9984

Моделирование ИП в статическом режиме

Реферат

Информатика, кибернетика и программирование

Моделирование ИП в статическом режиме. Моделирование статического режима режима работы по постоянному току любого радиоустройства необходимо для расчета рабочих точек отдельных каскадов ИП составления карты режимов работы его компонентов определения рассеиваемы...

Русский

2013-03-19

71 KB

5 чел.

Моделирование ИП в статическом режиме.

Моделирование статического режима - режима работы по постоянному току любого радиоустройства - необходимо для расчета рабочих точек отдельных каскадов ИП, составления карты режимов работы его компонентов, определения рассеиваемых мощностей в компонентах и т.п.

Это моделирование может быть выполнено на основании глобальной модели ИП во временной или частотной областях, которые могут быть получены одним из описанных в ранее методов. Для моделирования на постоянном токе в этих случаях в системе уравнений математической модели устройства следует положить оператор Лапласа s = О, исключив тем самым из системы дифференциально-алгебраических уравнений производные по времени, так как в статическом режиме токи и напряжения в модели Вне зависят от времени. При этом получается модель устройства в виде системы нелинейных уравнений относительно выбранного вектора фазовых переменных, например узловых потенциалов, или переменных состояния.

Возможно, и специальное формирование электрической модели устройства по постоянному току, которая может быть получена на основе моделей отдельных компонентов, из которых •исключены реактивные элементы.

В первом случае отпадает надобность в специальных моделях радиоустройств по постоянному току, но зато усложняются алгоритмы получения системы уравнений математической модели, во втором случае упрощаются алгоритмы моделирования статического режима, но требуется использование специализированных моделей компонентов по постоянному току, из которых состоит устройство.

Проблему моделирования статического режима будем рассматривать на примере моделирования устройства по методу узловых потенциалов, хотя все результаты могут быть перенесены и на другие алгоритмы формирования системы уравнений математической модели устройства. Как указано выше, математическая модель любого радиоустройства по постоянному току представляет собой систему нелинейных уравнений = 0, решив которую, находят потенциалы на узлах электрической модели. В скалярном виде эта система уравнений  может быть записана  в  виде

                                                                                           (2)

Процедуры решения систем нелинейных уравнений численными методами достаточно глубоко разработаны в математике, поэтому рассмотрим только алгоритмические аспекты моделирования.

В отличие от систем линейных уравнений для систем нелинейных уравнений неизвестны прямые методы решения и для нахождения узловых потенциалов в устройстве на постоянном токе приходится использовать итерационные методы.

Одним из наиболее простых итерационных методов решения систем нелинейных уравнений является метод простой итерации. Он основан на допущении, что систему нелинейных уравнений относительно узловых потенциалов (2) можно привести к виду

                                                                                                       (3)

Используя значение Uk-l на предыдущей, (к-1)-й итерации из соответствующего уравнения вычисляют новые значения, па последующей к-й итерации, при этом при вычислениях и, используют значения, вычисленные из предыдущих уравнений. Процесс останавливается, когда разность между значениями переменных на соседних итерациях оказывается меньше требуемой точности

Близость полученного на k-й итерации вектора переменных Uк решению системы нелинейных уравнений (2) можно оцепить и по величине нормы вектора левых частей уравнений системы:

                                                                                                                 (4)

Очевидно, что равенству Uк корням системы уравнений (4) соответствует Nk = 0.

Несомненным достоинством метода простой итерации является отсутствие в нем производных. Этот метод приводит к решению системы при близких начальных приближениях, однако с увеличением числа переменных и сложности уравнений область сходимости уменьшается и при выборе начального приближения необходимо руководствоваться опытом и здравым смыслом инженера.

Более быструю сходимость к решению системы обеспечивает метод Ньютона. Итерационная формула для метода Ньютона может быть получена, если решение на каждой итерации представить как сумму предыдущего решения и добавки - и разложить левые части уравнений системы (5) на (k + 1)-й итерации в многопараметрический ряд Тейлора вокруг значений переменных на предыдущей итерации

       (5)

Если итерационный процесс является сходящимся к точному решению системы уравнений  U, то при k — приращения переменных будут малы, а сами переменные будут близки к значениям корней системы и можно считать, что левые части разложений обращаются в нули. В силу малости отбросим все члены разложения начиная с квадратичного и приведенная выше запись сводится к системе линейных уравнений относительно приращений искомых переменных:

                                                                                             (6)

производных (матрица   Якоби).

