99432
Решение системы нормальных уравнений. Численные методы и оптимизация
Курсовая
Информатика, кибернетика и программирование
Составить и решить систему нормальных уравнений; определить параметры аппроксимирующих функций; вычислить значения аппроксимирующих функций в узлах аппроксимации; построить график заданной функции (множество точек) и графики функций линейной и квадратичной аппроксимации; оценить качество аппроксимации.
Русский
2016-09-15
629.5 KB
0 чел.
Московский технический университет по связи и информатике
Заочная форма обучения
Тема: Численные методы и оптимизация
Студентака 1 курса
Специальности 210406 УФО
Студенческий билет
7КТ08011
Преподаватель:
Саладаев
Н.Новгород
2009 год
n1 = 10 и n2 = 20 подинтервалов , x1, x2 - корни уравнения F2(x):
Задание 1. Для заданной функции у(х) методом наименьших квадратов для степенного базиса получить линейную F1(x) = a0 + a1x и квадратичную F2(x) = a0 + a1x + a2x2 аппроксимирующие функции Функция y = y(x) задана таблицей.
Таблица 1
I |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
xi |
7 |
9 |
11 |
13 |
16 |
17 |
y(x) |
-1,976 |
-0,19 |
1,576 |
3,056 |
2,926 |
2,524 |
Запишем параметры линейной аппроксимации:
= == 12,167; = = =1,319333
a1 = ==0,4546813
a0 = a1 = 1,319333-0,4546813*12,167= -4,212623
Искомая линейная аппроксимирующая функция:
F1(x) = -4,212623+0,4546813х
Алгоритм решения приведен ниже:
CLS
n=6
DIM xs(n)
DIM y(n)
xs(1)=7: xs(2)=9: xs(3)=11: xs(4)=13: xs(5)=16: xs(6)=17
y(1)=-1,976:y(2)=-0,19:y(3)=1,576:y(4)=3,056:y(5)=2,926:y(6)=2,524
sx=0:sy=0:sx2=0:sxy=0
FOR i=1 TO n
sx=sx+xs(i)
sy=sx+y(i)
sx2=sx2+xs(i)^2
sxy=sxy+xs(i)*y(i)
NEXT
xc=sx/n
yc=sy/n
a1=(sxy-n*xc*yc)/(sx2-n*xc^2)
a0=yc-a1*xc
PRINT “For line function”
PRINT “a1=”; a1
PRINT”a0=”; a0
Составим и решим систему нормальных уравнений для определения параметров многочлена второй степени F2(x) = a0 + a1x + a2x2
(n+1)a0 + ( Σxi )a1 + ( Σxi2)a2 = Σ yi
( Σxi )a0 + ( Σxi2)a1 + ( Σx3)a2 = Σ xi yi
(Σxi2)a0 + ( Σxi3 )a1 + ( Σxi4)a2 = Σ xi2 yi .
В таблицу 2 запишем элементы матрицы Грамма и столбец свободных членов.
Таблица 2
i |
x |
x |
y |
x |
x |
x |
xy |
xy |
|
0 |
1 |
7 |
-1,976 |
49 |
343 |
2401 |
-96,824 |
-13,832 |
|
1 |
1 |
9 |
-1,976 |
81 |
729 |
6561 |
-15,39 |
-1,71 |
|
2 |
1 |
11 |
-1,976 |
121 |
1331 |
14641 |
190,696 |
17,336 |
|
3 |
1 |
13 |
-1,976 |
169 |
2197 |
28561 |
516,464 |
39,728 |
|
4 |
1 |
16 |
-1,976 |
256 |
4096 |
65536 |
749,056 |
46,816 |
|
5 |
1 |
17 |
-1,976 |
289 |
4913 |
83521 |
729,436 |
42,908 |
|
сумма |
73 |
7,916 |
965 |
13609 |
201221 |
2073,438 |
131,246 |
Коэффициенты и столбец свободных членов представлены в таблице 3:
Таблица 3
6 |
73 |
965 |
7,916 |
73 |
965 |
13609 |
131,246 |
965 |
13609 |
201221 |
2073,438 |
Система нормальных уравнений имеет вид:
6а0 + 73а1 + 965а2 = 7,916
73а0 + 965а1 + 13609а2 = 131,246
965а0 + 13609а1 201221а2 = 2073,438
Решение системы нормальных уравнений:
а2 = -15,39452; а1 = 2,468724; а0 = -0,0828329
Искомая аппроксимирующая функция:
F2(x) =-0,0828329 x2 +2,468724 x - 15,39452
Значения аппроксимирующих функций F1{x} и F2{x} в узлах аппроксимации приведены в таблице 4:
X |
F(x) |
F(x) |
12 |
-1,029853 |
-2,172264 |
13 |
-0,1204909 |
0,1145317 |
14 |
0,788718 |
1,738665 |
15 |
1,698234 |
2,700134 |
16 |
3,062278 |
2,899845 |
17 |
3,51696 |
2,635084 |
Таблица 4
Алгоритм решения задачи приведен ниже:
DIM x0 (n): DIM x1(n): DIM x2(n): DIM x3(n): DIM x4(n)
