9990

Символьные вычисления в MathCAD

Реферат

Информатика, кибернетика и программирование

Символьные вычисления в MathCAD Кроме вычисления выражения численно программа использует символьную математику результатом вычисления выражения является другое выражение. Первоначальное выражение можно разложить на множители проинтегрировать его решить уравнение...

Русский

2013-03-19

211 KB

74 чел.

Символьные вычисления в MathCAD

Кроме вычисления выражения численно, программа использует символьную математику, результатом вычисления выражения является другое выражение. Первоначальное выражение можно разложить на множители, проинтегрировать его, решить уравнение символьно и т.д.

Символьные вычисления в Mathcad можно осуществлять в двух различных вариантах:

  •  с помощью команд меню;
  •  с помощью оператора символьного вывода , ключевых слов символьного процессора и обычных формул.

Первый способ более удобен, когда требуется быстро получить какой-либо аналитический результат для однократного использования, не сохраняя сам ход вычислений. Второй способ более нагляден, т. к. позволяет записывать выражения в традиционной математической форме и сохранять символьные вычисления в документах Mathcad. Кроме того, аналитические преобразования, проводимые через меню, касаются только одного, выделенного в данный момент, выражения. Соответственно, на них не влияют формулы, находящиеся в документе Mathcad выше этого выделенного выражения (например, операторы присваивания значений каким-либо переменным). Оператор символьного вывода, напротив, учитывает все предыдущее содержимое документа и выдает результат с его учетом.

Упрощение выражений

Упрощение выражений — наиболее часто применяемая операция. Символьный процессор Mathcad стремится так преобразовать выражение, чтобы оно приобрело более простую форму. При этом используются различные арифметические формулы, приведение подобных слагаемых, тригонометрические тождества, пересчет обратных функций и др. Чтобы упростить выражение с помощью меню:

  •  Ввести выражение.
  •  Выделить выражение целиком или его часть, которую нужно упростить.
  •  Выбрать команду Символика  Упростить.

Пример:

Для упрощения выражения при помощи оператора символьного вывода используется ключевое слово simplify (упростить). Если некоторым переменным, входящим в выражение, ранее были присвоены некоторые значения, то они будут подставлены в него при выполнении символьного вывода.

Примеры:

Разложение на множители

Разложение выражений на простые множители производится при помощи команды Символика  Фактор (разложить на множители), либо использованием вместе с оператором символьного вывода ключевого слова factor. Эта операция позволяет разложить полиномы на произведение более простых полиномов, а целые числа — на простые сомножители. Применяя команду меню, не забывать перед ее вызовом выделить все выражение или его часть, которую планируется разложить на множители.

Примеры:

 

Приведение подобных слагаемых

Чтобы привести подобные слагаемые полинома с помощью меню:

  •  Ввести выражение.
  •  Выделить в выражении имя переменной, относительно которой надо привести подобные слагаемые.
  •  Выбрать команду Символика  Собрать (Collect).

В результате появится строка с результатом приведения подобных слагаемых.

Пример:

Чтобы привести подобные слагаемые с помощью оператора символьного вывода:

  •  Ввести выражение.
  •  Нажать кнопку Collect на панели Символика.
  •  Ввести в местозаполнитель после вставленного ключевого слова collect имя переменной, относительно которой требуется привести подобные слагаемые.
  •  Введите оператор символьного вывода .
  •  Нажать клавишу Enter.

Примеры:

Разложение на простые дроби

Чтобы разложить сложную дробь на более простые дроби, следует либо выполнить команду Символика  Переменная  В простую дробь, либо указать ключевое слово parfrас (в элементарную дробь). Применяя первый способ (меню), перед выбором его команды надо выделить переменную, по которой будет производиться разложение, а если используется второй способ (с оператором символьного вывода), то имя переменной следует указать после ключевого слова parfrас.

Символьный процессор будет пытаться разлагать знаменатель выражения на линейные или квадратичные множители, имеющие целочисленные коэффициенты. Если это удастся, он будет разлагать выражение в сумму дробей с этими множителями в качестве знаменателя.

