ID: 99432

Название работы: Решение системы нормальных уравнений. Численные методы и оптимизация

Категория: Курсовая

Предметная область: Информатика, кибернетика и программирование

Описание: Составить и решить систему нормальных уравнений; определить параметры аппроксимирующих функций; вычислить значения аппроксимирующих функций в узлах аппроксимации; построить график заданной функции (множество точек) и графики функций линейной и квадратичной аппроксимации; оценить качество аппроксимации.

Язык: Русский

Дата добавления: 2016-09-15

Размер файла: 629.5 KB

Работу скачали: 0 чел.

Московский  технический университет по связи и информатике

Заочная форма обучения

Курсовая работа по предмету:

Информатика

Тема: Численные методы и оптимизация

                                                               Студентака 1 курса

                                                                                Специальности 210406 УФО

                                                                 Студенческий билет

                                              7КТ08011

                                                          Преподаватель:

                                              Саладаев     

Н.Новгород

2009 год

Вариант 11

Задание 1

1.  Для заданной функции y(x) методом наименьших квадратов для степенного базиса получить линейную F1(x) = a0 + a1x и квадратичную F2(x) = a0 + a1x + a2x2 аппроксимирующие функции:

•  составить и решить систему нормальных уравнений;
•  определить параметры аппроксимирующих функций;
•  вычислить значения аппроксимирующих функций в узлах аппроксимации;
•  построить график заданной функции (множество точек) и графики функций линейной и квадратичной аппроксимации;
•  оценить качество аппроксимации.

1.  Найти два корня уравнения F2(x) = 0 с заданной точностью Е:

•  отделить корни;
•  проверить (аналитически) условия сходимости применяемых методов решения уравнений. В случае необходимости привести уравнение к виду, обеспечивающему сходимость процесса приближения к корню;
•  выбрать начальное приближение;
•  записать рекуррентную формулу для уточнения корня;
•  оценить погрешность.

1.  Вычислит dx при разбиении отрезка интегрирования на

   n1 = 10 и  n2 = 20 подинтервалов , x1,  x2 - корни уравнения F2(x):

•  оценить погрешность.

1.  Определить точку экстремума функции F2(x) методами одномерной оптимизации (с точностью Е):

•  проверить условие унимодальности и выбрать начальный отрезок оптимизации;
•  записать условие окончания поиска минимума (максимума) функции.

Задание 1. Для заданной функции у(х) методом наименьших квадратов для степенного базиса получить линейную F1(x) = a0 + a1x и квадратичную F2(x) = a0 + a1x + a2x2 аппроксимирующие функции Функция y = y(x) задана таблицей.

Таблица 1

I	0	1	2	3	4	5
xi	7	9	11	13	16	17
y(x)	-1,976	-0,19	1,576	3,056	2,926	2,524

Запишем параметры линейной аппроксимации:

= == 12,167;                =   = =1,319333

a1 =   ==0,4546813

a0 =   – a1 = 1,319333-0,4546813*12,167= -4,212623

Искомая линейная аппроксимирующая функция:

F1(x) = -4,212623+0,4546813х

Алгоритм решения приведен ниже:

CLS

n=6

DIM xs(n)

DIM y(n)

xs(1)=7: xs(2)=9: xs(3)=11: xs(4)=13: xs(5)=16: xs(6)=17

y(1)=-1,976:y(2)=-0,19:y(3)=1,576:y(4)=3,056:y(5)=2,926:y(6)=2,524

sx=0:sy=0:sx2=0:sxy=0

FOR i=1 TO n

sx=sx+xs(i)

sy=sx+y(i)

sx2=sx2+xs(i)^2

sxy=sxy+xs(i)*y(i)

NEXT

xc=sx/n

yc=sy/n

a1=(sxy-n*xc*yc)/(sx2-n*xc^2)

a0=yc-a1*xc

PRINT “For line function”

PRINT “a1=”; a1

     PRINT”a0=”; a0

Составим и решим систему нормальных уравнений для определения параметров многочлена второй степени           F2(x) = a0 + a1x + a2x2

(n+1)a0 + ( Σxi )a1 + ( Σxi2)a2  = Σ  yi

( Σxi )a0 + ( Σxi2)a1 + ( Σx3)a2  = Σ  xi yi

(Σxi2)a0 + ( Σxi3 )a1 + ( Σxi4)a2  = Σ  xi2 yi .

В таблицу 2 запишем элементы матрицы Грамма и столбец свободных членов.

