9976

Прогнозирование рядов экономической динамики

Реферат

Экономическая теория и математическое моделирование

Прогнозирование рядов экономической динамики Виды и методы анализа временных рядов Корреляционный анализ Спектральный анализ Модели авторегрессии Вопрос № 1. Виды и методы анализа временных рядов Временной ряд представляет собой совокупность

Русский

2013-03-19

82.5 KB

49 чел.

Прогнозирование рядов экономической динамики

  1.  Виды и методы анализа временных рядов
  2.  Корреляционный анализ
  3.  Спектральный анализ
  4.  Модели авторегрессии

Вопрос № 1. Виды и методы анализа временных рядов

Временной ряд представляет собой совокупность последовательных измерений показателя, произведенных через одинаковые интервалы времени. Анализ временных рядов позволяет решать следующие задачи:

исследовать структуру временного ряда, включающую, как правило, тренд — закономерные изменения среднего уровня, а также случайные периодические колебания;

исследовать причинно-следственные взаимосвязи между процессами, проявляющиеся в виде корреляционных связей между временными рядами;

построить математическую модель процесса, представленного временным рядом;

прогнозировать будущее развитие процесса;

преобразовать временной ряд средствами сглаживания и фильтрации.

Значительная часть известных методов предназначена для анализа стационарных процессов, статистические свойства которых (характеризуемые в случае нормального распределения средним значением и дисперсией) не меняются с течением времени.

Ряды часто имеют нестационарный характер. Нестационарность можно устранить следующим образом:

вычесть тренд, то есть изменения среднего значения, представленного некоторой детерминированной функцией, которую можно подобрать путем регрессионного анализа;

выполнить фильтрацию специальным нестационарным фильтром.

Для стандартизации временных рядов с целью единообразия методов анализа целесообразно провести их общее или посезонное центрирование путем деления на среднюю величину, а также нормирование путем деления на стандартное отклонение.

Центрирование ряда удаляет ненулевое среднее значение, которое может затруднить интерпретацию результатов, например при спектральном анализе. Цель нормирования — избежать в вычислениях операций с большими числами, что может привести к снижению точности расчетов.

После указанных предварительных преобразований временного ряда может быть построена его математическая модель, по которой осуществлено прогнозирование, то есть, получено некоторое продолжение временного ряда. Чтобы результат прогноза можно было сопоставить с исходными данными, над ним следует произвести преобразования, обратные выполненным.

На практике наиболее часто используют методы моделирования и прогнозирования, а корреляционный и спектральный анализ рассматривают как сугубо вспомогательные методы. Это заблуждение. Методы прогнозирования развития средних тенденций позволяют получить оценки с существенными погрешностями, что затрудняет выработку сценариев и формирование стратегии.

Методы корреляционного и спектрального анализа позволяют выявить различные, в том числе инерционные свойства системы, в которой идет развитие изучаемых процессов. Применение этих методов позволяет по текущей динамике процессов с достаточной уверенностью установить, как и с какой задержкой известная динамика скажется на будущем развитии процессов. Для долгосрочного и сценарного прогнозирования эти виды анализа позволяют получить наиболее ценные результаты.

Анализ и прогнозирование тренда

Анализ тренда предназначен для исследования изменений среднего значения временного ряда с построением математической модели тренда и с прогнозированием на этой основе будущих значений ряда. Анализ тренда выполняют путем построения моделей простой линейной или нелинейной регрессии.

Исходные данные представляют собой две переменные, одна из которых — значения временного параметра, а другая — собственно значения временного ряда. В процессе анализа можно получить следующие результаты:

опробовать несколько математических моделей тренда и выбрать ту, которая с большей точностью описывает динамику изменения временного ряда;

построить прогноз будущего поведения временного ряда на основании выбранной модели тренда с определенной доверительной вероятностью;

удалить тренд из временного ряда с целью обеспечения его стационарности, необходимой для корреляционного и спектрального анализа.

В качестве моделей трендов используют различные элементарные функции и их сочетания, а также степенные ряды, иногда называемые полиномиальными моделями. Наибольшую точность обеспечивают модели в виде рядов Фурье, однако очень немногие статистические пакеты позволяют использовать такие модели.

