99652

Имитация равномерно распределенной на 0,1 случайной величины

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Построение имитационных моделей требует использования случайных величин с заданным законом распределения. Особое место занимает случайная величина, имеющая равномерное распределения на отрезке 0, 1. На ее основе можно получить величину, имеющею любой заданный закон распределения.

Русский

2016-10-04

118.5 KB

0 чел.

Лабораторная работа № 1

Имитация равномерно распределенной на [0,1] случайной величины

Целью работы является практическое освоение методов имитации и анализа псевдослучайных равномерно распределенных на [0, 1] чисел на компьютере.

Построение имитационных моделей требует использования случайных величин с заданным законом распределения. Особое место занимает случайная величина, имеющая равномерное распределения на отрезке [0, 1]. Во-первых, на ее основе можно получить величину, имеющею любой заданный закон распределения. Во-вторых, диапазон изменения такой величины совпадает с возможными значениями вероятности. В-третьих, множество чисел, заключенных между 0 и 1, несчетно и бесконечно, и никакой перечень действительных чисел из заданного интервала не исчерпает этого множества. И, наконец, имеется компактный и быстрый алгоритм имитации такой величины.

Метод вычетов - один из основных методов, используемых для имитации равномерно распределенных на [0, 1] случайных величин. В литературе можно встретить и другие названия - метод Лемера или конгруэнтный метод, так как в основе лежит математическое понятие сравнения.

Два целых числаa иb  сравнимы по модулюm, если они дают одинаковые остатки при делении наm:

a =b[modm]

Например:317 =7[mod 5]

Указанную запись можно прочесть также и следующим образом: числоa, есть вычет числаb  по модулюm.

Обозначим черевγ  равномерно распределенную величину на интервале [0, 1].

Пустьx0 иm - целые числа, иx0 взаимно просто сa .

Еслиγ0=x0/m - несократимая дробь, то всеγi будут несократимыми дробямиγi=xi/m, где числителиxi определяются формулой

xi =axi-1[modm]

Пример.

Имеем следующие начальные условия:m = 7,x0=1,a = 3. Генерируем последовательностьγi :

γ0 =x0/m=1/7;

x1 =ax0[mod m] = 3·1 [mod 7] = 3,γ1 = 3/7;

x2 =ax1[mod m] = 3·3 [mod 7] = 2,γ2 = 2/7;

x3 =ax2[mod m] = 3·2 [mod 7] = 6,γ3 = 6/7;

x4 =ax3[mod m] = 3·6 [mod 7] = 4,γ4 = 4/7;

x5 =ax4[mod m] = 3·4 [mod 7] = 5,γ5 = 5/7;

x6 =ax5[mod m] = 3·5 [mod 7] = 1,γ6 = 1/7;

x7 =ax6[mod m] = 3·1 [mod 7] = 3,γ7 = 3/7;

Из примера видно, что, начиная с какого-то числа (в нашем случаеγ6 =γ0), возникает повторение ранее генерированных чисел. Период приблизительно определяется значением модуля.Оценка отрезка апериодичности может быть произведена по формуле

,

гдеM[L] - математическое ожидание отрезка апериодичности;N - количество чисел в данном конечном множестве (может оцениваться модулемm).

Полученные числа, учитывая их периодичность, называютпсевдослучайными. В одной задаче можно использовать совокупность чисел до первого повтора.

После получения псевдослучайных чисел необходимо произвести с помощью специальных тестов проверку их качества, т.е. ответить на два вопроса: действительно ли последовательность полученных чисел выглядит случайной и имеет равномерный закон распределения с параметрами 0 и 1. Такая проверка носит статистический характер, и для проверки «случайности» можно использовать критерий серий, а для проверки  «равномерности» - известные статистические критерии согласия (критерий  или  критерий Колмогорова). Для визуального контроля результатов моделирования можно построить гистограмму и график эмпирической плотности распределения.

Графики функции распределения и плотности, соответствующие равномерному распределению с вышеуказанными параметрами, представлены ниже.

Для построениягистограммы интервал изменения данных, в данном случае [0,1], делится на несколько непересекающихся интервалов равной ширины. Количество разбиенийk зависит от объема выборки, и может быть оценено по одной из формул:  или . Обычно используют нечетное число разбиений от 5 до 20. Для каждого интервала подсчитывают частоту попаданий. Гистограмму можно построить как столбиковую диаграмму с высотой столбиков, равной относительной частоте попаданий в интервал. График эмпирической функции распределения может быть получен так же, если использовать накопленную относительную частоту (высоту столбиков).

Многие популярные программные пакеты имеют средства для визуализации данных и для проведения статистического анализа. Так вMicrosoft Excel помимо встроенных статистических функций можно воспользоваться надстройкойXLSTAT (Addinsoft), которая может быть вызвана из пункта меню «Анализ данных».

x

частота

F(x)

0

0

0,00

0,1

9

0,09

0,2

11

0,20

0,3

9

0,29

0,4

11

0,40

0,5

7

0,47

0,6

15

0,62

0,7

8

0,70

0,8

9

0,79

0,9

8

0,87

1

13

1,00

рис.1  Гистограмма

и эмпирическая функция распределения, построенные вMSExcel

В программеMatlab возможно наложение на гистограмму кривой теоретической функции плотности.

