9985

Нелинейное программирование. Постановка задачи

Реферат

Информатика, кибернетика и программирование

Нелинейное программирование. Постановка задачи. При проектировании радиоэлектронных средств перед работником встает вопрос об оптимальности полученных технических решений. Формально оптимальность как и при линейном программировании оценивается значениями целевой...

Русский

2013-03-19

103.5 KB

35 чел.

Нелинейное программирование. Постановка задачи.

При проектировании радиоэлектронных средств перед работником встает вопрос об оптимальности полученных технических решений. Формально оптимальность, как и  при линейном программировании, оценивается значениями целевой функции  или функции  качества. Радиоэлектронные средства, спроектированные при условии минимума (или максимума) целевой функции в смысле того или иного критерия, называют оптимальными. Оптимальные ИП могут быть построены двумя способами. По первому из них, называемому классическим синтезом, могут быть рассчитаны относительно несложные, в основном пассивные, устройства, для которых существуют аналитически способы синтеза оптимальных схем. К ним относятся оптимальные частотные фильтры с аппроксимацией Чебышева или Кауэра, оптимальные широкополосные согласующие устройства с аппроксимацией Фано, различного класса частотности разделительные и мостовые устройства и др. Для большинства же устройств не существует аналитических методик синтеза, и проектирование их осуществляете вторым способом - методами оптимизации на ЭВМ. Различают структурную оптимизацию и параметрическую. При структурной  (более сложной) оптимизации определяется наилучшая структура устройства, удовлетворяющего заданным требованиям. Обычно это выполняется на этапе классического синтеза схемы. Мы будем рассматривать устройства заданной (или определенной на ранних стадиях проектирована структуры, различающиеся числовыми значениями внутрених V = (V1, V2, ..., Vn) и выходных W=(W1, W2, .... Wm) параметров. Тогда под параметрической оптимизацией (в дальнейшем просто оптимизацией) понимается определение такой совокупности внутренних параметров схемы (номиналов индуктивностей, емкостей, резисторов, параметров активных элементов и др.), при которой заранее выбранные выходные параметры (например, частотные характеристики импеданса, коэффициента передачи, усиления, потребляемой и выходной мощности и т. п.) принимают возможные наилучшие значения. Кроме собственно оптимизации устройства на этом этапе могут быть определены чувствительности элементов устройства, оценено влияние дестабилизирующих факторов, выполнен анализ статистических характеристик устройства и др. Если параметрическая оптимизация проходит достаточно оперативно (для несложных моделей устройств), может быть выполнен некоторый перебор различных структур схем, т.е. осуществлены операции структурной оптимизации устройства Полное решение задачи проектирования радиоэлектронного устройства методами параметрической оптимизации на ЭВМ можно разбить на три этапа:

1 - моделирование устройства ЭВМ;

2 - составление целевой функции с выбором тех или иных критериев качества устройства;

3 - минимизация (максимизация) построенной целевой функции с целью получения оптимальных внутренних параметров устройства.

Моделирование (анализ) радиоэлектронных средств на ЭВМ в зависимости от их типа и назначения может быть выполнено по алгоритмам, описанным ранее. Главным критерием моделирования наряду с приемлемой точностью и адекватностью модели является быстродействие, скорость расчета на ЭВМ выходных параметров устройства. При практической оптимизации время анализа устройства на той или иной ЭВМ не должно превышать десятков секунд или единиц минут. Если модель достаточно сложна и время анализа велико, то можно проводить оптимизацию упрощенной модели радиоустройства, а затем выполнять полный анализ схемы (например, для учета паразитных параметров в элементах устройств, неоднородностей и высших типов волн в антеннах и устройствах СВЧ, ограничений на внутренние параметры и выходные характеристики и т. п.). При оптимизации комплексов радиоэлектронных средств или сложных схем СВЧ можно сначала провести оптимизацию отдельных базисных элементов, а затем анализ комплекса в целом. Такой подход позволяет выполнить проектирование достаточно сложных устройств и комплексов на относительно маломощных ЭВМ.

Таким образом, этап моделирования ИП в этом случае не является самоцелью; при выборе метода и способа моделирования необходимо понимать, что для осуществления успешной оптимизации устройства анализ его в разумном временном интервале должен быть проведен десятки и сотни тысяч раз.

