9983

Методы моделирования во временной области

Реферат

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Методы моделирования во временной области. Модели во временной области наиболее удобны для анализа переходных процессов в ТУ моделирования статического режима и нелинейных устройств. Рассмотрим алгоритмы формирования системы уравнений математической модели ТУ

Русский

2013-03-19

71 KB

6 чел.

Методы моделирования во временной области.

Модели во временной области наиболее удобны для анализа переходных процессов в ТУ, моделирования статического режима и нелинейных устройств.

Рассмотрим алгоритмы формирования системы уравнений математической модели ТУ во временной области

Рассмотренные методы автоматизированного формирования системы уравнений математикой мелели, несмотря на удобство алгоритмической реализации обладают тем существенным недостатком, что приводят к математическим моделям в виде систем дифференциально-алгебраических уравнений высокого порядка, решение которых зачастую связано, с большими вычислительными трудностями.

С середины 50-х годов в автоматизированном проектировании на чал широко применяться метод переменных состояний позволяющий получить систему уравнений математической модели в виде двух систем матричных уравнений:

                                                                                                                                                      (1)

где    вектор фазовых переменных, называемых переменными состояния, Q - вектор, характеризующий входные воздействия, F—вектор выходных параметров, L, М — постоянные действительные матрицы соответствующего размера.

Уравнения (1) представляют собой систему дифференциальных уравнений первого порядка, называемую системой уравнений для переменных состояния в нормальной форме, численное решение которой относительно вектора фазовых переменных V самое простое из всех методов моделирования. Кроме того, уравнений в (1), как правило, оказывается меньше, чем при использовании метода узловых потенциалов либо контурных токов, что также облегчает процесс моделирования, особенно нелинейных устройств.

Алгоритмическую реализацию метода во многом определяет выбор вектора переменных состояния V. За вектор переменных состояния могут быть, например, выбраны узловые потенциалы, при этом размерность системы (1) будет равна количеству узлов в электрической модели, контурные токи либо другие переменные. При моделировании переходных процессов в радиоэлектронных устройствах за переменные состояния рационально выбирать вектор, состоящий из напряжений на всех конденсаторах электрической модели устройства Uc и токов во всех индуктивностях позволяющий для динамических моделей получить систему дифференциальных уравнений первого порядка минимально возможной размерности.

2. Численный анализ во временной области.

При моделировании во временной области нелинейных ТУ нельзя использовать метод обратного преобразования Лапласа и приходится решать системы дифференциальных либо дифференциально-алгебраических уравнений численными методами. Алгоритмы интегрирования систем дифференциальных уравнений описаны во множестве учебников, мы рассмотрим здесь некоторые из них, наиболее удобные для моделирования ТУ. Для упрощения описания алгоритмов будем рассматривать их на примере одного уравнения с одной неизвестной, затем распространим результаты на системы уравнений.

Пусть требуется найти функцию и, удовлетворяющую уравнению

                                                                                  (18)

и придающую при t= tо заданное начальное значение и (tо)= uо

Выбор начального значения uо служит для выделения одной из кривых семейства, задаваемого уравнением (18), как покапано на рис. 3,а.   

Рисунок 3.

Эта задача в математике известна как задача Коши. Для ее решения широко используются  разностные методы. В разностных методах решение задачи получают в дискретном ряде значений аргумента  отличающихся на шаг интегрирования. В одношаговых разностных методах для нахождения следующего значения uk = u(tk) требуется иyформация  только об одном предыдущем шаге. Из  одношаговых методов наибольшую известность получил метод Рунгe—Кутта, который на самом деле является целым семейством методов, представляющих аппроксимацию методов, основанных на рядах Тейлора, но без явного вычисления производных, за исключением первой.

Для пояснения методов Рунге - Кутта представим значение искомого решения уравнения в точке tk, разложением в ряд Тейлора вокруг предыдущей точки tk-1, uk-1

                  (19)

Если шаг интегрирования Dt мал, то всеми членами разложения высокого порядка можно пренебречь и представить (19) в  виде

                                   (20)

где - первая производная в предыдущей точке tk-1.

Если процесс продолжить, то для любой последующей точки задания аргумента получим итерационную формул

Полученные выражения (20) для определения переменной uk известны как явный метод Эйлера, а по своей сути он представляет метод Рунге - Кутта первого порядка. Графически выражение (20) проиллюстрировано на рис. 3,а, начиная с точки t1, u1, где видно, что на каждом новом шаге определения приближенного решения переходим на другую кривую ее семейства. Систематическая ошибка метода (ошибка дискретизации) имеет порядок Dt2, так как члены разложения (19) содержащие степени Dt выше второй, отбрасываются.    Кроме систематической ошибки, в процессе вычисления появляется ошибка округления, величина которой определяется ЭВМ и программой, которая  накапливается с ростом числа шагов.