Таблица 2

	i	x	x	y	x	x	x	xy	xy
	0	1	7	-1,976	49	343	2401	-96,824	-13,832
	1	1	9	-1,976	81	729	6561	-15,39	-1,71
	2	1	11	-1,976	121	1331	14641	190,696	17,336
	3	1	13	-1,976	169	2197	28561	516,464	39,728
	4	1	16	-1,976	256	4096	65536	749,056	46,816
	5	1	17	-1,976	289	4913	83521	729,436	42,908
сумма			73	7,916	965	13609	201221	2073,438	131,246

Коэффициенты и столбец свободных членов представлены в таблице 3:

Таблица 3

6	73	965	7,916
73	965	13609	131,246
965	13609	201221	2073,438

Система нормальных уравнений имеет вид:

6а0  +  73а1      +  965а2   = 7,916

73а0  +  965а1      +  13609а2  =  131,246

965а0 + 13609а1   201221а2 = 2073,438

Решение системы нормальных уравнений:

а2 = -15,39452;   а1 = 2,468724;  а0 = -0,0828329

Искомая аппроксимирующая функция:

F2(x) =-0,0828329 x2 +2,468724 x - 15,39452

Значения аппроксимирующих функций F1{x} и F2{x} в узлах аппроксимации приведены в таблице 4:

 

X	F(x)	F(x)
12	-1,029853	-2,172264
13	-0,1204909	0,1145317
14	0,788718	1,738665
15	1,698234	2,700134
16	3,062278	2,899845
17	3,51696	2,635084

Таблица 4

Алгоритм решения задачи приведен ниже:

DIM x0 (n): DIM x1(n): DIM x2(n): DIM x3(n): DIM x4(n)

DIM xy(n): DIM yx2(n)

FOR I = 1 TO n

x0(i) = 1

x1(i) = xs(i)

x2(i) = xs(i)^2

x3(i) = xs(i)^3

x4(i) = xs(i)^4

xy(i) = xs(i)*y(i)

yx2(i) = y(i) *xs(i)^2

sx0 =sx0 +x0(i)

sx1 =sx1 +x1(i)

sx3 =sx3 +x3(i)

sx4 =sx4 +x4(i)

syx2 =syx2+yx2(i)

NEXT

INPUT c

‘gauss

DIM a(3, 4)

a(1, 1) = n

a(1, 2) = sx

a(1, 3) = sx2

a(1, 4) = sy

a(2, 1) = sx

a(2, 2) = sx2

a(2, 3) = sx3

a(2, 3) = sx3

a(2, 4) = sxy

a(3, 1) = sx2

a(3, 2) = sx3

a(3, 3) = sx4

a(3, 4) = syx2

CLS

FOR i = 1 TO 3

FOR j = 1 TO 4

LOCATE 4 * i, 10 * j

PRINT a(i, j)

NEXT j

NEXT i

n1 =3

FOR i = 1 TO n1

maxabs = ABS(a(i,i))

k =i

FOR 1 =i + 1 TO n1

  IF ABS (a(1,i))> maxabs THEN

       maxabs = ABS(a(i,i))

       k =1

  END IF

NEXT 1

IF k <>I THEN

  FOR j  = i TO n1 +1

  V =a(i, j)

  a(i, j) = a(k, j)

  a(k, j) =v

NEXT j

END IF

V =a(i, i )

FOR j =i TO n1 +1

  a(i, j) = a(i, j)/v

NEXT j

FOR I =I +1 TO n1

   v = a(1, i)

   FOR j =i +1 TO n1 +1

   a(1, j) =a(1, j) – a(i, j )*v

NEXT j

NEXT 1

NEXT i

x(n1) = a(n1, n1 +1)

FOR i = n1 – 1 TO 1 STEP -1

x(i) = a(i, n1 +1)

FOR j = i + 1 TO n1

x(i) = x(i) – a(i, j) * x(j)

NEXT j

NEXT i

FOR i = 1 TO n1

PRINT x(i)

NEXT i

INPUT c

‘znach fiinkcy

DIM zn(4, 6)

CLS

FOR i = 1 TO n

zn(1, i) = xs(i)

zn(2, i) = al *xs(i) + a0

zn(3, i) = x(3) * xs(i) ^ 2 + x(2) * xs(i) + x(1)

zn(4, i) = y(i)

NEXT i

FOR i = 1 TO 4

FOR j = 1 TO 6

LOCATE 4 * i, 10 * j

PRINT zn(i, j)