 Этап составления целевой функции при оптимизации устройства является самым творческим и неформальным. Целевая функция должна быть построена таким образом, чтобы получить наилучшие характеристики выходных параметров устройства, по которым проводится его оптимизация. Целевая функция обычно содержит частные критерии оптимальности соответствующие той или иной выходной характеристике. Такая например, если стоит задача проектирования широкополосного согласующего устройства заданной структуры, обеспечивающей год достаточно равномерные и максимальные входные и выходные частотные характеристики мощности, то целевая функция может быть построена следующим образом:

                                (1)

где Ki и Pi - соответственно значения коэффициента бегущем волны (КБВ) и выходной мощности на заданных частотах рабочего диапазона; Ко и PO - желаемые уровни КБВ и выходя ной мощности; М - число точек по оси частот; i - номер точки по частоте; р1 и р2 - весовые коэффициенты, учитывающим вклад частных критериев оптимальности по КБВ и выходной мощности в целевую функцию; q - показатель степени V—вектор внутренних параметров.

В общем случае целевая функция имеет вид

                                                (2)

где Fk(V) - частные критерии оптимальности, pk- весовые коэффициенты. Частный критерий является функционалом той или иной выходной характеристики. В то же время частный критерий является многомерной функцией внутренний параметров устройства, в нашем случае вектора V. Так, в выражении (1) первое слагаемое есть частный критерий по КБВ, выражающий отклонение частотной характеристики КБВ устройства при некотором наборе параметров V от желаемого уровня. Наилучшее приближение частотной характеристики к заданной определяется минимумом частного критерия.

Напомним, что если функция ставит в соответствие значению значение, то функционал ставит в соответствие функции значение (число).

Различают детерминированные и статистические частные критерии оптимальности. К детерминированным критериям, и в выражении (1), относятся критерии, соответствующие задаче максимального приближения определенной характеристики устройства (временной, частотной, амплитудной и т.п.) к заданной. Критерий типа (1) называют среднестепенным; при q = 2 получается известный критерий среднеквадратичного отклонения.

Возможны другие детерминированные критерии; так, для задачи (1)

                                         (3)

-чебышевский критерий, соответствующий максимальному отклонению выходной характеристики от заданной. Этот критерий не является аналитическим, и поэтому при дальнейшей минимизации целевая функция может не быть гладкой. Применяют аппроксимацию чебышевского критерия, например:

   (4)

-квазичебышевский критерий, соответствующий строгому минимаксному при q При q = 2 критерий (4) трактуется как евклидова норма, являющаяся основной мерой расстояния от начала координат (точки нулевой ошибки) до точки в M-мерном пространстве; М, как и в (1), число точек по оси частот.

Статистические критерии оптимальности основаны на использовании статистических характеристик устройства. Таковыми могут быть процент выхода годных схем, учет статистических параметров элементов (разброс, чувствительность), учет статистических свойств внешней среды (при проектировании антенн, устройств СВЧ и т. п.), учет статистических ограничений на внутренние и выходные параметры и др.

Все рассмотренные критерии в принципе позволяют спроектировать устройство с оптимальной выходной характеристикой, соответствующей данному частному критерию. Однако в большинстве случаев необходимо проводить оптимизацию по нескольким выходным параметрам одновременно; тогда частные критерии объединяются (сворачиваются) в общую целевую функцию. Возможны два способа объединения частных критериев в целевую функцию: мультипликативный и аддитивный. В первом случае составляется отношение или произведение частных критериев, и минимизация целевой функции соответствует минимизации (или максимизации) частных критериев.

Более широко используется аддитивный способ построений целевой функции (2). Тогда имеется непосредственная возможность учитывать вклад каждого из частных критериев в целевую функцию с помощью весовых коэффициентов. Таким образом, целевая функция является линейной композицией частных критериев (функций) качества, имеющих различную чувствительность при изменении внутренних параметров устройства. Следовательно, целевая функция вида (2) является функцией не только значений. - Ко, PO. Поэтому оптимизацию желательно проводит в диалоговом режиме, изменяя по ходу ее элементов устройства, но и весовых множителей и параметров желаемых характеристик  (1) весовые коэффициенты и параметры желаемых характеристик. Если проектировщику «в равной степени» важны все оптимизируемые характеристики устройства, то весовые множители устанавливаются так, чтобы слагаемые в (2) были приблизительно одинаковыми. Если же необходимо выделить влияние той или иной выходной характеристики по сравнению с остальными, то следует установить ей и больший весовой множитель. Весовые коэффициенты при необходимости могут быть, например частотно-зависимыми, чтобы «усилить» оптимизацию частот ной характеристики в той или иной области частот. Значения желаемых выходных характеристик, например Ко и Ро (1), необходимо выбирать так, чтобы в процессе оптимизации получать равно колебательные характеристики наименьшей неравномерностью в заданной полосе частот. При необходимости в целевую функцию (2) можно ввести слагаемые, учитывающие ограничения на внутренние параметры устройства. В этом случае используются штрафные функции, значения которых резко возрастают при приближении к границам области определения внутренних параметров. Возможны и другие способы учета ограничений на значения параметров элементов схем.

