9981

Общие сведения о математических моделях ИП

Реферат

Информатика, кибернетика и программирование

Общие сведения о математических моделях ИП Проектирование ИП с применением ЭВМ требует описания этого объекта на языке математики в виде удобном для его алгоритмической реализации Математическое описание проектируемого объекта называют математической моделью. М...

Русский

2013-03-19

88 KB

9 чел.

Общие сведения о математических моделях ИП

Проектирование ИП с применением ЭВМ требует описания этого объекта на языке математики в виде, удобном для его алгоритмической реализации Математическое описание проектируемого объекта называют математической моделью.

Математическая модель — это совокупность математических элементов (чисел, переменных, векторов, множеств и т.п.) и отношений между ними, которые с требуемой для проектирования точностью описывают свойства проектируемого объекта. На каждом этапе проектирования используется свое математическое описание проектируемого объекта, сложность которого должна быть согласована с возможностями анализа на ЭВМ, что приводит к необходимости иметь для одного объекта несколько моделей различного уровня сложности.

В общей теории математического моделирования математическую модель любого объекта характеризуют внутренними, внешними, выходными параметрами и фазовыми переменными. Внутренние параметры модели определяются характеристиками компонентов, входящих в проектируемый объект, например номиналы элементов принципиальной схемы. Если проектируемый объект содержит n элементарных компонентов, то и его математическая модель будет определяться параметрами , которые образуют вектор внутренних параметров. Уравнения математической модели могут связывать некоторые физические характеристики компонентов, которые полностью характеризуют состояние объекта, но не являются выходными или внутренними параметрами модели (например, токи и напряжения в радиоэлектронных устройствах, внутренними параметрами которых являются номиналы элементов электрических схем, а выходными параметрами - выходная мощность, коэффициент передачи и т.п.). Такие характеристики называют фазовыми переменными. Минимальный по размерности вектор фазовых переменных V = [v1...vr]T, полностью характеризующий работу объекта проектирования, называют базисным вектором. Например, при составлении уравнений математической модели радиоэлектронных устройств в качестве базисного вектора V можно использовать вектор узловых потенциалов либо вектор напряжений на конденсаторах и токов в индуктивностях - переменные состояния. Использование вектора фазовых переменных позволяет упростить алгоритмическую реализацию программ, составляющих уравнения математической модели устройства.

Система уравнений может представлять собой систему линейных алгебраических уравнений, нелинейных уравнений различного вида, дифференциальных в полных или частных производных и представляет собой собственно математическую модель проектируемого объекта. В результате решений системы определяются действующие в устройстве фазовые переменные V. Система уравнений определяет зависимость выходных параметров объекта от фазовых переменных V.

В частных случаях составляющие вектора V могут являться внутренними или выходными параметрами объекта и тогда системы уравнений  упрощаются.

Отметим, что часто моделированием называют лишь составление системы. Решение уравнений и отыскание вектора F с помощью уравнения называют анализом математической модели.

На каждом уровне моделирования различают математические модели проектируемого радиотехнического объекта и компонентов, из которых состоит объект. Математические модели компонентов представляют собой системы уравнений, устанавливающих связь между фазовыми переменными, внутренними внешними параметрами, относящимися к данному компоненту. Эти уравнения называют компонентными, а соответствующую модель — компонентной.

Математическую модель объекта проектирования, представляющего объединение компонентов, получают на основе математических моделей компонентов, входящих в объект. Объединение компонентных уравнений в математическую модель объем та осуществляется на основе фундаментальных физический законов, выражающих условия непрерывности и равновесия фазовых переменных, например законов Кирхгофа. Уравнения описывающие эти законы, называют топологическими, они выражают связи между компонентами в устройстве. Совокупность компонентных и топологических уравнений для проектируемого объекта и образует систему, являющуюся математической моделью объекта.

Исходя из задач конкретного этапа проектирования математическая модель проектируемого объекта должна отвечать самым различным требованиям: отражать с требуемой точность зависимость выходных параметров объекта от его внутренний внешних параметров в широком диапазоне их изменения; иметь однозначное соответствие физическим процессам в объекте; включать необходимые аппроксимации и упрощения, которые позволяют реализовать ее программно на ЭВМ с различными возможностями; иметь большую универсальность, т.е. быть применимой к моделированию многочисленной группы однотипных устройств; быть экономичной с точки зрения затрат машинных ресурсов и т.п. Эти требования в своем большинстве являются противоречивыми, и удачное компромиссное удовлетворение этих требований в одних задачах может оказаться далеким от оптимальности в других. По этой причине для одного и того же компонента или устройства часто приходится иметь не одну, а несколько моделей. В связи с этим классификация моделей должна выполняться по множеству признаков, чтобы описать все возможные случаи.