NEXT j

NEXT i

Графики  функций  линейной  и  квадратичной  аппроксимации  показаны  на рисунке

Оценим качество аппроксимации:

ρ = sqr(1/(n+1)* ∑ (Fm(xi) – y(xi))2)   

Для линейной функции: р1=0,8531963

Для квадратичной функции: р2=0,2226294

Алгоритм оценки качества аппроксимации:

plin = 0

pkv =0

FOR i =1 TO n

plin= plin + (zn(2,i) – y(i)) ^ 2

pkv = pkv + (zn(3, i) – y(i)) ^ 2

NEXT i

       plin =SQR(plin /n)

      pkv = SQR(   pkv /n)

     PRINT “plin=”; plin

     PRINT “pkv =”; pkv

      p2<p1, значит аппроксимация квадратичной функции более качественная.

Задание 2.  Решение уравнения F2(x) с точностью Е = 10-3 . Для отделения корней уравнения F2(x)=-0,0828329x+ 2,468724x – 15,39452

составим таблицу знаков функции F2.

Таблица 5

X	7	9	19	21
F2(x)	2,17226	0,11453	1,680858	-8,058Е-02
Sign	-	+	+	-

На отрезках [7; 9] и [16; 17] функция F2(x) меняет знаки, т.е. существует, по крайней мере, по одному корню.   Убедимся, что эти корни единственны на каждом из отрезков.

Производная F2'(x) = -0,1656647х + 2,4687105, F”(х) =-0,1656647 < 0

F2"(x) = 0.051 > 0, следовательно, производная F2'(x) - монотонно убывающая функция.

Составим таблицу знаков функции на выбранных отрезках:

X	7	9	19	21
F2’(x)	1,309	-0,978	0.679	1,01
Sign	-	-	+	+

При х [19;21] функция F(x) монотонно возрастает (так как F2'(x) >0, F2'(19) >0,
F2'(21) >0), то  есть отрезок содержит единственный корень, причем F2'(x) сохраняет знак.

При х [7; 9] функция F2(x) монотонно убывает (так как F2'(x) < 0, F2'(16) < 0, F2'(17) < 0),), то есть отрезок содержит единственный корень.

На отрезке   [19;21] уточним корень методом Ньютона.

Достаточные условия сходимости метода Ньютона определены следующим образом:

1. F2(x) непрерывна на [a; b] и F2(a) - F2(b) < 0;

2. F2'(x) и F2"(x) отличны от нуля и сохраняют знаки при х [a; b]

Приведенные выше требования выполняются, выбираем начальное приближение х, удовлетворяющее условию: F2'(x) - F2"(x) > 0. F2"(x) < 0 и F(7) < 0, следовательно х=20

Рекуррентная формула: х = х -  i = 0,1 ,

Из оценки погрешности | x≤  следует условие окончания 0,09053359.

Где М- модуль наибольшего значения F2"(x) и m - модуль наименьшего значения F2'(x). М2=0,1656658, m1=0,6789258, Е=10-4.

Результаты решения уравнения F2(x) =0 на отрезке [19;21] представлены в таблице:

Таблица 6

I	X			X	X
0	19	1,608564	-0,6789258	21,36928
1	21,36928	-0,4649808	-1,071434	20,9353	2,3693
2	20,9353	-0.0156014	-0,99954	20,91969	2,3693
3	20,91969	-0,00002098	-0,996953	20,91967	0,43398
4	20,91967	-6,36E-08	-0,996946	20,91967	1,561E-02

x = 20,91967 – уточненный корень на отрезке [19;21], погрешность равна 5,37Е-11.

Алгоритм решения задачи приведен ниже:

as1 = 2*x(3)

as0 = x(2)

et = 10^(-3)

a =19

b =21

xnminus = a

f1 = ABS(as1 * a + as0)

f1 = ABS(as1 * b + as0)

IF f1 > f2 THEN m1 =f1 ELSE m1 = f1

M2 =ABS (ass)

PRINT “as1=”; as1; “as0=”; as0

PRINT “a2=”; x(3); “a1=”; x(2); “a0=”;

x(1)

k =2*et * m1/M2

usl = SQR(k)

PRINT “m1=”; m1; “M2=”; M2; “uslovie okonchaniya=”; usl;””

f =x(3)* xnminus^2 +x(2) * xnminus +x(1)

fs = as1 * xnminus +as0

xn = xnminus – f/ fs

d =ABS(xn - xnminus)

