99652

Имитация равномерно распределенной на 0,1 случайной величины

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Построение имитационных моделей требует использования случайных величин с заданным законом распределения. Особое место занимает случайная величина, имеющая равномерное распределения на отрезке 0, 1. На ее основе можно получить величину, имеющею любой заданный закон распределения.

Русский

2016-10-04

118.5 KB

0 чел.

Лабораторная работа № 1

Имитация равномерно распределенной на [0,1] случайной величины

Целью работы является практическое освоение методов имитации и анализа псевдослучайных равномерно распределенных на [0, 1] чисел на компьютере.

Построение имитационных моделей требует использования случайных величин с заданным законом распределения. Особое место занимает случайная величина, имеющая равномерное распределения на отрезке [0, 1]. Во-первых, на ее основе можно получить величину, имеющею любой заданный закон распределения. Во-вторых, диапазон изменения такой величины совпадает с возможными значениями вероятности. В-третьих, множество чисел, заключенных между 0 и 1, несчетно и бесконечно, и никакой перечень действительных чисел из заданного интервала не исчерпает этого множества. И, наконец, имеется компактный и быстрый алгоритм имитации такой величины.

Метод вычетов - один из основных методов, используемых для имитации равномерно распределенных на [0, 1] случайных величин. В литературе можно встретить и другие названия - метод Лемера или конгруэнтный метод, так как в основе лежит математическое понятие сравнения.

Два целых числаa иb  сравнимы по модулюm, если они дают одинаковые остатки при делении наm:

a =b[modm]

Например:317 =7[mod 5]

Указанную запись можно прочесть также и следующим образом: числоa, есть вычет числаb  по модулюm.

Обозначим черевγ  равномерно распределенную величину на интервале [0, 1].

Пустьx0 иm - целые числа, иx0 взаимно просто сa .

Еслиγ0=x0/m - несократимая дробь, то всеγi будут несократимыми дробямиγi=xi/m, где числителиxi определяются формулой

xi =axi-1[modm]

Пример.

Имеем следующие начальные условия:m = 7,x0=1,a = 3. Генерируем последовательностьγi :

γ0 =x0/m=1/7;

x1 =ax0[mod m] = 3·1 [mod 7] = 3,γ1 = 3/7;

x2 =ax1[mod m] = 3·3 [mod 7] = 2,γ2 = 2/7;

x3 =ax2[mod m] = 3·2 [mod 7] = 6,γ3 = 6/7;

x4 =ax3[mod m] = 3·6 [mod 7] = 4,γ4 = 4/7;

x5 =ax4[mod m] = 3·4 [mod 7] = 5,γ5 = 5/7;

x6 =ax5[mod m] = 3·5 [mod 7] = 1,γ6 = 1/7;

x7 =ax6[mod m] = 3·1 [mod 7] = 3,γ7 = 3/7;

Из примера видно, что, начиная с какого-то числа (в нашем случаеγ6 =γ0), возникает повторение ранее генерированных чисел. Период приблизительно определяется значением модуля.Оценка отрезка апериодичности может быть произведена по формуле

,

гдеM[L] - математическое ожидание отрезка апериодичности;N - количество чисел в данном конечном множестве (может оцениваться модулемm).

Полученные числа, учитывая их периодичность, называютпсевдослучайными. В одной задаче можно использовать совокупность чисел до первого повтора.

После получения псевдослучайных чисел необходимо произвести с помощью специальных тестов проверку их качества, т.е. ответить на два вопроса: действительно ли последовательность полученных чисел выглядит случайной и имеет равномерный закон распределения с параметрами 0 и 1. Такая проверка носит статистический характер, и для проверки «случайности» можно использовать критерий серий, а для проверки  «равномерности» - известные статистические критерии согласия (критерий  или  критерий Колмогорова). Для визуального контроля результатов моделирования можно построить гистограмму и график эмпирической плотности распределения.

Графики функции распределения и плотности, соответствующие равномерному распределению с вышеуказанными параметрами, представлены ниже.

Для построениягистограммы интервал изменения данных, в данном случае [0,1], делится на несколько непересекающихся интервалов равной ширины. Количество разбиенийk зависит от объема выборки, и может быть оценено по одной из формул:  или . Обычно используют нечетное число разбиений от 5 до 20. Для каждого интервала подсчитывают частоту попаданий. Гистограмму можно построить как столбиковую диаграмму с высотой столбиков, равной относительной частоте попаданий в интервал. График эмпирической функции распределения может быть получен так же, если использовать накопленную относительную частоту (высоту столбиков).

Многие популярные программные пакеты имеют средства для визуализации данных и для проведения статистического анализа. Так вMicrosoft Excel помимо встроенных статистических функций можно воспользоваться надстройкойXLSTAT (Addinsoft), которая может быть вызвана из пункта меню «Анализ данных».

x

частота

F(x)

0

0

0,00

0,1

9

0,09

0,2

11

0,20

0,3

9

0,29

0,4

11

0,40

0,5

7

0,47

0,6

15

0,62

0,7

8

0,70

0,8

9

0,79

0,9

8

0,87

1

13

1,00

рис.1  Гистограмма

и эмпирическая функция распределения, построенные вMSExcel

В программеMatlab возможно наложение на гистограмму кривой теоретической функции плотности.