Таким образом, оптимальное проектирование устройств сводится к многократному анализу схемы, конструированию я диалоговом режиме целевой функции и затем минимизации целевой функции формальными методами. Так как в большинстве случаев целевая функция нелинейном зависит от внутренних параметров, то используются методы нелинейной программирования, являющегося частным случаем математического программирования.

В общем случае задача нелинейного программирования выглядит следующим образом: найти вектор внутренний параметров Vopt, обеспечивающий минимум скалярной функции F(V) при заданных ограничениях на область допустимого варьирования вектора внутренних параметров V, т.е.

                                      (5)

при

                                                                               (6)

где    - область допустимых параметров, G(V) - условия, налагаемые на внутренние параметры устройства.

Если функция F(V) имеет один минимум (максимум) в заданной области Vд, то ее называют одно-экстремальной (унимодальной); если же более одного, то многоэкстремальной. Каждый минимум многоэкстремальной функции называют локальным, наименьший из них - глобальным. Если ограничения на внутренние параметры (6) отсутствуют, то минимизацию называют безусловной, в противном случае функция имеет условные минимумы (экстремумы).

При практическом проектировании РЭС встают задачи поиска как безусловных, так и условных экстремумов унимодальных и многоэкстремальных функций. Математически задача сводится к поиску точки (точек) в M-мерном пространстве (отсюда поисковая оптимизация), удовлетворяющей минимуму целевой функции (5). Для реальных задач оптимального проектирования обычно невозможно найти минимум за конечное число шагов и поиск осуществляется итерационными методами; на каждой итерации необходимо решить две задачи: 1 - выбрать направление «движения» из заданной (исходной или полученной на предыдущей итерации) точки; 2 - выполнить оптимальный шаг в данном направлении - одномерный поиск. Оптимальность одномерного поиска определяется либо нахождением минимума функции по данному направлению, либо общей стратегией многомерного поиска. Стратегией «движения» по n - мерному пространству является безусловное уменьшение значения целевой функции. Оптимизация считается выполненной, если при необходимом изменении весовых коэффициентов и уточнении желаемых характеристик (2) реализуются выходные параметры, удовлетворяющие разработчика.

Алгоритм 1. Общая стратегия оптимизации ИП

Шаг I. Выбрать начальное приближение V0.

Шаг 2. Определить  вектор направления движения.

Шаг 3. Выполнить оптимальный шаг по выбранному направлению - одно мерный поиск.

Шаг 4. Если целевая функция уменьшается, перейти к шагу 2; в противном случае к шагу 5.

Шаг 5. Если выходные параметры устройства удовлетворяют заданным требованиям, окончить оптимизацию, в противном случае изменить критерии качества, весовые коэффициенты, параметры желаемых характеристик и перейти к шагу 2.

Таким образом, приведенный алгоритм отражает не только формальную минимизацию целевой функции, но и при необходимости конструирование самой целевой функции. Поэтому широко применяемый термин «метод оптимизации» является не совсем точным, когда идет речь только о минимизации многомерной функции. А под методом оптимизации, видимо, следует понимать то или иное решение всех этапов алгоритма 1 оптимального проектирования устройства.

Рассмотрим предварительно одномерный поиск минимум целевой функции как важную составную часть общей стратегии оптимизации. Практика показывает, что часто от того, на сколько хорошо организован одномерный поиск, существено зависит успех решения всей задачи оптимизации.

2. МЕТОДЫ ОДНОМЕРНОГО ПОИСКА ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Рассмотрим методы численного определения минимум функции одной переменной F(V) в случае отсутствия ограничений на область допустимых значений независимой переменой, т.е. необходимо найти,

где Vопт - значение переменной, соответствующее минимуму функции F(V).

Известно, что если задана аналитическая функция F(V), то ее минимум определяется  из уравнения

Однако в большинстве случаев практического проектирования ИП функция F(V) задана алгоритмически и непосредственное использование уравнения (8) затруднительно, необходимо применять различные численные конечно разносные аппроксимации соотношения (8).