Точность метода можно значительно повысить, если сохранить член с Dt2, однако для этого необходимо знание второй производной.

Величину второй производной можно аппроксимировать  конечно-разностным  выражением

где для вычисления f(uk+1, tk+1,) используется приближенное значение Uk+1 = Uk +Dt f(uk,tk), вычисленное по методу Эйлера, подставив это выражение в ряд Тейлора и отбросив члены выше третьего порядка Dt3,  можно получить

Выражение  (5.38) известно как модифицированный метод Эйлера и по своей сути представляет метод Рунге—Кутта второго порядка. Ошибка дискретизации для этого метода пропорциональна Dt3.

Очевидно, что чем выше порядок вычисляемой конечно- разностным методом производной, тем  больше дополнительных вычислений правой части уравнения (18) необходимо сделать. Метод Рунге - Кутта дает набор формул для расчета координат точек внутри интервала для реализации  этой идей. Для примера приведем распространенную формулу метода Рунге - Кутта четвертого порядка

 

                    (21)

Заметим,  что в  методе Рунге - Кутта  четвертого  порядка вначале вычисляется величина  для  предыдущей  точки.

Затем, используя это значение ko, аргумент смещают на пол шага вперед и получают значение k1.  На основе k1 из этой точки tk опять со смещением на половину интервала интегрирования вычисляют значение k2 и, наконец, сделав полный шаг вперед от точки tk, вычисляют значение k3. Значения k1 k2 k3 затем суммируются с весами 1/6, 1/3, 1/3, 1/6.

Шаг интегрирования выбирается из максимально допусти мой ошибки на каждом шаге интегрирования. Оценка ошибок в современных алгоритмах обычно оценивается автоматически, позволяя автоматически изменять длину шага. Недостатком методов Рунге — Кутта высокого порядка является необходимость вычисления большого числа значений правой части уравнения (18) для каждого шага, причем эти вычисленные значения не используются на последующих шагах.

Одношаговые методы легко распространяются на системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Если в результате работы программы моделирования система уравнений модели получилась более высокого порядка, то с помощью подстановок ее всегда можно свести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Например в дифференциальном уравнении второго порядка можно воспользоваться подстановкой   = v и получить систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть после подобных подстановок система уравнений математической модели приведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений вида

где U — вектор переменных, вектор правых частей уравнений системы. Воспользовавшись для простоты модифицированной формулой Эйлера (5.38), запишем итерационную формулу для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений одношаговым  методом  второго порядка:

где [1] — единичная  матрица.

Для сравнения различных одношаговых методов по эффективности рассмотрим решение этими методами уравнения

при следующих начальных условиях  =0, u= 1

Аналитическое решение этого уравнения с учетом задания граничных условий имеет вид

tk

Метод Эйлера

Метод  Рунге — Кутта четвертого порядка

Точное  решение

0.1

0,2

0,3

0.4

1.0

1 ,2000

1,4420

1,7348

2,1041

7,0472

1,2221

1,4997

1,8432

2,2783

8,5834

1,2221

1,4997

1,8432

2,2783

8,5836

Как видно из табл. 1, точность полученного результата зависит не только от величины шага интегрирования, но и от количества шагов, и при большом числе шагов точность получаемого результата снижается из-за накопления ошибок интегрирования.

Алгоритм Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом Рунге — Кутта второго порядка.

Шаг 1   Полагаем, что время интегрирования равно началу процесса интегрирования  k = 0,  tk =tо а  переменные      их начальным условиям.

Шаг 2   Вычисляем вектор правых частей системы уравнений

в момент времени  tk.

Шаг  3 Вычисляем вектор значений переменных по методу Рунге - Кутта первого порядка, используя вычисленные на втором шаге значения правых частей уравнений  

Шаг   4 Вычисляем вектор правых частей системы в момент времени.  

Шаг 5 Вычисляем решение системы уравнений для момента времени используя  выражение (21)

