99438

Розмір і базис лінійного простору

Лекция

Математика и математический анализ

Не порожня множина елементів довільної природи називаєтьсялінійним (векторним) простором над деяким полем, будь-яким двом елементам цієї множини зіставляється цілком визначений елемент цієї множини, що позначається і називаєтьсясумоюелементів. Будь-якому і для всякого зіставляється цілком визначений елемент множини, що позначається і називається добутком елемента на число, якщо при цьому операція додавання:

Украинкский

2017-02-21

364.5 KB

0 чел.

Лекція № 6.

Тема. Розмір і базис лінійного простору.

Мета вивчання:

  • познайомити з поняттям лінійного простору;
  • навчити визначати базис лінійного простору;
  • довести ізоморфізм лінійних просторів.

План.

  1. Означення і властивості лінійного простору.
  2. Базис лінійного простору.
  3. Ізоморфізм лінійних просторів.

Література.[3], стор.184-188.

Зміст лекції.

1. Означення 1. Не порожня множина  елементів довільної природи називаєтьсялінійним (векторним) простором над деяким полемР, якщо:

а) будь-яким двом елементам цієї множини  зіставляється цілком визначений елемент цієї множини, що позначається  і називаєтьсясумоюелементів  і ;

б) будь-якому  і для всякого  зіставляється цілком визначений елемент множини , що позначається  і називається добутком елемента  на число , якщо при цьому операція додавання:

I 1) комутативна;

2) асоціативна;

3) має нейтральний елемент;

4) для кожного елемента з  існує протилежний елемент, такий, що сума даного елемента з протилежним йому дорівнює нейтральному елементу щодо додавання.

II  виконується:

III  виконується:

Означення 2. Лінійний простір  над полем  називаєтьсядійсним, якщо поле поле дійсних чисел.

Означення 3. Лінійний простір  над полем  називаєтьсякомплексним, якщо поле - поле комплексних чисел ( незалежно від природи елементів  (матриці, вектори і т.д.))

Приклади.

  1. Множина всіх упорядкованих дійсних чисел над полем дійсних чисел щодо визначених раніше операцій «+» і «» є лінійним, тому що воно замкнене відносно операцій додавання і множення.
  2. Множина упорядкованих сукупностейn комплексних чисел над полем комплексних чисел щодо тих самих операцій є лінійним простором.
  3. Множина упорядкованих сукупностейn дійсних чисел над полем комплексних чисел щодо тих самих операцій не є лінійним простором, тому що воно незамкнене щодо множення на комплексне число.
  4. Множина усіх матриць із дійсними елементами над полем дійсних чисел щодо операцій додавання і множення матриці на число не є лінійним простором.
  5. Множина всіх матриць розміруmn із дійсними компонентами над полем дійсних чисел є лінійним простором.
  6. Множина всіх многочленів з дійсними коефіцієнтами степеняn над полем дійсних чисел щодо операцій додавання і множення на число не є лінійним простором, тому що степінь суми може бути меншою заn.

Властивості лінійного простору.

  1. В аксіомі І3 постулюється існування нейтрального елемента. Такий елемент у просторі єдиний і позначаєтьсяθ .
  2. Аксіома I4 постулює існування для будь-якого елемента  такого елемента , що . Такий елемент для  є єдиним і позначається .
  3. .

# Розглянемо вираз: . З іншого боку, , таким чином, , тому що вихідні позиції були однакові.

,

тобто . #

  1. .

(1, 2 та 4 властивості довести самостійно)

2.Означення 4.Елементи лінійного (векторного) простору, незалежно від їхньої природи будемо називативекторами і позначати малими буквами латинського алфавіту, а елементи числового поляР - малими буквами грецького алфавіту.

Систему векторів  лінійного простору  над полемР ( ) називаютьлінійно залежною, якщо в поліР існують числа:  не усі рівні нулю водночас, такі, що

.(1)

Систему векторів  лінійного простору  над полемР  називаютьлінійно незалежною, якщо рівність (1) виконується тільки при .

Означення 5.Лінійний простір  над полемР називаєтьсяn-вимірним, якщо в ньому:

  1. може бути визначена сукупність ізn лінійно-незалежних векторів;
  2. усяка сукупність, що складається з більшого, ніжn числа векторів цього простору є лінійно залежною.