При решении задачи (7) численными методами определяется не точное значение Vопт, а некоторый интервал неопределенности  dV, внутри которого лежит точка Vопт. Задача нелинейного программирования для одномерной функции выглядит следующим образом:

найти    min F(V) при  V Î [а, b] в предположении, что F(V) внутри области [а, b] имеет один минимум, т.е. F(V) унимодальная. Алгоритм поиска min F(V) должен за наименьшее число обращений к вычислению функции F(V), т.е. к модели устройства, найти минимальный (или заданный по ширине) интервал dV, любая точка внутри которого принимается за оптимальное значение Vопт. По существу, методы одномерного поиска - это методы оптимального сокращения интервала неопределенности.

Рассмотрим ряд методов одномерной минимизации функции: 1 равномерного поиска, 2 деления пополам (дихотомии), 3 Фибоначчи, 4 золотого сечения, 5 поиска из начальной точки, 6 интерполяции. 

Метод равномерного поиска относится к пассивным методам (без обучения в процессе поиска) и заключается в вычислении функции F(V) с заданным шагом dV в интервале [а, b]. Очевидно, в этом случае число обращений к модели m, равное кратности сокращения интервала неопределенности Nрп= m = (b-a)/(dVрп), может быть довольно велико при заданной точности определения минимума. Метод используется для грубого определения минимума или для исследования поведения функции в заданном интервале.

Все остальные методы одномерного поиска относятся к методам с обучением, когда выполняется последовательное сокращение интервала неопределенности, причем последующие вычисления функции проводятся с учетом предыдущих результатов. Методы различаются лишь правилом сокращения интервала неопределенности. В методе деления пополам (дихотомии) исходный интервал делится надвое и в малой окрестности его середины (Vi± e/2) вычисляются значения функции (рис. 1, а). Далее сравниваются значения F(V1 + e/2) и F(V1 - e/2); если  F(V1 + e/2) > F(V1 - e/2), то в качестве интервала неопределенности принимается [а, V1], если  же F(V1 + e/2) < F(V1 - e/2), то интервал [V1, b], и процесс повторяется. Тогда кратность Nдп сокращения интервала неопределенности после m обращения к модели приближенно определится выражением

                                         Nдп = (b-а)/( dVдп) = 2m/2,                                       (10)

что существенно превосходит для заданного m кратность по методу равномерного поиска.

Алгоритм 2. Метод деления пополам

Шаг I. Ввести границы интервала а, b, параметры e и dV.

Шаг 2. Вычислить середину интервала V1=(a-b)/2.

Шаг 3. Определить значения функции  F(V1 + e/2)  и  F(V1 - e/2).

Шаг 4. Если F(V1 + e/2) > F(V1 - e/2), положить b=V1, в противном случае a= V1.

Шаг 5. Если   b-a<dV, окончить поиск; иначе перейти к шагу 2.

.

Рис. 1. Методы одномерного поиска: а дихотомии, без сокращения  интервала, Фибоначчи, г - золотого сечения

Существует более оптимальная стратегия одномерного поиска. Выберем в пределах заданного интервала две произвольные внутренние точки: V1 и V2 (рис. 12.1, б). Вычислив F(V1) и F(V2), сравним их; тогда возможны три случая: 1 если F(V1) > F(V2), принимаем за интервал неопределенности [V1, b] а область [a, V1] отбрасываем, 2 если F(V1)< F(V2), то интервал [а, V2], 3 если же F(V1) = F(V2), то интервал неопределенности равен [V1, V2]. В любом случае получает сокращение интервала неопределенности. Следующие два метода направлены на оптимальный выбор точек V1 и V2 С целью минимизации объема вычислений.

Наилучшие результаты дает метод Фибоначчи. Название; метода обусловлено использованием последовательности чисел Фибоначчи, определяемым формулой Фk= Фk-1 + Фk-2. Первыми членами этой последовательности являются Ф0 = Ф1 = 1, далее 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . Согласно методу Фибоначчи, необходимо задаться числом m (m>=2) обращения к модели; тогда оптимальные положения точек V1, V2 на каждой итерации определяется выражениями:

                                                 i =1,2…m-1                                                     (11)

где аi, bi—границы интервала неопределенности на i-м шаге поиска.