По уровню сложности различают полные модели и макромодели. Полные модели объекта проектирования получаются путем непосредственного объединения компонентных моделей в общую систему уравнений. Макромодели представляют собой упрощенные математические модели, аппроксимирующие полные.

В свою очередь, макромодели делят на две группы: факторные и фазовые модели.

Факторные модели предназначены для использования на следующих этапах проектирования в качестве компонентных моделей. Их выходными параметрами являются фазовые переменные полных математических моделей для следующего этапа проектирования.

Фазовые макромодели предназначены для использования на том же этапе проектирования, на котором их получают, для сокращения размерности решаемой задачи.

По способу получения математические модели ИП делят на физические и формальные. Физические модели получают на основе изучения физических закономерностей функционирования проектируемого объекта, так что структура уравнений и параметры модели имеют ясное физическое толкование. Формальные модели получают на основе измерения и установления связи между основными параметрами объекта в тех случаях, когда физика работы его известна недостаточно полно. Как правило, формальные модели требуют большого числа измерений и по своей природе являются локальными, справедливыми вблизи тех режимов, в которых производились измерения. В литературе иногда такие модели называют моделями «черного ящика».

В современных системах автоматизированного проектирования формирование системы уравнений математической м дели проектируемого объекта выполняется автоматически помощью ЭВМ. В зависимости от того, что положено в основу алгоритма формирования системы уравнений, модели ИП можно разделить на электрические, физико-топологические и технологические.

Понятие электрической модели включает либо систему уравнений, связывающих напряжения и токи в электрической схеме, являющейся моделью объекта, либо саму электрически схему, составленную из базовых элементов (резисторов, конденсаторов и т.п.), на основе которой можно в ЭВМ получить систему уравнений, связывающих напряжения и токи в модели объекта.

В физико-топологических моделях исходными параметрами являются геометрические размеры определяющих облает проектируемого объекта и электрофизические характеристики материала, из которых они состоят. В результате решения системы уравнений этой модели поля находятся внутри и на внешних выводах устройства. Такие модели применяются при разработке полупроводниковых приборов, СВЧ  устройств и ряде других случаев.

Технологические модели основываются на параметрах технологических процессов изготовления проектируемого объекта (температура и время диффузии, концентрация диффузанта т.п.). Выходные параметры такой модели - совокупность физико-топологических либо технологических параметров.

По способу задания внутренних и внешних параметров м тематические модели делят на дискретные и непрерывные.

Различают модели статические и динамические в зависимости от того, учитывают ли уравнения модели инерционность процессов в проектируемом объекте или нет. Статические модели отражают состояние объекта проектирования при неизменных внешних параметрах и не учитывают его переходные характеристики. Динамические модели дополнительно отражают переходные процессы в объекте, происходящие при изменении во времени внешних параметров.

Существуют и другие варианты классификации математических моделей элементов и узлов радиоустройств.

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ИП В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ

Независимая система уравнений, описывающая математическую модель устройства, может быть получена топологическими методами с помощью теории графов. Конкретный вид алгоритма формирования системе уравнений математической модели зависит от выбранной вектора фазовых переменных — набора параметров, характеризующих функционирование моделируемого устройства. В зависимости от того, являются ли фазовые переменные функциями времени или комплексной частоты, различают математические модели устройств во временной и частотной областях. В обоих случаях при формировании системы уравнений математической модели обычно используют операторную форму записи компонентных уравнений для базовых элементе электрических моделей. Это объясняется удобством алгоритмического преобразования системы интегро-дифференциальных уравнений, записанных в операторной форме, к виду, наиболее удобному для численного решения, удобством перехода от операторной формы записи к частотным моделям заменой оператора s на мнимую частоту jw, а также целесообразностью использовать обратное преобразование Лапласа.

Рассмотрим основные алгоритмы моделирования различного уровня в частотной области.

Итак, фазовые переменные, полностью характеризующие состояние объекта проектирования в частотной области, являются функциями комплексной частоты. Этот случай соответствует анализу установившегося режима при возбуждении линейной или нелинейной цепи источниками  синусоидального сигнала.

