99432

Решение системы нормальных уравнений. Численные методы и оптимизация

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Составить и решить систему нормальных уравнений; определить параметры аппроксимирующих функций; вычислить значения аппроксимирующих функций в узлах аппроксимации; построить график заданной функции (множество точек) и графики функций линейной и квадратичной аппроксимации; оценить качество аппроксимации.

Русский

2016-09-15

629.5 KB

0 чел.

Московский  технический университет по связи и информатике

Заочная форма обучения

Курсовая работа по предмету:

Информатика

Тема: Численные методы и оптимизация

                                                               Студентака 1 курса

                                                                                Специальности 210406 УФО

                                                                 Студенческий билет

                                              7КТ08011

                                                          Преподаватель:

                                              Саладаев     

Н.Новгород

2009 год

Вариант 11

Задание 1

  1.  Для заданной функции y(x) методом наименьших квадратов для степенного базиса получить линейную F1(x) = a0 + a1x и квадратичную F2(x) = a0 + a1x + a2x2 аппроксимирующие функции:
  •  составить и решить систему нормальных уравнений;
  •  определить параметры аппроксимирующих функций;
  •  вычислить значения аппроксимирующих функций в узлах аппроксимации;
  •  построить график заданной функции (множество точек) и графики функций линейной и квадратичной аппроксимации;
  •  оценить качество аппроксимации.
  1.  Найти два корня уравнения F2(x) = 0 с заданной точностью Е:
  •  отделить корни;
  •  проверить (аналитически) условия сходимости применяемых методов решения уравнений. В случае необходимости привести уравнение к виду, обеспечивающему сходимость процесса приближения к корню;
  •  выбрать начальное приближение;
  •  записать рекуррентную формулу для уточнения корня;
  •  оценить погрешность.
  1.  Вычислит dx при разбиении отрезка интегрирования на

   n1 = 10 и  n2 = 20 подинтервалов , x1,  x2 - корни уравнения F2(x):

  •  оценить погрешность.
  1.  Определить точку экстремума функции F2(x) методами одномерной оптимизации (с точностью Е):
  •  проверить условие унимодальности и выбрать начальный отрезок оптимизации;
  •  записать условие окончания поиска минимума (максимума) функции.


Задание 1. Для заданной функции у(х) методом наименьших квадратов для степенного базиса получить линейную F1(x) = a0 + a1x и квадратичную F2(x) = a0 + a1x + a2x2 аппроксимирующие функции Функция y = y(x) задана таблицей.

Таблица 1

I

0

1

2

3

4

5

xi

7

9

11

13

16

17

y(x)

-1,976

-0,19

1,576

3,056

2,926

2,524

Запишем параметры линейной аппроксимации:

= == 12,167;                =   = =1,319333

a1 =   ==0,4546813

a0 =   – a1 = 1,319333-0,4546813*12,167= -4,212623

Искомая линейная аппроксимирующая функция:

F1(x) = -4,212623+0,4546813х

Алгоритм решения приведен ниже:

CLS

n=6

DIM xs(n)

DIM y(n)

xs(1)=7: xs(2)=9: xs(3)=11: xs(4)=13: xs(5)=16: xs(6)=17

y(1)=-1,976:y(2)=-0,19:y(3)=1,576:y(4)=3,056:y(5)=2,926:y(6)=2,524

sx=0:sy=0:sx2=0:sxy=0

FOR i=1 TO n

sx=sx+xs(i)

sy=sx+y(i)

sx2=sx2+xs(i)^2

sxy=sxy+xs(i)*y(i)

NEXT

xc=sx/n

yc=sy/n

a1=(sxy-n*xc*yc)/(sx2-n*xc^2)

a0=yc-a1*xc

PRINT “For line function”

PRINT “a1=”; a1

     PRINT”a0=”; a0

Составим и решим систему нормальных уравнений для определения параметров многочлена второй степени           F2(x) = a0 + a1x + a2x2

(n+1)a0 + ( Σxi )a1 + ( Σxi2)a2  = Σ  yi

( Σxi )a0 + ( Σxi2)a1 + ( Σx3)a2  = Σ  xi yi

(Σxi2)a0 + ( Σxi3 )a1 + ( Σxi4)a2  = Σ  xi2 yi .

В таблицу 2 запишем элементы матрицы Грамма и столбец свободных членов.