Прогноз, полученный с помощью полиномиальной модели, не слишком точен вообще, а начиная с шестого-седьмого года он просто ошибочен.

Вопрос № 2. Корреляционный анализ

Корреляционный анализ необходим для выявления корреляций и их лагов — задержек, их периодичности. Связь в одном процессе — это автокорреляция, а связь между двумя процессами — это кросс-корреляция. Высокий уровень корреляции может служить индикатором причинно-следственных связей, взаимодействий внутри одного процесса, между двумя процессами, а величина лага указывает временную задержку в передаче взаимодействия.

Обычно в процессе расчета значений корреляционной функции на к-м шаге вычисляется ковариация между переменным по длине отрезком / = 1, ..., (п к) первого ряда X и отрезком / = к, ... п второго ряда Y, где используются средние значения полноразмерных рядов, а не собственно этих отрезков.

Осреднение, деление производится не на один элемент отрезка п — У, а на один элемент полноразмерного ряда, включающего п элементов. Затем эта ковариация нормируется на стандартные отклонения полноразмерных рядов, а не собственно упомянутых отрезков.

В результате получается некоторая трудная для практической интерпретации величина, напоминающая коэффициент корреляции Пирсона, но не идентичная ему. Поэтому возможности корреляционного анализа, методика которого используется во многих статистических пакетах, ограничены узким кругом стационарных и эр-годических временных рядов, которые не характерны для большинства экономических процессов.

На это обратил внимание А.П.Кулаичев, и в пакете STADIA он постарался устранить указанный недостаток. Экономистов в корреляционном анализе интересует исследование лагов в передаче воздействия от одного процесса другому или влияния начального возмущения на последующее развитие того же самого процесса. Для решения таких задач А.П.Кулаичев предложил модификацию известного метода, названную интервальной корреляцией.

Интервальная корреляционная функция представляет собой последовательность коэффициентов корреляции Пирсона, вычисленных между фиксированным отрезком первого ряда заданного размера и положения и равными им по размеру отрезками второго ряда, выбранных с последовательными сдвигами от начала ряда.

В определение добавляются два новых параметра: длина сдвигаемого фрагмента ряда и его начальное положение, а также используется принятое в математической статистике определение коэффициента корреляции Пирсона. Благодаря этому вычисляемые значения становятся сравнимы между собой и просто интерпретируемы.

Для выполнения анализа необходимо выбрать одну или соответственно две переменные для автокорреляционного или кросс-корреляционного анализа, а также задать следующие параметры:

размерность временного шага анализируемого ряда для согласования результатов с реальной временной шкалой;

длину сдвигаемого фрагмента первого ряда в виде числа включаемых в него измерений;

сдвиг этого фрагмента относительно начала ряда.

Разумеется, необходимо выбрать вариант интервальной корреляции или иной корреляционной функции.

Если для анализа выбрана одна переменная, то вычисляются значения автокорреляционной функции для последовательно увеличивающихся лагов. Автокорреляционная функция позволяет определить, в какой степени динамика изменения заданного фрагмента воспроизводится в сдвинутых во времени его же отрезках.

Если для анализа выбраны две переменные, то вычисляются значения кросс-корреляционной функции для последовательно увеличивающихся лагов — сдвигов второй из выбранных переменных относительно первой. Кросс-корреляционная функция позволяет определить, в какой степени динамика изменения заданного фрагмента первого ряда воспроизводится в сдвинутых во времени фрагментах второго ряда.

Результаты анализа должны включать оценки критического значения коэффициента корреляции г0 для гипотезы г0О на определенном уровне значимости. Это позволяет не принимать во внимание статистически незначимые коэффициенты корреляции. Необходимо получить значения корреляционной функции с указанием лагов. Весьма полезны и наглядны графики авто- или кросс-корреляционных функций.

Вопрос № 3. Спектральный анализ

Общепринятый способ анализа структуры стационарных временных рядов — это использование дискретного преобразования Фурье для оценки спектральной плотности или спектра ряда. Этот метод может применяться:

для получения описательных статистик одного временного ряда или описательных статистик зависимостей между двумя временными рядами;

для выявления периодических и квазипериодических свойств рядов;

для проверки адекватности моделей, построенных другими методами;

для сжатого представления данных;

для интерполяции динамики временных рядов.