При моделировании ИП в частотной области используется метод комплексных амплитуд, суть которого заключается в том, что в установившемся режиме в любой сложной цепи при синусоидальном воздействии напряжения и токи могут быть представлены в виде суммы синусоидальных составляющих: основной (w) и высших (2w, Зw, ...) гармонических составляющих. Подобный подход также называют спектральным анализом устройства

В качестве фазовых переменных в частотной области применяются напряжения и токи не только на отдельных элементах, но и на входах четырехполюсников и многополюсников, а также линейные комбинации напряжений и токов цепи. К выходным параметрам радиоэлектронных средств в частотной области относятся различные функции цепей — входные и передаточные комплексные сопротивления, коэффициенты отражения и передачи по напряжению, коэффициенты усиления радиоэлектронных средств и др., причем для цепей с сосредоточенными элементами эти функции являются дробно рациональными относительно комплексной частоты.

Рассмотрим связь между некоторыми выходными  параметрами

Так если К(jw) - комплексный коэффициент передачи цепи то частотная К(jw) и импульсная  характеристики  g(t) связаны между собой парой преобразований  Фурье

                                                          (1)

Если используются аналоговые сигналы, то соотношения (1) - непрерывные для импульсных сигналов применяются специально разработанные алгоритмы дискретного (в том числе быстрого) преобразования Фурье

Представив комплексный коэффициент передачи

К(jw)= К(jw)еxp  , отмечаем, что К(jw) -амплитудно-частотная характеристика,    фазочастотная характеристика цепи Импульсная g(l) и переходная h(t) характеристики связаны соотношениями

                      (2)

При  подаче на устройство произвольного входного сигнала   выходной сигнал во временной области можно найти с помощью интеграла свертки (Дюамеля)

                             (3)

Этому соотношению в частотной области соответствует

                                   (4)

спектры входного и выходного сигналов.

Методы моделирования ИП в частотной области можно разбить на две группы, в первой из них используется связь между временными и частотными характеристиками цепей, во второй - выполняется непосредственное моделирование выходных параметров ИП.

Методы моделирования первой группы заключаются в определении по прямому преобразованию Фурье (1) частотного коэффициента передачи и затем расчете по (4) спектров выходных сигналов по заданным входным. Наконец, с помощью обратною преобразования Фурье (1) можно найти временные характеристики выходных сигналов.

В методах второй группы для анализа устройств используется выражение (4), причем частотные функции цепи непосредственно моделируются по внутренним параметрам устройств |В подавляющем большинстве случаев используются методы второй группы, в которых для различных значений рабочей частот вычисляются значения частотных характеристик ИП, так называемый численный спектральный подход.

Большое достоинство частотных методов анализа по сравнению с временными - высокое быстродействие, возможность анализа устойчивости и др Они наиболее удобны при использовании матриц классической теории для моделирования ИП, радиочастотных и излучающих устройств, комплексов радиоэлектронных средств и др

Электрическую модель любого сложного устройства всегда можно представить состоящей из четырех полюсных или двухполюсных моделей более простых базовых компонентов, соединенных произвольным образом.

Таким образом, процесс формирования уравнений  математической модели РЭС в частотной области сводится к нахождению элементов результирующей матрицы модели устройства, состоящей из моделей базовых четырехполюсников, вычислению выходных   параметров по элементам результирующей матрицы и дальнейшему анализу устройства с помощью выражений (1) — (4).

Однако такой подход к моделированию не очень удобен для алгоритмической реализации. Это объясняется необходимостью разбиения сложной модели на простые четырехполюсники, что чревато появлением ошибок, а также необходимостью алгоритмизировать более 30 таблиц межматричных преобразований.

ОСОБЕННОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ИП В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ

Особый класс при моделировании ИП в частотной области составляют нелинейные устройства.

Рисунок 1.

На рис. 1 приведена классификация методов моделирования и анализа нелинейных устройств в частотной области. Используются различные признаки для классификации методов режимы малого и большого сигналов, явные и неявные методы, моделирование без инерционных и инерционных цепей, использование различного математического аппарата — ряды Тейлора, Фурье, Вольтерра и др.

При подаче на вход нелинейного устройства нескольких сигналов с частотами, в схеме возникают колебания на высших гармониках, и на комбинационных частотах. Если амплитуды этих новых гармоник малы по сравнению с амплитудами основных гармоник, то говорят, что схема работает в режиме малого сигнала, в противном случае - в режиме большого сигнала

В режиме малого сигнала схемы делятся на безынерционные, содержащие только нелинейные резистивные элементы, и инерционные, содержащие линейные или нелинейные индуктивности и емкости.