Для проверки на «случайность» возможно использованиекритерия серий.H0: последовательность наблюдений образует случайную выборку.H1 состоит в отрицании нулевой гипотезы. Если последовательность чиселx1,x2,…,xnносит случайный характер, то и последовательность знаков разностей ,или  будет случайной. Серией называется последовательность одинаковых знаков. В качестве статистики критерияt используется количество серий. В качестве критических границ используются границы доверительного интервала количества серий в выборке данного объема , где , ,n(+),n(-) > 20, ,F – функция стандартного нормального распределения. Н0 принимается, если количество серий попадает внутрь интервала.

Для проверки соответствия данных некоторому закону распределения можно использоватькритерий χ2.Н0:в основе выборки лежит равномерное распределение с параметрами (0, 1).H1: выборка принадлежит к неизвестному распределениюF(x).

В основе лежит сравнение эмпирического распределения выборки, выраженного абсолютными частотами сгруппированного ряда измерений, с гипотетическим теоретическим распределением соответствующей генеральной совокупности.

Различие между эмпирическим и предполагаемым теоретическим распределениями можно характеризовать нормированной суммой квадратов уклонений междуhi(наблюдаемыми) иnpi(ожидаемыми) частотами — так называемой величиной «хи-квадрат»:

Соответствующая данной реализации случайная величинаχ2, согласно Пирсону, приближенно удовлетворяетχ2-распределению ст=k-1степенями свободы. При истинности гипотезыН0.  Если  вычисленное по выборке значение , то гипотеза согласия принимается. Ожидаемая частота попадания во внутренние интервалы не должна быть меньше 5, а для крайних интервалов – меньше 1.

Задание:

  1. Провести методом вычетов моделирование случайной равномерно распределенной на [0,1] величины в заданном объеме.
  2. Построить гистограмму и функцию распределения для полученной случайной величины.
  3. Провести тест на случайность и тест, подтверждающий принадлежность к равномерному закону распределения.

