99486

Основы автоматического управления. САУ

Книга

Информатика, кибернетика и программирование

Основные понятия, определения и классификация САУ. Линейные САУ. Передаточная функция САУ. Частотные характеристики САУ. Типовые структурные звенья САУ. Анализ качества переходных процессов в САУ...

Русский

2016-09-20

10.94 MB

0 чел.

ОСНОВЫ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Учебное пособие

Рецензенты:

Авилов В.Д.,зав. кафедрой «Электрические машины и общая электротехника» ОмГУПС, д.т.н., профессор, засл. работник транспорта РФ, академик ПАНИ, член-корр. АЭН РФ;

Сушков В.В., зав. кафедрой физики ТюмНГУ, д.т.н., профессор

Ковалёв Ю.З. и др.

К56Основы автоматического управления: Учебное пособие / Ю.З. Ковалёв,  Е.М. Кузнецов, А.Г. Щербаков. Омск: Изд-во ОмГТУ, 2006. 96 с.

Излагаются теоретические основы построения систем автоматического управления. Рассмотрены вопросы, связанные с исследованием динамики линейных систем, приводятся основы исследования нелинейных систем автоматического управления, описывается структура систем автоматического управления на основе ЭВМ.

Учебное пособие написано в соответствии с программой курса «Основы автоматического управления» для студентов специальностей 140610 «Электрооборудование и электрохозяйства предприятий, организаций и учреждений» и 080801 «Прикладная информатика (в электрооборудовании и электрохозяйстве предприятий, организаций и учреждений)». Может быть полезно студентам других электрических и электромеханических специальностей, а также специалистам, занимающимся исследованиями и проектированием систем автоматического управления различного назначения.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Омского государственного технического университета.

УДК 62–52 (075)

ББК 32.98 я 73

Авторы, 2006

Омский государственный

 технический университет, 2006

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение5

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ

   И КЛАССИФИКАЦИЯ САУ6

1.1. Общие понятия об управлении6

1.2. Классификация САУ13

1.3. Примеры САУ16

2. ЛИНЕЙНЫЕ САУ19

2.1. Описание САУ линейными дифференциальными уравнениями19

2.2. Линеаризация дифференциальных уравнений САУ22

2.3. Преобразование Лапласа и его свойства23

2.4. Численное решение дифференциальных уравнений САУ 25

3. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ САУ26

3.1. Структурная схема САУ26

3.2. Передаточная функция САУ27

3.3. Передаточные функции САУ при различных включениях звеньев28

3.4. Передаточная функция замкнутой системы31

4. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ САУ33

4.1. Типовые возмущающие функции в САУ33

4.2. Комплексная частотная характеристика системы 34

5. ТИПОВЫЕ СТРУКТУРНЫЕ ЗВЕНЬЯ САУ39

5.1. Общие положения39

5.2. Безынерционное (усилительное) звено.39

5.3. Инерционное (апериодическое) звено40

5.4. Колебательное звено41

5.5. Интегрирующее (астатическое) звено44

5.6. Дифференцирующее звено45

5.7. Примеры нахождения передаточных функций для некоторых

      технических устройств46

6. УСТОЙЧИВОСТЬ САУ55

6.1. Понятие устойчивости систем автоматического управления55

6.2. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица60

6.3. Частотный критерий оценки устойчивости Найквиста63

6.4. Логарифмический критерий устойчивости65

6.5. Частотный критерий оценки устойчивости Михайлова67

6.6. Построение областей устойчивости САУ68

7. АНАЛИЗ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В САУ70

7.1. Общие положения70

7.2. Оценка точности систем автоматического управления71

8. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ САУ73

8.1. Общие вопросы синтеза линейных САУ73

8.2. Последовательное включение корректирующих устройств73

8.3. Параллельное включение корректирующих устройств.74

9. НЕЛИНЕЙНЫЕ САУ77

9.1. Понятие нелинейных САУ и методы их исследования77

9.2. Фазовый метод исследования нелинейных САУ79

10. РЕГУЛЯТОРЫ И МИКРОПРОЦЕССОРНЫЕ САУ80

  10.1. Понятие о промышленных регуляторах80

  10.2. Пропорциональный регулятор (П-регулятор).81

10.3. Интегральный регулятор (И-регулятор)82

10.4. Изодромный регулятор (ПИ-регулятор)83

10.5. Пропорционально–интергрально–дифференциальный

 регулятор (ПИД – регулятор)83

10.6. Примеры конструктивной реализации регуляторов84

10.7. Основные требования, предъявляемые к современным САУ87

10.8. Структура САУ на основе ЭВМ88

10.9. Структура современной ЭВМ90

Библиографический список93

Приложения95

Введение

В последние несколько десятилетий особенно интенсивно происходят процессы, связанные с освобождением человека от монотонного, низкоквалифицированного или опасного для здоровья или жизни труда. Данные процессы наблюдаются во всех областях человеческой деятельности, в том числе и в тех, которые связаны с применением  электрической энергии, с управлением ее потоками и с преобразованием иных видов энергии в электрическую. Освобождение человека от подобного рода труда происходит за счёт внедрения различного вида систем автоматического управления, сложность которых определяется сложностью поставленных перед ними задач. В результате в настоящее время использование систем автоматического управления стало вездесущим и незаменимым элементом современного общества. Среди примеров здесь можно упомянуть и простые домашние устройства (термостаты для нагревания воды, кондиционеры, автоматические стиральные машины и т.д.), и достаточно крупномасштабные системы (системы управления полётами космических кораблей и самолётов, системы управления техпроцессами на химических производствах и др.).

Области применения систем автоматического управления постоянно расширяются. Одновременно возникают потребности в появлении более новых и более совершенных систем управления. В этом контексте перед проектировщиками систем управления встают все более сложные задачи. Для создания современных систем автоматического управления с заданными показателями качества проектировщики таких систем должны владеть многими техническими дисциплинами, которые включают в себя вопросы, связанные: с моделированием сложных технических систем, с измерениями различных физических величин, с передачей и обработкой информации и т.п. При этом сам процесс проектирования должен быть тесно связан с собственно разработкой систем управления, с существующими технологиями их создания и их последующей эксплуатацией.

Но вне зависимости от своего назначения системы автоматического управления обычно строятся на определенных принципах и общих положениях с использованием типовых элементов, устройств и их комбинаций. Специалистам, занимающимся разработкой, эксплуатацией или техническим обслуживанием оборудования, в состав которого входят какие-либо системы автоматического управления, необходимо знать основные положения построения таких систем.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ,

ОПРЕДЕЛЕНИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ САУ

1.1. Общие понятия об управлении

Задачи, связанные с управлением каким-либо явлением или объектом, чрезвычайно разнообразны. При этом вне зависимости от того, в какой области решаются подобного рода задачи, они подчиняются единым законам. Существует наука кибернетика – наука об управлении, понимаемая как совокупность законов организации целенаправленных действий [6]. Раздел кибернетики, занимающийся вопросами управления и регулирования в технических объектах, принято называть технической кибернетикой. Под термином «управление» в данной работе понимается следующее.

Управление – совокупность целенаправленных действий, включающая оценку ситуации и состояния объекта управления, выбор управляющих воздействий и их реализацию.

Введём понятие системы автоматического управления.

Рис. 1.1. Функциональная схема обобщённой САУ: ЗУ– задающее устройство; УУ –  устройство управления; ОбУ – объект управления

Система автоматического управления (САУ) – техническая система, в которой осуществляется автоматическое управление. В общем случае обобщённая САУ имеет функциональную схему, представленную на рис. 1.1. В неё входят следующие основные элементы: ОбУ – объект управления; УУ – устройство управления, формирующее для объекта управления управляющее воздействиеyИ(t). Данное управляющее воздействие формируется на основе сигнала обратной связиyос(t) и сигнала задающего устройства ЗУyз(t). На ОбУ также оказывают воздействие нагрузкаg(t) и помехаf(t).

Объект управления (ОбУ) – объект (процесс), состояние которого определяется поступающими на него воздействиями со стороны устройства управления и (или) человека, а также внешней среды.

Устройство управления (УУ) – устройство, реализующее управляющие воздействия на объект управления.

Задающее устройство (ЗУ) – устройство, являющееся источником целей, реализуемых устройством управления.

Внешняя среда – совокупность в общем случае разнородных объектов, взаимодействующих с данным объектом управления.

Сигнал – физический процесс, параметры которого содержат информацию. Так, например, при помощи электрических сигналов (изменение частоты или амплитуды переменного тока и т.п.) передают звуки разговора или изображение.

Параметр – некоторый показатель процесса, вне зависимости от его физической природы. Параметры в некоторых случаях называюткоординатами процесса иливеличинами процесса.

Управляемые параметры (управляемые координаты,управляемые величины) – параметры, подлежащие управлению.

В свою очередь, УУ может быть представлено в виде функциональной схемы (рис. 1.2), в состав которой входят: ИУ – измерительное устройство; ЛУ – логическое устройство; ИсУ – исполнительное устройство. ИУ на основании сигналовyос(t),yз(t), а в некоторых случаях и с учётом функцийg(t) иf(t) формирует сигнал ошибкиy(t).На основанииy(t), с учётом заданного закона управления,ЛУ формирует управляющее воздействиеyР(t). ИсУ в соответствии сyР(t) вырабатывает необходимое управляющее воздействие на объект управленияyИ(t).

Рис. 1.2. Функциональная схема устройства управления (УУ): ИУ – измерительное устройство; ЛУ – логическое устройство; ИсУ – исполнительное устройство

Все рассмотренные выше воздействия и функции, в общем случае, есть векторы, изменяющиеся по определённому закону во времени:

;                                           (1.1)

;                                           (1.2)

.                                           (1.3)

В состав ИУ могут входить элементы, указанные в табл. 1.1. Как правило, это различного рода датчики.

Датчик – элемент измерительного канала, выдающий информацию о параметрах системы и протекающих в ней процессах. В большинстве САУ в последнее время используютсяэлектрические датчики – устройства, преобразующие воздействие некоторой физической величины в электрический сигнал.

Таблица 1.1

Элементы измерительных устройств

Схема

Наименование

Входной

параметрyвх(t)

Выходной

параметр yвых(t)

1

Термометр

сопротивления

Температура

Напряжение

2

Термопара

Температура

Напряжение

3

Тахометр постоянного тока

Скорость вращения

Напряжение

4

Тахометр переменного тока

Скорость вращения

Напряжение

5

Гироскоп

Положение в пространстве

Перемещение

6

Мост

сопротивлений

Перемещение

Напряжение

Окончание табл.1.1

7

Сельсины

Угол

поворота

Угол

поворота

8

Механический тахометр

Скорость вращения

Перемещение

9

Фотоэлемент

Световой

поток

Ток или

напряжение

В состав ЛУ могут входить элементы, приведённые в табл. 1.2. Как правило, это различного рода регуляторы.

Регулятор – устройство, преобразующее сигнал рассогласования в управляющее воздействие по некоторому алгоритму. В последнее время широко используются регуляторы, в которых входная величина (сигнал рассогласования) и выходная величина (управляющее воздействие) представляют собой электрический сигнал. Сам регулятор, как правило, представляет собой маломощное устройство, имеющее достаточно сложное схемотехническое решение. Поэтому регуляторы выполняются на основе микросхем, например на операционных усилителях. В последнее время регуляторы всё больше выполняют на основе микропроцессоров. О САУ, использующих в своём составе микропроцессоры, будет подробнее сказано ниже.

Таблица 1.2

Элементы логических устройств

Схема

Наименование

Входной

параметрyвх(t)

Выходной

параметрyвых(t)

1

Рычаг

Угол поворота

Угол поворота

Окончание табл.1.2

2

Заторможенный

моментный

двигатель

Напряжение

Напряжение

3

Электромагнит

Напряжение

Перемещение

4

Инвертирующий

усилитель

Напряжение

Напряжение

5

Интегратор

Напряжение

Напряжение

В состав ИсУ могут входить элементы, приведённые в табл.1.3. Это пневмо(гидро)двигатели с поступательным или вращательным перемещением поршня, ротационные пневмо(гидро)двигатели, электромагниты, электрические двигатели (асинхронные, синхронные, двигатели постоянного тока) и т.п. Кроме этого, в состав ИсУ могут включаться различного рода усилители (табл. 1.4), предназначенные для усиления по мощности сигнала, поступающего с регулятора.

Таблица 1.3

Элементы исполнительных устройств

Схема

Наименование

Входной

параметрyвх(t)

Выходной

параметрyвых(t)

1

Пневмо(гидро)

двигатель с поступательным перемещением поршня

Поток рабочего тела (жидкости или газа)

Перемещение

Окончание табл. 1.3

Схема

Наименование

Входной параметрyвх(t)

Выходной параметрyвых(t)

1

Пневмо(гидро)

двигатель с поступательным перемещением поршня

Поток рабочего тела (жидкости или газа)

Перемещение

2

Пневмо(гидро)

двигатель с вращательным перемещением поршня

Поток рабочего тела (жидкости или газа)

Угол поворота

3

Ротационный

пневмо(гидро) двигатель

Поток рабочего тела (жидкости или газа)

Скорость

вращения

4

Двигатель

постоянного тока

Напряжение

Скорость

вращения

5

а)              б)

Асинхронный двигатель с короткозамкнутым (а) или фазным (б) ротором

Напряжение

Скорость

вращения

6

Электромагнит

Напряжение

Перемещение

Таблица 1.4

Примеры усилительных устройств

Схема

Наименование

Входной

/выходной

параметр

yвх(t)(yвых(t))

Возможный коэффициент усиления

(по мощности)

1

Золотник

Поток

рабочего тела (жидкости или газа)/

перемещение

до 106

2

Транзисторный усилитель

Напряжение/ напряжение

до 104

(на каскад)

3

Генератор

Напряжение/ напряжение

от 1,5103

до 104

4

Электромашинный

усилитель

Напряжение/ напряжение

от 1,5103

до 104

5

Магнитный

усилитель

Напряжение/ напряжение

до 104

(на каскад)

В качестве задающих устройств (ЗУ) в последнее время стали широко применять специальные задатчики управляемой величины, которые изготавливаются на основе микросхем большой степени интеграции.

Теория автоматического управления изучает общие принципы построения САУ и методы исследования процессов в этих системах. Среди задач, решаемых теорией автоматического управления, можно выделить следующие [2]:

  1. разработку методов синтеза САУ – методов, позволяющих осуществлять выбор схемы взаимодействия элементов САУ, а также параметров и характеристик этих элементов таким образом, чтобы система в целом удовлетворяла заданным требованиям к ее поведению в статике и динамике;
  2. разработку методов анализа САУ – методов, позволяющих определить качественные показатели САУ, и в случае их отличия от заданных указать пути улучшения статических и динамических свойств системы;
  3. разработку методов коррекции САУ – методов, позволяющих осуществлять изменение статических и динамических свойств САУ;
  4. разработку методов экспериментального исследования и наладки САУ – методов, которые дают возможность наиболее рационально и оптимально исследовать и настраивать САУ в реальных условиях работы.

Разработка, проектирование и наладка САУ представляет собой достаточно сложную задачу, имеющую множество решений, поскольку один и тот же результат может быть достигнут различными путями. Выбор определённого варианта решения этой задачи из ряда возможных может также определяться такими показателями, как экономичность, простота, стоимость и т.п. Как правило, для поиска решения этой задачи выполняют построение математической модели процессов, протекающих в САУ, которая в общем случае представляет собой нелинейную систему дифференциальных уравнений достаточно высокого порядка. Решение таких систем уравнений требует применения вычислительной техники. В случае, когда решение данной системы невозможно, применяют упрощение этой системы уравнений и последующее её решение. Если упрощение системы уравнений недопустимо или невозможно, в этих случаях применяют моделирование исследуемых процессов на натурном эксперименте и их экспериментальное исследование, на основании которого создаются приближённые инженерные методы, позволяющие решать исходную задачу, избегая сложных математических расчётов.

1.2. Классификация САУ

Классификацию САУ можно производить с самых разных позиций (рис. 1.3). Это связано со сложностью структур САУ, их различной физической сущностью, назначением, областью применения и т. д. С точки зрения наличия учёта параметров объекта при управлении им различают:

  1. разомкнутые САУ – САУ, не учитывающие изменения управляемого параметра объекта;
  2. замкнутые САУ – САУ, в которых производится учёт изменения управляемого параметра объекта.