DIM xy(n): DIM yx2(n)
FOR I = 1 TO n
x0(i) = 1
x1(i) = xs(i)
x2(i) = xs(i)^2
x3(i) = xs(i)^3
x4(i) = xs(i)^4
xy(i) = xs(i)*y(i)
yx2(i) = y(i) *xs(i)^2
sx0 =sx0 +x0(i)
sx1 =sx1 +x1(i)
sx3 =sx3 +x3(i)
sx4 =sx4 +x4(i)
syx2 =syx2+yx2(i)
NEXT
INPUT c
gauss
DIM a(3, 4)
a(1, 1) = n
a(1, 2) = sx
a(1, 3) = sx2
a(1, 4) = sy
a(2, 1) = sx
a(2, 2) = sx2
a(2, 3) = sx3
a(2, 3) = sx3
a(2, 4) = sxy
a(3, 1) = sx2
a(3, 2) = sx3
a(3, 3) = sx4
a(3, 4) = syx2
CLS
FOR i = 1 TO 3
FOR j = 1 TO 4
LOCATE 4 * i, 10 * j
PRINT a(i, j)
NEXT j
NEXT i
n1 =3
FOR i = 1 TO n1
maxabs = ABS(a(i,i))
k =i
FOR 1 =i + 1 TO n1
IF ABS (a(1,i))> maxabs THEN
maxabs = ABS(a(i,i))
k =1
END IF
NEXT 1
IF k <>I THEN
FOR j = i TO n1 +1
V =a(i, j)
a(i, j) = a(k, j)
a(k, j) =v
NEXT j
END IF
V =a(i, i )
FOR j =i TO n1 +1
a(i, j) = a(i, j)/v
NEXT j
FOR I =I +1 TO n1
v = a(1, i)
FOR j =i +1 TO n1 +1
a(1, j) =a(1, j) a(i, j )*v
NEXT j
NEXT 1
NEXT i
x(n1) = a(n1, n1 +1)
FOR i = n1 1 TO 1 STEP -1
x(i) = a(i, n1 +1)
FOR j = i + 1 TO n1
x(i) = x(i) a(i, j) * x(j)
NEXT j
NEXT i
FOR i = 1 TO n1
PRINT x(i)
NEXT i
INPUT c
znach fiinkcy
DIM zn(4, 6)
CLS
FOR i = 1 TO n
zn(1, i) = xs(i)
zn(2, i) = al *xs(i) + a0
zn(3, i) = x(3) * xs(i) ^ 2 + x(2) * xs(i) + x(1)
zn(4, i) = y(i)
NEXT i
FOR i = 1 TO 4
FOR j = 1 TO 6
LOCATE 4 * i, 10 * j
PRINT zn(i, j)
NEXT j
NEXT i
Графики функций линейной и квадратичной аппроксимации показаны на рисунке
Оценим качество аппроксимации:
ρ = sqr(1/(n+1)* ∑ (Fm(xi) y(xi))2)
Для линейной функции: р1=0,8531963
Для квадратичной функции: р2=0,2226294
Алгоритм оценки качества аппроксимации:
plin = 0
pkv =0
FOR i =1 TO n
plin= plin + (zn(2,i) y(i)) ^ 2
pkv = pkv + (zn(3, i) y(i)) ^ 2
NEXT i
plin =SQR(plin /n)
pkv = SQR( pkv /n)
PRINT “plin=”; plin
PRINT “pkv =”; pkv
p2<p1, значит аппроксимация квадратичной функции более качественная.
Задание 2. Решение уравнения F2(x) с точностью Е = 10-3 . Для отделения корней уравнения F2(x)=-0,0828329x+ 2,468724x 15,39452
составим таблицу знаков функции F2.
Таблица 5
X |
7 |
9 |
19 |
21 |
F2(x) |
2,17226 |
0,11453 |
1,680858 |
-8,058Е-02 |
Sign |
- |
+ |
+ |
- |
На отрезках [7; 9] и [16; 17] функция F2(x) меняет знаки, т.е. существует, по крайней мере, по одному корню. Убедимся, что эти корни единственны на каждом из отрезков.
Производная F2'(x) = -0,1656647х + 2,4687105, F”(х) =-0,1656647 < 0
F2"(x) = 0.051 > 0, следовательно, производная F2'(x) - монотонно убывающая функция.
Составим таблицу знаков функции на выбранных отрезках:
X |
7 |
9 |
19 |
21 |
F2(x) |
1,309 |
-0,978 |
0.679 |
1,01 |
Sign |
- |
- |
+ |
+ |
При х [19;21] функция F(x) монотонно возрастает (так как F2'(x) >0, F2'(19) >0,
F2'(21) >0), то есть отрезок содержит единственный корень, причем F2'(x) сохраняет знак.
При х [7; 9] функция F2(x) монотонно убывает (так как F2'(x) < 0, F2'(16) < 0, F2'(17) < 0),), то есть отрезок содержит единственный корень.
На отрезке [19;21] уточним корень методом Ньютона.
Достаточные условия сходимости метода Ньютона определены следующим образом:
1. F2(x) непрерывна на [a; b] и F2(a) - F2(b) < 0;
2. F2'(x) и F2"(x) отличны от нуля и сохраняют знаки при х [a; b]
Приведенные выше требования выполняются, выбираем начальное приближение х, удовлетворяющее условию: F2'(x) - F2"(x) > 0. F2"(x) < 0 и F(7) < 0, следовательно х=20
Рекуррентная формула: х = х - i = 0,1 ,
Из оценки погрешности | x≤ следует условие окончания 0,09053359.