АС-07-04

n

1 АЛЕКСЕЕВ ИГОРЬ СЕРГЕЕВИЧ

600

2 АЛИМОВА ИРИНА ГРИГОРЬЕВНА

610

3 БОБРОВА МАРИЯ ОЛЕГОВНА

950

4 ВАЛЬКОВСКИЙ БОРИС СЕРГЕЕВИЧ

640

5 ВАСИЛЬЕВА ТАТЬЯНА СЕРГЕЕВНА

940

6 ВОЛКОВ ДЕНИС АНДРЕЕВИЧ

470

7 ВОЛОБУЕВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ

810

8 ВОЛЧКОВ КОНСТАНТИН АЛЕКСАНДРОВИЧ

850

9 ДАМАСКИН ДМИТРИЙ МИХАЙЛОВИЧ

930

10 ЕРМАКОВ ДМИТРИЙ СЕРГЕЕВИЧ

960

11 КАМАЛТДИНОВ АРТУР ИЛЬДУСОВИЧ

690

12 КАЩЕЕВА ОЛЬГА НИКОЛАЕВНА

840

13 МАЛЕНКОВ АНТОН МИХАЙЛОВИЧ

950

14 НЕСТЕРОВ ДЕНИС ЮРЬЕВИЧ

760

15 НИГМАТУЛИН ИЛЬЯ АЛЬБЕРТОВИЧ

690

16 ПЕТРОВ МАКСИМ МИХАЙЛОВИЧ

970

17 ПЛАТОНОВ ДМИТРИЙ ОЛЕГОВИЧ

900

18 ПОПЕНКО ПАВЕЛ ИВАНОВИЧ

550

19 СЕРГУЧЕВ АЛЕКСЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

940

20 ФЕДОРОВ МАКСИМ ВЯЧЕСЛАВОВИЧ

700

АС-07-05

n

1 АБДУРАХМАНОВ РИНАТ МАРАТОВИЧ

870

2 БАЗОРКИН САЛМАН ИСЛАМОВИЧ

830

3 БАХАРЕВ ЕГОР ЮРЬЕВИЧ

730

4 БОГУСЛАВСКИЙ МИХАИЛ ИВАНОВИЧ

650

5 ВЕРЯЕВ ИГОРЬ АЛЕКСАНДРОВИЧ

970

6 ГРИГОРЬЕВ ИГОРЬ БОРИСОВИЧ

570

7 ДЕРБЕНЁВ ФИЛИПП АЛЕКСАНДРОВИЧ

770

8 ЕГОРОВ ВИТАЛИЙ ЮРЬЕВИЧ

890

9 ЗАКРАЦКИЙ СТАНИСЛАВ МИХАЙЛОВИЧ

970

10 МИЛЬЧАКОВА МАРИЯ АНДРЕЕВНА

740

11 ПЕСОЦКИЙ БОРИС АНАТОЛЬЕВИЧ

960

12 ПОСЕЛЬСКИЙ ГАВРИЛ АФАНАСЬЕВИЧ

950

13 САРАЖАКОВА ВАЛЕРИЯ ВАЛЕРЬЕВНА

540

14 СЕРГЕЕВ ВИТАЛИЙ АЛЕКСЕЕВИЧ

580

15 ТРУШИН РОМАН АЛЕКСАНДРОВИЧ

800

16 ЮШИН ПАВЕЛ ЕВГЕНЬЕВИЧ

590

470

850

610

510

520

640

880

890


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23213. Специфіка філософської думки в період Середньовіччя 48.5 KB
  До них належать: Афанасій Олександрійський Василь Великий Григорій Нісський Григорій Назіанзін Амвросій Медіоланський Августин Блаженний Іоанн Дамаскін та ін.Одним із найбільш яскравих представників патрістики був єпископ із ГіппонаПівнічна Африка Августин якого католицькі богослови нарекли ще й ім'ям Блаженний. Августин вважав що філософія поза богослов'ям– ніщо. Воюючи з язичеством як він називав античну філософію Августин намагався розгорнути християнську теологічну систему на основі неоплатонізму.
23214. Особливості філософії епохи Відродження 33 KB
  Особливості філософії епохи Відродження Філософія Відродження охоплює період відXIV до початкуXVII ст. Відродження–перехідна епоха і цим значною мірою пояснюється чимало її специфічних рис і насамперед та завдяки якій майже синонімічною назвою для епохи стає словогуманізм. Для епохи Відродження характерним було швидке зростання кількості людей розумової праці. Звичайно мислителі Відродження були далекі від думки ігнорувати Святе письмо віру в Бога але якщо у схоластів центром уваги був Бог то у гуманістів епохи Відродження– Бог і...
23215. Філософія Нового Часу: загальна характеристика 46 KB
  Проте свою методологію він будує на принципах раціоналістичної дедукції а експеримент визнає лише як передумову пізнання що має підпорядковуватись раціональноматематичному мисленню. У першому йдеться про вихідний пункт наукового пізнання– визначення принципів або начал. Третє правило вимагає дотримуватись певного порядку мислення який полягає в тому щоб починати з найпростіших і доступних для пізнання предметів і поступово сходити до складніших і важчих. Декарт вважає що людина від народження має певні вроджені ідеї які й становлять...
23216. Класична німецька філософія 36.5 KB
  Попершевсіх представників німецької класичної філософії об'єднує розуміння ролі філософії в історії людства і в розвитку світової культури. Подруге представники німецької класичної думки надали філософії вигляду широко розробленої та диференційованої спеціальної системи дисциплін ідей понять та категорій. Враховуючи ці основні риси німецької класичної філософії можна виділити також і основні проблеми дослідження яких перебуває в центрі уваги цього періоду розвитку світової філософії: проблема науковості філософії онтології...
23217. Своєрідність філософії українського духу 30.5 KB
  Філософія Укр.1 українська філософія створює оригінальне вчення про духовність. 3українська філософія створює оригінальну ідею сродної праці€. Українська філософія класична тим що сама має оригінальний екзистенціональний вимір і включає в себе філософію віри надії любові які заключаються в свободі.
23218. Марксистська філософія:сучасне осмислення нових положень 33.5 KB
  Згідно із матеріалістичним розумінням історія розвитку людства класифікується як суспільнофрмаційний процес. Під суспільноекономічною формацією марксизм розуміє історичний етап розвитку людства який визначається взаємодією співвідношення економічного базиса з політичною надбудовою. марксизм визначає джерело розвитку суспільноекономічної формації і цим джерелом є класова боротьба. Маркс дає цілком працездатне визначення комунізму як мети соціального розвитку стверджуючи що комунізм це такий етап розвитку людства таке...
23219. Філософська антропологія як напрямок сучасної філософії 34 KB
  €œФілософська антропологія€ як напрямок сучасної філософії сутність антропологічного підходу зводиться до спроби визначити специфіку основи та сфери власне людського буття людської індивідуальності творчих можливостей людини виходячи із самої людини і через неї пояснити її власну природу та природу навколишнього світу. філософська антропологія в широкому значенні це філософське вчення про природу і сутність людини. історія суспільство та його установи це форми доповнення біологічної недостатності людини. в антисуспільній...
23220. Філософія екзистенціалізму – історія та проблеми 37 KB
  Філософія екзистенціалізму – історія та проблеми. Хоч історичні корені екзистенціалізму сягають Давньої Греції як філософське вчення він був уголос артикульований починаючи з епохи Просвітництва. На основі їхніх славетних ключових працьБуття і час 1927 таБуття і ніщо 1943 можна вивести головні принципи екзистенціалізму. Можливо головний парадокс екзистенціалізму полягає в тім що екзистенціалісти відчувають себе здатними виробляти в рамках цього доситьтаки похмурого погляду на умови людського буття більш позитивні настанови.
23221. Філософія життя – формування нової філософської парадигми 35 KB
  Філософія життя€ – формування нової філософської парадигми. Одним із основних джерел філософії життя є ірраціоналістичнопесімістична філософія Шопенгауєра. Філософія мислення€ замінюєфілософія життя€. Основа життя за концепцією Ніцше– це воля.