Уравнения (5) позволяют формально записать итерационную формулу метода Ньютона в виде

На практике же обычно обращение матрицы Якоби вызывает трудности и система (5) решается относительно вектора приращений узловых потенциалов одним из известных методов решения систем линейных алгебраических уравнений, а затем находятся значения переменных на новой итерации U  = U +

Так как цель итерационного решения заключается в наискорейшем уменьшении от итерации к итерации нормы вектора левых частей системы уравнений математической модели устройства (2), что автоматически может и не выполняться на каждой итерации, то на практике чаще используют модифицированную форму метода Ньютона:

                                           (7)

где коэффициент  выбирается из условия минимизации нормы вектора ошибки на очередной итерации

min

Так как значения U и могут быть вычислены на каждой итерации, то величина может быть найдена методами однопараметрической оптимизации.

Для случая одного уравнения с одним неизвестным /(и) = 0 итерационная формула Ньютона (6) принимает вид

                                                                

На рис. 5.2, а иллюстрируется поиск корня уравнения fd(u) = 0 методом Ньютона от начального приближения u. Поиск корня по модифицированной формуле метода  Ньютона, (7) с оптимизацией коэффициента  показан на рис. 1,

Рис 1. Графическая интерпретация метода Ньютона – Рафсона.

Приводом пошаговое описание  работы  алгоритма.

Алгоритм Решение системы нелинейных уравнений

унифицированным методом Ньютона

1. Задается   вектор   начальных  значений  переменных.

2. Вычисляются значения левых частей системы уравнений (2) и формируется вектор.                 

3. Методом левых, правых или центральных разностей вычисляются все возможные значения производных.  Формируется матрица   Якоби.

4. Уравнения (5) решаются относительно вектора приращений переменных.

5. Одним из методов однопараметрической оптимизации находится оптимальное значение коэффициента tk, минимизирующего норму вектора левых частей системы уравнений Nk + 1  на данном шаге k + 1.

6. Вычисляются уточненные значения переменных Uk + 1 = Uk +tkDUk и норма вектора левых частей уравнений Nk + 1.

7. Если уточненное значение нормы Nk + 1  больше заданной точности Nk + 1>e, то переходим к шагу 2, иначе получено решение системы уравнений относительно вектора узловых потенциалов U.

Заметим, что хотя метод Ньютона и имеет квадратичную cходимость, тем не менее для него тоже существует проблема выбора начального приближения U0. Можно считать, что величина области сходимости обратно пропорциональна числу уравнений и степени сложности системы, поэтому при моделировании устройства по постоянному току следует тщательно выбирать начальное приближение для итерационного процесса.

Ряд сложностей при моделировании РЭС на постоянном токе возникает, если устройство включает модели активных приборов, характеризующиеся экспоненциальными функциями. При итеративном решении систем уравнений математической модели в этом случае возможно переполнение разрядной сетки, так как экспоненциальная функция очень быстро возрастает при положительных значениях показателя степени. Возникают трудности и при больших отрицательных смещениях на полупроводниковых приборах, так как вычисляемые для матрицы Якоби производные имеют здесь очень малые значения. Один из возможных путей борьбы с этими трудностями включается в использовании при прямых и обратных напряжениях, превышающих некоторые значения, кусочно-линейной аппроксимации характеристик приборов.

Кусочно-линейную аппроксимацию целесообразно использовать и тогда, когда уравнения, описывающие нелинейности, известны не в аналитической форме, а заданы в виде таблиц измеренных значений.

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ИП.

Для моделирования переходных процессов в ИП необходимо решить систему математической модели, описывающей поведение моделируемого устройства во времени, с учетом начальных условий и временной зависимости входных сигналов. Как показано ранее, модель устройства представляет собой в этом случае систему дифференциально-алгебраических или просто дифференциальных уравнений относительно фазовых переменных, являющихся функциями времени. К настоящему времени разработано много подходов к решению таких систем на ЭВМ. Подобно предыдущему параграфу, ограничимся рассмотрением алгоритмической реализации наиболее распространенных из этих методов.

Для расчета переходных процессов в радиоустройствах, описываемых линейными электрическими моделями, обычно используется метод преобразований Лапласа, особенно удобный в связи с представлением уравнений модели в операторной форме и в равной мере применимый к моделям во временной и частотной областях. Специально разработанный для реализации на ЭВМ метод обратного преобразования Лапласа не требует определения полюсов и вычетов функции выходного параметра, применим к жестким системам и системам с распределенными постоянными. Как известно, временной отклик электрической модели определяется обратным преобразованием Лапласа:

                                                                                                                                (8)

где F(s) — операторное изображение выходного параметра, полученное из математической модели.

Классический метод вычисления обратного преобразования требует нахождения полюсов и вычетов функции F(s), что неудобно при реализации его на ЭВМ. Чтобы избежать этого, заменим в (8) переменную интегрирования s на z = ts, a функцию ez заменим отношением полиномов имеющих степени n и m соответственно. Эта аппроксимация известна как аппроксимация Паде. Коэффициенты полиномов Рn и Qm, в аппроксимации Паде могут быть найдены, если приравнять аппроксимирующую функцию ряду Тейлора для экспоненты ez:

                            (9)

где ai, bi - коэффициенты полиномов в аппроксимации Паде, сi -коэффициенты ряда Тейлора для ez. Приравнивая в последнем равенстве коэффициенты при одинаковых степенях zi, можно получить систему линейных уравнений для определения коэффициентов ai, bi.