Примеры:

Вычисление пределов

Имеются три оператора вычисления пределов (двусторонний, правосторонний и левосторонний пределы). Они могут быть вычислены только символьно.

После выражения предела ставится стрелка символьных вычислений.

Вычисление неопределенных интегралов

Имеется символьный оператор вычисления неопределенных интегралов.

После вызова оператора необходимо заполнить пустые поля.

После их заполнения ставится стрелка символьных вычислений. Рядом появляется результат интегрирования с точностью до константы.

Другой способ нахождения неопределенного интеграла. Написать подынтегральное выражение, выделить в нем переменную интегрирования и выполнить команду Символика  Переменные  Интегрировать. Рядом появится выражение для неопределенного интеграла.

Нахождение производной

Чтобы вычислить производную функции в символьном виде нужно в выражении для функции курсором выделить переменную, по которой будет проводиться дифференцирование. После этого выполнить команду Символика  Переменные  Дифференцировать. Рядом появится выражение для производной.

Если функция зависит от нескольких переменных, то программа рассматривает все переменные, за исключением выделенного, как константы (то есть находит частную производную).

Для того чтобы найти вторую производную, повторно применить эту последовательность действий, но уже к полученному результату дифференцирования. Так же находятся и производные высших порядков.

Задание. 

  1.  Вычислить пределы.

=           =           =

  1.  
    Вычислить неопределенный интеграл.

=        =        =

  1.  Найти производную.

          

Разложение в ряд

С помощью символьного процессора Mathcad возможно получить разложение выражения в ряд Тейлора по любой переменной х в точке х = о, т. е. представить выражение в окрестности точки х суммой вида . Здесь — некоторые коэффициенты, не зависящие от х, но, возможно, являющиеся функциями других переменных, входящих в исходное выражение.

Чтобы разложить выражение в ряд:

  •  Ввести выражение.
  •  Выделить значение переменной, по которой требуется получить разложение в ряд.
  •  Выполните команду Символика  Переменные  Расширить до рядов.
  •  В появившемся диалоговом окне ввести желаемый порядок аппроксимации (Order of Approximation) и нажать кнопку ОК.

Результат разложения появится под выражением.

Для разложения в ряд альтернативным способом, с помощью оператора символьного вывода, использовать ключевое слово series, вставляя его одноименной кнопкой панели Символика. После ключевого слова series, через запятую, указывается имя переменной, по которой производится разложение, и порядок аппроксимации.

Пример разложения выражения в ряд с разным порядком аппроксимации:

Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка может по определению содержать, помимо самой искомой функции , только ее первую производную . В подавляющем большинстве случаев дифференциальное уравнение можно записать в стандартной форме (форме Коши):

и только с такой формой умеет работать вычислительный процессор Mathcad. Правильная с математической точки зрения постановка соответствующей задачи Коши для ОДУ первого порядка должна, помимо самого уравнения, содержать одно начальное условие — значение функции в некоторой точке . Требуется явно определить функцию на интервале от до x1.

Для численного интегрирования одного ОДУ имеется выбор — либо использовать вычислительный блок Given/odesoive, либо встроенные функции. Первый путь предпочтительнее из соображений наглядности представления задачи и результатов, а второй дает пользователю больше рычагов воздействия на параметры численного метода. Рассмотрим последовательно оба варианта решения.

Вычислительный блок Given/Odesolve

Вычислительный блок для решения одного ОДУ, реализующий численный метод Рунге-Кутта, состоит из трех частей:

  •  Given — ключевое слово;
  •  ОДУ и начальное условие, записанное с помощью логических операторов, причем начальное условие должно быть в форме ;
  •  odesolve(x , x1) — встроенная функция для решения ОДУ относительно переменной x на интервале (x0, x1).

Допустимо, и даже часто предпочтительнее, задание функции Odesolve (t, t1, step) с тремя параметрами, где step— внутренний параметр численного метода, определяющий количество шагов, в которых метод Рунге - Кутта, будет рассчитывать решение дифференциального уравнения. Чем больше step, тем с лучшей точностью будет получен результат, но тем больше времени будет затрачено на его поиск.

