9983

Методы моделирования во временной области

Реферат

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Методы моделирования во временной области. Модели во временной области наиболее удобны для анализа переходных процессов в ТУ моделирования статического режима и нелинейных устройств. Рассмотрим алгоритмы формирования системы уравнений математической модели ТУ

Русский

2013-03-19

71 KB

8 чел.

Методы моделирования во временной области.

Модели во временной области наиболее удобны для анализа переходных процессов в ТУ, моделирования статического режима и нелинейных устройств.

Рассмотрим алгоритмы формирования системы уравнений математической модели ТУ во временной области

Рассмотренные методы автоматизированного формирования системы уравнений математикой мелели, несмотря на удобство алгоритмической реализации обладают тем существенным недостатком, что приводят к математическим моделям в виде систем дифференциально-алгебраических уравнений высокого порядка, решение которых зачастую связано, с большими вычислительными трудностями.

С середины 50-х годов в автоматизированном проектировании на чал широко применяться метод переменных состояний позволяющий получить систему уравнений математической модели в виде двух систем матричных уравнений:

                                                                                                                                                      (1)

где    вектор фазовых переменных, называемых переменными состояния, Q - вектор, характеризующий входные воздействия, F—вектор выходных параметров, L, М — постоянные действительные матрицы соответствующего размера.

Уравнения (1) представляют собой систему дифференциальных уравнений первого порядка, называемую системой уравнений для переменных состояния в нормальной форме, численное решение которой относительно вектора фазовых переменных V самое простое из всех методов моделирования. Кроме того, уравнений в (1), как правило, оказывается меньше, чем при использовании метода узловых потенциалов либо контурных токов, что также облегчает процесс моделирования, особенно нелинейных устройств.

Алгоритмическую реализацию метода во многом определяет выбор вектора переменных состояния V. За вектор переменных состояния могут быть, например, выбраны узловые потенциалы, при этом размерность системы (1) будет равна количеству узлов в электрической модели, контурные токи либо другие переменные. При моделировании переходных процессов в радиоэлектронных устройствах за переменные состояния рационально выбирать вектор, состоящий из напряжений на всех конденсаторах электрической модели устройства Uc и токов во всех индуктивностях позволяющий для динамических моделей получить систему дифференциальных уравнений первого порядка минимально возможной размерности.

2. Численный анализ во временной области.

При моделировании во временной области нелинейных ТУ нельзя использовать метод обратного преобразования Лапласа и приходится решать системы дифференциальных либо дифференциально-алгебраических уравнений численными методами. Алгоритмы интегрирования систем дифференциальных уравнений описаны во множестве учебников, мы рассмотрим здесь некоторые из них, наиболее удобные для моделирования ТУ. Для упрощения описания алгоритмов будем рассматривать их на примере одного уравнения с одной неизвестной, затем распространим результаты на системы уравнений.

Пусть требуется найти функцию и, удовлетворяющую уравнению

                                                                                  (18)

и придающую при t= tо заданное начальное значение и (tо)= uо

Выбор начального значения uо служит для выделения одной из кривых семейства, задаваемого уравнением (18), как покапано на рис. 3,а.   

Рисунок 3.

Эта задача в математике известна как задача Коши. Для ее решения широко используются  разностные методы. В разностных методах решение задачи получают в дискретном ряде значений аргумента  отличающихся на шаг интегрирования. В одношаговых разностных методах для нахождения следующего значения uk = u(tk) требуется иyформация  только об одном предыдущем шаге. Из  одношаговых методов наибольшую известность получил метод Рунгe—Кутта, который на самом деле является целым семейством методов, представляющих аппроксимацию методов, основанных на рядах Тейлора, но без явного вычисления производных, за исключением первой.

Для пояснения методов Рунге - Кутта представим значение искомого решения уравнения в точке tk, разложением в ряд Тейлора вокруг предыдущей точки tk-1, uk-1

                  (19)

Если шаг интегрирования Dt мал, то всеми членами разложения высокого порядка можно пренебречь и представить (19) в  виде

                                   (20)

где - первая производная в предыдущей точке tk-1.