После подстановки еz в (8) получим аппроксимирующее выражение для определения временного отклика модели через обратное преобразование Лапласа:

                                                  (10)

                                              (11)

Интеграл в (8) может быть вычислен с помощью вычетов расположенных внутри  бесконечного замкнутого контура интегрирования справа и слева от оси координат. Чтобы интегрирование   вдоль  бесконечно удаленного контура не давало вклада в значение интеграла, m и n выбираются такими, чтобы у подынтегральной функции F число   полюсов было больше числа нулей по крайней  мере на два. Тогда  в соответствии с теоремами операционного исчисления, где знак плюс берется, когда контур интегрирования с располагается левой полуплоскости и обходится против часовой стрелки, а знак минус - при расположении контура в правой полуплоскости и при том же направлении обхода, Rk — вычеты в полюсах подынтегральной функции, расположенные внутри контура интегрирования. Для n< m имеем

                                                                                

где zi - полюсы аппроксимирующей функции Паде ki соответствующие им вычеты. Полюсы zi и вычеты ki, для различных n и m рассчитаны с высокой точностью. Если в (10) и (11) замкнуть контур интегрирования в правой полуплоскости, то для временной зависимости выходного параметра модели получим выражение

                                                                                                                (12)

Выражение (5.34) представляет основную формулу приближенного обратного преобразования Лапласа, которая используется для моделирования переходных процессов в линейных электрических моделях. Определив из системы уравнений математической модели операторное изображение выходного параметра F(s) и задавшись пит, можно найти с требуемой точностью его временную зависимость.

Приведем пошаговое описание работы алгоритма.

Алгоритм Моделирование переходных процессов в линейных моделях с по мощью обратного преобразования Лапласа.

Шаг 1. Из системы уравнений математической модели получаем операторнск изображение выходного параметра модели.

Шаг 2. .Задаемся  n и m и  определяем  полюсы z; и  вычеты  в  них

Шаг 3. Делим каждое значение z; на и заменяем s в F(s) на. Полагаем текущее время моделирования.

Шаг 4. В цикле m раз умножаем функцию F на и суммируем результаты. Выделяем  действительную часть суммы и делим на  t.

Шаг 5. Если t < t, то увеличиваем t на t и переходим к шагу 4. иначе расчет переходного процесса окончен.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

57533. Урок – засідання літературного гуртка, присвячений В. Шекспіру 105 KB
  Good afternoon, children. I am glad to see you. How are you ? I think you are healthy and are in a good mood. O.K. Our lesson is not traditional today. Imagine yourselves to be the members of the English literary circle.
57534. Daily Routines 194 KB
  The practical aim: to revise a vocabulary of the lesson, to make children more active in using this vocabulary. The developing aim: to practice pupils in speaking, writing, reading and listening.
57535. УКРАЇНА. МОЄ РІДНЕ МІСТО 101 KB
  Today we continue to speak about Ukraine, our Motherland, mainly about our native town Hlukhiv. We have to generalize and enlarge our knowledge on the topic, to improve speaking and reading comprehension skills.
57536. WELCOME TO GREAT BRITAIN 58.5 KB
  Good morning, children. I am glad to see you again. The weather is fine today, the sun is shining brightly in the blue sky, it is warm, the birds are twittering, the air is full of freshness and aroma of flowers.
57537. Нolidays and popular traditions in Ukraine 67 KB
  Good morning dear children and guests! Glad to see you! Today we are going to speak about holidays and popular traditions in Ukraine. I hope you’ll enjoy English lesson. Please, be active and friendly to each other.
57538. Languages without boarders 163 KB
  We reviewed the quiz about so-called natural languages and got knowledge about languages. To sum-up we can tell that English is a member of the Indo-European family of languages.
57539. Ротова порожнина та її гігієна. Будова зубів 88 KB
  Обладнання й матеріали: таблиця Органи травлення набір Зуби модель будови зуба. Базові поняття й терміни: ротова порожнина зуби різці ікла й корінні зуби коронка шийка й корінь зуба емаль дентин цемент пульпа молочні й постійні зуби зуби мудрості карієс зубні пасти та їх використання.
57540. Порушення діяльності серцево-судинної системи та запобігання їм 112 KB
  Які ж хвороби переслідують нашу сс систему Сс захворювання поділяються на Хвороби серця Хвороби артерій Хвороби вен Для ознайомлення з найпоширенішими хворобами серцевосудинної системи...