Рис.1.3. Классификация САУ

С точки зрения конечной цели управления различают:

  1. САУ стабилизации управляемого параметра. В данных САУ решается задача поддержания заданного значения выходной величиныy(t), которое определяется значениемyЗ(t), при этомyЗ(t) является постоянной величиной (САУ для поддержания постоянной температуры в печи, в холодильнике, САУ для стабилизации величины напряжения в бортовой сети и т.д.);
  2. САУ, выполняющие программное изменение управляемой величиныy(t). В данных САУ выходная величинаy(t) изменяется в соответствии с изменениемyЗ(t), которое в свою очередь изменяется по известному закону в соответствии с управляющей программой (САУ для управления движением режущего инструмента в токарных и фрезерных станках и т.п.);
  3. следящие САУ. В данных САУ, так же, как и в предыдущем случае, выходная величинаy(t) изменяется в соответствии с изменениемyЗ(t), но изменениеyЗ(t) определяется не заранее известным законом, а является случайной величиной (САУ, управляющие поворотом башни танка и т.п.);
  4. САУ, выполняющие оптимальное управление. В данных САУ изменение выходной управляющей величиныy(t) осуществляется таким образом, чтобы обеспечить экстремум (максимум или минимум) некоторому показателю качества функционирования объекта (САУ, обеспечивающие функционирование объекта с минимальным потреблением энергии, САУ, транспортным средством обеспечивающая минимальные затраты времени на перемещение в заданную точку и т.п.);
  5. самонастраивающиеся САУ. В данных САУ параметры системы не являются постоянными величинами, а изменяются в зависимости от изменения внешних условий с целью обеспечения наилучшего функционирования объекта управления;
  6. самоорганизующиеся САУ. Данные САУ способны  изменять собственный алгоритм функционирования в зависимости от изменения внешних условий с целью обеспечения наилучшего функционирования объекта управления;
  7. самообучающиеся САУ – это САУ, способные самостоятельно накапливать опыт управления объектом, анализировать его и на основании этого анализа самостоятельно совершенствовать собственную структуру и способ управления объектом с целью обеспечения наилучших показателей качества его работы.

В рассмотренном признаке классификации САУ 1-3 – это САУ, обеспечивающие регулирование объекта управления; САУ 4-7 реализуют так называемое адаптивное управление и называются также самоприспосабливающимися САУ. Последние характеризуются наличием в них какого-либо абсолютно неизвестного действующего фактора и могут приспосабливаться к изменению внешних условий работы.

Как было сказано ранее, приводимая выше классификация САУ не является однозначной. В основу классификации могут быть положены и другие признаки. Например, можно выделить также САУ по ошибке и САУ по возмущению: в САУ по ошибке управляющий сигналyИ(t) вырабатывается согласно отклонению значения выходной величиныy(t) от заданного значенияyЗ(t), в САУ по возмущению управляющий сигналyИ(t) вырабатывается при появлении самого сигнала возмущенияf(t), не дожидаясь появления ошибки.

1.3. Примеры САУ

Ниже приводится несколько примеров САУ.

Пример 1. САУ регулирования температуры печи для закаливания металлических заготовок [14] (рис. 1.4). Объектом управления в данном случае является печь, в которой непосредственно происходит технологический процесс закалки. В качестве управляемого параметра объекта управленияyоб(t)выступает температура в печи, изменение которой происходит посредством нагревательного элемента 2: при регулировании тока, протекающего через элемент 2, происходит регулирование отдаваемого элементом количества теплоты. В свою очередь, регулирование тока нагревательного элемента 2 производится реостатом 4, движок которого перемещается с помощью привода 5 – двигателя постоянного тока  с независимым возбуждением.

Рис.1.4. САУ регулирования температуры печи для закаливания металла: 1– печь; 2 – нагревательный элемент; 3 – датчик температуры; 4 – реостат; 5 – двигатель

Направление и скорость вращения вала двигателя 5 зависят от прикладываемого к обмотке якоря напряженияyу(t), величина и полярность которого формируются усилителем мощности У. Усилитель мощности предназначен для усиления сигнала регулятораyр(t), который формируется регулятором (Рег.)  на основании сигнала ошибкиy(t) согласно некоторому заданному закону. В данном случаеy(t) определяется как

,                                                     (1.4)

гдеyЗ(t) – сигнал, формирующийся задатчиком температуры (ЗТ) и предписывающий значение температуры внутри печи;yОС(t) – сигнал обратной связи, образующийся датчиком температуры 3 и несущий информацию о фактическом значении температуры внутри печи .

Принцип действия рассмотренной выше САУ иллюстрируется с помощью функциональной схемы (рис. П.1). Подфункциональной схемой [11] будем понимать документ, разъясняющий определённые процессы в изделии (установке) в целом или в отдельных его функциональных цепях. На данных схемах функциональные части изделия можно изображать в виде условно-графических изображений и в виде прямоугольников.

Рассмотренная САУ является замкнутой САУ: в ней присутствует один контур обратной связи. САУ выполняет функцию стабилизации одного управляемого параметра – температуры печи. Данное условие может быть записано как

,                                                       (1.5)

Рис. 1.5. Образец блюма

предполагая, чтоyЗ(t)=const. В (1.5)A – некоторый оператор, преобразующий сигнал задающего устройстваyЗ(t) в управляемый параметр объекта управленияyОБ(t). Если жеyЗ(t)не является постоянной величиной, а изменяется по некоторому известному закону согласно управляющей программе, тогда данная САУ будет отнесена к САУ, выполняющим программное изменение управляемой величиныyоб(t).

Пример 2. САУ управляющего клапана разливочного устройства.

Рассматриваемая ниже САУ применяется в сталелитейной промышленности, одним из изделий которой является блюм – прямоугольная плита из стали (рис. 1.5). Блюмы производятся в ходе технологического процесса непрерывного литья (рис. 1.6). В разливочном устройстве располагается расплавленный металл, который через управляющий клапан, регулирующий скорость потока стали, попадает в изложницу.

Рис.1.6. Схема технологического процесса непрерывного литья

Изложница, площадь поперечного сечения которой равна площади поперечного сечения блюма, открыта сверху и снизу. К изложнице подводится водяное охлаждение, обеспечивающее охлаждение стали, в результате чего она доводится до полутвёрдого состояния. В этом достаточно прочном состоянии полоса стали непрерывно протягивается из изложницы валками. Далее полоса стали подвергается дополнительному (вторичному) охлаждению, в результате чего превращается в твёрдое тело, которое впоследствии разрезается на блюмы.

Для осуществления процесса непрерывного литья возникает необходимость в некоторой системе, обеспечивающей заполнение изложницы расплавленным металлом и автоматически поддерживающей заданный уровень её заполнения. Другими словами, необходимо автоматически обеспечивать плавную регулировку потока расплавленного металла с помощью управляющего клапана. При этом регулируемый поток металла будет ограничен некоторыми максимальными и минимальными значениями. Максимальное значение этого потока определится конструктивными особенностями клапана. Минимальное значение потока стали через клапан ограничивается эффектом «залипания»: если поток расплавленного металла, проходящего через клапан, меньше определённого значения, его температура будет снижаться достаточно интенсивно и может достигнуть значения, при котором металл превращается в твёрдое тело, что приводит к засорению клапана затвердевающей сталью. Эффект «залипания» может вызвать автоколебания в системе.

Рис.  1.7. САУ плавной регулировки уровня заполнения изложницы расплавленным металлом: 1 – управляющий клапан; 2 – изложница; 3 – электромагнит; 4 – потенциометр датчика уровня заполнения изложницы; 5 – задатчик уровня заполнения изложницы; 6 –  датчик уровня заполнения изложницы; 7 – датчик скорости литья

Модель САУ, обеспечивающей плавную регулировку уровня заполнения изложницы расплавленным металлом, приводится на рис.1.7. Здесь объектом управления является изложница 2, заполняемая с помощью управляющего клапана 1. В качестве управляемого параметра САУyоб(t) выступает уровень заполнения изложницы, который и должен определять пропускную способность клапана 1. Непосредственное изменение пропускной способности клапана 1 производится якорем электромагнита 3, перемещение которого зависит от подаваемого на обмотку электромагнита напряженияyу(t). Величинаyу(t) формируется усилителемУ, выполняющим усиление по мощности сигнала регулятораРегyр(t). Сигналyр(t) вырабатываетсяРег на основании сигнала ошибкиy(t) и на основании сигнала обратной связиyос2(t) согласно некоторому заданному закону регулирования:

.                                                (1.6)

Сигнал обратной связиyос2(t) создаётся датчиком скорости литья 7. Сигнал ошибкиy(t) создаётся мостом потенциометров 4 и 5 иможет быть определён как

,                                                 (1.7)

гдеyЗ(t) – величина напряжения, формируемая потенциометром 5, который является задатчиком уровня заполнения изложницы;yОС1(t) – сигнал обратной связи в виде напряжения, образующийся потенциометром 4, механически связанным с датчиком уровня заполнения изложницы 6. Свойство моста из потенциометров 4 и 5 таково, что если движки этих потенциометров занимают одинаковое положение, мост сбалансирован, при этомyЗ(t)=yОС1(t) иy(t)=0. Сигнал регулятораРегyр(t) и вырабатываемый согласно ему сигналyу(t) при этом остаются постоянными, якорь электромагнита неподвижен, пропускная способность клапана 1 не меняется. Если по какой-либо причине происходит разбалансировка моста (например, рукояткой потенциометра 5 задан новый уровень заполнения изложницы 2 или уровень заполнения изложницы 2 отличается от заданного), тогдаyЗ(t)yОС1(t) иy(t)0. Согласно величинеy(t) изменяются сигналыyр(t) иyу(t), якорь электромагнита 3 меняет своё положение, изменяя пропускную способность управляющего клапана 1.

Функциональная схема рассмотренной САУ приводится на рис. П.2. В САУ присутствуют два контура обратной связи: обратная связь по уровню заполнения изложницыyОС1(t) и обратная связь по скорости литьяyОС2(t). Два контура обратной связи введены в систему для обеспечения лучшего качества регулирования. Рассмотренная САУ является замкнутой САУ, выполняющей функцию стабилизации одного управляемого параметра – уровня заполнения изложницы 2.

2. ЛИНЕЙНЫЕ САУ

2.1. Описание САУ линейными дифференциальными уравнениями

Среди задач теории автоматического управления присутствуют задачи, связанные с изучением динамики САУ и анализа её качества. Решение этих задач осуществляется с использованием описания реальной САУ её математической моделью, после чего проводят анализ процессов, протекающих в САУ на основе построенной математической модели. В ходе этого анализа исследуются показатели качества САУ, в число которых могут входить точность САУ, её устойчивость и быстродействие. Данные исследования могут выявить необходимость корректировки рассматриваемой САУ для того, чтобы она обеспечивала заданные показатели качества.

Наиболее часто для построения математических моделей САУ используют линейные дифференциальные уравнения. В связи с этим вводятся следующие определения.

Линейная САУ – система, которая может быть описана линейными дифференциальными уравнениями. В противном случае САУ называетсянелинейной САУ.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнениеn-го порядка, связывающее входное воздействие САУx(t), действующие на САУ возмущающие воздействия и её выходную величинуy(t):

,(2.1)

где – внешние возмущающие воздействия, в число которых могут входить законы изменения во времени нагрузки, помехи и т.п.;

,,,j1=1…L;j2=0…k1, 0…k2, 0…kL – постоянные коэффициенты, называемые параметрами системы.

Дифференциальное уравнение (2.1) позволяет описать процессы в САУ вне зависимости от её физической природы, происходящие в ней под влиянием входного и возмущающих воздействий. Форма записи этого дифференциального уравнения достаточно громоздкая, неявная, не отражающая в явном виде физической сущности САУ. Поэтому для устранения этих недостатков уравнение (2.1) принято записывать с учётом следующих требований:

  1. выходная величина и её производные записываются в левой части дифференциального уравнения, входная величина и все её производные – в правой части уравнения. При этом происходит устранение неявности в форме записи дифференциального уравнения (2.1);
  2. все производные располагаются по порядку, начиная со старших;
  3. уравнение (2.1) должно быть преобразовано таким образом, чтобы при выходной величине (производной нулевого порядка) был бы коэффициент, равный единице. При этом правая и левая части уравнения (2.1) приобретают размерность выходной величины, что выявляет физическую сущность САУ. Коэффициенты, входящие в уравнение (2.1), после данного преобразования приобретают физический смысл, отражающий статические и динамические свойства САУ.

Учитывая вышеперечисленные требования и разделив обе части уравнения (2.1) наCn, преобразуем его к виду

,(2.2)

где, – постоянные коэффициенты, отражающие статические и динамические свойства САУ относительно выходной величины;

,i=0…m;,j1=1…L;j2=0…k1, 0…k2, 0…kL  –  коэффициенты, называемые коэффициентами преобразования.

Полученное таким образом дифференциальное уравнение (2.2) решается относительно выходной величиныy(t). Решением линейного дифференциального уравнения (2.2) является функцияy(t), соответствующая изменению выходной величины с течением времени. В общем случаеy(t) определяется как

,                                                     (2.3)

где  – свободная составляющая решения уравнения (2.2), зависящая от свойств рассматриваемой САУ и от начальных условий, которые в частном случае могут быть нулевыми:

                                                            (2.4)

– вынужденная составляющая решения уравнения (2.2), определяемая видом её правой части (т.е. входным и возмущаемыми воздействиями) и свойствами рассматриваемой САУ.

Свободная составляющая  определяется из решения уравнения (2.2) при отсутствии правой части:

.                          (2.5)

В общем виде  может быть записана как

,                                                         (2.6)

где – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий (2.4);

– корни характеристического уравнения, которое путём замены, и т.д. получается из (2.5):

.                                   (2.7)

После чего уравнение решается относительноs.

Вынужденная составляющая решения дифференциального уравнения (2.2) , как уже было сказано, определяется исходя из вида правой части уравнения (2.2). Но поскольку правая часть уравнения (2.2) имеет достаточно сложный характер, в данном случае для определения вынужденной составляющей уравнения (2.2) необходимо воспользоваться принципом суперпозиции, тогда  может быть представлена в виде

,                                        (2.8)

где  – вынужденная составляющая решения уравнения (2.2), определяемая его правой частью, в которой присутствует только сигнал входного воздействия САУx(t):

(2.9)

,i=1…L – вынужденная составляющая решения уравнения (2.2), определяемая его правой частью, в которой присутствует толькоi-е возмущающее воздействие:

  (2.10)

2.2. Линеаризация дифференциальных уравнений САУ

В общем случае САУ должна быть представлена нелинейным дифференциальным уравнением вида

.             (2.11)

Поскольку анализ процессов, протекающих в САУ, проводить на основе нелинейного дифференциального уравнения (2.11) затруднительно, путём введения дополнительных допущений производят его упрощение. При этом нелинейное дифференциальное уравнение (2.11) сводится к линейному дифференциальному уравнению вида (2.2), а сам процесс сведения нелинейного дифференциального уравнения к линейному  называют линеаризацией.

Существуют два случая, когда линеаризация необходима:

  1. когда имеется описание САУ с помощью нелинейного дифференциального уравнения (2.11) и необходимо на его основе получить линейное дифференциальное уравнение вида (2.2);
  2. когда нет описания САУ и его необходимо получить в виде линейного дифференциального уравнения (2.2).

Линеаризацию нелинейной функции в окрестности точки (у0,x0) можно произвести с использованием ряда Тейлора:

. (2.12)

Предполагаем, что величина окрестности достаточно мала, в этом случае слагаемыми в уравнении (2.12), начиная со второго, можно пренебречь. Тогда (2.12) принимает следующий вид:

,                                                (2.13)

что соответствует уравнению прямой линии. Если же нелинейная функция является функцией нескольких переменных, как, например, (2.11), тогда все входящие в выражение нелинейные функции линеаризуют вышеуказанным способом. В этом случае (2.11) преобразуется к виду

        (2.14)

Особенность рассмотренного способа линеаризации в том, что линеаризованное уравнение (2.14), полученное из (2.11), справедливо только в узких окрестностях рассматриваемой точки (x0,y0).

Чаще всего на практике для линеаризации нелинейной функции применяют следующий способ: выделяют рабочий диапазон изменения управляемых параметров, после чего в стадии описания элементов функциональных схем САУ все нелинейные зависимости заменяются приближёнными линейными, предполагая, что управляемые параметры изменяются в пределах рабочего диапазона.

2.3. Преобразование Лапласа и его свойства

При анализе САУ широкое применение получил математический метод – преобразование Лапласа. Данное преобразование существенно облегчает исследования сложных САУ, поскольку дифференциальные уравнения, описывающие САУ, заменяются алгебраическими.

Преобразование Лапласа преобразует функцию вещественного переменного в функцию комплексного переменного, гдеp=+j – некоторый комплексный аргумент. Данное преобразование осуществляется посредством соотношения

.                                                    (2.15)

Функция называется оригиналом, – изображением. Часто преобразование (2.15) кратко обозначают как или. Для выполнения указанного преобразования необходимо, чтобы оригинал удовлетворял теореме Дирехле: должна быть определена на всей числовой оси, приt=0, а также должна быть ограниченной по величине. Для рассматриваемых САУ, которые описываются дифференциальным уравнением (2.2), эти условия выполняются.

Преобразование Лапласа обладает следующими свойствами:

  1. свойством линейности преобразования:

;                           (2.16)

  1. свойством дифференцирования оригинала:

;                              (2.17)

  1. свойством интегрирования оригинала:

;                                                    (2.18)

  1. свойством сдвига аргумента оригинала:

;                                                  (2.19)

  1. свойством сдвига аргумента изображения:

.                                                 (2.20)

В общем случае изображение, полученное на основании оригинала, представляет собой следующее:

,                      (2.21)

при этом .

Обратное преобразование Лапласа имеет вид

,                                                    (2.22)

гдеС – константа сходимости, которая принимается таким образом, чтобы все полюса функцииF(p) лежали бы левее значения функцииf(t). Кратко обратное преобразование Лапласа обозначают или.

Поскольку на практике применение обратного преобразования Лапласа в виде (2.22) вызывает затруднения, используют преобразование Хевисайда, полученное на основе (2.22):

,                                                     (2.23)

где – корни полинома изображения (2.21).