Разработаны явные методы моделирования и анализа нелинейных устройств в режиме малого сигнала. Термин «явные методы» означает, что известно возбуждение (например, u(t) на рис. 6.14, а), подаваемое непосредственно на нелинейный элемент, необходимо лишь найти реакцию нелинейного элемента i(t) на заданное воздействие. В неявных методах и воздействие и реакцию i(t) необходимо определить (например, при подсоединении резистора к диоду) (рис. 2, б).

Рисунок 2.

В явных методах характеристика нелинейного элемента аппроксимируется степенным полиномом (рядом Тейлора) и затем вычисляются амплитуды высших гармоник с требуемой тоностью. Подставляя функцию возбуждения в полином, выполняя необходимые действия и группируя члены с частотами, легко определить амплитуды колебаний на выходе с этими частотами.

Реализация неявных методов моделирования в инерционных цепях осуществляется двумя способами (см. рис. 1). По первому из них через переходный процесс предварительно временными методами находится установившийся режим, определяется временная функция сигнала на выходе и с помощью преобразования Фурье определяются амплитуды гармоник сигнала. Достоинствами такого подхода являются общность и универсальность, так как при этом используется наиболее общее описание нелинейной цепи - система нелинейых дифференциальных уравнений - и наиболее прямой путь поиска решения этой системы - численное интегрирование. Метод в принципе позволяет решить задачу анализа нелинейной цепи для любых уровней входного воздействия как при одно-, так и при многосигнальном воздействии. К недостаткам метода относится необходимость расчета переходного процесса в нелинейной цепи, который сам по себе часто не представляет интереса. Кроме того, для высокодобротных цепей и при многосигнальном воздействии этап анализа является длительным и весьма неэкономичным с точки зрения вычислительных затрат.

По второму способу неявного подхода используется оператор передачи в виде функционального ряда Вольтерра, который является обобщением интеграла Дюамеля (3) на случай нелинейной инерционной цепи и связывает выходной и входной сигналы в виде

где x(t)—входной сигнал; ядро Вольтерра, нелинейная импульсная характеристика п-го порядка. При обычная импульсная характеристика. Добавление членов при n> 1 соответствует учету нелинейных преобразований. Если входной сигнал и нелинейности схемы не слишком велики, то достаточно использовать лишь несколько первых членов ряда.

Выполнив преобразование Фурье, получим связь между входным и выходным сигналом в частотной области:

               (5)

где  передаточная функция n-го порядка функционального ряда Вольтерра.

Анализ нелинейной схемы заключается в итерационном решении системы уравнений типа (5) с последовательным определением частотных ядер Вольтерра и уточнением воздействия и реакции нелинейного элемента.

Метод функционального ряда Вольтерра применяется только при относительно  малых сигналах, так как при больших сигналах ряды Вольтерра расходятся.

В режиме большого сигнала также разработаны явные и неявные методы.

К обоим типам методов относятся методы, основанные на кусочно-линейной аппроксимации характеристик нелинейного элемента.  При этом кленом случае задается воздействие на нелинейный элемент в режиме большого сигнала и затем определяются гармоники реакции нелинейного элемента на заданное воздействие. Подобный подход применяется при расчете режимов генераторных ИП.

При неявном задании возбуждения на нелинейном элементе обычно выделяют линейную инерционную часть схемы и отдельно нелинейные элементы. Разработаны алгоритмы анализа нелинейных схем такой структуры, заключающиеся в итерационном решении соответствующих операторных уравнений при кусочно-линейной аппроксимации характеристик нелинейного элемента.

К неявным методам анализа нелинейных схем в режиме большого сигнала относятся также поисковые методы. Суть их заключается в прямом определении установившегося режима нелинейной цепи без предварительного расчета переходного процесса. При этом осуществляется итеративный поиск таких начальных условий для решения нелинейных дифференциальных уравнений, которые непосредственно соответствуют устоявшемуся режиму. В ряде задач такой подход дает существенный выигрыш в вычислительных затратах перед методами с расчетом переходного процесса.