Где М- модуль наибольшего значения F2"(x) и m - модуль наименьшего значения F2'(x). М2=0,1656658, m1=0,6789258, Е=10-4.
Результаты решения уравнения F2(x) =0 на отрезке [19;21] представлены в таблице:
Таблица 6
I |
X |
X |
X |
||
0 |
19 |
1,608564 |
-0,6789258 |
21,36928 |
|
1 |
21,36928 |
-0,4649808 |
-1,071434 |
20,9353 |
2,3693 |
2 |
20,9353 |
-0.0156014 |
-0,99954 |
20,91969 |
2,3693 |
3 |
20,91969 |
-0,00002098 |
-0,996953 |
20,91967 |
0,43398 |
4 |
20,91967 |
-6,36E-08 |
-0,996946 |
20,91967 |
1,561E-02 |
x = 20,91967 уточненный корень на отрезке [19;21], погрешность равна 5,37Е-11.
Алгоритм решения задачи приведен ниже:
as1 = 2*x(3)
as0 = x(2)
et = 10^(-3)
a =19
b =21
xnminus = a
f1 = ABS(as1 * a + as0)
f1 = ABS(as1 * b + as0)
IF f1 > f2 THEN m1 =f1 ELSE m1 = f1
M2 =ABS (ass)
PRINT “as1=”; as1; “as0=”; as0
PRINT “a2=”; x(3); “a1=”; x(2); “a0=”;
x(1)
k =2*et * m1/M2
usl = SQR(k)
PRINT “m1=”; m1; “M2=”; M2; “uslovie okonchaniya=”; usl;””
f =x(3)* xnminus^2 +x(2) * xnminus +x(1)
fs = as1 * xnminus +as0
xn = xnminus f/ fs
d =ABS(xn - xnminus)
PRINT “n=0, x=”; xnminus; “f=”; f; “fs=”; fs
n = 1
f =x(3) * xn^2 +x(2) * xn +x(1)
fs =as1 * xn +as0
PRINT “n=”; n; “x=”; xn; “f=”; f; “fs=”; fs; ”
xn-x(n-1)=”; d
WHILE d >usl
xnplus = xn = (f / fs)
fs =as1 * xnplus + as0
fs = as1 * xnplus ^ 2 + x(2) * xnplus +x(1)
d = ABS(xn - xnminus)
n = n+1
PRINT “n=”; “x=”; xnplus; “f=”; f; “fs=”;
fs; “x(n) x(n-1)”; d
xnminus =xn
xn = xnplus
WEND
pogreshnost
pog = (xn - xnminus) ^ 2*M2 /(2 * m1)
PRINT “pogreshnost=”; pog
xk1 =xn
На отрезке [7; 9] уточним корень методом итерации.
F2(х) дифференцируема и имеет разные знаки на отрезке [7; 9]:
F2(9)> 0, F2(7) < 0, F2'(x)≠0.
Итерирующая функция φ(х) = λ * F2(х) +х обеспечивает выполнение условия сходимости | φ(х)| < 1
Правило выбора параметра λ заключается в следующем:
если F2'(x)>0
если F2'(x) < 0
Где r = max ( | F2'(a)|, | F2'(b)|). F2'(x)>0, следовательно , -1 < λ <0.
Пусть λ = -0,5. Тогда последовательные приближения к корню вычисляются по формуле : х
Полагаем х=10.
Условие окончания поиска корня заключается в следующем:
|x
|F2(xi) - F2( х)| <E
Оценка погрешности:
|x* - xi | ≤
x
Следовательно, погрешность равна 1,178Е 03,
Результаты решения представлены в таблице 7:
Таблица 7
I |
х |
х - х |
F2(х) |
F2(х)= F2(х) |
0 |
8 |
-9,46 01 |
||
1 |
8,473017 |
0,47302 |
-0,4237 |
0,5223 |
2 |
8,684877 |
0,21186 |
-0,2017994 |
0,2219 |
3 |
8,835138 |
0,1009 |
-0,09872 |
0,1031 |
4 |
8,859593 |
4,936E 02 |
-4,89103E 02 |
4,981E 02 |
5 |
8,871784 |
2,446E 02 |
-2,43814E 02 |
2,453E - 02 |
6 |
8,877879 |
1,219E 02 |
-1,21908E 02 |
1,219E 02 |
7 |
8,877879 |
6,095E- 03 |
-6,10516E 02 |
6,086E -03 |
8 |
8,880932 |
3,053E 03 |
-3,05944E 03 |
3,046E -03 |
9 |
8,882462 |
1,5297E 03 |
-1,53383E 03 |
1,526E 03 |
10 |
8,883228 |
7,667E -04 |
-7,69267E 04 |
7,646E -04 |
x2 = 8,883228 уточненный корень на отрезке [7; 9] , вычисленный с погрешностью 1,178Е 03
Алгоритм решения задачи приведен ниже:
CLS
a = 7
b = 9
l =-0.5
x0 =(a+b)/2
e = 10 ^ (-3)
fix0 =l (x(3)*x0 ^2 +x(2) * x0 +x(1)) +x0
m = ABS (x0 fix0)
fisa = l * (as1 *a +as1) +1
fisb = l * (as1 *b +as0) +1
IF fisa> fisb THEN q = fisa ELSE q = fisb
n =0
xn =x0
f2x = x(3) xn ^ 2 +x(2) * xn +x(1)
PRINT “n=”; n; “xn=”; xn; “f2x=”; f2x
xnplus = xn +| 1 * f2x
dx =ABS(xn - xnplus)
df = ABS(f2x f2 xnplus)
PRINT “m=”; m
WHILE dx > e OR df>e
N = n+1
xn = xnplus
f2x = f2 xnplus
PRINT “b=”; n; “xn-“; xn; “f2x=”; f2x; “dx=” dx; “df=”;df
xnplus = x +1 *f2x
f2xnplus = x(3) * xnplus ^ 2 +x(2) * xnplus + x(1)
dx= ABS(xn - xnplus)
df = ABS(f2x f2 xnplus)
WEND
n = n +1
xn = xnplus
f2x = f2 xnplus
PRINT “n=”; n; “xn=”; xn; “f2x=”; f2x; “dx=”; dx; “df=”; df
xnplus = xn |=1 * f2x
f2xnplus = x(3) * xnplus ^ 2 +x(2) * xnplus +x(1
xk2 = xn
pogr = m /(1 - q)* q ^ (n)
PRINT “m =”; m; “q=”; q; “n=”; n;
PRINT “pogreshnost=”; pogr
PRINT “ koren=”; xk1; “koren2=”; xk2
Задание 3. Интеграл F2(x)dx вычислить, полагая n = 10 и n = 20 методами Симпсона, трапеций и средних прямоугольников.
x=8,883228, x=20,91967
h=
Оценка погрешности по правилу Рунге:
Формула метода средних прямоугольников:
∫ F2(x)dx = h Σ F2(α + kh ) ,k-степень используемого полинома, k=2
где α = а + , h = xi+1 xi =
Для n=10 x,
Результаты решения приведены в таблице 8:
Таблица 8
I |
х |
х |
F |
|
0 |
8,883228 |
0 |
||
1 |
10,08751 |
9,485756 |
0,5699257 |
0,569926 |
2 |
11,29103 |
10,68927 |
1,529811 |
2,099737 |
3 |
12,49454 |
11,8978 |
2,249737 |
4,349474 |
4 |
13,69805 |
13,0963 |
2,729706 |
7,07918 |
5 |
14,90157 |
14,29981 |
2,969717 |
10,0489 |
6 |
16,10508 |
15,50332 |
2,969771 |
13,01867 |
7 |
17,30859 |
16,70683 |
2,729868 |
15,74854 |
8 |
18,5121 |
17,91035 |
2,250006 |
17,99854 |
9 |
19,71561 |
19,11386 |
1,530189 |
19,52873 |
10 |
20,91913 |
20,31737 |
0,5704126 |
20,09914 |
I
Для n =20 x x
Результаты решения приведены в таблице 9:
Таблица 9
I |
х |
х |
F |
|
0 |
8,883228 |
0,000000 |
||
1 |
9,485756 |
9,18449 |
0,2924611 |
0,29246 |
2 |
10,08751 |
9,78663 |
0,8323931 |
1,12485 |
3 |
10,68927 |
110,3884 |
1,312334 |
2,43719 |
4 |
11,29102 |
10,9901 |
1,732287 |
4,16948 |
5 |
11,89278 |
11,5919 |
2,09225 |
6,26173 |
6 |
12,49454 |
12,1937 |
2,392224 |
8,65395 |
7 |
13,09629 |
12,7954 |
2,63228 |
11,2862 |
8 |
13,69805 |
13,3972 |
2,812204 |
14,0984 |
9 |
14,2998 |
13,9989 |
2,93221 |
17,0306 |
10 |
14,901056 |
14,6004 |
2,99227 |
20,0229 |
11 |
15,50332 |
15,2022 |
2,992254 |
23,0152 |
12 |
16,10507 |
15,8042 |
2,932292 |
25,9475 |
13 |
16,70683 |
16,406 |
2,81234 |
18,7598 |
14 |
17,30859 |
17,0077 |
2,632399 |
31,3922 |
15 |
17,91035 |
17,6095 |
2,392468 |
33,7847 |
16 |
18,5121 |
18,2112 |
2,092548 |
35,8772 |
17 |
19,11386 |
18,813 |
1,732639 |
37,6099 |
18 |
19,71562 |
19,4147 |
1,31274 |
38,9226 |
19 |
20,31737 |
20,0165 |
0,8328512 |
39,7554 |
20 |
20,91913 |
20,6183 |
0,292732 |
40,0484 |
Оценим погрешность k =2, следовательно
Алгоритм решения задачи имеет вид:
k=2
