99438

Розмір і базис лінійного простору

Лекция

Математика и математический анализ

Не порожня множина елементів довільної природи називаєтьсялінійним (векторним) простором над деяким полем, будь-яким двом елементам цієї множини зіставляється цілком визначений елемент цієї множини, що позначається і називаєтьсясумоюелементів. Будь-якому і для всякого зіставляється цілком визначений елемент множини, що позначається і називається добутком елемента на число, якщо при цьому операція додавання:

Украинкский

2017-02-21

364.5 KB

0 чел.

Лекція № 6.

Тема. Розмір і базис лінійного простору.

Мета вивчання:

  • познайомити з поняттям лінійного простору;
  • навчити визначати базис лінійного простору;
  • довести ізоморфізм лінійних просторів.

План.

  1. Означення і властивості лінійного простору.
  2. Базис лінійного простору.
  3. Ізоморфізм лінійних просторів.

Література.[3], стор.184-188.

Зміст лекції.

1. Означення 1. Не порожня множина  елементів довільної природи називаєтьсялінійним (векторним) простором над деяким полемР, якщо:

а) будь-яким двом елементам цієї множини  зіставляється цілком визначений елемент цієї множини, що позначається  і називаєтьсясумоюелементів  і ;

б) будь-якому  і для всякого  зіставляється цілком визначений елемент множини , що позначається  і називається добутком елемента  на число , якщо при цьому операція додавання:

I 1) комутативна;

2) асоціативна;

3) має нейтральний елемент;

4) для кожного елемента з  існує протилежний елемент, такий, що сума даного елемента з протилежним йому дорівнює нейтральному елементу щодо додавання.

II  виконується:

III  виконується:

Означення 2. Лінійний простір  над полем  називаєтьсядійсним, якщо поле поле дійсних чисел.

Означення 3. Лінійний простір  над полем  називаєтьсякомплексним, якщо поле - поле комплексних чисел ( незалежно від природи елементів  (матриці, вектори і т.д.))

Приклади.

  1. Множина всіх упорядкованих дійсних чисел над полем дійсних чисел щодо визначених раніше операцій «+» і «» є лінійним, тому що воно замкнене відносно операцій додавання і множення.
  2. Множина упорядкованих сукупностейn комплексних чисел над полем комплексних чисел щодо тих самих операцій є лінійним простором.
  3. Множина упорядкованих сукупностейn дійсних чисел над полем комплексних чисел щодо тих самих операцій не є лінійним простором, тому що воно незамкнене щодо множення на комплексне число.
  4. Множина усіх матриць із дійсними елементами над полем дійсних чисел щодо операцій додавання і множення матриці на число не є лінійним простором.
  5. Множина всіх матриць розміруmn із дійсними компонентами над полем дійсних чисел є лінійним простором.
  6. Множина всіх многочленів з дійсними коефіцієнтами степеняn над полем дійсних чисел щодо операцій додавання і множення на число не є лінійним простором, тому що степінь суми може бути меншою заn.

Властивості лінійного простору.

  1. В аксіомі І3 постулюється існування нейтрального елемента. Такий елемент у просторі єдиний і позначаєтьсяθ .
  2. Аксіома I4 постулює існування для будь-якого елемента  такого елемента , що . Такий елемент для  є єдиним і позначається .
  3. .

# Розглянемо вираз: . З іншого боку, , таким чином, , тому що вихідні позиції були однакові.

,

тобто . #

  1. .

(1, 2 та 4 властивості довести самостійно)

2.Означення 4.Елементи лінійного (векторного) простору, незалежно від їхньої природи будемо називативекторами і позначати малими буквами латинського алфавіту, а елементи числового поляР - малими буквами грецького алфавіту.

Систему векторів  лінійного простору  над полемР ( ) називаютьлінійно залежною, якщо в поліР існують числа:  не усі рівні нулю водночас, такі, що

.(1)

Систему векторів  лінійного простору  над полемР  називаютьлінійно незалежною, якщо рівність (1) виконується тільки при .

Означення 5.Лінійний простір  над полемР називаєтьсяn-вимірним, якщо в ньому:

  1. може бути визначена сукупність ізn лінійно-незалежних векторів;
  2. усяка сукупність, що складається з більшого, ніжn числа векторів цього простору є лінійно залежною.

Прийнято позначення: .

Означення 6.Базисом n-вимірного простору називається будь-яка сукупність ізn лінійно-незалежних векторів простору.

