99652

Имитация равномерно распределенной на 0,1 случайной величины

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Построение имитационных моделей требует использования случайных величин с заданным законом распределения. Особое место занимает случайная величина, имеющая равномерное распределения на отрезке 0, 1. На ее основе можно получить величину, имеющею любой заданный закон распределения.

Русский

2016-10-04

118.5 KB

0 чел.

Лабораторная работа № 1

Имитация равномерно распределенной на [0,1] случайной величины

Целью работы является практическое освоение методов имитации и анализа псевдослучайных равномерно распределенных на [0, 1] чисел на компьютере.

Построение имитационных моделей требует использования случайных величин с заданным законом распределения. Особое место занимает случайная величина, имеющая равномерное распределения на отрезке [0, 1]. Во-первых, на ее основе можно получить величину, имеющею любой заданный закон распределения. Во-вторых, диапазон изменения такой величины совпадает с возможными значениями вероятности. В-третьих, множество чисел, заключенных между 0 и 1, несчетно и бесконечно, и никакой перечень действительных чисел из заданного интервала не исчерпает этого множества. И, наконец, имеется компактный и быстрый алгоритм имитации такой величины.

Метод вычетов - один из основных методов, используемых для имитации равномерно распределенных на [0, 1] случайных величин. В литературе можно встретить и другие названия - метод Лемера или конгруэнтный метод, так как в основе лежит математическое понятие сравнения.

Два целых числаa иb  сравнимы по модулюm, если они дают одинаковые остатки при делении наm:

a =b[modm]

Например:317 =7[mod 5]

Указанную запись можно прочесть также и следующим образом: числоa, есть вычет числаb  по модулюm.

Обозначим черевγ  равномерно распределенную величину на интервале [0, 1].

Пустьx0 иm - целые числа, иx0 взаимно просто сa .

Еслиγ0=x0/m - несократимая дробь, то всеγi будут несократимыми дробямиγi=xi/m, где числителиxi определяются формулой

xi =axi-1[modm]

Пример.

Имеем следующие начальные условия:m = 7,x0=1,a = 3. Генерируем последовательностьγi :

γ0 =x0/m=1/7;

x1 =ax0[mod m] = 3·1 [mod 7] = 3,γ1 = 3/7;

x2 =ax1[mod m] = 3·3 [mod 7] = 2,γ2 = 2/7;

x3 =ax2[mod m] = 3·2 [mod 7] = 6,γ3 = 6/7;

x4 =ax3[mod m] = 3·6 [mod 7] = 4,γ4 = 4/7;

x5 =ax4[mod m] = 3·4 [mod 7] = 5,γ5 = 5/7;

x6 =ax5[mod m] = 3·5 [mod 7] = 1,γ6 = 1/7;

x7 =ax6[mod m] = 3·1 [mod 7] = 3,γ7 = 3/7;

Из примера видно, что, начиная с какого-то числа (в нашем случаеγ6 =γ0), возникает повторение ранее генерированных чисел. Период приблизительно определяется значением модуля.Оценка отрезка апериодичности может быть произведена по формуле

,

гдеM[L] - математическое ожидание отрезка апериодичности;N - количество чисел в данном конечном множестве (может оцениваться модулемm).

Полученные числа, учитывая их периодичность, называютпсевдослучайными. В одной задаче можно использовать совокупность чисел до первого повтора.

После получения псевдослучайных чисел необходимо произвести с помощью специальных тестов проверку их качества, т.е. ответить на два вопроса: действительно ли последовательность полученных чисел выглядит случайной и имеет равномерный закон распределения с параметрами 0 и 1. Такая проверка носит статистический характер, и для проверки «случайности» можно использовать критерий серий, а для проверки  «равномерности» - известные статистические критерии согласия (критерий  или  критерий Колмогорова). Для визуального контроля результатов моделирования можно построить гистограмму и график эмпирической плотности распределения.

Графики функции распределения и плотности, соответствующие равномерному распределению с вышеуказанными параметрами, представлены ниже.

Для построениягистограммы интервал изменения данных, в данном случае [0,1], делится на несколько непересекающихся интервалов равной ширины. Количество разбиенийk зависит от объема выборки, и может быть оценено по одной из формул:  или . Обычно используют нечетное число разбиений от 5 до 20. Для каждого интервала подсчитывают частоту попаданий. Гистограмму можно построить как столбиковую диаграмму с высотой столбиков, равной относительной частоте попаданий в интервал. График эмпирической функции распределения может быть получен так же, если использовать накопленную относительную частоту (высоту столбиков).