Ak2 = x(3): ak1 = x(2):ak0 = x(1)
b= xk2: a = xk1
h1 =ABS(b-a)/10
h2 =ABS(b-a)/20
pryamougolniki
CLS
x(0)
ih = 0
FOR i = 1 TO 10
Xi = x0 + h1
xi2 (x0 + xi)/2
fxi = ak2 * xi2 ^2 +ak1* xi2 + ak0
ih =ih + fxi
PRINT “n=”; i; “xi2=”; xi2; “fxi=”; fxi
x0 = xi
NEXT i
ih2 = ih * h1
x0 =a
ih =0
INPUT c
FOR i =1 TO 20
Xi = x0 + h2
Xi2 = (x0 + xi) /2
fxi =ak2 * xi2 ^ 2 + ak1 * xi2 + ak0
PRINT “n=”; i; “xi2=”; xi2; “fxi=”; fxi
ih =ih + fxi
x0 = xi
NEXT i
ih = ih * h2
PRINT “ih/2=”; ih2; “ih=”; ih
pogreshnost
pog = ABS(ih2-ih)/(2 ^k-1)
PRINT pog
Формула метода трапеций:
Для n =10
∫ F2(x)dx = (F2(a) + F2(b) + 2 Σ F2 (α + ih ),
где h = xi+1 xi = ,
x
Результаты решения приведены в таблице 10:
Таблица 10
I |
x |
F |
|
0 |
8,883228 |
-0,00015 |
0 |
1 |
10,08751 |
1,079863 |
1,079863 |
2 |
11,29103 |
1,919768 |
2,999631 |
3 |
12,49454 |
2,519716 |
5,519347 |
4 |
13,69805 |
2,879706 |
8,399053 |
5 |
14,90157 |
2,999739 |
11,39879 |
6 |
16,10508 |
2,879706 |
14,2585 |
7 |
17,30859 |
2,999739 |
17,27824 |
8 |
18,5121 |
1,920092 |
19,19833 |
9 |
19,71561 |
1,080296 |
20,257863 |
10 |
20,91913 |
5,41848E - 04 |
20,27917 |
Результаты решения приведены в таблице 11:
Таблице 11
I |
x |
F |
|
0 |
8,883228 |
-0,000015 |
0 |
1 |
9,485756 |
0,5699257 |
1,079862 |
2 |
10,08751 |
1,079862 |
2,609671 |
3 |
10,68927 |
1,529809 |
4,529438 |
4 |
11,29102 |
1,919767 |
6,779174 |
5 |
11,89278 |
2,249736 |
6,298889 |
6 |
12,49454 |
2,519715 |
12,02859 |
7 |
13,09629 |
2,729705 |
14,9083 |
8 |
13,69805 |
2,879705 |
17,788 |
9 |
14,2998 |
2,969717 |
20,75772 |
10 |
14,901056 |
2,999739 |
23,75746 |
11 |
15,50332 |
2,969771 |
26,72723 |
12 |
16,10507 |
2,879815 |
29,60705 |
13 |
16,70683 |
2,729868 |
32,33691 |
14 |
17,30859 |
2,519933 |
34,85685 |
15 |
17,91035 |
2,250007 |
37,10685 |
16 |
18,5121 |
1,920092 |
39,02695 |
17 |
19,11386 |
1,530188 |
40,55713 |
18 |
19,71562 |
1,080294 |
41,63743 |
19 |
20,31737 |
0,5704108 |
42,20784 |
20 |
20,91913 |
5,38045E-04 |
42,20838 |
Оценим погрешность k=2, следовательно
Алгоритм решения задачи приведен ниже:
х=а
ih = 0
f0 = (ak2 * x0^2 + ak1*x0 +ak0) /2
FOR i=1 TO 10
xi =x0 + h1
fi = ak2 * xi ^ 2 +ak1 * xi + ak0
ih = ih + fi
PRINT “n=”; i; “xi=”; xi; “fi=”;
fi x0 = xi
NEXT i
fxn = (ak2 * x0 ^ 2 + ak1 * x0 + ak0) /2
ih 12 = (ih + f0) + fxn)*h1
PRINT “ih/2=”;ih12
INPUT c
ih =0
x0 =a
f0 = (ak2 * x0 ^ 2 +ak1 *x0 +ak0) /2
FOR I = 1 TO 20
xi = x0 + h2
fi = ak2 * xi ^2 + ak1 * xi + ak0
ih = 0
x0 =a
f0 =(ak2 * x0 ^2 + ak1 * x0 +ak0) /2
FOR i = 1 TO 20
xi = x0 + h2
fi = ak2 * xi ^2 + ak1 * xi +ak0
ih = ih + fi
PRINT “n=”; i; “xi=”; xi; “fi=”; fi
x0 = xi
NEXT i
Fxn = (ak2 * x0 ^2 +ak1 * x0 + ak0) /2
ih = (ih + f0) + fxn) *h2
PRINT “ih=”; ih
pogreshnost
pog = ABS(ihl2 - ih) / (2 ^ k-1)
PRINT pog
Формула метода Симпсона:
∫ F2(x)dx = [(F2(a) + F2(b) + 4 (F2(x1) + F2(x3) + … + F2(x2n-1)) + 2( F2(x2) + F2(x4) + … + F2(x2n-2)) ] ,
где h = xi+1 xi = ,
Для n = 10 x = x, x y y
Результаты решения приведены в таблице 13.