Прийнято позначення: .

Означення 6.Базисом n-вимірного простору називається будь-яка сукупність ізn лінійно-незалежних векторів простору.

Приклад 1. З'ясувати лінійну залежність даної системи векторів:

а)

# 1. Будуємо лінійну комбінацію даних векторів із довільними коефіцієнтами.

2. Дорівнюємо її до .

3. Дивимося, коли виконується побудована рівність.

.

Система крамеровська, отже має єдиний розв'язок , значить система векторів лінійно незалежна.

б)

Складаємо лінійну комбінацією даних векторів і прирівнюємо її нуль-вектору, маємо:

.

Ця рівність виконується, наприклад, при  Отже, вказана система векторів лінійно залежна.

в)

або

Розв’язуючи матричне рівняння, одержимо: . Отже, система векторів  - лінійно незалежна.

Розглянемо лінійний простір  над полемР, де  Визначимо розмір цього простору.

Нехай . Тоді система, що складається з одного вектора  є лінійно незалежною.

Розглянемо систему, що складається з двох векторів: , де , . Тоді рівність  виконується, наприклад, при . Значить зазначена система  - лінійно залежна. Аналогічна перевірка систем, що містять три, чотири і т.д. векторів показує, що всі ці системи також виявляються лінійно залежними. Значить .

Можна показати, що якщо то також .

Якщо  то . Дійсно, наприклад, система є лінійно незалежною, тому що рівність  лише при . Система , де  лінійно незалежна: ;

Значить .

Приклад 2. Визначити розмір простору квадратних матриць другого порядку з дійсними елементами.

Розв’язування. Розглянемо сукупність

(2)

Система (2) – лінійно незалежна. Приєднаємо до системи (2) довільний п’ятий вектор

, де . Тоді

Значить ця система лінійно залежна, отже, .

Можна довести, що для матрицьn-го порядку .

Приклад 3. Визначити розмір простору многочленів з дійсними коефіцієнтами над полемR степеня, не вищеn-го, з включенням нуль-многочлена, якщо

Розв’язування. Система  - лінійно незалежна, тому що рівність

виконується при .

Приєднаємо до цієї системи довільний векторfпростору, що розглядається, одержимо:

. Значить, система  - лінійно залежна. Тобто в зазначеному просторі система зn+1 векторів лінійно незалежна, а система, що складається з більшого числа векторів - лінійно залежна, тобто .

Можна показати, що простір многочленів з комплексними коефіцієнтами має розмір

3.Розглянуті лінійні простори мають різноманітну природу елементів, різноманітні розмірності, але деякі з них мають однакові властивості операцій, що виконуються над векторами цих просторів.

Наприклад, нерозрізнені з погляду властивостей операцій тривимірні простори векторів і метричні простори рядків довжиною в 3 одиниці. Тому вводять поняття ізоморфізму лінійних просторів.

Означення 8.Лінійні простори  і , розглянуті над тим самим полемР називаютьсяізоморфними, якщо між їх елементами можна встановити таку взаємно однозначну відповідність , що якщо , то  і  ( називають образом вектора ), або:

  1. якщо , то

2) .

Теорема (критерій ізоморфізму).Лінійні простори  і , що визначені над тим самим  полем Р є ізоморфними тоді і тільки тоді, коли їх розміри збігаються.

Зауваження. Усіn- вимірні простори ізоморфні між собою.

# Нехай лінійні простори  і , що задані наР мають однакові розміри: . Доведемо, що ці простори ізоморфні.

Нехай  є базисом у лінійному просторі , а  - базисом в  Нам відомо, що для будь-якого вектора існує розкладання по базису. Розглянемо довільний вектор : , тобто розкладання по базису має вигляд:

,

координати якого визначаються однозначно. Поставимо у відповідність елементу  такий вектор , що має ті самі координати в базисі , що і вектор  в базисі , тобто  і ця відповідність взаємно однозначна, тому що вектору  поставлений у відповідність вектор . Таким чином, при додаванні векторів їх відповідні координати додаються, а при множенні вектора на число координати помножуються на це число:

,

тобто ця відповідність є ізоморфною. Отже, якщо , то  і  - ізоморфні.

Обернено. Нехай  і , задані над полемР ізоморфні лінійні простори. Доведемо, що .