Легко убедиться, что точки V1i и V2i располагаются симметрично в интервале [аi, bi], т.е. Vli-ai = bi-V2i (рис. 12.1, в). При построении алгоритма одномерного поиска по методу Фибоначчи необходимо учитывать симметрию точек V1 и V2; так если F(V1)<F(V2), то интервал неопределенности просто сокращается на участок [b, V2] и бывшая точка V2 становится в новом интервале точкой V1если же F(V1) > F(V2), то отбрасывается участок [a, V1], интервал неопределенности «зеркально» обращается, правой границей его становится бывшая точка V1, а левой - бывшая правая граница b. Поэтому на каждой итерации, начиная со второй, необходимо вычислять только одно значение функции, второе же совпадает с предыдущим. После выполнения m итераций (обращений к модели) кратность Nф сокращения интервала неопределенности равна соответствующему числу Фибоначчи:

                          (12)

Метод Фибоначчи  является наиболее эффективным методом сокращения интервала неопределенности; однако для применения его необходимо задаваться общим числом обращения к модели m, что не всегда удобно. Начиная поиск минимума неизвестной функции, проектировщик может не иметь четкого представления о желаемом числе анализов модели. Заметим, что метод дихотомии, например, не нуждается в задании числа m.

От этого недостатка также свободен метод золотого сечения, ненамного уступающий по точности методу Фибоначчи. Золотым сечением называют деление отрезка на две неравные части, такие, что отношение большей части к целому отрезку равно отношению меньшей части к большей. Легко убедиться, что это условие приводит к уравнению t2 + t= 1, решение которого t = 0,5( - 1) = 0,618034. Тогда по методу золотого сечения внутренние точки отрезка на i-м шаге определяются так (рис. 1,г)

                                                          i=1,2   m-1.                                  (13)

В этом методе также получается симметричное расположение точек V1 и V2 на каждой итерации начиная со второй необходимо вычислять только одно значение функции. Кратность сокращения интервала неопределенности N3C после m обращений к модели равна

Сравнив метод золотого сечения с методом Фибоначчи, отмечаем, что при больших m интервалы неопределенности, найденные по этим методам, относятся как

                                  (18)

т.е. окончательный интервал в методе золотого сечения всего лишь на 17% больше, чем в методе Фибоначчи. Можноj показать, что при больших m оба метода начинаются практически из одной и той же точки, так как отношение двух соседних чисел Фибоначчи стремится к золотому сечению: таr уже при m > 4 Фm-1/ Фm »t. Поскольку у этих методов мной общего, приведем общий алгоритм поиска.

Алгоритм  Методы  Фибоначчи  (МФ) и золотого сечения  (МЗС)

Шаг I. Ввести границы интервала a, b, a также число обращений к модели m для МФ или t для МЗС.

Шаг 2. Вычислить V2 = а + l(b-a), причем l= Фm-1/ Фm для МФ или l=t для мзс.

Шаг 3. Вычислить  F(V2).

Шаг 4. Вычислить   V1=a + b-V2.

Шаг 5. Вычислить  F(V1).

Шаг 6. Если F(V1)>F(V2), положить а=b.   B=V1 иначе b =V2, V2=V1 F(V2)=F(V1).

Шаг 7. Если  b-а<dV, окончить поиск; иначе  перейти  к шагу 4.

В рассмотренных методах исходный интервал неопределенности должен быть заранее задан; однако часто приходится вести одномерный поиск при неизвестном интервале неопределенности. Для нахождения исходного интервала неопределенности можно применить метод поиска из начальной точки. Суть его сводится к следующему. Пусть для исходной начальной точки V0 определено направление спуска (в сторону убывания или возрастания аргумента) (рис. 2). Тогда, сделав приращение V1 = V0 + DV, определяем новое значение функции. Если оно меньше исходного, шаг удваиваем и так до тех пор, пока функция не станет увеличиваться. Тогда последние три точки и определяют искомый интервал неопределенности, для которого можно применить рассмотренные выше методы. При необходимости можно в этом интервале снова применить метод поиска из начальной точки.

Алгоритм  Метод поиска из начальной точки

Шаг I. Ввести начальную точку V0, начальный шаг DV, число e, вычислить F(V0).

Шаг 2. Положить V1 = V0 + DV,  вычислить F(V1).

Шаг 3. Если F( V1) > F( V0), то положить DV = -DV и вернуться к шагу 2; иначе перейти к шагу 4.

Шаг 4.  Положить DV = 2DV.

Шаг 5.  Положить V2 = V1 + DV вычислить F(V2).

