппроксимации  показаны  на рисунке

Оценим качество аппроксимации:

Для линейной функции: ρlin=0.85478

Для квадратичной функции: ρsq=0.22319

Получили, что ρ21, из чего можно сделать вывод, что квадратичная аппроксимация более качественная.

  1. Решение уравнения F2(x)=0 с точностью E = 10-3.

Решим уравнение  .

Найдем производные функции F2(x):

Для отделения корней уравнения составим таблицу знаков функции F2(x) и ее производной F2’(x):

x

7

9

19

21

F2(x)

-2.16402

0.11124

1.53654

-0.1308

Sign F2(x)

-

+

+

-

F2’(x)

1.30303

0.97223

-0.68177

-1.01257

Sign F2’(x)

+

+

-

-

На отрезках [7;9] и [19;21] функция F2(x) меняет знак, т.е. существует, по крайней мере, по одному корню, принадлежащему каждому из этих отрезков. Поскольку знак первой (и второй) производной на выбранных отрезках остается постоянным, то можно сказать, что функция на этих отрезках монотонна. Следовательно, выбранные отрезки содержат по одному корню.

  1. Уточним первый корень уравнения F2(x)=0 на отрезке [7;9] методом Ньютона.

Проверим выполнение достаточных условий сходимости метода Ньютона:

F2(x) непрерывна на отрезке [7;9]

F2(7)∙F2(9)<0

F2’(x) и F2”(x) отличны от нуля и сохраняют знаки при .

Выберем начальное приближение x0, удовлетворяющее условию

Возьмем x0=8, поскольку F2”(x)=-0.1654<0 и F2(8)<0.

Рекуррентная формула для уточнения корня уравнения по методу Ньютона:

Уточним корень уравнения на отрезке [7;9].

Условие окончания поиска корня:

Результат запишем в таблицу:

i

xi

F2(xi)

F2’(xi)

xi-1

xi-xi-1

0

8

-0.94369

1.13763

1

8.82952

-0.05691

1.00043

8

0.82952

2

8.88641

-2.67583∙10-4

0.99102

8.82952

0.05688

3

8.88668

-6.02921∙10-9

0.99097

8.88641

2.70008∙10-4

Оценим погрешность вычисления 1-го корня после 3 итераций, используя формулу , где , .

Получим .

Проверим найденный корень уравнения средствами MathCad:

Таким образом, x1=8.88668.

  1. Уточним второй корень уравнения F2(x)=0 на отрезке [19;21] методом итераций.

F2(x) дифференцируема и имеет разные знаки на отрезке [19;21].

Найдем итерирующую функцию. Итерирующая функция  обеспечивает выполнение условия сходимости  для . Выберем параметр λ по правилу:

В нашем случае r=1.01257 и F2’(x)<0, следовательно, . Пусть λ=0.9.

Запишем рекуррентную формулу для вычисления приближений к корню:

Выберем начальное приближение к корню, например, x0=20.

Условие окончания поиска корня:

Результат запишем в таблицу:

i

xi

F2(xi)

xi-1

xi-xi-1

0

20

0.79907

1

20.71916

0.14704

20

0.71916

2

20.8515

0.01774

20.71916

0.13234

3

20.86747

1.95535∙10-3

20.8515

0.01597

4

20.86922

2.10545∙10-4

20.86747

1.74992∙10-3

5

20.86941

2.27685∙10-5

20.86922

1.8949∙10-4

Оценим погрешность вычисления 2-го корня после 4 итераций, используя формулу , где .

Получим .

Проверим найденный корень уравнения средствами MathCad:

Таким образом, x2=20.86941.

  1. Вычисление определенного интеграла  методами Симпсона, трапеций и средних прямоугольников, полагая n1=10 и n2=20.

Вычислим интеграл

Метод средних прямоугольников:

Метод трапеций:

Метод Симпсона:

Результаты занесем в таблицу:

n

Метод средних прямоугольников

Метод трапеций

Метод Симпсона

10

Ip = 22.93436

It = 22.84409

Is = 24.07783

20

Ip = 23.54567

It = 23.55861

Is = 23.83782

Оценка погрешности по правилу Рунге:

Для методов средних прямоугольников и трапеций при k=2

Rср.пр. = 0.20377

Rтрап. = 0.23817

Для метода Симпсона при k=4

RСимп. = 0.016

Вычислим значение  средствами MathCad:

  1. Определение точки экстремума функции F2(x) методами одномерной оптимизации с точностью E=10-2.

Определим функцию

Для нахождения точки экстремума функции f(x) применим методы дихотомии и золотого сечения.

Выясним, унимодальна ли функция y(x), и выберем отрезок неопределенности. Рассмотрим отрезок [14.2;15.2].

Получили, что функция f(x) дважды дифференцируема на рассматриваемом отрезке, ее первая производная f’(x) не убывает на этом отрезке, а вторая производная f’’(x)>0. Таким образом, на отрезке [14.2;15.2] функция f(x) унимодальна, и, следовательно, этот отрезок может быть выбран в качестве начального отрезка неопределенности. Найдем точку экстремума методами дихотомии и золотого сечения.