Таблица 2

i

x

x

y

x

x

x

xy

xy

0

1

7

-1,976

49

343

2401

-96,824

-13,832

1

1

9

-1,976

81

729

6561

-15,39

-1,71

2

1

11

-1,976

121

1331

14641

190,696

17,336

3

1

13

-1,976

169

2197

28561

516,464

39,728

4

1

16

-1,976

256

4096

65536

749,056

46,816

5

1

17

-1,976

289

4913

83521

729,436

42,908

сумма

73

   7,916

965

13609

201221

2073,438

131,246

Коэффициенты и столбец свободных членов представлены в таблице 3:

Таблица 3

6

73

965

7,916

73

965

13609

131,246

965

13609

201221

2073,438

Система нормальных уравнений имеет вид:

0  +  73а1      +  965а2   = 7,916

73а0  +  965а1      +  13609а2  =  131,246

965а0 + 13609а1   201221а2 = 2073,438

Решение системы нормальных уравнений:

а2 = -15,39452;   а1 = 2,468724;  а0 = -0,0828329

Искомая аппроксимирующая функция:

F2(x) =-0,0828329 x2 +2,468724 x - 15,39452

Значения аппроксимирующих функций F1{x} и F2{x} в узлах аппроксимации приведены в таблице 4:

 

X

F(x)

F(x)

12

-1,029853

-2,172264

13

-0,1204909

0,1145317

14

0,788718

1,738665

15

1,698234

2,700134

16

3,062278

2,899845

17

3,51696

2,635084

Таблица 4

Алгоритм решения задачи приведен ниже:

DIM x0 (n): DIM x1(n): DIM x2(n): DIM x3(n): DIM x4(n)

DIM xy(n): DIM yx2(n)

FOR I = 1 TO n

x0(i) = 1

x1(i) = xs(i)

x2(i) = xs(i)^2

x3(i) = xs(i)^3

x4(i) = xs(i)^4

xy(i) = xs(i)*y(i)

yx2(i) = y(i) *xs(i)^2

sx0 =sx0 +x0(i)

sx1 =sx1 +x1(i)

sx3 =sx3 +x3(i)

sx4 =sx4 +x4(i)

syx2 =syx2+yx2(i)

NEXT

INPUT c

‘gauss

DIM a(3, 4)

a(1, 1) = n

a(1, 2) = sx

a(1, 3) = sx2

a(1, 4) = sy

a(2, 1) = sx

a(2, 2) = sx2

a(2, 3) = sx3

a(2, 3) = sx3

a(2, 4) = sxy

a(3, 1) = sx2

a(3, 2) = sx3

a(3, 3) = sx4

a(3, 4) = syx2

CLS

FOR i = 1 TO 3

FOR j = 1 TO 4

LOCATE 4 * i, 10 * j

PRINT a(i, j)

NEXT j

NEXT i

n1 =3

FOR i = 1 TO n1

maxabs = ABS(a(i,i))

k =i

FOR 1 =i + 1 TO n1

  IF ABS (a(1,i))> maxabs THEN

       maxabs = ABS(a(i,i))

       k =1

  END IF

NEXT 1

IF k <>I THEN

  FOR j  = i TO n1 +1

  V =a(i, j)

  a(i, j) = a(k, j)

  a(k, j) =v

NEXT j

END IF

V =a(i, i )

FOR j =i TO n1 +1

  a(i, j) = a(i, j)/v

NEXT j

FOR I =I +1 TO n1

   v = a(1, i)

   FOR j =i +1 TO n1 +1

   a(1, j) =a(1, j) – a(i, j )*v

NEXT j

NEXT 1

NEXT i

x(n1) = a(n1, n1 +1)

FOR i = n1 – 1 TO 1 STEP -1

x(i) = a(i, n1 +1)

FOR j = i + 1 TO n1

x(i) = x(i) – a(i, j) * x(j)

NEXT j

NEXT i

FOR i = 1 TO n1

PRINT x(i)

NEXT i

INPUT c

‘znach fiinkcy

DIM zn(4, 6)

CLS

FOR i = 1 TO n

zn(1, i) = xs(i)

zn(2, i) = al *xs(i) + a0

zn(3, i) = x(3) * xs(i) ^ 2 + x(2) * xs(i) + x(1)

zn(4, i) = y(i)

NEXT i

FOR i = 1 TO 4

FOR j = 1 TO 6

LOCATE 4 * i, 10 * j

PRINT zn(i, j)

NEXT j

NEXT i

Графики  функций  линейной  и  квадратичной  аппроксимации  показаны  на рисунке

Оценим качество аппроксимации:

ρ = sqr(1/(n+1)* ∑ (Fm(xi) – y(xi))2)   

Для линейной функции: р1=0,8531963

Для квадратичной функции: р2=0,2226294

Алгоритм оценки качества аппроксимации:

plin = 0

pkv =0

FOR i =1 TO n

plin= plin + (zn(2,i) – y(i)) ^ 2

pkv = pkv + (zn(3, i) – y(i)) ^ 2

NEXT i

       plin =SQR(plin /n)

      pkv = SQR(   pkv /n)

     PRINT “plin=”; plin

     PRINTpkv =”; pkv

      p2<p1, значит аппроксимация квадратичной функции более качественная.