Шаг 6. Если F(V2)<F(V1), то положить V0=V1. V1= V2. F(V0)=F(V1) и перейти к шагу 4; иначе перейти к шагу 7.

Шаг 7. Положить а = Vo, b = V2, вывести [а, b]- интервал неопределенности.

Для успешного применения этого алгоритма начальный шаг должен быть достаточно малым, чтобы не пропустить минимум уже на первом шаге поиска. После определения интервала неопределенности можно найти минимум, например методом дихотомии или золотого сечения. Однако, если одномерный поиск является одним из этапов, многомерного поиска и нет необходимости в определении точного минимума для каждого направления, часто для экономии машинного времени в сочетании с методом поиска начальной точки используется интерполяция уже вычислимых значений функций. При использовании метода интерполяции вообще нет необходимости обращаться к модели устройства.

I

Рис.  2. Методы одномерного поиска из начальной точки (а) и с помощью аппроксимации (б)

Допустим, определены последние три точки Vo, V1, V2 найденные по методу поиска из начальной точки (рис. 2, б) значения функции в них также вычислены; обозначим F0 = F( Vo), F1 = F(V1), F2 = F(V2). Тогда можно использовать квадратичную интерполяцию заданных узлов для определения приближенного значения оптимума Vопт, несколько отличающегося от истинного Vопт (рис. 2, б). Обозначив искомым, полином f(V) = aV2+ bV + с и применив условие минимумам df/dV = 2aV + b = 0, получаем точку приближенного минимум

                                                                                                                 (16)

Коэффициенты полинома определяем из условия совпадения в узлах f(Vo) = F0, f(V1) = F1, f(V2) = F2, откуда находили формулы для коэффициентов. Подставив их в выражения (16), окончательно получаем

Иногда используют кубическую интерполяцию, но тогда должна быть выведены положения и значения функций для четырех точек, определенных методом поиска из начальной точки. При практической одномерной оптимизации применяют рассмотренные методы по отдельности или в некоторой их комбинации. В случае минимизации сложных одномерных функций чаще используют методы дихотомии или золотого сечения. Если же одномерный поиск является частью сложной многомерной минимизации и целевые функции достаточно гладкие, применяют приближенные методы поиска начальной точки и интерполяцию функции.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71004. Теоретичні та практичні аспекти вдосконалення форм організації праці 259 KB
  Актуальність вивчення основ організації праці та організації виробництва зумовлена тим що сучасне виробництво не може розвиватися інтуїтивно без наукового підходу та ігноруючи закони економіки праці організації виробництва тощо. Зміна техніки і технології виробництва вимагають відповідної...
71005. Расчет ректификационной установки для разделения смеси 50%(масс.) бензола и 50% (масс.) диэтилового эфира 174.64 KB
  Рассчитать ректификационную установку для разделения смеси 50%(масс.) бензола и 50% (масс.) диэтилового эфира. Конечная концентрация эфира 94%(масс.), в кубовом остатке содержится 98%(масс.) бензола. Расход исходной смеси 6т/час.
71006. Ринок і держава 317 KB
  Там де порушувалася гармонія взаємодії ринку і держави країни потрапляли до глибокої кризи. При цьому однак не можна забувати що світова практика будувалася в основному на законах економічної еволюції у ході якої поступово формувалося й удосконалювалося нинішнє...
71008. РАЗРАБОТКА ИНФОРМАЦИОННОГО WEB-ПРИЛОЖЕНИЯ НА ОСНОВЕ JS ФРЕЙМВОРКОВ 446.77 KB
  Целью данной курсовой работы является создание клиентского приложения с использованием одного из существующий JS-фреймворков. Поэтому в процессе выполнения курсовой работы необходимо решить следующие задачи: Дать общее определение JavaScript библиотеки и рассмотреть виды этих библиотек.
71011. Дослідження однофазного асинхронного двигуна та випробування трифазного асинхронного двигуна в режимі однофазного 534 KB
  Вивчити будову і принцип дії однофазного асинхронного двигуна та дослідити його робочі характеристики. У випадку коли недоцільно влаштовувати трифазну мережу битові приміщення одинокі споживачі невеликої потужності тощо прокладають однофазну мережу...
71012. Дослідження перехідних процесів в колі з послідовним з’єднанням r, L і C елементів 550.5 KB
  Вивчити перехідні процеси при включенні кола з послідовним з’єднанням резистора, котушки індуктивності та конденсатора на постійну напругу і дослідити вплив активного опору і ємності конденстора на характер перехідних процесів.