2.4. Численное решение дифференциальных уравнений САУ

Для решения дифференциального уравнения (2.2) с помощью численных методов его необходимо преобразовать в систему, состоящую изn-дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого правую часть уравнения (2.2) обозначим как

.                                                (2.24)

Кроме этого, введём обозначения, гдеi=1,…,(n-1). Тогда (2.2) будет иметь вид

.                (2.25)

После несложных математических преобразований и с учётом введённых обозначений получаем систему изn-дифференциальных уравнений первого порядка:

 (2.26)

Полученная форма записи системы дифференциальных уравнений называется нормальной формой Коши. При известном входном воздействииx(t) и начальных условиях (2.4) данная система уравнений (2.26) может быть решена с использованием ряда численных методов типа Рунге–Кутты [5]. Решение системы  (2.26)  в данном случае будет справедливо только для определённого интервала [t0,tmax], а само решение системы будет представлять собой совокупность точек(ti,y(ti))i=0,…M, по которым затем производится построение графикаy(t). Особенность данных методов – большой объём вычислений, поэтому их применение требует использования вычислительной техники. Кроме этого, данные методы дают только приближённое решение системы дифференциальных уравнений (2.26) на рассматриваемом интервале [t0,tmax].

3. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ САУ

3.1. Структурная схема САУ

Любая САУ представляет собой некоторое соединение входящих в неё элементов, порядок соединения которых определяется функциональной схемой. Наряду с функциональной схемой широко используют также структурную схему САУ, которая отражает не только порядок соединения элементов, но и динамические свойства каждого элемента, входящего в состав САУ. Динамические свойства элементов САУ определяются их передаточными функциями (понятие передаточной функции будет подробно рассмотрено в п. 3.2). Как и в функциональной схеме, в структурной схеме САУ каждый её элемент изображается в виде прямоугольника, внутри которого изображается его передаточная функция. На входе и выходе  каждого элемента обозначают соответственно лапласное изображение входного и выходного сигналов. Основные элементы, входящие в состав структурных схем САУ, приводятся в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Основные элементы структурных схем САУ

пп

Наименование элемента

Обозначение на структурной схеме

1

Звено

2

Разветвление

3

Сумматор, выполняющий суммирование двух сигналов

4

Сумматор, выполняющий вычитание двух сигналов

3.2. Передаточная функция САУ

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (2.1) связывающее входную и выходную величины САУ, предполагая начальные условия (2.4) нулевыми и предполагая отсутствие внешних возмущающих воздействий:

.

Применяем к правой и левой части рассматриваемого дифференциального уравнения преобразование Лапласа:

=        (3.1)

или, используя свойство линейности преобразования Лапласа (2.16), получаем

= (3.2)

Применяем к (3.2) свойство дифференцирования оригинала (2.17):

=       (3.3)

или

     (3.4)

Таким образом, получено алгебраическое уравнение, представляющее собой изображение исходного дифференциального уравнения (2.1), описывающее переходные процессы в линейной САУ. Преобразуем его к виду

                  (3.5)

Если ввести обозначение

,                       (3.6)

тогда (3.5) запишется как

                                                (3.7)

Алгебраическое уравнение (3.7) связывает изображение выходной величины САУ с его входной величиной, при этом данная связь зависит от, которая определяется уравнением (3.6). описывает динамические и статические свойства САУ и называется передаточной функцией САУ по входному воздействию.

Выражение (3.7) может быть также представлено в виде

,                                                        (3.8)

а для передаточной функции вводится следующее определение.

Передаточная функция САУ – отношение преобразования ЛапласаY(p) сигналаy(t)на выходе системы к преобразованию ЛапласаX(p) сигнала на входеx(t) при нулевых начальных условиях.

Выражение для передаточной функции имеет большое практическое значение при исследовании свойств САУ, и она может быть легко получена из дифференциального уравнения (2.1) формальной заменой производных символомp в соответствующей степени.

В общем виде передаточная функция может быть представлена в виде дробно-рациональной функции

.                                                     (3.9)

Корни полинома числителя, получаемые из решения уравнения, называются нулями передаточной функции. Корни полинома знаменателя, получаемые из решения уравнения, называются полюсами передаточной функции.

3.3. Передаточные функции САУ при различных включениях звеньев

Любая САУ представляет собой соединение входящих в неё элементов, каждый из которых может быть описан своим дифференциальным уравнением вида (2.1) и, следовательно, своей передаточной функцией. Для исследования динамических свойств САУ необходимо найти передаточную функцию всей САУ. Данный поиск выполняется, используя следующие правила.

  1. Если структурная схема САУ имеет участок сN-последовательно соединёнными звеньями (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Участок  САУ с последовательным соединением звеньев

Передаточная функция данного участка САУ согласно (3.8) определится как

,                                                      (3.10)

или (3.10) можно представить в виде

.                                     (3.11)

Обозначив,, …,, получаем

,                                     (3.12)

или, в более кратком виде, передаточная функция участка САУ, содержащегоN- последовательно соединённых звеньев, определится как

.                                                 (3.13)

  1. Если структурная схема САУ имеет участок сN-параллельно соединёнными звеньями (рис. 3.2).

Передаточная функция рассматриваемого участка САУ согласно (3.8) определится как

Рис. 3.2.  Участок  САУ с параллельным соединением звеньев

.                     (3.14)

Выходной сигнал участка САУ согласно схеме, представленной на рис. 3.2, может быть выражен следующим образом:

.  (3.15)

Подставляя (3.15) в (3.14), получаем

,  (3.16)

или

.                                 (3.17)

После введения обозначений,, …, уравнение (3.17) может быть записано следующим образом:

,                             (3.18)

или, в более кратком виде, передаточная функция участка САУ, содержащегоN- параллельно соединённых звеньев, определится как

.                                                (3.19)

  1. Если в структурной схеме САУ присутствуют участки, содержащие звенья в цепи обратной связи (рис. 3.3).

Передаточная функция рассматриваемого участка САУ согласно (3.8) должна быть определена как

.                    (3.20)

Рис. 3.3. Участок САУ со звеном, включённым в цепь обратной связи

Согласно структурной схеме на рис. 3.3, выражаем :

,        (3.21)

при этом знак «+» соответствует положительной обратной связи, знак «–» – отрицательной. Преобразуем

,

тогда (3.21) запишется в виде

.   (3.22)

В свою очередь, . В соответствии с этим уравнение (3.22) может быть записано как

.                                    (3.23)

Выразив из полученного выражения, получаем

.                                          (3.24)

Выходной сигнал рассматриваемого участка САУ может быть выражен как

.                                                 (3.25)

Подставляем в последнее выражение формулу (3.24):

,                                        (3.26)

или, преобразовав её в соответствии с искомой функцией (3.20), получаем выражение для передаточной функции участка САУ, в котором присутствуют звенья в цепи обратной связи:

,                                    (3.27)

при этом знак «+» в данной формуле соответствует отрицательной обратной связи, знак «–» – положительной.

В некоторых случаях, когда структурная схема САУ имеет сложную разветвлённую структуру, могут также применяться следующие правила преобразования структурной схемы для получения общей передаточной функции САУ (табл. 3.2).

Таблица 3.2

Правила переноса точек соединения звеньев и сумматоров

№ пп

Правило преобразования

Структурная схема участка САУ

до преобразования

после преобразования

1

Правило переноса точки соединения звеньев с выхода звена на его вход

2

Правило переноса точки соединения звеньев со входа звена на его выход

3

Правило переноса сумматора со входа звена на его выход

4

Правило переноса сумматора с выхода звена на его вход

Основаны данные правила на следующем: структурная схема САУ есть алгебраизированное описание процессов, происходящих в системе. Поэтому её можно преобразовывать, исходя из требований идентичности сигналов в исходной и преобразованной схемах.

3.4. Передаточная функция замкнутой системы

Предположим, что известна передаточная функция САУW(p). Замкнём рассматриваемую САУ таким образом, чтобы на вход системы действовал выходной сигналY(p) (рис. 3.4), при этом из разомкнутой получаем замкнутую САУ. Передаточная функция замкнутой САУ отличается от передаточной функции разомкнутой САУW(p) и будет определяться как

.              (3.28)

Для нахожденияФ(p) представим в виде

,          (3.29)

Рис. 3.4. Структурная схема замкнутой передаточной функции

или, выразив в последнем соотношении как

,                 (3.30)

получаем

.                                        (3.31)

Из соотношения (3.31) определим:

.                                           (3.32)

Далее, из (3.30)выражаем и, подставив данное соотношение в (3.32), получаем

.(3.33)

Переписав полученное выражение в соответствии с (3.28), находим

.                                         (3.34)

Полученная передаточная функция замкнутой САУ описывает её свойства при изменении структуры САУ с замкнутой на разомкнутую.

Учитывая (3.9), соотношение (3.34) может быть также представлено в виде

.                                                       (3.35)

Корни полинома числителяB(p) называются нулями передаточной функции. Корни полинома знаменателяG(p)=B(p)+С(p), называемого также характеристическим полиномом замкнутой САУ, – полюса передаточной функции.

Выражение для передаточной функции разомкнутой САУ (3.8) связывает входную и выходную величины. Передаточная функция замкнутой системы (3.34) обеспечивает ту же связь, но для замкнутой САУ. В некоторых случаях требуется найти связь между другими величинами системы, например связь между ошибкой и задающим воздействием . Соотношение, обеспечивающее данную связь, называется передаточной функцией замкнутой САУ по ошибке:

,                                    (3.36)

или, учитывая (3.34):

.                                              (3.37)

Используя рассмотренные выражения, можно найти соотношения между любыми другими величинами системы, например передаточную функцию по нагрузке и т.п.

4. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ САУ

4.1. Типовые возмущающие функции в САУ

Как было показано ранее, выходное воздействие САУy(t) определяется как свойствами рассматриваемой САУ, так и возмущающими воздействиями, поступающими на вход системы. В теории автоматического управления существует ряд типовых входных воздействий (табл. 4.1), подавая которые на вход САУ, получают типовой переходный процесс. По виду переходного процесса затем оценивают качество системы.

Таблица 4.1

Типовые входные воздействия,

применяемые для исследования качества САУ

пп

Типовое

воздействие

Формула типового воздействия

Графики типового воздействия и переходного процесса на выходе САУ

1

Ступенчатая функция

2

Дельта–функция

3

Гармоническая функция

В том случае, когда для формирования типового переходного процесса используются дельта- или ступенчатая функции, получаемый на выходе САУ переходный процессy(t) называется временной характеристикой системы. В этом случае с течением времени функцияy(t) стремится к некоторому постоянному значению. Если на вход САУ подаётся гармоническая функция, на выходе САУ, после завершения переходного процесса, будет наблюдаться гармонический сигнал. Амплитуда и фаза данного гармонического сигнала при прочих равных условиях будут зависеть от частоты возмущающего воздействия. Таким образом, и являются функциями частоты, с помощью которых можно судить как о динамических свойствах всей САУ, так и о свойствах отдельных её элементов.

4.2. Комплексная частотная характеристика системы

Рассмотрим линейную САУ, которая описывается дифференциальным уравнением (2.1):

.                                          (4.1)

Предположим, что на вход системы подается гармонический сигнал, который в символической форме может быть представлен как

.                                                       (4.2)

На выходе САУ будет наблюдаться тоже гармонический сигнал, запись которого в символической форме имеет вид

.                                                    (4.3)

ческой форме может быть представлен как  гармонический сигнал равнениПодставляя (4.2) и (4.3) в (4.1), получаем

=

(4.4)

После несложных математических преобразований выражение (4.4) может быть записано как

      =,                      (4.5)

или

.              (4.6)

Полученное соотношение называется комплексной передаточной функцией САУ. Оно отражает преобразование САУ амплитуды входного сигналаXm в амплитуду выходного сигналаYm и показывает, какой при этом фазовый сдвиг выходного сигналаy(t) будет наблюдаться.

Комплексная передаточная функция (4.6) может быть легко получена из передаточной функции САУ (3.5) путём формальной заменыp=j.

При любых значениях комплексная передаточная функцияW(j) будет представлять собой комплексное число, которое в общем виде представляет собой геометрическую сумму вещественнойRe() и мнимойIm() составляющих:

,                                            (4.7)

или, используя преобразование Эйлера:

,                                            (4.8)

где – амплитудная характеристика системы, определяющая величину амплитуды выходного сигнала при известном значении:

;                                      (4.9)

– фазовая характеристика системы, определяющая величину фазового сдвига выходного сигнала системы при известном значении:

.                                             (4.10)

Рис. 4.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика САУ (АФЧХ)

Представляя как вектор, характеризующий установившееся движение системы при периодическом возмущении с частотой, и изменяя от 0 до, можно увидеть, что конец вектора прочерчивает на комплексной плоскости кривую, называемую годографом вектора комплексной частотной характеристики. Данная кривая также носит название амплитудно-фазовой частотной характеристикой САУ (рис. 4.1).

Широкое практическое применение находят амплитудная и фазовая частотные характеристики (рис. 4.2 а). В ряде случаев частотные характеристики САУ могут представляться графиками в логарифмическом масштабе. В этом случае они называются соответственно логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ) и логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) (рис. 4.2 б).

а)

б)

Рис. 4.2. Частотные характеристики САУ: а) амплитудная и фазовая частотные характеристики САУ; б) ЛАЧХ и ЛФЧХ САУ

При построении логарифмических характеристик частота по оси абсцисс откладывается в логарифмическом масштабе в октавах или декадах.

Октавой называется частотный интервал, соответствующий удвоению частоты.

Декадой называется частотный интервал, соответствующий изменению частоты в 10 раз. В одной декаде содержатся 3,32 октавы. Декадный частотный интервал применяется чаще.

По оси ординат фаза откладывается в угловых градусах или в радианах. По оси ординат ЛАЧХ принимается величина в децибелах, определяемая как

.                                                 (4.11)

ЛАЧХ и ЛФЧХ принято изображать на одном графике в форме, представленной на рис. 4.2 б. Ось абсцисс является общей для обоих характеристик, оси ординат разные. При этом положительным направлением для оси является направление вниз, а пересечение данной оси с осью абсцисс соответствует –1800.

Пример 1. Построить АФЧХ САУ, которая имеет следующую передаточную функцию:

,                                        (4.12)

гдеk – коэффициент усиления системы, равный 35;T1,T2 – постоянные времени, соответственно равные 0,15 и 0,04.

Заменим в выражении (4.12)p наj , подставив численные значения входящих в данное выражение коэффициентов, получаем комплексную частотную характеристику САУ:

.                           (4.13)

Выполнив несложные математические преобразования, выделяем в (4.13) действительную и мнимую части:

,                                   (4.14)

где

,                              (4.15)

.                              (4.16)

Изменяя значения в интервале от 0 до и подставляя их в (4.15), (4.16), получаем соответствующие значения действительной и мнимой частей АФЧХ при текущем значении. Результаты расчётов помещаем в таблицу. Используя данные табл. 4.2, выполняем построение АФЧХ САУ на комплексной плоскости (рис. 4.3).

Таблица 4.2

Исходные данные для построения АФЧХ САУ с передаточной функцией (4.12)

5

10

15

20

Re()

–4,10

–1,77

–0,81

–0,41

Im()

–3,67

–0,37

0,10

0,15

Рис. 4.3. АФЧХ САУ с передаточной функцией (4.12)

Пример 2. Построить ЛАЧХ и ЛФЧХ САУ, передаточная функция которой имеет вид

.                             (4.17)

Константы, входящие в передаточную функцию, будут иметь следующие значения:k=200;T1=0,5;T2=0,25;T3=5;T4=1;T5=0,1;T6=0,05.

ЛАЧХ и ЛФЧХ изображаются на одном графике в форме, представленной на рис. 4.2.б. ЛАЧХ определяется соотношением (4.11)

,      (4.18)

гдеA() – амплитудная частотная характеристика рассматриваемой САУ. ЛФЧХ строится с использованием зависимости(). ФункцииA() и() могут быть получены из передаточной функции рассматриваемой САУ. Для этого необходимо в выражении (4.17) произвести заменуp наj, после чего каждый множитель, входящий в него, будет представлять собой комплексное число и функция (4.17) примет вид

,                    (4.19)

или

,                                                  (4.20)

где

,                                        (4.21)

.            (4.22)

В выражениях (4.21), (4.22)A0() и0() определяются как

,                                                       (4.23)

.                                                       (4.24)

Ai(),i() приi=1,…,6 определяются следующим образом:

,                                                      (4.25)

.                                                       (4.26)

Учитывая всё вышесказанное и подставляя заданные значения коэффициентов, находим выражение для ЛАЧХ и ЛФЧХ рассматриваемой САУ:

,                  (4.27)

.                                 (4.28)

Для построения по (4.27), (4.28) ЛАЧХ и ЛФЧХ изменяем значение в интервале от 0 до и, подставляя их в (4.27) и (4.28), получаем соответственно значения дляL() и() при текущем значении частоты. Результаты расчётов помещаем в табл. 4.3. Используя данные табл. 4.3, выполняем построение ЛАЧХ и ЛФЧХ САУ (рис. 4.4).

Таблица 4.3

Исходные данные для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ САУ с передаточной функцией (4.17)

,рад/с

0,1

1

5

10

25

50

75

100

L(), дб

45,02

30

15,36

10,77

1,42

–8,74

–15,36

–20,21

(), ...