Условия прекращения поиска:

Метод дихотомии:

i

a

b

x1

x2

f(x1)

f(x2)

b-a

0

14.2

15.2

14.698

14.702

-2.96597

-2.96609

1

1

14.698

15.2

14.947

14.951

-2.96826

-2.96821

0.502

2

14.698

14.951

14.8225

14.8265

-2.96839

-2.96843

0.253

3

14.8225

14.951

14.88475

14.88875

-2.96865

-2.96864

0.1285

4

14.8225

14.88875

14.85362

14.85763

-2.9686

-2.96862

0.06625

5

14.85362

14.88875

14.86919

14.87319

-2.96864

-2.96865

0.03513

6

14.86919

14.88875

14.87697

14.88097

-2.96865

-2.96865

0.01956

7

14.86919

14.88097

14.87308

14.87708

-2.96865

-2.96865

0.01178

8

14.87308

14.88097

14.87502

14.87902

-2.96865

-2.96865

7.89063∙10-3

После 8 итераций получили xmin=14.87702 и f(xmin)=-2.96865. Учитывая, что мы обозначали f(x)=-F2(x), значение исходной функции в этой точке F2(xmin)=2.96865.

Метод золотого сечения:

i

a

b

x1

x2

f(x1)

f(x2)

b-a

0

14.2

15.2

14.582

14.818

-2.9614

-2.96835

1

1

14.582

15.2

14.818

14.96392

-2.96835

-2.96804

0.618

2

14.582

14.96392

14.72789

14.818

-2.96679

-2.96835

0.38192

3

14.72789

14.96392

14.818

14.87376

-2.96835

-2.96865

0.23603

4

14.818

14.96392

14.87376

14.90818

-2.96865

-2.96857

0.14592

5

14.818

14.90818

14.85245

14.87376

-2.9686

-2.96865

0.09018

6

14.85245

14.90818

14.87376

14.88689

-2.96865

-2.96864

0.05573

7

14.85245

14.88689

14.86561

14.87376

-2.96864

-2.96865

0.03444

8

14.86561

14.88689

14.87376

14.87876

-2.96865

-2.96865

0.02129

9

14.87376

14.88689

14.87876

14.88188

-2.96865

-2.96865

0.01313

10

14.87376

14.88188

14.87686

14.87876

-2.96865

-2.96865

8.11468∙10-3

После 10 итераций получили xmin=14.87782 и f(xmin)=-2.96865. Учитывая, что мы обозначали f(x)=-F2(x), значение исходной функции в этой точке F2(xmin)=2.96865.

Выполним задачу оптимизации средствами MathCad:

Таким образом, функция  имеет максимум в точке x=14.87805.

 


Список литературы:

  1. Лекции по информатике
  2. Методические указания и контрольные задания по дисциплине Информатика. Численные методы и оптимизация. Г.К.Сосновиков, И.Б.Юскова, Н.П.Муравьев. 2008 г.
  3. Практическое решение инженерных и научных задач на ПК с использованием математических пакетов. В.Н.Шакин, Т.И.Семенова, О.М.Кравченко. 2010 г.

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2774. Затухающие электрические колебания в колебательном контуре 181.5 KB
  Затухающие электрические колебания в колебательном контуре Приборы и принадлежности: лабораторная панель «Затухающие колебания», источник постоянного тока, осциллограф, магазин сопротивлений. Введение. Замкнутая электрическая цепь, состоящая ...
2775. Исследование и применение зеркального гальванометра 236 KB
  Исследование и применение зеркального гальванометра Приборы и принадлежности: гальванометр М17, лабораторная панель, длинный соленоид, катушка на вращающейся подставке. Введение. Гальванометр – это электроизмерительный прибор высокой чувствител...
2776. Измерение индукции магнитного поля электромагнита 57 KB
  Измерение индукции магнитного поля электромагнита Приборы и принадлежности: электромагнит, весы Ампера, разновес, два стабилизированных источника постоянного тока. Введение. Согласно закону Ампера на элемент тока  в магнитном поле действует сил...
2777. Изучение эффекта холла в полупроводниках 138.5 KB
  Изучение эффекта холла в полупроводниках Приборы и принадлежности: датчик Холла, электромагнит, два источника питания постоянного тока, милливеберметр, миллиамперметр, цифровой вольтметр. Введение. Одним из наиболее интересных гальваномагнитных явле...
2778. Определение точки кюри ферромагнетиков 119.5 KB
  Определение точки кюри ферромагнетиков Приборы и принадлежности: электрические печи с ферромагнитными образцами, автотрансформатор РНШ (регулятор напряжения школьный), амперметр, термопара, два милливольтметра. Введение. Основные особенности феррома...
2779. Определение магнитного момента протона 275.5 KB
  Определение магнитного момента протона Приборы и принадлежности, электромагнит ЭМ-1, источник питания постоянного тока Б5-49, измеритель магнитной индукции Ш1-9, частотомер Ч3-44, амперметр постоянного тока. Введение. Магнитное поле в веществе созда...
2780. Изучение компенсационного метода измерений 37.08 KB
  Изучение компенсационного метода измерений. Цель работы. Ознакомиться с компенсационным методом измерений. Произвести измерения с помощью потенциометра ПП-63. Компенсационный метод применяется для точного измерения ЭДС, напряжения и потенциала.
2781. Электростатическое моделирование электростатического поля 48 KB
  Цель работы: изучить свойства электростатического поля, изучить метод электростатического моделирования электростатического поля. Теория. Суммарный заряд электрически изолированной системы не может изменяться. Это закон сохранения электрического зар...
2782. Изучение резонанса токов и напряжений 245 KB
  Изучение резонанса токов и напряжений Приборы и принадлежности. Реостат, катушка с выдвигаемым железным сердечником, магазин емкостей, амперметр, вольтметр. Резонанс напряжений. Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из соединенных последовательно...