Результатом применения блока Given/odesoive является функция , определенная на интервале от до x1. Следует воспользоваться обычными средствами Mathcad, чтобы построить ее график или получить значение функции в какой-либо точке указанного интервала.

Пример решения уравнения на промежутке : 

Вставлять логический оператор равенства следует при помощи панели инструментов Булевый.

Встроенная функция rkfixed

Эта функция использует для поиска решения метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

В результате решения получается матрица, имеющая два столбца. Первый столбец содержит точки, в которых ищется решение уравнения. Второй столбец содержит значения найденного решения в соответствующих точках.

Обращение к функции rkfixed выглядит следующим образом.

В первом поле для ввода указывается переменная, для которой ищется решение.

Во втором и третьем полях указываются граничные точки интервала, на котором ищется решение.

В четвертом поле указывается число точек (не считая начальной точки), в которых ищется приближенное решение. При помощи этого аргумента определяется число строк в матрице, возвращаемой функцией.

В последнем поле указывается функция, возвращающая значение в виде вектора, содержащего первые производные.

В качестве примера рассмотрим решение уравнения первого порядка с начальным условием . Решение будем искать на промежутке по х от 0 до 4, число точек поиска решения – 100.

Чтобы решить такое уравнение, надо в левой части оставить только производную, а все остальные слагаемые перенести в правую часть. То есть записать уравнение в следующем виде: .

После этого необходимо набрать следующие команды.

Если после этого набрать команду «Z=», появится матрица, содержащая значения х и y.

Результаты интегрирования удобнее представлять в виде графика. По оси абсцисс откладывается нулевой столбец матрицы, а по оси ординат – первый столбец матрицы.

Решение дифференциальных уравнений второго порядка

Отличия от способа решения уравнения первого порядка состоят в следующем.

Вектор начальных условий y теперь состоит из двух элементов: значений функции и ее первой производной в начальной точке.

Функция является теперь вектором с двумя элементами:

Матрица, полученная в результате решения, содержит теперь три столбца: первый столбец содержит значения х, в которых ищется решение, второй столбец содержит значения y, третий столбец содержит значения первых производных.

Пример решения уравнения с начальными условиями и :

Решение систем дифференциальных уравнений первого порядка

Методика решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений очень похожа на методику решения дифференциального уравнения второго порядка.

Чтобы решить систему ОДУ первого порядка необходимо:

  •  Определить вектор, содержащий начальные значения для каждой неизвестной функции.
  •  Определить функцию, возвращающую значение в виде вектора из n элементов, которые содержат первые производные каждой из неизвестных функций.
  •  Выбрать точки, в которых нужно найти приближенное решение.
  •  Передать всю эту информацию в функцию rkfixed. Она вернет матрицу, чей первый столбец содержит точки, в которых ищется приближенное решение, а остальные столбцы содержат значения найденных приближенных решений в соответствующих точках.

В качестве примера рассмотрим решение следующей системы ОДУ:

с начальными условиями: и .

Задание. Решить уравнения. 1)    2)   

3)     .

Поиск экстремума функции

Задачи поиска экстремума функции означают нахождение ее максимума (наибольшего значения) или минимума (наименьшего значения) в некоторой области определения ее аргументов. Ограничения значений аргументов, задающих эту область, как и прочие дополнительные условия, должны быть определены в виде системы неравенств и (или) уравнений. В таком случае говорят о задаче на условный экстремум.

Программа может находить экстремум функции, содержащей до трех неизвестных при наличии или отсутствии дополнительных условий. Для нахождения экстремума строится целевая функция, которую надо минимизировать. Для поиска минимума используется стандартная функция minimize. Обращение к этой функции имеет вид:

В первом поле для ввода указывается целевая функция, в остальных полях – все неизвестные, входящие в целевую функцию. Если неизвестных меньше, то ненужные поля надо уничтожить нажатием клавиши Delete. Перед началом поиска минимума надо задать начальные приближения для всех неизвестных.