Если процесс продолжить, то для любой последующей точки задания аргумента получим итерационную формул

Полученные выражения (20) для определения переменной uk известны как явный метод Эйлера, а по своей сути он представляет метод Рунге - Кутта первого порядка. Графически выражение (20) проиллюстрировано на рис. 3,а, начиная с точки t1, u1, где видно, что на каждом новом шаге определения приближенного решения переходим на другую кривую ее семейства. Систематическая ошибка метода (ошибка дискретизации) имеет порядок Dt2, так как члены разложения (19) содержащие степени Dt выше второй, отбрасываются.    Кроме систематической ошибки, в процессе вычисления появляется ошибка округления, величина которой определяется ЭВМ и программой, которая  накапливается с ростом числа шагов.

Точность метода можно значительно повысить, если сохранить член с Dt2, однако для этого необходимо знание второй производной.

Величину второй производной можно аппроксимировать  конечно-разностным  выражением

где для вычисления f(uk+1, tk+1,) используется приближенное значение Uk+1 = Uk +Dt f(uk,tk), вычисленное по методу Эйлера, подставив это выражение в ряд Тейлора и отбросив члены выше третьего порядка Dt3,  можно получить

Выражение  (5.38) известно как модифицированный метод Эйлера и по своей сути представляет метод Рунге—Кутта второго порядка. Ошибка дискретизации для этого метода пропорциональна Dt3.

Очевидно, что чем выше порядок вычисляемой конечно- разностным методом производной, тем  больше дополнительных вычислений правой части уравнения (18) необходимо сделать. Метод Рунге - Кутта дает набор формул для расчета координат точек внутри интервала для реализации  этой идей. Для примера приведем распространенную формулу метода Рунге - Кутта четвертого порядка

 

                    (21)

Заметим,  что в  методе Рунге - Кутта  четвертого  порядка вначале вычисляется величина  для  предыдущей  точки.

Затем, используя это значение ko, аргумент смещают на пол шага вперед и получают значение k1.  На основе k1 из этой точки tk опять со смещением на половину интервала интегрирования вычисляют значение k2 и, наконец, сделав полный шаг вперед от точки tk, вычисляют значение k3. Значения k1 k2 k3 затем суммируются с весами 1/6, 1/3, 1/3, 1/6.

Шаг интегрирования выбирается из максимально допусти мой ошибки на каждом шаге интегрирования. Оценка ошибок в современных алгоритмах обычно оценивается автоматически, позволяя автоматически изменять длину шага. Недостатком методов Рунге — Кутта высокого порядка является необходимость вычисления большого числа значений правой части уравнения (18) для каждого шага, причем эти вычисленные значения не используются на последующих шагах.

Одношаговые методы легко распространяются на системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Если в результате работы программы моделирования система уравнений модели получилась более высокого порядка, то с помощью подстановок ее всегда можно свести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Например в дифференциальном уравнении второго порядка можно воспользоваться подстановкой   = v и получить систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть после подобных подстановок система уравнений математической модели приведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений вида

где U — вектор переменных, вектор правых частей уравнений системы. Воспользовавшись для простоты модифицированной формулой Эйлера (5.38), запишем итерационную формулу для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений одношаговым  методом  второго порядка:

где [1] — единичная  матрица.

Для сравнения различных одношаговых методов по эффективности рассмотрим решение этими методами уравнения

при следующих начальных условиях  =0, u= 1

Аналитическое решение этого уравнения с учетом задания граничных условий имеет вид

tk

Метод Эйлера

Метод  Рунге — Кутта четвертого порядка

Точное  решение

0.1

0,2

0,3

0.4

1.0

1 ,2000

1,4420

1,7348

2,1041

7,0472

1,2221

1,4997

1,8432

2,2783

8,5834

1,2221

1,4997

1,8432

2,2783

8,5836

Как видно из табл. 1, точность полученного результата зависит не только от величины шага интегрирования, но и от количества шагов, и при большом числе шагов точность получаемого результата снижается из-за накопления ошибок интегрирования.

Алгоритм Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом Рунге — Кутта второго порядка.

Шаг 1   Полагаем, что время интегрирования равно началу процесса интегрирования  k = 0,  tk =tо а  переменные      их начальным условиям.

Шаг 2   Вычисляем вектор правых частей системы уравнений

в момент времени  tk.

Шаг  3 Вычисляем вектор значений переменных по методу Рунге - Кутта первого порядка, используя вычисленные на втором шаге значения правых частей уравнений  

Шаг   4 Вычисляем вектор правых частей системы в момент времени.  