Точность оценок спектрального анализа можно повысить за счет использования сглаживающих окон и методов усреднения.

Для анализа необходимо выбрать одну или две переменные и задать следующие параметры:

размерность временного шага анализируемого ряда, необходимую для согласования результатов с реальной временной и частотной шкалами;

длину к анализируемого отрезка временного ряда в виде числа включаемых в него измерений;

сдвиг очередного отрезка ряда к0 относительно предыдущего;

тип временного окна сглаживания для подавления в спектре так называемого эффекта вытекания мощности;

тип усреднения частотных характеристик, вычисленных на последовательных отрезках временного ряда.

Результаты анализа включают спектрограммы — значения характеристик амплитудно-частотного спектра и значения фазочастотных характеристик. В случае кросс-спектрального анализа результаты — это также значения передаточной функции и функции когерентности спектра. Результаты анализа могут включать и данные периодограмм.

Полезны графики амплитудного спектра и фазы, а в случае кросс-спектрального анализа — также и графики когерентности и передаточной функции.

Спектральный анализ может быть проведен повторно с преобразованием исходного временного ряда. Так, если в процессе выявлены сильные сезонные колебания и требуется провести более детальное исследование несезонных закономерностей, то перед повторным анализом необходимо подавить сезонные изменения трансформацией временного ряда посредством фильтрации, сезонного центрирования, нормирования или дифференцирования.

Комплексная функция дискретного преобразования Фурье, используемая для спектрального анализа, позволяет представить непрерывный спектр fx процесса (или кросс-спектр двух процессов fxy), представленного временным рядом Л'в виде конечного набора синусоидальных и косинусоидальных гармоник в диапазоне частот / от 0 до л/2, где п — длина временного ряда.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), называемая также спектральной плотностью, представляет зависимость амплитуды спектра разложения Фурье от частоты. АЧХ наглядно показывает, на каких частотах сосредоточена максимальная сумма амплитуд и где находятся области совпадений и несовпадений значений ряда.

Наряду с АЧХ часто строят также и график мощности сигнала от частоты колебаний. На таком графике более выделены основные пики, а малые колебания более приглушены. Значения, считанные с АЧХ, выражаются в натуральных единицах временного ряда и поэтому более естественны для восприятия.

Амплитудно-частотная характеристика кросс-спектра, называемая также кросс-спектральной плотностью, представляет зависимость амплитуды взаимного спектра двух взаимосвязанных процессов от частоты. Такая характеристика наглядно показывает, на каких частотах наблюдаются синхронные и соответствующие по величине изменения мощности в двух анализируемых временных рядах или где находятся области их максимальных совпадений и максимальных несовпадений.

Фаза представляет собой угловой сдвиг между синусоидальной и косинусоидальной составляющими разложения Фурье. График фа-зочастотной характеристики позволяет оценить, насколько синхронно или асинхронно происходят колебания в исходном временном ряде на различных частотах.

Фазочастотная характеристика кросс-спектра представляет собой сдвиг взаимной мощности двух процессов на заданной частоте или степень опережения, запаздывания во времени одного процесса относительно другого.

Когерентность отражает линейную связь двух процессов дифференцированно по частотам аналогично тому, как обычный коэффициент корреляции отражает степень линейной взаимосвязи двух процессов во временной области. Значения когерентности лежат в интервале от нуля до единицы.

Уменьшение значения когерентности может быть вызвано следующими четырьмя основными причинами:

присутствие некоррелированных случайных составляющих, определяющих нестабильность во времени;

наличие нелинейной связи между процессами;

утечка мощности, обусловленная недостаточным разрешением по частоте, то есть слишком большими интервалами времени между наблюдениями или измерениями показателей, образующих ряды;

наличие временной задержки при передаче взаимодействия между двумя процессами, соизмеримой с интервалом наблюдения; эту задержку можно выявить по корреляционной функции и ликвидировать путем предварительного усечения сигналов для ликвидации их взаимного сдвига.