Тому що вони ізоморфні, то існує взаємно однозначна відповідність, що зберігає суму векторів і добуток вектора на число, отже

:  ; .

  1. Покажемо, що при ізоморфізмі .

Нехай  - нуль-вектор простору . Позначимо  - відповідний йому вектор із . Тоді, якщо  відповідає , то  відповідає , але , значить . З іншого боку, тому що - нуль , тобто , значить . Таким чином, .

  1. Переконаємося, що при ізоморфізмі лінійно залежна система векторів переходить у лінійно залежну систему векторів ізоморфного простору.

Нехай - лінійно залежна система векторів простору , - відповідна їй система векторів простору . З лінійної залежності системи  випливає існування вРчисел , не всіх рівних нулю одночасно і таких, що . При такому ізоморфізмі сума переходить у суму з тими самими коефіцієнтами. З того що простори  і  ізоморфні, випливає справедливість: , де  - ті самі числа, серед яких хоча б одне не дорівнює нулю. Отже,  - лінійно залежна в.

Аналогічно дійдемо висновку, що лінійно залежна система з  перейде в лінійно залежну систему з .

л.з.л.з.

л.з л.з.

л.н.л.н.

л.н.л.н. .

Максимальне число лінійно незалежних векторів в одному і другому просторі однакове, отже, ці простори мають однаковий розмір. #

Висновок. З доведеного випливає, що істотною характеристикою  лінійного простору над заданим полем є його розмір, тому, при вивченні властивостей того або іншого лінійного простору, його можна замінити будь-яким іншим лінійним простором над тим самим полем того самого розміру. Зокрема, усі лінійні простори над полемRрозміруn ізоморфні арифметичному просторуRn.

Питання для самостійної роботи.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55372. ВЕЛИКІ КНЯЗІ КИЇВСЬКІ. ПРОЕКТ 216.5 KB
  ТИП ПРОЕКТУ: інформаційний ТЕРМІН ПРОВЕДЕННЯ ПРОЕКТУ: листопадгрудень УЧАСНИКИ ПРОЕКТУ: учні 7х класів МЕТОДИ ОТРИМАННЯ ІНФОРМАЦІЇ: опрацювання історичних та літературних джерел довідників ілюстрацій. АКТУАЛЬНІСТЬ РОБОТИ З ДЖЕРЕЛАМИ ІНФОРМАЦІЇ Метою викладання історії є не передавати загальноприйняті істини про минуле а залу чати учнів до процесу реконструкції та пояс нення цього минулого. Тому використання джерел інформації на уроках історії є зараз надзвичайно актуальним. Робота з джерелами інформації на уроках сприятиме набуттю...
55373. Проектна діяльність молодших школярів як засіб формування особистості 52 KB
  Мета проектної роботи – навчити дитину діяти самостійно, ініціативно в будь-яких умовах сьогодні і в майбутньому; формувати комунікативну компетентність в процесі спільної роботи;...
55374. Проектний метод як засіб розвитку творчих здібностей учнів 35 KB
  В даний час метод проектів широко застосовується в сучасній світовій методики викладання англійської мови так як він дозволяє органічно інтегрувати знання учнів з різних областей для вирішення окремо взятої практичної проблеми стимулюючи при цьому розвиток творчих здібностей особистості учня.
55375. Проектна методика на уроках англійської мови 36 KB
  Виконання проектних завдань дозволяє школярам бачити практичну користь від вивчення іноземної мови слідством чого є підвищення інтересу до цього предмету. Ставилися наступні навчальні завдання: вчитися читати тексти вибирати з них потрібну інформацію використовувати отримані відомості в роботі; вчитися обмінюватися інформацією з...
55377. ПОРТФОЛИО УЧИТЕЛЯ КАК СПОСОБ ИУЧЕНИЯ ЕГО ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 58.5 KB
  Философия портфолио заключается в том что предполагается смещение акцента с оценки на самооценку с того чего учитель или учащийся не знает и не умеет на то что он знает и умеет достаточно хорошо.
55379. Розвиток комунікативних навичок школярів при вивченні іноземної мови шляхом впровадження проектної технології 40 KB
  Готуючись до такого проекту дитина демонструє свій досвід і погляд на навколишній світ тим самим розвиває свої комунікативні навички. Прикладом такого проекту може бути...