Таблице 13
I |
x |
x |
F |
F |
|
0 |
8,883228 |
-0,000015 |
|||
1 |
9,485756 |
9,18449 |
0,5699257 |
0,2924611 |
2,309696 |
2 |
10,08751 |
9,78663 |
1,079862 |
0,8323931 |
7,798992 |
3 |
10,68927 |
10,3884 |
1,529809 |
1,312334 |
16,10795 |
4 |
11,29102 |
10,9901 |
1,919767 |
1,732287 |
26,87663 |
5 |
11,89278 |
11,5919 |
2,249736 |
2,09225 |
39,7451 |
6 |
12,49454 |
12,1937 |
2,519715 |
2,392224 |
54,35343 |
7 |
13,09629 |
12,7954 |
2,729705 |
2,63228 |
70,34196 |
8 |
13,69805 |
13,3972 |
2,879705 |
2,812204 |
87,35018 |
9 |
14,2998 |
13,9989 |
2,969717 |
2,93221 |
105,0185 |
10 |
14,901056 |
14,6004 |
2,999739 |
2,99227 |
122,987 |
11 |
15,50332 |
15,2022 |
2,969771 |
2,992254 |
140,8956 |
12 |
16,10507 |
15,8042 |
2,879815 |
2,932292 |
158,3844 |
13 |
16,70683 |
16,406 |
2,729868 |
2,81234 |
175,0935 |
14 |
17,30859 |
17,0077 |
2,519933 |
2,632399 |
190,6629 |
15 |
17,91035 |
17,6095 |
2,250007 |
2,392468 |
204,7328 |
16 |
18,5121 |
18,2112 |
1,920092 |
2,092548 |
216,9432 |
17 |
19,11386 |
18,813 |
1,530188 |
1,732639 |
226,9341 |
18 |
19,71562 |
19,4147 |
1,080294 |
1,31274 |
234,3457 |
19 |
20,31737 |
20,0165 |
0,5704108 |
0,8328512 |
238,8179 |
20 |
20,91913 |
20,6183 |
5,38045E-04 |
0,2929732 |
239,9909 |
Оценка погрешность k=4, следовательно
Алгоритм решения адачи приведен ниже:
x(0) =a
f0 =ak2 * x0 ^ 2 +ak1 * x0 + ak0
ih = f0
FOR i =1 TO 10
xi = x0 +h1
xi2 = (x0 + xi) /2
fxi2 = ak2 *xi2 ^ 2 + ak1 *xi2 + ak0
fxi = ak2 *xi ^ 2 + ak1 *xi + ak0
IF i =10 THEN
ih = ih +fxi +fxi2 * 4
ELSE
ih = ih +fxi*2 +fxi2 * 4
END IF
x0 =x1
NEXT i
Ih2 = ih * h1/6
x0 = a
f0 =ak2 * x0 ^ 2 +ak1 * x0 + ak0
ih = f0
FOR i =1 TO 20
xi = x0 +h2
xi2 = (x0 +xi)/2
fxi2 =ak2 * xi2 ^ 2 +ak1 * xi2 + ak0
fxi = ak2 * xi ^2 + ak1 * xi + ak0
IF i =20 THEN
ih = ih + fxi + fxi2 *4
ELSE
ih = ih + fxi*2 +fxi2 *4
END IF
x0 = xi
NEXT i
K=4
ih = ih * h2/6
PRINT “ih1/2=”; ih2; “ih=”; ih
pogreshnost
pog = ABS(ih2 -ih) /(2 ^ k-1)
PRINT pog
Задание 4. Определить точку экстремума функции F методами одномерной оптимизации (с точностью Е).
Для нахождения максимума следует ввести новую функцию f(x) =- F2(x). Проверка унимодальности необходима для использования методов оптимизации: дихотомии и золотого сечения.
Для проверки унимодальности используются критерии :
- если f(x)дифференцируема на [a; b] и производная f(x) не убывает на этом отрезке, то f(x) унимодальна.
- если f(x) дважды дифференцируема на отрезке [a; b] и f (x)при х[a; b], то f(x) унимодальна на [a; b].
Проверим унимодальность функции f(x) =0,0828329х- 2,468724х + 15,39452.
f (x)=0,165665, следовательно функция унимодальна.
Уточним отрезок локализации.
f(x)=0,028329x- 2,468724x+ 15,39452.
Выберем h=0,1, x Условие окончания поиска:
Результаты вычислений приведены в таблице.
Таблица 14
I |
x |
x |
||
0 |
14 |
|||
1 |
14,1 |
14,1 |
-2,93237 |
-2,946482 |
2 |
14,1 |
14.2 |
-2,946482 |
-2,958938 |
3 |
14.2 |
14,4 |
-2,958938 |
-2,978878 |
4 |
14,4 |
14,8 |
-2,978878 |
-2,99888 |
5 |
14,8 |
15,6 |
-2,99888 |
-2,959363 |
Локализованный отрезок поиска точки экстремума[14; 15,6].