Функция когерентности используется для оценки значимости других кросс-спектральных характеристик и для определения меры влияния случайных колебаний или нелинейности функции ряда. Малые значения когерентности могут указывать на незначимость на данной частоте других кросс-спектральных характеристик или являться признаком необходимости увеличения числа усреднений для ликвидации влияния случайных колебаний.

Передаточная функция, часто называемая частотной характеристикой, отражает отношение величин на входе к величинам на выходе различных систем и характеризует стабильные, линейные и инвариантные во времени системы. Эта функция вычисляется как отношение амплитуды спектра первого процесса к амплитуде спектра второго процесса и тем самым представляет коэффициент усиления или коэффициент передачи амплитуды по частоте.

Иногда используют и обратную передаточную функцию, которая вычисляется как отношение амплитуды спектра второго процесса к амплитуде спектра первого процесса.

Существуют вспомогательные методики, применяемые при анализе временных рядов. Важными предварительными характеристиками выполняемого анализа являются разрешение по частоте и ширина полосы спектра. Последний параметр определяет, насколько близко расположенные спектральные составляющие могут быть выделены из временного ряда. Поскольку частотный шаг спектральных характеристик равен 1/Т, где Т— временная длительность ряда, то разрешение по частоте может быть увеличено за счет увеличения длительности временного ряда. Верхняя граница полосы анализируемого спектра определяется частотой измерения значений временного ряда, а нижняя граница равна разрешению по частоте.

В качестве средств улучшения спектральных характеристик часто используют корректирующие временные или частотные окна, а также различные виды усреднения.

Временной ряд — это по существу некоторый сегмент данных, выделенный из длительного или потенциально бесконечного процесса.

При преобразовании такого сегмента в частотную область возникают наведенные колебания вида sin(x)/x, называемые явлением Гиббса. Например, в случае синусоидального вида временного ряда это приводит к расширению острых спектральных пиков и появлению в их окрестности множества зон с уменьшающимися искажениями амплитуды. Этот эффект называется вытеканием мощности.

Наложение зон искажений от соседних спектральных пиков может привести к их дополнительному смещению по частоте, к изменению амплитуды основных пиков, а также к полному исчезновению спектральных составляющих с малыми амплитудами. Средством ослабления этого эффекта может служить увеличение частоты измерения значений временного ряда. Однако на практике это не всегда достижимо.

Наиболее часто для устранения этих искажений применяют сглаживающие окна.

Выбор вида окна из числа используемых в статистических пакетах связан с компромиссом между величинами искажений мощных пиков и величинами искажений в окрестностях этих пиков.

Для устранения случайных искажений в спектре ряда применяют различные методы усреднения, которые позволяют получить гладкую оценку спектра во всей анализируемой полосе частот. Однако в результате их применения могут нивелироваться, вплоть до полного исчезновения, отдельные острые спектральные пики, соответствующие реальным составляющим исходного ряда. Если важно обнаружить слабый сигнал, усреднением пользоваться не стоит.

Вопрос № 4. Модели авторегрессии

Построение моделей авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего (ARIMA) считается полезным для описания и прогнозирования стационарных временных рядов и нестационарных рядов, обнаруживающих однородные колебания вокруг изменяющегося среднего значения.

Модели ARIMA представляют собой комбинации двух моделей: авторегрессии (AR) и скользящего среднего (moving averageMA).

В модели авторегрессии (AR) текущее значение стационарного процесса Xt, t = 1, ... п с нулевым средним значением выражается как конечная линейная комбинация предыдущих значений процесса Xt _ ; и белого шума, то есть последовательности некоррелированных и одинаково распределенных случайных величин с нулевым средним и конечной дисперсией.

В модели AR любое последующее значение включает информацию, которую можно извлечь из прошлого, то есть предшествующих значений временного ряда, и информацию, приходящую из настоящего — белый шум. Чем меньше дисперсия белого шума, тем меньше новой информации дает очередное наблюдение.

Хорошие результаты дает применение моделей авторегрессии к процессам, в которых прослеживается наличие одной или нескольких доминирующих корреляций или гармонических составляющих.