PRINT “n=0, x=”; xnminus; “f=”; f; “fs=”; fs

n = 1

f =x(3) * xn^2 +x(2) * xn +x(1)

fs =as1 * xn +as0

PRINT “n=”; n; “x=”; xn; “f=”; f; “fs=”; fs; ”

xn-x(n-1)=”; d

WHILE d >usl

xnplus = xn = (f / fs)

fs =as1 * xnplus + as0

fs = as1 * xnplus ^ 2 + x(2) * xnplus +x(1)

d = ABS(xn - xnminus)

n = n+1

PRINT “n=”; “x=”; xnplus; “f=”; f; “fs=”;

fs; “x(n) – x(n-1)”; d

xnminus =xn

xn = xnplus

WEND

‘pogreshnost

pog = (xn - xnminus) ^ 2*M2 /(2 * m1)

PRINT “pogreshnost=”; pog

xk1 =xn

На отрезке [7; 9] уточним корень методом итерации.

F2(х) – дифференцируема и имеет разные знаки на отрезке [7; 9]:

F2(9)> 0, F2(7) < 0, F2'(x)≠0.

Итерирующая функция φ(х) = λ * F2(х) +х обеспечивает выполнение условия сходимости | φ(х)| < 1

Правило выбора параметра λ заключается в следующем:

если  F2'(x)>0

если F2'(x) < 0

Где r  = max ( | F2'(a)|, | F2'(b)|). F2'(x)>0, следовательно , -1 < λ <0.

Пусть λ = -0,5. Тогда последовательные приближения к корню вычисляются по формуле : х

Полагаем х=10.

Условие окончания поиска корня заключается в следующем:

|x

|F2(xi) - F2( х)| <E

Оценка погрешности:

|x* - xi | ≤ 

                                                  x

Следовательно, погрешность равна 1,178Е – 03,

Результаты решения представлены в таблице 7:

Таблица 7

I	х	х - х	F2(х)	F2(х)= F2(х)
0	8		-9,46 –01
1	8,473017	0,47302	-0,4237	0,5223
2	8,684877	0,21186	-0,2017994	0,2219
3	8,835138	0,1009	-0,09872	0,1031
4	8,859593	4,936E –02	-4,89103E –02	4,981E –02
5	8,871784	2,446E –02	-2,43814E –02	2,453E - 02
6	8,877879	1,219E –02	-1,21908E –02	1,219E –02
7	8,877879	6,095E- 03	-6,10516E –02	6,086E -03
8	8,880932	3,053E –03	-3,05944E –03	3,046E -03
9	8,882462	1,5297E –03	-1,53383E –03	1,526E –03
10	8,883228	7,667E -04	-7,69267E –04	7,646E -04

x2 = 8,883228 – уточненный корень на отрезке [7; 9] , вычисленный с погрешностью 1,178Е –03

Алгоритм решения задачи приведен ниже:

CLS

a = 7

b = 9

l =-0.5

x0 =(a+b)/2

e = 10 ^ (-3)

fix0 =l (x(3)*x0 ^2 +x(2) * x0 +x(1)) +x0

m = ABS (x0 – fix0)

fisa = l * (as1 *a +as1) +1

fisb = l * (as1 *b +as0) +1

IF fisa> fisb THEN q = fisa ELSE q = fisb

n =0

xn =x0

f2x = x(3) xn ^ 2 +x(2) * xn +x(1)

PRINT “n=”; n; “xn=”; xn; “f2x=”; f2x

xnplus = xn +| 1 * f2x

dx =ABS(xn - xnplus)

df = ABS(f2x – f2 xnplus)

PRINT “m=”; m

WHILE dx > e OR df>e

N = n+1

xn = xnplus

f2x = f2 xnplus

PRINT “b=”; n; “xn-“; xn; “f2x=”; f2x; “dx=” dx; “df=”;df

xnplus = x +1 *f2x

f2xnplus = x(3) * xnplus ^ 2 +x(2) * xnplus + x(1)

dx= ABS(xn - xnplus)

df = ABS(f2x – f2 xnplus)

WEND

n = n +1

xn = xnplus

f2x = f2 xnplus

PRINT “n=”; n; “xn=”; xn; “f2x=”; f2x; “dx=”; dx; “df=”; df

xnplus = xn |=1 * f2x

f2xnplus = x(3) * xnplus ^ 2 +x(2) * xnplus +x(1

xk2 = xn

pogr = m /(1 - q)* q ^ (n)