Многие популярные программные пакеты имеют средства для визуализации данных и для проведения статистического анализа. Так вMicrosoft Excel помимо встроенных статистических функций можно воспользоваться надстройкойXLSTAT (Addinsoft), которая может быть вызвана из пункта меню «Анализ данных».

x

частота

F(x)

0

0

0,00

0,1

9

0,09

0,2

11

0,20

0,3

9

0,29

0,4

11

0,40

0,5

7

0,47

0,6

15

0,62

0,7

8

0,70

0,8

9

0,79

0,9

8

0,87

1

13

1,00

рис.1  Гистограмма

и эмпирическая функция распределения, построенные вMSExcel

В программеMatlab возможно наложение на гистограмму кривой теоретической функции плотности.

Для проверки на «случайность» возможно использованиекритерия серий.H0: последовательность наблюдений образует случайную выборку.H1 состоит в отрицании нулевой гипотезы. Если последовательность чиселx1,x2,…,xnносит случайный характер, то и последовательность знаков разностей ,или  будет случайной. Серией называется последовательность одинаковых знаков. В качестве статистики критерияt используется количество серий. В качестве критических границ используются границы доверительного интервала количества серий в выборке данного объема , где , ,n(+),n(-) > 20, ,F – функция стандартного нормального распределения. Н0 принимается, если количество серий попадает внутрь интервала.

Для проверки соответствия данных некоторому закону распределения можно использоватькритерий χ2.Н0:в основе выборки лежит равномерное распределение с параметрами (0, 1).H1: выборка принадлежит к неизвестному распределениюF(x).

В основе лежит сравнение эмпирического распределения выборки, выраженного абсолютными частотами сгруппированного ряда измерений, с гипотетическим теоретическим распределением соответствующей генеральной совокупности.

Различие между эмпирическим и предполагаемым теоретическим распределениями можно характеризовать нормированной суммой квадратов уклонений междуhi(наблюдаемыми) иnpi(ожидаемыми) частотами — так называемой величиной «хи-квадрат»:

Соответствующая данной реализации случайная величинаχ2, согласно Пирсону, приближенно удовлетворяетχ2-распределению ст=k-1степенями свободы. При истинности гипотезыН0.  Если  вычисленное по выборке значение , то гипотеза согласия принимается. Ожидаемая частота попадания во внутренние интервалы не должна быть меньше 5, а для крайних интервалов – меньше 1.

Задание:

  1. Провести методом вычетов моделирование случайной равномерно распределенной на [0,1] величины в заданном объеме.
  2. Построить гистограмму и функцию распределения для полученной случайной величины.
  3. Провести тест на случайность и тест, подтверждающий принадлежность к равномерному закону распределения.