Шаг 5 Вычисляем решение системы уравнений для момента времени используя  выражение (21)

Шаг 6 Если, то увеличиваем t на шаг интегрирования и переходим к шагу 2, иначе расчет закончен.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41189. Разработка и принятие управленческих решений 86 KB
  Принятие решений это организационный связующий процесс. Если коммуникации своего рода стержень пронизывающий любую деятельность в организации то принятие решений это центр вокруг которого вращается жизнь организации.1 По поводу разработки и принятия решений в менеджменте ведутся продолжительные споры между специалистами.
41190. Учет обязательств МСФО 114 KB
  Определение обязательства Обязательства настоящая задолженность предприятия которая возникает вследствие прошедших событий и погашение которой как ожидается приведет к убытию ресурсов с предприятия которые воплощают в себе будущие экономические выгоды. Обязательства это обязанность или ответственность действовать или поступать определенным образом. Обязательства могут иметь юридическую силу вследствие контрактных обязательств или законодательных требований. Но обязательства также возникают в результате ежедневной деловой практики...
41191. Теплообмен излучением 390 KB
  Природа теплового излучения Излучение это перенос энергии при помощи электромагнитных волн испускаемых излучаемым телом. Последние проявляются в том что испускание и поглощение энергии излучения осуществляется отдельными порциями фотонами света или квантами. Каждое конкретное тело обладает своим спектром излучения с соответствующим распределением электромагнитного излучения по длинам волн. Твердые тела и жидкости как правило имеют непрерывный спектр излучения
41192. Нанесение пленок методом ионного распыления 105 KB
  Принцип действия устройств ионного распыления основан на таких физических явлениях как ионизация частиц газа тлеющий разряд в вакууме и распыление веществ бомбардировкой ускоренными ионами. Таким образом плазма тлеющего разряда является генератором ионов необходимых для эффективной бомбардировки катода и его распыления. Схема ионного распыления Показателем эффективности процесса ионного распыления является коэффициент распыления который выражается числом удаленных частиц распыляемого вещества приходящихся на один бомбардирующий ион и...
41193. Учет собственного капитала за МСФО 139.5 KB
  Бухгалтерский учет капитала в простых товариществах очень похож на учет при единоличном владении. Основное отличие заключается в том что необходимо вести учет по счетам вложения и изъятия капитала каждого из партнеров и распределять между ними прибыли и убытки. В разделе балансового отчета Капитал партнеров необходимо отдельно показывать сальдо по каждому счету. Главное отличие бухгалтерского учета в акционерных обществах от учета в единоличных хозяйствах и товариществах заключается в учете капитала.
41194. Закон Кирхгофа 1.34 MB
  Плотности потока собственного излучения серого и абсолютно черного тел; их поглощательные способности; температуры тел. Рассмотрим случай равновесного излучения когда . расход энергии излучения равен ее приходу. Отношение плотности потока собственного излучения тела к его поглощательной способности одинаково для всех серых тел и равно плотности потока собственного излучения абсолютно черного тела при той же температуре.
41195. КОНТРОЛЬ ПАРАМЕТРОВ ПЛЕНОК И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ИХ НАНЕСЕНИЯ 143.5 KB
  Наиболее важен контроль в камере так как в зависимости от его результатов регулируются режимы процесса роста пленки что позволяет устранить операции подгонки ее параметров после нанесения. Метод микровзвешивания в основном используемый в производстве гибридных ИМС состоит в определении приращения массы Δm подложки после нанесения на нее пленки. При этом среднюю толщину пленки определяют по формуле: где площадь пленки на подложке; удельная масса нанесенного вещества. При измерении толщины пленки взвешиванием считают что плотность...
41196. Основные методы решения задачи теплообмена излучением 1.13 MB
  Необходимо определить: поток результирующего излучения между телами. Теплообмен излучением между телами образующими замкнутую систему. Рассмотрим два вогнутых серых тела образующими замкнутую систему. Пусть температура первого тела превышает температуру второго тела .
41197. Транзитивное замыкание графа. Алгоритм Уоршалла (Warshall) 280.5 KB
  Именно {Инициализация: } {1} for i := 1 to n do {2} for j := 1 to n do {3} if i = j then else ; {4} for k := 1 to n do {5} for i := 1 to n do {6} for j := 1 to n do {7} ; {есть матрица смежности транзитивного замыкания т. {Инициализация: } {1} for i := 1 to n do {2} for j := 1 to n do {3} if i = j then else ; {4} for k := 1 to n do {5} for i := 1 to n do {6} if then ; {есть матрица смежности транзитивного замыкания т. Следовательно матрицу можно вычислить с помощью алгоритма:...