–28,84

–91,66

–87,46

–97,82

–130,45

–152,38

–161,14

–165,73

Рис. 4.4. ЛАЧХ и ЛФЧХ для САУ с передаточной функцией (4.17)

5. ТИПОВЫЕ СТРУКТУРНЫЕ ЗВЕНЬЯ САУ

5.1. Общие положения

Для изучения динамических свойств САУ целесообразно рассматривать отдельные её элементы только с точки зрения их динамических свойств вне зависимости от их конкретного исполнения. Установить общие динамические свойства отдельных элементов САУ или установить их различие помогают типовые воздействия (табл. 4.1), подаваемые на вход элемента САУ. Одним из таких возмущений является единичная ступенчатая функция1(t). В зависимости от вида, возникающего в элементе САУ переходного процесса, можно отнести этот элемент к тому или иному типу. Такое различие элементов по динамическим характеристикам приводит к понятию динамического звена.

Динамическим звеном (или просто звеном) [6] называется часть системы, описываемая уравнением, вид которого в общем случае может быть любым.

5.2. Безынерционное (усилительное) звено

Дифференциальное уравнение, описывающее процессы в данном динамическом звене, имеет вид

Рис. 5.1. График переходного процесса для безынерционного (усилительного) звена

,                               (5.1)

гдеk – коэффициент преобразования (усиления) звена. Принимаяx(t)=1(t), получаем его временную характеристику

.                                  (5.2)

График зависимостиy(t) приводится на рис. 5.1.

Передаточная функция безынерционного звена, получаемая из (5.1), будет иметь вид

.                               (5.3)

Комплексная передаточная функция, получаемая с использованием (5.3), может быть записана как

.                                  (5.4)

а)

б)

Рис. 5.2. Частотные характеристики безынерционного (усилительного) звена:  а) АФЧХ; б) ЛАЧХ и ЛФЧХ

Амплитудная характеристика системыA() определяется с использованием (4.9):

.                                                      (5.5)

ЛАЧХ согласно (4.11) запишется в виде:

.                                              (5.6)

Фазовая характеристика системы определяется при помощи формулы (4.10)

.                                                    (5.7)

При помощи равенств (5.6), (5.7) выполняем построение АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ (рис. 5.2).

5.3. Инерционное (апериодическое) звено

Процессы, протекающие в данном динамическом звене, могут быть описаны дифференциальным уравнением первого порядка

.                                        (5.8)

Преобразовываем данное дифференциальное уравнение согласно приводимых выше требований (п. 2.1):

.                                        (5.9)

Принимая для получения временной характеристики рассматриваемого звенаx(t)=1(t), получаем

.                                            (5.10)

Согласно (2.3) решение данного дифференциального уравнения складывается из свободной и вынужденной составляющих. Для нахождения свободной составляющей необходимо найти корни характеристического уравнения:

,                                                     (5.11)

соответствующего дифференциальному уравнению (5.9). Характеристическое уравнение имеет один корень. Свободная составляющая решения дифференциального уравнения (3.18) будет иметь вид . Вынужденная составляющая этого решения . Таким образом, решение дифференциального уравнения (5.9) запишется как

.                                                  (5.12)

Постоянная интегрирования определяется исходя из начальных условий (2.4). С учётом этого уравнение (5.12) может быть представлено в виде

.                                              (5.13)

Графикy(t) приводится на рис. 5.3. Данный переходный процесс имеет апериодический характер.

Передаточная функция инерционного звена будет иметь вид

Рис. 5.3. График переходного процесса для инерционного (апериодического) звена

.                           (5.14)

Выполняя замену в (5.14):, находим комплексную частотную характеристику рассматриваемого звена:

.                          (5.15)

Из последнего выражения получаем амплитудную и фазовую характеристики:

,                          (5.16)

.                          (5.17)

а)

б)

Рис. 5.4.  Частотные характеристики инерционного (апериодического) звена: а) АФЧХ; б) ЛАЧХ и ЛФЧХ

Графическое представление АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ приводится на рис. 5.4.

5.4. Колебательное звено

Процессы, протекающие в колебательном звене, могут быть представлены дифференциальным уравнением второго порядка

,                         (5.18)

или, с учётом требований п. 2.1:

.                                   (5.19)

Принимаемx(t)=1(t) для получения временной характеристики звена, тогда (5.19) запишется как

.                                       (5.20)

Решение данного уравнения есть сумма свободной и вынужденной составляющих (2.3). Вынужденная составляющая определяется видом правой части дифференциального уравнения (5.20): .

Свободная составляющаяyСВ(t) имеет вид (2.6) и определяется исходя из вида корней характеристического уравнения:

,                                                   (5.21)

которое соответствует дифференциальному уравнению (5.20). Корни данного уравнения находятся по известной формуле

.                                           (5.22)

Возможны следующие разновидности решений дифференциального уравнения (3.28) в зависимости отs1,2:

  1. s1,2вещественные, отрицательные: данный вид корней наблюдается при условии, что. Решение дифференциального уравнения (5.20) в данном случае будет иметь вид

.                                     (5.23)

Переходный процесс будет описываться апериодической кривой (рис. 5.5 б). В этом случае колебательное звено называется инерционным звеном второго порядка. Данное колебательное звено может быть представлено в виде последовательного соединения двух инерционных звеньев, каждое из которых имеет передаточную функцию  (5.14). Постоянные времени этих звеньев соответственно и;

  1. s1,2комплексные сопряжённые с отрицательной вещественной частью: данный вид корней наблюдается при условии, что . Тогда , где,. Решение дифференциального уравнения (5.20) будет иметь вид

,                                        (5.24)

гдеA0 и – постоянные интегрирования, определяемые исходя из начальных условий (2.4):

;                                             (5.25)

.                                                   (5.26)

С учётом этого (5.24) запишется как

.            (5.27)

Переходный процесс в данном случае будет иметь вид затухающих колебаний (рис. 5.5 в);

3)s1,2комплексные, сопряжённые, с равной нулю вещественной частью: данный вид корней наблюдается при=0, что возможно, только еслиT1=0, аT0<0. Переходный процесс в данном случае будет иметь вид незатухающих колебаний (рис. 5.5 г), а колебательное звено, имеющее данный вид переходного процесса, называется консервативным.

а)

в)

б)

г)

Рис. 5.5.  Графики переходных процессов для колебательного звена: а) входное воздействие; б)y(t) при; в)y(t) при ;   г)y(t) приT1=0,T0<0

Передаточная функция колебательного звена, получаемая на основании дифференциального уравнения (5.20), будет иметь вид

.                                                (5.28)

Комплексная частотная характеристика, определяемая на основании (5.28):

.                                         (5.29)

Амплитудная и фазовая характеристики звена (рис. 5.6):

,                                       (5.30)

.                                          (5.31)

а)

б)

Рис. 5.6. Частотные характеристики колебательного звена: а) АФЧХ; б) ЛАЧХ и ЛФЧХ

5.5. Интегрирующее (астатическое) звено

Дифференциальное уравнение, устанавливающее связь между входной и выходной величинами, для интегрирующего звена имеет вид

,                                                  (5.32)

или, после умножения обеих частей уравнения наT, обозначив, получаем

.                                                  (5.33)

Для получения временной характеристики звена принимаемx(t)=1(t), тогда

.                                                  (5.34)

Решение данного уравнения получаем после интегрирования правой части:

.                                               (5.35)

Графикy(t) приводится на рис. 5.7.

Рис. 5.7. График переходного процесса для интегрирующего (астатического) звена

Передаточная функция интегрирующего звена, получаемая на основании (5.35), будет иметь вид

.                          (5.36)

Комплексная частотная характеристика данного звена запишется как

.                          (5.37)

Амплитудная и фазовая характеристики, получаемые на основании (3.44), будут иметь вид (рис. 5.8)

,                                                   (5.38)

.                                   (5.39)

а)

б)

Рис. 5.8. Частотные характеристики интегрирующего звена: а) АФЧХ; б) ЛАЧХ и ЛФЧХ

5.6. Дифференцирующее звено

Различают идеальное и реальное дифференцирующие звенья. Переходный процесс в идеальном дифференцирующем звене характеризуется уравнением

.                                                     (5.40)

Значение выходной величины данного звенаy(t) пропорционально скорости изменения входного воздействия. При подаче на вход звена функции1(t) на выходе будет наблюдаться импульс, имеющий бесконечно большую амплитуду, соответствующую бесконечно большой скорости изменения входного воздействия в момент подачи единичного воздействия1(t) (рис. 5.9).

Передаточная функция, получаемая на основании выражения (5.40), для идеального дифференцирующего звена будет иметь вид

.      (5.41)

Комплексная частотная характеристика звена

,     (5.42)

откуда получаем амплитудную и фазовую частотные характеристики:

,      (5.43)

. (5.44)

Рис. 5.9. График переходного процесса: 1–для идеального дифференцирующего звена; 2–для реального дифференцирующего звена

Практически осуществить идеальное дифференцирующее звено, строго удовлетворяющее уравнению (5.40), невозможно. Физически возможно реализовать только звенья, выполняющие дифференцирующие действия более или менее приближённо. Такие звенья называют реальными дифференцирующими звеньями. Переходный процесс в реальном дифференцирующем звене может характеризоваться следующим уравнением:

.                           (5.45)

Передаточная функция и комплексная частотная характеристика, соответствующие дифференциальному уравнению (5.45), имеют вид

.                                                           (5.46)

.                                                        (5.47)

Соответствующие данной комплексной частотной характеристики амплитудная и фазовая частотные характеристики запишутся как

,                                                    (5.48)

.                                               (5.49)

Графики АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ для идеального и реального дифференцирующих звеньев приводятся на рис. 5.10 – 5.11.

Рис. 5.10.  АФЧХ дифференцирующего звена: 1 – идеального; 2 – реального

Рис. 5.11.  ЛАЧХ и ЛФЧХ дифференцирующего звена: 1, 3 – идеального дифференцирующего звена; 2, 4 – реального дифференцирующего звена

5.7. Примеры нахождения передаточных функций

для некоторых технических устройств

Пример 1. Определение передаточной функции делителя напряжений (рис. 5.12).

По второму закону Кирхгофа для рассматриваемой цепи справедливо выражение

.      (5.50)

После применения к данному выражению преобразования Лапласа получаем

Рис. 5.12. Схема делителя напряжения

,               (5.51)

или:

.               (5.52)

Разделим правую и левую части полученного выражения на:

                                            (5.53)

или, после введения обозначений, и выполнения несложных математических преобразований:

.                                                 (5.54)

Таким образом, делитель напряжения в данном случае является безынерционным звеном с коэффициентом преобразованияk.

Пример 2. Определение передаточной функции двухступенчатого редуктора (рис. 5.13).

Редуктор представляет собой совокупность механических передач и может использоваться в САУ для понижения скорости вращения двигателя. Рассмотрим двухступенчатый редуктор, состоящий из двух цилиндрических передач (рис. 5.13), и определим его передаточную функцию. Поскольку в точке зацеп-

Рис. 5.13. Схема двухступенчатого редуктора

ления линейные скорости зубчатых колёс 1 и 2 равны, учитывая, что  и, запишем следующее уравнение:

,                (5.55)

или

.                 (5.56)

С другой стороны, учитывая что в точке зацепления зубчатых колёс 3 и 4 их линейные скорости также равны и проводя аналогичные рассуждения, выразим угловую скорость1 через параметры зубчатых колёс 3 и 4:

.                                                 (5.57)

Приравнивая друг другу выражения (5.56) и (5.57), получаем

.                                              (5.58)

Применяем к правой и левой частям уравнения (5.58) преобразование Лапласа, после чего находим передаточную функцию двухступенчатого редуктора:

.                                            (5.59)

В полученном выражении – коэффициент преобразования редуктора.

Таким образом, двухступенчатый редуктор в данном случае имеет передаточную функцию безынерционного (усилительного) звена с коэффициентом преобразованияk.

Пример 3. Определение передаточной функцииLR-цепочки (рис. 5.14).

Рис. 5.14. СхемаLR-цепочки

Для рассматриваемой схемы по второму закону Кирхгофа запишем выражение

.                   (5.60)

Преобразуем данное выражение с помощью преобразования Лапласа:

,                (5.61)

.                (5.62)

Выполнив несложные математические преобразования над последним выражением и обозначив , получаем

.                                  (5.63)

Обозначив, выражение (5.63) перепишем в виде

.                                                (5.64)

Полученная передаточная функция (5.64) есть передаточная функция инерционного (апериодического) звена с коэффициентом усиленияk=1 и постоянной времени.

Пример 4. Определение передаточной функцииLRC-цепочки (рис. 5.15).     Согласно второму закону Кирхгофа для рассматриваемой схемы справедливо следующее уравнение:

Рис. 5.15. СхемаLRС-цепочки

.    (5.65)

Учитывая, что и что напряжение на конденсаторе является выходной величиной,uC(t)=uВЫХ(t), (5.65) перепишем в следующем виде:

.                             (5.66)

Применяя к правой и левой частям полученного выражения преобразование Лапласа, получаем

,                         (5.67)

,                         (5.68)

,                                 (5.69)

или

.                                 (5.70)

гдеk – коэффициент преобразования (в данном случаеk=1);T1,T2 – постоянные времени:;.

Таким образом, в данном случаеRLC-цепочка имеет передаточную функцию колебательного звена.

Пример 5. Определение передаточной функции двигателя постоянного тока независимого возбуждения (рис. 5.16 а). Цепь якоря двигателя постоянного тока может быть представлена схемой замещения (рис. 5.16 б), для которой согласно второму закону Кирхгофа справедливо следующее выражение:

,                                  (5.71)

гдеeя(t) – ЭДС, создаваемая в обмотке якоря и определяемая как

а)

б)

Рис. 5.16. Двигатель постоянного тока независимого возбуждения

.              (5.72)

В последнем выраженииСЕ – постоянная ЭДС, зависящая от  конструкции двигателя;Ф – магнитный поток, создаваемый обмоткой возбуждения, который в данном случае предполагается постоянным. Перепишем (5.71) в следующем виде:

.  (5.73)

Применив к правой и левой частям полученного дифференциального уравнения преобразование Лапласа, получаем

,                           (5.74)

где  – коэффициент, имеющий размерность времени и называемый электромагнитной постоянной времени цепи якоря. Далее, выполняя несложные математические преобразования с формулой (5.74), получаем

,                                       (5.74)

где , аUЯ(p) определяется как

.                                        (5.75)

Уравнение, описывающее механическое движение якоря двигателя, составляется согласно второму закону Ньютона и будет иметь следующий вид:

,                                            (5.76)

гдеJ – момент инерции вала двигателя;

МДВ(t)– электромагнитный момент, развиваемый двигателем:

.                                                  (5.77)

В последнем выраженииCМ – механическая постоянная, определяемая конструкцией двигателя;

МС(t)– момент сопротивления нагрузки, который может быть определён соотношением, аналогичным (5.77):

.                                            (5.78)

В последнем выраженииiC(t) – ток, соответствующий статической нагрузке и определяемый моментомМС.

Учитывая всё вышесказанное, уравнение динамики вращательного движения якоря (5.76) будем определять как

,                                (5.79)

Применяя к правой и левой частям полученного дифференциального уравнения преобразование Лапласа, получаем

.                                       (5.80)

Далее, используя формулу (5.72) для ЭДС якоря и применив к ней преобразование Лапласа, выразим(p):

,                                                    (5.81)

после чего полученное выражение подставим в (5.80), предварительно умножив правые и левые части этого уравнения наRЯ. Выполняя несложные математические преобразования, получаем

.                              (5.82)

Из последнего выражения находим передаточную функцию

,

где  – коэффициент, имеющий размерность времени и называемый электромеханической постоянной времени;

,(5.83)

,                                              (5.84)

.                                              (5.85)

Таким образом, выше были получены выражения, представляющие собой математическую модель двигателя постоянного тока, которые могут быть записаны в виде следующей системы уравнений:

(5.86)

Полученной системе уравнений (5.86) будет соответствовать следующая структурная схема (рис. 5.17), используя которую, можно получить следующие виды передаточных функций:

а) передаточная функция по скорости – для этого необходимо принятьМС(p)=0 (рис. 5.18), тогда, используя правила нахождения передаточной функции САУ, структурная схема которой состоит из нескольких звеньев (см. п. 3.3, 3.4), получаем

,            (5.88)

гдеk – коэффициент, равный ;

б) передаточная функция по нагрузке – для определения этой передаточной функции принимаемU(p)=0, и применяя правило переноса сумматора, преобразуем исходную структурную схему двигателя постоянного тока к следующему виду (рис. 5.19). Далее находим искомую передаточную функцию:

,  (5.89)

где  – коэффициент преобразования.

Рис. 5.17. Структурная схема двигателя постоянного тока независимого возбуждения (в качестве выходной величины выступает скорость вращения якоря)

Рис. 5.18. Структурная схема двигателя постоянного тока независимого возбуждения при нахождении его передаточной функции по скорости

Рис. 5.19. Структурная схема двигателя постоянного тока независимого возбуждения при нахождении его передаточной функции по нагрузке

Рассмотренные выше передаточные функции (5.88) и (5.89) представляют собой передаточные функции колебательного звена.