Приклад 1. З'ясувати лінійну залежність даної системи векторів:

а)

# 1. Будуємо лінійну комбінацію даних векторів із довільними коефіцієнтами.

2. Дорівнюємо її до .

3. Дивимося, коли виконується побудована рівність.

.

Система крамеровська, отже має єдиний розв'язок , значить система векторів лінійно незалежна.

б)

Складаємо лінійну комбінацією даних векторів і прирівнюємо її нуль-вектору, маємо:

.

Ця рівність виконується, наприклад, при  Отже, вказана система векторів лінійно залежна.

в)

або

Розв’язуючи матричне рівняння, одержимо: . Отже, система векторів  - лінійно незалежна.

Розглянемо лінійний простір  над полемР, де  Визначимо розмір цього простору.

Нехай . Тоді система, що складається з одного вектора  є лінійно незалежною.

Розглянемо систему, що складається з двох векторів: , де , . Тоді рівність  виконується, наприклад, при . Значить зазначена система  - лінійно залежна. Аналогічна перевірка систем, що містять три, чотири і т.д. векторів показує, що всі ці системи також виявляються лінійно залежними. Значить .

Можна показати, що якщо то також .

Якщо  то . Дійсно, наприклад, система є лінійно незалежною, тому що рівність  лише при . Система , де  лінійно незалежна: ;

Значить .

Приклад 2. Визначити розмір простору квадратних матриць другого порядку з дійсними елементами.

Розв’язування. Розглянемо сукупність

(2)

Система (2) – лінійно незалежна. Приєднаємо до системи (2) довільний п’ятий вектор

, де . Тоді

Значить ця система лінійно залежна, отже, .

Можна довести, що для матрицьn-го порядку .

Приклад 3. Визначити розмір простору многочленів з дійсними коефіцієнтами над полемR степеня, не вищеn-го, з включенням нуль-многочлена, якщо

Розв’язування. Система  - лінійно незалежна, тому що рівність

виконується при .

Приєднаємо до цієї системи довільний векторfпростору, що розглядається, одержимо:

. Значить, система  - лінійно залежна. Тобто в зазначеному просторі система зn+1 векторів лінійно незалежна, а система, що складається з більшого числа векторів - лінійно залежна, тобто .

Можна показати, що простір многочленів з комплексними коефіцієнтами має розмір

3.Розглянуті лінійні простори мають різноманітну природу елементів, різноманітні розмірності, але деякі з них мають однакові властивості операцій, що виконуються над векторами цих просторів.

Наприклад, нерозрізнені з погляду властивостей операцій тривимірні простори векторів і метричні простори рядків довжиною в 3 одиниці. Тому вводять поняття ізоморфізму лінійних просторів.

Означення 8.Лінійні простори  і , розглянуті над тим самим полемР називаютьсяізоморфними, якщо між їх елементами можна встановити таку взаємно однозначну відповідність , що якщо , то  і  ( називають образом вектора ), або:

  1. якщо , то

2) .

Теорема (критерій ізоморфізму).Лінійні простори  і , що визначені над тим самим  полем Р є ізоморфними тоді і тільки тоді, коли їх розміри збігаються.

Зауваження. Усіn- вимірні простори ізоморфні між собою.

# Нехай лінійні простори  і , що задані наР мають однакові розміри: . Доведемо, що ці простори ізоморфні.

Нехай  є базисом у лінійному просторі , а  - базисом в  Нам відомо, що для будь-якого вектора існує розкладання по базису. Розглянемо довільний вектор : , тобто розкладання по базису має вигляд:

,

координати якого визначаються однозначно. Поставимо у відповідність елементу  такий вектор , що має ті самі координати в базисі , що і вектор  в базисі , тобто  і ця відповідність взаємно однозначна, тому що вектору  поставлений у відповідність вектор . Таким чином, при додаванні векторів їх відповідні координати додаються, а при множенні вектора на число координати помножуються на це число:

,

тобто ця відповідність є ізоморфною. Отже, якщо , то  і  - ізоморфні.

Обернено. Нехай  і , задані над полемР ізоморфні лінійні простори. Доведемо, що .

Тому що вони ізоморфні, то існує взаємно однозначна відповідність, що зберігає суму векторів і добуток вектора на число, отже

:  ; .

  1. Покажемо, що при ізоморфізмі .

Нехай  - нуль-вектор простору . Позначимо  - відповідний йому вектор із . Тоді, якщо  відповідає , то  відповідає , але , значить . З іншого боку, тому що - нуль , тобто , значить . Таким чином, .