Алгоритм локализации отрезка:
ak2= -ak2:ak1=-ak1:ak0= -ak0
h =.I
i=1
xi=x0
xi1=x0 +2 ^ (i-1)*h
fxi=ak2 * xi ^ 2+ak1*xi1+ak0
PRINT “i=”; i; “x0=”; x0; “fx0=”; fx0
PRINT “i=”; i; “xi=”; xi1; “fxi=”; fxi; “fx(i+1)=”; fxi1
WHILE fxi>fxi1
i=i+1
xi = xi1
xi1=x0 +2 ^ (i-1)*h fxi=
fxi1
fxi1 = ak2 * xi1 ^ 2 + ak1 * xi1 + ak0
PRINT “i=”; i; “xi=”; xi1; “fxi1=”; fxi; “fx(i+1)=”; fxi1
WEND
b= x0
a = xi1
PRINT “otrezok localizacii”; a; b
Воспользуемся следующими формулами:
a = , если
b =
Условие окончания поиска |b - a|<E
Экстрмум x если
x если
Результаты вычислений приведены в таблице15 :
Таблица 15
I |
a |
b |
b-a |
||||
1 |
15,6 |
14 |
14,8001 |
14,7999 |
-2,998882 |
-2,998878 |
-1,6 |
2 |
15,6 |
14,7999 |
15,20005 |
15,19985 |
-2,992372 |
-2,992382 |
-0,8001 |
3 |
15,20005 |
14,7999 |
15,00008 |
14,99988 |
-2,998939 |
-2,998943 |
-0,40015 |
4 |
15,00008 |
14,7999 |
14,90009 |
14,8999 |
-2,999738 |
-2,999738 |
-0,20018 |
5 |
15,00008 |
14,89989 |
14,,95008 |
14,94988 |
-2,999546 |
-2,999548 |
-0,10019 |
6 |
14,95008 |
14,89989 |
14,92509 |
14,92488 |
-2,999694 |
-2,999695 |
-0,05019 |
7 |
14,92509 |
14,89989 |
14,91259 |
14,91239 |
-2,999729 |
-2,99973 |
-0,0252 |
8 |
14,91259 |
14,89989 |
14,90634 |
14,90614 |
-2,999737 |
-2,999737 |
-0,0127 |
9 |
14,91259 |
14,90614 |
14,90946 |
14,90926 |
-2,999734 |
-2,999734 |
-0,00645 |
10 |
14,90946 |
14,90614 |
14,9079 |
14,9077 |
-2,999736 |
-2,999736 |
-0,00332 |
11 |
14,9079 |
14,90614 |
14,90712 |
14,90692 |
-2,999737 |
-2,999737 |
-0,00176 |
12 |
14,90712 |
14,90614 |
14,90673 |
14,90653 |
-2,999737 |
-2,999737 |
-0,00098 |
x= 14,90653,
Алгоритм ршения задачи приведн ниже:
CLS
e = 10 ^-3
sigma = 10^-4
п =1
WHILE ABS (b-a)>e
alfa = (a+b) / 2 + sigma
beta = (a+b) / 2 sigma
falfa = ak2 * alfa ^2 + ak1 * beta +ak0
fbeta = ak2 * beta ^ 2 + ak1 * beta +ak0
PRINT “n=”; n; “a=”; a; “b=”; b; “alfa=”; alfa; “beta=”; beta; “falfa=”; falfa; “fbeta=”; fbeta
INPUT c
IF falfa >fbeta THEN
a = alfa
ex = beta
PRINT “falfa>fbeta”
ELSE
b = beta
PRINT “falfa<fbeta”
ex = alfa
END IF
n= n+1
WEND
alfa = (a + b) / 2 +sigma
beta = (a + b) /2 sigma
falfa = ak2 * alfa ^ 2 +ak1*alfa + ak0
fbeta = ak2 * beta ^ 2 +ak1*beta + ak0
PRINT “n=”; n; “a=”; a; “b=”; b; “alfa=”; alfa; “beta=”; beta; “falfa=”; falfa; “fbeta=”; fbeta
IF falfa > fbeta THEN
ex = beta
ELSE
ex= alfa
END IF
PRINT “extremum=”; ex
fex = ak2 *ex ^ 2 +ak1 * ex +ak0
PRINT “f(ex)=”; fex
Воспользуемся следующими формулами:
где
a = , если
b =
Условие окончания поиска |b - a|<E
Экстрмум x если
x если
Результаты вычислений приведены в таблице16 :
Таблица 16
I |
a |
b |
b-a |
||||
1 |
15,6 |
14,61115 |
15,22229 |
14,98885 |
-2,991232 |
-2,999112 |
-0,9885 |
2 |
15,22229 |
14,61115 |
14,98886 |
14,84458 |
-2,999112 |
-2,999467 |
-0,61114 |
3 |
14,98886 |
14,61115 |
14,84458 |
14,75542 |
-2,999467 |
-2,997963 |
-0,37771 |
4 |
14,98886 |
14,75542 |
14,89969 |
14,84458 |
-2,999738 |
-2,999467 |
-0,23444 |
5 |
14,98886 |
14,84458 |
14,93375 |
14,89969 |
-2,999655 |
-2,999467 |
-0,14428 |
6 |
14,93375 |
14,84458 |
14,89969 |
14,87864 |
-2,999738 |
-2,999694 |
-0,08917 |
7 |
14,93375 |
14,87864 |
14,9127 |
14,89969 |
-2,999729 |
-2,999738 |
-0,05511 |
8 |
14,9127 |
14,87864 |
14,89969 |
14,89165 |
-2,999738 |
-2,99973 |
-0,03406 |
9 |
14,9127 |
14,98165 |
14,90466 |
14,89969 |
-2,999738 |
-2,999738 |
-0,02102 |
10 |
14,90466 |
14,89165 |
14,89969 |
14,89662 |
-2,999738 |
-2,999737 |
-0,01301 |
11 |
14,90466 |
14,89662 |
14,90159 |
14,89969 |
-2,999739 |
-2,999738 |
-0,00804 |
2 |
14,90466 |
14,89969 |
14,90276 |
14,90159 |
-2,999739 |
-2,999739 |
-0,00497 |
13 |
14,90276 |
14,89969 |
14,90159 |
14,90086 |
-2,999739 |
-2,999739 |
-0,00307 |
14 |
14,90276 |
14,90086 |
14,90204 |
14,90159 |
-2,999739 |
-2,999739 |
-0,0019 |
15 |
14,90276 |
14,90159 |
14,90231 |
14,90204 |
-2,999739 |
-2,999739 |
-0,00117 |
16 |
14,90231 |
14,90159 |
14,90204 |
14,90187 |
-2,999739 |
-2,999739 |
-0,00072 |
x=14,90204,
Точка максимума заданной функции, x=14,90204,
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
43455. | Исследование и программная реализация методов и алгоритмов теории графов | 102.5 KB | |