Структурная схема двигателя постоянного тока на рис. 5.17 соответствует случаю, когда в качестве выходной величины рассматривается скорость вращения якоря(t). В ряде случаев, например при исследовании динамики следящего привода, в качестве выходной величины необходимо рассматривать угол поворота(t). Учитывая, что скорость вращения якоря связана с его углом поворота соотношением

,                                                     (5.90)

исходная структурная схема двигателя постоянного тока преобразуется к следующему виду (рис. 5.20). Передаточные функции по скорости и нагрузке, соответствующие рассматриваемому случаю, определяются аналогично (5.88) и (5.89) и будут иметь следующий вид:

,                              (5.91)

.                              (5.92)

Рис. 5.20. Структурная схема двигателя постоянного тока независимого возбуждения (в качестве выходной величины выступает угол поворота якоря)

Пример 6. Построение АФЧХ САУ, состоящей из нескольких последовательно соединённых звеньев.

Рассмотрим САУ, которая имеет передаточную функцию (4.12):

,                                            (5.93)

гдеk – коэффициент усиления системы, равный 35;T1,T2 – постоянные времени, соответственно равные 0,15 и 0,04.

Выполнить построение АФЧХ данной САУ (рис. 4.3)  можно также следующим образом. Передаточную функцию (5.93) представим как передаточную функцию системы, состоящей из четырёх последовательно соединённых звеньев: безынерционного (усилительного) звена с передаточной функцией (5.3):

,                                                  (5.94)

интегрирующего (астатического) звена с передаточной функцией (5.36):

,                                                 (5.95)

и двух инерционных (апериодических) звеньев (5.14) с постоянными времениT1,T2. Передаточные функции этих звеньев имеют вид:

,                                                  (5.96)

.                                                  (5.97)

Выполняем заменуp наj  в выражениях (5.94)–(5.97), в результате чего получаем:

,                                                        (5.98)

,                                                      (5.99)

,                                                 (5.100)

.                                                 (5.101)

Каждое из выражений (5.98)–(5.101) представляет собой комплексную функцию, которая может быть представлена в виде: , , , , гдеA1() определяется согласно (5.5):

,                                                     (5.102)

A2() определяется по формуле (5.38):

,                                                   (5.103)

A3(),A4() – согласно (5.16):

,                                           (5.104)

.                                         (5.105)

В свою очередь,1()–4() определятся следующим образом:1() согласно (5.7) будет равен нулю,2()=–900 согласно (5.39),3() и4() определятся по формуле (5.17):

,                                          (5.106)

.                                          (5.107)

Учитывая вышесказанное, исходную передаточную функцию (5.93) преобразуем к виду

,                     (5.108)

или

.                                                 (5.109)

В последнем выражении

,                                       (5.110)

.                            (5.111)

Таким образом, частотные характеристики САУ, в число которых входит и АФЧХ, могут быть определены из частотных характеристик, входящих в САУ динамических звеньев. При этом амплитудное значение выходного сигнала САУ (5.110) определяется как произведение амплитудных характеристик, входящих в САУ динамических звеньев, начальная фаза выходного сигнала (5.111) определяется как сумма начальных фаз выходных сигналов каждого из звеньев, входящих в состав САУ.

Для построения АФЧХ САУ, как и в примере 1 п. 4.2, будем изменять значения в интервале от 0 до, подставив их в (5.102)–(5.105), вычислим амплитудные значения выходных сигналов каждого из звеньев, входящих в состав САУ. Аналогичным образом, подставив значения в (5.106), (5.107), определим начальные фазы этих же сигналов. Амплитуду и начальную фазу выходного сигнала САУ будем определять соответственно по формулам (5.110), (5.111). Результаты вычислений занесём в табл. 5.1. По данным табл. 5.1 выполним построение АФЧХ САУ (рис. 5.21).

Таблица 5.1

Исходные данные для построения АФЧХ САУ с передаточной функцией (5.93)

5

10

15

20

A1()

35

35

35

35

A2()

0,20

0,10

0,07

0,05

A3()

0,80

0,55

0,41

0,32

A4()

0,98

0,93

0,86

0,78

A()

5,49

1,80

0,81

0,43

1()

00

00

00

00

2()

–900

–900

–900

–900

3()

–370

–560

–660

–720

4()

–110

–220

–310

–390

()

–1380

–1680

–1870

–2000

Рис. 5.21. АФЧХ САУ с передаточной функцией (5.93)

6. УСТОЙЧИВОСТЬ САУ

6.1. Понятие устойчивости систем автоматического управления

Динамика САУ характеризуется переходным процессом, возникающим в ней под действием какого-либо возмущения (управляющего воздействия, помехи, изменения нагрузки и др.). Вид переходного процесса в САУ зависит как от свойств самой САУ, так и от вида действующего на неё возмущения. В зависимости от вида переходного процесса в САУ различают следующие их разновидности.

Устойчивая САУ – система, которая при установившихся значениях возмущающих воздействий спустя некоторый промежуток времени возвращается к установившемуся состоянию равновесия.

Неустойчивая САУ – система, которая при установившихся значениях возмущающих воздействий не возвращается к установившемуся состоянию равновесия. Отклонение системы от состояния равновесия будет либо всё время увеличиваться, либо непрерывно изменяться в форме незатухающих постоянных колебаний.

Графики кривых переходных процессов, характерные для устойчивых и неустойчивых САУ, представлены на рис. 6.1. Очевидно, что работоспособная САУ должна быть устойчивой.

а)

Примеры устойчивости и неустойчивости некоторой системы можно также иллюстрировать на следующих примерах (рис. 6.2). На рис. 6.2а приведён пример неустойчивой системы – при малейшем отклонении шара от начального устойчивого положения он скатывается по склону поверхности и в исходное положение не возвращается; рис. 6.2б иллюстрирует пример устойчивой системы, поскольку при любом отклонении шар обязательно возвратится к первоначальному положению; рис. 6.2в показывает систему, устойчивую при некоторых малых возмущающих воздействиях. Как только возмущающее воздействие превышает некоторую величину, система теряет устойчивость. Такие системы называют устойчивыми в малом и неустойчивыми в большом, поскольку устойчивость связана с величиной начального возмущающего воздействия.

б)

Рис. 6.1. Виды кривых переходного процесса в устойчивой (а) и в неустойчивой (б) САУ: 1 – апериодический переходный процесс; 2 – колебательный переходный процесс

а)

б)

в)

Рис. 6.2. Физическая трактовка понятия устойчивости САУ: а) САУ неустойчива; б) САУ устойчива; в) САУ устойчива в малом и неустойчива в большом

Анализ работоспособности или устойчивости линейной САУ можно провести с использованием её математической модели. Как было показано ранее, линейная САУ может быть описана дифференциальным уравнением (2.1). Решение данного дифференциального уравнения в общем случае имеет вид (2.3)

,

где  – свободная составляющая решения уравнения (2.1), которая определяется начальными условиями и свойствами рассматриваемой САУ;

– вынужденная составляющая решения уравнения (2.1), определяемая возмущаемыми воздействиями и свойствами рассматриваемой САУ.

Устойчивость САУ характеризуется процессами, происходящими внутри самой САУ. Эти процессы определяются видом свободной составляющей решения уравнения (2.1). Следовательно, для того чтобы САУ была устойчива, необходимо выполнение следующего условия:

.                                                         (6.1)

В свою очередь,  в общем виде может быть представлена как

,                                                         (6.2)

где– корни, получаемые при решении характеристического уравнения (2.7). В табл. 6.1 приводятся некоторые разновидности переходных процессов в САУ, в зависимости от вида корней характеристического уравнения (2.7).

Таблица 6.1

Разновидности переходных процессов в САУ в зависимости от вида корней

характеристического уравнения (2.7)

п.п

Вид

корней

уравнения (2.7)

Вид

График

переходного процесса

для корня уравнения (2.7)

Разновидность

системы

1

корни действительные, отрицательные,

при этом

апериодический затухающий

устойчивая

Окончание табл. 6.1

2

среди корней (п.1) присутствуетm – комплексных сопряжённых корней, действительная часть которых отрицательная:

колебательный затухающий

устойчивая

3

корни действительные, положительные,

при этом

апериодический расходящийся

неустойчивая

4

среди корней (п.1) присутствуетm – комплексных сопряжённых корней, действительная часть которых положительная:

колебательный расходящийся

неустойчивая

5

среди корней (п.1) присутствует пара комплексных корней, действительная часть которых равна нулю:

незатухающие колебания

система на грани устойчивости (чисто теоретический случай)

Для выполнения условия (6.1) необходимо, чтобы каждое слагаемое выражение (6.2) приt стремилось бы к нулю. Как следует из анализа приводимых в табл. 6.1 примеров переходных процессов в САУ, для этого  необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения (2.7) были отрицательные вещественные или комплексные с отрицательной действительной частью. Если среди корней характеристического уравнения (2.7) будет хотя бы один положительный вещественный корень или пара сопряжённых комплексных корней с положительной действительной частью, тогда рассматриваемая САУ будет неустойчива, поскольку слагаемое уравнения (6.2), соответствующее данному корню, приt будет неограниченно увеличиваться.

На рис. 6.3 и 6.4 приведены примеры расположения корней характеристического уравнения САУ на комплексной плоскости, соответствующие устойчивой и неустойчивой САУ. Как следует из этих примеров, для того чтобы САУ была устойчива, необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения САУ находились слева от мнимой оси.

Рис. 6.3. Расположение корней характеристического уравнения САУ на комплексной плоскости, соответствующее устойчивой системе

Рис. 6.4. Расположение корней характеристического уравнения САУ на комплексной плоскости, соответствующее неустойчивой системе

Для анализа устойчивости САУ по виду корней её характеристического уравнения требуется найти аналитическое решение дифференциального уравнения (2.1), что является достаточно трудоёмкой задачей, а в некоторых случаях – невозможной. Поэтому на практике широкое распространение получили критерии устойчивости, под которыми понимается следующее.

Критерий устойчивости – совокупность признаков, позволяющих иметь представление о знаках корней характеристического уравнения без решения самого уравнения. Существуют следующие разновидности критериев устойчивости:

  • алгебраические критерии устойчивости (критерии Вышнеградского, Рауса, Гурвица). Для анализа устойчивости САУ в данном случае используются коэффициенты характеристического уравнения системы;
  • частотные критерии устойчивости (критерии Найквиста, Михайлова). Данные критерии устойчивости предполагают применение частотных характеристик системы.

Применение того или иного критерия устойчивости позволяет судить об устойчивости САУ более просто и эффективно, чем при решении описывающего её дифференциального уравнения (2.1). Кроме этого, некоторые критерии устойчивости позволяют установить причину неустойчивости САУ и наметить пути по достижению устойчивости системы.

6.2. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

Данный вид алгебраического критерия является наиболее распространённым на практике для исследования устойчивости САУ. Исходными данными для исследования устойчивости в данном случае является характеристическое  уравнение замкнутой САУ

.                            (6.3)

 Из коэффициентов характеристического уравнения (6.3) составляется матрица (6.4), размерность которой равна порядку характеристического уравнения (6.3). Матрица (6.4) составляется по следующему правилу: по главной диагонали выписываются последовательно коэффициенты характеристического уравнения, начиная сC1. Столбцы таблицы, начиная с главной диагонали, заполняются вверх по возрастающим индексам, вниз – по убывающим. Все коэффициенты с индексами ниже нуля и выше степени порядка характеристического уравненияn заменяются нулями.

                                     (6.4)

Условия устойчивости по Гурвицу: для устойчивости САУ, имеющей характеристическое уравнение (6.3), необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения (6.3) были положительны, а также были положительныn определители, составленные из коэффициентов уравнения (6.3) на основе матрицы (6.4). Для составления определителя 1,2, …,n-го порядка берутся 1,2, …,n столбцов и строк. Приводимые ниже примеры иллюстрируют это правило.

Пример 1. Для САУ, имеющей характеристическое уравнение 2–го порядка:

,                                                 (6.5)

матрица (6.4) запишется как

.                                                           (6.6)

Определители1,2, составленные на основе (6.6), имеют вид

;                                                                  (6.7)

.                                                  (6.8)

Согласно критерию устойчивости Гурвица данная система будет устойчивой при условии, что коэффициентыC0,C1,C2 будут больше нуля, а также будут положительны определители (6.7) и (6.8).

Пример 2. Для САУ, имеющей характеристическое уравнение 3-го порядка:

,                                                  (6.9)

матрица (6.4) запишется как

.                                                           (6.10)

Определители13, составленные на основе (6.10), имеют вид

;                                                               (6.11)

,                                        (6.12)

.                                            (6.13)

Согласно критерию устойчивости Гурвица данная система будет устойчивой при условии, что коэффициентыC0C3 будут больше нуля, а также будет положительным определитель (6.12).

Пример 3. Для САУ, имеющей характеристическое уравнение 4-го порядка:

,                                 (6.14)

матрица (6.4) запишется как

.                                               (6.15)

Определители14, составленные на основе (6.15), имеют вид

;                                                               (6.16)

,                                         (6.17)

,                                    (6.18)

.                                       (6.19)

Согласно критерию устойчивости Гурвица данная система будет устойчивой при условии, что коэффициентыC0C4 будут больше нуля, а также будут положительны определители (6.16)–(6.19).

Алгебраический критерий Гурвица позволяет наглядно оценить влияние того или иного параметра на устойчивость САУ в целом. Предположим, что для рассматриваемой САУ, математическая модель которой имеет характеристическое уравнение (6.3), необходимо исследовать влияние значения параметраСn на устойчивость. Для этого, придавая ряд допустимых значений дляСn, вычисляемn определителей, составленных из коэффициентов уравнения (6.3) на основе матрицы (6.4). Каждый из определителейi гдеi=0,..,n будет представлять собой функцию, зависящую от параметраСn, которую можно представить в виде графика (рис. 6.5). Изобразив на одном графике функцииin), гдеi=0,..,n, определяем на оси абсцисс отрезок измененияСn, на протяжении которого всеn определителей будут положительные (на рис. 6.5 этот отрезок выделен жирной линией). Следовательно, согласно критерию Гурвица при значенияхСn, которые принадлежат выделенному отрезку, система будет устойчивой. Если после построения графиков функцииin), гдеi=0,..,n, на оси абсцисс невозможно выделить отрезок измененияСn, на протяжении которого всеn определителей будут положительные (рис. 6.6), это говорит о том, что изменением значенияСn привести САУ к состоянию устойчивости невозможно.

Рис. 6.5. Кривые определителей Гурвица соответствующие устойчивой системе

Рис. 6.6. Кривые определителей Гурвица соответствующие неустойчивой системе

Применение алгебраического критерия устойчивости Гурвица предполагает, что дифференциальное уравнение, описывающее САУ (6.3), известно и достаточно точно известны его коэффициенты. В некоторых случаях на практике выполнить данные условия невозможно. Кроме этого, с увеличением порядка характеристического уравнения САУ (6.3) увеличивается сложность вычисления определителей, составляемых на основе матрицы (6.4). Поэтому на практике получили распространение также частотные критерии устойчивости, которые позволяют оценить устойчивость системы, даже если дифференциальное уравнение (2.1) неизвестно, а в наличии имеются экспериментальные частотные характеристики рассматриваемой САУ.

6.3. Частотный критерий оценки устойчивости Найквиста

Частотные критерии устойчивости в настоящее время получили широкое признание. Один из таких критериев – критерий Найквиста или частотный амплитудно-фазовый критерий. Данный вид критерия является следствием теоремы Коши. Доказательство справедливости критерия Найквиста приводится в [1, 6]. Рассматриваемый критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой САУ посредством исследования АФЧХ этой САУ в разомкнутом состоянии, поскольку данное исследование выполнить проще.

Исходными данными для исследования устойчивости САУ с помощью критерия Найквиста является её АФЧХ, которая может быть получена либо экспериментально, либо с использованием известного выражения для передаточной функции разомкнутой САУ (3.6) путём заменыp=j.

Условия устойчивости по Найквисту:

  1. если САУ устойчива в разомкнутом состоянии, то амплитудно-фазовая характеристика данной САУ, получаемая при изменении от – до +, не должна охватывать точку на комплексной плоскости с координатами (–1,j0);
  2. если система неустойчива в разомкнутом состоянии и имеетk корней в правой полуплоскости, то АФЧХ САУ при изменении от – до + должна охватыватьk раз точку на комплексной плоскости с координатами  (–1,j0). Угол поворота вектораW(j) должен составлять при этом2k.

Замкнутая САУ будет устойчива, если при изменении от 0 до +  разность между числом положительных и отрицательных переходов годографа АФЧХ  разомкнутой системы через отрезок вещественной оси (–, –1) будет равнаk/2, гдеk – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. За отрицательный переход годографа вектораW(j) считается его переход из нижней полуплоскости в верхнюю при возрастании. За положительный переход годографа вектораW(j) принимается его переход из верхней полуплоскости в нижнюю при той же последовательности изменения частоты.

При отрицательном знаке у комплексной частотной характеристики указанные выше положения определяются точкой (+1,j0).

Критерий Найквиста справедлив также для случая, когда полиномС(p) в (3.6) САУ имеет нулевой корень, что соответствует значению АФЧХ, равному бесконечности. Для исследования устойчивости таких САУ необходимо мысленно дополнить годограф АФЧХ окружностью бесконечного радиуса и замкнуть годограф с вещественной полуосью в кратчайшем направлении. Далее проверить соблюдение условий устойчивости по Найквисту  и сделать выводы.