Для проверки на «случайность» возможно использованиекритерия серий.H0: последовательность наблюдений образует случайную выборку.H1 состоит в отрицании нулевой гипотезы. Если последовательность чиселx1,x2,…,xnносит случайный характер, то и последовательность знаков разностей ,или  будет случайной. Серией называется последовательность одинаковых знаков. В качестве статистики критерияt используется количество серий. В качестве критических границ используются границы доверительного интервала количества серий в выборке данного объема , где , ,n(+),n(-) > 20, ,F – функция стандартного нормального распределения. Н0 принимается, если количество серий попадает внутрь интервала.

Для проверки соответствия данных некоторому закону распределения можно использоватькритерий χ2.Н0:в основе выборки лежит равномерное распределение с параметрами (0, 1).H1: выборка принадлежит к неизвестному распределениюF(x).

В основе лежит сравнение эмпирического распределения выборки, выраженного абсолютными частотами сгруппированного ряда измерений, с гипотетическим теоретическим распределением соответствующей генеральной совокупности.

Различие между эмпирическим и предполагаемым теоретическим распределениями можно характеризовать нормированной суммой квадратов уклонений междуhi(наблюдаемыми) иnpi(ожидаемыми) частотами — так называемой величиной «хи-квадрат»:

Соответствующая данной реализации случайная величинаχ2, согласно Пирсону, приближенно удовлетворяетχ2-распределению ст=k-1степенями свободы. При истинности гипотезыН0.  Если  вычисленное по выборке значение , то гипотеза согласия принимается. Ожидаемая частота попадания во внутренние интервалы не должна быть меньше 5, а для крайних интервалов – меньше 1.

Задание:

  1. Провести методом вычетов моделирование случайной равномерно распределенной на [0,1] величины в заданном объеме.
  2. Построить гистограмму и функцию распределения для полученной случайной величины.
  3. Провести тест на случайность и тест, подтверждающий принадлежность к равномерному закону распределения.