АС-07-04

n

1 АЛЕКСЕЕВ ИГОРЬ СЕРГЕЕВИЧ

600

2 АЛИМОВА ИРИНА ГРИГОРЬЕВНА

610

3 БОБРОВА МАРИЯ ОЛЕГОВНА

950

4 ВАЛЬКОВСКИЙ БОРИС СЕРГЕЕВИЧ

640

5 ВАСИЛЬЕВА ТАТЬЯНА СЕРГЕЕВНА

940

6 ВОЛКОВ ДЕНИС АНДРЕЕВИЧ

470

7 ВОЛОБУЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

810

8 ВОЛЧКОВ КОНСТАНТИН АЛЕКСАНДРОВИЧ

850

9 ДАМАСКИН ДМИТРИЙ МИХАЙЛОВИЧ

930

10 ЕРМАКОВ ДМИТРИЙ СЕРГЕЕВИЧ

960

11 КАМАЛТДИНОВ АРТУР ИЛЬДУСОВИЧ

690

12 КАЩЕЕВА ОЛЬГА НИКОЛАЕВНА

840

13 МАЛЕНКОВ АНТОН МИХАЙЛОВИЧ

950

14 НЕСТЕРОВ ДЕНИС ЮРЬЕВИЧ

760

15 НИГМАТУЛИН ИЛЬЯ АЛЬБЕРТОВИЧ

690

16 ПЕТРОВ МАКСИМ МИХАЙЛОВИЧ

970

17 ПЛАТОНОВ ДМИТРИЙ ОЛЕГОВИЧ

900

18 ПОПЕНКО ПАВЕЛ ИВАНОВИЧ

550

19 СЕРГУЧЕВ АЛЕКСЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

940

20 ФЕДОРОВ МАКСИМ ВЯЧЕСЛАВОВИЧ

700

АС-07-05

n

1 АБДУРАХМАНОВ РИНАТ МАРАТОВИЧ

870

2 БАЗОРКИН САЛМАН ИСЛАМОВИЧ

830

3 БАХАРЕВ ЕГОР ЮРЬЕВИЧ

730

4 БОГУСЛАВСКИЙ МИХАИЛ ИВАНОВИЧ

650

5 ВЕРЯЕВ ИГОРЬ АЛЕКСАНДРОВИЧ

970

6 ГРИГОРЬЕВ ИГОРЬ БОРИСОВИЧ

570

7 ДЕРБЕНЁВ ФИЛИПП АЛЕКСАНДРОВИЧ

770

8 ЕГОРОВ ВИТАЛИЙ ЮРЬЕВИЧ

890

9 ЗАКРАЦКИЙ СТАНИСЛАВ МИХАЙЛОВИЧ

970

10 МИЛЬЧАКОВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

740

11 ПЕСОЦКИЙ БОРИС АНАТОЛЬЕВИЧ

960

12 ПОСЕЛЬСКИЙ ГАВРИЛ АФАНАСЬЕВИЧ

950

13 САРАЖАКОВА ВАЛЕРИЯ ВАЛЕРЬЕВНА

540

14 СЕРГЕЕВ ВИТАЛИЙ АЛЕКСЕЕВИЧ

580

15 ТРУШИН РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

800

16 ЮШИН ПАВЕЛ ЕВГЕНЬЕВИЧ

590

470

850

610

510

520

640

880

890


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16202. История государства и права. Учебное пособие 526.5 KB
  Цикл лекций охватывает первый раздел курса Истории государства и права зарубежных стран. В нем ставится задача показать два пути наиболее раннего становления политико-правовой формы человеческой жизнедеятельности. Один из этих путей в исторической литературе называется Восточным или азиатским
16203. Уголовно-исполнительное право. Учебное пособие 2.41 MB
  Перминов О. Г. Уголовноисполнительное право учебное пособие для студентов высших учебных заведений обучающихся по специальности юриспруденция Москва 1999 Былина ББК 67.99 П82 Перминов О.Г. Уголовноисполнительное право: учебное по
16204. Основы работы в текстовом редакторе MS Word 56.5 KB
  Отчет по лабораторной работе № 5 Тема работы: Основы работы в текстовом редакторе MS Word Цель работы: Ознакомиться с основами работы в текстовом редакторе WORD. Научиться редактировать документ овладеть способами копирования и перемещения текста применять стили форм...
16205. Вопросы по ключам 135 KB
  Вопросы по ключам. 1 .Чтотакое глубина насыщения транзисторного ключа и на какие его свойства и как она оказывает влияние Режим насыщения имеет место при прямом смещении обоих рп переходов транзистора. При этом падение напряжения на переходах как правило на превышает...
16206. Вопросы по компонентам ИС 36.5 KB
  Вопросы по компонентам ИС. 1.Какова физическая структура резистора ИС Есть ли ограничения на их свойства Простейшим резистором ИМС является слой полупроводника изолированный от других элементов ИМС. Существует несколько способов изоляции самый распространенный и
16207. Ответы по стабилизаторам напряжения 35 KB
  Вопросы по стабилизаторам напряжения. 38. Чем определяется амплитуда колебаний выходного напряжения в компенсационных стабилизаторах с импульсным регулированием при неизменном входом напряжении и токе нагрузки Наиболее распространенная силовая часть компенсацио
16208. Ответы по усилителям мощности 39 KB
  Вопросы по усилителям мощности. 24. Каким образом в УМ рабочую точку транзисторов смещают в класс А АВ В Рис. 1 Рис.2 В режиме класса А выбор рабочей точки покоя производится таким образом чтобы входной сигнал полностью помещался на линейном участке выходной ВАХ транзи
16209. Ответы по Усилителям постоянного тока 54.5 KB
  Вопросы по Усилителям постоянного тока 1.Какова максимально достижимая величина коэффициента усиления по напряжению у дифференциального усилителя Если дифференциальный усилитель рассматривается как два каскада выполненных по схеме с общим эмиттером то для каждог...
16210. Векторы и матрицы 68.81 KB
  ОТЧЕТ по лабораторной работе №2 по дисциплине Программирование на тему Векторы и матрицы Вариант 24 1 Постановка задачи В массиве An наименьший элемент поместить на первое место наименьший из оставшихся на последнее место следующий по величине на второе м