Задание 2.  Решение уравнения F2(x) с точностью Е = 10-3 . Для отделения корней уравнения F2(x)=-0,0828329x+ 2,468724x – 15,39452

составим таблицу знаков функции F2.

Таблица 5

X

7

9

19

21

F2(x)

2,17226

0,11453

1,680858

-8,058Е-02

Sign

-

+

+

-

На отрезках [7; 9] и [16; 17] функция F2(x) меняет знаки, т.е. существует, по крайней мере, по одному корню.   Убедимся, что эти корни единственны на каждом из отрезков.

Производная F2'(x) = -0,1656647х + 2,4687105, F”(х) =-0,1656647 < 0

F2"(x) = 0.051 > 0, следовательно, производная F2'(x) - монотонно убывающая функция.

Составим таблицу знаков функции на выбранных отрезках:

X

7

9

19

21

F2’(x)

1,309

-0,978

0.679

1,01

Sign

-

-

+

+

При х [19;21] функция F(x) монотонно возрастает (так как F2'(x) >0, F2'(19) >0,
F
2'(21) >0), то  есть отрезок содержит единственный корень, причем F2'(x) сохраняет знак.

При х [7; 9] функция F2(x) монотонно убывает (так как F2'(x) < 0, F2'(16) < 0, F2'(17) < 0),), то есть отрезок содержит единственный корень.

На отрезке   [19;21] уточним корень методом Ньютона.

Достаточные условия сходимости метода Ньютона определены следующим образом:

1. F2(x) непрерывна на [a; b] и F2(a) - F2(b) < 0;

2. F2'(x) и F2"(x) отличны от нуля и сохраняют знаки при х [a; b]

Приведенные выше требования выполняются, выбираем начальное приближение х, удовлетворяющее условию: F2'(x) - F2"(x) > 0. F2"(x) < 0 и F(7) < 0, следовательно х=20

Рекуррентная формула: х = х -  i = 0,1 ,

Из оценки погрешности | x≤  следует условие окончания 0,09053359.

Где М- модуль наибольшего значения F2"(x) и m - модуль наименьшего значения F2'(x). М2=0,1656658, m1=0,6789258, Е=10-4.

Результаты решения уравнения F2(x) =0 на отрезке [19;21] представлены в таблице:

Таблица 6

I

X

X

X

0

19

1,608564

-0,6789258

21,36928

1

21,36928

-0,4649808

-1,071434

20,9353

2,3693

2

20,9353

-0.0156014

-0,99954

20,91969

2,3693

3

20,91969

-0,00002098

-0,996953

20,91967

0,43398

4

20,91967

-6,36E-08

-0,996946

20,91967

1,561E-02

x = 20,91967 – уточненный корень на отрезке [19;21], погрешность равна 5,37Е-11.

Алгоритм решения задачи приведен ниже:

as1 = 2*x(3)

as0 = x(2)

et = 10^(-3)

a =19

b =21

xnminus = a

f1 = ABS(as1 * a + as0)

f1 = ABS(as1 * b + as0)

IF f1 > f2 THEN m1 =f1 ELSE m1 = f1

M2 =ABS (ass)

PRINT “as1=”; as1; “as0=”; as0

PRINT “a2=”; x(3); “a1=”; x(2); “a0=”;

x(1)

k =2*et * m1/M2

usl = SQR(k)

PRINT “m1=”; m1; “M2=”; M2; “uslovie okonchaniya=”; usl;””

f =x(3)* xnminus^2 +x(2) * xnminus +x(1)

fs = as1 * xnminus +as0

xn = xnminus – f/ fs

d =ABS(xn - xnminus)

PRINT “n=0, x=”; xnminus; “f=”; f; “fs=”; fs

n = 1

f =x(3) * xn^2 +x(2) * xn +x(1)

fs =as1 * xn +as0

PRINT “n=”; n; “x=”; xn; “f=”; f; “fs=”; fs; ”

xn-x(n-1)=”; d

WHILE d >usl

xnplus = xn = (f / fs)

fs =as1 * xnplus + as0

fs = as1 * xnplus ^ 2 + x(2) * xnplus +x(1)

d = ABS(xn - xnminus)

n = n+1

PRINT “n=”; “x=”; xnplus; “f=”; f; “fs=”;

fs; “x(n) – x(n-1)”; d

xnminus =xn

xn = xnplus

WEND

‘pogreshnost

pog = (xn - xnminus) ^ 2*M2 /(2 * m1)

PRINTpogreshnost=”; pog

xk1 =xn

На отрезке [7; 9] уточним корень методом итерации.

F2(х) – дифференцируема и имеет разные знаки на отрезке [7; 9]:

F2(9)> 0, F2(7) < 0, F2'(x)≠0.