АС-07-04

n

1 АЛЕКСЕЕВ ИГОРЬ СЕРГЕЕВИЧ

600

2 АЛИМОВА ИРИНА ГРИГОРЬЕВНА

610

3 БОБРОВА МАРИЯ ОЛЕГОВНА

950

4 ВАЛЬКОВСКИЙ БОРИС СЕРГЕЕВИЧ

640

5 ВАСИЛЬЕВА ТАТЬЯНА СЕРГЕЕВНА

940

6 ВОЛКОВ ДЕНИС АНДРЕЕВИЧ

470

7 ВОЛОБУЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

810

8 ВОЛЧКОВ КОНСТАНТИН АЛЕКСАНДРОВИЧ

850

9 ДАМАСКИН ДМИТРИЙ МИХАЙЛОВИЧ

930

10 ЕРМАКОВ ДМИТРИЙ СЕРГЕЕВИЧ

960

11 КАМАЛТДИНОВ АРТУР ИЛЬДУСОВИЧ

690

12 КАЩЕЕВА ОЛЬГА НИКОЛАЕВНА

840

13 МАЛЕНКОВ АНТОН МИХАЙЛОВИЧ

950

14 НЕСТЕРОВ ДЕНИС ЮРЬЕВИЧ

760

15 НИГМАТУЛИН ИЛЬЯ АЛЬБЕРТОВИЧ

690

16 ПЕТРОВ МАКСИМ МИХАЙЛОВИЧ

970

17 ПЛАТОНОВ ДМИТРИЙ ОЛЕГОВИЧ

900

18 ПОПЕНКО ПАВЕЛ ИВАНОВИЧ

550

19 СЕРГУЧЕВ АЛЕКСЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

940

20 ФЕДОРОВ МАКСИМ ВЯЧЕСЛАВОВИЧ

700

АС-07-05

n

1 АБДУРАХМАНОВ РИНАТ МАРАТОВИЧ

870

2 БАЗОРКИН САЛМАН ИСЛАМОВИЧ

830

3 БАХАРЕВ ЕГОР ЮРЬЕВИЧ

730

4 БОГУСЛАВСКИЙ МИХАИЛ ИВАНОВИЧ

650

5 ВЕРЯЕВ ИГОРЬ АЛЕКСАНДРОВИЧ

970

6 ГРИГОРЬЕВ ИГОРЬ БОРИСОВИЧ

570

7 ДЕРБЕНЁВ ФИЛИПП АЛЕКСАНДРОВИЧ

770

8 ЕГОРОВ ВИТАЛИЙ ЮРЬЕВИЧ

890

9 ЗАКРАЦКИЙ СТАНИСЛАВ МИХАЙЛОВИЧ

970

10 МИЛЬЧАКОВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

740

11 ПЕСОЦКИЙ БОРИС АНАТОЛЬЕВИЧ

960

12 ПОСЕЛЬСКИЙ ГАВРИЛ АФАНАСЬЕВИЧ

950

13 САРАЖАКОВА ВАЛЕРИЯ ВАЛЕРЬЕВНА

540

14 СЕРГЕЕВ ВИТАЛИЙ АЛЕКСЕЕВИЧ

580

15 ТРУШИН РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

800

16 ЮШИН ПАВЕЛ ЕВГЕНЬЕВИЧ

590

470

850

610

510

520

640

880

890


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40187. Раскройте экономическую сущность финансов. Назовите и охарактеризуйте функции финансов 67.5 KB
  Функции: 1 Распределительная посредством финансов распределяется и перераспределяется внутренний валовой доход благодаря чему денежные средства поступают в распоряжение государства муниципалитета; 2 Контрольная заключается в их способности отслеживать весь ход распределительного процесса также расходование по целевому назначению денежных средств поступающих из федерального бюджета; 3 Регулирующая вмешательство государства в процесс воспроизводства через финансы налоги государственные кредиты и т. Финансы выполняют две...
40188. Финансовая система государства понятие, сущность, подсистемы и сферы. Место и роль финансов корпораций в финансовой системе страны 45.5 KB
  Место и роль финансов корпораций в финансовой системе страны. Сущность финансовой системы Процесс распределения и перераспределения стоимости совокупного общественного продукта представляет собой финансовый механизм который включает в себя систему организации регулирования и планирования финансов способов формирования и использования финансовых ресурсов у хозяйствующих субъектов наёмных работников государства и органов местного самоуправления. Структура финансовой системы В зависимости от методов формирования доходов экономических...
40189. Финансовые рынки, их функции и виды. Особенности формирования финансовых рынков в России 62 KB
  Для англоамериканской модели характерна ориентация на публичное размещение ценных бумаг и высокий уровень развития вторичного рынка который по объему значительно больше вторичного рынка стран континентальной Европы. Главный инструмент страхового сегмента финансового рынка – договор между страхователем и страховщиком. Под производными финансовыми инструментами обычно понимаются фьючерсные опционные и иные стандартные биржевые контракты а также форвардные опционные и иные срочные сделки внебиржевого рынка. Финансовые инструменты денежного...
40190. Финансовые инструменты 31 KB
  Финансовые инструменты. Различают инструменты денежного рынка или инструменты рынка капиталов. Финансовые инструменты подразделяются на первичные денежные средства ценные бумаги кредиторская и дебиторская задолженность по текущим операциям и вторичные или производные финансовые опционы фьючерсы форвардные контракты процентные свопы валютные свопы. К первичным относятся финансовые инструменты с определенностью предусматривающие покупку продажу или поставку получение некоторого финансового актива в результате чего возникают взаимные...
40191. Финансовые институты 26.5 KB
  Некоторые финансовые институты не принимают вкладов депозитов например брокеры или компании страхования жизни которые финансируют свою деятельность и получают доход за счет продажи ценных бумаг страховых полисов или же предоставления брокерских услуг. Сейчас ситуация изменилась: брокеры и другие компании часто вкладывают средства своих клиентов в банки или в операции на денежном рынке. Компании по страхованию жизни LIC. Компании по страхованию жизни.
40192. Функции и роль финансов в хозяйственной деятельности предприятий и корпораций 31.5 KB
  Особенности управления финансами корпорации определяются следующими основными моментами. Если для предприятия имеющего достаточно простую организационную структуру анализ рынка конкурентов определение приоритетов являются менее сложной задачей чем для многозвенного предприятия то соответственно для корпорации вопросы организации финансовых потоков представляются более сложными так как чем крупнее корпорация тем многообразнее возможные источники финансирования и направления использования финансовых ресурсов; многократно возрастает цена...
40193. Охарактеризуйте сущность, функции и принципы организации финансов хозяйствующих субъектов 29.5 KB
  1Сущность финансов хозяйственных субъектов: Предприятие хозяйственный субъект созданный для организации предпринимательской деятельности экономической целью которого является обеспечение общественных потребностей и получение прибыли для обеспечения собственного финансового роста. 2Принципы организации финансов предприятия:Финансовые отношения коммерческих организаций и предприятий строятся на определенных принципах связанных с основами хозяйственной деятельности: хозяйственная самостоятельность самофинансирование материальная...
40194. Особенности финансов корпоративных групп 26 KB
  Содержание понятий политика стратегия и тактика и соподчиненность этих явлений подробно описали Слепов В. Финансовая политика это общая финансовая идеология предприятия необходимая для достижения выбранной экономической цели. Финансовая стратегия это совокупность методов с помощью которых реализуется на практике финансовая политика предприятия. Кредитная политика ценовая политика дивидендная политика и т.