После задания начальных приближений и целевой функции пишется команда Given, затем имеющиеся ограничения и сама стандартная функция. После заполнения всех полей надо ввести знак равенства. Появится вектор значений всех неизвестных, при которых целевая функция принимает наименьшее значение.

Примеры:

Задание. Найти значения переменных х и y, при которых достигается минимум выра-жения при условии .

PAGE  8


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12555. ИССЛЕДОВАНИЕ ЯВЛЕНИЯ МАГНИТОСТРИКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПРОВОЛОЧНЫХ ТЕНЗОМЕТРОВ 202.5 KB
  ИССЛЕДОВАНИЕ ЯВЛЕНИЯ МАГНИТОСТРИКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПРОВОЛОЧНЫХ ТЕНЗОМЕТРОВ отчет по лабораторной работе № 4т ВВЕДЕНИЕ Явление магнитострикции заключается в изменении формы и размеров ферромагнетика при изменении его намагничен...
12556. Давление насыщенного пара, жидкости и твердого тела 804 KB
  ОТЧЁТ по лабораторной работе № 2т: Давление насыщенного пара жидкости и твердого тела Введение Известно что жидкость находящаяся в открытом сосуде испаряется и тем быстрее чем выше ее температура чем больше свободная поверхность чем эффективнее удаляется ...
12558. ИЗМЕРЕНИЕ РАСХОДА И СКОРОСТИ ГАЗОВ 373 KB
  ОТЧЕТ по лабораторной работе №5М ИЗМЕРЕНИЕ РАСХОДА И СКОРОСТИ ГАЗОВ ВВЕДЕНИЕ Возможности теоретического решения задач аэродинамики ограничены поэтому эксперимент часто является единственным источником сведений о взаимодействия потока газа с различными тел
12559. Исследование явление магнитострикции с помощью электрических проволочных тензометров 237 KB
  ОТЧЁТ по лабораторной работе № 4т: Исследование явление магнитострикции с помощью электрических проволочных тензометров Введение Явление магнитострикции заключается в изменении формы и размеров ферромагнетика при изменении его намагниченности в магнит
12560. Типовые звенья и их характеристики 285.76 KB
  МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к лабораторной работе по теме: Типовые звенья и их характеристики по дисциплине: Основы теории управления 1 Цель работы: Изучение теоретических сведений об элементарных и типовых звеньях систем автоматического управления. Закрепление те...
12561. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПОТЕНЦИАЛОВ ЛЕННАРДА-ДЖОНСА ИЗ ВТОРОГО ВИРИАЛЬНОГО КОЭФФИЦИЕНТА 122 KB
  ОТЧЕТ по лабораторной работе №6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПОТЕНЦИАЛОВ ЛЕННАРДАДЖОНСА ИЗ ВТОРОГО ВИРИАЛЬНОГО КОЭФФИЦИЕНТА ВВЕДЕНИЕ В настоящей работе на основании исследования микроскопических свойств газа рассчитываются параметры потенциала ЛеннардаДжонса п...
12562. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПОТЕНЦИАЛОВ ЛЕННАРДА-ДЖОНСА 422 KB
  ОТЧЕТ по лабораторной работе №6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПОТЕНЦИАЛОВ ЛЕННАРДАДЖОНСА ВВЕДЕНИЕ В настоящей работе на основании исследования макроскопических свойств газа рассчитываются параметры потенциала ЛеннардаДжонса применяемого в классических и кванто
12563. СОПРОТИВЛЕНИЕ ОБТЕКАЕМЫХ ТЕЛ 1.2 MB
  СОПРОТИВЛЕНИЕ ОБТЕКАЕМЫХ ТЕЛ Отчет по лабораторной работе № 6М ВВЕДЕНИЕ Определение силы с которой жидкость действует на обтекаемое тело является одной из основных задач механики сплошных сред. В данной работе эта сила определяется экспериментально на моделях в д