Модель скользящего среднего (МА) представляет стационарный процесс в виде линейной комбинации последовательных значений белого шума. Иными словами, МА является моделью цветного шума, спектр которого отличается от равномерного спектра белого шума наличием провалов мощности в некоторых частотных диапазонах. Саму же модель МА можно рассматривать как некоторый фильтр, работающий с белым шумом в качестве входного сигнала.

Такие модели оказываются полезными как в качестве самостоятельных описаний стационарных процессов, так и в качестве дополнения к моделям авторегрессии для более детального описания шумовой составляющей.

Итерационный алгоритм вычисления параметров модели МА очень чувствителен к неправильному выбору числа параметров для конкретного временного ряда, особенно в сторону их увеличения, что может выражаться в отсутствии сходимости вычислений. Рекомендуется не выбирать на начальных этапах анализа модель скользящего среднего с большим числом параметров.

В случае нестационарных процессов левую часть уравнения модели разделяют на две части: стационарную Р(В) и нестационарную Q(B), что приводит нас к общей модели авторегрессии — проинтегрированного скользящего среднего (ARIMA):

Р(В) Q(B) X(t) = R(B) •  W(t). (5.2)

Обычно в качестве Q(B) выбирают одну из двух возможностей:

Q(B) = (1 — В)'1, что эквивалентно ^-разовой разности значений процесса: xtxt_,;

Q(B) = 1 — Вт или оператор сезонного дифференцирования с периодом т: xtxt _ m.

На практике наиболее употребительны модели с числом параметров р, q и d, равным 0, 1 и 2. Для выбора модели полезно обратиться к графикам автокорреляционной (АКФ) и частной автокорреляционной (ЧАКФ) функции моделируемого процесса, пользуясь следующими их свойствами:

АКФ нестационарного процесса характеризуется плохим затуханием с возрастанием лага: целесообразно выполнить несколько последовательных дифференцирований временного ряда с построением графика АКФ и выбрать то значение d, которое обеспечивает затухание АКФ на первых 20 лагах;

АКФ процесса порядка р спадает плавно, а ЧАКФ принимает вид экспоненты или затухающей синусоиды после р-го лага, поэтому выбор числа параметров AR-модели может быть произведен по критерию наименьшей ошибки прогноза или же по графику ЧАКФ;

ЧАКФ процесса порядка q спадает плавно, а АКФ имеет спад после ^-го лага, поэтому выбор числа параметров МА-модели может быть произведен по графику АКФ;

АКФ и ЧАКФ процесса порядка р —q имеют спад после р —q-ro лага, поэтому выбор числа параметров ARIМА-модели может быть произведен по сопоставлению графиков АКФ и ЧАКФ.

В процессе анализа производят предварительное оценивание. Оно состоит в подборе числа параметров модели и приближенной оценке их значений. На каждом шаге предварительного оценивания используется информация, содержащая параметры модели: p., qt, dt, a также оценки значимости гипотезы об адекватности модели временному ряду.

Процесс предварительного оценивания прекращается по принятии гипотезы об адекватности модели временному ряду или по исчерпании допустимого числа параметров. Результаты анализа включают:

значения параметров авторегрессионой модели и модели скользящего среднего;

для каждого шага прогнозирования — среднее значение прогноза, стандартная ошибка прогноза, доверительный интервал прогноза для определенного уровня значимости.

Проверку выполняют, рассчитывая статистику Дарбина—Ватсона с оценкой уровня значимости гипотезы об отсутствии коррелированное™ остатков.

Полезны графики временного ряда с указанием среднего значения и интервала стандартной ошибки прогноза.