PRINT “m =”; m; “q=”; q; “n=”; n;

PRINT “pogreshnost=”; pogr

PRINT “ koren=”; xk1; “koren2=”; xk2

Задание 3.   Интеграл  F2(x)dx  вычислить, полагая n = 10 и n = 20 методами Симпсона, трапеций и средних прямоугольников.

x=8,883228, x=20,91967

h=

Оценка погрешности по правилу Рунге:

Формула метода средних прямоугольников:

∫ F2(x)dx  = h Σ F2(α  + kh ) ,k-степень используемого полинома, k=2

где       α = а +  ,       h = xi+1 – xi =

Для n=10  x,

Результаты решения приведены в таблице 8:

Таблица 8

I	х	х	F
0	8,883228			0
1	10,08751	9,485756	0,5699257	0,569926
2	11,29103	10,68927	1,529811	2,099737
3	12,49454	11,8978	2,249737	4,349474
4	13,69805	13,0963	2,729706	7,07918
5	14,90157	14,29981	2,969717	10,0489
6	16,10508	15,50332	2,969771	13,01867
7	17,30859	16,70683	2,729868	15,74854
8	18,5121	17,91035	2,250006	17,99854
9	19,71561	19,11386	1,530189	19,52873
10	20,91913	20,31737	0,5704126	20,09914

I

Для n =20 x x

Результаты решения приведены в таблице 9:

Таблица 9

I	х	х	F
0	8,883228			0,000000
1	9,485756	9,18449	0,2924611	0,29246
2	10,08751	9,78663	0,8323931	1,12485
3	10,68927	110,3884	1,312334	2,43719
4	11,29102	10,9901	1,732287	4,16948
5	11,89278	11,5919	2,09225	6,26173
6	12,49454	12,1937	2,392224	8,65395
7	13,09629	12,7954	2,63228	11,2862
8	13,69805	13,3972	2,812204	14,0984
9	14,2998	13,9989	2,93221	17,0306
10	14,901056	14,6004	2,99227	20,0229
11	15,50332	15,2022	2,992254	23,0152
12	16,10507	15,8042	2,932292	25,9475
13	16,70683	16,406	2,81234	18,7598
14	17,30859	17,0077	2,632399	31,3922
15	17,91035	17,6095	2,392468	33,7847
16	18,5121	18,2112	2,092548	35,8772
17	19,11386	18,813	1,732639	37,6099
18	19,71562	19,4147	1,31274	38,9226
19	20,31737	20,0165	0,8328512	39,7554
20	20,91913	20,6183	0,292732	40,0484

Оценим погрешность k =2, следовательно

Алгоритм решения задачи имеет вид:

k=2

Ak2 = x(3): ak1 = x(2):ak0 = x(1)

b= xk2: a = xk1

h1 =ABS(b-a)/10

h2 =ABS(b-a)/20

‘pryamougolniki

CLS

x(0)

ih = 0

FOR i = 1 TO 10

Xi = x0 + h1

xi2 – (x0 + xi)/2

fxi = ak2 * xi2 ^2 +ak1* xi2 + ak0

ih =ih + fxi

PRINT “n=”; i; “xi2=”; xi2; “fxi=”; fxi

x0 = xi

NEXT i

ih2 = ih * h1

x0 =a

ih =0

INPUT c

FOR i =1 TO 20

Xi = x0 + h2

Xi2 = (x0 + xi) /2

fxi =ak2 * xi2 ^ 2 + ak1 * xi2 + ak0

PRINT “n=”; i; “xi2=”; xi2; “fxi=”; fxi

ih =ih + fxi

x0 = xi

NEXT i

ih = ih * h2

PRINT “ih/2=”; ih2; “ih=”; ih

‘pogreshnost

pog = ABS(ih2-ih)/(2 ^k-1)

PRINT pog

Формула метода трапеций:

Для n =10

∫ F2(x)dx  =   (F2(a)  +  F2(b)  +  2 Σ F2 (α  + ih ),

где        h = xi+1 – xi =  ,

x  

Результаты решения приведены в таблице 10:

Таблица 10

I	x	F
0	8,883228	-0,00015	0
1	10,08751	1,079863	1,079863
2	11,29103	1,919768	2,999631
3	12,49454	2,519716	5,519347
4	13,69805	2,879706	8,399053
5	14,90157	2,999739	11,39879
6	16,10508	2,879706	14,2585
7	17,30859	2,999739	17,27824
8	18,5121	1,920092	19,19833
9	19,71561	1,080296	20,257863
10	20,91913	5,41848E - 04	20,27917

Результаты решения приведены в таблице 11:

Таблице 11

I	x	F
0	8,883228	-0,000015	0
1	9,485756	0,5699257	1,079862
2	10,08751	1,079862	2,609671
3	10,68927	1,529809	4,529438
4	11,29102	1,919767	6,779174
5	11,89278	2,249736	6,298889
6	12,49454	2,519715	12,02859
7	13,09629	2,729705	14,9083
8	13,69805	2,879705	17,788
9	14,2998	2,969717	20,75772
10	14,901056	2,999739	23,75746
11	15,50332	2,969771	26,72723
12	16,10507	2,879815	29,60705
13	16,70683	2,729868	32,33691
14	17,30859	2,519933	34,85685
15	17,91035	2,250007	37,10685
16	18,5121	1,920092	39,02695
17	19,11386	1,530188	40,55713
18	19,71562	1,080294	41,63743
19	20,31737	0,5704108	42,20784
20	20,91913	5,38045E-04	42,20838

Оценим погрешность k=2, следовательно

Алгоритм решения задачи приведен ниже:

х=а

ih = 0

f0 = (ak2 * x0^2 + ak1*x0 +ak0) /2

FOR i=1 TO 10

xi =x0 + h1

fi = ak2 * xi ^ 2 +ak1 * xi + ak0

ih = ih + fi

PRINT “n=”; i; “xi=”; xi; “fi=”;

fi x0 = xi  

NEXT i

fxn = (ak2 * x0 ^ 2 + ak1 * x0 + ak0) /2

ih 12 = (ih + f0) + fxn)*h1

PRINT “ih/2=”;ih12

INPUT c

ih =0

x0 =a

f0 = (ak2 * x0 ^ 2 +ak1 *x0 +ak0) /2

FOR I = 1 TO 20

xi = x0 + h2

fi = ak2 * xi ^2 + ak1 * xi + ak0

ih = 0

x0 =a

f0 =(ak2 * x0 ^2 + ak1 * x0 +ak0) /2

FOR i = 1 TO 20

xi = x0 + h2

fi = ak2 * xi ^2 + ak1 * xi +ak0

ih = ih + fi

PRINT “n=”; i; “xi=”; xi; “fi=”; fi

x0 = xi

NEXT i

Fxn = (ak2 * x0 ^2 +ak1 * x0 + ak0) /2

ih = (ih + f0) + fxn) *h2

PRINT “ih=”; ih

‘pogreshnost

pog = ABS(ihl2 - ih) / (2 ^ k-1)

PRINT pog

Формула метода Симпсона:

∫ F2(x)dx  =  [(F2(a)  +  F2(b)  +  4 (F2(x1) + F2(x3) + … + F2(x2n-1))  + 2( F2(x2) + F2(x4)  + … + F2(x2n-2)) ] ,

где        h = xi+1 – xi =  ,

Для  n = 10  x = x,  x   y  y

Результаты решения приведены в таблице 13.

Таблице 13                                                                                                             

I	x	x	F	F
0	8,883228		-0,000015
1	9,485756	9,18449	0,5699257	0,2924611	2,309696
2	10,08751	9,78663	1,079862	0,8323931	7,798992
3	10,68927	10,3884	1,529809	1,312334	16,10795
4	11,29102	10,9901	1,919767	1,732287	26,87663
5	11,89278	11,5919	2,249736	2,09225	39,7451
6	12,49454	12,1937	2,519715	2,392224	54,35343
7	13,09629	12,7954	2,729705	2,63228	70,34196
8	13,69805	13,3972	2,879705	2,812204	87,35018
9	14,2998	13,9989	2,969717	2,93221	105,0185
10	14,901056	14,6004	2,999739	2,99227	122,987
11	15,50332	15,2022	2,969771	2,992254	140,8956
12	16,10507	15,8042	2,879815	2,932292	158,3844
13	16,70683	16,406	2,729868	2,81234	175,0935
14	17,30859	17,0077	2,519933	2,632399	190,6629
15	17,91035	17,6095	2,250007	2,392468	204,7328
16	18,5121	18,2112	1,920092	2,092548	216,9432
17	19,11386	18,813	1,530188	1,732639	226,9341
18	19,71562	19,4147	1,080294	1,31274	234,3457
19	20,31737	20,0165	0,5704108	0,8328512	238,8179
20	20,91913	20,6183	5,38045E-04	0,2929732	239,9909