Итерирующая функция φ(х) = λ * F2(х) +х обеспечивает выполнение условия сходимости | φ(х)| < 1

Правило выбора параметра λ заключается в следующем:

если  F2'(x)>0

если F2'(x) < 0

Где r  = max ( | F2'(a)|, | F2'(b)|). F2'(x)>0, следовательно , -1 < λ <0.

Пусть λ = -0,5. Тогда последовательные приближения к корню вычисляются по формуле : х

Полагаем х=10.

Условие окончания поиска корня заключается в следующем:

|x

|F2(xi) - F2( х)| <E

Оценка погрешности:

|x* - xi |  

                                                  x

Следовательно, погрешность равна 1,178Е – 03,

Результаты решения представлены в таблице 7:

Таблица 7

I

х

х - х

F2(х)

F2(х)= F2(х)

0

8

-9,46 –01

1

8,473017

0,47302

-0,4237

0,5223

2

8,684877

0,21186

-0,2017994

0,2219

3

8,835138

0,1009

-0,09872

0,1031

4

8,859593

4,936E –02

-4,89103E –02

4,981E –02

5

8,871784

2,446E –02

-2,43814E –02

2,453E - 02

6

8,877879

1,219E –02

-1,21908E –02

1,219E –02

7

8,877879

6,095E- 03

-6,10516E –02

6,086E -03

8

8,880932

3,053E –03

-3,05944E –03

3,046E -03

9

8,882462

1,5297E –03

-1,53383E –03

1,526E –03

10

8,883228

7,667E -04

-7,69267E –04

7,646E -04

x2 = 8,883228 – уточненный корень на отрезке [7; 9] , вычисленный с погрешностью 1,178Е –03

Алгоритм решения задачи приведен ниже:

CLS

a = 7

b = 9

l =-0.5

x0 =(a+b)/2

e = 10 ^ (-3)

fix0 =l (x(3)*x0 ^2 +x(2) * x0 +x(1)) +x0

m = ABS (x0 – fix0)

fisa = l * (as1 *a +as1) +1

fisb = l * (as1 *b +as0) +1

IF fisa> fisb THEN q = fisa ELSE q = fisb

n =0

xn =x0

f2x = x(3) xn ^ 2 +x(2) * xn +x(1)

PRINT “n=”; n; “xn=”; xn; “f2x=”; f2x

xnplus = xn +| 1 * f2x

dx =ABS(xn - xnplus)

df = ABS(f2x – f2 xnplus)

PRINT “m=”; m

WHILE dx > e OR df>e

N = n+1

xn = xnplus

f2x = f2 xnplus

PRINT “b=”; n; “xn-“; xn; “f2x=”; f2x; “dx=” dx; “df=”;df

xnplus = x +1 *f2x

f2xnplus = x(3) * xnplus ^ 2 +x(2) * xnplus + x(1)

dx= ABS(xn - xnplus)

df = ABS(f2x – f2 xnplus)

WEND

n = n +1

xn = xnplus

f2x = f2 xnplus

PRINT “n=”; n; “xn=”; xn; “f2x=”; f2x; “dx=”; dx; “df=”; df

xnplus = xn |=1 * f2x

f2xnplus = x(3) * xnplus ^ 2 +x(2) * xnplus +x(1

xk2 = xn

pogr = m /(1 - q)* q ^ (n)

PRINT “m =”; m; “q=”; q; “n=”; n;

PRINT “pogreshnost=”; pogr

PRINT “ koren=”; xk1; “koren2=”; xk2

Задание 3.   Интеграл  F2(x)dx  вычислить, полагая n = 10 и n = 20 методами Симпсона, трапеций и средних прямоугольников.

x=8,883228, x=20,91967

h=

Оценка погрешности по правилу Рунге:

Формула метода средних прямоугольников:

F2(x)dx  = h Σ F2(α  + kh ) ,k-степень используемого полинома, k=2

где       α = а +  ,       h = xi+1xi =

Для n=10  x,

Результаты решения приведены в таблице 8:

Таблица 8

I

х

х

F

0

8,883228

0

1

10,08751

9,485756

0,5699257

0,569926

2

11,29103

10,68927

1,529811

2,099737

3

12,49454

11,8978

2,249737

4,349474

4

13,69805

13,0963

2,729706

7,07918

5

14,90157

14,29981

2,969717

10,0489

6

16,10508

15,50332

2,969771

13,01867

7

17,30859

16,70683

2,729868

15,74854

8

18,5121

17,91035

2,250006

17,99854

9

19,71561

19,11386

1,530189

19,52873

10

20,91913

20,31737

0,5704126

20,09914

I

Для n =20 x x

Результаты решения приведены в таблице 9:

Таблица 9

I

х

х

F

0

8,883228

0,000000

1

9,485756

9,18449

0,2924611

0,29246

2

10,08751

9,78663

0,8323931

1,12485

3

10,68927

110,3884

1,312334

2,43719

4

11,29102

10,9901

1,732287

4,16948

5

11,89278

11,5919

2,09225

6,26173

6

12,49454

12,1937

2,392224

8,65395

7

13,09629

12,7954

2,63228

11,2862

8

13,69805

13,3972

2,812204

14,0984

9

14,2998

13,9989

2,93221

17,0306

10

14,901056

14,6004

2,99227

20,0229

11

15,50332

15,2022

2,992254

23,0152

12

16,10507

15,8042

2,932292

25,9475

13

16,70683

16,406

2,81234

18,7598

14

17,30859

17,0077

2,632399

31,3922

15

17,91035

17,6095

2,392468

33,7847

16

18,5121

18,2112

2,092548

35,8772

17

19,11386

18,813

1,732639

37,6099

18

19,71562

19,4147

1,31274

38,9226

19

20,31737

20,0165

0,8328512

39,7554

20

20,91913

20,6183

0,292732

40,0484

Оценим погрешность k =2, следовательно

Алгоритм решения задачи имеет вид:

k=2

Ak2 = x(3): ak1 = x(2):ak0 = x(1)

b= xk2: a = xk1

h1 =ABS(b-a)/10

h2 =ABS(b-a)/20

‘pryamougolniki

CLS

x(0)

ih = 0

FOR i = 1 TO 10

Xi = x0 + h1

xi2 – (x0 + xi)/2

fxi = ak2 * xi2 ^2 +ak1* xi2 + ak0

ih =ih + fxi

PRINT “n=”; i; “xi2=”; xi2; “fxi=”; fxi

x0 = xi

NEXT i

ih2 = ih * h1

x0 =a

ih =0

INPUT c

FOR i =1 TO 20

Xi = x0 + h2

Xi2 = (x0 + xi) /2

fxi =ak2 * xi2 ^ 2 + ak1 * xi2 + ak0

PRINT “n=”; i; “xi2=”; xi2; “fxi=”; fxi

ih =ih + fxi

x0 = xi

NEXT i

ih = ih * h2

PRINT “ih/2=”; ih2; “ih=”; ih

‘pogreshnost

pog = ABS(ih2-ih)/(2 ^k-1)

PRINT pog

Формула метода трапеций:

Для n =10

∫ F2(x)dx  =   (F2(a)  +  F2(b)  +  2 Σ F2 (α  + ih ),

где        h = xi+1xi =  ,

x  

Результаты решения приведены в таблице 10:

Таблица 10

I

x

F

0

8,883228

-0,00015

0

1

10,08751

1,079863

1,079863

2

11,29103

1,919768

2,999631

3

12,49454

2,519716

5,519347

4

13,69805

2,879706

8,399053

5

14,90157

2,999739

11,39879

6

16,10508

2,879706        

14,2585

7

17,30859

2,999739

17,27824

8

18,5121

1,920092

19,19833

9

19,71561

1,080296

20,257863

10

20,91913

5,41848E - 04

20,27917

Результаты решения приведены в таблице 11:

Таблице 11

I

x

F

0

8,883228

-0,000015

0

1

9,485756

0,5699257

1,079862

2

10,08751

1,079862

2,609671

3

10,68927

1,529809

4,529438

4

11,29102

1,919767

6,779174

5

11,89278

2,249736

6,298889

6

12,49454

2,519715

12,02859

7

13,09629

2,729705

14,9083

8

13,69805

2,879705

17,788

9

14,2998

2,969717

20,75772

10

14,901056

2,999739

23,75746

11

15,50332

2,969771

26,72723

12

16,10507

2,879815

29,60705

13

16,70683

2,729868

32,33691

14

17,30859

2,519933

34,85685

15

17,91035

2,250007

37,10685

16

18,5121

1,920092

39,02695

17

19,11386

1,530188

40,55713

18

19,71562

1,080294

41,63743

19

20,31737

0,5704108

42,20784

20

20,91913

5,38045E-04

42,20838

Оценим погрешность k=2, следовательно

Алгоритм решения задачи приведен ниже:

х=а

ih = 0

f0 = (ak2 * x0^2 + ak1*x0 +ak0) /2

FOR i=1 TO 10

xi =x0 + h1

fi = ak2 * xi ^ 2 +ak1 * xi + ak0

ih = ih + fi

PRINT “n=”; i; “xi=”; xi; “fi=”;

fi x0 = xi  

NEXT i

fxn = (ak2 * x0 ^ 2 + ak1 * x0 + ak0) /2

ih 12 = (ih + f0) + fxn)*h1

PRINT “ih/2=”;ih12

INPUT c

ih =0

x0 =a

f0 = (ak2 * x0 ^ 2 +ak1 *x0 +ak0) /2

FOR I = 1 TO 20

xi = x0 + h2

fi = ak2 * xi ^2 + ak1 * xi + ak0

ih = 0

x0 =a

f0 =(ak2 * x0 ^2 + ak1 * x0 +ak0) /2

FOR i = 1 TO 20

xi = x0 + h2

fi = ak2 * xi ^2 + ak1 * xi +ak0

ih = ih + fi

PRINT “n=”; i; “xi=”; xi; “fi=”; fi

x0 = xi

NEXT i

Fxn = (ak2 * x0 ^2 +ak1 * x0 + ak0) /2

ih = (ih + f0) + fxn) *h2

PRINT “ih=”; ih

‘pogreshnost

pog = ABS(ihl2 - ih) / (2 ^ k-1)

PRINT pog

Формула метода Симпсона:

∫ F2(x)dx  =  [(F2(a)  +  F2(b)  +  4 (F2(x1) + F2(x3) + … + F2(x2n-1))  + 2( F2(x2) + F2(x4)  + … + F2(x2n-2)) ] ,

где        h = xi+1xi =  ,

Для  n = 10  x = x,  x   y  y

Результаты решения приведены в таблице 13.

Таблице 13                                                                                                             

I

x

x

F

F

0

8,883228

-0,000015

1

9,485756

9,18449

0,5699257

0,2924611

2,309696

2

10,08751

9,78663

1,079862

0,8323931

7,798992

3

10,68927

10,3884

1,529809

1,312334

16,10795

4

11,29102

10,9901

1,919767

1,732287

26,87663

5

11,89278

11,5919

2,249736

2,09225

39,7451

6

12,49454

12,1937

2,519715

2,392224

54,35343

7

13,09629

12,7954

2,729705

2,63228

70,34196

8

13,69805

13,3972

2,879705

2,812204

87,35018

9

14,2998

13,9989

2,969717

2,93221

105,0185

10

14,901056

14,6004

2,999739

2,99227

122,987

11

15,50332

15,2022

2,969771

2,992254

140,8956

12

16,10507

15,8042

2,879815

2,932292

158,3844

13

16,70683

16,406

2,729868

2,81234

175,0935

14

17,30859

17,0077

2,519933

2,632399

190,6629

15

17,91035

17,6095

2,250007

2,392468

204,7328

16

18,5121

18,2112

1,920092

2,092548

216,9432

17

19,11386

18,813

1,530188

1,732639

226,9341

18

19,71562

19,4147

1,080294

1,31274

234,3457

19

20,31737

20,0165

0,5704108

0,8328512

238,8179

20

20,91913

20,6183

5,38045E-04

0,2929732

239,9909

Оценка погрешность k=4, следовательно

Алгоритм решения адачи приведен ниже:

x(0) =a

f0 =ak2 * x0 ^ 2 +ak1 * x0 + ak0

ih = f0

FOR i =1 TO 10

xi = x0 +h1

xi2 = (x0 + xi) /2

fxi2 = ak2 *xi2 ^ 2 + ak1 *xi2 + ak0

fxi = ak2 *xi ^ 2 + ak1 *xi + ak0

IF i =10 THEN

ih = ih +fxi +fxi2 * 4

ELSE

ih  = ih +fxi*2 +fxi2 * 4

END IF

x0 =x1

NEXT i

Ih2 = ih * h1/6

x0 = a

f0 =ak2 * x0 ^ 2 +ak1 * x0 + ak0

ih = f0

FOR i =1 TO 20

xi = x0 +h2

xi2 = (x0 +xi)/2

fxi2 =ak2 * xi2 ^ 2 +ak1 * xi2 + ak0

fxi = ak2 * xi ^2 + ak1 * xi + ak0

IF i =20 THEN

ih = ih + fxi + fxi2 *4

ELSE

ih = ih + fxi*2 +fxi2 *4

END IF

x0 = xi

NEXT i

K=4

ih = ih * h2/6

PRINT “ih1/2=”; ih2;   “ih=”; ih

‘pogreshnost

pog = ABS(ih2 -ih) /(2 ^ k-1)

PRINT pog

 

Задание 4. Определить точку экстремума функции F методами одномерной оптимизации (с точностью Е).

Для нахождения максимума следует ввести новую функцию f(x) =- F2(x). Проверка унимодальности необходима для использования методов оптимизации: дихотомии и золотого сечения.

Для проверки унимодальности используются критерии :

- если f(x)дифференцируема на [a; b] и производная f(x) не убывает на этом отрезке, то f(x) унимодальна.