Расчетно-графическая работа представляет собой решение задачи по нахождению минимального пути в графе из заданной вершины x в заданную вершину y, содержащего не более чем k дуг. Расчет выполнен с помощью языка программирования Pascal 7.1 на ПК Pentium3. | |||
43456. | ПОДХОДЫ И МЕТОДЫ ФОРМИРОВАНИЯ ТАРИФОВ НА ЭЛЕКТРОЭНЕРГИЮ ДЛЯ ПРОМЫШЛЕННЫХ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ | 4 MB | |
Современное состояние топливно-энергетического комплекса (ТЭК) во многом является следствием результатов осуществления экономических реформ. Наметившийся экономический рост в РФ требует увеличения инвестиций в субъекты экономики, важнейшим источником которых являются собственные средства предприятий, формируемые в основном за счет прибыли, на размер которой значительно влияет уровень тарифов на электроэнергию. | |||
43457. | Сущность основных фондов предприятия и разработка основных направлений улучшения их использования | 4.09 MB | |
Основные фонды участвуют в процессе производства длительное время, обслуживают большое число производственных циклов и, постепенно изнашиваясь в производственном процессе, частями переносят свою стоимость на изготовляемую продукцию, сохраняя при этом натуральную форму. | |||
43458. | Расчет параметров и выбор силового трансформатора | 363.5 KB | |
скорость нарастания напряжения в закр. Построение регулировочной характеристики Регулировочная харктеристика управляемого выпрямителя это зависимость средневыпрямленного значения напряжения U0 от угла регулирования . При возрастании входного напряжения U1 или уменьшении тока нагрузки увеличивают угол регулирования для поддержания постоянства напряжения в нагрузке U0 в заданных пределах. При этом реактивную составляющую напряжения короткого замыкания трансформатора и питающей сети примем равным 10. | |||
43459. | Трудовые ресурсы и их использование в СПК «Трудовик» Судиславского района Костромской области | 150 KB | |
Достаточная обеспеченность сельскохозяйственных предприятий необходимыми трудовыми ресурсами их рациональное использование высокий уровень производительности труда имеют большое значение для увеличения объема производства продукции и повышения эффективности производства. Значение и состояние трудовых ресурсов в России К трудовым ресурсам относится та часть населения которая обладает необходимыми физическими данными знаниями и навыками труда в соответствующей отрасли. Достаточная обеспеченность предприятий нужными трудовыми... | |||
43460. | Програмний продукт «Магазин з продажу музичних дисків» | 4.58 MB | |
Перед тим, як розробляти програмний продукт, необхідно ознайомитись з програмними продуктами аналогічного типу. Кожна служба технічної підтримки, яка займається обслуговуванням клієнтів, має свій сайт, який розміщений в мережі інтернет. Аналогій програмного продукту на даний час вистачає. Були розглянуті такі сайти-аналоги на тему предметної області «Магазин продажи музыкальных дисков». | |||
43461. | РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ ШПОНОЧНОЙ ПРОТЯЖКИ И КРУГЛОГО ФАСОННОГО РЕЗЦА | 2.79 MB | |
РАСЧЕТ КРУГЛОГО ФАСОННОГО РЕЗЦА 1. Фасонные резцы применяются как для обработки деталей на станках с прямолинейным движением детали или резца так и для обработки тел вращения. Исходные данные для расчета фасонного резца: Вариант 21; эскиз детали рис. 1 Эскиз детали Таблица 1 Исходные данные на фасонный резец Тип резца D1 мм D2 мм D3 мм D4 мм D5 мм l1 мм l2 мм l3 мм l4 мм l5 мм № варианта круглый 21 20 15 10 10 15 5 10 15 20 25 1. | |||
43462. | Моделирование процесса сушки в сушильном барабане | 471.5 KB | |
Концентрат с массовой долей воды не более 7 поступает из отделения обогащения по конвейерам поз.401 402 и перегружается соответственно на конвейера поз. При помощи плужковых сбрасывателей концентрат через загрузочный бункер поз.40612345 далее на весыдозатор поз. | |||
43463. | Коммуникативная тактика самооправдания в парламентских дебатах | 256.5 KB | |
Прежде всего, следует отметить, что, не смотря на широкую популярность в научных кругах, не существует чёткого и общепризнанного определения термина «дискурс», который охватывал бы все случаи его употребления. Поэтому под дискурсом понимается практически всё, что угодно исследователю. | |||