Примеры АФЧХ устойчивых и неустойчивых САУ приведены на рис. 6.7, 6.8.

а)

б)

Рис. 6.7. Примеры АФЧХ неустойчивой (1) и устойчивой (2) САУ: а) АФЧХ разомкнутых САУ; б) АФЧХ разомкнутых САУ, у которых в полиномеС(p) передаточной функции (3.6) имеется нулевой корень

Рис. 6.8. АФЧХ САУ, неустойчивых в разомкнутом состоянии (число корней полиномаС(p) в (3.6) в правой полуплоскости равно 2): 1 – САУ, устойчивая в замкнутом состоянии; 2 – САУ, неустойчивая в замкнутом состоянии

6.4. Логарифмический критерий устойчивости

Данный критерий устойчивости есть интерпретация частотного критерия устойчивости Найквиста в логарифмической форме. Рассмотрим две АФЧХ (рис. 6.9), соответствующие разомкнутой САУ, при этом АФЧХ (1) соответствует САУ, неустойчивой в разомкнутом состоянии,  АФЧХ (2) – САУ, устойчивой в разомкнутом состоянии. Введём характерные точки рассматриваемых АФЧХ:, – точки, соответствующие частотам, при которых амплитуды векторовW(j) соответственно систем (1) и (2) становятся равными единице. Данная частота носит название частоты среза. На комплексной плоскости эта точка соответствует точке пересечения АФЧХ с окружностью единичного радиуса, центр которой находится в начале координат (на рис. 6.9 эта окружность изображена пунктирной линией). Эта же точка соответствует точке пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс (рис. 6.10);1,2 – точки, соответствующие частотам, при которых фазы векторовW(j) соответственно систем (1) и (2) становятся равными –180О. На комплексной плоскости эта точка соответствует точке пересечения АФЧХ с вещественной отрицательной полуосью. Эта же точка соответствует точке пересечения ЛФЧХ с осью абсцисс при условии, что ЛАЧХ и ЛФЧХ изображаются на одном графике в форме, представленной на рис. 6.10.

Рис. 6.9. АФЧХ САУ: 1 – неустойчивой в разомкнутом состоянии; 2 – устойчивой в разомкнутом состоянии

Рис. 6.10. ЛАЧХ и ЛФЧХ

неустойчивой (1)

и устойчивой (2) САУ

Рис. 6.11. АФЧХ САУ, имеющая несколько точек пересечения с вещественной осью

Рис. 6.12. ЛАЧХ и ЛФЧХ САУ,  имеющей несколько точек пересечения с вещественной осью (см. рис. 6.6)

Согласно критерию устойчивости Найквиста, если САУ устойчива в разомкнутом состоянии, то амплитудно-фазовая характеристика данной САУ, получаемая при изменении от – до +, не должна охватывать точку на комплексной плоскости с координатами (–1,j0). Другими словами, как следует из рис. 6.9, система будет устойчива, если>с, в противном случае (<с) система будет неустойчива. Если проводить анализ об устойчивости системы по ЛАЧХ и ЛФЧХ (рис. 6.10), тогда можно утверждать, что если частота срезас располагается на оси частот левее частоты, то такая САУ будет устойчива в разомкнутом состоянии, в противном случае САУ в разомкнутом состоянии будет неустойчивой.

Если число точек пересечения АФЧХ и отрицательной вещественной полуоси на отрезке (–, –1) при изменении от 0 до +  больше одной (рис. 6.11), тогда, для того чтобы САУ была устойчива в замкнутом состоянии, необходимо, чтобы количество таких точек на отрезке (–, –1) было чётным. При этом ЛФЧХ должна пересечь чётное количество раз ось абсцисс на отрезке от 0 до частоты срезас (рис. 6.12).

Для устойчивости САУ в замкнутом состоянии, которые в разомкнутом состоянии неустойчивы и имеютk-корней, лежащих справа от мнимой оси, логарифмический критерий устойчивости может быть сформулирован следующим образом: подобные САУ будут устойчивы, если разность чисел положительных и отрицательных переходов ЛФЧХ и отрицательных переходов ЛФЧХ через значение –180, лежащих на отрезке от 0 доС,  будет равнаk/2. Напомним, что за положительный переход характеристики принимается её переход из верхней полуплоскости в нижнюю при возрастании. За отрицательный переход характеристики принимается её переход из нижней полуплоскости в верхнюю при той же последовательности изменения частоты. Частотные характеристики САУ, неустойчивой в разомкнутом состоянии и устойчивой в замкнутом состоянии, у которойk=1, приведены на рис. 6.13, 6.14.

Рис. 6.13.  АФЧХ САУ, неустойчивой в разомкнутом состоянии и устойчивой в замкнутом состояний (число корней характеристического уравнения, лежащих справа от оси мнимых чисел, равно 1)

Рис. 6.14.  ЛАЧХ и ЛФЧХ САУ,   соответствующие  АФЧХ  САУ на рис. 6.13

6.5. Частотный критерий оценки устойчивости Михайлова

Исходными данными для исследования устойчивости САУ с помощью критерия Михайлова является АФЧХ замкнутой системы, которая может быть получена с помощью характеристического полинома замкнутой САУ (3.35), имеющего порядокn:

.                                 (6.20)

Условия устойчивости по Михайлову: если вектор, характеризующий замкнутую САУ, при изменении от – до +  описывает в положительном направлении (не изменяя направления) угол, равныйn  (гдеn – степень характеристического полинома (6.20)), то такая САУ будет устойчивой. В противном случае САУ будет неустойчивой. Доказательство данного утверждения приводится в [6].

Поскольку годограф кривой вектора передаточной функции замкнутой САУ симметричен, допускается ограничиться рассмотрением лишь его части, соответствующей изменениям от 0 до +. При этом угол, описываемый вектором , при изменении от 0 до + уменьшится вдвое.

На рис. 6.15, 6.16 приведены примеры годографов вектора, соответствующие устойчивой, неустойчивой и нейтральной САУ (системы, находящейся на грани устойчивости).

Рис. 6.15. Вид годографов вектора  для замкнутой САУ, соответствующий устойчивым САУ, при этом: 1 –n=3; 2 –n=5; 3 –n=4

Рис. 6.16. Вид годографов вектора  для замкнутой САУ соответствующий: 1 – неустойчивой САУ; 2 – нейтральной САУ (система находится на грани устойчивости)

6.6. Построение областей устойчивости САУ

Рассмотренные выше критерии устойчивости позволяют определить, устойчива рассматриваемая САУ при заданных параметрах или нет. Если САУ неустойчива, часто приходится искать ответ на вопрос: в чём причина неустойчивости, и определить пути её устранения. Кроме оценки устойчивости, на практике часто возникает необходимость определения путей повышения динамических показателей САУ. Перечисленные задачи могут быть решены с помощью существующих критериев устойчивости САУ, однако наиболее эффективно они решаются путём построения областей устойчивости и неустойчивости САУ.

Предположим, что рассматриваемая САУ неустойчива и при этом она может быть представлена линейным дифференциальным уравнением (2.1), характеристическое уравнение которого будет иметь следующий вид (6.3):

.                        (6.21)

Рис. 6.17. Области устойчивости САУ при изменении одного параметра ( Сn)

Далее предположим, что коэффициентыС0–Сn-1 данного характеристического уравнения заданы, а коэффициентСn может изменяться в диапазонеСn (min)Сn (max). Задавая ряд значений дляСn из указанного диапазона, находим в пределах этого диапазона отрезки, на протяжении которыхСn имеет такие значения, при которых САУ будет устойчивой (рис. 6.17), т.е. все корни характеристического уравнения (6.21) будут лежать на комплексной плоскости слева от мнимой оси. Граничные точки «отрезков устойчивости» соответствуют значениямСn, при которых САУ находится на грани устойчивости.

В уравнении (6.21) могут изменяться два и более коэффициентов. Если в нём изменяются два коэффициента (предположим, что этоС0 иСn), тогда проводится исследование зависимости устойчивости САУ от  значений  коэффици-

Рис. 6.18.  Области устойчивости САУ при изменении двух параметров (С0и Сn)

ентовС0иСn путем задания ряда значений этим коэффициентам из некоторых допустимых диапазонов и проверка устойчивости САУ при выбранных значенияхС0иСn. В этом случае области устойчивости будут представлять собой некоторые участки на плоскости координат изменяемых коэффициентовС0иСn (рис. 6.18). Границей устойчивости системы в данном случае будет кривая, ограничивающая области устойчивости.

Если в характеристическом уравнении изменяются в некоторых допустимых пределах три параметра (например,С0,С1 и Сn), тогда при исследовании зависимости устойчивости САУ от значенийС0,С1 и Сn будет найдена область устойчивости САУ, которая будет представлять собой часть пространства, ограниченную некоторой сложной поверхностью (рис. 6.19). Эта сложная поверхность в данном случае будет границей устойчивости САУ.

(С0,С1 и Сn)

В общем случае, если предположить, что в характеристическом уравнении (6.21) все входящие в него коэффициентыС0-Сn могут изменяться в некоторых допустимых пределах, тогда устойчивость САУ можно рассматривать как логическую функцию, определённую в некотором многомерном пространстве. В одних точках этого многомерного пространства эта функция будет принимать значение «Истина» (САУ устойчива), в других – «Ложь» (САУ неустойчива). Каждой точке такого пространства (пространства коэффициентов) будут соответствовать определённые значенияС0-Сn, которые являются его координатами. Гиперповерхность, ограничивающая область устойчивости САУ, будет являться границей области устойчивости в рассматриваемом пространстве коэффициентов.

При определении областей устойчивости САУ может быть выделена одна область устойчивости, может быть выделено несколько областей устойчивости, а может быть не выделено ни одной.

7. АНАЛИЗ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В САУ

7.1. Общие положения

Любая САУ, для того чтобы удовлетворять своему назначению, прежде всего должна быть устойчивой. Однако устойчивость является необходимым, но не достаточным условием технической пригодности САУ. Помимо устойчивости, к переходным процессам, протекающим в САУ, предъявляются требования, обуславливающие его качественные показатели. К числу таких показателей относят:

а) быстродействие САУ, которое характеризуется длительностью протекающего в ней переходного процесса;

б) точность системы, определяемую ошибкой отработки заданного значения выходной величины.

Рис. 7.1. Диаграмма качественных показателей переходного процесса

Кроме вышеуказанных показателей качества переходного процесса, могут рассматриваться также такие показатели, как запас устойчивости, величина перерегулирования, интегральные оценки, определяемые одновременно точностью и быстродействием САУ, и т.п. [1, 4, 6].

Требования, предъявляемые к качеству переходного процесса, можно графически представить в виде некоторой области, за пределы которой не должна выходить выходная регулируемая величина (рис. 7.1) в ходе протекания переходного процесса.

Существуют следующие методы исследования качества САУ:

  1. прямые методы анализа качества САУ, предполагающие получение тем или иным способом графика переходного процесса, который в дальнейшем анализируется с использованием различного рода ограничений. График переходного процесса может быть получен из аналитического решения дифференциального уравнения (2.1) либо с применением численных методов решения уравнения (2.1) (см. п. 2.4). В последнее время широкое распространение получили численные методы решения дифференциального уравнения (2.1), позволяющие получить приближённое его решение. Данные численные методы предполагают применение вычислительной техники.
  2. косвенные методы анализа качества САУ, позволяющие оценивать качество переходного процесса без получения графика самого переходного процесса. Среди данных методов широкое распространение получили метод нахождения распределения корней характеристического уравнения системы; интегральный метод и частотный метод [1, 6].

7.2. Оценка точности систем автоматического управления

Точность САУ характеризуется ошибкой отработки задающего воздействия, которая в общем виде может быть определена как

.                                                      (7.1)

В установившемся режиме, приt, выходная величинаy(t) стремится к , поэтому в установившемся режиме ошибка САУ определяется следующим образом:

.                                              (7.2)

Как следует из (7.2),  представляет собой некоторую функцию времени. Для определения этой функции воспользуемся выражением (3.36), согласно которому ошибка САУ

,                                                   (7.3)

где  – передаточная функция замкнутой САУ по ошибке:

.                                                   (7.4)

Разложив  в ряд Тейлора, получаем

    .                                                                 (7.5)

После введения обозначенийприk=0,…, выражение (7.5) примет следующий вид:

.                           (7.6)

В выражении (7.6) коэффициенты (k=0,…,) называются коэффициентами ошибки. Применяя к правой и левой частям последнего выражения обратное преобразование Лапласа, получаем

.                 (7.7)

Рассмотрим некоторые частные случаи определения ошибок САУ:

1) установившийся режим работы САУ, в которой отсутствуют интегрирующие звенья, входное задающее воздействие при этом постоянное и равноyЗ. Установившемуся режиму (t) соответствуетp=0. В этом случае (7.7) принимает следующий вид:

.                                                       (7.8)

Коэффициент ошибкиС0 может быть определён как

.                                    (7.9)

Учитывая, что передаточная функцияW(p) для данного типа САУ определяется выражением вида

,                       (7.10)

тогда приp=0

,                                                 (7.11)

гдеk – некоторая константа, называемая коэффициентом преобразования системы. Подставляя (7.11) в (7.9), а затем (7.9) в (7.8) и применяя к правой и левой частям выражения обратное преобразование Лапласа, получаем ошибку замкнутой САУ в установившемся режиме

.                                                      (7.12)

Таким образом, в САУ, у которых отсутствуют интегрирующие звенья, или в статических системах в установившемся режиме всегда присутствует статическая ошибка , называемаястатизмом системы;

2) установившийся режим работы САУ, в которой присутствуют интегрирующие звенья, входное задающее воздействие при этом постоянное и равноyЗ. Тогда передаточная функцияW(p) для такой САУ будет иметь вид

.                       (7.13)

Передаточная функция замкнутой системы по ошибкеФx(p) согласно (3.35) определится как

,

или

.                                               (7.14)

Приp=0, что соответствует установившемуся режиму работы САУ,  и, следовательно,С0=0. Согласно (7.8)

y(t)=0,                                                              (7.15)

откуда следует, что в астатических системах статическая ошибка отсутствует;

3) установившийся режим работы САУ, в которой входное задающее воздействиеyЗ(t) является функцией времени. Скорость измененияyЗ(t) много меньше скорости протекания переходных процессов в самой САУ. Вне зависимости, присутствуют в САУ интегрирующие звенья или нет, ошибка системы будет определяться выражением (7.7)

,           (7.16)

где коэффициенты ошибкиопределяются по формуле

          приk=0,…, .                  (7.17)

8. СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ САУ

8.1. Общие вопросы синтеза линейных САУ

При исследовании САУ приходится иметь дело с двумя задачами.

  1. Задача анализа САУ, в ходе решения которой требуется найти переходные процессы, возникающие в данной САУ.
  2. Задача синтеза САУ, в ходе решения которой по заданному переходному процессу, или по основным его показателям, требуется найти САУ, в которой данные переходные процессы могут быть реализованы.

Вторая задача значительно сложнее первой, прежде всего потому, что её решение не является однозначным.

На практике обычно считается, что определённая часть проектируемой системы уже существует и требуется выбрать структурную схему и параметры дополнительной части системы, которая позволяет получить заданный характер переходного процесса. Таким образом, рассматривается не синтез САУ в целом, а только синтез входящих в неё корректирующих устройств.

Существует несколько инженерных расчётных методов синтеза САУ, среди которых можно выделить частотный метод, метод логарифмических частотных характеристик, метод исследования распределения корней, методD-кривой и др.[4, 6]. Ниже будут рассмотрены некоторые из упомянутых методов.

8.2. Последовательное включение корректирующих устройств

При последовательном включении корректирующего звена последнее включается в структурную схему САУ следующим образом (рис. 8.1). Передаточная функция данного корректирующегоWК(p) устройства определяется исходя из требований к передаточной функции скорректированной САУ:

,                                             (8.1)

гдеWСК(p) – передаточная функция скорректированной разомкнутой системы:

.                                      (8.2)

Рис. 8.1. Последовательное включение корректирующего устройства

Обозначив , формулу (8.2) перепишем в следующем виде:

.                                          (8.3)

Выражение (8.1) в этом случае может быть записано как

.                                      (8.4)

После несложных математических преобразований получаем выражение для определенияWК(p):

.                                   (8.5)

Корректировка САУ путём включения последовательного корректирующего звена обладает следующими свойствами: 1) передаточная функция корректирующего звена определяется несложным математическим выражением (8.5); 2) в качестве корректирующего звена может быть использован пассивный элемент (например, пассивный четырёхполюсник), введение которого снижает общий коэффициент преобразования САУ. В некоторых случаях данное явление необходимо компенсировать дополнительными мерами; 3) возможности последовательной коррекции ограничены и существенного изменения качества САУ достичь невозможно.

8.3. Параллельное включение корректирующих устройств

При параллельном включении корректирующего устройства часть САУ охватывается обратной связью через корректирующее звено (рис. 8.2). Передаточная функция корректирующего звена, так же как и в предыдущем случае, определяется исходя из требуемой передаточной функции скорректированной САУ:

,                                                  (8.6)

гдеWСК(p) – передаточная функция скорректированной разомкнутой системы:

.                                               (8.7)

Рис. 8.2. Параллельное включение корректирующего устройства

Выражая из (8.6)WСК(p) и подставляя полученное выражение в (8.7), получаем уравнение

,                                        (8.8)

из которого находим передаточную функцию корректирующего устройстваWК(p):

.                           (8.9)

Обозначим , тогда последнее выражение примет следующий вид:

.                           (8.10)

Особенности параллельной коррекции САУ: 1) данная коррекция обладает большей эффективностью по сравнению с последовательной коррекцией; 2) определение передаточной функции корректирующего звена более сложное, чем при последовательной коррекции САУ; 3) отсутствует необходимость согласования корректирующего звена по мощности; 4) возможна перегрузка той части САУ, которая охвачена обратной связью; 5) параллельная коррекция позволяет исключить влияние звеньев, ухудшающих переходный процесс (звеньев с большими постоянными времени, нелинейностями и т.п.).