Одним из самых распространенных неявных методов анализа нелинейных схем при периодическом воздействии является метод гармонического баланса. При этом предполагается, что в любом сечении анализируемого устройства ток  или напряжение можно представить в виде укороченного ряда Фурье с неизвестными амплитудами. Затем ряды подставляются в систему дифференциальных уравнений, описывающих нелинейную схему, после чего приравниваются коэффициенты, соответствующие гармоникам одинакового порядка. В итоге для каждой переменной получают систему алгебраических, в общем случае нелинейных гармонических компонентных уравнений и проводят решение одним из численных методов. Таким образом, осуществляется переход от системы нелинейных дифференциальных уравнений во временной области к системе нелинейных алгебраических уравнений в частотной области, что сильно упрощает анализ.

Метод гармонического баланса может быть применен при любом количестве входных сигналов с различными частотами, необходимо только учесть соответствующие гармонические компонентные уравнения.

Главный недостаток метода гармонического баланса — большое количество уравнений. В то же время этот метод в отличие от методов анализа в режиме малого сигнала связан не с разложением в ряд Тейлора, а с разложением в ряд Фурье, и поэтому его точность зависит не от амплитуды сигнала, а от количества учитываемых гармоник.

К методу гармонического баланса примыкают проекционные (вариационные) методы, которые построены на основе итерационной процедуры с последовательным увеличением числа учитываемых гармоник. Используются также укороченные ряды Фурье с неизвестными коэффициентами — амплитудами. В ряде случаев анализ удобно начать с первого шага в виде линейного приближения и далее, увеличивая число гармоник на каждом шаге, вариационными методами определять неизвестные коэффициенты ряда Фурье.

Рассмотренные методы моделирования и анализа нелинейных ИП находят широкое применение при разработке САПР ИП.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8128. Альфа-бета отсечение 392 KB
  Альфа-бета отсечение (конспект) При минимаксном поиске количество состояний игры, которые должны быть исследованы в процессе поиска, экспоненциально зависит от количества ходов. Эту зависимость, к сожалению, невозможно устранить, но существует возмо...
8129. Архитектура доски объявлений (ДО) 238 KB
  Архитектура доски объявлений (ДО). (Конспект) Архитектура ДО. В первой половине 70-х годов по заказу Управления перспективных исследований США DARPA рядом американских университетов была выполнена пятилетняя исследовательская программа, направленная...
8130. Модели представления и обработки неопределенных знаний. Коэффициенты уверенности Шортлифа 71 KB
  Модели представления и обработки неопределенных знаний. Коэффициенты уверенности Шортлифа. (Конспект) Представление и обработка в ЭС неопределенных знаний Экспертным знаниям, как правило, присуща неопределенность. В инженерии знаний принято выделять...
8131. Нечеткие множества. Лингвистическая переменная. Нечеткая логика. Нечеткий вывод. Композиционное правило вывода 142.5 KB
  Нечеткие множества. Лингвистическая переменная. Нечеткая логика. Нечеткий вывод. Композиционное правило вывода. (Конспект) В основе понятия нечеткого множества (НИ) лежит представление о том, что обладающие общим свойством элементы некоторого множес...
8132. Байесовские сети 75.5 KB
  Байесовские сети (Конспект) Теорема Байеса: Пусть Ai - полная группа несовместных событий, тогда формула Байеса (формула перерасчета гипотез) и B некоторое событие положительной вероятности Доказательство следует из теоремы умножения и формулы...
8133. Модели планирования действий в системах искусственного интеллекта 94.5 KB
  Модели планирования действий в системах искусственного интеллекта Задача планирования. Язык описания состояний и действий. Планирование на основе поиска в пространстве состояний. Планированием называется процесс выработки последовательности действий...
8134. Планирование с помощью пропозициональной логики. Планирование с частичным упорядочением. Графы планирования 62.5 KB
  Планирование с помощью пропозициональной логики. Планирование с частичным упорядочением. Графы планирования Данный подход основан на проверке выполнимости логического высказывания, модель которого выглядит примерно так: Начальное состояние...
8135. Планирование действий в реальном мире. Условное планирование. Непрерывное планирование 45.5 KB
  Планирование действий в реальном мире. Условное планирование. Непрерывное планирование. В ряде реальных проблемных областей необходимо указание времени начала и окончания действий. Например, в проблемной области транспортировки грузов...
8136. Обучение в системах искусственного интеллекта 92 KB
  Обучение в системах искусственного интеллекта Формы обучения. Обучение на основе наблюдений. Индуктивное обучение. Построение деревьев решений. Один из центральных элементов интеллектуального поведения -способность приспосабливаться или учиться...