Оценка погрешность k=4, следовательно

Алгоритм решения адачи приведен ниже:

x(0) =a

f0 =ak2 * x0 ^ 2 +ak1 * x0 + ak0

ih = f0

FOR i =1 TO 10

xi = x0 +h1

xi2 = (x0 + xi) /2

fxi2 = ak2 *xi2 ^ 2 + ak1 *xi2 + ak0

fxi = ak2 *xi ^ 2 + ak1 *xi + ak0

IF i =10 THEN

ih = ih +fxi +fxi2 * 4

ELSE

ih  = ih +fxi*2 +fxi2 * 4

END IF

x0 =x1

NEXT i

Ih2 = ih * h1/6

x0 = a

f0 =ak2 * x0 ^ 2 +ak1 * x0 + ak0

ih = f0

FOR i =1 TO 20

xi = x0 +h2

xi2 = (x0 +xi)/2

fxi2 =ak2 * xi2 ^ 2 +ak1 * xi2 + ak0

fxi = ak2 * xi ^2 + ak1 * xi + ak0

IF i =20 THEN

ih = ih + fxi + fxi2 *4

ELSE

ih = ih + fxi*2 +fxi2 *4

END IF

x0 = xi

NEXT i

K=4

ih = ih * h2/6

PRINT “ih1/2=”; ih2;   “ih=”; ih

‘pogreshnost

pog = ABS(ih2 -ih) /(2 ^ k-1)

PRINT pog

 

Задание 4. Определить точку экстремума функции F методами одномерной оптимизации (с точностью Е).

Для нахождения максимума следует ввести новую функцию f(x) =- F2(x). Проверка унимодальности необходима для использования методов оптимизации: дихотомии и золотого сечения.

Для проверки унимодальности используются критерии :

- если f(x)дифференцируема на [a; b] и производная f(x) не убывает на этом отрезке, то f(x) унимодальна.

- если f(x) дважды дифференцируема на отрезке [a; b] и  f (x)при х[a; b], то f(x) унимодальна на [a; b].

Проверим унимодальность функции f(x) =0,0828329х- 2,468724х + 15,39452.

 f (x)=0,165665, следовательно функция унимодальна.

Уточним отрезок локализации.

 f(x)=0,028329x- 2,468724x+ 15,39452.

Выберем h=0,1, x Условие окончания поиска:

Результаты вычислений приведены в таблице.

Таблица 14

I	x	x
0	14
1	14,1	14,1	-2,93237	-2,946482
2	14,1	14.2	-2,946482	-2,958938
3	14.2	14,4	-2,958938	-2,978878
4	14,4	14,8	-2,978878	-2,99888
5	14,8	15,6	-2,99888	-2,959363

 

Локализованный отрезок поиска точки экстремума[14; 15,6].

Алгоритм локализации отрезка:

ak2= -ak2:ak1=-ak1:ak0= -ak0

h =.I

i=1

xi=x0

xi1=x0 +2 ^ (i-1)*h

fxi=ak2 * xi ^ 2+ak1*xi1+ak0

PRINT “i=”; i; “x0=”; x0; “fx0=”; fx0

PRINT “i=”; i; “xi=”; xi1; “fxi=”; fxi; “fx(i+1)=”; fxi1

WHILE fxi>fxi1

i=i+1

xi = xi1

xi1=x0 +2 ^ (i-1)*h fxi=

fxi1 

fxi1 = ak2 * xi1 ^ 2 + ak1 * xi1 + ak0

PRINT “i=”; i; “xi=”; xi1; “fxi1=”; fxi; “fx(i+1)=”; fxi1

WEND

b= x0

a = xi1

PRINT “otrezok localizacii”; a; b

1.  Поиск точки экстремума методом диxотомии.