В табл. 8.1 приведены примеры наиболее часто встречающихся корректирующих устройств – их схемы, передаточные функции и логарифмические амплитудно-частотные характеристики.

Таблица 8.1

Примеры некоторых корректирующих звеньев

Электрическая схема

корректирующего звена

Передаточная

функция

Логарифмическая

амплитудно-частотная

характеристика

9. НЕЛИНЕЙНЫЕ САУ

9.1. Понятие нелинейных САУ и методы их исследования

К нелинейным САУ относят такие, в которых связь между входным и выходным сигналами одного или нескольких элементов задаётся нелинейными уравнениями. В общем случае любая САУ является нелинейной вследствие наличия в ней различного рода люфтов, трения, гистерезиса и т.п., т. е. таких явлений, которые не могут быть математически описаны линейными дифференциальными уравнениями. Если влияние данных явлений несущественно, тогда, как было показано в п. 2.2, исходное нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее динамику САУ, можно линеаризовать. Однако на практике приходится иметь дело с САУ, имеющими существенные нелинейные характеристики, которые влияют на динамические свойства САУ в целом.

В нелинейных САУ протекают процессы, нехарактерные для линейных САУ. Как следствие, исследование этих процессов требует особого подхода. Например, к нелинейным САУ неприменим метод наложения, дающий возможность определить процессы в САУ, происходящие под воздействием отдельных возмущений. Понятие устойчивости для нелинейных систем расширяется и усложняется – одна и та же нелинейная система в зависимости от вида и параметров возмущения может быть устойчивой либо неустойчивой.

Нелинейные САУ предполагают наличие в них одного или нескольких нелинейных элементов (звеньев), под которым принято понимать следующее.

Нелинейный элемент (звено) – устройство, у которого статические характеристики в рабочем диапазоне существенно нелинейны. Характеристики большинства нелинейных элементов, с которыми приходится иметь дело на практике, можно разделить на две группы: 1) нелинейные однозначные характеристики; 2) нелинейные неоднозначные характеристики. Виды данных характеристик представлены в табл. 9.1.

Как правило, любая нелинейная САУ может быть представлена следующей структурной схемой (рис. 9.1). Для аналитического описания САУ необходимо знать характеристику связи между входом и выходом нелинейного звена. Данная характеристика может быть задана в виде аналитической, графоаналитической или чисто графической зависимости.

Рис. 9.1. Структурная схема нелинейной САУ

Наличие нелинейных зависимостей в САУ требует применения для их описания нелинейных дифференциальных уравнений, порядок которых может быть достаточно высок. Большинство таких уравнений в общем виде не решается. Поэтому при исследовании нелинейных систем большую роль играют различного рода приближённые методы, которые позволяют ответить на ряд вопросов, среди которых вопросы устойчивости САУ, наличия в них автоколебаний и т.п.

Наиболее существенными из существующих методов исследования нелинейных САУ могут быть выделены следующие [6]:

1) фазовый метод;

2) частотно-амплитудный метод;

3) графоаналитический метод.

Ниже будет рассмотрен фазовый метод исследования нелинейных САУ.

Таблица 9.1

Типовые характеристики нелинейных элементов

Вид нелинейности

Название

нелинейности

Связь

между входом и выходом

Однозначные характеристики

Нечувстви-

тельность

Ограничение

(насыщение)

Релейная обычная

Неоднозначные характеристики

Зазор

(гистерезис)

Релейная

с гистерезисом

Рис. 9.2. Фазовое пространство: М – изображающая точка САУ

9.2. Фазовый метод исследования нелинейных САУ

Фазовый метод предполагает использование понятия фазового пространства, под которым понимается многомерное пространство, по координатным осям которого откладываются значение какой-либо переменной, скорости её изменения и ускорений соответствующих порядков. Обычно в роли такой переменной выступает отклонение регулируемой величины. Состояние САУ при этом может рассматриваться как некоторая точка в фазовой плоскости, которую принято называть изображающей точкой (рис. 9.2). При изменении состояния САУ меняется и положение изображающей точки в фазовом пространстве. Траектория перемещения изображающей точки называется фазовой траекторией.

Располагая фазовыми траекториями, построенными тем или иным путём, можно судить о характере переходного процесса в нелинейной системе. В табл. 9.2. приведены примеры фазовых пространств и соответствующие им переходные процессы для нелинейных САУ, по характеру которых можно судить о качестве САУ в целом.

Таблица 9.2

Примеры фазовых пространств и соответствующих им переходных процессов

Изображение переходного процесса на фазовом пространстве

Характер переходного процесса

1

Затухающий колебательный переходный процесс

2

Расходящийся колебательный переходный процесс

Окончание табл. 9.2

3

Незатухающий колебательный переходный процесс

10. РЕГУЛЯТОРЫ И МИКРОПРОЦЕССОРНЫЕ САУ

10.1. Понятие о промышленных регуляторах

Функциональная схема обобщённой САУ (рис. 1.1.) может быть также представлена в следующем виде (рис. 10.1), при этом в неё будут входить следующие элементы: ЗУ –задающее устройство;Рег – регулятор;У – усилительное устройство;ИсУ– исполнительное устройство;ОбУ – объект управления;ОС –датчик обратной связи. При этомУ,ИсУ иОбУ  образуют вместе так называемую силовую часть САУ, которая содержит в себе элементы и цепи, непосредственно участвующие в преобразовании одного вида энергии в регулируемую энергию другого вида, называемую технологической энергией.ЗУ,Рег иОС образуют вместе систему управления, содержащую в себе узлы и функциональные элементы, вырабатывающие сигналы управления для того, чтобы силовая часть САУ функционировала нужным образом.

Рис. 10.1. Функциональная схема САУ

Состояние объекта управленияОбУ определяется некоторой управляемой величинойy(t), в общем случае таких величин может быть несколько. Значениеy(t) под действием помехиf(t) и нагрузкиg(t) постоянно отклоняется от своего заданного значенияyЗ(t), которое вырабатывается задающим устройствомЗУ. Для поддержания заданного значенияy(t) САУ вырабатывает управляющее воздействиеyи(t), которое реализуется с помощью исполнительного устройстваИсУ. В свою очередь величинаyи(t) определяется сигналом усилительного устройстваyу(t), который вырабатывается на основании сигнала, поступающего с регулятораРегyр(t). Как было сказано в п. 1.1, регулятором называется устройство, преобразующее сигнал рассогласования:

,                                               (10.1)

в управляющее воздействиеyр(t)по некоторому алгоритму:

,                                                  (10.2)

гдеА – некоторый оператор, преобразующий сигнал рассогласования в выходной сигнал регулятораyр(t). В зависимости от вида оператораА различают следующие виды регуляторов.

10.2. Пропорциональный регулятор (П-регулятор)

Пропорциональный регулятор (П-регулятор) – это регулятор, преобразующий сигнал рассогласования в управляющий сигнал по следующему закону:

,                                                   (10.3)

гдеkр – коэффициент усиления регулятора. Передаточная функция регулятора, получаемая на основании (10.3), будет иметь следующий вид:

.                                              (10.4)

Таким образом, в данном случае регулятор представлен безынерционным (усилительным) звеном (см. п. 5.2).

Ошибка САУ, в состав которой входит П-регулятор, определяется по формуле (3.24)

,                                       (10.5)

гдеW1(p) – передаточная функция той части САУ, которая охвачена обратной связью. ПроизведениеWОС(p)W1(p) может быть также представлено как

,                                          (10.6)

гдеА1(p),А2(p) – некоторые полиномы,k – коэффициент усиления САУ, который запишем следующим образом:

.                                                       (10.7)

В выражении (10.7)kркоэффициент усиления П-регулятора;kО – коэффициент усиления, определяемый остальными звеньями, входящими в состав САУ. Если рассматривать установившийся режим работы САУ, что соответствуетt иp0, в этом случае полиномыА1(p),А2(p) в пределе будут равны единице. Тогда (10.5), после применения к нему обратного преобразования Лапласа, примет следующий вид:

.                                              (10.8)

Таким образом, как следует из (10.8), пропорциональное регулирование уменьшает установившиеся ошибки в объекте управления в   раз, но при этом в любой момент времени установившаяся ошибка САУ будет отлична от нуля.

Достоинствами рассмотренного выше регулятора являются его простота и высокое быстродействие, недостатком – наличие в установившемся режиме ошибки управления.

10.3. Интегральный регулятор (И-регулятор)

Интегральный регулятор – это регулятор, преобразующий сигнал рассогласования в управляющий сигнал по следующему закону:

,                                                   (10.9)

при этом сигнал на выходе регулятораyр(t) будет пропорционален интегралу от сигнала ошибкиy(t).  Передаточная функция регулятора, получаемая на основании (10.9), будет иметь следующий вид:

.                                             (10.10)

В данном случае регулятор представлен интегрирующим (астатическим) звеном (см. п. 5.5).

Ошибка САУ, в состав которой входит интегральный регулятор, так же как и в случае с П-регулятором, может быть определена по (3.24). При этом произведениеWОС(p)W1(p), входящее в его состав, будет иметь следующий вид:

.                                  (10.11)

ЗдесьK(p) – полином, определяемый как

.                                                       (10.12)

Учитывая вышесказанное, выражение (3.24) для САУ, в состав которой включён интегральный регулятор, примет следующий вид:

,                                       (10.13)

При установившемся режиме работы САУ, когдаp=0,Y(p) также будет равно нулю, следовательно, будет равна нулю и статическая ошибка системыyУСТ.

Достоинством И-регулятора является отсутствие статической ошибки, недостатком – невысокое по сравнению с П-регулятором быстродействие.

10.4. Изодромный регулятор (ПИ-регулятор)

Изодромный регулятор (ПИ-регулятор) – регулятор, преобразующий сигнал рассогласования в управляющий сигнал по пропорциональному и интегральному законам:

.                                     (10.14)

Передаточная функция изодромного регулятора, получаемая на основании (10.14), будет иметь следующий вид:

.                                     (10.15)

Рис. 10.2. Передаточная функция изодромного регулятора

Полученной передаточной функции (10.15) соответствует следующая структурная схема (рис. 10.2), в состав которой входят параллельно включённые пропорциональный и интегральный регуляторы. Данный регулятор сочетает в себе достоинства входящих в него регуляторов: высокую точность интегрального регулятора и высокое быстродействие пропорционального регулятора. При появлении сигнала ошибки в первые моменты времени основная роль в обработке сигналаy(t) принадлежит пропорциональному каналу регулятора – производится «грубая» обработка сигналаy(t). По прохождению некоторого интервала времени начинает проявляться действие интегрального канала регулятора, производящего «шлифовку» процесса преобразования сигналаy(t) вyР(t), что обеспечивает в целом снижение ошибки.

10.5. Пропорционально-интергрально-дифференциальный

регулятор (ПИД-регулятор)

Пропорционально-интегрально-дифференциальный регулятор (ПИД-регулятор) – регулятор, преобразующий сигнал рассогласования в управляющий сигнал согласно следующему закону:

.                            (10.16)

Передаточная функция ПИД-регулятора, получаемая на основании уравнения (10.16), будет иметь следующий вид:

.                                           (10.17)

Полученной передаточной функции (10.17) соответствует следующая структурная схема регулятора (рис. 10.3), представляющая собой параллельное соединение усилительного, интегрирующего и дифференцирующего звеньев.

Рис. 10.3. Передаточная функция ПИД – регулятора

Введение в структуру регулятора дифференцирующего звена позволяет увеличивать скорость преобразования сигнала ошибкиy(t) в выходной сигнал регулятораyР(t), при этом происходит повышение быстродействия САУ в целом, что приводит к снижению ошибок в динамике.

В общем случае закон регулирования (10.16) может быть более сложным, поскольку для улучшения динамических свойств САУ в него могут вводиться производные от ошибки более высоких порядков (вторая, третья и т.д.), однако техническая реализация такого закона регулирования в настоящее время имеет некоторые трудности.

10.6. Примеры конструктивной реализации регуляторов

Рис. 10.4. Условно-графическое обозначение операционного усилителя

В данном параграфе рассматриваются примеры реализации рассмотренных выше регуляторов на основе операционных усилителей (рис. 10.4). Под операционным усилителем понимают усилитель постоянного тока с большим коэффициентом усиления (105-106). Выполняются операционные усилители в виде интегральных микросхем. Название «операционный усилитель» связано с первоначальным применением таких усилителей для выполнения математических операций (сложения, вычитания, интегрирования…) над аналоговыми сигналами. Операционный усилитель имеет два входа (прямой и инверсный) и один выход.

Пример 1. П-регулятор на основе операционного усилителя.

Рассмотрим схему на основе операционного усилителя (рис. 10.5). Для узлаА по первому закону Кирхгофа запишем уравнение

.                                                     (10.18)

Учитывая, что , а , и применяя к (10.18) преобразование Лапласа, перепишем его в следующем виде:

.                                            (10.19)

Используя полученное выражение, найдём передаточную функцию для рассматриваемой схемы:

 .                                        (10.20)

Учитывая, чтоR1 иR2 константы, (10.20) запишется как

,                                         (10.21)

где

                                                  (10.22)

– коэффициент усиления усилителя. Знак «–» в выражении дляk говорит о том, что напряжения на входе и выходе усилителя будут иметь противоположные знаки. Поэтому рассмотренный выше усилитель (рис. 10.5) называется инвертирующим усилителем.

Если необходимо совпадение полярности напряжения на входе и выходе усилителя, в этом случае могут применять неинвертирующий усилитель (рис.10.6).

Рис. 10.5. Схема инвертирующего усилителя

Рис. 10.6. Схема неинвертирующего усилителя

Проводя аналогичные рассуждения, найдём передаточную функцию для рассматриваемого усилителя, которая будет иметь вид (10.21). При этом коэффициент усиленияk для неинвертирующего усилителя определяется следующим образом:

.                                                (10.23)

Как следует из (10.22) и (10.23), коэффициенты рассмотренных выше усилителей определяются соотношением значенийR1 иR2, которые выбираются таким образом, чтобы обеспечить заданное значениеk. В свою очередь, величинаk подбирается таким образом, чтобы обеспечить заданные динамические показатели САУ (точность, быстродействие, устойчивость…).

Пример 2. ПИ-регулятор на основе операционного усилителя.

Рассмотрим схему на основе операционного усилителя, выполняющую интегрирование функции входного сигнала (рис. 10.7). Для узлаА по первому закону Кирхгофа запишем уравнение

Рис.10.7. Интегратор на основе операционного усилителя

.                   (10.24)

Учитывая, что , а , и применяя к (10.24) преобразование Лапласа, перепишем полученное выражение в следующем виде:

.         (10.25)

Используя (10.25), найдём передаточную функцию для рассматриваемой схемы интегратора:

,                                        (10.26)

гдеT1=R1C1 – константа, называемая постоянной времени. Знак «–» в выражении (10.26) говорит о том, что напряжения на входе и выходе усилителя будут иметь противоположные знаки.

Полученный вид передаточной функции (10.26) соответствует передаточной функции интегрирующего (астатического) звена (5.36) с коэффициентом усиленияka=1.

С помощью полученной схемы интегратора (рис. 10.7) существует возможность реализации изодромного регулятора (п. 10.4), который будет иметь схему, изображённую на рис. 10.8. Этой схеме будет соответствовать структурная схема (рис.10.9), совпадающая со структурной схемой изодромного регулятора (рис. 10.2). В структурной схеме на рис. 10.9kП определяется согласно (10.23):

.                                                     (10.27)

Рис. 10.8. Схема изодромного регулятора на основе операционных усилителей

В свою очередь,kИ определится согласно (10.22) следующим образом:

.                                                       (10.28)

Рис. 10.9. Структурная схема изодромного регулятора на операционных усилителях

10.7. Основные требования, предъявляемые к современным САУ

К современным САУ предъявляются следующие основные требования:

1) простота и удобство использования – предполагается, что освоение и использования современных САУ могут проводиться без привлечения высококвалифицированных специалистов, при этом сроки обучения персонала, занимающегося эксплуатацией данных САУ, должны быть минимальными;

2) гибкость САУ – предполагает их способность к модернизации. В процессе эксплуатации свойства объекта управления изменяются, при этом показатели качества САУ (точность, быстродействие, устойчивость…) также подвержены изменению. Возможны ситуации, когда эти показатели качества достигнут таких значений, при которых дальнейшая эксплуатация САУ может оказаться недопустимой. Для сохранения заданных показателей качества САУ при изменении свойств объекта управления необходимо наличие технических возможностей, позволяющих вносить поправки в настройки САУ. Кроме этого, САУ должна иметь техническую возможность быстрой перенастройки на новый алгоритм работы;

3) надёжность САУ – под надёжностью принято понимать свойства САУ сохранять во времени, в установленных пределах значения всех показателей качества, характеризующих способность САУ  выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения;

4) живучесть САУ – термин «живучесть» имеет более широкое понятие, чем термин «надёжность». Живучесть предполагает сохранение работоспособности САУ не только в нормальных условиях эксплуатации, но и при внешних аварийных воздействиях. При этом допускается некоторое ухудшение качества управления. Живучесть систем обычно обеспечивается введением резервирования, диагностирования и тестирования, правильным построением структуры и изысканием более надёжных методов измерения и управления;

ЗначенияR1 иС1 можно подобрать таким образом, чтобы постоянная времениT1=R1C1 была равна единице.