  1. Переконаємося, що при ізоморфізмі лінійно залежна система векторів переходить у лінійно залежну систему векторів ізоморфного простору.

Нехай - лінійно залежна система векторів простору , - відповідна їй система векторів простору . З лінійної залежності системи  випливає існування вРчисел , не всіх рівних нулю одночасно і таких, що . При такому ізоморфізмі сума переходить у суму з тими самими коефіцієнтами. З того що простори  і  ізоморфні, випливає справедливість: , де  - ті самі числа, серед яких хоча б одне не дорівнює нулю. Отже,  - лінійно залежна в.

Аналогічно дійдемо висновку, що лінійно залежна система з  перейде в лінійно залежну систему з .

л.з.л.з.

л.з л.з.

л.н.л.н.

л.н.л.н. .

Максимальне число лінійно незалежних векторів в одному і другому просторі однакове, отже, ці простори мають однаковий розмір. #

Висновок. З доведеного випливає, що істотною характеристикою  лінійного простору над заданим полем є його розмір, тому, при вивченні властивостей того або іншого лінійного простору, його можна замінити будь-яким іншим лінійним простором над тим самим полем того самого розміру. Зокрема, усі лінійні простори над полемRрозміруn ізоморфні арифметичному просторуRn.

Питання для самостійної роботи.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19701. Преступление и наказание 35 KB
  Преступление и наказание Достоевский анализирует больную психику описывает людей в состоянии нравственной и умственной одержимости. Герои переживают внутреннюю катастрофу. Психологизм скрытый и явный: внутренний монолог перетекающий в своеобразный внутре
19702. Ф.М. Достоевский «Идиот» 32.5 KB
  Ф.М. Достоевский Идиот Позиция Достоевского в общественной борьбе его эпохи чрезвычайно сложна противоречива трагична. Писателю нестерпимо больно за человека за его искалеченную жизнь поруганное достоинство и он страстно ищет выход из царства зла и насилия в ми...
19703. Роман Достоевского «Бесы», его проблематика и поэтика. «Бесы» как роман-предупреждение 49 KB
  Роман Достоевского Бесы его проблематика и поэтика. Бесы как романпредупреждение. Начиная работу над Бесами 18701871 Д. намеревался создать полит.памфлет обращенный против западников и нигилистов. Несостоятельность их теоретической программы гибельность практ
19704. «Братья Карамазовы»: проблема замысла, место глав «Бунт» и «Великий Инквизитор» в романе 33 KB
  Братья Карамазовы: проблема замысла место глав Бунт и Великий Инквизитор в романе. В романе мы видим целую галерею образов. Отец и сыновьяэто разные стороны русского характера. Фёдор Павлович отец братьев Карамазовых. Это человек прошлого бывший крепостник о
19705. Творческий путь Толстого 40 KB
  Творческий путь Толстого Толстой происходил из знатной дворянской семьи. Толстой родился в родовом имении Ясная Поляна в Тульской губернии. в 1844 г. поступил в Казанский университет где учился сначала на восточном факультете затем на юридическом. В студенческие годы
19706. Поэтика ранних произведений Толстого 33.5 KB
  Поэтика ранних произведений Толстого. Как и все произведения Л.Н.Толстого трилогия €œДетство. Отрочество. Юность€ явилась по сути воплощением большого количества замыслов и начинаний. В ходе работы над произведением писатель тщательно оттачивал каждую фразу каждую ...
19707. «Анна Каренина»: источники замысла, поэтика, проблематика. Новые черты в художественном мире Толстого 39 KB
  Анна Каренина: источники замысла поэтика проблематика. Новые черты в художественном мире Толстого. После окончания работы над романом Война и мир Лев Николаевич увлекся проблемами семьи и брака. Окружающая его действительность давала много материала о семейно...
19708. Толстовство 30 KB
  Толстовство Толстовство группа синкретических сект христианского происхождения. Зародилась в конце 80х годов XIX в. в русской крестьянской среде под влиянием идей духоборчества и учений Л. Н. Толстого. Окончательно сформировалась в начале XX в. Толстовство возникло в Р
19709. Позднее творчество Толстого 49 KB
  Позднее творчество Толстого. К концу 70х началу 80х годов XIX века в мировоззрении Толстого наступил перелом подготовленный всем ходом исторического развития пореформенной России. В это время Толстой окончательно порывает со своим классом и переходит на позиции патри