Шаг 6 Если, то увеличиваем t на шаг интегрирования и переходим к шагу 2, иначе расчет закончен.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34582. ФОРМИРОВАНИЕ ТЕРРИТОРИИ РОССИЙСКОГО ГОСУДАРСТВА. ОБРАЗОВАНИЕ ИМПЕРИИ (XV – XIX вв.) 19.54 KB
  В процессе формирования территории России можно выделить 3 этапа. Заявление Ивана III что вся территория Киевской Руси его отчина привело к многовековой борьбе России с Польшей за западнорусские земли Киевской Руси. Таким образом вся Волга была включена в состав России. При царе Федоре Иоанновиче Борис Годунов дипломатическим путем возвратил России эту территорию.
34583. РЕФОРМЫ НАЧАЛА XIX в.: ПЛАНЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ. М.М. СПЕРАНСКИЙ 18.68 KB
  Император Павел I был убит заговорщиками в числе которых состоял его сын Александр. Время правления Александра I 1801–1825 гг. С идеями французских просветителей он был знаком благодаря швейцарцу Лагарпу учителю Александра I к которому император обращался за советом. Заручившись поддержкой гвардии Александр отверг предложенные заговорщиками проекты ограничивающие самодержавие конституцией.
34584. ВНУТРЕННЯЯ И ВНЕШНЯЯ ПОЛИТИКА РОССИИ В 1825 –1855 гг 19.62 KB
  ВНУТРЕННЯЯ И ВНЕШНЯЯ ПОЛИТИКА РОССИИ В 1825 –1855 гг. В то время как в большинстве западных государств политический строй принимал новые конституционные формы в России происходило укрепление крайних форм самодержавия. Она противопоставляла самобытную Россию растленному Западу восхваляя существующие в России порядки. армия чиновников в России составляла 100 тыс.
34585. ОТМЕНА КРЕПОСТНОГО ПРАВА РЕФОРМЫ 60–70-х гг. XIX в 19.71 KB
  отчетливо обозначилось отставание социальноэкономического политического технического развития России от европейских государств. Это проявилось в отмене прежних указов наиболее очевидно нарушающих права граждан России уничтожение поселений разрешение свободной выдачи заграничных паспортов ослабление цензуры снятие запретов введенных в университетах после 1848 г. Самой болезненной проблемой страны было крепостное право большинство подданных России находились как бы в неестественном правовом положении. Социальные волнения охватили...
34586. ОТКРЫТИЕ И ОСВОЕНИЕ ДАЛЬНЕГО ВОСТОКА (XVII – XIX вв.) 21.97 KB
  По берегам Амура и Зеи было построено более 20 русских поселений: острожков заимок деревень. и русские ушли с берегов Амура. Но Крузенштерн не нашел фарватеры ведшие в устье Амура и дал заключение о полуостровном положении Сахалина. Поэтому почти каждому командиру русского корабля вменялось по инструкции в обязанность исследовать лиман Амура.
34587. РАЗВИТИЕ КАПИТАЛИЗМА В РОССИИ в XIX– начале XX в. КЛАССОВАЯ СТРУКТУРА ОБЩЕСТВА 21.18 KB
  РАЗВИТИЕ КАПИТАЛИЗМА В РОССИИ в XIX– начале XX в. Сегодня идут споры об уровне зрелости капитализма в России накануне революционных событий 1917 года. Для развития капитализма в России были характерны не только быстрые темпы сжатые сроки но и иная последовательность аграрнокапиталистического и промышленного переворотов. Если в развитых странах Европы железнодорожное строительство явилось результатом промышленного переворота то в России массированное строительство железных дорог явилось мощным стимулом для капиталистической эволюции всего...
34588. БОРЬБА РУССКОГО НАРОДА ПРОТИВ ИНОЗЕМНЫХ ЗАХВАТЧИКОВ (XIII – XV вв.) 21.16 KB
  Кочевые племена монголов были очень многочисленными но родовые порядки обеспечивали участие в войне всех мужчин поголовно. Во время похода монголов в Индию полководцы Джебе и Субэдэй отделились от главной армии и через Закавказье вторглись в Европу где на их пути оказались половцы. Половцы столкнувшись с монголотатарскими войсками обратились к русскому князю Мстиславу Удалому за помощью. После таких широких завоеваний монголотатарскую знать привлекли торговые пути обладание которыми могло приносить большие доходы.
34589. ОСНОВНЫЕ ФАКТОРЫ РОССИЙСКОГО ИСТОРИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА 19.56 KB
  Самобытность России во многом определяется ее географическим положением между Европой и Азией – миром модернизации и миром традиционности. Этот фактор накладывает отпечаток на историческое развитие России. В самой России начиная с XVIII в. Главным среди природных факторов был континентальный характер расположения территории России.
34590. МЕСТО РОССИИ СРЕДИ МИРОВЫХ ЦИВИЛИЗАЦИЙ 24 KB
  МЕСТО РОССИИ СРЕДИ МИРОВЫХ ЦИВИЛИЗАЦИЙ Составитель: С. Соответственно и место России во всемирной истории определялось с точки зрения принадлежности ее к одной из общественноэкономических формаций.К какому же типу отнести Россию В какой мере самобытна цивилизация России Ответы на эти вопросы давались историками публицистами общественными деятелями с высоты своего времени с учетом всего предшествующего развития России а также в соответствии со своими идейнополитическими установками. Абсолютное большинство населения России исповедует...