5) экономичность САУ – предполагает привлечение малых капитальных вложений на разработку, монтаж и запуск САУ, а также малых эксплуатационных расходов.

В п. 10.6 рассматривались примеры реализации элементов САУ, в частности регуляторов с использованием микросхем малой степени интеграции – операционных усилителей. Достоинствами такого подхода являются простота разработки и настройки системы управления, а также её низкая стоимость. К недостатком данного подхода следует отнести невысокую гибкость САУ. Кроме этого, в связи с тем, что в последнее время круг решаемых системой управления задач постоянно увеличивается и в число таких задач включаются, например, задачи, связанные с самонастройкой, диагностикой и т.п., использование микросхем малой степени интеграции становится нецелесообразным, поскольку начинает увеличиваться сложность системы управления и время их разработки.

Изложенным выше требованиям наиболее полно удовлетворяют САУ, построенные на основе микросхем большой степени интеграции, в частности на основе микропроцессоров, которые входят в состав любой ЭВМ. Под микропроцессором будем понимать следующее.

Микропроцессор – устройство, выполняющее заданные программой преобразования информации и осуществляющее управление всем вычислительным процессом и взаимодействием агрегатов вычислительной системы.

ЭВМ имеют большие возможности по сравнению со средствами аналоговой и цифровой техники малой степени интеграции. Появление ЭВМ привело к возможности появления САУ, реализующих более сложные функции управления и обладающих более высокими степенями надёжности, гибкости, живучести.

10.8. Структура САУ на основе ЭВМ

Функциональная схема САУ на основе ЭВМ будет иметь следующий вид (рис. 10.10). Силовая часть таких САУ остаётся без изменения, а их система управления имеет следующие особенности:

1) все сигналы, принимаемые ЭВМ для обработки (в данном случае это  и ), а также сигналы, исходящие от ЭВМ (в данном случае это сигнал ), представляют собой двоичный код – некоторую последовательность «нулей» и «единиц». Подобного рода сигналы называются цифровыми.

Цифровой сигнал – дискретный сигнал, в котором значениям параметра соответствуют определённые кодовые слова, образующие последовательность знаков.

Дискретный сигнал – сигнал, информационные параметры которого могут принимать только некоторые из конечной совокупности значений.

Все сигналы силовой части являются непрерывными функциями времени, или аналоговыми сигналами. Под термином «аналоговый сигнал» в общем случае принято понимать следующее.

Аналоговый сигнал – сигнал, информационные параметры которого могут принимать в определённых пределах любые значения.

Цифровые сигналы, которые использует ЭВМ, и аналоговые сигналы силовой части САУ необходимо каким-то образом согласовывать. Для этих целей используют следующие устройства:

цифроаналоговый преобразователь (ЦАП) – устройство, обеспечивающее аналоговое представление цифрового сигнала;

аналого–цифровой преобразователь (АЦП) – устройство, обеспечивающее цифровое представление аналогового сигнала.

Рис. 10.10. Функциональная схема микропроцессорной САУ

Рис. 10.11. Алгоритм управляющей программы для САУ на основе ЭВМ

В случаях, когда в качестве датчиков обратной связи применяются так называемые цифровые датчики, которые преобразуют значения измеряемой величины непосредственно в цифровой сигнал, необходимость в АЦП отсутствует. Также существуют случаи, когда нет необходимости в применении ЦАП;

2) применение ЭВМ предполагает появление другой обязательной составляющей – программы, без которой ЭВМ не может функционировать:

программа – алгоритм преобразования данных в форме последовательности команд для ЭВМ;

команда – указание, определяющее один шаг в общем процессе выполнения программы.

Примерный алгоритм программы для ЭВМ САУ представлен на рис. 10.11. После начала работы производится ввод заданного значения управляемой величины . Ввод этого значения производится из памяти ЭВМ САУ или от какой-либо внешней управляющей ЭВМ более высокого уровня. Далее производится чтение сигналов с датчиков обратной связи , после чего вычисляется значение сигнала рассогласованияyi, на основании которого формируется сигнал регулятора . ЗдесьА,  также как и в выражении (10.2), – некоторый оператор, преобразующий сигнал рассогласования в выходной сигнал :  может формироваться по закону (10.3), тогда ЭВМ будет выполнять функцию П-регулятора,  может формироваться по закону (10.16), тогда ЭВМ будет выполнять функцию ПИД-регулятора,  может формироваться по более сложному закону, чем (10.16).

Программное обеспечение для ЭВМ САУ, кроме вышерассмотренной функции, – формирование выходного сигнала  на основании сигнала рассогласованияyi может также выполнять формирование этого сигнала , например, с учётом изменяющихся условий функционирования объекта управления, учитывать изменение параметров объекта управления, которые происходят в процессе его эксплуатации, и формировать сигнал  с учётом этих изменений для сохранения заданных показателей качества функционирования САУ и т.п. САУ на основе ЭВМ могут быть легко перенастроены для решения другой задачи. Для этого необходима смена только программного обеспечения, вся аппаратная часть при этом остаётся без изменения.

Таким образом, применение ЭВМ в САУ увеличивает их гибкость и расширяет их возможности. При этом САУ на основе ЭВМ могут решать задачи, не только связанные с регулированием объекта управления (стабилизация, слежение, программное управление), но и связанные с адаптивным управлением (самоорганизующиеся, самонастраивающиеся, самообучающиеся…). Производительность микропроцессоров, выпускаемых ведущими мировыми фирмами, постоянно растёт, при этом цены на них сохраняются относительно невысокими. Эти обстоятельства и объясняют всё более широкое применение в последнее время ЭВМ в САУ.

10.9. Структура современной ЭВМ

ЭВМ, вне зависимости от области её применения, имеет структуру (рис. 10.12), содержащую следующие основные элементы.

Микропроцессор (МП) – устройство, выполняющее заданные программой преобразования информации и осуществляющее управление всем вычислительным процессом и взаимодействием агрегатов вычислительной системы.

Запоминающее устройство (ЗУ) – изделие, реализующее память. В свою очередь, в ЗУ выделяют оперативное запоминающее устройство (ОЗУ) и постоянное запоминающее устройство (ПЗУ):

оперативное запоминающее устройство (ОЗУ) – ЗУ с изменяемым в процессе выполнения программы содержимым памяти;

постоянное запоминающее устройство (ПЗУ) – ЗУ с неизменным содержимым памяти.

Устройства ввода–вывода (в общем случае их может быть несколько) – среди данных устройств можно выделить устройства, осуществляющие только ввод или только вывод данных и управляющих сигналов:

Рис. 10.12. Функциональная схема ЭВМ: МП – микропроцессор; ЗУ – запоминающее устройство; ПЗУ – постоянное запоминающее устройство; ОЗУ – оперативное запоминающее устройство; ШД – шина данных; ША – шина адреса; ШУ – шина управления; Г – генератор тактовых импульсов

устройства ввода – устройства, обеспечивающие ввод данных и управляющих сигналов в удобной для некоторого внешнего устройства (или человека) форме и осуществляющие преобразования этих данных в двоичный код. Примерами таких устройств могут быть клавиатура, манипулятор «мышь», датчики обратной связи, АЦП, …;

устройства вывода – устройства, обеспечивающие обратное преобразование. В качестве таких устройств могут выступать монитор, принтер, звуковые колонки, ЦАП, … .

Существуют устройства, способные как вводить, так и выводить информацию, например некоторые виды мониторов, устройства внешней памяти (жёсткий диск,CDROM,Flash – память…).

Все рассмотренные устройства соединяются друг с другом сигнальными проводами, совокупность которых называется шиной. В зависимости от назначения шин различают следующие их виды:

шина данных (ШД) – шина, предназначенная для обмена данными между микропроцессором и устройствами, входящими в состав ЭВМ;

шина адреса (ША) – шина, предназначенная для выбора микропроцессором периферийного устройства или ячейки памяти, между которыми будет осуществляться обмен данными;

шина управления (ШУ) –  шина, предназначенная для передачи команд от микропроцессора к выбранному устройству. Каждая команда, передаваемая процессором выбранному устройству, несёт в себе информацию о предстоящем характере обмена данными между микропроцессором и выбранным устройством. Например, команда «чтение» говорит о том, что процессор будет принимать данные от выбранного устройства, команда «запись» говорит о том, что в выбранное устройство будут переданы данные, которые необходимо принять.

Работа ЭВМ заключается в упорядоченном извлечении микропроцессором из памяти команд и их последующем выполнении. Сама последовательность команд, совокупность которых представляет собой программу, формируется программистом в зависимости от характера задачи, которую предстоит решать с помощью ЭВМ. Среди выполняемых микропроцессором команд может быть, например, команда записи данных из микропроцессора в некоторую ячейку памяти. Для выполнения этой команды микропроцессор должен выставить данные, подлежащие записи на ШД, на ША микропроцессор при этом выставляет адрес ячейки памяти, в которую будет осуществляться запись, на ШУ выставляется команда «запись», которая говорит о том, что ячейка памяти, адрес которой находится на ША, должна принять данные с ШД. Подобным образом будет происходить и обратный процесс – чтение данных из выбранной ячейки памяти, но при этом на ШУ микропроцессор выставляет команду «чтение», на ШД появляются данные, содержащиеся в выбранной ячейке памяти, которые и принимает микропроцессор. Аналогичным образом будет происходить обмен данными и с различными периферийными устройствами, которые входят в структуру рассматриваемой ЭВМ.

Для создания программ используются специализированные языки программирования. Выбор языка программирования зависит от многих факторов, в число которых могут входить характер решаемой задачи, модель используемого в ЭВМ микропроцессора и т.п. Но рассмотрение разновидностей и особенностей языков программирования, так же как и более детальное рассмотрение процесса взаимодействия устройств, входящих в структуру ЭВМ, выходит за рамки данного учебного пособия.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

  1. Аверьянов Г.С., Куденцов В.Ю., Яковлев А.Б. Теория автоматического управления и регулирования: Учеб. пособие. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2005. – 168 с.
  2. Андрющенко В.А. Теория систем автоматического управления: Учеб. пособие. – Ленинград: Изд-во Ленинградского университета, 1990. – 256 с.
  3. Автоматика электрических станций и электрических систем / Под. ред. А.Ф. Дьякова. М.: НЦ ЭНАС, 2001. – 504 с.
  4. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. – М.: Наука, 1975. – 769 с.
  5. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. – М.: Высш. школа, 2002. – 840 с.
  6. Егоров К.В. Основы теории автоматического регулирования. – М.: Энергия, 1967. – 648 с.
  7. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учеб. пособие: В 3 т / Под ред. Н.Д. Егупова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.
  8. Микропроцессорные системы автоматического управления / В.А. Бесекерский, Н.Б. Ефимов, С.И. Зиатдинов и др.; Под общ. ред. В.А. Бесекерского. – Л.: Машиностроение. Ленингр. отделение, 1988. – 365 с.
  9. Микропроцессорные автоматические системы регулирования: Учеб. пособие  / Под ред. В.В. Солодовникова. – М.: Высш. шк., 1991. – 256 с.
  10. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического управления и регулирования. – М.: Наука, 1989. – 360 с.
  11. Сапаров В.Е., Максимов Н.А. Системы стандартов в электросвязи и радиоэлектронике: Учеб. пособие для вузов. – М.: Радио и связь, 1985. – 248 с.
  12. Солодовников В.В. Основы теории и элементы систем автоматического электропривода. – М.: Машиностроение. 1985. – 535 с.
  13. Теория автоматического управления / Под ред. Ю.М. Соломенцева. – М.: Высш. школа, 2000. – 268 с.
  14. Трофимов А.И., Егупов Н.Д., Дмитриев А.Н. Методы теории автоматического управления, ориентированные на применение ЭВМ. Линейные стационарные и нестационарные модели. – М.: Энергоатомиздат, 1997. – 656 с.
  15. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем: Учеб. пособие.  – М.: Наука, 1977. – 560  с.
  16. ГОСТ 24.104–85 «Единая система стандартов автоматизированных систем управления. Автоматизированные системы управления. Общие требования». – М.: Гос. ком. СССР по стандартам, 1985. – 24 с.
  17. ГОСТ 24.701–86 «Единая система стандартов автоматизированных систем управления. Надёжность автоматизированных систем управления. Общие положения». – М.: Гос. ком. СССР по стандартам, 1986. – 20 с.
  18. ГОСТ 24.702–85 «Единая система стандартов автоматизированных систем управления. Эффективность автоматизированных систем управления. Основные положения». – М.: Гос. ком. СССР по стандартам, 1985. – 8 с.
  19. ГОСТ 24.703–85 «Единая система стандартов автоматизированных систем управления. Типовые проектные решения в АСУ. Основные положения». – М.: Гос. ком. СССР по стандартам, 1985. – 6 с.
  20. ГОСТ 34.003–90 «Информационная технология. Комплекс стандартов на автоматизированные системы. Автоматизированные системы. Термины и определения». – М.: Гос. ком. СССР по стандартам, 1990. – 24 с.
  21. ГОСТ 34.201–89 «Информационная технология. Комплекс стандартов на автоматизированные системы. Виды, комплектность и обозначение документов при создании автоматизированных систем». – М.: Ком. станд. и метрологии СССР, 1989.– 15 с.
  22. ГОСТ 34.601–90 «Информационная технология. Комплекс стандартов на автоматизированные системы. Автоматизированные системы. Стадии создания». – М.: ИПК изд-во стандартов, 1990. – 11 с.

Рис. П.1. Функциональная схема САУ регулирования температуры печи

Рис. П.2. Функциональная схема САУ регулировки уровня заполнения изложницы расплавленным металлом

Редактор Т.А. Москвитина

Компьютерная верстка О.Г. Белименко

ИД № 06039 от 12.10.2001

Свод. темплан 2006 г.

Подписано в печать 04.05.06. Формат 60х841/16. Отпечатано на дупликаторе.

Бумага офсетная. Усл. печ. л. 6. Уч.-изд. л. 6. Тираж 150 экз. Заказ 414.

Издательство ОмГТУ. Омск, пр. Мира, 11. Т. 23-02-12

Типография ОмГТУ


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71676. ОЧЕРКИ ПО ТЕОРИИ И ПРАКТИКЕ ДИЗАЙНА НА ЗАПАДЕ 823.5 KB
  Дизайн в моде, о нем написано много и напишут еще больше. Вполне понятно, на глазах одного поколения возникла и утвердилась новая профессиональная деятельность, которую нужно как-то осмыслить. Сначала писали о терминах, о том, что английское «design» — производное от итальянского «disegno»...
71677. ИНФОРМАТИКА: КОМПЬЮТЕРНЫЙ ПРАКТИКУМ: «WORD 2007, EXCEL 2007» 7.88 MB
  Цель данного пособия - объяснить студентам, а также всем интересующимся основы работы в текстовом и табличных процессорах Microsoft Word и Microsoft Excel 2007. Необходимость написания данной работы возникла в связи с появлением нового поколения программных продуктов корпорации Microsoft.
71678. Религиоведение: Учебное наглядное пособие 613 KB
  Цели задачи и практическое предназначение курса Основные понятия религиоведения Понятие бытия и человека в христианской религии Основные этапы становления религиоведения как науки Происхождение и ранние формы религии Предпосылки религиозности и формирования религиозных институтов.
71679. Заполнение таблиц MS EXEL данными и формулами 31.62 KB
  Выполнить задание 1 (Формирование структуры таблицы и заполните ее постоянными значениями), используя технологию выполнения операций в конце задания Выполнить задание 2 Технология работы с формулами на примере подсчета количества разных оценок в группе в экзаменационной...
71680. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ В МАШИНЕ АТВУДА 78.94 KB
  Цель работы: изучение вращательного и поступательного движений на машине Атвуда, определение момента инерции блока и момента сил трения в оси блока. Описание установки и её назначение. Машина Атвуда является настольным прибором, ее изображение приведено на рис. 3.1. На вертикальной стойке...
71682. Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую 259 KB
  Цель работы. Изучение методов и отработка навыков перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую. Количество различных цифр используемых в позиционной системе определяет название системы счисления и называется основанием -ой системы счисления.
71683. Осциллограф, знакомство с прибором, приобретение практических навыков применения 202.46 KB
  Цель работы: изучить устройство осциллографа, научиться работать с ним. Приборы и инструменты: осциллограф, генератор электрических сигналов, полигон для сборки схем. Схема установки(передняя панель осциллографа): Результаты измерений: 1) Задание 6. Знакомство с режимом
71684. Определение иэффективности теплового насоса 25.5 KB
  Цель работы: определить эффективность работы теплового насоса в зависимости от температур двух резервуаров энергии: низкопотенциального и высокопотенциального. Изучить функцию и принцип работы расширительного клапана теплового насоса.