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25305. Стресс 33.5 KB
  0004 ГОМЕОСТАЗ Внутренняя среда организма в которой живут все его клетки это кровь лимфа межтканевая жидкость. Ее характеризует относительное постоянство гомеостаз различных показателей так как любые ее изменения приводят к нарушению функций клеток и тканей организма особенно высокоспециализированных клеток центральной нервной системы. Способность сохранять гомеостаз в условиях постоянного обмена веществ и значительных колебаний факторов внешней среды обеспечивается комплексом регуляторных функций организма. существовать и двигаться...
25306. Адаптация 28 KB
  У человека адаптация выступает как свойство организма которое обеспечивается автоматизированными самонастраивающимися саморегулирующимися системами сердечнососудистой дыхательной выделительной и др. Адаптация это эффективная и экономная адекватная приспособительная деятельность организма к воздействию факторов внешней среды. Чем выше уровень интеграции координированности сложных регуляторных процессов тем эффективнее адаптация.
25307. Природа потенциала покоя 28.5 KB
  Согласно этой теории биоэлектрические потенциалы обусловлены неодинаковой концентрацией ионов К' N3' СГ внутри и вне клетки и различной проницаемостью для них поверхностной мембраны. Протоплазма нервных и мышечных клеток содержит в 3050 раз больше ионов калия в 810 раз меньше ионов натрия и в 50 раз меньше ионов хлора чем внеклеточная жидкость. На структурных элементах мембраны фиксируются различные ионы что придает стенкам ее пор тот или иной заряд и тем самым затрудняет или облегчает прохождение через них ионов. Так предполагается...
25308. Потенциал действия 37.5 KB
  Потенциал действия может быть зарегистрирован двояким способом: с помощью электродов приложенных к внешней поверхности волокна внеклеточное отведение и с помощью микроэлектрода введенного внутрь протоплазмы внутриклеточное отведение. Долгое время физиологи полагали что потенциал действия представляет собой лишь результат кратковременного исчезновения той разности потенциалов которая существует в покое между наружной и внутренней сторонами мембраны. Однако точные измерения проведенные с помощью внутриклеточных микроэлектродов...
25309. Законы раздражения 44 KB
  Механизм раздражающего действия тока при всех видах стимулов в принципе одинаков однако в наиболее отчетливой форме он выявляется при использовании постоянного тока прямоугольной формы. При использовании в качестве раздражителя электрического тока порог выражается в единицах силы тока или напряжения. Существует два способа подведения электрического тока к ткани: внеклеточный и внутриклеточный. Недостаток этого метода заключается в значительном ветвлении тока: только часть его проходит через мембраны клеток часть же ответвляется в...
25310. Строение и классификация нейронов 35.5 KB
  Место отхождения аксона от тела нервной клетки называют аксонным холмиком. Дендриты это многочисленные ветвящиеся отростки функция которых состоит в восприятии импульсов приходящих от других нейронов и проведении возбуждения к телу нервной клетки. В центральной нервной системе тела нейронов сосредоточены в сером веществе больших полушарий головного мозга подкорковых образований мозжечка мозгового ствола и спинного мозга.
25311. Строение и работа синапсов 28 KB
  Они образуются концевыми разветвлениями нейрона на теле или отростках другого нейрона. В структуре синапса различают три элемента: 1пресинаптическую мембрану образованную утолщением мембраны конечной веточки аксона; 2синаптическую щель между нейронами; 3постсинаптическую мембрану утолщение прилегающей поверхности следующего нейрона. В большинстве случаев передача влияния одного нейрона на другой осуществляется химическим путем.Для возбуждения нейрона необходимо чтобы ВПСП достиг порогового уровня.
25312. Рефлекс. Рефлекторный процесс 63.5 KB
  У животных обладающих нервной системой развился особый тип реакций рефлексы. Рефлексы это реакции организма происходящие при обязательном участии нервной системы в ответ на раздражение воспринимающих нервных окончаний рецепторов. Павлова делят на две большие группы: на рефлексы безусловные и условные. Безусловные рефлексы это врожденные наследственно передающиеся реакции организма.
25313. Свойства нервных центров 39 KB
  Проведение волны возбуждения от одного нейрона к другому через синапс происходит в большинстве нервных клеток химическим путем с помощью медиатора а медиатор содержится лишь в пресинаптической части синапса и отсутствует в постсинаптической мембране. В связи с этим поток нервных импульсов в рефлекторной дуге имеет определенное направление от афферентных нейронов к вставочным и затем к эфферентным мотонейронам или вегетативным нейронам. Суммация возбуждения В ответ на одиночную афферентную волну идущую от рецепторов к нейронам в...