- если f(x) дважды дифференцируема на отрезке [a; b] и  f (x)при х[a; b], то f(x) унимодальна на [a; b].

Проверим унимодальность функции f(x) =0,0828329х- 2,468724х + 15,39452.

 f (x)=0,165665, следовательно функция унимодальна.

Уточним отрезок локализации.

 f(x)=0,028329x- 2,468724x+ 15,39452.

Выберем h=0,1, x Условие окончания поиска:

Результаты вычислений приведены в таблице.

Таблица 14

I

x

x

0

14

1

14,1

14,1

-2,93237

-2,946482

2

14,1

14.2

-2,946482

-2,958938

3

14.2

14,4

-2,958938

-2,978878

4

14,4

14,8

-2,978878

-2,99888

5

14,8

15,6

-2,99888

-2,959363

 

Локализованный отрезок поиска точки экстремума[14; 15,6].

Алгоритм локализации отрезка:

ak2= -ak2:ak1=-ak1:ak0= -ak0

h =.I

i=1

xi=x0

xi1=x0 +2 ^ (i-1)*h

fxi=ak2 * xi ^ 2+ak1*xi1+ak0

PRINT “i=”; i; “x0=”; x0; “fx0=”; fx0

PRINT “i=”; i; “xi=”; xi1; “fxi=”; fxi; “fx(i+1)=”; fxi1

WHILE fxi>fxi1

i=i+1

xi = xi1

xi1=x0 +2 ^ (i-1)*h fxi=

fxi1 

fxi1 = ak2 * xi1 ^ 2 + ak1 * xi1 + ak0

PRINT “i=”; i; “xi=”; xi1; “fxi1=”; fxi; “fx(i+1)=”; fxi1

WEND

b= x0

a = xi1

PRINT “otrezok localizacii”; a; b

  1.  Поиск точки экстремума методом диxотомии.

Воспользуемся следующими формулами:

 

a = , если

b =  

Условие окончания поиска |b - a|<E

Экстрмум           x  если

                             x если

Результаты вычислений приведены в таблице15 :

Таблица 15

I

a

b

b-a

1

15,6

14

14,8001

14,7999

-2,998882

-2,998878

-1,6

2

15,6

14,7999

15,20005

15,19985

-2,992372

-2,992382

-0,8001

3

15,20005

14,7999

15,00008

14,99988

-2,998939

-2,998943

-0,40015

4

15,00008

14,7999

14,90009

14,8999

-2,999738

-2,999738

-0,20018

5

15,00008

14,89989

14,,95008

14,94988

-2,999546

-2,999548

-0,10019

6

14,95008

14,89989

14,92509

14,92488

-2,999694

-2,999695

-0,05019

7

14,92509

14,89989

14,91259

14,91239

-2,999729

-2,99973

-0,0252

8

14,91259

14,89989

14,90634

14,90614

-2,999737

-2,999737

-0,0127

9

14,91259

14,90614

14,90946

14,90926

-2,999734

-2,999734

-0,00645

10

14,90946

14,90614

14,9079

14,9077

-2,999736

-2,999736

-0,00332

11

14,9079

14,90614

14,90712

14,90692

-2,999737

-2,999737

-0,00176

12

14,90712

14,90614

14,90673

14,90653

-2,999737

-2,999737

-0,00098

x= 14,90653,  

Алгоритм ршения задачи приведн ниже:

CLS

e = 10 ^-3

sigma = 10^-4

п =1

WHILE ABS (b-a)>e

alfa = (a+b) / 2 + sigma

beta = (a+b) / 2 – sigma

falfa = ak2 * alfa ^2 + ak1 * beta +ak0

fbeta = ak2 * beta ^ 2 + ak1 * beta +ak0

PRINT “n=”; n; “a=”; a; “b=”; b; “alfa=”; alfa; “beta=”; beta; “falfa=”; falfa; “fbeta=”; fbeta

      INPUT c

IF falfa >fbeta THEN

a = alfa    

ex = beta

PRINT “falfa>fbeta”

ELSE

b = beta

PRINT “falfa<fbeta”

ex = alfa

END IF

n= n+1

WEND

alfa = (a + b) / 2 +sigma

beta = (a + b) /2 – sigma

falfa = ak2 * alfa ^ 2 +ak1*alfa + ak0

     fbeta = ak2 * beta ^ 2 +ak1*beta + ak0

PRINT “n=”; n; “a=”; a; “b=”; b; “alfa=”; alfa; “beta=”; beta; “falfa=”; falfa; “fbeta=”; fbeta

IF falfa > fbeta THEN

ex = beta

ELSE

ex= alfa

END IF

PRINT “extremum=”; ex

fex = ak2 *ex ^ 2 +ak1 * ex  +ak0

PRINT “f(ex)=”; fex

  1.  Метод золотого сечения

Воспользуемся следующими формулами:

  где   

 a = , если

 b =  

Условие окончания поиска |b - a|<E

Экстрмум           x  если

         x если

Результаты вычислений приведены в таблице16 :

Таблица 16

I

a

b

b-a

1

15,6

14,61115

15,22229

14,98885

-2,991232

-2,999112

-0,9885

2

15,22229

14,61115

14,98886

14,84458

-2,999112

-2,999467

-0,61114

3

14,98886

14,61115

14,84458

14,75542

-2,999467

-2,997963

-0,37771

4

14,98886

14,75542

14,89969

14,84458

-2,999738

-2,999467

-0,23444

5

14,98886

14,84458

14,93375

14,89969

-2,999655

-2,999467

-0,14428

6

14,93375

14,84458

14,89969

14,87864

-2,999738

-2,999694

-0,08917

7

14,93375

14,87864

14,9127

14,89969

-2,999729

-2,999738

-0,05511

8

14,9127

14,87864

14,89969

14,89165

-2,999738

-2,99973

-0,03406

9

14,9127

14,98165

14,90466

14,89969

-2,999738

-2,999738

-0,02102

10

14,90466

14,89165

14,89969

14,89662

-2,999738

-2,999737

-0,01301

11

14,90466

14,89662

14,90159

14,89969

-2,999739

-2,999738

-0,00804

2

14,90466

14,89969

14,90276

14,90159

-2,999739

-2,999739

-0,00497

13

14,90276

14,89969

14,90159

14,90086

-2,999739

-2,999739

-0,00307

14

14,90276

14,90086

14,90204

14,90159

-2,999739

-2,999739

-0,0019

15

14,90276

14,90159

14,90231

14,90204

-2,999739

-2,999739

-0,00117

16

14,90231

14,90159

14,90204

14,90187

-2,999739

-2,999739

-0,00072

x=14,90204,   

Точка максимума заданной функции, x=14,90204,   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

11141. Динамическое нагружение 485.5 KB
  Динамическое нагружение. Понятие о динамическом действии нагрузки. Ранее во всех рассмотренных нами задачах предполагалось что действующие нагрузки статические т. е. не изменяющиеся стечением времени. При проектировании машин обычно сталкиваются с деталями находя
11142. Напряжения, изменяющиеся во времени 927 KB
  Напряжения изменяющиеся во времени. Явление усталости материалов. Многие детали машин работают при переменных во времени нагрузках и следовательно возникающие в них напряжения также переменны во времени. Практика машиностроения уже в середине XIX века показала что
11143. Тонкостенные осесимметричные оболочки и толстостенные цилиндры 487.5 KB
  Тонкостенные осесимметричные оболочки и толстостенные цилиндры. Тонкостенные осесимметричные оболочки Тонкостенной осесимметричной называется оболочка имеющая форму тела вращения т. е. оболочка полярно симметричная относительно некоторой оси толщина которой в
11144. Контактні напруження 324.5 KB
  Контактні напруження. Основні поняття Деформації і напруження що виникають при взаємному натисканні двох стичних тіл обмежених криволінійними поверхнями називають контактними. Внаслідок деформацій у місцях зіткнення елементів конструкцій передача тиску відбуває...
11145. Поняття, властивості і типи акцій. Процедура реєстрації випуску акцій під час створення акціонерних товариств 74.5 KB
  Поняття властивості і типи акцій. Процедура реєстрації випуску акцій під час створення акціонерних товариств У відповідністю з ч.1. ст. 3 ЗУ Про цінні папери та фондовий ринокrdquo; Акція цінний папір без установленого строку обігу що засвідчує пайову участь у статут...
11146. Англо-американська модель корпоративного управління 111.16 KB
  Англоамериканська модель корпоративного управління Особливості англоамериканської системи корпоративного управління безпосередньо повязані з особливостями акціонерної форми власності головним чином з відсутністю в англійських і американських корпораціях зна
11147. Внутрішнє середовище корпоративного управління 72.5 KB
  ТЕМА 7. Внутрішнє середовище корпоративного управління 7.1. Органи управління акціонерним товариством Реалізація корпоративних прав акціонерів здійснюється через їхню участь в управлінні товариством. Органами управління акціонерного товариства виступають: 
11148. Господарські товариства корпоративного типу 108 KB
  Господарські товариства корпоративного типу Значного поширення в процесі реформування власності корпоратизації та акціонування підприємств набули господарські товариства. Закон України Про господарські товариства визначає поняття й види господар...
11149. Господарські товариства як обєкт управління 57.5 KB
  Господарські товариства як обєкт управління План Суть господарських товариств. Порядок створення господарського товариства. Господарські товариства корпоративного типу Товариство з обмеженою відповідальністю ...