Воспользуемся следующими формулами:

 

a = , если

b =  

Условие окончания поиска |b - a|<E

Экстрмум           x  если

                             x если

Результаты вычислений приведены в таблице15 :

Таблица 15

I	a	b					b-a
1	15,6	14	14,8001	14,7999	-2,998882	-2,998878	-1,6
2	15,6	14,7999	15,20005	15,19985	-2,992372	-2,992382	-0,8001
3	15,20005	14,7999	15,00008	14,99988	-2,998939	-2,998943	-0,40015
4	15,00008	14,7999	14,90009	14,8999	-2,999738	-2,999738	-0,20018
5	15,00008	14,89989	14,,95008	14,94988	-2,999546	-2,999548	-0,10019
6	14,95008	14,89989	14,92509	14,92488	-2,999694	-2,999695	-0,05019
7	14,92509	14,89989	14,91259	14,91239	-2,999729	-2,99973	-0,0252
8	14,91259	14,89989	14,90634	14,90614	-2,999737	-2,999737	-0,0127
9	14,91259	14,90614	14,90946	14,90926	-2,999734	-2,999734	-0,00645
10	14,90946	14,90614	14,9079	14,9077	-2,999736	-2,999736	-0,00332
11	14,9079	14,90614	14,90712	14,90692	-2,999737	-2,999737	-0,00176
12	14,90712	14,90614	14,90673	14,90653	-2,999737	-2,999737	-0,00098

x= 14,90653,  

Алгоритм ршения задачи приведн ниже:

CLS

e = 10 ^-3

sigma = 10^-4

п =1

WHILE ABS (b-a)>e

alfa = (a+b) / 2 + sigma

beta = (a+b) / 2 – sigma

falfa = ak2 * alfa ^2 + ak1 * beta +ak0

fbeta = ak2 * beta ^ 2 + ak1 * beta +ak0

PRINT “n=”; n; “a=”; a; “b=”; b; “alfa=”; alfa; “beta=”; beta; “falfa=”; falfa; “fbeta=”; fbeta

      INPUT c

IF falfa >fbeta THEN

a = alfa    

ex = beta

PRINT “falfa>fbeta”

ELSE

b = beta

PRINT “falfa<fbeta”

ex = alfa

END IF

n= n+1

WEND

alfa = (a + b) / 2 +sigma

beta = (a + b) /2 – sigma

falfa = ak2 * alfa ^ 2 +ak1*alfa + ak0

     fbeta = ak2 * beta ^ 2 +ak1*beta + ak0

PRINT “n=”; n; “a=”; a; “b=”; b; “alfa=”; alfa; “beta=”; beta; “falfa=”; falfa; “fbeta=”; fbeta

IF falfa > fbeta THEN

ex = beta

ELSE

ex= alfa

END IF

PRINT “extremum=”; ex

fex = ak2 *ex ^ 2 +ak1 * ex  +ak0

PRINT “f(ex)=”; fex

1.  Метод золотого сечения

Воспользуемся следующими формулами:

  где   

 a = , если

 b =  

Условие окончания поиска |b - a|<E

Экстрмум           x  если

         x если

Результаты вычислений приведены в таблице16 :

Таблица 16

I	a	b					b-a
1	15,6	14,61115	15,22229	14,98885	-2,991232	-2,999112	-0,9885
2	15,22229	14,61115	14,98886	14,84458	-2,999112	-2,999467	-0,61114
3	14,98886	14,61115	14,84458	14,75542	-2,999467	-2,997963	-0,37771
4	14,98886	14,75542	14,89969	14,84458	-2,999738	-2,999467	-0,23444
5	14,98886	14,84458	14,93375	14,89969	-2,999655	-2,999467	-0,14428
6	14,93375	14,84458	14,89969	14,87864	-2,999738	-2,999694	-0,08917
7	14,93375	14,87864	14,9127	14,89969	-2,999729	-2,999738	-0,05511
8	14,9127	14,87864	14,89969	14,89165	-2,999738	-2,99973	-0,03406
9	14,9127	14,98165	14,90466	14,89969	-2,999738	-2,999738	-0,02102
10	14,90466	14,89165	14,89969	14,89662	-2,999738	-2,999737	-0,01301
11	14,90466	14,89662	14,90159	14,89969	-2,999739	-2,999738	-0,00804
2	14,90466	14,89969	14,90276	14,90159	-2,999739	-2,999739	-0,00497
13	14,90276	14,89969	14,90159	14,90086	-2,999739	-2,999739	-0,00307
14	14,90276	14,90086	14,90204	14,90159	-2,999739	-2,999739	-0,0019
15	14,90276	14,90159	14,90231	14,90204	-2,999739	-2,999739	-0,00117
16	14,90231	14,90159	14,90204	14,90187	-2,999739	-2,999739	-0,00072

x=14,90204,   

Точка максимума заданной функции, x=14,90204,